Seqe

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Seqe

  1. 1. Anota¸c˜oes sobre sequˆencias Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡ rodrigo.uff.math@gmail.com ‡
  2. 2. 1
  3. 3. Sum´ario 1 Sequˆencias 4 1.1 Defini¸c˜ao e propriedades b´asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Opera¸c˜oes com sequˆencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1 Defini¸c˜ao de subsequˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Limites de sequˆencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.1 Caracteriza¸c˜ao de sequˆencias por meio de abertos . . . . . . . . . . 13 1.3.2 Defini¸c˜ao de sequˆencia peri´odica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.3 Valores de aderˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4 Sequˆencias mon´otonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4.1 Toda sequˆencia mon´otona limitada ´e convergente . . . . . . . . . . 20 1.4.2 √ a + √ a + √ a + · · · Ra´ızes encaixadas . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.4.3 lim bn = 0, |an| < c ⇒ lim anbn = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.4.4 A sequˆencia ( 1 + 1 n )n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.4.5 √ x √ x √ x √ x · · · . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.4.6 Limite do m´odulo de uma sequˆencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.4.7 Estudo da sequˆencia (an ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.5 Propriedades aritm´eticas dos limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.5.1 Limite da soma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.5.2 Limite do produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.5.3 Limite do quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.5.4 lim p √ (xn). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.5.5 Se N = p ∪ k=1 Nk e lim n∈Nk xn = a ent˜ao lim xn = a. . . . . . . . . . . . . 38 1.6 C´alculo de limites por meio de subsequˆencias . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2
  4. 4. SUM ´ARIO 3 1.6.1 lim a 1 n = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.6.2 lim n 1 n = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1.7 Limites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1.7.1 lim √ n = ∞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.7.2 lim n∑ k=1 1 √ n + k = ∞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.8 Opera¸c˜oes com limites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.8.1 Se lim |xn+1| |xn| = L ent˜ao lim n √ |xn| = L. . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1.8.2 lim n √ (2n)! n!nn = 4 e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 1.8.3 lim n→∞ ( m + n n )1 n = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 1.8.4 lim n √ n! = ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 1.8.5 lim 1 √ n + 1 + √ n = lim √ n + 1 − √ n = 0 . . . . . . . . . . . . . . 46 1.8.6 lim ln(n + 1) − ln(n) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 1.8.7 lim ln(n + 1) ln(n) = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 1.9 Limites e desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 1.9.1 O limite preserva desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
  5. 5. Cap´ıtulo 1 Sequˆencias 1.1 Defini¸c˜ao e propriedades b´asicas Defini¸c˜ao 1 (Sequˆencia finita ou n-upla). Uma sequˆencia finita ´e uma fun¸c˜ao x : In → B, onde In = {1, . . . n} e B ´e um conjunto qualquer, podemos denotar a sequˆencia como (xk)n 1 . Defini¸c˜ao 2 (Sequˆencia vazia). ´E uma sequˆencia sem elementos denotada por () que consideraremos tamb´em como uma sequˆencia finita. Defini¸c˜ao 3 (Sequˆencia). Come¸caremos com uma sequˆencia em um corpo qualquer e depois trataremos de sequˆencias onde o corpo ´e o corpo dos n´umeros reais. Uma sequˆencia com elementos em um corpo K ´e uma fun¸c˜ao X : N → K. xn ´e chamado n-´esimo termo da sequˆencia e podemos denotar a sequˆencia das seguintes maneiras (x1, . . . , xn, . . . ) = (xn)n∈N = (xn) = {xn}. Tal defini¸c˜ao pode ser feita tomando um conjunto qualquer B no lugar do corpo K, nesse caso podemos ter sequˆencia de elementos arbitr´arios. Em nossa apresenta¸c˜ao escolhemos come¸car a sequˆencia do termo x1 pois associamos a ele normalmente o primeiro termo. 4
  6. 6. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 5 Usaremos a nota¸c˜ao x(N) = {x1, . . . , xn, . . . } = {xn|n ∈ N} para simbolizar o con- junto dos termos da sequˆencia. ´e preciso tomar cuidado para n˜ao confundir o conjunto de termos da sequˆencia com a representa¸c˜ao da sequˆencias atrav´es da upla. Se a sequˆencia for injetiva, isto ´e, xm = xn implicar n = m, diremos que ´e uma sequˆencia de termos dois a dois distintos. Em (xn), n ´e chamado de ´ındice da sequˆencia. Dizemos tamb´em que em (xn), xn ´e o termo de ordem n ou ´e o n-´esimo termo da sequˆencia. Defini¸c˜ao 4 (Sucessores e antecessores). Dado o termo xs em uma sequˆencia (xn), os termos xp tais que p > s s˜ao ditos sucessores de xs na sequˆencia (xn) se s > 1 ent˜ao os termos xp tal que p < s s˜ao ditos antecessores de xs na sequˆencia (xn). 1.2 Opera¸c˜oes com sequˆencias Defini¸c˜ao 5 (Igualdade de sequˆencias). Duas sequˆencias (ak) e (bk) s˜ao iguais, quando ak = bk para todo k ∈ N (ak) = (bk) , isto ´e duas sequˆencias s˜ao iguais quando seus termos de ´ındices iguais, s˜ao iguais. Defini¸c˜ao 6 (Adi¸c˜ao de sequˆencias). Sejam sequˆencias (an) e (bn), definimos a adi¸c˜ao como uma outra sequˆencia (cn) (an) + (bn) = (cn) onde o termo cn ´e dado pela adi¸c˜ao de an e bn, cn = an + bn. Defini¸c˜ao 7 (Produto de sequˆencias). Sejam sequˆencias (an) e (bn), definimos o produto, como (an)(bn) = (cn) onde o termo cn ´e dado pelo produto dos termos bn e an, cn = anbn.
  7. 7. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 6 Propriedades da adi¸c˜ao Sejam (an), (bn), (cn) sequˆencias quaisquer no corpo K, a adi¸c˜ao e o produto de sequˆencias gozam das seguintes propriedades Propriedade 1 (Elemento neutro). O elemento neutro da adi¸c˜ao de sequˆencias ´e a sequˆencia onde todos termos s˜ao nulos (cn) = (0) onde cn = 0 ∀ n ∈ N1. E temos a propriedade, sendo (an) uma sequˆencia qualquer, temos a propriedade (an) + (0) = (an + 0) = (an). Pois o corpo k possui elemento neutro da adi¸c˜ao. Temos um elemento neutro do produto que ´e (1) a sequˆencia constante formada pelo n´umero 1, e temos a propriedade (an)(1) = (an.1) = (an). Pois 1 ´e o elemento neutro do produto no corpo K Propriedade 2 (Comutatividade). Temos as propriedades (cn) + (bn) = (cn + bn) = (bn + cn) = (bn) + (cn) (cn)(bn) = (cn.bn) = (bn.cn) = (bn)(cn) pela propriedade da adi¸c˜ao e o produto serem comutativos no corpo k. Propriedade 3 (Associatividade). [(cn) + (bn)] + (an) = (cn + bn) + (an) = (cn + bn + an) = (cn) + [(bn + an)] [(cn).(bn)].(an) = (cn.bn).(an) = (cn.bn.an) = (cn).[(bn.an)] pela associatividade no corpo K.
  8. 8. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 7 Propriedade 4 (Existˆencia de inverso). Para a sequˆencia (an) existe a sequˆencia (−an), tal que (an) + (−an) = (an − an) = (0) a soma das sequˆencias ´e a sequˆencia nula. Se an ̸= 0 para todo n, existe a−1 n e temos a sequˆencia dos inversos (a−1 n ) onde temos a propriedade (an).(a−1 n ) = (an.a−1 n ) = (1). Propriedade 5 (Existˆencia de divisores de zero). Dadas duas sequˆencias n˜ao nulas (xn) e (yn) seu produto pode ser uma sequˆencia nula. Demonstra¸c˜ao. Considere (xn) dada por xn = 0 se n par e xn = 1 se n ´ımpar, (yn) tal que yn = 0 se n ´ımpar yn = 1 se n par, ent˜ao (xn)(yn) = (0) e nenhuma delas ´e a sequˆencia nula. Corol´ario 1. Com isso conclu´ımos que o conjunto das sequˆencias munido da adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao que definimos , n˜ao ´e um corpo, pois em corpos n˜ao existem divisores de zero. Propriedade 6 (Distributividade). (an)[(cn) + (bn)] = (an)(cn + bn) = (ancn + anbn) = (ancn) + (anbn) = (an)(cn) + (an)(bn) pela distributividade no corpo K. Defini¸c˜ao 8 (Produto por elemento de um corpo). Sejam uma sequˆencia (an) e um elemento r do corpo K, definimos o produto da sequˆencia por r como uma outra sequˆencia (cn) r(an) = (cn) onde o termo cn ´e dado pelo produto do termo an e r, cn = an.r. Propriedade 7 (Distributividade). Sendo r e p ∈ k, temos (r + p)(an) = (ran + pan) = (ran) + (pan) = r(an) + p(an). r[(an) + (bn)] = r(an + bn) = (ran + rbn) = r(an) + r(bn).
