1. O documento resume conceitos fundamentais de matemática discreta, incluindo proposições lógicas, relações, redução a forma normal, unificação, arranjos, combinações, permutações e equações de recorrência. 2. Também apresenta conceitos de teoria dos grafos como matrizes de adjacência e incidência, florestas, código de Prüfer e algoritmos como Kruskal e Dijkstra. 3. Finaliza com uma seção sobre números de Euler da primeira ordem.

1. Resumo Matem´tica Discreta
a Pedro Dias
1 Proposi¸˜es
co
˙
p∨q = (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q) (implica¸˜o)
ca
(¬(p ∧ q)) ⇔ (¬p ∨ ¬q) (Lei De Morgan)
(¬(p ∨ q)) ⇔ (¬p ∧ ¬q) (Lei De Morgan)
2 Rela¸˜es
co
2.1 Rela¸˜o de equivalˆncia
ca e
• Reflexiva: ∀a ∈ A : aRa
• Sim´trica: ∀a, b ∈ A : aRb ⇒ bRa
e
• Transitiva: ∀a, b, c ∈ A : aRb ∧ bRc ⇒ aRc
2.2 Rela¸˜o de ordem parcial
ca
• Reflexiva: ∀a ∈ A : aRa
• Anti-sim´trica: ∀a, b ∈ A : aRb ∧ bRa ⇒ a = b
e
• Transitiva: ∀a, b, c ∈ A : aRb ∧ bRc ⇒ aRc
2.3 Rela¸˜o de ordem total
ca
• Reflexiva: ∀a ∈ A : aRa
• Anti-sim´trica: ∀a, b ∈ A : aRb ∧ bRa ⇒ a = b
e
• Transitiva: ∀a, b, c ∈ A : aRb ∧ bRc ⇒ aRc
• Dicotomia: ∀a, b [a, b ∈ A] ⇒ aRb ∨ bRa]]
3 Redu¸˜o ` Forma Normal Prenex
ca a
1o Remover os ⇔ e os ⇒
2o Utiliza¸˜o das leis de DeMorgan e colocar as nega¸˜es (¬) imediatamente
ca co
antes dos ´tomos
a
3o Movimentar os quantificadores para o in´ da equa¸˜o, se necess´rio efec-
ıcio ca a
tuar mudan¸as de vari´vel
c a
4 Redu¸˜o ` Forma Normal de Skolem
ca a
• Se nenhum quantificador universal (∀) aparece ` esquerda de Qr , ent˜o:
a a
1o Escolher uma constante c (que n˜o figure na express˜o)
a a
2o Substituir Xr por c
3o Eliminar Qr (Xr )
1

2. Resumo Matem´tica Discreta
a Pedro Dias
• Se Q1 , Q2 , ..., Qn s˜o quantificadores universais (∀) que ocorrem ` esquerda
a a
de Qr ent˜o:
a
1o Escolher um s´
ımbolo de fun¸˜o diferente dos existentes, com n argu-
ca
mentos
2o Substituir Xr por f (x1 , ..., xn )
3o Eliminar Qr (Xr )
5 Unifica¸˜o
ca
Wi ≡ conjuntos de express˜es
o
Di ≡ conjunto das diferen¸as
c
σi ≡ unificador mais geral (se Wi unit´rio)
a
1o Determinar o conjunto das diferen¸as
c
2o Se existem vari´veis nesse conjunto ent˜o a vari´vel xi ´ substituida por um
a a a e
termo ti (ti /xi )
3o Se Wi n˜o ´ unit´rio voltar ao passo 1
a e a
6 Arranjos, Combina¸oes, Permuta¸oes,...
c˜ c˜
6.1 Arranjos
A ordem importa.
n!
An,m =
(n − m)!
3!
Exemplo: Para a, b, c, A3,2 = (3−2)! =3×2=6
ab, ac, ba, bc, ca, cb,
6.1.1 Arranjos com repeti¸˜o
ca
A(m) = nm
n
6.2 Combina¸oes
c˜
A ordem n˜o importa.
a
n n!
=
m (n − m)!m!
3 3! 3×2 6
Exemplo: Para a, b, c, 2 = (3−2)!2! = 2! = 2 =3
ab, ac, bc
6.2.1 Combina¸˜es com repeti¸˜o
co ca
n+m−1 n + m − 1!
=
m (n − 1)!m!
2

3. Resumo Matem´tica Discreta
a Pedro Dias
6.3 Permuta¸˜es
co
n!
P (n) = An,n = = n!
(n − n)!
(0! = 1)
7 Equa¸˜es de Recorrˆncia
co e
7.1 Equa¸˜es lineares homog´neas
co e
Equa¸˜o Caracter´
ca ıstica:
cn × xn + ... + c1 × x1 = 0
Se as ra´
ızes da equa¸˜o caracter´
ca ıstica forem diferentes ent˜o a solu¸˜o geral ´:
a ca e
an = C1 × αn + C2 × β n
Se as ra´
ızes da equa¸˜o caracter´
ca ıstica forem iguais ent˜o a solu¸˜o geral ´:
a ca e
an = (C1 + C2 n + ... + Cm nm−1 )αn
m ≡ multiplicidade de α
S´ falta determinar as constantes.
o
a0 = (C1 + C2 × 0) × x0
C1 = a0
Nota: o n´mero de constantes tem que ser igual ao n´mero de condi¸˜es iniciais
u u co
fornecidas.
7.2 Equa¸˜es lineares n˜o homog´neas
co a e
an = C1 an−1 + C2 an−2 + ... = f (n)
Donde a solu¸˜o ´ dada por:
ca e
an = a(1) + a(2)
n n
(1)
an ≡ solu¸˜o geral
ca
(2)
an ≡ solu¸˜o particular
ca
(1)
an ≡equa¸˜o linear homog´nea dada anteriormente
ca e
A solu¸˜o particular ´ dada por um de 3 casos:
ca e
1o - f (n) = cq n ent˜o
a
a(2) = Anm .q n
n
m ≡ multiplicidade de q enquanto ra´ da equa¸˜o caracter´
ız ca ıstica
3

