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Recorrência
Sumário
• Definições Recorrentes
‣ Seqüências, conjuntos e operações
• Resolução de Relações de Recorrência
Definições Recorrentes
• Uma definição recorrente é uma definição
onde o item sendo definido aparece como
parte da definição.
‣ definir algo em termos de si mesmo
• Exemplo: definição recorrente de fatorial
Partes de uma
Definição Recorrente
• Base (ou condição básica)
‣ casos elementares definidos explicitamente
• Recorrência (ou passo indutivo)
‣ demais casos definidos em função dos casos
elementares
• Recorrência é uma conceito importante
que pode ser usado para definir:
‣ seqüências
‣ conjuntos
‣ operações
‣ algoritmos
Seqüências
• Uma seqüência é uma lista ordenada de
elementos
• Exemplo:
‣ S = 2, 4, 8, 16, 32, ...
‣ S(1) = 2, S(4) = 16
Seqüências Definidas
por Recorrência
• Uma seqüência é definida por recorrência
nomeando-se, explicitamente, o primeiro
elemento na seqüência e depois definindo-
se os demais elementos em termos dos
anteriores
• Exemplo (S = 2, 4, 8, 16, 32, ...)
‣ S(1) = 2
‣ S(n) = 2 * S(n-1), para n ≥ 2
Exercício
• Escreve os cinco primeiros valores da
seqüência T definida a seguir
‣ T(1) = 1
‣ T(n) = T(n-1) + 3
Seqüência de Fibonacci
• É uma seqüência de números definida por
recorrência como a seguir:
‣ F(1) = 1
‣ F(2) = 1
‣ F(n) = F(n-1) + F(n-2), para n ≥ 3
• Escreva os 8 primeiros termos da
seqüência de Fibonacci.
Conjuntos
• Um conjunto é uma coleção de objetos
‣ não há nenhuma ordem imposta à coleção
• Conjuntos podem ser definidos por
relações de recorrência.
‣ Base: objetos elementares do conjunto
‣ Recorrência: regra para composição de novos
objetos do conjunto
Exemplo
• Definição recorrente do conjunto das
fórmulas proposicionais bem formuladas
(FBF)
‣ Base: uma proposição é uma FBF
‣ Recorrência: se P e Q são FBFs então P ∧ Q, P ∨
Q, P → Q, P′, e P Q também são FBFs
Operações Definidas
por Recorrência
• Certas operações podem ser definidas de
forma recorrente
• Exemplo: definição recorrente da
exponenciação an
‣ a0 = 1
‣ an = a * an-1, para n ≥ 1
Definições Recorrentes
Seqüência
Pelo menos o primeiro valor é definido
explicitamente; os demais valores são
definidos em termos dos anteriores.
Conjunto
Pelo menos um elemento do conjunto é
definido explicitamente; os demais
elementos são construídos a partir de
elementos que pertencem ao conjunto.
Operação
Um caso trivial (elementar) é definido
explicitamente; demais casos são calculados
a partir de casos menores.
Exercícios
• Escreve os cinco primeiros valores da
seqüência M a seguir:
‣ M(1) = 2
‣ M(2) = 2
‣ M(n) = 2*M(n-1) + M(n-2)
• Considerando a série de Fibonacci, prove
que F(n+1) + F(n-2) = 2F(n), para n≥3
Considere a seqüência S definida por recorrência:
S(1) = 2
S(n) = 2*S(n-1)
Existe uma equação na qual podemos substituir o
valor de n e calcular diretamente o valor de S(n)
sem ter que calcular os valores anteriores?
Considere a seqüência S definida por recorrência:
S(1) = 2
S(n) = 2*S(n-1)
Existe uma equação na qual podemos substituir o
valor de n e calcular diretamente o valor de S(n)
sem ter que calcular os valores anteriores?
S(n) = 2n
Resolvendo Relações
de Recorrência
• Resolver uma relação de recorrência
significa encontrar para ela uma solução em
forma fechada.
• Uma solução em forma fechada para uma
relação de recorrência sujeita a uma
condição básica é uma equação na qual
podemos substituir um valor para calcular
diretamente o elemento que queremos.
Estratégias para Resolução
de Recorrências
• Método “expandir, conjecturar e verificar”
• Solução geral
‣ no caso de uma relação de recorrência linear de
primeira ordem.
“Expandir, conjecturar e
verificar”
• Consiste em usar repetidamente a relação
de recorrência para expandir a expressão
do n-ésimo termo até que seja possível
perceber uma equação para a solução em
forma fechada.
