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Resumo Matem´tica Discreta
                                    a                             Pedro Dias


1     Proposi¸˜es
             co
 ˙
p∨q = (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q) (implica¸˜o)
                                  ca
(¬(p ∧ q)) ⇔ (¬p ∨ ¬q) (Lei De Morgan)
(¬(p ∨ q)) ⇔ (¬p ∧ ¬q) (Lei De Morgan)



2     Rela¸˜es
          co
2.1    Rela¸˜o de equivalˆncia
           ca            e
    • Reflexiva: ∀a ∈ A : aRa
    • Sim´trica: ∀a, b ∈ A : aRb ⇒ bRa
         e
    • Transitiva: ∀a, b, c ∈ A : aRb ∧ bRc ⇒ aRc

2.2    Rela¸˜o de ordem parcial
           ca
    • Reflexiva: ∀a ∈ A : aRa
    • Anti-sim´trica: ∀a, b ∈ A : aRb ∧ bRa ⇒ a = b
              e
    • Transitiva: ∀a, b, c ∈ A : aRb ∧ bRc ⇒ aRc

2.3    Rela¸˜o de ordem total
           ca
    • Reflexiva: ∀a ∈ A : aRa
    • Anti-sim´trica: ∀a, b ∈ A : aRb ∧ bRa ⇒ a = b
              e
    • Transitiva: ∀a, b, c ∈ A : aRb ∧ bRc ⇒ aRc
    • Dicotomia: ∀a, b [a, b ∈ A] ⇒ aRb ∨ bRa]]


3     Redu¸˜o ` Forma Normal Prenex
          ca a
1o Remover os ⇔ e os ⇒
2o Utiliza¸˜o das leis de DeMorgan e colocar as nega¸˜es (¬) imediatamente
          ca                                        co
   antes dos ´tomos
             a
3o Movimentar os quantificadores para o in´ da equa¸˜o, se necess´rio efec-
                                         ıcio     ca            a
   tuar mudan¸as de vari´vel
             c          a


4     Redu¸˜o ` Forma Normal de Skolem
          ca a
    • Se nenhum quantificador universal (∀) aparece ` esquerda de Qr , ent˜o:
                                                   a                     a
       1o Escolher uma constante c (que n˜o figure na express˜o)
                                         a                  a
       2o Substituir Xr por c
       3o Eliminar Qr (Xr )


                                      1
Resumo Matem´tica Discreta
                                        a                               Pedro Dias


    • Se Q1 , Q2 , ..., Qn s˜o quantificadores universais (∀) que ocorrem ` esquerda
                            a                                            a
      de Qr ent˜o:
                 a
         1o Escolher um s´
                         ımbolo de fun¸˜o diferente dos existentes, com n argu-
                                      ca
            mentos
         2o Substituir Xr por f (x1 , ..., xn )
         3o Eliminar Qr (Xr )


5       Unifica¸˜o
              ca
Wi ≡ conjuntos de express˜es
                          o
Di ≡ conjunto das diferen¸as
                         c
σi ≡ unificador mais geral (se Wi unit´rio)
                                     a


1o Determinar o conjunto das diferen¸as
                                    c
2o Se existem vari´veis nesse conjunto ent˜o a vari´vel xi ´ substituida por um
                    a                     a        a       e
   termo ti (ti /xi )
3o Se Wi n˜o ´ unit´rio voltar ao passo 1
          a e      a


6       Arranjos, Combina¸oes, Permuta¸oes,...
                         c˜           c˜
6.1     Arranjos
A ordem importa.
                                                    n!
                                      An,m =
                                                 (n − m)!
                                         3!
Exemplo: Para a, b, c, A3,2 =          (3−2)!    =3×2=6

                                  ab, ac, ba, bc, ca, cb,

6.1.1    Arranjos com repeti¸˜o
                            ca
                                          A(m) = nm
                                           n


6.2     Combina¸oes
               c˜
A ordem n˜o importa.
         a
                                      n            n!
                                           =
                                      m        (n − m)!m!
                              3          3!          3×2       6
Exemplo: Para a, b, c,        2   =   (3−2)!2!   =    2!   =   2   =3

                                          ab, ac, bc

6.2.1    Combina¸˜es com repeti¸˜o
                co             ca
                               n+m−1                 n + m − 1!
                                                 =
                                 m                   (n − 1)!m!


