Polinômios
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1
10
Definição
Soma de monômios
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Números Complexos
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  n
nnn
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10
Variável
Pode assumir valores
Complexos
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Polinômios
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Polinômios
São Polinômios
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 1P Fornece o valor da soma dos
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independente de x.
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Qual o valor do
termo independente
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Termo independente de x
Polin...
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Polinômios
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  442 2
 iiP
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    4142 iP
  0P
 é raiz do polinômio
P(x).
  42
 xxP
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  0...000 21
  nnn
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Não se define grau para
um polinômio nulo
Polinômio Nulo
Polinômios
  n
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...2
2
1
10
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  nPgr 
Grau de um Polinômio
Polinômios
  1536 234
 xxxxxP
  124  xxP
  12xP
  4Pgr
  1Pgr
  0Pgr
Grau de um Polinômio
Polinômios
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6
23
yx
x7
  5Pgr
Observação:
Monômio de grau 3: (2 + 1)
Monômio de grau 5: (3 + 2)
Monômio de grau 1
  xyxyxxP 7...
 xA
   xBxA 
Idênticos
 xB
   , BA  C
Identidade polinomial
Polinômios
      115204 323452
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    1752512 2345
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11 qnm
Polin...
Operações com
Monômios e Polinômios
Adição de Monômios
Devemos efetuar a soma ou subtração dos
coeficientes numéricos entre os monômios
semelhantes.
Ex:
= 12x...
Multiplicação de Monômios
O produto de monômios é obtido da seguinte forma:
• em seguida, multiplicam-se as partes literai...
Lembrando...
Um produto de potências de mesma base pode
ser escrito na forma de uma única potência:
conservamos a base e a...
Divisão de Monômios
A divisão de monômios é obtida da seguinte
forma:
• primeiro, dividem-se os coeficientes
numéricos;
• ...
Lembrando...
Um quociente de potências de mesma base
pode ser escrito na forma de uma única
potência: conservamos a base e...
Adição de Polinômios
Efetue a soma algébrica dos monômios semelhantes.
Ex:
(4x2 – 7x + 2) + (3x2 + 2x + 3) – (2x2 – x + 6)...
Multiplicação de Monômio
por Polinômio
A multiplicação de um monômio por um polinômio
é feita multiplicando-se o monômio p...
A multiplicação de um polinômio por outro
polinômio é feita multiplicando-se cada termo
de um deles pelos termos do outro ...
Divisão de Polinômio por
Monômio
Efetuamos a divisão de um polinômio por um
monômio fazendo a divisão de cada termo do
pol...
Valor Numérico de uma
Após obtida a expressão algébrica, basta substituir
cada incógnita pelo valor estabelecido pelo exer...
Propriedades:
2) Se b for raiz de P(x) = 0 , então P(x) é divisível por
x - b .
3) Se o número complexo a + bi for raiz de...
4) Se a equação P(x) = 0 possuir k raízes iguais a m
então dizemos que m é uma raiz de grau de
multiplicidade k .
Exemplo:...
Lembre que quando:
a.x³ + bx² + cx + d = 0
5) Se a =  1  não há raízes fracionárias.
6) Se d = 0  x1 = 0 (Lembre a quan...
Há duas raízes nulas
7) Se a + b + c + d = 0  x1 = 1 é raiz.
Polinômios
Lembre que quando:
a.x³ + bx² + cx + d = 0
5) Se ...
Relações de Girard
02
 cbxax
a
b
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a
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Polinômios
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     
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c
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a
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Relações de Girard
Polinômios
Teorema do resto (divisor de 1º grau - d = ax + b)
P(x) ax + b
Q(x)
R
P(x) = (ax + b) · Q(x) + R
Raiz do divisor
a
b
x 1...
P(x) ax + b
Q(x)
R
0R
R
a
b
P 






Condição necessária para que
P(x) seja divisível por ax + b.
0





...
(UDESC 2006-1) O resto da divisão do polinômio
pelo binômio
Teorema do resto
  111122 23
 xxxxP
  111122 23
 x...
P(x) ax + b
Q(x)
R
Grau n
Grau 1
Grau n – 1
Resto
...
...
Coeficientes de P(x)
Raiz do
divisor
a
b

Coeficientes do
polin...