• É preciso verificar a equação encontrada
‣ em geral, a verificação pode ser feita por
indução
Exemplo
• Considere a condição básica e a relação de
recorrência para a seqüência S a seguir:
‣ S(1) = 2
‣ S(n) = 2 * S(n-1)
• Encontre a solução em forma fechada para
a relação de recorrência.
Passo 1: Expandir
S(n) = 2 * S(n-1)
Passo 1: Expandir
S(n) = 2 * S(n-1)
= 2 * 2 * S(n-2)
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S(n) = 2 * S(n-1)
= 2 * 2 * S(n-2)
= 2 * 2 * 2 * S(n-3)
= 2 * 2 * 2 * 2 * S(n-4)
Após k, expansões
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S(n) = 2 * S(n-1)
= 2 * 2 * S(n-2)
= 2 * 2 * 2 * S(n-3)
= 2 * 2 * 2 * 2 * S(n-4)
...
= 2k * S(n-k)
Após k, expansões
S(n) = 2k * S(n-k)
Podemos continuar com a expansão
indefinidamente ou existe um limite para k?
S(n) = 2k * S(n-k)
Podemos continuar com a expansão
indefinidamente ou existe um limite para k?
O limite é o caso base S(1), ou seja,
n-k = 1
⇓
k = n-1
S(n) = 2k * S(n-k)
Podemos continuar com a expansão
indefinidamente ou existe um limite para k?
O limite é o caso base S(1), ou seja,
n-k = 1
⇓
k = n-1
⇓
S(n) = 2n-1 * S[n-(n-1)] = 2n-1 * S[1] = 2n-1 * 2 = 2n
Passo 3: Verificar
• Por raciocínio indutivo, inferimos que a
solução em forma fechada é S(n) = 2n.
• Ainda é preciso demonstrar que, de fato,
S(n) = 2n, para todo n ≥ 1.
‣ podemos fazer isso por indução em n.
Estratégias para Resolução
de Recorrências
• Método “expandir, conjecturar e verificar”
• Solução geral
‣ no caso de uma relação de recorrência linear de
primeira ordem.
Recorrência Linear
• Uma relação de recorrência para uma
seqüência S(n) é denominada linear se os
valores anteriores de S aparecem na relação
apenas na primeira potência.
• Forma geral:
‣ S(n) = f1(n)S(n-1)+f2(n)S(n-2)+...+fk(n)S(n-k)+g(n)
Recorrência de
Primeira Ordem
• Uma relação de recorrência para uma
seqüência S(n) é de primeira ordem se o
cálculo do termo n depende apenas do
termo n-1.
• Forma geral:
‣ S(n) = f1(n) S(n-1) + g(n)
Solução Geral
• Utilizando o método “expandir, conjecturar
e verificar”, podemos encontrar uma
solução em forma fechada geral para
relações de recorrência lineares de
primeira ordem com coeficientes
constantes.
• Solução geral para
‣
S(n) = cS(n − 1) + g(n)
S(n) = cn−1
S(1) +
n
i=2
cn−i
g(i)
Exemplo
S(n) = cS(n − 1) + g(n)
⇓
S(n) = 2S(n − 1)
c = 2 e g(n) = 0
S(n) = 2n−1
S(1) +
n
i=2
2n−1
0
= 2n−1
2 +
n
i=2
0 = 2n−1
2 + 0 = 2n
S(n) = cn−1
S(1) +
n
i=2
cn−i
g(i)
i
Métodos para resolver relações de recorrência
Método Passos
“Expandir,
conjecturar e
verificar”
1.Expandir a recorrência até que seja possível
inferir um padrão;
2.Determinar o padrão para k = n-1;
3.Demonstrar a fórmula resultante por indução.
Solução Geral
1.Escrever a recorrência na forma
2.Substitua c, S(1) e g(n) na fórmula geral
3.Calcule o somatório para obter a fórmula final
S(n) = cS(n − 1) + g(n)
S(n) = cn−1
S(1) +
n
i=2
cn−i
g(i)
Exemplo: Solução Geral
• Considere a seqüência T como definida a
seguir:
‣ T(1) = 2
‣ T(n) = T(n-1) + n + 1
• Encontre a solução em forma fechada para
a relação de recorrência, utilizando o
método da solução geral.