                                                 2
Resumo Matem´tica Discreta
                                      a                                    Pedro Dias


6.3    Permuta¸˜es
              co
                                              n!
                          P (n) = An,n =            = n!
                                           (n − n)!
                                                                              (0! = 1)


7      Equa¸˜es de Recorrˆncia
           co            e
7.1    Equa¸˜es lineares homog´neas
           co                 e
Equa¸˜o Caracter´
    ca          ıstica:

                           cn × xn + ... + c1 × x1 = 0

Se as ra´
        ızes da equa¸˜o caracter´
                    ca          ıstica forem diferentes ent˜o a solu¸˜o geral ´:
                                                           a        ca        e

                            an = C1 × αn + C2 × β n

Se as ra´
        ızes da equa¸˜o caracter´
                    ca          ıstica forem iguais ent˜o a solu¸˜o geral ´:
                                                       a        ca        e

                      an = (C1 + C2 n + ... + Cm nm−1 )αn

                                                           m ≡ multiplicidade de α

S´ falta determinar as constantes.
  o
a0 = (C1 + C2 × 0) × x0
C1 = a0
Nota: o n´mero de constantes tem que ser igual ao n´mero de condi¸˜es iniciais
          u                                        u             co
fornecidas.


7.2    Equa¸˜es lineares n˜o homog´neas
           co             a       e
                      an = C1 an−1 + C2 an−2 + ... = f (n)
Donde a solu¸˜o ´ dada por:
            ca e

                                an = a(1) + a(2)
                                      n      n

                                                                   (1)
                                                                  an ≡ solu¸˜o geral
                                                                             ca
                                                            (2)
                                                           an     ≡ solu¸˜o particular
                                                                        ca
 (1)
an ≡equa¸˜o linear homog´nea dada anteriormente
        ca              e

A solu¸˜o particular ´ dada por um de 3 casos:
      ca             e

1o - f (n) = cq n ent˜o
                     a
                                   a(2) = Anm .q n
                                    n


              m ≡ multiplicidade de q enquanto ra´ da equa¸˜o caracter´
                                                 ız       ca          ıstica




                                       3
Resumo Matem´tica Discreta
                                      a                                  Pedro Dias


2o - f (n) = a0 nk + a1 nk−1 + ... + ak (polin´mio de grau k)
                                              o
     Seja r a multiplicidade de 1 enquanto ra´ da equa¸˜o caracter´
                                                ız         ca     ıstica na
     solu¸˜o homog´nea ent˜o:
         ca         e        a

                         a(2) = A0 nr + A1 nr+1 + ... + Ak nk+r
                          n


3o - f (n) = f1 (n) + f2 (n) + ... + fk (n) ent˜o a solu¸˜o particular
                                               a        ca
                                     (2)       (2)       (2)
                             a(2) = an,1 + an,2 + ... + an,k
                              n



8       Teoria dos Grafos
8.1     Conceitos
8.1.1    Grafos Isomorfos
Dois grafos dizem-se isomorfos se tiverem o mesmo n´mero de v´rtices e de
                                                   u         e
arestas e o grau dos v´rtices iguais.
                      e

8.1.2    Trajecto
Passeio sem arestas repetidas

8.1.3    Caminho
Passeio sem v´rtices repetidos.
             e

8.1.4    Circuito
Trajecto fechado.

8.1.5    Ciclo
Caminho fechado.

8.1.6    Circuito de Euler
Tem todas as arestas do grafo.

8.1.7    Ciclo de Hamilton
Tem todos os v´rtices do grafo.
              e

8.1.8    Nota¸˜es
             co
dist(x, y) ≡ min(comp(x, y)∀x, y (distˆncia= menor comprimento)
                                      a

cintura ≡ comprimento do circuito de menor comprimento

e(v) = max{dist(u, v), ∀u ∈ V (G)} (excentricidade=maior distˆncia)
                                                             a

diam(G) = max{∀u ∈ V (G) : e(u)} (diˆmetro=maior excentricidade)
                                    a


                                           4
Resumo Matem´tica Discreta
                                   a                        Pedro Dias




r(G) = min{∀u ∈ V (G) : e(u)} (raio=menor excentricidade)