  9. 9. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 8 Propriedade 8 (Multiplica¸c˜ao por 1). 1.(an) = (1.an) = (an). Propriedade 9. c e d no corpo K temos c[d.(an)] = c(d.an) = (c.d.an) = (c.d).(an) Com as propriedades de adi¸c˜ao e produto por escalar (que no caso s˜ao elementos do corpo K), as sequˆencias em um corpo k, formam um espa¸c o vetorial. Este espa¸c o vetorial de sequˆencias ser´a simbolizado por K∞ , em especial se o corpo for o corpo dos n´umeros reais R, teremos o espa¸c o vetorial R∞ que s˜ao sequˆencias de n´umeros reais. Propriedade 10. Seja, s um n´umero natural maior que 1 , as sequˆencias (xn) com xn = 0 para n ≥ s e outros termos livres em K formam um subespa¸c o vetorial de K∞ . Em termos de upla escrevemos ( xk|s−1 1 , xk|∞ s ) = ( xk|s−1 1 , 0|∞ s ) = (x1, . . . , xs−1, 0, . . . ). Demonstra¸c˜ao. A sequˆencia (0) pertence a sequˆencia (xn), pois basta tomar xn = 0 para n < s, pela defini¸c˜ao da sequˆencia (xn) vamos ter xn = 0 para n ≥ s. Escrevendo com nota¸c˜ao de upla ( xk ∞ 1 ) abrindo, temos ( xk ∞ 1 ) = ( xk s−1 1 , xk ∞ s ) para que seja a sequˆencia zera basta tomar xk = 0 para k de 1 at´e s − 1, pois a partir de s, todos s˜ao zero. Sejam agora duas sequˆencias (an) e (bn) com as propriedades da hip´otese, vamos demonstrar a soma continua tendo as propriedades que queremos. Escrevendo como upla, temos (an) + (bn) = ( ak s−1 1 , 0 ∞ s ) + ( bk s−1 1 , 0 ∞ s ) = ( ak + bk s−1 1 , 0 ∞ s ) . logo a adi¸c˜ao ´e fechada. Agora seja a um elemento do corpo K e uma sequˆencia (xn) com as propriedades da hip´otese, vamos mostrar que o produto continua sendo uma sequˆencia com a propriedade que queremos a ( ak s−1 1 , 0 ∞ s ) = ( a.ak s−1 1 , 0 ∞ s ) . que ´e do tipo que desejamos. Assim demonstrada essas trˆes propriedades temos que tais sequˆencias s˜ao subespa¸c o de K∞ .
  10. 10. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 9 1.2.1 Defini¸c˜ao de subsequˆencia Defini¸c˜ao 9 (Subsequˆencia). Uma subsequˆencia (xn)n∈N′ de uma sequˆencia (xn) ´e a restri¸c˜ao da sequˆencia xn : N → R a um subconjunto infinito N′ de N, isto ´e, (xn)n∈N′ ´e a fun¸c˜ao xn : N′ → R, onde N′ ⊂ N ´e um conjunto infinito . Vamos analisar agora o caso onde o corpo K ´e o corpo dos n´umeros reais. Defini¸c˜ao 10 (Sequˆencia limitada). Uma sequˆencia (xn) ´e limitada quando existem a e b reais tais que xn ∈ [a, b] ∀ n ∈ N, isto ´e, sempre vale a ≤ xn ≤ b . Todo intervalo [a, b] est´a contido num intervalo do tipo [−c, c], com c > 0 (intervalo sim´etrico). Para ver isto, basta tomar c = max{|a|, |b|}, pois c ≥ b e c ≥ −a da´ı a ≥ −c e portanto, −c ≤ xn ≤ c ⇔ |xn| ≤ c, assim podemos ver que uma sequˆencia (xn) ´e limitada ⇔ existe c > 0 real, tal que |xn| ≤ c para todo n ∈ N, Da´ı resulta que (xn) ´e limitada ⇔ (|xn|) ´e limitada. Propriedade 11. A soma finita de sequˆencias limitada ´e uma sequˆencia limitada. Demonstra¸c˜ao. Usaremos nota¸c˜ao xp(k) para simbolizar o k-´esimo termo da p-´esima sequˆencia, como cada uma das n sequˆencias ´e limitada ent˜ao para cada p existe uma constante Mp > 0, tal que |xp(k)| ≤ Mp para todo k ∈ N. Somando sobre p tem-se | n∑ p=1 xp(k)| ≤ n∑ p=1 |xp(k)| ≤ n∑ p=1 Mp logo a sequˆencia dada pela soma ´e limitada. Propriedade 12. O produto de sequˆencias limitadas ´e uma sequˆencia limitada. Demonstra¸c˜ao. Usaremos a mesma nota¸c˜ao da propriedade anterior. Vale |xp(k)| ≤ Mp da´ı podemos tomar o produto com p variando n∏ p=1 |xp(k)| = | n∏ p=1 xp(k)| ≤ n∏ p=1 Mp de onde segue o resultado.
  11. 11. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 10 Defini¸c˜ao 11 (Sequˆencia ilimitada). Quando uma sequˆencia n˜ao ´e limitada, diz-se que ela ´e ilimitada. Defini¸c˜ao 12 (Sequˆencia limitada superiormente). Uma sequˆencia (xn) ´e limitada superiormente, quando existe b ∈ R, tal que xn ≤ b para todo n ∈ N1, isto ´e, todos elementos pertencem ao intervalo (−∞, b]. Defini¸c˜ao 13 (Sequˆencia limitada inferiormente). Uma sequˆencia (xn) ´e limitada inferiormente, quando existe b ∈ R , tal que b ≤ xn para todo n ∈ N1, isto ´e, todos termos da sequˆencia pertencem ao intervalo [b, ∞). Corol´ario 2. Uma sequˆencia ´e limitada sse ´e limitada superiormente e inferiormente. Se a sequˆencia for limitada ent˜ao todos seus termos pertencem a um intervalo fechado [a, b], logo temos sempre a ≤ xn ≤ b, de onde segue que xn ≤ b logo ´e limitada superiormente e a ≤ xn logo limitada inferiormente. Agora se ela ´e limitada inferiormente e superiormente temos a, b tais que a ≤ xn e xn ≤ b logo xn ∈ [a, b] para todo n. Corol´ario 3. Toda subsequˆencia de uma sequˆencia limitada ´e limitada. Se a sequˆencia ´e limitada ent˜ao temos que xn ∈ [a, b]∀n ∈ N1 em especial temos tamb´em que xn ∈ [a, b]∀n ∈ N′ pois N′ ´e um subconjunto de N. Defini¸c˜ao 14 (Sequˆencias crescentes e n˜ao-decrescentes). Uma sequˆencia (xn) ´e crescente, quando temos xn+1 > xn, para todo n ∈ N1. Podemos escrever da seguinte forma xn+1 − xn > 0, usando o operador delta, ∆xn > 0, logo uma sequˆencia ´e crescente, quando ∆xn > 0 para todo n. Uma sequˆencia (xn) ´e n˜ao-decrescente, quando temos xn+1 ≥ xn para todo n ∈ N1, que podemos escrever ∆xn ≥ 0. As sequˆencias crescentes s˜ao sequˆencias n˜ao-decrescentes, pois satisfazem xn ≥ 0 mas as n˜ao-decrescentes em geral n˜ao s˜ao crescentes. Defini¸c˜ao 15 (Sequˆencias decrescentes e n˜ao-crescentes). Uma sequˆencia (xn) ´e decrescente quando temos xn > xn+1 para todo n ∈ N1, que pode ser escrito como 0 > xn+1 − xn e usando novamente o operador delta, 0 > ∆xn ou ∆xn < 0.
  12. 12. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 11 Uma sequˆencia (xn) ´e n˜ao-crescente, quando temos xn+1 ≤ xn para todo n ∈ N1, e usando o operador, escrevemos ∆xn ≤ 0. Da mesma maneira que nas sequˆencias crescen- tes, as sequˆencias decrescentes s˜ao sequˆencias n˜ao-crescentes pois satisfazem ∆xn ≤ 0, por´em as sequˆencias n˜ao-crescentes n˜ao s˜ao necessariamente decrescentes. Propriedade 13. Toda sequˆencia n˜ao-decrescente ´e limitada inferiormente e toda n˜ao-crescente ´e limitada inferiormente. Demonstra¸c˜ao. Temos que vale ∆xk ≥ 0 para todo k ∈ N1 vamos mostrar que a sequˆencia n˜ao-decrescente ´e limitada inferiormente pelo seu primeiro termo x1, para isso temos que mostrar que xn ≥ x1 para qualquer n ∈ N1, como temos que vale ∆xk ≥ 0 para todo k ∈ N1, tomamos o somat´orio com k em [1, n − 1] n−1∑ k=1 ∆xk = xk n 1 = xn − x1 ≥ 0 pois ´e uma soma de n´umeros n˜ao negativos, logo vale xn ≥ x1. O mesmo argumento para uma sequˆencia crescente, nela vale ∆xk > 0 aplicando a soma em [0.n − 1] temos n−1∑ k=1 ∆xk = xn − x1 > 0 pois ´e soma de termos maiores que zero, implicando xn > x1 para n > 1. Agora toda sequˆencia n˜ao-crescente ´e limitada superiormente pelo seu primeiro termo, pois temos ∆xk ≤ 0 e aplicando a soma em [1, n − 1] temos n−1∑ k=1 ∆xk = xn − x1 ≤ 0 logo xn ≤ x1 sendo o mesmo v´alido para sequˆencias decrescentes ∆xk < 0 n−1∑ k=1 ∆xk = xn − x1 < 0 logo xn < x1. Defini¸c˜ao 16 (Sequˆencias mon´otonas). sequˆencias mon´otonas s˜ao sequˆencias que tˆem uma das propriedades: Crescentes, decrescentes, n˜ao-crescentes ou n˜ao-decrescentes. Como as sequˆencias crescentes s˜ao tamb´em n˜ao-decrescentes e as decrescentes s˜ao n˜ao- crescentes podemos demonstrar algumas propriedades para n˜ao-crescentes e n˜ao-decrescentes sendo v´alida para outras sequˆencias mon´otonas tamb´em.