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Recorrência

  • 2. Sumário • Definições Recorrentes ‣ Seqüências, conjuntos e operações • Resolução de Relações de Recorrência
  • 3. Definições Recorrentes • Uma definição recorrente é uma definição onde o item sendo definido aparece como parte da definição. ‣ definir algo em termos de si mesmo • Exemplo: definição recorrente de fatorial
  • 4. Partes de uma Definição Recorrente • Base (ou condição básica) ‣ casos elementares definidos explicitamente • Recorrência (ou passo indutivo) ‣ demais casos definidos em função dos casos elementares
  • 5. • Recorrência é uma conceito importante que pode ser usado para definir: ‣ seqüências ‣ conjuntos ‣ operações ‣ algoritmos
  • 6. Seqüências • Uma seqüência é uma lista ordenada de elementos • Exemplo: ‣ S = 2, 4, 8, 16, 32, ... ‣ S(1) = 2, S(4) = 16
  • 7. Seqüências Definidas por Recorrência • Uma seqüência é definida por recorrência nomeando-se, explicitamente, o primeiro elemento na seqüência e depois definindo- se os demais elementos em termos dos anteriores • Exemplo (S = 2, 4, 8, 16, 32, ...) ‣ S(1) = 2 ‣ S(n) = 2 * S(n-1), para n ≥ 2
  • 8. Exercício • Escreve os cinco primeiros valores da seqüência T definida a seguir ‣ T(1) = 1 ‣ T(n) = T(n-1) + 3
  • 9. Seqüência de Fibonacci • É uma seqüência de números definida por recorrência como a seguir: ‣ F(1) = 1 ‣ F(2) = 1 ‣ F(n) = F(n-1) + F(n-2), para n ≥ 3 • Escreva os 8 primeiros termos da seqüência de Fibonacci.
  • 10. Conjuntos • Um conjunto é uma coleção de objetos ‣ não há nenhuma ordem imposta à coleção • Conjuntos podem ser definidos por relações de recorrência. ‣ Base: objetos elementares do conjunto ‣ Recorrência: regra para composição de novos objetos do conjunto
  • 11. Exemplo • Definição recorrente do conjunto das fórmulas proposicionais bem formuladas (FBF) ‣ Base: uma proposição é uma FBF ‣ Recorrência: se P e Q são FBFs então P ∧ Q, P ∨ Q, P → Q, P′, e P Q também são FBFs
  • 12. Operações Definidas por Recorrência • Certas operações podem ser definidas de forma recorrente • Exemplo: definição recorrente da exponenciação an ‣ a0 = 1 ‣ an = a * an-1, para n ≥ 1
  • 13. Definições Recorrentes Seqüência Pelo menos o primeiro valor é definido explicitamente; os demais valores são definidos em termos dos anteriores. Conjunto Pelo menos um elemento do conjunto é definido explicitamente; os demais elementos são construídos a partir de elementos que pertencem ao conjunto. Operação Um caso trivial (elementar) é definido explicitamente; demais casos são calculados a partir de casos menores.
  • 14. Exercícios • Escreve os cinco primeiros valores da seqüência M a seguir: ‣ M(1) = 2 ‣ M(2) = 2 ‣ M(n) = 2*M(n-1) + M(n-2) • Considerando a série de Fibonacci, prove que F(n+1) + F(n-2) = 2F(n), para n≥3
  • 15. Considere a seqüência S definida por recorrência: S(1) = 2 S(n) = 2*S(n-1) Existe uma equação na qual podemos substituir o valor de n e calcular diretamente o valor de S(n) sem ter que calcular os valores anteriores?
  • 16. Considere a seqüência S definida por recorrência: S(1) = 2 S(n) = 2*S(n-1) Existe uma equação na qual podemos substituir o valor de n e calcular diretamente o valor de S(n) sem ter que calcular os valores anteriores? S(n) = 2n
  • 17. Resolvendo Relações de Recorrência • Resolver uma relação de recorrência significa encontrar para ela uma solução em forma fechada. • Uma solução em forma fechada para uma relação de recorrência sujeita a uma condição básica é uma equação na qual podemos substituir um valor para calcular diretamente o elemento que queremos.
  • 18. Estratégias para Resolução de Recorrências • Método “expandir, conjecturar e verificar” • Solução geral ‣ no caso de uma relação de recorrência linear de primeira ordem.
  • 19. “Expandir, conjecturar e verificar” • Consiste em usar repetidamente a relação de recorrência para expandir a expressão do n-ésimo termo até que seja possível perceber uma equação para a solução em forma fechada. • É preciso verificar a equação encontrada ‣ em geral, a verificação pode ser feita por indução
  • 20. Exemplo • Considere a condição básica e a relação de recorrência para a seqüência S a seguir: ‣ S(1) = 2 ‣ S(n) = 2 * S(n-1) • Encontre a solução em forma fechada para a relação de recorrência.