4. Resumo Matem´tica Discreta
a Pedro Dias
2o - f (n) = a0 nk + a1 nk−1 + ... + ak (polin´mio de grau k)
o
Seja r a multiplicidade de 1 enquanto ra´ da equa¸˜o caracter´
ız ca ıstica na
solu¸˜o homog´nea ent˜o:
ca e a
a(2) = A0 nr + A1 nr+1 + ... + Ak nk+r
n
3o - f (n) = f1 (n) + f2 (n) + ... + fk (n) ent˜o a solu¸˜o particular
a ca
(2) (2) (2)
a(2) = an,1 + an,2 + ... + an,k
n
8 Teoria dos Grafos
8.1 Conceitos
8.1.1 Grafos Isomorfos
Dois grafos dizem-se isomorfos se tiverem o mesmo n´mero de v´rtices e de
u e
arestas e o grau dos v´rtices iguais.
e
8.1.2 Trajecto
Passeio sem arestas repetidas
8.1.3 Caminho
Passeio sem v´rtices repetidos.
e
8.1.4 Circuito
Trajecto fechado.
8.1.5 Ciclo
Caminho fechado.
8.1.6 Circuito de Euler
Tem todas as arestas do grafo.
8.1.7 Ciclo de Hamilton
Tem todos os v´rtices do grafo.
e
8.1.8 Nota¸˜es
co
dist(x, y) ≡ min(comp(x, y)∀x, y (distˆncia= menor comprimento)
a
cintura ≡ comprimento do circuito de menor comprimento
e(v) = max{dist(u, v), ∀u ∈ V (G)} (excentricidade=maior distˆncia)
a
diam(G) = max{∀u ∈ V (G) : e(u)} (diˆmetro=maior excentricidade)
a
4

5. Resumo Matem´tica Discreta
a Pedro Dias
r(G) = min{∀u ∈ V (G) : e(u)} (raio=menor excentricidade)
5

6. Resumo Matem´tica Discreta
a Pedro Dias
8.2 Matriz de adjacˆncia
e
 
0 1 0
A= 1 0 1  v1 • •v2
0 1 0
v3 •
A ´ uma matriz v × v
e
8.3 Matriz de incidˆncia
e
 
1 1 0
A =  −1 0 1  v1 •
e1
/ •v2
0 −1 −1
e2 e3
" |
v3 •
A ´ uma matriz v × e
e
δG (v1 ) = 1 + 1 + 0 (o grau do v´rtice 1 ´ a soma da Linha 1)
e e
8.4 Floresta
Um grafo ´ uma floresta se e s´ se
e o
E(G) + V(G) + +cc(G) = 0
8.5 C´digo de Pr¨ fer
o u
n − 2 itera¸˜es
co
Elimina¸ao sucessiva do v´rtice de menor grau.
c e
Exemplo:
•7 •1 •8
•2 •3 •4 •5 •6
itera¸˜o
ca 1 2 3 4 5 6
Si 1 2 6 7 3 4
ti 4 3 5 3 4 5
ti ≡ vizinho do menor v´rtice de grau 1
e
Portanto o c´digo de Pr¨fer ´ {4, 3, 5, 3, 4, 5}
o u e
8.6 Descodifica¸˜o do C´digo de Pr¨ fer
ca o u
O v´rtice v aparece δG (v) − 1 vezes no c´digo de Pr¨fer.
e o u
Si = min{si ∈ ti } ⇒ si → ti ´ uma aresta
/ e
8.7 Teorema de Cayley
O n´mero de ´rvores abrangentes de um grafo n-regular ´ dado por
u a e
T (Kn ) = nn−2
6

7. Resumo Matem´tica Discreta
a Pedro Dias
8.8 Algoritmos
8.8.1 Kruskal
1o Ordenar as arestas por ordem crescente
2o Seleccionar as arestas de menor custo que n˜o formam ciclo.
a
8.8.2 Dijkstra
A cada itera¸˜o seleccionar a aresta com menor custo acumulado.
ca
8.8.3 Prim
• U =∅
U = V(G)
Escolher a aresta u com menor custo ( U = U ∪ {u})
• Escolher a aresta adjacente com menor custo ({u, v} : u ∈ U e v ∈ U )
• repetir n − 1 vezes
9 N´ meros de Euler
u
9.1 1a ordem
n
n
= n!
m
k=0
n n−1 n−1
= (n − m) + (m + 1)
m m−1 m
n
0 =1
n
k =0 ∀m > n
7