Equações Diferenciais Lineares

Equa¸cões Diferenciais Ordinárias.
Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡
rodrigo.uff.math@gmail.com
‡

Sumário
1 Equa¸cões diferenciais ordinárias 3
1.1 Equa¸cões diferenciais lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1 Caso de matriz diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.2 Solu¸cões e conjuga¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Teoria geral de sistemas lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.1 Exponencial de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.2 Autovalores com autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3 Solu¸cão de sistemas lineares usando forma canônica de Jordan . . . . 27
1.4 Teorema de Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.5 Solu¸cões máximas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.6 Classifica¸cão de sistemas planares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.6.1 Classifica¸cão por conjuga¸cão topológica . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.7 EDO e sistemas dinâmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.8 Dependência das solu¸cões em rela¸cão as condi¸cões iniciais e parâmetros 39
1.8.1 Diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.9 Elementos da teoria qualitativa das equa¸cões diferenciais . . . . . . . . 45
1.9.1 Campos vetoriais e fluxos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.9.2 Retrato de fase de um campo vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2

Cap´ıtulo 1
Equa¸cões diferenciais ordinárias
Defini¸cão 1 (Equa¸cão diferencial ordinária em Rn
). Sejam f : U → Rn
, U
aberto de R × Rn
, (t, x) ∈ U onde t ∈ R, x ∈ Rn
, x : I → Rn
onde I é um intervalo
aberto de R, x = x(t) sendo também chamada de caminho. Uma equa¸cão da forma
x (t) = f(t, x)
é uma equa¸cão diferencial ordinária em Rn
, definida por f, no caso queremos
encontrar x que satisfa¸ca a equa¸cão acima. t em f(t, x) é dita ser a variável
temporal. Tal equa¸cão x = f(t, x) é dita ser equa¸cão vetorial, no caso de fun¸cões
reais dizemos que a equa¸cão é escalar.
Podemos denotar x(t) = (xk(t))n
1 e f(t, x) = (fk(t, x))n
1 onde cada xk : I → R,
fk(t, x) : U → R são as fun¸cões coordenadas. A derivada x (t) consiste em derivar
coordenada-a-coordenada
x (t) = (xk(t))n
1
equiparando com o lado direito, temos o sistema
3

CAPÍTULO 1. EQUA ¸C ÕES DIFERENCIAIS ORDIN ÁRIAS 4



x1(t) = f1(t, x1(t), · · · , xn(t))
x2(t) = f2(t, x1(t), · · · , xn(t))
...
xn(t) = fn(t, x1(t), · · · , xn(t))
Então a equa¸cão diferencial vetorial x = f(t, x) é equivalente a um sistema
de equa¸cões diferenciais escalares. x = f(t, x) é ainda chamada de equa¸cão de
primeira ordem por envolver apenas a derivada primeira de x. Diremos também
que x é uma velocidade.
Corolário 1. Segue da interpreta¸cão da equa¸cão diferencial por meio de sis-
tema que a existência e unicidade de solu¸cões de sistema de equa¸cões diferenciais
em R equivale a existência e unicidade de solu¸cões de equa¸cões diferenciais veto-
riais em Rn
.
Defini¸cão 2 (Solu¸cão de equa¸cão diferencial). Uma solu¸cão para equa¸cão
diferencial x (t) = f(t, x) é um caminho derivável x : I → R que satisfaz a primeira
equa¸cão, x também pode ser chamado de curva integral.
Em termos de sistemas, uma solu¸cão consiste em n fun¸cões xj : I → R de-
riváveis, tais que
xj(t) = fj(t, x1(t), · · · , xn(t)).
Defini¸cão 3 (Condi¸cão inicial). Dada um solu¸cão de uma equa¸cão diferencial
x = f(t, x) dizemos que x(t0) = x0 é uma condi¸cão inicial, um problema de valor
inicial é achar x : I → Rn
com x = f(t, x) e x(t0) = x0.

Uma condi¸cão inicial para o sistema é dada por
x1(t0) = x1, x2(t0) = x2, · · · , xn(t0) = xn.
Defini¸cão 4 (Equa¸cão diferencial autônoma e campo de vetores). É uma
equa¸cão do tipo x = f(t, x) onde f(t, x) = f(x), a fun¸cão não depende de t.
Nesse caso interpretamos f : E → Rn
como um campo de vetores, E ⊂ Rn
.
Defini¸cão 5 (Equa¸cão diferencial não-autônoma). É uma equa¸cão do tipo
x = f(t, x) onde f(t, x) depende de t.
Defini¸cão 6 (Equa¸cão diferenciais normais). São equa¸cões do tipo x = f(t, x)
onde é poss´ıvel explicitar x em fun¸cão de (t, x).
Defini¸cão 7 (Equa¸cão diferencial de ordem m). Uma equa¸cão diferencial de
ordem ordem m em Rn
, é uma equa¸cão do tipo
y(m)
= g(t, y, y(1)
, · · · , y(m−1)
)
onde g é definida em um aberto U ⊂ R×Rn
× · · · Rn
n vezes
onde y(k)
é a k-ésima derivada
em rela¸cão à t, y : I → Rn
Propriedade 1. Toda equa¸cão de ordem m, pode ser escrita como uma
equa¸cão diferencial de ordem 1.
Demonstra¸cão.
Definimos o sistema




x1(t) = x2(t)
x2(t) = x3(t)
...
xm−1(t) = xm(t)
xm(t) = g(t, x1(t), · · · , xm(t))
com isso temos xm(t) = xm
1 (t), tomando x1(t) = y(t), fazemos o sistema de ordem
m recair em um sistema de ordem 1
x (t) = f(t, x)
x(t) = (x1(t), x2(t), · · · , xm(t))
f(t, x) = (x2(t), x3(t), · · · , xm(t), g(t, x1(t), · · · , xm(t)) )
as igualdades conseguimos derivando termo-a-termo x(t) e equiparando com f(t, x).
Propriedade 2. Um sistema não-autônomo pode ser reduzido a um sistema
autônomo.
Demonstra¸cão. Sendo uma equa¸cão não-autônoma x = f(t, x), f : U → Rn
,
definimos y = (t, x) ∈ U ⊂ R × Rn
, definimos g : U → Rn+1
com
g(y) = g(t, x) = (1, f(t, x))
e a equa¸cão y = g(y) que resulta em (1, x ) = (1, f(t, x)).
Com isso temos que a existência e unicidade de solu¸cões de equa¸cões diferenciais
vetoriais dependentes da variável temporal é equivalente à existência e unicidade de
solu¸cões de equa¸cões diferenciais vetoriais sem dependência na variável temporal t.
Como os casos citados recaem sobre o estudo da equa¸cão autônoma x(t) = f(x),
vamos dar ênfase ao estudo desse tipo de equa¸cão.
1.1 Equa¸cões diferenciais lineares

Defini¸cão 8 (Campos lineares). Campos lineares são fun¸cões do tipo
f(x) = Ax
onde A = (ak,j)n×n e x é o vetor coluna n × 1.
Defini¸cão 9 (Equa¸cão diferencial linear). Uma equa¸cão diferencial linear é
uma equa¸cão do tipo x = A(x)
x (t) = Ax(t),
que pode ser vista como









x1(t)
x2(t)
...
xn(t)









=





a1,1 a1,2 · · · a1,n
... · · · · · ·
...
an,1 an,2 · · · an,n














x1(t)
x2(t)
...
xn(t)









efetuando a multiplica¸cão temos o sistema



x1(t) = a1,1x1(t) + a1,2x2(t) + · · · + a1,nxn(t)
x2(t) = a2,1x1(t) + a2,2x2(t) + · · · + a2,nxn(t)
...
xn(t) = an,1x1(t) + an,2x2(t) + · · · + an,nxn(t)
Nesta se¸cão iremos em geral considerar matrizes com entradas reais.
Teorema 1. Se A = (ak,j)n×n é uma matriz real, então para cada x0 ∈ Rn
existe uma única solu¸cão do problema de valor inicial
x (t) = Ax, x(0) = x0.
Demonstra¸cão.

Propriedade 3. O conjunto de todas solu¸cões de x = A(x) é um espa¸co
vetorial, subespa¸co de F(R, Rn
).
Demonstra¸cão.
• x(t) = 0v é solu¸cão da equa¸cão pois x (t) = 0v, A(0v) = 0v, logo temos a
equa¸cão diferencial satisfeita.
• Se s1(t) e s2(t) são solu¸cões de x = A(x) então s1(t) + cs2(t) é solu¸cão onde
c ∈ R qualquer. Temos s1(t) = As1(t), s2(t) = As2(t), c ∈ R então cs2(t) =
cAs2(t) = Acs2(t) portanto cs2(t) é solu¸cão, juntando tais fatos temos
A(s1(t) + cs2(t)) = As1(t) + cAs2(t) = s1(t) + s2(t)
logo s1(t) + cs2(t) é solu¸cão, como quer´ıamos demonstrar.
Corolário 2. Por unicidade de solu¸cão se x(t ) = 0 para algum t ∈ R então
x(t) = 0 ∀ t ∈ R por unicidade de solu¸cão.
1.1.1 Caso de matriz diagonal
Propriedade 4. Se A é uma matriz diagonal, A = d(λ1, · · · λn) então a
solu¸cão de
x (t) = Ax(t)
é da forma
x(t) = (x1eλ1t
, x2eλ2t
, · · · , xneλnt
)
onde x(0) = (t1, t2, · · · , tn) em outra nota¸cão
x(t) = d(eλ1t
, eλ2t
, · · · , eλnt
)x0.
Demonstra¸cão. Pelo produto das matrizes Ax = x (t) temos







x1(t)
x2(t)
...
xn(t)







=




λ1 0 · · · 0
... · · · · · ·
...
0 0 · · · λn











x1(t)
x2(t)
...
xn(t)








efetuando a multiplica¸cão temos o sistema



x1(t) = λ1x1(t)
x2(t) = λ2x2(t)
...
xn(t) = λnxn(t)
cada uma das equa¸cões diferenciais pode ser resolvida, resultando em xk(t) =
ckeλkt
, usando xk(0) = tk, temos ck = tk então a solu¸cão é da forma como quer´ıamos
x(t) = (t1eλ1t
, t2eλ2t
, · · · , tneλnt
).
1.1.2 Solu¸cões e conjuga¸cão
Propriedade 5. Se Q conjuga as matrizes reais A e B de Mn×n, isto é,
A = QBQ−1
, então são equivalentes
1. y(t) é uma solu¸cão de y = By
2. x(t) = Qy(t) é uma solu¸cão de x = Ax.
Demonstra¸cão.
1. 1) ⇒ 2). Vamos mostrar que se y(t) é uma solu¸cão de y = By então x(t) =
Qy(t) é uma solu¸cão de x = Ax. Derivamos x(t) = Qy(t)







x1(t)
x2(t)
...
xn(t)







=




c1,1 c1,2 · · · c1,n
... · · · · · ·
...
cn,1 cn,2 · · · cn,n











y1(t)
y2(t)
...
yn(t)







=
=







c1,1y1(t) + · · · c1,ny1(t)
c2,1y2(t) + · · · c2,ny2(t)
...
cn,1yn(t) + · · · cn,nyn(t)








derivando temos







c1,1y1(t) + · · · c1,ny1(t)
c2,1y2(t) + · · · c2,ny2(t)
...
cn,1yn(t) + · · · cn,nyn(t)







=




c1,1 c1,2 · · · c1,n
... · · · · · ·
...
cn,1 cn,2 · · · cn,n











y1(t)
y2(t)
...
yn(t)







= Qy (t)
lembrando que AQ = QB e y (t) = By(t) temos
x (t) = Qy (t) = QBy(t) = AQy(t) = Ax(t)
como quer´ıamos demonstrar.
2. 2) ⇒ 1). Vamos provar que se x(t) = Qy(t) é uma solu¸cão de x (t) = Ax(t)
então y(t) é uma solu¸cão de y (t) = By(t). Temos
Qy (t) = AQy(t)
como AQ = QB tem-se
Qy (t) = QBy(t) ⇒ y (t) = QBy(t)
pois Q é invert´ıvel, logo provamos a equivalência.
Propriedade 6. Seja A ∈ Mn matriz diagonalizável, isto é, A = QDQ−1
com
D diagonal.
1. Se D possui todos elementos na diagonal negativos então x(t), solu¸cão de
x (t) = Ax(t) satisfaz
lim
t→∞
x(t) = 0.
2. Se D possui todos elementos na diagonal positivos distintos, A não nulo e
y(0) não possuir coordenada nula então
lim
t→∞
|x(t)| = ∞.