  13. 13. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 12 Propriedade 14. N˜ao existe sequˆencia decrescente de n´umero naturais. Demonstra¸c˜ao. Suponha que exista uma sequˆencia (xn) decrescente, considere o conjunto dos termos da sequˆencia A = {xn | n ∈ N}, por ser um conjunto de n´umeros naturais o PBO garante que existe o menor elemento de A, da´ı existe m ∈ N tal que xm ´e m´ınimo, por´em como a sequˆencia ´e decrescente ent˜ao xm > xm+1, absurdo. Propriedade 15. N˜ao existe sequˆencia crescente limitada de n´umeros naturais. Demonstra¸c˜ao. Supondo que exista uma sequˆencia (xn) crescente o conjunto de seus termos A tem um maior elemento, digamos xm, por´em como ela ´e crescente temos xm+1 > xm o que ´e absurdo. Propriedade 16. Toda sequˆencia n˜ao-decrescente limitada de n´umeros naturais ´e constante a partir de certo termo. Demonstra¸c˜ao. Dado o conjunto dos termos da sequˆencia, existe um elemento m´aximo, digamos xm, vale xm+1 ≥ xm, como n˜ao pode valer xm+1 > xm ent˜ao vale xm+1 = xm, o mesmo deve valer para todo outro p > m, xp = xm, pois n˜ao pode valer xp > xm. Propriedade 17. Se uma sequˆencia (xk) de n´umeros naturais ´e crescente, ent˜ao vale xk ≥ k para todo k ∈ N. Demonstra¸c˜ao. Por indu¸c˜ao sobre n, para n = 1, vale x1 ≥ 1, pois x1 sendo natural n˜ao pode ser menor que 1. Suponha que xn ≥ n, vamos mostrar que xn+1 ≥ n+1, vale que xn+1 > xn = n, da´ı xn+1 > n, o que implica xn+1 ≥ n + 1, pois xn+1 n˜ao pode estar em (n, n + 1) pelo fato de ser natural. Defini¸c˜ao 17. Uma sequˆencia (xn) ´e dita estar eventualmente num conjunto A se existe n0 ∈ N tal que n > n0 implica an ∈ A, isto ´e, todos termos de ´ındices suficiente- mente grandes pertencem ao conjunto A. Defini¸c˜ao 18. Uma sequˆencia (xn) ´e dita estar frequentemente num conjunto A se para todo n0 ∈ N existe n1 > n0 tal que an1 ∈ A, isto ´e, para todo ´ındice n0 podemos achar outro ´ındice maior n1 tal que an1 ∈ A. Nesse caso dizemos que a sequˆencia (xn) est´a frequentemente no conjunto A.
  14. 14. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 13 1.3 Limites de sequˆencias Usaremos a nota¸c˜ao B(a, ε) para o conjunto B(a, ε) = {x ∈ R | |x − a| < ε}. Tal conjunto ´e chamado de bola de centro a ´e raio ε. Defini¸c˜ao 19 (Limite de sequˆencia.). Dizemos que lim xn = a ⇔ para qualquer ε > 0 dado, conseguimos encontrar um n´umero natural n0 tal que para n maior que n0 tem-se |xn − a| < ε, nesse caso dizemos que a sequˆencia ´e convergente e seu limite ´e a, caso n˜ao exista a tal que a sequˆencia satisfa¸ca essa propriedade dizemos que a sequˆencia diverge. Em s´ımbolos tem-se a defini¸c˜ao lim xn = a ⇔ ∀ε > 0 ∃ n0 ∈ N|n > n0 ⇒ |xn − a| < ε. Lˆe-se lim xn = a como : limite de xn ´e igual `a a. De maneira equivalente podemos escrever1 lim xn = a ⇔ ∀ε > 0 ∃ n0 ∈ N|n > n0 ⇒ xn ∈ B(a, ε). Tamb´em denotamos lim xn = a por xn → a e lim xn = lim n→∞ xn. . Quando n˜ao vale lim xn = a, negamos a defini¸c˜ao, ent˜ao fica ∃ε > 0, ∀ n0 ∈ N, ∃n > n0 tal que |xn − a| ≥ ε. Nesse caso existem infinitos valores fora do intervalo (a − ε, a + ε). 1.3.1 Caracteriza¸c˜ao de sequˆencias por meio de abertos Propriedade 18 (Caracteriza¸c˜ao de sequˆencias por meio de abertos). lim xn = a ⇔ ∀ aberto A com a ∈ A existe n0 ∈ N tal que n > n0 implica xn ∈ A. 1 Dada um sequˆencia xn → a, existe n0 tal que uma vez que a sequˆencia entra na bola B(a, ε) ela nunca mais sa´ı
  15. 15. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 14 Demonstra¸c˜ao. ⇒). Seja A um aberto com a ∈ A, ent˜ao existe ε > 0 tal que (a − ε, a + ε) ⊂ A e por lim xn = a existe n0 ∈ N | n > n0 tem-se xn ∈ (a − ε, a + ε), logo xn ∈ A. ⇐). Supondo que ∀ aberto A com a ∈ A existe n0 ∈ N tal que n > n0 implica xn ∈ A, ent˜ao em especial para todo ε > 0 podemos tomar o aberto A = (a − ε, a + ε) e tem-se lim xn = a pela defini¸c˜ao de limite. Propriedade 19 (Unicidade do limite de sequˆencias). Se lim xn = a e lim xn = b ent˜ao a = b. Dado um a qualquer quando lim xn = a dizemos que a sequˆencia (xn) converge para a ou tende para a e tem limite. As sequˆencias que tˆem limite chamamos de convergentes e as que n˜ao chamamos de divergentes. Demonstra¸c˜ao. Seja lim xn = a e b ̸= a vamos tomar ε = |b − a| 2 , ε > 0 temos que os intervalos (a − ε, a + ε) e (b − ε, b + ε) s˜ao disjuntos, pois se houvesse x tal que |a−x| < ε e |x−b| < ε somando as desigualdades ter´ıamos |a−x|+|x−b| < 2ε = |b−a| e pela desigualdade triangular |b − a| ≤ |a − x| + |x − b| < |b − a| o que ´e absurdo, temos ent˜ao que os intervalos s˜ao disjuntos. Como lim xn = a temos que existe n0 tal que para ∀n > n0 vale xn ∈ (a − ε, a + ε) e xn /∈ (b − ε, b + ε), logo lim xn ̸= b. Propriedade 20 (Limite de constante). Se f(n) = a ent˜ao lim f(n) = a. Vamos usar a defini¸c˜ao de limite. Temos que ∀ε > 0 e para todo n vale |f(n) − a| = |a − a| = 0 < ε logo lim f(n) = a. Propriedade 21. Se f(n) = 1 n ent˜ao lim f(n) = 0. Por propriedade arquimediana dos naturais temos que para todo ε > 0 existe n0 ∈ N tal que n0 > 1 ε logo ε > 1 n0 , al´em disso f(n) ´e decrescente pois ∆f(n) = − 1 n(n + 1) < 0 assim para todo ε > 0 e n > n0 vale 1 n < 1 n0 < ε, isso implica pela defini¸c˜ao de limite que lim 1 n = 0. Propriedade 22. Sejam lim xn = a e ε > 0, ent˜ao apenas um n´umero finito de termos n˜ao pertence ao intervalo (a − ε, a + ε).
  16. 16. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 15 Demonstra¸c˜ao. Figura 1.1: Um n´umero finito de elementos n˜ao pertence ao intervalo (a − ε, a + ε) Como lim xn = a tem-se ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N tal que n > n0 (n ∈ N) implica |xn − a| < ε isso significa que para n > n0 tem-se xn ∈ (a−ε, a+ε) logo os ´unicos termos da sequˆencia que poderiam estar fora do intervalo s˜ao os termo xk com k ∈ [1, n0]N sendo no m´aximo n0 elementos, tem-se ent˜ao um n´umero finito de termos fora do intervalo. O n´umero de elementos fora do intervalo (a − ε, a + ε) pode ser 0, por exemplo caso xn = 0 o intervalo ´e (−ε, ε) que cont´em todos termos da sequˆencia. Propriedade 23. Se para qualquer ε > 0 fixado vale que fora do intervalo (a−ε, a+ε) h´a apenas um n´umero finito de valores de xn ent˜ao lim xn = a. Demonstra¸c˜ao. Seja ε > 0 ´arbitr´ario fixado tem-se que fora do intervalo I = (a − ε, a + ε) h´a apenas um n´umero finito de valores de xn ent˜ao teremos no m´aximo os valores xk de k = 1 at´e um certo k = n0 tal que xk /∈ I (pode ser que para alguns desses ´ındices k se tenha xk ∈ I) assim para n > n0 teremos xn ∈ I logo |xn − a| < ε, isto ´e para todo ε > 0 existe n0 tal que n > n0 implica |xn − a| < ε. Propriedade 24. Se lim xn = a ent˜ao toda subsequˆencia de (xn) converge para a. Demonstra¸c˜ao.Para todo ε > 0 apenas um n´umero finito de termos de (xn) n˜ao pertence ao intervalo I = (a − ε, a + ε) assim apenas um n´umero finito de termos da subsequˆencia podem estar fora do intervalo I o que implica que a subsequˆencia converge para a, pois I ir´a conter todos termos da subsequˆencia (a menos de uma quantidade finita) para qualquer ε > 0. Corol´ario 4. Se duas subsequˆencias de (xn) possuem limites distintos ent˜ao (xn) diverge. Pois se lim xn = a ent˜ao toda subsequˆencia de (xn) converge para a.
