Representação dos números inteiros e o jogo de Nim
1. Sum´ario
REPRESENTAC¸ ˜AO DOS N ´UMEROS
INTEIROS
Luciana Santos da Silva Martino
lulismartino.blogspot.com.br
lulismartino@gmail.com
PROFMAT - Col´egio Pedro II
30 de setembro de 2016
2. Sistemas de Numerac¸ ˜ao Jogo de Nim
Sum´ario
1 Sistemas de Numerac¸ ˜ao
2 Jogo de Nim
3. Sistemas de Numerac¸ ˜ao Jogo de Nim
Outline
1 Sistemas de Numerac¸ ˜ao
2 Jogo de Nim
4. Sistemas de Numerac¸ ˜ao Jogo de Nim
Sistemas de Numerac¸ ˜ao
sistema sexagesimal: babilˆonios, 1700 a.C.
sistema decimal: desenvolvido na China e na ´India. Maior
difus˜ao na Europa a partir de 1202, quando da publicac¸ ˜ao
do Liber Abacci, de Fibonacci
sistema bin´ario: bases como potˆencias de 2 foram as
escolhidas na arquitetura de computadores
Todos s˜ao sistemas posicionais com base constante
5. Sistemas de Numerac¸ ˜ao Jogo de Nim
Sistemas de Numerac¸ ˜ao
No sistema decimal todo n´umero inteiro ´e representado por
uma sequˆencia formada pelos algarismos
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
acrescidos do s´ımbolo 0(zero), que representa a ausˆencia de
algarismo. Por serem dez os algarismos , o sistema ´e
chamado decimal
. Sistema posicional: cada algarismo, al´em do seu valor
intr´ınseco, possui um peso que lhe ´e atribu´ıdo, em func¸ ˜ao da
posic¸ ˜ao que ele ocupa no n´umero. No sistema decimal esse
peso ´e sempre uma potˆencia de dez
6. Sistemas de Numerac¸ ˜ao Jogo de Nim
Sistemas de Numerac¸ ˜ao
Cada algarismo de um n´umero possui uma ordem contada da direita
para a esquerda. Cada terna de ordens tamb´em contada da direita
para a esquerda, forma uma classe
classe das unidades
unidades 1a
ordem
dezenas 2a
ordem
centenas 3a
ordem
classe do milhar
unidades de milhar 4a
ordem
dezenas de milhar 5a
ordem
centenas de milhar 6a
ordem
classe do milh˜ao
unidades de milh˜ao 7a
ordem
dezenas de milh˜ao 8a
ordem
centenas de milh˜ao 9a
ordem
7. Sistemas de Numerac¸ ˜ao Jogo de Nim
Sistemas de Numerac¸ ˜ao
Os sistemas de numerac¸ ˜ao posicionais baseiam-se no
teorema a seguir, que ´e uma aplicac¸ ˜ao da divis˜ao euclidiana
Teorema 4.1: Sejam dados a, b ∈ Z, com a > 0 e b > 1.
Existem n´umeros inteiros n ≥ 0 e 0 ≤ r0, r1, ..., rn < b, com
rn = 0, univocamente determinados, tais que
a = r0 + r1b + r2b2
+ ... + rnbn
A representac¸ ˜ao dada no teorema acima ´e chamada de
expans˜ao relativa `a base b.
8. Sistemas de Numerac¸ ˜ao Jogo de Nim
Sistemas de Numerac¸ ˜ao
. Algoritmo para determinar a expans˜ao de um n´umero qualquer
relativamente `a base b
Aplicac¸ ˜oes sucessivas da divis˜ao euclidiana
a = bq0 + r0, r0 < b
q0 = bq1 + r1, r1 < b
q1 = bq2 + r2, r2 < b
e assim por diante.
Como a > q0 > q1 > ..., devemos, em certo ponto, ter qn−1 < b e, portanto,
de
qn−1 = bqn + rn,
decorre que qn = 0, o que implica que 0 = qn = qn+1 = qn+2 = ..., e,
portanto, 0 = rn+1 = rn+2 = ...