                                    5
Resumo Matem´tica Discreta
                                          a                                                         Pedro Dias


8.2    Matriz de adjacˆncia
                      e
                                           
                    0             1       0
                A= 1             0       1         v1 •                              •v2
                    0             1       0

                                                                      v3 •
A ´ uma matriz v × v
  e

8.3    Matriz de incidˆncia
                      e
                                             
                    1              1        0
             A =  −1              0        1            v1 •
                                                                             e1
                                                                                            / •v2
                    0             −1       −1
                                                                 e2                    e3
                                                                         " |
                                                                         v3 •
A ´ uma matriz v × e
  e
δG (v1 ) = 1 + 1 + 0 (o grau do v´rtice 1 ´ a soma da Linha 1)
                                 e        e

8.4    Floresta
Um grafo ´ uma floresta se e s´ se
         e                   o
                                  E(G) + V(G) + +cc(G) = 0

8.5    C´digo de Pr¨ fer
        o          u
n − 2 itera¸˜es
           co
Elimina¸ao sucessiva do v´rtice de menor grau.
        c                e
Exemplo:
                             •7      •1        •8


                         •2               •3         •4           •5              •6
 itera¸˜o
       ca   1    2       3    4       5        6
    Si      1    2       6    7       3        4
     ti     4    3       5    3       4        5
ti ≡ vizinho do menor v´rtice de grau 1
                       e
Portanto o c´digo de Pr¨fer ´ {4, 3, 5, 3, 4, 5}
             o         u e

8.6    Descodifica¸˜o do C´digo de Pr¨ fer
                 ca      o          u
O v´rtice v aparece δG (v) − 1 vezes no c´digo de Pr¨fer.
    e                                    o          u
Si = min{si ∈ ti } ⇒ si → ti ´ uma aresta
             /                e


8.7    Teorema de Cayley
O n´mero de ´rvores abrangentes de um grafo n-regular ´ dado por
   u        a                                         e
                                               T (Kn ) = nn−2


                                                     6
Resumo Matem´tica Discreta
                                         a                          Pedro Dias


8.8     Algoritmos
8.8.1     Kruskal
1o Ordenar as arestas por ordem crescente
2o Seleccionar as arestas de menor custo que n˜o formam ciclo.
                                              a

8.8.2     Dijkstra
A cada itera¸˜o seleccionar a aresta com menor custo acumulado.
            ca

8.8.3     Prim
     • U =∅
       U = V(G)
       Escolher a aresta u com menor custo ( U = U ∪ {u})
     • Escolher a aresta adjacente com menor custo ({u, v} : u ∈ U e v ∈ U )

     • repetir n − 1 vezes


9       N´ meros de Euler
         u
9.1     1a ordem
                                     n
                                          n
                                               = n!
                                          m
                                   k=0



                     n                   n−1           n−1
                         = (n − m)           + (m + 1)
                     m                   m−1            m
 n
 0   =1
 n
 k   =0      ∀m > n