  17. 17. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 16 Propriedade 25. Se lim(xn+p) = a para algum p natural ent˜ao lim xn = a. Demonstra¸c˜ao. Existe n0 ∈ N tal que para n > n0 tem-se |xn+p − a| < ε, logo a partir de xn0 + p + 1 vale a desigualdade anterior, ent˜ao para n > n0 +p vale |xn −a| < ε que significa que lim xn = a. lim xn+p = a ⇔ lim xn = a. Corol´ario 5. Uma sequˆencia (xn) converge para a ⇔ todas suas subsequˆencias con- vergem para a. A ida j´a mostramos . Agora se todas subsequˆencias de (xn) convergem para a, ela pr´opria converge para a, pois ela ´e subsequˆencia dela mesma. Se toda sub- sequˆencia pr´opria de (xn) converge para a, ainda assim lim xn = a, pois podemos tomar a subsequˆencia (xn+1 e como vimos na propriedade anterior se lim xn+1 = a ent˜ao lim xa. 1.3.2 Defini¸c˜ao de sequˆencia peri´odica Defini¸c˜ao 20 (Sequˆencia peri´odica). Uma sequˆencia (xn) ´e dita peri´odica sse existe p ∈ N tal que xn+p = x para todo n ∈ N. O menor dos valores p ´e chamado de per´ıodo da sequˆencia. Corol´ario 6. A sequˆencia constante ´e peri´odica pois satisfaz xn = x(n + p) para qualquer p, sendo o menor desses valores 1, ent˜ao ela possui per´ıodo 1. Propriedade 26. Uma sequˆencia possui per´ıodo p = 1 sse ´e uma sequˆencia constante. Demonstra¸c˜ao. Se uma sequˆencia possui per´ıodo 1, ent˜ao vale para todo k ∈ N, xk = xk+1 da´ı ∆xk = 0, aplicando a soma n−1∑ k=1 tem-se xn − x1 = 0 da´ı xn = x1 para todo n, sendo assim ela ´e constante. No exemplo anterior vimos que a sequˆencia constante possui per´ıodo 1, ent˜ao a propriedade est´a demonstrada. Propriedade 27. Se (xn) possui per´ıodo p, ent˜ao para todo n, q ∈ N, tem-se x(n) = x(qp + n).
  18. 18. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 17 Demonstra¸c˜ao. Por indu¸c˜ao sobre q, para q = 1 vem da defini¸c˜ao. Supondo para q, xn = xqp+n, vamos provar que x(q + 1)p + n = xn. Tem-se x(q + 1)p + n = xqp+n+p = xqp+n = xn. Ent˜ao est´a demonstrado. Propriedade 28. Uma sequˆencia peri´odica ´e convergente sse ´e constante. Demonstra¸c˜ao.[1] Considere as subsequˆencias da sequˆencia (xk) que possui per´ıodo p (x1, x1+p, x1+2p, · · · ) = (x1+kp)k∈N (x2, x2+p, x2+2p, · · · ) = (x2+kp)k∈N ... (xp−1, xp−1+p, xp−1+2p, · · · ) = (xp−1+kp)k∈N cada sequˆencia dessas ´e constante e possui valor sempre igual ao seu primeiro termo pelo fato da sequˆencia ser peri´odica de per´ıodo p, xn+p = xn. Se (xk) converge ent˜ao todas suas subsequˆencias devem convergir para o mesmo valor, ent˜ao deve valer x1 = x2 = · · · = xp−1 e cada termo da sequˆencia (xk) deve pertencer a uma dessas subsequˆencias, disso segue que (xk) ´e constante. Demonstra¸c˜ao.[2] Se a sequˆencia xn ´e peri´odica ent˜ao existe um per´ıodo p, se esse per´ıodo ´e 1 ent˜ao ela ´e constante, considere ent˜ao que seja p > 1. Tome a divis˜ao euclidiana de n por p ent˜ao n = qp+s ou n = qp onde 0 < s < p, da´ı temos xn = xs no primeiro caso e no segundo xqp = xp, considere as subsequˆencias definidas como zs(q) = x((q−1)p+s) = xs e z0(q) = x(qp) = x(p) com q ∈ N, cada uma dessas subsequˆencias ´e constante e como a sequˆencia ´e convergente ent˜ao todas essas subsequˆencias devem assumir o mesmo valor t = xs = xp, ent˜ao no caso de n = qp + s tem-se xqp+s = xs = t e no caso n = qp tem-se xqp = xp = t, logo a sequˆencia ´e constante. Exemplo 1. f(n) = (−1)n diverge pois a subsequˆencia de ´ındices pares f(2n) = (−1)2n = 1 e a de ´ındices ´ımpares f(2n + 1) = (−1)2n+1 = −1 s˜ao constantes logo os limites das subsequˆencias s˜ao 1 e −1, sendo diferentes a sequˆencia diverge. Corol´ario 7. Se (xn) converge e o limite de uma subsequˆencia for a ent˜ao lim xn = a , pois a subsequˆencia deve convergir para o mesmo limite da sequˆencia.
  19. 19. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 18 Corol´ario 8. Se lim xn = a ent˜ao lim xn+p = a para qualquer p natural. Segue da propriedade anterior pois (xn+p) ´e uma subsequˆencia de (xn). Assim o limite de uma sequˆencia n˜ao se altera quando omitimos um n´umero finito de termos dela. Propriedade 29. Toda sequˆencia convergente ´e limitada. Demonstra¸c˜ao. Se lim xn = a ent˜ao para todo ε > 0 temos que existe n0 tal que para n > n0 implica xn ∈ (a − ε, a + ε), ent˜ao tomando ε = 1 tomamos o conjunto {x1, . . . , xn0 , a − 1, a + 1} seu m´aximo sendo c e m´ınimo d e temos todos elementos da sequˆencia contidos no intervalo [d, c], logo a sequˆencia ´e limitada. Corol´ario 9. Se uma sequˆencia n˜ao ´e limitada ela n˜ao ´e convergente. Exemplo 2. Mostre que a sequˆencia (xn) dada por xn = n∑ k=1 n n + k diverge. Vale k ≤ n, da´ı n + k ≤ 2n, 1 2 ≤ n n + k , aplicando a soma tem-se n∑ k=1 1 2 ≤ n∑ k=1 n n + k n 2 ≤ n∑ k=1 n n + k logo a sequˆencia diverge. 1.3.3 Valores de aderˆencia Defini¸c˜ao 21 (Valor de aderˆencia). Um n´umero real a ´e dito valor de aderˆencia de uma sequˆencia (xn), quando existe uma subsequˆencia de (xn) que converge para a. Simbolizaremos o conjunto dos valores de aderˆencia de uma sequˆencia por A[xn]. Corol´ario 10. Se uma sequˆencia ´e convergente ent˜ao todas subsequˆencias convergem para o mesmo limite que ´e o limite da sequˆencia, ent˜ao se uma sequˆencia ´e convergente ela possui apenas um valor de aderˆencia, isto ´e, se lim xn = a ent˜ao A[xn] = {a} = {lim xn}. Exemplo 3. Os racionais s˜ao densos na reta e s˜ao enumer´aveis, ent˜ao podemos to- mar uma sequˆencia (xn) que enumera os racionais, logo pra essa sequˆencia vale A[xn] = R.
  20. 20. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 19 Em especial os racionais em [0, 1] s˜ao enumer´aveis e densos logo tomando uma enumera¸c˜ao (xn) dos racionais nesse conjunto temos A[xn] = [0, 1]. Exemplo 4. A sequˆencia (1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, · · · ) que satisfaz x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3 sendo peri´odica de per´ıodo 3, xn+3 = xn, tem A[xn] = {1, 2, 3}. Exemplo 5. Dar o exemplo de uma sequˆencia (xn) que possua A[xn] = N. Para que isso aconte¸ca ´e necess´ario que cada n´umero natural apare¸ca infinitas vezes na sequˆencia. Definimos a sequˆencia (xn) como xn = k se n ´e da forma pαk k , onde pk ´e o k-´esimo primo e αk ∈ N, da´ı existem infinitos valores de n tais que xn = k com isso geramos subsequˆencias que convergem para um k qualquer dado, definimos tamb´em xn = 1 caso n n˜ao seja da forma pαk k , apenas para completar a defini¸c˜ao da sequˆencia. Propriedade 30. a ∈ A[xn] ⇔ ∀ ε > 0 e ∀ k ∈ N exista n com n > k tal que |xn − a| < ε. Um ponto a ´e de aderˆencia se existem infinito termos da sequˆencia arbitrariamente pr´oximos de a. Demonstra¸c˜ao. ⇒). Se a ´e valor de aderˆencia de (xn), ent˜ao ela possui uma subsequˆencia que converge para a, logo para qualquer ε > 0 e k ∈ N fixo, existe n ´ındice da subsequˆencia tal que n > k e |xn − a| < ε. ⇐). Supondo que ∀ ε > 0 e ∀ k ∈ N exista n com n > k tal que |xn − a| < ε. No primeiro passo tomamos ε = 1 e k = 1 da´ı existe n1 > 1 tal que xn1 ∈ (a−1, a+1). Podemos tomar agora ε = 1 2 e k = n1 ent˜ao existe n2 > n1 tal que xn2 ∈ (a − 1 2 , a + 1 2 ), na t + 1-´esima etapa tomamos ε = 1 t + 1 e k = nt da´ı existe nt+1 > nt tal que xnt+1 ∈ (a− 1 t + 1 , a+ 1 t + 1 ), logo constru´ımos uma subsequˆencia (xnt ) de (xn) tal que lim t→∞ xnt = a. Corol´ario 11. Negamos a proposi¸c˜ao anterior. a /∈ A[xn] ⇔ ∃ ε > 0 e ∃k ∈ N tal que para todo n > k temos |xn − a| ≥ ε. Exemplo 6. Quais s˜ao os valores de aderˆencia da sequˆencia (xn) definida como x2n−1 = n e x2n = 1 n ? Para que um ponto seja de aderˆencia ´e necess´ario que existam infinitos termos arbitrariamente pr´oximos de tal ponto, no caso de tal sequˆencia o ´unico