3. Cada coordenada xk satisfaz equa¸cão diferencial linear de ordem n .
Demonstra¸cão.
1. Seja y(t) solu¸cão de y (t) = Dy(t), ela é da forma y(t) = (c1eλ1t
, · · · , cneλnt
),
onde
D =




λ1 · · · 0
... · · · 0
0 · · · 0



 .
A solu¸cão de x (t) = Ax(t) é x(t) = Qy(t),




a1,1 · · · a1,n
... · · ·
...
an,1 · · · an,n








c1eλ1t
...
cneλnt



 =




a1,1c1eλ1t
+ · · · + a1,ncneλnt
...
an,1c1eλ1t
+ · · · + an,ncneλnt



 =




x1(t)
...
xn(t)



 .
logo o limite em qualquer coordenada tende a zero, pois
xk(t) = ak,1c1eλ1t
+ · · · + ak,ncneλnt
onde cada parcela tende a zero pois eλkt
→ 0 quando t → ∞, se os coeficientes
são nulos não se altera o resultado.
2. Tem-se que
xk(t) = ak,1c1eλ1t
tomando λs o maior valor entre os (λk)n
1 que esteja associado a constante ak,s =
0 , colocamos em evidência
|xk(t)| = |eλst
||ak,1c1e(λ1−λs)t
+ · · · + ak,scs + · · · + ak,ncne(λn−λs)t
|
onde |ak,1c1e(λ1−λs)t
+ · · · + ak,scs + · · · + ak,ncne(λn−λs)t
| é limitada pois possuem
termos que tendem a zero e o termo ak,ncn não é nulo, por isso a expressão
também não se anula, como |eλst
| tende a infinito então |xk(t)| também, sendo
que isso vale para qualquer coordenada de x(t).
3. Temos que
xk(t) = ak,1c1eλ1t
aplicando o operador (D − λ1) · · · (D − λk) anulamos xk(t), logo ele satisfaz
equa¸cão diferencial de ordem n.

1.2 Teoria geral de sistemas lineares
1.2.1 Exponencial de matrizes
Defini¸cão 10 (Exponencial de matriz). Dada A ∈ Mn(C), definimos a sua
exponencial como a matriz n × n simbolizada por eA
, definida como
eA
=
∞
k=0
Ak
k!
que também pode ser denotada por exp(A).
Propriedade 7. Dada A ∈ Mn(C) então
∞
k=0
Ak
k!
converge no espa¸co normado
Mn(C).
Demonstra¸cão. Temos que
∞
k=0
||
Ak
k!
|| ≤
∞
k=0
||A||k
k!
= e||A||
logo a série
∞
k=0
Ak
k!
converge absolutamente e portanto converge em Mn(C).
Corolário 3. Sendo A = 0 a matriz nula, temos
e0
=
∞
k=0
0k
k!
=
00
0!
+
∞
k=1
0k
k!
0
= I
pois 00
= I a matriz identidade.

Corolário 4. Se A é a matriz diagonal A =





λ1 · · · 0
0
... 0
0 · · · λn





, temos que
eA
=
∞
k=0






λk
1
k!
· · · 0
0
... 0
0 · · ·
λk
n
k!






=









∞
k=0
λk
1
k!
· · · 0
0
... 0
0 · · ·
∞
k=0
λk
n
k!









=
=





eλ1
· · · 0
0
... 0
0 · · · eλn





.
Em especial
eI
=





e1
· · · 0
0
... 0
0 · · · e1





= eI
e novamente tiramos que e0
= I.
Corolário 5. Seja a matriz n × n
Gc(n) =









0 0 · · · 0
c 0 · · · 0
... · · · · · · 0
0 · · · c 0









tal matriz é nilpotente e vale Gc(n)n
= 0. Podemos calcular sua exponencial, sendo
que sua série trunca

eGc(n)
=
n−1
k=0
Gc(n)k
k!
calculando as potências de tal matriz e somando podemos simplificar como
eGc(n)
=














1 0 · · · 0
c 1 · · · 0
(
c2
2!
)
...
· · · · · · 0
cn−1
(n − 1)!
· · ·
c2
2!
c 1














Exemplo 1. Obter a exponencial de A =


0 b
−b 0

. Podemos provar por
indu¸cão que


0 b
−b 0


2k
= (−1)k


b2k
0
0 b2k




0 b
−b 0


2k+1
= (−1)k


0 b2k+1
−b2k+1
0


logo
eA
=
∞
k=0
A2k
(2k)!
+
∞
k=0
A2k+1
(2k + 1)!
=
=






∞
k=0
(−1)k
b2k
(2k)!
∞
k=0
(−1)k
b2k+1
(2k + 1)!
−
∞
k=0
(−1)k
b2k+1
(2k + 1)!
∞
k=0
(−1)k
b2k
(2k)!






=


cos(b) sen(b)
−sen(b) cos(b)

 .

Propriedade 8. Se A, B, Q ∈ Mn tais que AQ = QB então eA
Q = QeB
. Em
especial se A e B são conjugadas então eA
e eB
também o são.
Demonstra¸cão. De AQ = QB temos por indu¸cão que vale As
Q = QBs
∀ s ∈
N, logo
eA
Q = (lim
n
k=0
Ak
k!
)Q = lim
n
k=0
Ak
Q
k!
= lim
n
k=0
QBk
k!
= QeB
.
Corolário 6. Se Q ∈ Mn invert´ıvel com A = QBQ−1
então
eA
= eQBQ−1
= QeB
Q−1
pois
AQ = QB ⇒ eA
Q = QeB
⇒ eA
= QeB
Q−1
.
Se as matrizes são conjugadas basta calcular a exponencial de uma das matri-
zes a da outra é obtida por produto com Q e Q−1
.
Propriedade 9. Sejam A, B ∈ Mn então et(A+B)
= etA
etB
∀ t ∈ R ⇔ AB = BA.
Demonstra¸cão. ⇐).
Vale que (AB)k
= Ak
Bk
= Bk
Ak
etA
etB
= (
∞
k=0
tk
Ak
k!
)(
∞
k=0
tk
Bk
k!
) =
∞
k=0
cktk
onde
ck =
k
s=0
Ak−s
Bs
(k − s)!s!
=
k
s=0
k!
Ak−s
Bs
(k − s)!s!k!
=
k
s=0
k
s
Ak−s
Bs
k!
=
(A + B)k
k!
o binõmio de Newton pode ser aplicado pois A e B comutam, então
etA
etB
=
∞
k=0
(A + B)k
k!
tk
= et(A+B)
.
⇐).

Supondo a igualdade, derivando de ambos lados temos
(A + B)et(A+B)
= AetA
etB
+ etA
BetB
derivando novamente
(A + B)(A + B)et(A+B)
= A2
etA
etB
+ AetA
BetB
+ AetA
BetB
+ etA
B2
etB
tomando t = 0 tem-se
(A + B)(A + B) = A2
+ AB + AB + B2
= A2
+ AB + BA + B2
⇒ AB = BA
Propriedade 10. Vale que
||eA
−
p
k=0
Ak
k!
|| ≤ e||A||
−
p
k=0
||A||k
k!
≤ ||A||p+1
e||A||
,
p ∈ N e A ∈ Mn.
Demonstra¸c˜ao.
||eA
−
p
k=0
Ak
k!
|| = ||
∞
k=p+1
Ak
k!
|| ≤
∞
k=p+1
||A||k
k!
= e||A||
−
p
k=0
||A||k
k!
temos ainda que
∞
k=p+1
||A||k
k!
=
||A||p+1
(k + p + 1) · · · (k + 1)
∞
k=0
||A||k
k!
≤ ||A||p+1
e||A||
.
Corol´ario 7. Em especial no resultado anterior com p = 0 temos
||eA
− I|| ≤ e||A||
− I ≤ ||A||e||A||
,
caso p = 1
||eA
− I − A|| ≤ e||A||
− 1 − |A| ≤ ||A||2
e||A||
.

Propriedade 11. Seja x : R → Mn um caminho cont´ınuo de matrizes que
é derivável em 0 ∈ R, com X(0) = I e x(t + u) = x(t)x(u) ∀ t, u ∈ R então x é
derivável em R com x (t) = x (0)x(t).
Demonstra¸cão.
Consideramos a expressão, com t ∈ R arbitrário fixo
x(t + h) − x(t) − x (0)x(t)h
h
=
usamos que x(t + h) = x(h + t) = x(h)x(t), substituindo tem-se
=
x(h)x(t) − x(t) − x (0)x(t)h
h
=
[x(h) − I]x(t) − x (0)x(t)h
h
=
=
[x(h) − I − x (0)(h)]
h
x(t) +
x (0)hx(t)
h
−
x (0)x(t)(h)
h
=
=
[x(h) − I − x (0)(h)]
h
x(t) → 0
quando h → 0 pois x(s) é derivável em s = 0, então vale realmente x (t) = x (0)x(t).
Propriedade 12. Dada A ∈ Mn, x(t) : R → Mn com x(t) = etA
vale que
x(t + u) = x(t)x(u) ∀ t, u ∈ R.
Demonstra¸cão. Temos que
n
r=0
(tA)r
r!
n
s=0
(uA)s
s!
=
2n
k=0
ckAk
onde
ck =
k
s=0
ts
uk−s
(s)!(k − s)!(k − s)!
=
k
s=0
k
s
ts
uk−s
(k)!
=
(t + u)k
k!
onde essa expressão é dada pelo regra do produto de polinômios, então
n
r=0
(tA)r
r!
n
s=0
(uA)s
s!
=
2n
k=0
(t + u)k
k!
Ak
com n → ∞ todos expressões com somatório convergem tomando o limite temos
∞
r=0
(tA)r
r!
∞
s=0
(uA)s
s!
=
∞
k=0
(t + u)k
k!
Ak
⇒
e(t+u)A
= etA
euA
.