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  • 1. Resumo Matem´tica Discreta a Pedro Dias 1 Proposi¸˜es co ˙ p∨q = (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q) (implica¸˜o) ca (¬(p ∧ q)) ⇔ (¬p ∨ ¬q) (Lei De Morgan) (¬(p ∨ q)) ⇔ (¬p ∧ ¬q) (Lei De Morgan) 2 Rela¸˜es co 2.1 Rela¸˜o de equivalˆncia ca e • Reflexiva: ∀a ∈ A : aRa • Sim´trica: ∀a, b ∈ A : aRb ⇒ bRa e • Transitiva: ∀a, b, c ∈ A : aRb ∧ bRc ⇒ aRc 2.2 Rela¸˜o de ordem parcial ca • Reflexiva: ∀a ∈ A : aRa • Anti-sim´trica: ∀a, b ∈ A : aRb ∧ bRa ⇒ a = b e • Transitiva: ∀a, b, c ∈ A : aRb ∧ bRc ⇒ aRc 2.3 Rela¸˜o de ordem total ca • Reflexiva: ∀a ∈ A : aRa • Anti-sim´trica: ∀a, b ∈ A : aRb ∧ bRa ⇒ a = b e • Transitiva: ∀a, b, c ∈ A : aRb ∧ bRc ⇒ aRc • Dicotomia: ∀a, b [a, b ∈ A] ⇒ aRb ∨ bRa]] 3 Redu¸˜o ` Forma Normal Prenex ca a 1o Remover os ⇔ e os ⇒ 2o Utiliza¸˜o das leis de DeMorgan e colocar as nega¸˜es (¬) imediatamente ca co antes dos ´tomos a 3o Movimentar os quantificadores para o in´ da equa¸˜o, se necess´rio efec- ıcio ca a tuar mudan¸as de vari´vel c a 4 Redu¸˜o ` Forma Normal de Skolem ca a • Se nenhum quantificador universal (∀) aparece ` esquerda de Qr , ent˜o: a a 1o Escolher uma constante c (que n˜o figure na express˜o) a a 2o Substituir Xr por c 3o Eliminar Qr (Xr ) 1
  • 2. Resumo Matem´tica Discreta a Pedro Dias • Se Q1 , Q2 , ..., Qn s˜o quantificadores universais (∀) que ocorrem ` esquerda a a de Qr ent˜o: a 1o Escolher um s´ ımbolo de fun¸˜o diferente dos existentes, com n argu- ca mentos 2o Substituir Xr por f (x1 , ..., xn ) 3o Eliminar Qr (Xr ) 5 Unifica¸˜o ca Wi ≡ conjuntos de express˜es o Di ≡ conjunto das diferen¸as c σi ≡ unificador mais geral (se Wi unit´rio) a 1o Determinar o conjunto das diferen¸as c 2o Se existem vari´veis nesse conjunto ent˜o a vari´vel xi ´ substituida por um a a a e termo ti (ti /xi ) 3o Se Wi n˜o ´ unit´rio voltar ao passo 1 a e a 6 Arranjos, Combina¸oes, Permuta¸oes,... c˜ c˜ 6.1 Arranjos A ordem importa. n! An,m = (n − m)! 3! Exemplo: Para a, b, c, A3,2 = (3−2)! =3×2=6 ab, ac, ba, bc, ca, cb, 6.1.1 Arranjos com repeti¸˜o ca A(m) = nm n 6.2 Combina¸oes c˜ A ordem n˜o importa. a n n! = m (n − m)!m! 3 3! 3×2 6 Exemplo: Para a, b, c, 2 = (3−2)!2! = 2! = 2 =3 ab, ac, bc 6.2.1 Combina¸˜es com repeti¸˜o co ca n+m−1 n + m − 1! = m (n − 1)!m! 2
  • 3. Resumo Matem´tica Discreta a Pedro Dias 6.3 Permuta¸˜es co n! P (n) = An,n = = n! (n − n)! (0! = 1) 7 Equa¸˜es de Recorrˆncia co e 7.1 Equa¸˜es lineares homog´neas co e Equa¸˜o Caracter´ ca ıstica: cn × xn + ... + c1 × x1 = 0 Se as ra´ ızes da equa¸˜o caracter´ ca ıstica forem diferentes ent˜o a solu¸˜o geral ´: a ca e an = C1 × αn + C2 × β n Se as ra´ ızes da equa¸˜o caracter´ ca ıstica forem iguais ent˜o a solu¸˜o geral ´: a ca e an = (C1 + C2 n + ... + Cm nm−1 )αn m ≡ multiplicidade de α S´ falta determinar as constantes. o a0 = (C1 + C2 × 0) × x0 C1 = a0 Nota: o n´mero de constantes tem que ser igual ao n´mero de condi¸˜es iniciais u u co fornecidas. 7.2 Equa¸˜es lineares n˜o homog´neas co a e an = C1 an−1 + C2 an−2 + ... = f (n) Donde a solu¸˜o ´ dada por: ca e an = a(1) + a(2) n n (1) an ≡ solu¸˜o geral ca (2) an ≡ solu¸˜o particular ca (1) an ≡equa¸˜o linear homog´nea dada anteriormente ca e A solu¸˜o particular ´ dada por um de 3 casos: ca e 1o - f (n) = cq n ent˜o a a(2) = Anm .q n n m ≡ multiplicidade de q enquanto ra´ da equa¸˜o caracter´ ız ca ıstica 3