  21. 21. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 20 n´umero que satisfaz tal propriedade ´e o 0, al´em disso tal sequˆencia n˜ao ´e convergente pois n˜ao ´e limitada. Propriedade 31. O conjunto A dos valores de aderˆencia de uma sequˆencia (xn) ´e fechado. Demonstra¸c˜ao. Temos que mostrar que A = A.J´a sabemos que vale A ⊂ A, falta mostrar que A ⊂ A . Queremos mostrar que , se a ∈ A ent˜ao a ∈ A, vamos mostrar a contrapositiva que ´e : se a /∈ A ent˜ao a /∈ A, que equivale logicamente. Se a /∈ A ent˜ao existe ε > 0 tal que (a − ε, a + ε) n˜ao possui elementos de (xn) da´ı n˜ao pode valer a ∈ A. Propriedade 32. Se uma sequˆencia (xn) for limitada ent˜ao seu conjunto de pontos de aderˆencia ´e compacto. Demonstra¸c˜ao. J´a vimos que A ´e fechado, agora se (xn) for limitada ent˜ao A ´e limitado, sendo limitado e fechado ´e compacto. Nessas condi¸c˜oes A possui elemento m´ınimo e elemento m´aximo. o M´ınimo de A ´e denotado como lim inf xn e o elemento m´aximo de A ´e denotado como lim sup xn. 1.4 Sequˆencias mon´otonas 1.4.1 Toda sequˆencia mon´otona limitada ´e convergente ⋆ Teorema 1. Toda sequˆencia mon´otona limitada ´e convergente. Demonstra¸c˜ao. X Sejam (xn) uma sequˆencia crescente limitada, a = sup{xn | n ∈ N}, vamos mostrar que limxn = a. Para qualquer ε > 0 temos a > a−ε como a ´e o supremo (menor das cotas superiores) temos que a−ε n˜ao ´e cota superior, ent˜ao ∃ n0 tal que xn0 > a−ε e como a sequˆencia ´e crescente temos para n > n0 que xn ≥ xn0 logo xn > a − ε e a − ε < xn < a + ε implicando lim xn = a. X Sejam (xn) uma sequˆencia decrescente limitada, a = inf{xn|n ∈ N}, vamos mostrar que limxn = a. Para qualquer ε > 0 temos a + ε > a como a ´e ´ınfimo temos que
  22. 22. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 21 a + ε n˜ao ´e cota inferior, ent˜ao existe n0 tal que xn0 < a + ε e como a sequˆencia ´e n˜ao-crescente temos para n > n0, xn ≤ xn0 e a − ε < xn < a + ε implicando lim xn = a. Corol´ario 12. X Uma sequˆencia (xn) crescente limitada converge para o supremo a dos seus termos, ent˜ao vale sempre xn ≤ a. X Uma sequˆencia (xn) decrescente limitada converge para o ´ınfimo a dos seus termos, ent˜ao vale sempre xn ≥ a. Propriedade 33. 1. Toda sequˆencia estritamente crescente limitada tem todos seus termos menores que seu limite . 2. Toda sequˆencia estritamente decrescente limitada tem todos seus termos maiores que seu limite. Demonstra¸c˜ao. 1. Seja (xn) a sequˆencia limitada , estritamente crescente e lim xn = a, vamos mostrar que sempre vale xn < a. Se fosse xn ≥ a para n > n0 ent˜ao xn+1 > xn ≥ a, da´ı xn+1 > a e a n˜ao seria o supremo do conjunto dos elementos da sequˆencia. 2. Seja (xn) a sequˆencia limitada , estritamente decrescente lim xn = a, vamos mostrar que sempre vale xn > a. Se fosse xn ≤ a para n > n0 ent˜ao xn+1 < xn ≤ a, da´ı xn+1 < a e a n˜ao seria o supremo do conjunto dos elementos da sequˆencia. 1.4.2 √ a + √ a + √ a + · · · Ra´ızes encaixadas Exemplo 7. Seja a sequˆencia (xn) definida como x1 = a e xn+1 = √ xn + b, onde x2 1 < x1 + b, isto ´e , a2 < a + b, a e b positivos , calcular lim xn. Vamos mostrar primeiro que a sequˆencia ´e crescente. Por indu¸c˜ao sobre n, temos x2 = √ a + b e a < √ a + b pois a2 < a + b. Supondo para n, xn < xn+1 vamos mostrar que vale para n + 1, xn+1 < xn+2 . Da hip´otese tem-se que xn + b < xn+1 + b da´ı √ xn + b < √ xn+1 + b implicando xn+1 < xn+2. Vamos mostrar agora que a sequˆencia ´e limitada superiormente. Existe t > 0 ∈ R tal que t2 > a+b e t2 −b > t. Da´ı a sequˆencia ´e
  23. 23. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 22 limitada superiormente por t2 − b pois, por indu¸c˜ao x1 = a < t2 − b e supondo xn < t2 − b segue xn + b < t2 tomando a raiz segue xn+1 < t < t2 − b. Ela ´e limitada superiormente e crescente logo ´e convergente. Tomando limite em ambos lados de x2 n+1 = xn + b resolvendo a equa¸c˜ao do segundo grau encontramos L = 1 + √ 1 + 4b 2 . Podemos tomar x1 = 0 e b = a da´ı 0 < a, logo converge e temos o corol´ario √ a + √ a + √ a + · · · = 1 + √ 1 + 4a 2 . Exemplo 8. √ 1 + √ 1 + √ 1 + · · · = 1 + √ 5 2 converge para a raz˜ao ´aurea. Exemplo 9. √ 2 + √ 2 + √ 2 + · · · = 2. Seja f(0) = 0 e f(n) = √ 2 + f(n) ent˜ao vale 2 − f(n + 1) 2 − f(n) > 1 4 . Como 2 − f(n) > 0 para todo n tem-se que essa desigualdade ´e equivalente `a 4f(n + 1) − f(n) < 6 ⇔ 4 √ 2 + f(n) − f(n) < 6 tomando f(n) = x, simplificando ap´os elevar ao quadrado, chegamos numa inequa¸c˜ao de segundo grau, satisfeita para qualquer x, logo se verifica a inequa¸c˜ao . Propriedade 34. Se uma sequˆencia mon´otona possui subsequˆencia limitada, ent˜ao a sequˆencia ´e limitada. Demonstra¸c˜ao. Suponha que (xn) seja crescente e possua uma subsequˆencia (xnk ) limitada, vamos mostrar que para todo n natural vale xn < M, para algum M. Como (xnk ) ´e limitada , ent˜ao para todo n ∈ N existe n0 ∈ N tal que n0 > n e n0 ´e
  24. 24. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 23 ´ındice da subsequˆencia limitada (xnk ) com isso tem-se xn ≤ xn0 e como a subsequˆencia ´e limitada, existe M tal que xn0 < M, da´ı por transitividade xn < M, isso implica que (xn) ´e limitada superiormente e como a sequˆencia crescente ela tamb´em ´e limitada inferiormente, sendo limitada inferiormente e superiormente ela ´e limitada. Corol´ario 13. Se uma sequˆencia mon´otona possui subsequˆencia limitada ent˜ao ela ´e convergente, pois a sequˆencia mon´otona ser´a limitada e toda sequˆencia mon´otona limitada ´e convergente. Corol´ario 14. Em especial se uma sequˆencia mon´otona possui subsequˆencia conver- gente, ent˜ao essa subsequˆencia ´e limitada e da´ı a sequˆencia mon´otona ´e convergente. 1.4.3 lim bn = 0, |an| < c ⇒ lim anbn = 0. Propriedade 35. Se lim bn = 0 e (an) ´e uma sequˆencia limitada, ent˜ao lim anbn = 0. Demonstra¸c˜ao. Como an ´e limitada existe c > 0 tal que |an| < c para todo n natural, e como lim bn = 0 temos ∀ ε > 0 ∃n0 tal que n > n0 implica |bn| < ε, temos que mostrar que ∀ ε1 > 0 ∃n0 tal que n > n′ 0 implica |anbn| = |an||bn| < ε1. Como lim bn = 0 podemos escolher ε = ε1 c para qualquer ε1 > 0 logo para n > n0 segue |bn| < ε1 c e como |an| < c tem-se |an||bn| < c ε1 c = ε1 como quer´ıamos demonstrar. Corol´ario 15. Em especial se (xn) ´e convergente e lim yn = 0 ent˜ao lim xn.yn = 0, pois uma sequˆencia convergente ´e limitada. Exemplo 10. Se (xn) ´e convergente e yn = n ent˜ao lim xn yn = 0, pois (xn) ´e limitada e ( 1 yn ) tende a zero. Exemplo 11. Calcular o limite da sequˆencia cos(nπ 4 ) n . Temos que an = cos( nπ 4 ) ´e limitada e bn = 1 n tem limite 0, logo a sequˆencia de termo cos(nπ 4 ) n converge para zero.
  25. 25. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 24 Exemplo 12. A sequˆencia f(n) = (−1)n n tem limite 0 pois (−1)n ´e limitada e lim 1 n = 0. Propriedade 36. Sejam (an) e (bn) sequˆencias limitada tais que an +bn = 1 ∀ n ∈ N, (zn) e (tn) com o mesmo limite a, ent˜ao lim an.zn + bn.tn = a. Demonstra¸c˜ao. Escrevemos an.zn + bn.tn = an.zn − a.an + a. an =1−bn +bn.tn = an(zn − a) + a(1 − bn) + bn.tn = = an(zn − a) + a − a.bn + bn.tn = an(zn − a) + a + bn(tn − a) da´ı lim an(zn − a) + a + bn(tn − a) = a = lim an.zn + bn.tn pois an e bn s˜ao limitadas e zn − a, tn − a tendem a zero. Propriedade 37. Se lim n→∞ zk(n) = a ∀ k e cada (xk(n)) ´e limitada com p ∑ k=1 xk(n) = vn → b ent˜ao lim n→∞ p ∑ k=1 xk(n)zk(n) = a.b. Demonstra¸c˜ao. Vale x1(n) = vn − p ∑ k=2 xk(n). p ∑ k=1 xk(n)zk(n) = x1(n)z1(n) + p ∑ k=2 xk(n)zk(n) = = z1(n)vn − p ∑ k=2 xk(n)z1(n) + p ∑ k=2 xk(n)zk(n) = = z1(n)vn →a.b + p ∑ k=2 xk(n) (zk(n) − z1(n)) →0 → a.b. 1.4.4 A sequˆencia ( 1 + 1 n )n . Vamos analisar a sequˆencia definida por f(n) = ( 1 + 1 n )n . Primeiro vamos mostrar que ela ´e crescente e depois que ´e limita superiormente, por isso ela converge.