Temos ent˜ao que
a = r0 + r1b + ... + rnbn
9. Sistemas de Numerac¸ ˜ao Jogo de Nim
Sistemas de Numerac¸ ˜ao
Proposic¸ ˜ao 4.2: Sejam dados os n´umeros inteiros b > 1,
m, n ≥ 0, 0 < r0, ..., rn < b e 0 ≤ r0, ..., rn < b. Tem-se que
i) r0 + r1b + ... + rnbn < bn+1
ii) n > n e rn = 0 ⇒ r0 + r1b + ... + rnbn > r0 + r1b + ... + rn bn
iii) n = n e rn > rn ⇒ r0 + r1b + ... + rnbn > r0 + r1b + ... + rnbn
10. Sistemas de Numerac¸ ˜ao Jogo de Nim
Sistemas de Numerac¸ ˜ao
A expans˜ao numa dada base b fornece-nos um m´etodo para representar os
n´umeros naturais. Para tanto, escolha um conjunto S de b s´ımbolos
S = {s0, s1, ..., sb−1}
com s0 = 0, para representar os n´umeros de 0 a b − 1
Um n´umero natural c na base b escreve-se na forma
xnxn−1...x1x0
com x0, ..., xn ∈ S, e n variando, dependendo de a, representando o n´umero
x0 + x1b + ... + xnbn
Notac¸ ˜ao: [xn...x1x0]b: n´umero representado por xn...x1x0 na base b
[xn...x1x0]b = x0 + x1b + ... + xnbn
11. Sistemas de Numerac¸ ˜ao Jogo de Nim
Sistemas de Numerac¸ ˜ao
Proposic¸ ˜ao 4.6: Seja a = rn...r1r0 um n´umero representado no sistema decimal. Uma
condic¸ ˜ao necess´aria e suficiente para que a seja divis´ıvel por 5 (respectivamente por
10) ´e que r0 seja 0 ou 5 (respectivamente 0)
Proposic¸ ˜ao 4.7: Seja a = rn...r1r0 um n´umero representado no sistema decimal. Uma
condic¸ ˜ao necess´aria e suficiente para que a seja divis´ıvel por 3 (respectivamente por
9) ´e que rn + ... + r1 + r0 seja divis´ıvel por 3 (respectivamente por 9)
Exemplo 4.8: O nove misterioso
Pec¸a para algu´em escolher, em segredo, um n´umero natural com, pelo menos, trˆes
algarismos (no sistema decimal). Pec¸a, ainda, para que efetue uma permutac¸ ˜ao
qualquer dos seus algarismos, obtendo um novo n´umero, e que subtraia o menor do
maior dos dois n´umeros. Finalmente, pec¸a ao seu parceiro de jogo para reter um dos
algarismos diferentes de zero desse novo n´umero e divulgar os restantes. ´E poss´ıvel
adivinhar o algarismo retido!
12. Sistemas de Numerac¸ ˜ao Jogo de Nim
Sistemas de Numerac¸ ˜ao
Corol´ario 4.9: Todo n´umero natural escreve-se de modo ´unico
como soma de potˆencias distintas de 2.
Exemplo 4.10: O m´etodo acima, para determinar expans˜oes
bin´arias permite desenvolver um algoritmo antigo para calcular
o produto de dois n´umeros usando apenas multiplicac¸ ˜oes e
divis˜oes por 2, al´em de adic¸ ˜oes. Esse m´etodo tem a vantagem
de apenas necessitar da tabuada do 2.