Corolário 8. Em especial vale que
e(t+u)A
= etA
euA
= euA
etA
as expressões comutam, pois t + u = u + t.
Propriedade 13. Sejam A ∈ Mn, x0 ∈ Rn
, X : R → Mn com X(t) = etA
,
x : R → Rn
com x(t) = X(t)x0 = etA
x0, então x e X são deriváveis e vale
d(etA
)
dt
= AetA
∈ Mn
d(etA
x0)
dt
= AetA
x0 ∈ Rn
.
Demonstra¸cão. Dados A ∈ Mn e t ∈ R temos ||tA|| = |t| ||A||, temos por
desigualdade de exponencial que
|| etA
X(t)
− I
X(0)
− tA
A(t)
|| ≤
1
|t|
||tA||2
e||tA||
= |t| ||A||2
e|t| ||A||
≤ |t|||A||2
e||A||
com |t| < 1, onde usamos desigualdade que já demonstramos para exponencial. Dessa
desigualdade tem-se que X (0) = A por defini¸cão de derivada. Como temos
X(t + u) = X(t)X(u)
tem-se que X(t) é derivável valendo
X (t) = X (0)X(t) = AX(t)
por aplica¸cão em x0 segue que x(t) = X(t)x0 é derivável em R e x (t) = Ax(t).
Corolário 9. Se A ∈ Mn e x0 ∈ Rn
então o caminho x(t) = etA
x0, t ∈ R define
a única solu¸cão de x = Ax com condi¸cão inicial x(0) = x0.

Propriedade 14. Se A, B ∈ Mn tais que AB = BA então eA+B
= eA
eB
.
Vejamos outra demonstra¸cão dessa propriedade usando unicidade de solu¸cão de
equa¸cão diferencial.
Demonstra¸cão. Como BA = AB então B(tA) = (tA)B, da´ı por resultado que
já mostramos tem-se BetA
= etA
B. Fixamos x0 ∈ Rn
, definindo
x(t) = etA
etB
x0
a regra da derivada do produto garante que
x (t) = AetA
etB
x0 + etA
BetB
x0 = AetA
etB
x0 + BetA
etB
x0 = (A + B)x(t)
além disso x(0) = x0, logo x(t) é solu¸cão de x = (A + B)x com condi¸cão inicial
x(0) = x0, porém et(A+B)
x0 é a única solu¸cão desta equa¸cão, disso segue
etA
etB
x0 = et(A+B)
x0
tomando t = 1 segue eA
eB
x0 = e(A+B)
x0, como x0 é arbitrário, os dois operadores
devem ser idênticos, por isso
eA+B
= eA
eB
.
Corolário 10.
eA
e−A
= eA−A
= e0
= I
então eA
é sempre invert´ıvel com inversa e−A
.
Exemplo 2. Mostre que se u não é autovalor de A então a equa¸cão x =
Ax + eut
b, possui uma solu¸cão da forma φ(t) = veut
. Onde b ∈ Rn
, u, t reais, logo
eut
é a exponencial real.
Substitu´ımos φ(t) = veut
na equa¸cão diferencial para encontrar v.
uveut
= Aveut
+ eut
b ⇒ (u − A)veut
= eut
b ⇒ (u − A)v = b
como u não é autovalor de A, det(uI − A) = 0 logo uI − A é invert´ıvel v =

(uI − A)−1
b, então realmente existe φ(t) = veut
solu¸cão da equa¸cão.
Propriedade 15. Seja V < Rn
, A-invariante. Então V é etA
invariante para
qualquer t ∈ R fixo .
Demonstra¸cão. Como V é A invariante e subespa¸co de Rn
, então é invariante
por
tk
Ak
k!
e soma de aplica¸cões desse operador, por isso ∀ n temos
n
k=0
(tA)k
k!
(v) ∈ V ∀ v ∈ V
como subespa¸cos vetoriais são fechados a propriedade se mantém na passagem do
limite ∞
k=0
(tA)k
k!
(v) ∈ V ∀ v ∈ V.
Propriedade 16. Sejam A ∈ Mn, S ⊂ F(R, Rn
) espa¸co de todas as solu¸cões
de x = Ax. Definimos T : S → Rn
com T(x) = x(0). Nessas condi¸cões T é linear,
sobrejetora e injetora, portanto é um isomorfismo e da´ı dimS = n.
Demonstra¸cão.
T é linear, pois sendo x1, x2 ∈ S, c ∈ R tem-se
T(cx1 + x2) = (cx1 + x2)(0) = cx1(0) + x2(0) = cT(x1) + T(x2).
T é sobrejetora pois dado x0 ∈ Rn
a equa¸cão x = Ax com x(0) = x0 possui
solu¸cão, por condi¸cão de existência, portanto existe x ∈ S tal que T(x) = x0 = x(0).
T é injetora, suponha que T(x) = T(y), x, y ∈ S então x(0) = y(0) ambas sendo
solu¸cão de z = Az, por unicidade de solu¸cão segue que x = y, pois coincidem na
condi¸cão inicial.
Disso conclu´ımos que T é isomorfismo então dimS = n.
Propriedade 17. Sejam A ∈ Mn, (vk)n
1 base de Rn
, (sk)n
1 : R → Rn
as solu¸cões
de x = Ax com sk(0) = vk, k ∈ In. Então (sk)n
1 é LI em S ⊂ F(R, Rn
) (espa¸co das

solu¸cões de x = Ax), qualquer solu¸cão de x = Ax é combina¸cão linear de (sk)n
1 .
Demonstra¸cão. Temos que a transforma¸cão T : S → Rn
com T(s) = s(0) é um
isomorfismo então ela leva base de S em base de Rn
e sua inversa T−1
: Rn
→ S leva
base de Rn
em base de S, como a imagem de (sk)n
1 é (vk)n
1 base de Rn
, então (sk)n
1 é
base de S. Por isso tal conjunto gera S, espa¸co das solu¸cões sendo também LI.
Propriedade 18. Se A é idempotente, então
eA
= I + (e − 1)A.
Demonstra¸cão. A é idempotente, isto é, A2
= A, Ak
= A para k > 0 então
eA
= I + A
∞
k=1
1
k!
= I + A(e − 1).
Exemplo 3. Dê exemplo de matrizes A e B tais que eA+B
= eA
eB
. Tomamos
matrizes que não comutam no produto.
A =


1 0
0 0

 , B =


0 0
1 0




1 0
0 0




0 0
1 0

 =


0 0
0 0




0 0
1 0




1 0
0 0

 =


0 0
1 0


portanto elas não comutam. B é nilpotente com B2
= 0, então
eB
=


1 0
1 1

 = I + B.
A é idempotente A2
= A, então

eA
= I + (e − 1)A =


e 0
0 1


A + B =


1 0
1 0


A + B é idempotente logo
eA+B
= I + (e − 1)(A + B) =


e 0
e − 1 1


porém temos
eA
eB
=


e 0
0 1




1 0
1 1

 =


e 0
1 1

 = eA+B
.
Portanto não vale eA+B
= eA
eB
, neste caso.
Exemplo 4. Calcule a exponencial da matriz


a b
0 a

 .
Escrevemos 

a b
0 a

 =


a 0
0 a

 +


0 b
0 0

 .
as duas matrizes comutam no produto, dando em qualquer ordem


0 ab
0 0



A =


0 b
0 0

 satisfaz A2
= 0 ent˜ao
eA
=


1 0
0 1

 +


0 b
0 0

 =


1 b
0 1


a outra matriz possui exponencial
e


ea
0
0 ea


usando que eA+B
= eA
eB
quando A e B comutam, temos o resultado desejado
multiplicando as matrizes, resultando em


ea
bea
0 ea

 .
Exemplo 5. Calcule a exponencial da matriz


a b
−b a

 .
Separamos a matriz como a soma


a b
−b a

 =


a 0
0 a

 +


0 b
−b 0


sendo que as parcelas comutam (primeira chamamos de A, segunda de B)


0 b
−b 0




a 0
0 a

 =


0 ab
−ab 0

 =


a 0
0 a




0 b
−b 0


ent˜ao
eA+B
= eA
.eB
=


ea
0
0 ea




cos(b) sen(b)
−sen(b) cos(b)

 =

= ea


cos(b) sen(b)
−sen(b) cos(b)

 .
1.2.2 Autovalores com autovetores
Propriedade 19. Seja v ∈ Rn
um autovetor de A ∈ Mn com autovalor λ ∈ R
então
x(t) = eλt
v, t ∈ R
é a solu¸cão de x = Ax com x(0) = v.
Demonstra¸cão.
Derivamos x(t) = eλt
v, obtemos
x (t) = λeλt
v = eλt
λv = eλt
A = A(x(t))
além disso x(0) = eλ0
v = v que satisfaz a condi¸cão inicial e a equa¸cão diferencial
então tal expressão fornece a solu¸cão por unicidade.
Propriedade 20. Se v ∈ Rn
é um autovetor de A ∈ Mn e x : R → Rn
é
solu¸cão de x = Ax tal que x(t ) ∈ {av ∈ Rn
|a ∈ R} = s(v), para algum t ∈ R
então x(t) ∈ S(v) ∀ t ∈ R.
Demonstra¸cão. Temos x(t ) = av para algum a real, x = Ax, a solu¸cão de
tal equa¸cão com condi¸cão inicial é
x(t) = eλ(t−t )
av,
pois, derivando
x (t) = λeλ(t−t )
av = eλ(t−t )
aλv = eλ(t−t )
aAv = A(eλ(t−t )
av) = Ax(t),
além disso x(t ) = av, como a solu¸cão é única tem-se x(t) = eλ(t−t )
av ∈ S(v).

Exemplo 6. Em um sistema


x1(t)
x2(t)

 =


a1,1 a1,2
a2,1 a2,2




x1(t)
x2(t)


x1(t) e x2(t) satisfazem equa¸cões diferenciais lineares de ordem 2. Por exemplo
x1 satisfaz
x1 = (a1,1 + a2,2)x1 + (a1,2a2,1 + a2,2a1,1)x1.
Propriedade 21. Suponha que A ∈ Mn possui um autovalor real λ < 0
então a equa¸cão x = Ax possui pelo menos uma solu¸cão x(t) não trivial tal que
lim
t→∞
x(t) = 0.
Demonstra¸cão.
Seja v0 autovetor associado à λ então x = Ax, A(0) = v0 possui solu¸cão da forma
x(t) = eλt
v0,
pois x(0) = v0 e derivando
x (t) = λeλt
v0 = eλt
λv0 = eλt
Av0 = A(eλt
v0) = Ax(t)
portanto é realmente solu¸cão, ainda temos que lim
t→∞
eλt
v0 = 0 por domina¸cão da
exponencial em cada coordena do vetor solu¸cão.
Propriedade 22. Todas as solu¸cões x(t) de x = Ax tendem a 0 ∈ Rn
quando
t → ∞ se A ∈ Mn é diagonal e todas suas entradas são negativas.
Demonstra¸cão.
A equa¸cão diferencial é da forma




x1(t)
...
xn(t)



 =




−λ1 · · · 0
... · · · 0
0 · · · −λn








x1(t)
...
xn(t)





então em cada coordenada temos xk(t) = −λkxk que possui solu¸cão da forma
xk(t) = e−λkt
xk(0), com cada λk > 0, portanto cada coordenada tende a zero e da´ı
x(t) → 0.
Propriedade 23. Seja A ∈ Mn. Se λ é um autovalor de A associado à v
então eλ
é um autovalor de eA
associado à v.
Demonstra¸cão. Sabemos que A(v) = λv, v = 0
eA
v = (
∞
k=0
Ak
k!
)v =
∞
k=0
Ak
v
k!
=
∞
k=0
λk
v
k!
= eλ
v
Exemplo 7. Dê um exemplo de uma matriz A tal que eA
tenha algum
autovalor real negativo.
Seja A =