  26. 26. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 25 Propriedade 38. A sequˆencia de termo ( 1 + 1 n )n ´e crescente. Demonstra¸c˜ao.[1-Desigualdade das m´edias] Usaremos que a m´edia aritm´etica ´e maior ou igual a m´edia geom´etrica, na sequˆencia de n + 1 n´umeros com n n´umeros iguais `a ( 1 + 1 n ) e um deles sendo a unidade 1, com isso, temos 1 + n ( 1 + 1 n ) n + 1 =     1 + n∑ k=1 ( 1 + 1 n ) n + 1     ≥ ( n∏ k=1 ( 1 + 1 n )) 1 n+1 = ( 1 + 1 n ) n n+1 , ( n + 1 + 1 n + 1 ) = 1 + 1 n + 1 ≥ (( 1 + 1 n )n) 1 n+1 ⇒ ( 1 + 1 n + 1 )n+1 ≥ ( 1 + 1 n )n , por isso a sequˆencia ´e crescente. Demonstra¸c˜ao.[2-Desigualdade de Bernoulli] (Solu¸c˜ao por Luccas Campos). Seja an = ( 1 + 1 n )n . Vale que an+1 an = ( 1 − 1 (n+1)2 )n+1 1 − 1 n+1 , pois ( 1 − 1 (n+1)2 )n+1 1 − 1 n+1 = ( n2+2n (n+1)2 )n+1 n (n + 1) = nn (n + 2)n+1 (n + 1)2n+1 , temos tamb´em ( 1 + 1 n+1 )n+1 ( 1 + 1 n )n = (n + 2)n+1 (n + 1)n+1 nn (n + 1)n = nn (n + 2)n+1 (n + 1)2n+1 , logo s˜ao iguais. Usando agora a desigualdade de Bernoulli, temos ( 1 − 1 (n + 1)2 )n+1 ≤ 1 − (n + 1) (n + 1)2 = 1 − 1 n + 1 . Temos que an+1 an = ( 1 − 1 (n+1)2 )n+1 1 − 1 n+1 ≥ 1 − 1 n+1 1 − 1 n+1 = 1, da´ı an+1 ≥ an, como quer´ıamos demonstrar. Demonstra¸c˜ao.[3-Binomial] Expandindo pelo teorema binomial, tem-se ( 1 + 1 n )n = n∑ k=0 ( n k ) 1 nk = n∑ k=0 k−1∏ s=0 (n − s) k!nk = n∑ k=0 k−1∏ s=0 (1 − s n ) k! .
  27. 27. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 26 De 1 − s n ≤ 1 − s n + 1 , aplicando k−1∏ s=0 , dividindo por k! e depois aplicando n∑ k=0 , em ambos lados, temos n∑ k=0 k−1∏ s=0 ( 1 − s n ) k! ≤ n∑ k=0 k−1∏ s=0 ( 1 − s n+1 ) k! , portanto, obtemos n∑ k=0 ( n k ) 1 nk ≤ n∑ k=0 ( n + 1 k ) 1 (n + 1)k , finalmente, somando o termo 1 (n + 1)n+1 ao lado direito, segue que n∑ k=0 ( n k ) 1 nk < n∑ k=0 ( n + 1 k ) 1 (n + 1)k + 1 (n + 1)n+1 = n+1∑ k=0 ( n + 1 k ) 1 (n + 1)k , assim n+1∑ k=0 ( n + 1 k ) 1 (n + 1)k > n∑ k=0 ( n k ) 1 nk , isto ´e, ( 1 + 1 n + 1 )n+1 > ( 1 + 1 n )n , como quer´ıamos provar. Propriedade 39. A sequˆencia de termo ( 1 + 1 n )n ´e limitada. Demonstra¸c˜ao.[1-Desigualdade das m´edias] (Solu¸c˜ao por Alexandre Cezar). Seja a sequˆencia de n + 1 temos (1, ( 1 − 1 n ) , · · · , ( 1 − 1 n ) n termos ), aplicando a desigualdade a esse tipo de sequˆencia, segue que 1 + n(1 − 1 n ) n + 1 ≥ ( 1 − 1 n )n/(n+1) ⇒ ( n n + 1 )n+1 ≥ ( n − 1 n )n . Definindo f(k + 1) = ( k k + 1 )k+1 , temos f(k + 1) f(k) ≥ 1 ent˜ao podemos aplicar o produto n∏ k=2 de ambos lados, implicando f(n + 1) ≥ f(2), ∀ n ≥ 2, f(2) = ( 1 2 )2 = 1 4 , por isso ( 1 + 1 n )n ≤ ( 1 + 1 n )n+1 = ( n + 1 n )n+1 ≤ 4, de onde segue finalmente que a sequˆencia ´e limitada.
  28. 28. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 27 Demonstra¸c˜ao.[2-Binomial] Expandindo pelo teorema binomial ( 1 + 1 n )n = n∑ k=0 ( n k ) 1 nk = n∑ k=0 k−1∏ s=0 (n − s) k!nk = n∑ k=0 k−1∏ s=0 (1 − s n ) k! 1 − s n ≤ 1 ⇒ k−1∏ s=0 1 − s n ≤ k−1∏ s=0 1 = 1 dividindo por k! e aplicando a soma n∑ k=0 em ambos lados, segue (1 + 1 n )n ≤ n∑ k=0 1 k! e da desigualdade (para k ≥ 1) 2 ≤ k + 1 ⇒ n∏ k=1 2 = 2n ≤ n∏ k=1 (k + 1) = n+1∏ k=2 k = (n + 1)! logo temos 2n ≤ (n + 1)! ⇒ 1 (k + 1)! ≤ 1 2k ⇒ n−1∑ k=1 1 (k + 1)! ≤ n−1∑ k=1 1 2k ⇒ n∑ k=2 1 (k)! ≤ n−1∑ k=1 1 2k 2 + n∑ k=2 1 (k)! = n∑ k=0 1 (k)! ≤ 2 + n−1∑ k=1 1 2k = 1 + n−1∑ k=0 1 2k logo (1 + 1 n )n ≤ 1 + n−1∑ k=0 1 2k e como ∞∑ k=0 1 2k = 2 temos (1 + 1 n )n ≤ 1 + 2 < 3 como a sequˆencia ´e crescente e limitada superiormente en˜ao ela ´e convergente, sendo limitada pelo seu primeiro termo (1 + 1) = 2 , temos ent˜ao 2 ≤ (1 + 1 n )n < 3 portanto a sequˆencia de termo (1 + 1 n )n ´e convergente.
  29. 29. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 28 Defini¸c˜ao 22 (N´umero e). Simbolizamos por e o n´umero para o qual a sequˆencia de termo (1 + 1 n )n converge. lim(1 + 1 n )n = e. Exemplo 13. Usando que a m´edia aritm´etica ´e maior ou igual a m´edia geom´etrica, na sequˆencia de n+1 n´umeros com n n´umeros iguais `a (1+ t n ) e um deles sendo a unidade 1, com isso temos ( 1 + n∑ k=1 (1 + t n ) n + 1 ) ≥ ( n∏ k=1 (1 + t n )) 1 n+1 ( n + 1 + t n + 1 ) = 1 + t n + 1 ≥ ((1 + t n )n ) 1 n+1 ⇒ (1 + t n + 1 )n+1 ≥ (1 + t n )n com t ≥ −1 real. Em especial a sequˆencia de termo xn = (1 − 1 n )n ´e crescente e para n = 2 temos x2 = 1 4 da´ı xn ≥ 1 4 para n > 1. Exemplo 14. Vale que lim(1 − 1 n )n (1 + 1 n )n = lim 1n = 1 da´ı lim(1 − 1 n )n = e−1 . 1.4.5 √ x √ x √ x √ x · · · Exemplo 15. Seja a sequˆencia definida como f(n + 1) = √ xf(n) com condi¸c˜ao inicial f(1) = √ x, x > 1, mostrar que existe o limite lim f(n). Vamos mostrar que a sequˆencia ´e crescente e limitada superiormente. Primeiro por indu¸c˜ao sobre n vamos mostrar que ela ´e crescente,isto ´e, f(n + 1) > f(n). Temos pela recorrˆencia que f(2) = √ xf(1) = √ x √ x e temos f(2) > f(1) ⇔ √ x √ x > √ x ⇔ x √ x > x
  30. 30. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 29 essa ´ultima vale pois x > 1 implica √ x > 1 que implica x √ x > x. agora supondo f(n + 1) > f(n) vamos mostrar que f(n + 2) > f(n + 1) f(n + 1) > f(n) ⇒ f(n + 1) > 2f(n) ⇒ √ xf(n + 1) > √ xf(n) como f(n + 2) = √ xf(n + 1) e f(n + 1) = √ xf(n) segue f(n + 2) > f(n + 1) logo fica provado por indu¸c˜ao que a sequˆencia ´e crescente. Vamos mostrar agora que seus termos s˜ao menores que x, por indu¸c˜ao tamb´em, para f(1) x > √ x ⇔ x2 > x que vale pois x > 1 implica x2 > x. Supondo que x > f(n) temos que mostrar que x > √ xf(n) = f(n + 1) x > f(n) ⇒ x2 > xf(n) ⇒ x > √ xf(n) = f(n + 1) logo est´a provada que a sequˆencia ´e limitada superiormente e crescente, logo ´e convergente. Tomando o limite em ambos lados de f(n + 1) = √ xf(n) segue que L = √ 2L, logo L2 = xL como L n˜ao ´e nulo segue L = x. Podemos perceber tamb´em que √ x √ x √ x √ x · · · = x ∞∑ k=1 1 2k = x1 = x pois a s´erie converge para 1. Exemplo 16 (IME-1964). Calcule lim x→2 √ x √ x √ x √ x · · ·. Como sabemos que √ x √ x √ x √ x · · · = x ent˜ao lim x→2 √ x √ x √ x √ x · · · = lim x→2 x = 2.