  5673 23
 xxxxP   2 xxD
2 3 – 7 6 5
21 x
3
Polinômios
Dispositivo Briot-Ruffini
2 3
3
 + =
–1
– 7 6 5
Polinômios
  5673 23
 xxxxP   2 xxD
21 x
Dispositivo Briot-Ruffini
2 3
3
 + =
–1 4
– 7 6 5
Polinômios
  5673 23
 xxxxP   2 xxD
21 x
Dispositivo Briot-Ruffini
2 3
3
 + =
–1 4 13
– 7 6 5
Polinômios
  5673 23
 xxxxP   2 xxD
21 x
Dispositivo Briot-Ruffini
2 3
3 –1 4 13 Resto
Coeficientes do
polinômio a · Q(x)
– 7 6 5
Polinômios
  5673 23
 xxxxP   2 xxD
21 x
Dispos...
2 3 – 7 6 5
3 –1 4 13 Resto
Coeficientes do
polinômio a · Q(x)
Grau do polinômio Q(x) é uma unidade
menor que o grau do po...
(UDESC) Sobre todas as raízes da equação
afirma-se que essa equação possui:04423
 xxx
    01412
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04423
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Teorema das raízes complexas
010144 234
 xxxx 11 x
–1 1 –4 –1 14
1 –5 4 0 Resto
Grau n – 2
01062
 xx
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01062
 xx
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4036 
4
a
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2
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2
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2
26 i
x


ix  3
ix  33
ix  34
Polinômios
Teorema d...
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Polinômios/ teoria e questões concurso

  1. 1. Polinômios   n nnn axaxaxaxP   ...2 2 1 10 Definição Soma de monômios naaaa ,...,,, 210 Números Complexos Coeficientes ...,2,1,  nnn Expoentes Números Naturais
  2. 2.   n nnn axaxaxaxP   ...2 2 1 10 Variável Pode assumir valores Complexos na Termo independente de x x Polinômios Definição Soma de monômios
  3. 3.   78 510 xxxP    5 2 3 53 78  x xxxP   2 2 3 54 23  x ixxxP Polinômios São Polinômios
  4. 4.   254 23  xxxxP Valor Numérico   ?2 P         2225242 23 P       2245842 P   2220322 P   562 P Polinômios
  5. 5.  1P Fornece o valor da soma dos coeficientes do polinômio P(x).  0P Fornece o valor do termo independente de x. Polinômios Valor Numérico
  6. 6.   234 16164 xxxxP  16164 Soma 36Soma    22 42 xxxP  Qual a soma dos coeficientes do polinômio P(x). Polinômios Valor Numérico
  7. 7.       22 14121 P    2 421 P     3661 2 P Soma dos coeficientes    22 42 xxxP  Polinômios Valor Numérico Qual a soma dos coeficientes do polinômio P(x).
  8. 8.    3 52  xxP 125   125150608 23  xxxxP Qual o valor do termo independente de x. Termo independente de x Polinômios Valor Numérico
  9. 9.     3 5020 P    3 500 P    3 50 P   1250 P Termo independente de x Polinômios Valor Numérico    3 52  xxP Qual o valor do termo independente de x.
  10. 10.   0P   654  xxxP       62522 4 P   610162 P   02 P Raiz de um polinômio  é raiz do polinômio P(x). 2 é raiz do polinômio P(x) Polinômios
  11. 11.     422 2  iiP   442 2  iiP   02 iP     4142 iP   0P  é raiz do polinômio P(x).   42  xxP 2i é raiz do polinômio P(x) Raiz de um polinômio Polinômios
  12. 12.   0...000 21   nnn xxxxP Não se define grau para um polinômio nulo Polinômio Nulo Polinômios
  13. 13.   n nnn axaxaxaxP   ...2 2 1 10 00 a   nPgr  Grau de um Polinômio Polinômios
  14. 14.   1536 234  xxxxxP   124  xxP   12xP   4Pgr   1Pgr   0Pgr Grau de um Polinômio Polinômios
  15. 15. yx2 6 23 yx x7   5Pgr Observação: Monômio de grau 3: (2 + 1) Monômio de grau 5: (3 + 2) Monômio de grau 1   xyxyxxP 76 232  Grau de um Polinômio Polinômios