0 π
−π 0

, sua exponencial é
eA
=


cos(π) sen(π)
−sen(π) cos(π)

 =


−1 0
0 −1


que possui autovalor −1, perceba que −1 = eiπ
, iπ é autovalor de A sobre C.
Propriedade 24. Seja A ∈ Mn tal que ||A − I|| < 1, então A é invert´ıvel e
∞
k=0
(I − A)k
converge absolutamente para A−1
.
Demonstra¸cão. Denotaremos b = ||A − I|| < 1
|x| = |I(x)| = |(I − A)x + A(x)| ≤ |(A − I)(x)| + |A(x)| ≤ ||A − I|||x| + |A(x)| ⇒

(1 − b)
>0
|x| < |A(x)|
1 − b > 0 pois b < 1. Portanto A(x) se anula ⇔ x = 0, A é injetora portanto
sobrejetora e bĳetora (dimensão finita).
A série converge absolutamente pois ||I − A|| < 1 a norma dos termos da série
converge por série geométrica.
[(I − A) − I]
n−1
k=0
(I − A)k
=
n−1
k=0
[(I − A)k+1
− (I − A)k
] = (I − A)n
− I,
por soma telescópica, logo
A
n−1
k=0
(I − A)k
= I − (I − A)n
⇒ A
n−1
k=0
(I − A)k
− I = −(I − A)n
⇒
||A
n−1
k=0
(I − A)k
− I|| = ||(I − A)||n
→ 0
com n grande, então
A
∞
k=0
(I − A)k
= I ⇒
∞
k=0
(I − A)k
= A−1
.
Propriedade 25. Se temos solu¸cão y de y = By com y(0) = Q−1
x0 onde
x = Ax, AQBQ−1
então temos a solu¸cão de x = Ax com x(0) = x0 dada por
Qy(t).
Demonstra¸cão. A solu¸cão de x = Ax com x(0) = x0 é x(t) = eAt
x0 como
At = QBtQ−1
então eAt
= QeBt
Q−1
de y(t) = eBt
y0 = eBt
Q−1
x0 multiplicando por Q
à esquerda, tem-se
Qy(t) = (QeBt
Q−1
)
eAt
x0 = eAt
x0.
1.3 Solu¸cão de sistemas lineares usando forma canônica
de Jordan

Propriedade 26. Sejam
B =





A1 · · · 0
... · · ·
...
0 · · · Am





onde cada Ak é um bloco, B é matriz diagonal em bloco, então temos
eB
=





eA1
· · · 0
... · · ·
...
0 · · · eAm





a exponencial de uma matriz em blocos é obtida tomando a exponencial de
cada bloco ao longo da diagonal.
Demonstra¸cão.
1.4 Teorema de Picard
Teorema 2 (Teorema de Picard). Considere o problema



X (t) = f(t, x)
x(t0) = x0
onde f é limitada, cont´ınua e Lipschitz na segunda variável em Ia × Bb[x0] onde
Ia = [t0 − a, t0 + a],
Bb[x0] = {x ∈ Rn
| |x − x0| ≤ b}.
Então existe uma única solu¸cão do problema em Iα onde α = min{a,
b
M
}, M é
tal que |f| ≤ M.
Demonstra¸cão. Sabemos que o problema é equivalente a resolver a equa¸cão
integral
x(t) = x0 +
t
t0
f(s, x(s))ds

logo podemos definir o operador L : C0(Iα, Bb) → C0(Iα, Bb)
por
L(ϕ) = x0 +
t
t0
f(s, ϕ(s))ds.
Logo nosso problema se reduz a encontrar um ponto fixo de L. Dado ϕ ∈ C0(Iα, Bb),
L(ϕ) é cont´ınua, verificaremos que L(ϕ) : Iα → Bb
|L(ϕ)(t) − x0| = |
t
t0
f(s, ϕ(s))ds| ≤ M|t − t0| ≤ Mα ≤ b.
Como C0(Iα, Bb) é completo, basta ver que para algum m, Lm
é contra¸cão.
Vamos provar que para t ∈ Iα, temos
|Ln
(ϕ1)(t) − Ln
(ϕ2)(t)| ≤
kn
|t − t0|n
n!
|ϕ1 − ϕ2|∞
lembrando que |ϕ1 − ϕ2|∞ = sup
t∈Iα
|ϕ1(t) − ϕ2(t)|. Provamos por indu¸cão, para m = 0
vale a desigualdade pois equivale à
|ϕ1(t) − ϕ2(t)| ≤ |ϕ1 − ϕ2|∞
suponha a validade para m então, vamos provar para m + 1
|Lm+1
(ϕ1)(t) −m+1
L (ϕ2)(t)| = |L(Lm
(ϕ1))(t) − L(m
L (ϕ2))(t)|
substituindo pela integral temos
|
t
t0
f(s, Lm
(ϕ1)(s))ds −
t
t0
f(s, Lm
(ϕ2)(s))ds| ≤
t
t0
|f(s, Lm
(ϕ1)(s)) − f(s, Lm
(ϕ2)(s))|ds ≤
usando a condi¸cão de Lipschitz na segunda variável
≤
t
t0
k|Lm
(ϕ1)(s) − Lm
(ϕ2)(s)|ds ≤
usamos agora a hipótese da indu¸cão
≤ k
t
t0
km |s − t0|m
m!
|ϕ1 − ϕ2|∞ds =
km+1
m!
|ϕ1 − ϕ2|∞
t−t0
0
|s|m
ds ≤

≤
km+1
(m + 1)!
|ϕ1 − ϕ2|∞|t − t0|m+1
logo fica provado por indu¸cão, além disso temos que
|Ln
(ϕ1)(t) − Ln
(ϕ2)(t)| ≤
kn
αn
n!
|ϕ1 − ϕ2|∞
pois α é o comprimento do intervalo, Lm
é contra¸cão para m suficientemente grande,
pois para m grande temos 0 <
kn
αn
n!
|ϕ1 −ϕ2|∞ < 1, portanto L possui um único ponto
fixo e o resultado está provado.
Propriedade 27. Considere o problema de valor inicial y (t) = f(t, y(t)), y(t0) =
y0,. Suponha que f é uniformemente lipschitz em y (a constante de Lipschtiz in-
dependente de t) e cont´ınua em t. Então, para algum valor de ε > 0, existe uma
única solu¸cão y(t) do problema de valor inicial no intervalo [t0 − ε, t0 + ε].
Demonstra¸cão.
Propriedade 28. Sejam Ω aberto em R × E, E ⊂ Rn
, aberto . f : Ω → E
cont´ınua com D2f cont´ınua para todo ponto (t0, x0) ∈ Ω existe uma vizinhan¸ca
V = I(t0) × B[x0] tal que x = f(t, x), x(t0) = x0 tem uma única solu¸cão em I(t0).
Além disso o gráfico desta solu¸cão está contido em V onde I(t0) é algum intervalo
centrado em t0 e B(x0) alguma bola de Rn
centrada em x0.
Demonstra¸cão. Seja U uma vizinhan¸ca de (t0, x0) tal que f|U é lipschitziana
na segunda variável e |f| ≤ M em U, pois a segunda derivada é cont´ınua em um
compacto logo a fun¸cão é lipschitz na segunda variável. Seja α > 0 suficientemente
pequeno tal que V = Iα(t0)×Bb[x0] ⊂ U, onde b = αM, com isso estamos na condi¸cão
do teorema de Picard, o que implica solu¸cão única.
Teorema 3 (Teorema de Peano). Dada f cont´ınua e |f| < M em Ia[t0] × Bb[x0].
Nessas condi¸cões existe pelo menos uma solu¸cão de
x = f(t, x), x(t0) = x0

em Iα, onde α = min{a,
b
M
} (Nota¸cões como no teorema de Picard).
Demonstra¸cão. Como f é cont´ınua em Ia × Bb, existe uma sequência (pn) de
fun¸cões de classe c∞
que converge uniformemente para f. (Basta aplicar o teorema
de aproxima¸cão de Weierstrass em cada coordenada).
Agora considere o problema
(1)
x = pn(t, x)
x(t0) = x0
para n grande |pn| ≤ M em Ia × Bb, (pn) é lipschitz, por ser C∞
em compacto.
Assim podemos aplicar o teorema de Picard, obtendo uma fam´ılia (ϕn) de solu¸cões
do problema (1), temos que tal fam´ılia é uniformemente limitada pois
|ϕn(t) − x0| ≤ b∀ t ∈ Iα
e vale a equicontinuidade pois
|ϕn(t) − ϕn(t )| = |x0 +
t
t0
pn(s, ϕn(s))ds − x0 −
t
t0
pn(s, ϕn(s))ds| =
= |
t
t
pn(s, ϕn(s))ds| ≤
t
t
|pn(s, ϕn(s))|ds ≤ M|t − t |
para n maior que algum n0 ∈ N , perceba também que essa rela¸cão não depende
de n, na condi¸cão de n > n0, portanto temos equicontinuidade. Denotaremos a
subsequência pela mesma nota¸cão (ϕn).
Como temos a sequência uniformemente limitada ( logo simplesmente limitada)
e equicont´ınua, podemos aplicar o teorema de Arzelá-Ascoli, garantindo a existência
de uma subsequência uniformemente convergente em C([a, b], Bb) para uma fun¸cão
ϕ.
Afirmamos que ϕ é uma solu¸cão do problema original. De fato , para cada n ≥ n0
temos que
ϕn(t) = x0 +
t
t0
pn(s, ϕn(s))ds
sabemos que ϕn →u ϕ, queremos mostrar que temos convergência para
ϕ(t) = x0 +
t
t0
f(s, ϕ(s))ds.

Para isso, iremos mostrar que pn(s, ϕn(s)) →u f(s, ϕ(s)).
|pn(s, ϕn(s)) − f(s, ϕ(s))| ≤ |pn(s, ϕn(s)) − f(s, ϕn(s))| + |f(s, ϕn(s)) − f(s, ϕ(s))| ≤
≤ |pn − f|∞
norma do sup
+|f(s, ϕn(s)) − f(s, ϕ(s))|
pela continuidade de f, dado ε > 0 existe δ > 0 tal que se |(s1, x1) − (s2, x2)| < δ ⇒
|f(s1, x1) − f(s2, x2)| <
ε
2
, e dado tal δ > 0, existe n1 ∈ N tal que n ≥ n1
|ϕn(s) − ϕ(s)| ≤ δ ∀ s ∈ Iα
por convergência uniforme de ϕn. Assim n ≥ n1 temos que
|f(s, ϕn(s)) − f(s, ϕ(s))| <
ε
2
por outro lado temos que existe n2 ∈ N tal que n ≥ n2 implica |pn − f|∞ <
ε
2
, logo
para n ≥ max{n1, n2} tem-se
|pn(s, ϕn(s)) − f(s, ϕ(s))| <
ε
2
+
ε
2
= ε
1.5 Solu¸cões máximas
Defini¸cão 11 (Solu¸cão máxima). Uma solu¸cão ϕ de
(1)



x = f(t, x)
x(t0) = x0
é dita máxima, definida em I , intervalo, chamado de intervalo máximo , se toda
solu¸cão de (1), θ, definida em J com I ⊂ J e θ|I = ϕ implica que J = I. ϕ é máxima
se não admite extensão que também é solu¸cão de (1).