  31. 31. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 30 Exemplo 17. Mostrar que √ x √ y √ x √ y · · · = 3 √ x2y. Escrevemos a express˜ao em termo do produto de dois n´umeros elevados a s´eries x 1 2 y 1 4 x 1 8 y 1 16 · · · x ∞∑ k=0 1 22k+1 y ∞∑ k=0 1 22k+2 calculamos as s´eries por meio de s´erie geom´etrica ∞∑ k=0 1 22k+1 = 1 2 ∞∑ k=0 1 4k = 1 2 1 1 − 1 4 = 1 2 4 3 = 2 3 da´ı a s´erie que resulta no expoente de y converge para 1 3 da´ı segue o resultado. Defini¸c˜ao 23 (Termo destacado). Um termo xs de uma sequˆencia (xn) ´e dito termo destacado quando vale xs ≥ xp, ∀ p ≥ s, isto ´e , o termo xs ´e maior ou igual a seus sucessores na sequˆencia. Propriedade 40. Em uma sequˆencia n˜ao-crescente, todos termos s˜ao destacados. Demonstra¸c˜ao. Tomando xs ∈ (xn), vamos mostrar que xs ´e destacado. Vale xs ≥ xs+1 e da´ı −∆xk ≥ 0 tomando a soma s+p ∑ k=s segue −(xs+p+1 − xs) ≥ 0 e da´ı xs ≥ xs+p+1 = xn com n ≥ s. Propriedade 41. Se uma sequˆencia n˜ao-decrescente possui termo destacado ent˜ao ela ´e constante a partir de certo termo. Demonstra¸c˜ao. Suponha que exista xs destacado em (xn) ent˜ao vale xs ≥ xp para p ≥ s, mas como a sequˆencia ´e n˜ao-decrescente, ent˜ao vale tamb´em xp ≥ xs de onde segue xp = xs para todo p ≥ s, ent˜ao para n ≥ s vale xn = xs, sendo ela constante a partir desse termo. Defini¸c˜ao 24 (Termo apagado). Um termo xs ´e dito apagado quando para todo p ≥ s vale xp ≥ xs, isto ´e o termo xs ´e menor ou igual a seus sucessores.
  32. 32. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 31 1.4.6 Limite do m´odulo de uma sequˆencia. Propriedade 42. Se lim xn = a ent˜ao lim |xn| = |a|. Demonstra¸c˜ao. Se lim xn = a ent˜ao ∀ ε > 0, ∃n0 ∈ N | n > n0 ⇒ |xn − a| < ε por´em temos a desigualdade ||xn| − |a|| ≤ |xn − a| logo ||xn| − |a|| < ε e lim |xn| = |a|. Exemplo 18. lim |xn| pode existir por´em lim xn pode n˜ao existir, por exemplo tomamos xn = (−1)n , ela n˜ao converge por´em |(−1)n | = 1 ´e constante logo convergente. 1.4.7 Estudo da sequˆencia (an ). Exemplo 19. Vamos analisar a sequˆencia dada por f(n) = an . 1. Se a = 0 a sequˆencia ´e constante f(n) = 0 logo seu limite ´e 0. 2. Se a = 1 temos a sequˆencia constante, f(n) = 1 cujo limite ´e 1. 3. Se a > 1 multiplicando por an segue an+1 > an , ∆an > 0 logo a sequˆencia ´e crescente. Vamos mostrar agora que ela ´e ilimitada superiormente, escrevemos a = 1+h e vale 1 + h > 1, h > 0 (pela suposi¸c˜ao inicial de a) pela desigualdade de bernoulli segue (1 + h)n ≥ 1 + nh, se quisermos 1 + nh > b (b sendo um n´umero real qualquer) basta nh > b − 1, n > b − 1 h assim podemos achar n tal que (1 + h)n seja maior que qualquer n´umero real b logo seu limite ´e ∞. 4. Se 0 < a < 1 segue de a < 1 multiplicando por an em ambos lados que an+1 < an , an+1 − an = ∆an < 0 logo f(n) ´e decrescente logo limitada superiormente pelo seu primeiro termo a , temos que ela ´e limitada inferiormente tamb´em pois 0 < a implica 0 < an , sendo limitada inferiormente e decrescente ela ´e convergente. 5. Se a = (−1) temos a sequˆencia alternada (−1)n que para n para vale 1 e n ´ımpar vale −1, essa sequˆencia n˜ao converge pois tais subsequˆencias n˜ao convergem para o mesmo limite.
  33. 33. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 32 6. Se −1 < a < 0 ent˜ao 0 < −a < 1 e temos lim(−a)n = 0 e da´ı lim(−1)n (−a)n = 0 pois (−1)n ´e limitada por´em tal limite ´e lim an = 0. 1.5 Propriedades aritm´eticas dos limites 1.5.1 Limite da soma Propriedade 43 (Limite da soma). Se lim an = a e lim bn = b ent˜ao lim(an + bn) = lim an + lim bn = a + b. Demonstra¸c˜ao. Como lim an = a e lim bn = n existem n0 ∈ N e n1 ∈ N tal que quaisquer ε1 > 0, ε2 > 0 vale n > n0 implica |an−a| < ε1 e n > n1 implica |bn−b| < ε2. Temos que mostrar que para qualquer ε > 0 existe n2 ∈ N tal que n > n2 implica |an + bn − (a + b)| < ε. Escolhemos ent˜ao ε1 e ε2 tais que ε1 + ε2 = ε ( com ε1 > 0, ε2 > 0 ) tomando n2 = max{n0, n1} temos que para n > n2 vale |bn − b| < ε2 e |an − a| < ε1 somando as duas desigualdades termo a termo segue |an + bn − (a + b)| ≤ |bn − b| + |an − a| < ε1 + ε2 = ε . Corol´ario 16. Se lim yn = b ent˜ao lim(yn − b) = 0. Como lim yn existe e lim −b = −b (pela propriedade do limite da sequˆencia constante) ent˜ao pelo limite da soma temos lim(yn − b) = lim yn + lim −b = lim yn − b = b − b = 0. Corol´ario 17. Se lim xn = a e b uma constante real ent˜ao lim b(xn − a) = 0 pois a sequˆencia yn = b ´e limitada e o limite lim(xn − a) = 0. Propriedade 44. Se lim(xn − a) = 0 ent˜ao lim xn = a. Demonstra¸c˜ao. Se lim xn −a = 0 temos que ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N tal que para n > n0 segue |xn − a| < ε mas isso ´e equivalente a defini¸c˜ao de lim xn = a, logo lim xn = a. Corol´ario 18. Se lim xn existe e lim yn = b ent˜ao lim xn(yn − b) = 0. Pelo lim xn existir xn ´e limitada e por lim yn = b segue lim yn −b = 0 logo lim xn(yn −b) = 0 por ser o produto de uma sequˆencia limitada e por uma que tende a zero implica lim xn(yn −b) = 0.
  34. 34. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 33 1.5.2 Limite do produto Propriedade 45 (Limite do produto). Se lim xn = a e lim yn = b ent˜ao lim xnyn = lim xn. lim yn = a.b. Demonstra¸c˜ao. |an.bn −ab| = |anbn −abn +abn −ab| ≤ |an.bn −abn|+|abn −ab| = |bn||an −a|+|a||bn −b|. Demonstra¸c˜ao.[2] Podemos escrever xnyn − ab = xnyn − xnb + xnb − ab = xn(yn − b) + b(xn − a) temos que lim xn(yn − b) = 0, lim b(xn − a) = 0 pois xn ´e limitada por ser convergente e yn − b tende a zero (por yn → b), da mesma maneira b ´e limitada e xn − a tende a zero (por xn → a) logo lim(xn(yn − b) + b(xn − a)) = lim xn(yn − b) + lim b(xn − a) = 0 = lim xnyn − ab como lim xnyn − ab = 0 ⇒ lim xnyn = ab. Corol´ario 19. Se a ´e constante e yn → b ent˜ao lim ayn = a.b. Tomamos xn = a e usamos a propriedade do produto lim xnyn = lim xn lim yn = a.b. Corol´ario 20 (Linearidade). Se lim yn e lim xn existem, a e b sendo constantes ent˜ao lim ayn + bxn = a lim yn + b lim xn. Usamos a propriedade da soma e do produto respectivamente lim ayn + bxn = lim ayn + lim bxn = a lim yn + b lim xn. Corol´ario 21. Se lim xn = a e lim xn − yn = 0 ent˜ao lim yn = a pois lim yn − xn = 0 e pelo limite da soma lim yn − xn + xn = lim yn − xn + lim xn = 0 + a = a = lim yn.