  • 4. Resumo Matem´tica Discreta a Pedro Dias 2o - f (n) = a0 nk + a1 nk−1 + ... + ak (polin´mio de grau k) o Seja r a multiplicidade de 1 enquanto ra´ da equa¸˜o caracter´ ız ca ıstica na solu¸˜o homog´nea ent˜o: ca e a a(2) = A0 nr + A1 nr+1 + ... + Ak nk+r n 3o - f (n) = f1 (n) + f2 (n) + ... + fk (n) ent˜o a solu¸˜o particular a ca (2) (2) (2) a(2) = an,1 + an,2 + ... + an,k n 8 Teoria dos Grafos 8.1 Conceitos 8.1.1 Grafos Isomorfos Dois grafos dizem-se isomorfos se tiverem o mesmo n´mero de v´rtices e de u e arestas e o grau dos v´rtices iguais. e 8.1.2 Trajecto Passeio sem arestas repetidas 8.1.3 Caminho Passeio sem v´rtices repetidos. e 8.1.4 Circuito Trajecto fechado. 8.1.5 Ciclo Caminho fechado. 8.1.6 Circuito de Euler Tem todas as arestas do grafo. 8.1.7 Ciclo de Hamilton Tem todos os v´rtices do grafo. e 8.1.8 Nota¸˜es co dist(x, y) ≡ min(comp(x, y)∀x, y (distˆncia= menor comprimento) a cintura ≡ comprimento do circuito de menor comprimento e(v) = max{dist(u, v), ∀u ∈ V (G)} (excentricidade=maior distˆncia) a diam(G) = max{∀u ∈ V (G) : e(u)} (diˆmetro=maior excentricidade) a 4
  • 5. Resumo Matem´tica Discreta a Pedro Dias r(G) = min{∀u ∈ V (G) : e(u)} (raio=menor excentricidade) 5
  • 6. Resumo Matem´tica Discreta a Pedro Dias 8.2 Matriz de adjacˆncia e   0 1 0 A= 1 0 1  v1 • •v2 0 1 0 v3 • A ´ uma matriz v × v e 8.3 Matriz de incidˆncia e   1 1 0 A =  −1 0 1  v1 • e1 / •v2 0 −1 −1 e2 e3 " | v3 • A ´ uma matriz v × e e δG (v1 ) = 1 + 1 + 0 (o grau do v´rtice 1 ´ a soma da Linha 1) e e 8.4 Floresta Um grafo ´ uma floresta se e s´ se e o E(G) + V(G) + +cc(G) = 0 8.5 C´digo de Pr¨ fer o u n − 2 itera¸˜es co Elimina¸ao sucessiva do v´rtice de menor grau. c e Exemplo: •7 •1 •8 •2 •3 •4 •5 •6 itera¸˜o ca 1 2 3 4 5 6 Si 1 2 6 7 3 4 ti 4 3 5 3 4 5 ti ≡ vizinho do menor v´rtice de grau 1 e Portanto o c´digo de Pr¨fer ´ {4, 3, 5, 3, 4, 5} o u e 8.6 Descodifica¸˜o do C´digo de Pr¨ fer ca o u O v´rtice v aparece δG (v) − 1 vezes no c´digo de Pr¨fer. e o u Si = min{si ∈ ti } ⇒ si → ti ´ uma aresta / e 8.7 Teorema de Cayley O n´mero de ´rvores abrangentes de um grafo n-regular ´ dado por u a e T (Kn ) = nn−2 6
  • 7. Resumo Matem´tica Discreta a Pedro Dias 8.8 Algoritmos 8.8.1 Kruskal 1o Ordenar as arestas por ordem crescente 2o Seleccionar as arestas de menor custo que n˜o formam ciclo. a 8.8.2 Dijkstra A cada itera¸˜o seleccionar a aresta com menor custo acumulado. ca 8.8.3 Prim • U =∅ U = V(G) Escolher a aresta u com menor custo ( U = U ∪ {u}) • Escolher a aresta adjacente com menor custo ({u, v} : u ∈ U e v ∈ U ) • repetir n − 1 vezes 9 N´ meros de Euler u 9.1 1a ordem n n = n! m k=0 n n−1 n−1 = (n − m) + (m + 1) m m−1 m n 0 =1 n k =0 ∀m > n 7