Propriedade 29. Seja f cont´ınua em Ω ⊂ R×Rn
, tal que para todo (t0, x0) ∈
Ω exista uma única solu¸cão de x = f(t, x), x(t0) = x0. Definida em um intervalo
aberto I = I(t0, x0) (por exemplo se f é localmente lipschitz na segunda variável
), então para todo (t0, x0) ∈ Ω existe uma única solu¸cão ϕ = ϕ(t, t0, x0) de x =
f(t, x), x(t0) = x0, definida em um intervalo M(t0, x0) = (w−(t0, x0), w+(t0, x0))
tal que toda solu¸cão ψ de x = f(t, x), x(t0) = x0 em I, satisfaz I ⊂ M(t0, x0) e
ψ = ϕ|I, isto é, a equa¸cão diferencial possui uma solu¸cão máxima.
Demonstra¸cão. Tomamos M(t0, x0) = Iψ onde Iψ é o intervalo de defini¸cão
de alguma solu¸cão ψ de x = f(t, x), x(t0) = x0. Perceba que isso implica que para
qualquer solu¸cão ϕ temos ϕ(t0) = x0 logo elas sempre possuem algum ponto em
comum no dom´ınio.
Se t ∈ Iψ, definimos ϕ(t) = ψ(t), tal defini¸cão não depende da ϕ usada, pois se
existem ψ1 e ψ2 que assumem mesmo valor para o mesmo t consideramos o conjunto
B = {t ∈ Iψ1
∩ Iψ2
| ψ1(t) = ψ2(t)}
que é fechado por ser (ψ1 −ψ2)−1
(0), imagem inversa de fechado por fun¸cão cont´ınua
é fechado. B ainda é aberto, pois para todo ponto t nele contém I(t , ψ1(t )) ∩ B ,
pela existência e unicidade das solu¸cões pois dado t ∈ B por hipótese existe uma
única solu¸cão de x = f(t, x), x(t ) = ϕ1(t ) = ϕ2(t ) logo existe um intervalo aberto
I com t no centro tal que ϕ1|I = ϕ2|I e I ⊂ B. Como Iψ1
∩ Iψ2 é conexo, por ser
intervalo B é um conjunto fechado e aberto em Iψ1
∩ Iψ2
, logo vale que
B = Iψ1
∩ Iψ2
.
Portanto a fun¸cão está bem definida. A união Iψ := M é um intervalo pois os
intervalos dos quais estamos tomando a união Iψ são não disjuntos.
Sejam x, y em M com x < y, vamos mostrar que z tal que x < z < y também
pertence à M. Caso x < y < t0 temos um intervalo Iψ1
com x ∈ Iψ1
mas t0 pertence a
todos esses intervalos, logo (x, t0) ∈ Iψ1
isso implica que z entre x e y também, neste
caso. Se temos t0 < x < y então existe Iψ1
com (t0, y) ∈ Iψ2
logo z também.
O último caso é x < t0 < y, temos x ∈ Iψ e y ∈ Iψ porém t0 pertence a ambos
intervalos, logo ao primeiro está contido (x, t0] o segundo [t0, y) portanto (x, y) ⊂ M.

Disso segue que M é intervalo, por ser união de abertos é um aberto, portanto M é
um intervalo aberto.
Propriedade 30 (Solu¸cão escapa de compacto). Seja f : U ⊂ R × Rn
→ Rn
,
cont´ınua, U aberto e ϕ uma solu¸cão maximal única de x = f(t, x) definida em
(w−, w+) = M definimos g : M → U com g(t) = (t, ϕ(t)), nessas condi¸cões
g(t) → ∂U (se aproxima da borda de U) quando t → w±. Dito de outro modo,
para todo compacto K ⊂ U, existe uma vizinhan¸ca V de w± tal que ∀ t ∈ V tem-se
g(t) /∈ K. A fun¸cão escapa de compacto .
Demonstra¸cão.
Suponha que exista K ⊂ U compacto e (tn) ∈ R tal que tn → w+ e g(tn) ∈
K ∀ n, com isso temos uma sequência em um compacto, que possui subsequência
convergente, passando a subsequência convergente (mantendo a mesma nota¸cão),
temos que
g(tn) = (tn, f(tn)) → (w+, x0)
onde x0 = lim f(tn) por defini¸cão. Considere o problema
x = f(t, x), x(w+) = x0
pelo teorema de Peano, existe uma solu¸cão de tal problema em Iα[w+] × Bb[x0],
considere V = Iα
3
[w+] × Bb
3
[x0] logo para qualquer (t0, x0) ∈ V, existe uma solu¸cão
definida em Iα
2
[t0] × Bb
2
[x0] e como g(tn) → (w+, x0) então para n grande g(tn) ∈ V .
Consideremos o problema
x = f(t, x), x(tn) = ϕ(tn)
pela observa¸cão anterior existe uma solu¸cão em Iα
2
[tn] × Bb
2
[ϕ(tn)], logo ϕ é prolon-
gada até
tn +
α
2
≥ (w+ −
α
2
) +
α
2
> w+
pois tn ∈ [w+ −
α
3
, w+ +
α
3
] o que gera contradi¸cão pois (w−, w+) é intervalo maximal
de solu¸cões.

Propriedade 31. Dada f : U ⊂ R × Rn
→ Rn
, cont´ınua, U aberto , f limitada.
Se w+ < ∞ e w− > −∞ temos que lim
t→w±
g(t) existe.
Demonstra¸cão.
Propriedade 32. Se U = Rn
e |f(x)| < c ∀ x ∈ Rn
então Ix = R∀ x ∈ Rn
,
nas condi¸cões da propriedade de escapar de compacto . Isto é, as equa¸cões com
campo limitado possuem solu¸cão maximal definida em toda reta.
Demonstra¸cão. Suponha que w+(x) < ∞ para algum x ∈ R, como
|x − ϕt(x)| = |
t
0
f(ϕt(s))|ds ≤ ct ≤ c+(x)
disso resulta que para todo t ∈ [0, w+(x)] ϕt(x) está em Bcw+(x)[x]. O que contradiz a
propriedade de escapar de compacto, logo w+(x) = ∞ ∀ x ∈ Rn
do mesmo modo se
prova que w− = −∞ ∀ x ∈ Rn
.
Propriedade 33. Se ϕ é uma solu¸cão de X = f(x) definida no intervalo
máximo I e ϕ(t1) = ϕ(t2) para t1 = t2 então I = R e ϕ(t + c) = ϕ(t) ∀ t onde
c = t2 − t1, isto é, ϕ é periódica .
Demonstra¸cão.
1.6 Classifica¸cão de sistemas planares
Nesta se¸cão trabalharemos em geral com equa¸cões da forma x = Ax onde x : R →
R2
, caso contrário citaremos ao longo do texto.
Defini¸cão 12 ( Órbita). A órbita de x : R → Rn
é o conjunto
{(x1(t), x2(t), · · · , xn(t)), t ∈ R}
com t variando de −∞ até ∞, essa varia¸cão é dita orienta¸cão ou sentido do

percurso.
Corolário 11. Pela unicidade de solu¸cões por cada ponto do espa¸co Rn
passa
uma única órbita de x = Ax, A ∈ Mn.
Veremos a classifica¸cão por casos.
Caso 1)
A possui dois autovalores reais distintos, λ1 < λ2, passamos a discussão para a
matriz diagonalizada, com equa¸cão de solu¸cão
x(t) = (l1eλ1t
, l2eλ2t
).
Caso 1a)
Ambos autovalores negativos. Consideramos a condi¸cão inicial positiva em cada
coordenada. Temos que
lim
t→∞
x(t) = 0
lim
t→−∞
x(t) = ∞
pois cada coordenada apresenta tal comportamento.
Neste caso, um campo com esse comportamento é dito um atrator linear (as
solu¸cões se aproximam de zero), que a origem é um po¸co ou um nó estável.
As curvas definidas pelas solu¸cões vêm desde o infinito até a origem do plano.
Caso 1b)
Ambos autovalores positivos. Consideramos a condi¸cão inicial positiva em cada
coordenada. o retrato de fase é como no caso anterior, trocando t po −t.
lim
t→∞
x(t) = ∞
lim
t→−∞
x(t) = 0.
O campo linear com esse comportamento é um repulsor linear, que a origem é
uma fonte (as solu¸cões saem do ponto) ou nó instável .

1.6.1 Classifica¸cão por conjuga¸cão topológica
Defini¸cão 13 (Matriz hiperbólica). A ∈ Mn é hiperbólica se a parte real de
seus autovalores é não nula.
Defini¸cão 14 (Atrator). Um retrato de fase de um sistema linear x = Ax é
Atrator se os autovalores de A possuem parte real negativa.
Defini¸cão 15 (Atrator). Um retrato de fase de um sistema linear x = Ax é
Atrator se os autovalores de A possuem parte real negativa.
Defini¸cão 16 (Repulsor). Um retrato de fase de um sistema linear x = Ax
é repulsor se os autovalores de A possuem parte real positiva.
Defini¸cão 17 (Sela). Um retrato de fase de um sistema linear x = Ax, A
de ordem 2 é sela se os autovalores de A possuem, um parte real positiva e outro
negativa.
Defini¸cão 18 (Fluxo contrativo). O fluxo etA
de A é contrativo se existem
constantes positivas c e r tais que
|etA
| ≤ ce−rt
|x| ∀ t ≥ 0, x ∈ Rn
.
Propriedade 34. O fluxo de x = Ax é contrativo se todas as solu¸cões
convergem para a origem uniforme e exponencialmente.
Demonstra¸cão.

Propriedade 35. Seja A ∈ Mn um campo linear, são equivalentes
• A origem é um po¸co para A.
• A é um atrator .
• O fluxo de A é contrativo .
Para verificar que o fluxo de um campo linear em Rn
é contrativo, basta veri-
ficar se todos os autovalores do campo possuem parte real negativa.
Demonstra¸cão.
1.7 EDO e sistemas dinâmicos
Defini¸cão 19 (Difeomorfismos). F : U ⊂ Rn
→ Rn
é um difeomorfismo de U
aberto em F(U) se F é derivável e possui inversa derivável.
Um C1
difeomorfismo é um difeomorfismo F : U ⊂ Rn
→ Rn
, tais que F −1
e F
são cont´ınuas, de maneira semelhante para Cn
difeomorfismo .
Defini¸cão 20. Denotaremos o conjunto dos difeormorfismo de Rn
em Rn
por
Dif(n).
Propriedade 36. Dif(n) é um grupo com a composi¸cão de aplica¸cões.
Demonstra¸cão.
Defini¸cão 21 (Sistema dinâmico). Um sistema dinâmico agindo em Rn
é um
homomorfismo de grupos ϕ : R → Diff(n), isto é,
ϕ(t + s) = ϕ(t) ◦ ϕ(s).

