Algoritmo de Euclides: MDC, MMC e propriedades

Sumário
ALGORITMO DE EUCLIDES
Luciana Santos da Silva Martino
lulismartino.blogspot.com.br
lulismartino@gmail.com
PROFMAT - Colégio Pedro II
07 de outubro de 2016

Máximo Divisor Comum Algoritmo de Euclides Propriedades do mdc Algoritmo de Euclides Estendido Mínimo Múltiplo
Sumário
1 Máximo Divisor Comum
2 Algoritmo de Euclides
3 Propriedades do mdc
4 Algoritmo de Euclides Estendido
5 Mínimo Múltiplo Comum
6 A Equação Pitagórica

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1 Máximo Divisor Comum
2 Algoritmo de Euclides
3 Propriedades do mdc
4 Algoritmo de Euclides Estendido
5 Mínimo Múltiplo Comum
6 A Equação Pitagórica

Máximo Divisor Comum
Deﬁnição: Sejam dados dois inteiros a e b, distintos ou não. Um
número inteiro d será dito um divisor comum de a e b se d | a e d | b
Deﬁnição: Diremos que um número inteiro d ≥ 0 é um máximo
divisor comum (mdc) de a e b, se possuir as seguintes propriedades:
i) d é um divisor comum de a e b
ii) d é divisível por todo divisor comum de a e b
ii’) Se c é divisor comum de a e b então c | d
Resultado: O mdc de dois números, quando existe, é único

O mdc de dois números inteiros, que demonstraremos mais
tarde sempre existir, é denotado por (a, b), sendo
(a, b) = (b, a)
Em alguns casos particulares, é fácil veriﬁcar a existência do
mdc
. Se a ∈ Z então (0, a) = |a|, (1, a) = 1 e (a, a) = |a|
. ∀b ∈ Z temos que
a | b ⇔ (a, b) = |a|
(a, b) = 0 ⇔ a = b = 0

Resultado: O máximo divisor comum de dois números, não
ambos nulos, quando existe, é efetivamente o maior dentre
todos os divisores comuns desses números
. Dados a, b ∈ Z, se existir (a, b) então
(a, b) = (−a, b) = (a, −b) = (−a, −b)
Lema 5.2: Sejam a, b, n ∈ Z. Se existe (a, b − na), então,
(a, b) = (a, b − na)

Exemplo 5.3: Dados a ∈ Z com a = 1 e m ∈ N, temos que
am−1
a−1 , a − 1 = (a − 1, m)
Exemplo 5.4: Sejam a ∈ Z e n ∈ N, vamos determinar
(a + 1, a2n + 1)
Exemplo 5.5: Sejam a ∈ Z e n ∈ N, vamos determinar
(a + 1, a2n+1 − 1)

Algoritmo de Euclides
Prova construtiva da existência do mdc dada por Euclides
Dados a, b ∈ N, podemos supor b ≤ a. Se b = 1 ou b = a, ou ainda
b | a, já vimos que (a, b) = a
Suponhamos então que 1 < b < a e que b a
q1 q2 q3 ... qn−1 qn qn+1
a b r1 r2 ... rn−2 rn−1 rn = (a, b)
r1 r2 r3 r4 ... rn
Exemplo 5.6: (372, 162)

Propriedades do mdc
Sejam a, b ∈ Z. Deﬁnimos o conjunto
I (a, b) = {xa + yb; x, y ∈ Z}
Note que se a e b não são simultaneamente nulos então
I (a, b) ∩ N = ∅
A seguir utilizaremos a notação
dZ = {ld, l ∈ Z}

Propriedades do mdc
Teorema 5.7: Sejam a, b ∈ Z, não ambos nulos. Se
d = min I (a, b) ∩ N, então
i) d é o mdc de a e b e
ii) I (a, b) = dZ
Esse Teorema nos dá uma outra demonstração da existência do mdc
de dois números a e b e da existência dos inteiros m e n tais que
(a, b) = ma + nb, mas não é uma demonstração construtiva
Corolário 5.8: Quaisquer que sejam a, b ∈ Z, não ambos nulos, e
n ∈ N tem-se que (na, nb) = n(a, b)
Corolário 5.9: Dados a, b ∈ Z, não ambos nulos, tem-se que
a
(a,b) , b
(a,b) = 1

Propriedades do mdc
Deﬁnição: Dois números inteiros a e b serão ditos primos
entre si, ou coprimos, se (a, b) = 1, ou seja, se o único divisor
positivo de ambos é 1
Proposição 5.10: Dois números inteiros a e b são primos
entre si se, e somente se, existem números inteiros m e n tais
que ma + nb = 1

MDC: generalização
Deﬁnição: um número natural d será dito mdc de dados números
inteiros a1, ..., an, não todos nulos, se possuir as seguintes
propriedades:
i) d é um divisor comum de a1, ..., an
ii) Se c é um divisor comum de a1, ..., an então c | d
O mdc, quando existe, é certamente único e será representado por
(a1, ..., an)
Proposição 5.13: Dados números inteiros a1, ..., an, não todos nulos,
existe o seu mdc e (a1, ..., an) = (a1, ..., (an−1, an))
Essa Proposição nos fornece um método indutivo para o cálculo do
mdc de n inteiros

Definição: Os inteiros a1, ..., an serão ditos primos entre si, ou
coprimos, quando (a1, ..., an) = 1
. Dado um subconjunto finito A = {a1, a2, ..., an} de Z podemos
definir o mdc de A como sendo mdc A = (a1, a2, ..., an)
. No caso em que A = {a1, a2, ...} é um subconjunto infinito de
Z, ainda existe d = mdc A (Problema 5.2.13 p.100)