  • 21. Passo 1: Expandir S(n) = 2 * S(n-1)
  • 22. Passo 1: Expandir S(n) = 2 * S(n-1) = 2 * 2 * S(n-2)
  • 23. Passo 1: Expandir S(n) = 2 * S(n-1) = 2 * 2 * S(n-2) = 2 * 2 * 2 * S(n-3)
  • 24. Passo 1: Expandir S(n) = 2 * S(n-1) = 2 * 2 * S(n-2) = 2 * 2 * 2 * S(n-3) = 2 * 2 * 2 * 2 * S(n-4)
  • 25. Passo 2: Conjecturar S(n) = 2 * S(n-1) = 2 * 2 * S(n-2) = 2 * 2 * 2 * S(n-3) = 2 * 2 * 2 * 2 * S(n-4) Após k, expansões
  • 26. Passo 2: Conjecturar S(n) = 2 * S(n-1) = 2 * 2 * S(n-2) = 2 * 2 * 2 * S(n-3) = 2 * 2 * 2 * 2 * S(n-4) ... = 2k * S(n-k) Após k, expansões
  • 27. S(n) = 2k * S(n-k) Podemos continuar com a expansão indefinidamente ou existe um limite para k?
  • 28. S(n) = 2k * S(n-k) Podemos continuar com a expansão indefinidamente ou existe um limite para k? O limite é o caso base S(1), ou seja, n-k = 1 ⇓ k = n-1
  • 29. S(n) = 2k * S(n-k) Podemos continuar com a expansão indefinidamente ou existe um limite para k? O limite é o caso base S(1), ou seja, n-k = 1 ⇓ k = n-1 ⇓ S(n) = 2n-1 * S[n-(n-1)] = 2n-1 * S[1] = 2n-1 * 2 = 2n
  • 30. Passo 3: Verificar • Por raciocínio indutivo, inferimos que a solução em forma fechada é S(n) = 2n. • Ainda é preciso demonstrar que, de fato, S(n) = 2n, para todo n ≥ 1. ‣ podemos fazer isso por indução em n.
  • 31. Estratégias para Resolução de Recorrências • Método “expandir, conjecturar e verificar” • Solução geral ‣ no caso de uma relação de recorrência linear de primeira ordem.
  • 32. Recorrência Linear • Uma relação de recorrência para uma seqüência S(n) é denominada linear se os valores anteriores de S aparecem na relação apenas na primeira potência. • Forma geral: ‣ S(n) = f1(n)S(n-1)+f2(n)S(n-2)+...+fk(n)S(n-k)+g(n)
  • 33. Recorrência de Primeira Ordem • Uma relação de recorrência para uma seqüência S(n) é de primeira ordem se o cálculo do termo n depende apenas do termo n-1. • Forma geral: ‣ S(n) = f1(n) S(n-1) + g(n)
  • 34. Solução Geral • Utilizando o método “expandir, conjecturar e verificar”, podemos encontrar uma solução em forma fechada geral para relações de recorrência lineares de primeira ordem com coeficientes constantes. • Solução geral para ‣ S(n) = cS(n − 1) + g(n) S(n) = cn−1 S(1) + n i=2 cn−i g(i)
  • 35. Exemplo S(n) = cS(n − 1) + g(n) ⇓ S(n) = 2S(n − 1) c = 2 e g(n) = 0 S(n) = 2n−1 S(1) + n i=2 2n−1 0 = 2n−1 2 + n i=2 0 = 2n−1 2 + 0 = 2n S(n) = cn−1 S(1) + n i=2 cn−i g(i) i
  • 36. Métodos para resolver relações de recorrência Método Passos “Expandir, conjecturar e verificar” 1.Expandir a recorrência até que seja possível inferir um padrão; 2.Determinar o padrão para k = n-1; 3.Demonstrar a fórmula resultante por indução. Solução Geral 1.Escrever a recorrência na forma 2.Substitua c, S(1) e g(n) na fórmula geral 3.Calcule o somatório para obter a fórmula final S(n) = cS(n − 1) + g(n) S(n) = cn−1 S(1) + n i=2 cn−i g(i)
  • 37. Exemplo: Solução Geral • Considere a seqüência T como definida a seguir: ‣ T(1) = 2 ‣ T(n) = T(n-1) + n + 1 • Encontre a solução em forma fechada para a relação de recorrência, utilizando o método da solução geral.