A cada real associamos um difeomorfismo.
Defini¸cão 22. Nas condi¸cões da defini¸cão anterior, dizemos que
{ϕ(t)}t∈R
é um grupo a um parâmetro de difeomorfismos.
Propriedade 37. Dada A ∈ Mn, eAt
é um difeomorfismo.
Demonstra¸cão.
1.8 Dependência das solu¸cões em rela¸cão as condi¸cões
iniciais e parâmetros
Para o primeiro teorema usaremos um lema
♣ Lema 1. Seja (ϕn) equicont´ınua , pontualmente limitada, ϕn : X → R, X espa¸co
métrico compacto. Se toda subsequência de (ϕn) uniformemente convergente possuir
o mesmo limite ϕ, então ϕn →u ϕ
Demonstra¸cão. Suponha que (ϕn) não converge uniformemente para ϕ então
existem ε > 0 , (tk) em X e (ϕnk
) subsequência de (ϕn) tal que
|ϕnk
(tk) − ϕ(tk)| ≥ ε.
(ϕnk
) é equicont´ınua e pontualente limitada, o teorema de Arzelá-Ascoli implica que
(ϕnk
) possui subsequência (ϕnp ) uniformemente convergente para ϕ , mas isso é um
absurdo pois
|ϕnp (tp) − ϕ(tp)| ≥ ε.

Propriedade 38. Sejam fn : Ω → Rm
, (fn) cont´ınua em Ω aberto de R × Rm
,
fn →u f0 em cada parte compacta de Ω, (tn, xn) sequência em Ω com (tn, xn) →
(t0, x0), supondo que
x = fn(t0, x0), x(tn) = xn, n ∈ N,
possui uma única solu¸cão máxima ϕn em In = (w−(n), w+(n)), seja [a, b] ⊂ I0 =
(w−(0), w+(0)) então existe n0 = n0(a, b) tal que para n > n0, In ⊃ [a, b] e
ϕn|[a,b] →u ϕ0|[a,b].
Demonstra¸cão.
Propriedade 39 (Continuidade nas condi¸cões iniciais). Sejam f cont´ınua
em Ω aberto em R × Rn
× A ,A é um espa¸co euclidiano, para cada (t0, x0, λ) ∈ Ω
o problema com condi¸cões iniciais
x = f(t, x, λ), x(t0) = x0
λ fixo, possua uma única solu¸cão
ϕ = ϕ(t, t0, x0, λ)
definida no seu intervalo máximo (w,w+), w± = w±(t0, x0, λ), então
1.
D = {(t, t0, x0, λ) | (t0, x0, λ) ∈ Ω, t ∈ (w,w+)}
é aberto em R × Ω
2. ϕ é cont´ınua em D.
Demonstra¸cão.
♣ Lema 2 (Lema de Gronwall). Sejam u, v fun¸cões cont´ınuas não negativas em

[a, b] tais que para α ≥ 0
u(t) ≤ α +
t
a
v(s)u(s)ds, t ∈ [a, b]
então
u(t) ≤ αe
t
a v(s)ds
em especial se α = 0 então u = 0.
Demonstra¸cão. Se α > 0, seja w(t) = α +
t
a
v(s)u(s)ds, temos w(a) = α,
w(t) ≥ α > 0 pois integral de não negativas é não negativa, de
w (t) = v(t)u(t) ≤ v(t)w(t)
temos
w (t)
w(t)
≤ v(t)
aplicando
t
a
obtemos
ln(
w(t)
w(a)
α
) ≤
t
a
v(s)ds ⇒
w(t)
α
≤ e
t
a v(s)ds
⇒
u(t) ≤ w(t) ≤ αe
t
a v(s)ds
Propriedade 40. Seja K a constante de Lipschitz na segunda coordenada de
f (cont´ınua) , para t ∈ I(t0,x0) ∩ I(t0,y0) temos
|ϕ(t, t0, x0) − ϕ(t, t0, y0)| ≤ ek|t−t0|
|x0 − y0|
sendo ϕ(t, t0, x0) solu¸cão de x (t) = f(t, x), x(t0) = x0.
Demonstra¸cão. Sejam ϕ(t) = ϕ(t, t0, x0), ψ(t) = ψ(t) = ϕ(t, t0, y0), então
ϕ(t) − ψ(t) = x0 − y0 +
t
t0
[f(s, ϕ(s) − f(s, ψ(s))]ds,
de onde segue por condi¸cão de Lipschtiz e desigualdade de integral que
|ϕ(t) − ψ(t)| ≤ |x0 − y0| + |
t
t0
K|ϕ(s) − ψ(s)|ds|

se t ≥ t0 o resultado decorre do Lema de Gronwall com α = |x0 − y0|, u(t) =
|ϕ(t) − ψ(t)| e v(t) = K.
Se t ≤ t0, a propriedade resulta do Lema de Gronwall aplicado a x = −f(−t, x),
cuja solu¸cão por (−t0, x0) é ψ(t, −t0, x0) (continuar depois não entendi a outra parte)
1.8.1 Diferenciabilidade
♣ Lema 3. Seja f cont´ınua em (a, b) × K onde K é um aberto convexo de Rn
.
Se f admite derivada parcial D2f cont´ınua em (a, b) × K então existe uma fun¸cão
h(a, b) × K × K → L(Rn
) cont´ınua tal que
1. h(t, x, x) = D2f(t, x), (t, x) ∈ (a, b) × K
2. f(t, x2) − f(t, x1) = h(t, x1, x2)(x2 − x1).
L(E) denota o espa¸co de aplica¸cões lineares de E em E, isomorfo à Rn
.
Demonstra¸cão. Definimos
h(t, x1, x2) =
1
0
D2f(t, ux2 + (1 − u)x1)du
que é integrável pois D2f é cont´ınua, podemos tomar ux2+(1−u)x1 com u variando em
[0, 1] pois K, conjunto onde f toma a segunda coordenada é convexo . A continuidade
de h resulta da continuidade de D2f .Basta tomar a diferen¸ca das integrais e usar
continuidade de D2f. Existe δ1 > 0 tal que |(t − t , x1 − x1, x2 − x2)| < δ1 implica
|(t − t , ux2 + (1 − u)x1 − ux2 + (1 − u)x1)| < δ e por continuidade |D2f(t, ux2 + (1 −
u)x1) − D2f(t, ux2 + (1 − u)x1)| < ε da´ı
|h(t, x1, x2) − h(t, x1, x2)| ≤
1
0
|D2f(t, ux2 + (1 − u)x1) − D2f(t, ux2 + (1 − u)x1)|du ≤ ε
logo a fun¸cão é cont´ınua.
1.
h(t, x, x) =
1
0
D2f(t, ux + (1 − u)x)du =
1
0
D2f(t, x)du = D2f(t, x)

2. Pelo teorema fundamental do cálculo temos
f(t, x2) − f(t, x1) =
1
0
d
du
[f(t, ux2 + (1 − u)x1)]du =
(por regra da cadeias(?) segue que)
=
1
0
D2f(t, ux2 + (1 − u)x1)(x2 − x1)du
como quer´ıamos mostrar.
Teorema 4 (Dependência diferenciável com respeito as condi¸cões iniciais).
Seja f : U ⊂ R × Rn
cont´ınua no aberto U, f(t, x), t ∈ R, x ∈ Rn
, diferenciável com
rela¸cão à variável x, sendo
∂f
∂x
cont´ınua em U.
Como consequência do teorema de Picard, temos que ∀ (t0, x0) ∈ U o problema
de Cauchy x = f(t, x), x(t0) = x0 admite uma única solu¸cão maximal ϕ =
ϕ(t, t0, x0) com t tomando valores em um intervalo maximal I(t0, x0). Seja D o
aberto (ver), tal que ϕ : D → U, então existe e é cont´ınua a derivada ∂x0
ϕ(t, t0, x0),
∂x0
ϕ : D → L(Rn
). Além disso tal derivada é a solu¸cão da seguinte equa¸cão
diferencial ordinária matricial linear
Z =
∂f(t, ϕ(t, t0x0))
∂x
Z
Z(t0) = I Identidade n × n.
Demonstra¸cão.
Propriedade 41. Seja f cont´ınua em Ω aberto de R × Rn
× Rm
, com
D2f cont´ınua em Ω. Então para λ fixo, a solu¸cão ϕ = ϕ(t, t0, x0, λ) de x =
f(t, x, λ), x(t0) = x0 é única e admite derivada parcial D3ϕ com rela¸cão à x0, a
aplica¸cão µ com x(t, t0, x0, λ) = D3ϕ(t, t0, x0, λ) é cont´ınua no seu dom´ınio
D = {(t, t0, x0, λ) | (t0, x0, λ) ∈ Ω, w(t0, x0, λ) < t < w+(t0, x0, λ)}

e
x(t) = D3ϕ(t, t0, x0, λ)ek =
∂ϕ
∂xk
0
(t, t0, x0, x)
xk
0 para simbolizar k-ésima, para todo 1 ≤ k ≤ dimE sendo solu¸cão de
x = J(t)x, x(t0) = ek
onde J(t) = J(t, t0, x0, λ) =2 f(t, ϕ(t, t0, x0, λ), λ).
Demonstra¸cão.
Propriedade 42. Se além das hipóteses do teorema anterior f é diferenciável
em rela¸cão à λ e D3f é cont´ınua em Ω, então ϕ é diferenciável em rela¸cão à λ e
D4ϕ(ek) =
∂ϕ
∂λk é cont´ınua em D.
Além disso, x(t) =
∂ϕ
∂λk
(t, t0, x0, λ) é solu¸cão de x = j(t)X + b(t), x(t0) = 0
onde
b(t) = B(t)ek
B(t) = D3f(t, ϕ(t, t0, x0, λ), λ).
Demonstra¸cão.
Propriedade 43. Seja f cont´ınua em Ω aberto em R × Rn
× Rm
× Rp
, se
f(t, x, λ, µ) é diferenciável em rela¸cão à x, λ e D2f, D3f são cont´ınuas em Ω então
para λ e µ fixos,
x = f(t, x, λ, µ), x(t0) = x0
possui solu¸cão única ϕ(t, t0, x0, λ, µ) diferenciável em rela¸cão à (t, x0, λ). As de-
rivadas D1ϕ, D3ϕ, D4ϕ, D1D3ϕ, D1D4ϕ são cont´ınuas em D.
Demonstra¸cão.
Propriedade 44. Seja f(t, x, λ, µ) cont´ınua em Ω ⊂ R × Rn
× Rm
× Rp
aberto,
com derivadas parciais de ordem ≤ w relativas às coordenadas de (x, λ) cont´ınuas,

então para λ, µ fixo
x = f(t, x, λ, µ), x(t0) = x0
possui solu¸cão única ϕ = ϕ(t, t0, x0, λ, µ), ϕ definida no aberto
D = {(t, t0, x0, λµ) | (t0, x0, λ, µ) ∈ Ω e w−(t, t0, x0, λ, µ) < t < w+(t0, x0, λ, µ)}
de R × Ω na qual admite todas derivadas parciais da forma
∂
s+
m
k=1
αk+
l
k=1
Bk
ϕ
∂ts
m
k=1
∂(xk
0)αk
l
k=1
∂(λk)Bk
cont´ınuas, com
m
k=1
αk +
l
k=1
Bk ≤ w, s ≤ 1.
Demonstra¸cão.
Propriedade 45. Seja f = f(t, x) de classe Cm
em Ω, então ϕ = ϕ(t, t0, x0)
possui todas as derivadas parciais de ordem ≤ m com respeito as variáveis (t, x0)
cont´ınuas no aberto
D = {(t, t0, x0) | (t0, x0) ∈ Ω, w−(t0, x0) < t < w+(t0, x0)}.
Demonstra¸cão.
1.9 Elementos da teoria qualitativa das equa¸cões di-
ferenciais
1.9.1 Campos vetoriais e fluxos
Defini¸cão 23 (Campo vetorial de classe Ck
). Seja U ⊂ Rn
aberto, um campo