Algoritmo de Euclides Estendido
Suponhamos a ≥ b. Para calcular o mdc de a e b montamos a matriz
A =
b 1 0
a 0 1
. l2 = l2 − q1l1, sendo q1 = a
b
A1 =
b 1 0
a − bq1 −q1 1
=
b 1 0
r1 −q1 1
onde r1 é o resto da divisão de a por b
. l1 = l1 − q2l2, sendo q2 = b
r1
A2 =
b − q2r1 1 + q1q2 −q2
r1 −q1 1
=
r2 1 + q1q2 −q2
r1 −q1 1
onde r2 é o resto da divisão de b por r1

Algoritmo de Euclides Estendido
. A linha (d, m, n) da matriz B, obtida no ﬁnal do processo, que
contém o elemento não nulo da primeira coluna será tal que
d = (a, b)
. Os inteiros m e n assim obtidos são tais que (a, b) = ma + nb
Exemplo 5.14: (162, 372)

Mínimo Múltiplo Comum
Deﬁnição: Diremos que um número inteiro é um múltiplo comum de
dois números inteiros dados se ele é simultaneamente múltiplo de
ambos os números
Em qualquer caso os números ab e 0 são sempre múltiplos comuns
de a e b
Deﬁnição: Diremos que um número inteiro m ≥ 0 é um mínimo
múltiplo comum (mmc) dos números inteiros a e b, se possuir as
seguintes propriedades:
i) m é um múltiplo comum de a e b, e
ii) se c é um múltiplo comum de a e b, então m | c
Resultado: O mmc, se existe, é único e é o menor dos múltiplos
comuns positivos de a e b

. O mínimo múltiplo comum de a e b, se existe, é denotado por
[a, b]
. Caso exista [a, b] = [−a, b] = [a, −b] = [−a, −b]
Resultado: [a, b] = 0 ⇔ a = 0 ou b = 0
Proposição 5.15: Dados dois números inteiros a e b, temos
que [a, b] existe e [a, b](a, b) = |ab|

Corolário 5.16: Se a e b são números inteiros primos entre si,
então [a, b] = |ab|
Exemplo 5.17: Sejam b e m dois números naturais. Vamos
mostrar que, na sequência de números b, 2b, 3b, ..., mb,
existem exatamente (b, m) números divisíveis por m

Deﬁnição: Diremos que um número natural m é um mmc dos
inteiros não nulos a1, ..., an se m é múltiplo comum de a1, ..., an,
e, se para todo múltiplo comum m desses números tem-se
que m | m
O mmc, se existe, é único, sendo denotado por [a1, ..., an]
Proposição 5.18: Sejam a1, ..., an números inteiros não nulos.
Então existe o número [a1, ..., an] e
[a1, ..., an−1, an] = [a1, ..., [an−1, an]]

A Equação Pitagórica
Vamos resolver em Z a equação pitagórica
X2
+ Y2
= Z2
Pitágoras: conjunto de soluções expressas por
x =
n2 − 1
2
, y = n , z =
n2 + 1
2
onde n > 1 é um inteiro ímpar
. Note que as soluções de Pitágoras não fornecem todas as
soluções, já que a solução (8, 15, 17) não pode ser obtida
dessa forma
. Quando os lados de um triângulo retângulo, solução da
equação pitagórica, forem números naturais, ele será chamado
de triângulo pitagórico

Vamos determinar todas as soluções inteiras da equação
pitagórica
. As únicas soluções com uma das coordenadas não nula são
(0, b, ±b), (a, 0, ±a), onde a, b ∈ Z: são chamadas de soluções
triviais
. Como os expoentes a que estão elevadas as incógnitas são
todos pares basta encontrar as soluções em números naturais

Lema 5.20: Dados dois números naturais a e b primos entre si,
se ab é um quadrado, então tanto a quanto b são quadrados
Resultado: Se ab = cn, onde a, b e c são números naturais,
com (a, b) = 1, então a e b são potências n-ésimas
(Problema 5.5.1, p.113) (Problema 7.1.3, p.149)

. Um terno (a, b, c) de números naturais será dito um terno
pitagórico quando for solução da equação pitagórica, ou seja,
quando a2 + b2 = c2
. Chamaremos de triângulo pitagórico primitivo a um triângulo
retângulo cujos lados são números naturais coprimos. Um
terno que representa os lados de um triângulo pitagórico
primitivo será chamado de terno pitagórico primitivo
. Os ternos pitagóricos primitivos (a, b, c) dão origem a todos
os ternos pitagóricos. Podemos portanto concentrar nossa
atenção nos ternos primitivos

. As soluções primitivas
a = n2
− m2
, b = 2nm , c = n2
+ m2
são devidas a Euclides, e toda solução primitiva é representada de modo
único nessa forma
Teorema 5.21: As soluções em N da equação pitagórica X2
+ Y2
= Z2
expressam-se de modo único, a menos da ordem de x e y, como
x = l(n2
− m2
) , y = 2lnm e z = l(n2
+ m2
)
onde l, n, m ∈ N, n > m, com m e n coprimos e com paridades distintas.
Reciprocamente, todo terno (x, y, z) como acima, é um terno pitagórico
Resultado: Dado um número natural existe sempre um triângulo pitagórico
com um dos catetos igual a esse número natural. Entretanto, nem todo
número natural c ímpar pode ser a hipotenusa de um triângulo pitagórico

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