Exemplo 4.11: O Problema da Moeda Falsa
Vamos generalizar a soluc¸ ˜ao do problema da moeda falsa, que
discutimos no Exemplo 2.13 (p´ag 37), para um n´umero
arbitr´ario de moedas
13. Sistemas de Numerac¸ ˜ao Jogo de Nim
Outline
1 Sistemas de Numerac¸ ˜ao
2 Jogo de Nim
14. Sistemas de Numerac¸ ˜ao Jogo de Nim
Jogo 1
Disp˜oe-se sobre uma mesa um n´umero N de palitos separados
em trˆes grupos, de n1, n2 e n3 palitos (N1 + n2 + n3 = N), de
modo que ni = nj se i = j. O jogo ´e realizado por dois
jogadores. Cada jogador, na sua vez, deve retirar um n´umero
qualquer (= 0) de palitos de um, e de apenas um, dos grupos.
Os jogadores alternam-se e quem retirar o(s) ´ultimo(s) palito(s)
ganha o jogo.
O objetivo da estrat´egia ´e mostrar que, se um dos jogadores a
um certo momento encontrar-se numa situac¸ ˜ao favor´avel (a ser
definida) e se n˜ao cometer nenhum deslize nas jogadas
seguintes, ele ganhar´a o jogo.
15. Sistemas de Numerac¸ ˜ao Jogo de Nim
Jogo 1
Cada estado do jogo pode ser codificado por um terno de
n´umeros, representando o n´umero de palitos em cada grupo,
ordenados previamente como Grupo 1, Grupo 2 e Grupo 3,
comec¸ando com uma configurac¸ ˜ao inicial (n1, n2, n3) onde
n1 + n2 + n3 = N
Exemplo: Jo˜ao (J) e Maria (M) com configurac¸ ˜ao inicial (3,5,7)
Uma situac¸ ˜ao em que todos os algarismos da chave s˜ao
pares ser´a chamada de posic¸ ˜ao segura, enquanto que,
quando pelo menos um dos algarismos da chave ´e ´ımpar,
ser´a uma posic¸ ˜ao insegura
16. Sistemas de Numerac¸ ˜ao Jogo de Nim
Jogo 1
Resultado (Bouton): Qualquer que seja a configurac¸ ˜ao inicial
do jogo, se um jogador encontra na sua vez uma posic¸ ˜ao
segura qualquer que seja a jogada que fac¸a, s´o poder´a chegar
a uma posic¸ ˜ao insegura
Resultado (Bouton): De uma posic¸ ˜ao insegura, pode-se, com
uma jogada conveniente, sempre retornar a uma posic¸ ˜ao
segura
Outro Exemplo: Configurac¸ ˜ao inicial (3,5,6)
17. Sistemas de Numerac¸ ˜ao Jogo de Nim
Outras variantes do Jogo do Nim
Jogo 2: Disp˜oe-se sobre uma mesa um certo n´umero N de
palitos. Estipula-se que cada jogador, na sua vez, possa retirar,
no m´ınimo, 1 palito e, no m´aximo, um n´umero preestabelecido
de n palitos, com n > 1. Sup˜oe-se ainda, que N e N − 1 n˜ao
sejam m´ultiplos de n + 1. Perde o jogador que retirar o ´ultimo
palito
Jogo 3: Da mesma forma que a variante anterior, disp˜oe-se
sobre uma mesa um certo n´umero N de palitos e estipula-se
que cada jogador, na sua vez, possa retirar, no m´ınimo, 1 palito
e, no m´aximo, um n´umero n prefixado de palitos, com n > 1.
Sup˜oe-se ainda que N n˜ao seja m´ultiplo de n + 1. Ganha o
jogador que retirar o ´ultimo palito
18. Sistemas de Numerac¸ ˜ao Jogo de Nim
Outro Jogo
Um jogo, jogado por duas pessoas, consiste de um tablete de
chocolate dividido em 6x10 quadradinhos separados por
sulcos.
Cada jogador, na sua vez, quebra a barra de chocolate numa
horizontal ou numa vertical ao longo de todo um sulco e come
uma das partes. O jogo prossegue com a parte restante at´e
que um dos jogadores ´e obrigado a comer o ´ultimo
quadradinho que restar, perdendo o jogo