  16. 16.  xA    xBxA  Idênticos  xB    , BA  C Identidade polinomial Polinômios
  17. 17.       115204 323452  xnxxxxmxP     1752512 2345  xxxxqxxB 1) Se e      11524 32352  xnxxxmxP qenm,     1752512 2345  xxxxqxxB são polinômios idênticos, então a soma dos valores positivos de é: Polinômios
  18. 18.         05 71 124 3 2 q n m 1242 m 162 m 4m 4m 713 n 83 n 2n 05 q 5q 524  qnm 11 qnm Polinômios
  19. 19. Operações com Monômios e Polinômios
  20. 20. Adição de Monômios Devemos efetuar a soma ou subtração dos coeficientes numéricos entre os monômios semelhantes. Ex: = 12x2 – 2ay3 5x2 – 3ay3 + 7x2 + ay3 5x2 + 7x2 – 3ay3 + ay3 Monômios semelhantes Monômios semelhantes
  21. 21. Multiplicação de Monômios O produto de monômios é obtido da seguinte forma: • em seguida, multiplicam-se as partes literais. Ex: (4ax2) . (–13a3x5) = (4) . (–13) . (a1 . a3) . (x2 . x5) = – 52a4x7 • primeiro, multiplicam-se os coeficientes numéricos;
  22. 22. Lembrando... Um produto de potências de mesma base pode ser escrito na forma de uma única potência: conservamos a base e adicionamos os expoentes. am.an = am+n Ex: x4.x9 = x4+9 = x13
  23. 23. Divisão de Monômios A divisão de monômios é obtida da seguinte forma: • primeiro, dividem-se os coeficientes numéricos; • em seguida, dividem-se as partes literais.
  24. 24. Lembrando... Um quociente de potências de mesma base pode ser escrito na forma de uma única potência: conservamos a base e subtraímos os expoentes. am:an = am–n Ex: x12 : x8 = x12–8 = x4 *com a ≠ 0
  25. 25. Adição de Polinômios Efetue a soma algébrica dos monômios semelhantes. Ex: (4x2 – 7x + 2) + (3x2 + 2x + 3) – (2x2 – x + 6) = = 4x2 – 7x + 2 + 3x2 + 2x + 3 – 2x2 + x – 6 =  eliminando os parênteses = 4x2 + 3x2 – 2x2 – 7x + 2x + x + 2 + 3 – 6 =  agrupando os termos semelhantes = 5x2 – 4x – 1  forma reduzida * Não esqueça da regra de sinais!
  26. 26. Multiplicação de Monômio por Polinômio A multiplicação de um monômio por um polinômio é feita multiplicando-se o monômio por cada termo do polinômio. = 8x5y3 – 20x3y7 Ex: 4x2y3 . (2x3 – 5xy4) = = 4x2y3 . 2x3 + 4x2y3 . (– 5xy4 ) * Não esqueça da regra de sinais!
  27. 27. A multiplicação de um polinômio por outro polinômio é feita multiplicando-se cada termo de um deles pelos termos do outro e, sempre que possível, reduzindo os termos semelhantes. Ex: (a + b) . (c + d) = ac + ad + bc + bd Multiplicação de Monômio por Polinômio
  28. 28. Divisão de Polinômio por Monômio Efetuamos a divisão de um polinômio por um monômio fazendo a divisão de cada termo do polinômio pelo monômio. Ex: (18x3 – 12x2 + 3x) : (3x) = = (18x3 : 3x) – (12x2 : 3x) + (3x : 3x) = 6x2 – 4x + 1
  29. 29. Valor Numérico de uma Após obtida a expressão algébrica, basta substituir cada incógnita pelo valor estabelecido pelo exercício. Ex: 3x2 – 2x + 7y + 3x – 17y 3x2 + x – 10y Determine o valor numérico da expressão abaixo para x = 2 e y = 3 1º reduzimos os termos semelhantes Expressão Algébrica 2º substituímos os valores de x = 2 e y = 3 3.22 + 2 – 10.3 3.4 + 2 – 30 12 + 2 – 30 = - 16
  30. 30. Propriedades: 2) Se b for raiz de P(x) = 0 , então P(x) é divisível por x - b . 3) Se o número complexo a + bi for raiz de P(x) = 0 , então o conjugado a - bi também será raiz . 1) Toda equação algébrica de grau n possui exatamente n raízes . 2x4 +x³ + 6x² + 2x – 1 = 0 Grau da equação ( Representa o número de raízes) Polinômios