vetorial de classe Ck
, 1 ≤ k ≤ ∞ em U é uma aplica¸cão f : U → Rn
de classe Ck
ao qual associamos a equa¸cão diferencial
x = f(x).
Defini¸cão 24 (Trajetórias-curvas integrais). As solu¸cões ϕ : I → U (I inter-
valo aberto de R) de x = f(x), f campo vetorial de classe Ck
como na defini¸cão
anterior, isto é,
dϕ(t)
dt
= f(ϕ(t)) ∀ t ∈ I
são chamadas de trajetórias ou curvas integrais de f.
Neste caso o vetor velocidade de ϕ, ϕ (t) coincide com o valor do campo X
em ϕ(t).
Defini¸cão 25 (Ponto singular). x ∈ U é dito ponto singular de f se f(x) = 0.
Defini¸cão 26 (Ponto regular). x ∈ U é dito ponto regular de f se f(x) = 0.
Propriedade 46. Se x é ponto singular de f então ϕ(t) = x ∀ t ∈ R é solu¸cão
de x = f(x). Se ϕ(t) = x ∀ t ∈ R é solu¸cão de x = f(x) então x é ponto singular
de f .
Demonstra¸cão. ⇒). Temos ϕ (t) = 0 e f(ϕ(t)) = f(x) = 0 portanto
ϕ (t) = f(ϕ(t))
é solu¸cão da equa¸cão diferencial.
⇐).
Temos
ϕ (t) = f(ϕ(t)) = f(x)
porém ϕ (t) = 0 portanto x é ponto singular de f.

Defini¸cão 27 (Curva integral máxima). Uma curva integral ϕ : I → U de f
chama-se máxima, se para toda curva integral ψ : J → U com I ⊂ J e ϕ|I então
I = J e da´ı ϕ = ψ.
Defini¸cão 28 (Intervalo maximal). I na defini¸cão anterior é chamado de
intervalo máximo ou maximal.
Propriedade 47. Valem as propriedades
1. Existência e unicidade de solu¸cões maximais. Para cada x ∈ U existe um
intervalo aberto Ix onde está definida a única solu¸cão máxima ϕx de x = f(x)
tal que ϕx(0) = x.
2. Propriedade de grupo . Se y = ϕx(t) e t ∈ Ix, então
Iy = Ix − t = {r − t | r ∈ Ix}
e ϕy(s) = ϕx(t + s) ∀ s ∈ Iy.
3. Diferenciabilidade em rela¸cão às condi¸cões iniciais. O conjunto
D = {(t, x) | x ∈ U, t ∈ Ix}
é aberto em Rn+1
e a aplica¸cão ϕ : D → Rn
com ϕ(t, x) = ϕx(t) é de classe
Cr
e
D1D2ϕ(t, x) = Df(ϕ(t, x)) ◦ D2ϕ(t, x) ∀ (t, x) ∈ D.
f sendo Cr
.
Demonstra¸cão.

Defini¸cão 29 (Fluxo gerado). ϕ : D → U chama-se fluxo gerador por f.
Também é chamado de fluxo local ou grupo local à um parâmetro gerado por f .ϕ
satisfaz as rela¸cões da propriedade anterior
ϕ(0, x) = x
ϕ(t + s, x) = ϕ(t, ϕ(s, x)).
1.9.2 Retrato de fase de um campo vetorial
Defini¸cão 30 ( Órbita). O conjunto γp = {ϕ(t, p), t ∈ Ip} imagem da curva
integral de f pelo ponto p chama-se órbita de f pelo ponto p.
Propriedade 48. q ∈ γp ⇔ γq = γp, duas órbitas de f coincidem ou são
disjuntas, U dom´ınio do campo f fica decomposto numa união disjunta de curvas
diferenciáveis.
Demonstra¸cão. (analisar) Usaremos que ϕ(t, ϕ(s, p)) = ϕ(t + s, p). ⇒). Se
q ∈ yp então existe t1 ∈ Ip (intervalo de defini¸cão de ϕ) tal que ϕ(t1, p) = q por outro
lado
ϕ(t, q) = ϕ(t, ϕ(t1, p)) = ϕ(t + t1, p)
logo todo ponto de yq que é da forma ϕ(t, q) é da forma ϕ(t + t1, p) que pertence à
yp. Agora um um elemento de yp pode ser escrito como ϕ(t + t1, p) para t escolhido
que é igual à ϕ(t1, q) portanto vale a outra inclusão e os conjuntos são iguais.
⇐). A volta vale pois yp = yq os conjuntos são iguais.
Usando o resultado provado acima. Se t ∈ yp ∩ yq então yp = yt e yq = yt da´ı
yp = yq, portanto as órbitas ou são disjuntas ou idênticas.
Defini¸cão 31 (Retrato de fase). O retrato de fase de f : U ⊂ Rn
→ Rn
,
U aberto , f de classe Cr
, r ≥ 1 é o conjunto U decomposto pelas órbitas de f,

munido de orienta¸cão da curva integral.
Propriedade 49. Toda curva integral ϕ de f : U ⊂ Rn
→ Rn
, U aberto , f de
classe Cr
, r ≥ 1, ϕ solu¸cão máxima de x = f(x) em I é de um dos seguintes tipos
1. ϕ é injetora, yp é homeomorfa a um intervalo de R.
2. I = R, ϕ é constante, nesse caso a órbita yp chama-se ponto singular ou
singularidade.
3. yp é difeomorfa a um c´ırculo ,ϕ é periódica, neste caso existe p1 > 0 tal
que ϕ(t + p1) = ϕ(t) ∀ t ∈ R e ϕ(t1) = ϕ(t2) se |t1 − t2| < p1, neste caso yp
chama-se órbita periódica ou fechada.
Quando as solu¸cões são periódicas ou singulares então (w−, w+) = R para as
outras solu¸cões isto pode não acontecer.
Demonstra¸cão.
1. Se ϕ é injetiva então temos que a órbita é imagem pelo intervalo e temos o
primeira caso.
Suponhamos que existem t1 = t2 tal que ϕ(t1) = ϕ(t2) então o intervalo máximo
é (w−, w+) = R e para c = t2 − t1 temos ϕ(t) = ϕ(t + c) ∀ t ∈ R, definimos B = {s ∈
R | ϕ(t) = ϕ(t + s) ∀ t ∈ R}, B é subgrupo aditivo fechado de R. Sejam a, b ∈ B então
a + b ∈ B pois
ϕ(t + a + b) = ϕ((t + a) + b) = ϕ(t + a) = ϕ(t) ∀ t ∈ R.
Se a ∈ B então −a ∈ B pois
ϕ(t − a) = ϕ((t − a) + a) = ϕ(t) ∀ t ∈ R.
É claro também pela defini¸cão que 0 ∈ B e o grupo é associativo adi¸cão . Temos
também propriedade de fechamento por limite pois se (an) ∈ B com an → a como
an ∈ B∀ n então
ϕ(t + a) = ϕ(t + lim an) = lim ϕ(t + an) = lim ϕ(t) = ϕ(t) ∀ t ∈ R,

onde usamos continuidade da fun¸cão ϕ para passar o limite para fora do argumento
da fun¸cão . Um subgrupo aditivo de R é da forma kZ (múltiplos inteiros de uma cons-
tante) ou denso em R, se B for denso em R temos que a órbita é uma singularidade
por ϕ ser fechado, se B = kZ então ϕ é periódica de per´ıodo k.
Exemplo 8. Seja f(x) = 1 + x2
com f(0) = 0, x = 1 + x2
, f é C1
a solu¸cão é
dada por ϕ(t) = tg(t), I0 = (−
π
2
,
π
2
), ϕ é injetora, a órbita é homeomorfa a um
intervalo . Neste caso não temos a reta toda como intervalo maximal da solu¸cão
.
Propriedade 50. Seja f um campo C1
em R com um número finito de
singularidades, digamos a1 < a2 < · · · < an podemos tomar a0 = −∞, an+1 = ∞
consideramos os intervalos da forma (ak, ak+1) com extremos nos pontos onde f
se anula. f possui o mesmo sinal em cada (ak, ak+1) pois se mudasse de sinal
por continuidade possuiria raiz no intervalo, mas por hipótese já contamos todas
as ra´ızes. Agora suponha que f possui sinal positivo em (ak, ak+1) a solu¸cão de
x = f(x) é estritamente crescente no seu intervalo maximal I(x) = (w−, w+) nessas
condi¸cões vale que
1. lim
t→W−(x)
ϕ(t, x) = ak.
2. lim
t→W+(x)
ϕ(t, x) = ak+1.
Demonstra¸cão.
Defini¸cão 32 (Campos Cr
equivalentes). Dados f1 : U1 ⊂ Rn
→ Rn
e f2 :
U2 ⊂ Rn
→ Rn
, U1, U2 abertos e f1, f2 de classe Cr
, r ≥ 1, dizemos que f1 e f2 são
Cr
equivalentes se existe h : U1 → U2 difeomorfismo de classe Cr
preservando a
orienta¸cão, com
h(y1(p)) = y2(h(p))

onde y1(p) é a órbita orientada de f1 passando por p, y2(h(p)) é a órbita orientada
de f2 passando por h(p). Neste caso h é chamado de equivalência diferencial entre
f1 e f2.
Defini¸cão 33 (Campos topologicamente equivalentes). Dados f1 : U1 ⊂ Rn
→
Rn
e f2 : U2 ⊂ Rn
→ Rn
, U1, U2 abertos e f1, f2 de classe Cr
, r ≥ 1, dizemos que
f1 e f2 são topologicamente equivalentes se existe h : U1 → U2 homeomorfismo
preservando a orienta¸cão, com
h(y1(p)) = y2(h(p))
onde y1(p) é a órbita orientada de f1 passando por p, y2(h(p)) é a órbita orientada
de f2 passando por h(p). Nesse caso h é chamado de equivalência topológica f1 e
f2.
Defini¸cão 34 (Topologicamente conjugado). Sejam ϕ1 : D1 → Rn
, ϕ2 : D2 →
Rn
fluxos gerados pelos campos f1 : U1 → Rn
, f2 : U2 → Rn
respectivamente. f1 é
topologicamente conjugado à f2 quando existe um homeomorfismo h : U1 → U2
tal que
h(ϕ1(t, x)) = ϕ2(t, h(x)) ∀ (t, x) ∈ D1.
Tem-se necessariamente que I1(x) = I2(h(x)). Nesse caso h chama-se conjuga¸cão
topológica entre f1 e f2 .
Defini¸cão 35 (Cr
- conjugado). Sejam ϕ1 : D1 → Rn
, ϕ2 : D2 → Rn
fluxos
gerados pelos campos f1 : U1 → Rn
, f2 : U2 → Rn
respectivamente. f1 é Cr
conjugado
à f2 quando existe um difeomorfismo Cr
, h : U1 → U2 tal que
h(ϕ1(t, x)) = ϕ2(t, h(x)) ∀ (t, x) ∈ D1.