  31. 31. 4) Se a equação P(x) = 0 possuir k raízes iguais a m então dizemos que m é uma raiz de grau de multiplicidade k . Exemplo: x2 - 8x + 16 = 0, possui duas raízes reais iguais a 4, (x1 = x2 = 4). Dizemos então que 4 é uma raiz dupla ou de ordem de multiplicidade dois. Propriedades: Polinômios
  32. 32. Lembre que quando: a.x³ + bx² + cx + d = 0 5) Se a =  1  não há raízes fracionárias. 6) Se d = 0  x1 = 0 (Lembre a quantidade de raízes nulas é determinada, pelo menor expoente da incógnita.) Ex: 2x7+3x4 + 2x² = 0 Polinômios
  33. 33. Há duas raízes nulas 7) Se a + b + c + d = 0  x1 = 1 é raiz. Polinômios Lembre que quando: a.x³ + bx² + cx + d = 0 5) Se a =  1  não há raízes fracionárias. 6) Se d = 0  x1 = 0 (Lembre a quantidade de raízes nulas é determinada, pelo menor expoente da incógnita.) Ex: 2x7+3x4 + 2x² = 0
  34. 34. Relações de Girard 02  cbxax a b xx  21 a c xx  21 Polinômios
  35. 35. 023  dcxbxax a b xxx  321       a c xxxxxx  323121 a d xxx  321 Relações de Girard Polinômios
  36. 36. Teorema do resto (divisor de 1º grau - d = ax + b) P(x) ax + b Q(x) R P(x) = (ax + b) · Q(x) + R Raiz do divisor a b x 1   RxQ a b P        0 R a b P        Polinômios
  37. 37. P(x) ax + b Q(x) R 0R R a b P        Condição necessária para que P(x) seja divisível por ax + b. 0       a b P Teorema de D’alembert Polinômios
  38. 38. (UDESC 2006-1) O resto da divisão do polinômio pelo binômio Teorema do resto   111122 23  xxxxP   111122 23  xxxxP   5 xxD é:         1511512525 23 P   1511251212525 P   1553002505 P   3013055 P   45 P   RP 5 Polinômios
  39. 39. P(x) ax + b Q(x) R Grau n Grau 1 Grau n – 1 Resto ... ... Coeficientes de P(x) Raiz do divisor a b  Coeficientes do polinômio a · Q(x) Resto Dispositivo Briot-Ruffini Polinômios
  40. 40.   5673 23  xxxxP   2 xxD 2 3 – 7 6 5 21 x 3 Polinômios Dispositivo Briot-Ruffini
  41. 41. 2 3 3  + = –1 – 7 6 5 Polinômios   5673 23  xxxxP   2 xxD 21 x Dispositivo Briot-Ruffini
  42. 42. 2 3 3  + = –1 4 – 7 6 5 Polinômios   5673 23  xxxxP   2 xxD 21 x Dispositivo Briot-Ruffini
  43. 43. 2 3 3  + = –1 4 13 – 7 6 5 Polinômios   5673 23  xxxxP   2 xxD 21 x Dispositivo Briot-Ruffini
  44. 44. 2 3 3 –1 4 13 Resto Coeficientes do polinômio a · Q(x) – 7 6 5 Polinômios   5673 23  xxxxP   2 xxD 21 x Dispositivo Briot-Ruffini
  45. 45. 2 3 – 7 6 5 3 –1 4 13 Resto Coeficientes do polinômio a · Q(x) Grau do polinômio Q(x) é uma unidade menor que o grau do polinômio P(x)  xQaquociente      431 2  xxxQ   43 2  xxxQ 13 Rresto Polinômios   5673 23  xxxxP   2 xxD 21 x Dispositivo Briot-Ruffini
  46. 46. (UDESC) Sobre todas as raízes da equação afirma-se que essa equação possui:04423  xxx     01412  xxx 04423  xxx     0142  xx 042 x 01x 42 x 4x ix 2 1x  iiS 2,2,1  uma raiz real e duas complexas. Polinômios
  47. 47. Teorema das raízes complexas 010144 234  xxxx 11 x –1 1 –4 –1 14 1 –5 4 0 Resto Grau n – 2 01062  xx 10 12 x 10–1 1 –6 10 0 Resto Polinômios
  48. 48. 01062  xx acb 42  4036  4 a b x 2   2 46  x 2 26 i x   ix  3 ix  33 ix  34 Polinômios Teorema das raízes complexas 010144 234  xxxx 11 x 12 x

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