Tem-se necessariamente que I1(x) = I2(h(x)).Nesse caso h chama-se Cr
conjuga¸cão
entre f1 e f2 .
Propriedade 51. As rela¸cões de equivalência Cr
, topológica e de conjuga¸cão
Cr
e topológica são rela¸cões de equivalência. Campos Cr
conjugados e topologica-
mente conjugados são Cr
equivalentes e topologicamente equivalentes respectiva-
mente.
Demonstra¸cão.
Propriedade 52. Uma rela¸cão de equivalência h entre f1 e f2 levam pontos
singulares em pontos singulares e órbitas periódicas em órbitas periódicas. Se h
for uma conjuga¸cão o per´ıodo das órbitas periódicas também é preservado.
Demonstra¸cão.
Propriedade 53. Sejam f1U1 → Rn
e f2 : U2 → Rn
campos Cr
e h : U1 → U2
difeomorfismo de classe Cr
, então h é uma conjuga¸cão entre f1 e f2 ⇔
Dh(p)f1(p) = f2(h(p)) ∀ p ∈ U1.
Demonstra¸cão.
⇐).
Sejam ϕ1 : D1 → U1 e ϕ2 : D2 → U2 os fluxos de f1 e f2 respectivamente, dados
p ∈ U1 seja ψ(t) = h(ϕ1(t, p)) I ∈ I1(p) então ψ é solu¸cão de x = f2(x) com condi¸cão
inicial ψ(0) = h(ϕ1(0, p)) = h(p), pois derivando a fun¸cão temos
ψ (t) = h (ϕ1(t, p)) ◦ ϕ1(t, p) = h (ϕ1(t, p)) ◦ f1(ϕ1(t, p)) =
= f2(h(ϕ1(t, p))) = f2(ψ(t))
porém tal equa¸cão x = f2(x) com ψ(0) = h(p) também é satisfeita por ϕ2(t, h(p)),
portanto vale
ϕ2(t, h(p)) = h(ϕ1(t, p))

e da´ı os campos são conjugados , a igualdade vale por unicidade de solu¸cões.
⇒). Suponha que h seja uma conjuga¸cão. Dado p ∈ U1 tem-se h(ϕ1(t, p)) =
ϕ2(t, h(p)), t ∈ Ip, derivando em rela¸cão à t tem-se
h (ϕ1(t, p))ϕ1(t, p) = ϕ2(t, h(p)) =
= Dh(ϕ1(t, p))f(ϕ1(t, p)) = f(ϕ2(t, h(p)))
tomando t = 0 tem-se
Dh(p)f(p) = f(h(p))
Defini¸cão 36 (Se¸cão transversal). Sejam f : U → Rn
campo de classe Cr
, r ≥ 1,
U ⊂ Rn
e A ⊂ Rn−1
abertos. Uma aplica¸cão g : A → U de classe Cr
chama-se
se¸cão transversal local de f quando ∀ a ∈ A, Dg(a)(Rn−1
) e f(g(a)) geram Rn
. Seja
Σ = g(A) ⊂ U ⊂ Rn
com topologia induzida. Se f : A → Σ for um homeomorfismo
, diz-se que Σ é uma se¸cão transversal de f.
Propriedade 54. Sejam p ∈ U não singular e {v1, · · · , vn−1, f(p)} uma base de
Rn
, Bδ(0) uma bola de Rn−1
, para δ suficientemente pequeno, g : Bδ(0) → U com
g(x1, · · · , xn−1) = p +
n−1
k=1
xkvk
é uma se¸cão transversal de f em p.
Demonstra¸cão.
Teorema 5 (Teorema do fluxo tubular). Seja p um ponto não singular de
f : U → Rn
de classe C2
e g : A → Σ uma se¸cão transversal local de f, g de classe
Cr
com g(0) = p, então existe uma vizinhan¸ca V de p em U e um difeomorfismo
h : V → (−ε, ε) × B de classe Cr
onde ε > 0 e B = B(0) é uma bola aberta em Rn−1
de centro na origem 0 = g−1
(p) tal que

1. h(Σ ∩ V) = {0} × B
2. h é uma Cr
- conjuga¸cão entre f|V e o campo constante Y : (−ε, ε) × B → Rn
,
Y = (1, 0, · · · , 0) ∈ Rn
.
Demonstra¸cão. Sejam ϕ : D → U o fluxo de f, F : DA = {(t, u) | (t, g(w)) ∈
D} → U com F(t, u) = ϕ(t, g(u)). F aplica linhas paralelas em curvas integrais de
f. Vamos mostrar que F é um difeomorfismo local em 0 = (0, 0) ∈ R × Rn−1
, pelo
teorema da fun¸cão inversa é suficiente provar que DF(0) é um isomorfismo. Temos
que
D1F(0) =
d
dt
ϕ(t, f(0))|t=0 = f(ϕ(0, p)) = f(p) = 0
e DjF(0) = Dj−1g(0) para todo j = 2 até j = n pois ϕ(0, g(u)) = ϕ(0, g(u)) =
g(u) ∀ u ∈ A. Portanto os vetores DjF(u), j = 1 até j = n geram Rn
e DF(0) é um
difeomorfismo pelo teorema da fun¸cão inversa, que ainda garante a existência de
ε > 0 e uma bola B em Rn−1
com centro em 0 tal que F|(−ε,ε)×B é um difeomorfismo
sobre o aberto V = F((−ε, ε) × B), seja h = (F|(−ε,ε)×B)−1
então h(Σ ∩ V) = {0} × B pois
F(0, u) = g(u) ∈ Σ ∀ u ∈ B , isto prova 1). Por outro lado h−1
conjuga Y e f pois
Dh−1
(t, u) ◦ Y(t, u) = DF(t, u) ◦ (1, 0, · · · , 0) =
= D1F(t, u) = X(ϕ(t, g(u))) = X(F(t, u)) = X(h−1
(t, u)) ∀ (t, u) ∈ (−ε, ε) × B,
logo Y e f|V são conjugados pela condi¸cão de conjuga¸cão por derivada.
Propriedade 55. Seja Σ uma se¸cão transversal de f, para todo p ∈ Σ existe
εp > 0, V vizinhan¸ca de p em Rn
e T : V → R de classe Ck
tais que T(V ∩ Σ) = 0 e
1. ∀ q ∈ V a curva integral ϕ(t, q) de f|V é definida e biun´ıvoca em Jq =
(−ε, +T(q), ε + T(q)).
2. n(q) = (ϕ(T(q), q)) ∈ Σ é o único ponto onde ϕ(, q)|Jq intercepta a Σ em
particular q ∈ Σ ∩ V ⇔ T(q) = 0.
3. n : V → Σ é de classe Ck
e Dn(q) é sobrejetora para todo q ∈ V mais ainda
Dn(q)v = 0 ⇔ v = αf(q) para algum α ∈ R.
Demonstra¸cão.

Defini¸cão 37 (Ponto singular hiperbólico). Um ponto p singular de um
campo f : U ⊂ Rn
→ Rn
de classe Cr
, r ≥ 1 é dito singular hiperbólico se Dx(p) é
hiperbólico, isto é, possui todos autovalores com parte real não nula.
Defini¸cão 38 (Índice de estabilidade de um ponto singular hiperbólico).
Como na defini¸cão anterior, p um ponto singular hiperbólico do campo Cr
, f
possui ´ındice de estabilidade s se Dx(p) possui s autovalores com parte real
negativa.
Propriedade 56. Se X e Y são C2
conjugados por h então se p é singular
hiperbólico de X, h(p) = q é singular hiperbólico de Y.
Demonstra¸cão.
Usaremos que Y(h(p)) = Dh(p)X(p). Como P é singular de X então
Y(q) = Y(h(p)) = Dh(p)X(p) X(p)
0
= 0
portanto q é ponto singular de Y. Temos que
Y(z) = Dh(h−1
(z))X(h−1
(z))
da´ı aplicando D e tomando z = q tem-se
DY(q) = D[Dh(h−1
(q))]X(h−1
(q)) + Dh(h−1
(q))D[X(h−1
(q))] =
onde aplicamos a regra da derivada do produto e agora aplicando a derivada da
composi¸cão segue
= D2
h(h−1
(q))D h−1
(q)
p
X(h−1
(q)) + Dh(p)DX(h−1
(q))Dh−1
(q) =
= Dh(p)DX(h−1
(q))[Dh(p)]−1
onde usamos na última linha expressão de derivada do inverso.

Teorema 6 (Teorema de Hartman). Seja X : U ⊂ Rn
→ Rn
, U aberto, X
campo vetorial de classe C1
, p um ponto singular hiperbólico de X, então existe
uma vizinhan¸ca W de P em Rn
e uma vizinhan¸ca V de 0 em Rn
tal que X|W é
topologicamente conjugado à Dx(p)|V.
Defini¸cão 39 (Aplica¸cão de Poincaré). Sejam yp = {ϕ(t, p), t ∈ (0, t0)} órbita
periódica de per´ıodo t0 de um campo X de classe Cr
, r ≥ 1, definido em U ⊂ Rn
aberto, Σ uma se¸cão transversal de X em p. Em virtude da continuidade do fluxo
ϕ de X , ∀ q ∈ Σ próximo de p a trajetória ϕ(t, p) permanece próxima à yp com
t em um intervalo compacto pré fixado. Π(q) é o primeiro ponto em que a órbita
intercepta Σ. Temos por exemplo p ∈ Σ e Π(p) = p.
Dada uma vizinhan¸ca V do ponto ϕ(t, p) obtida pelo teorema do fluxo tubular,
pela dependência cont´ınua de ϕ(t, p), temos que existe Σ0 vizinhan¸ca de p em Σ
tal que ϕ(t, Σ) ⊂ V então podemos definir ΠΣ0 → Σ com Π(q) = n(ϕ(t, q)) onde
n : V → Σ com n(z) = ϕ(T(z), z) é a fun¸cão Ck
dada na proposi¸cão corolário do
Teorema do fluxo Tubular, então
Π(q) = n(ϕ(t0, q)) = ϕ(T(ϕ(t0, q), ϕ(t0, q))) = ϕ(t0 + T(ϕ(t0, q), q))
a aplica¸cão Π é Cr
por ser composi¸cão de aplica¸cões Cr
é também um difeomor-
fismo Cr
. Π nessas condi¸cões é a aplica¸cão de Poincaré. T : V → R é o tempo T(x)
que leva a órbita por X em V para interceptar Σ. Do teorema da fun¸cão impl´ıcita
T é de classe Cr
.
A se¸cão Σ é uma hiper superf´ıcie ou uma subvariedade diferenciável n − 1-
dimensional de U ⊂ Rn
. Pode-se supor que a variedade Σ é um disco de um
subespa¸co vetorial ou afim de Rn
. Π : Σ0 → Σ é um difeomorfismo de classe Cr
sobre sua imagem Σ1, como ϕ(t0, p) = p existe uma vizinhan¸ca Σ0 de p em Σ tal
que ϕ(t0, q) ∈ V ∀ q ∈ Σ0

Defini¸cão 40 (Atrator periódico ou orbitalmente estável). Uma órbita periódica
yp é dita orbitalmente estável (ou atrator periódico)se
lim
t→∞
d(ϕ(t, q), yp) = 0 ∀ q ∈ Vyp
, isto é a distância tende a zero com o tempo para qualquer q numa vizinhan¸ca
de yp.

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