  35. 35. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 34 1.5.3 Limite do quociente Propriedade 46 (Limite do inverso). Se lim yn = b ̸= 0 ent˜ao lim 1 yn = 1 b . Demonstra¸c˜ao. Temos o limite lim ynb = b2 assim para todo ε > 0, ∃n0 ∈ N tal que para n > n0 implica ynb ∈ (b2 − ε, b2 + ε), tomando ε = b2 2 temos ynb ∈ ( b2 2 , 3b2 2 ) assim ynb > b2 2 e ´e positivo, segue disso que para n > n0 temos 2 b2 > 1 ynb , sendo positivo e limitado superiormente (ynb) ´e uma sequˆencia limitada, consideramos ent˜ao o limite lim 1 yn − 1 b = lim b − yn ynb no numerador temos um limite que ´e zero e no denominador uma sequˆencia limitada, ent˜ao tal limite ´e zero, logo lim 1 yn − 1 b = 0, lim 1 yn = 1 b . Corol´ario 22. Sendo lim xn = a e lim yn = b ̸= 0 ent˜ao lim xn yn = a b pois lim xn yn = lim xn lim 1 yn = a b . Corol´ario 23. Se lim xn = a e lim xn yn = b ̸= 0 ent˜ao lim yn = a b , pois lim yn xn = 1 b e da´ı por limite do produto lim xn yn xn = lim yn = a b . Corol´ario 24. Seja a ̸= 0. Se lim yn a = 1 ent˜ao lim yn = a, pois usando linearidade do limite lim yn a = 1 a lim yn = 1 portanto lim yn = a. Corol´ario 25. Se lim xn = a ̸= 0 e lim xnyn = b ent˜ao lim yn = b a . Vale que lim 1 xn = a, da´ı lim xnyn lim 1 xn = lim xnyn 1 xn = lim yn = b a . Propriedade 47 (Limite do somat´orio). Escrever.
  36. 36. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 35 Exemplo 20. Exemplo de uma sequˆencia onde lim |xn| existe e lim xn n˜ao existe. Considere xn = (−1)n + (−1)n n temos em m´odulo |xn| = 1 + 1 n com limite lim |xn| = lim 1 + 1 n = 1 e temos x2n = 1 + 1 2n com limite 1 e x2n+1 = −1 − 1 2n + 1 como limite −1, assim temos subsequˆencias com limites diferentes logo a sequˆencia n˜ao tem limite por´em o m´odulo dela possui. Propriedade 48. Sejam a ≥ 0, b ≥ 0 ent˜ao |a 1 n − b 1 n | ≤ |a − b| 1 n Demonstra¸c˜ao. Supondo a ≥ b , definindo c = a 1 n e d = b 1 n , ent˜ao c − d ≥ 0 por expans˜ao binomial tem-se cn = ((c − d) + d)n = n∑ k=0 ( n k ) (c − d)k dn−k ≥ dn + (c − d)n ≥ 0 da´ı cn − dn ≥ (c − d)n ≥ 0 implicando |a − b| ≥ |a 1 n − b 1 n |n e da´ı |a 1 n − b 1 n | ≤ |a − b| 1 n . Exemplo 21. N˜ao vale a propriedade |an − bn | ≤ |a − b|n para perceber isso tome a = 2, b = 1, da´ı ter´ıamos |2n − 1| ≤ 1 o que ´e falso . Na verdade a propriedade acima implica que |x − y|n ≤ |xn − yn |.
  37. 37. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 36 1.5.4 lim p √ (xn). Propriedade 49. Se xn ≥ 0 e lim xn = a ent˜ao lim(xn) 1 p = a 1 p Demonstra¸c˜ao. Como lim xn = a ent˜ao ∀ ε > 0 conseguimos n0 ∈ N tal que para n > n0 tem-se |xn − a| < εp e da´ı |xn − a| 1 p < ε, da desigualdade anterior temos que |x 1 p n − a 1 p | ≤ |xn − a| 1 p < ε e da´ı lim(xn) 1 p = a 1 p . Propriedade 50. Seja m racional e (xn) de termos positivos. Se lim xn = a ent˜ao lim xn = am . Demonstra¸c˜ao. Escrevemos m = p q , da´ı lim x 1 q n = a 1 q usando propriedade do produto segue lim x p q n = a p q . Defini¸c˜ao 25. Diremos que duas sequˆencias (xn) e (yn) diferem por um n´umero finito de pontos quando existe n0 ∈ N tal que para n > n0 implica xn = yn. Escreveremos essa rela¸c˜ao como (xn) ∼ (yn). Propriedade 51. Diferir por um n´umero finito de pontos ´e uma rela¸c˜ao de equi- valˆencia. Demonstra¸c˜ao. Reflexividade (xn) ∼ (xn) pois existe n0 tal que para n > n0 xn = xn, no caso qualquer n0 vale. Simetria, Se (xn) ∼ (yn) ent˜ao (yn) ∼ (xn), se a primeira vale temos xn = yn para n > n0 logo yn = xn implicando2 (yn) ∼ (xn). Transitividade, Se (xn) ∼ (yn) e (yn) ∼ (zn) ent˜ao (xn) ∼ (zn), pois existe n0 tal que para n > n0 vale xn = yn e existe n1 tal que para n > n1 vale yn = zn, logo tomando n2 = max{n0, n1} vale para n > n2 vale xn = yn e yn = zn ent˜ao xn = zn logo (xn) ∼ (zn). 2 Propriedade trivial na verdade, n˜ao acham?
  38. 38. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 37 Propriedade 52. Se lim xn = a e (yn) ∼ (xn) ent˜ao lim yn = a. Demonstra¸c˜ao. Se lim xn = a ent˜ao ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N tal que n > n0 implica |xn − a| < ε e (yn) ∼ (xn) implica existir n1 tal que para n > n1 temos yn = xn, tomando n2 = max{n0, n1} temos que para n > n2 vale xn = yn e ∀ε > 0 ∃n2 ∈ N tal que n > n2 implica |yn − a| < ε logo lim yn = a. Propriedade 53. Se lim xn = a, a > 0, ent˜ao (xn) ∼ (|xn|). Demonstra¸c˜ao. Se lim xn = a e a > 0 ent˜ao para qualquer ε > 0 existe n0 tal que para n > n0 temos xn ∈ (a−ε, a+ε), no caso podemos tomar um ε tal que a−ε > 0, por exemplo ε = a 2 , logo para n > n0 os termos s˜ao positivos, logo temos xn = |xn| implicando (xn) ∼ (|xn|) e implicando lim |xn| = a. Propriedade 54. Se lim xn = a, a < 0, ent˜ao (−xn) ∼ (|xn|). Demonstra¸c˜ao. Se lim xn = a ent˜ao lim −xn = −a com a < 0 ent˜ao para qualquer ε > 0 existe n0 tal que para n > n0 temos −xn ∈ (−a − ε, −a + ε), no caso podemos tomar um ε tal que −a − ε > 0, por exemplo ε = −a 2 , logo para n > n0 os termos s˜ao positivos, logo temos −xn = |xn| implicando (−xn) ∼ (|xn|) e implicando lim |xn| = −a. Propriedade 55. Se lim xn = 0 ent˜ao lim |xn| = 0. Demonstra¸c˜ao. Se lim xn = 0 temos que para todo ε > 0 ∃n0 ∈ N tal que para n > n0 temos |xn| < ε mas como ||xn|| = |xn| temos tamb´em ||xn|| < ε implicando que lim |xn| = 0 Corol´ario 26. Juntando as ´ultimas propriedades segue que se lim xn = a ent˜ao lim |xn| = |a|. Propriedade 56. Sejam duas sequˆencias (xn) e (yn) tais que lim xn = lim yn = a ent˜ao para todo ε > 0 existe n0 ∈ N tal que para n > n0 xn e yn pertencem ao intervalo (a − ε, a + ε). Demonstra¸c˜ao. Se lim xn = a ent˜ao para todo ε > 0 existe n1 ∈ N tal que para n > n1 xn ∈ (a − ε, a + ε) e se lim yn = a ent˜ao para todo ε > 0 existe n2 ∈ N tal que para n > n2 yn ∈ (a − ε, a + ε) logo tomando o m´aximo de n1, n2 como n0, tem-se para n > n0 que xn, yn ∈ (a − ε, a + ε).
  39. 39. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 38 Propriedade 57. Seja lim xn = 0. Para cada n ∈ N definimos yn = min{|xk|, k ∈ In|} . Temos ent˜ao lim yn = 0. Demonstra¸c˜ao. Como lim xn = 0 temos que ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N tal que para n > n0 segue |xn| < ε e temos tamb´em yn ≤ |xn| < ε e como |yn| = yn por yn ser sempre n˜ao negativo segue |yn| < ε logo lim yn = 0. Propriedade 58. Se lim x2n = a e lim x2n−1 = a ent˜ao lim xn = a. Demonstra¸c˜ao. Sejam yn = x2n e zn = x2n−1 como temos lim yn = lim zn = a, para qualquer ε > 0 existem n0 e n1 tais que para n > n0 vale yn ∈ (a − ε, a + ε) e n > n1 vale zn ∈ (a − ε, a + ε), escolhendo n2 > max{n0, n1} temos para n ≥ n2 simultaneamente zn, yn ∈ (a − ε, a + ε), x2n−1, x2n ∈ (a − ε, a + ε), ent˜ao para n > 2n2 − 1 temos xn ∈ (a − ε, a + ε) logo vale lim xn = a. Propriedade 59. Se as subsequˆencias (x2n) , (x2n−1) e (xtn) s˜ao convergentes, onde t ´e ´ımpar, ent˜ao (xn) ´e convergente. Demonstra¸c˜ao. Seja a = lim x2n , b = lim x2n−1, c = lim xtn, a subsequˆencia (x2t, x22t, x23t, · · · , x2st, ) converge para t por ser subsequˆencia de (xtn), por´em ela tamb´em ´e subsequˆencia de (x2n), logo ela converge para a, disso segue a = c. a subsequˆencia (x3t, x32t, x33t, · · · , x3st, ) ´e subsequˆencia de (xtn), logo converge para a, ela tamb´em ´e subsequˆencia de (x2n−1), pois como t ´e ´ımpar 3s t tamb´em ´e ´ımpar, logo tal subsequˆencia converge para b, disso segue que a = b, lim x2n = lim x2n−1 = a, por isso lim xn = a, pelo resultado anterior. 1.5.5 Se N = p∪ k=1 Nk e lim n∈Nk xn = a ent˜ao lim xn = a. Propriedade 60. Se N = p ∪ k=1 Nk e lim n∈Nk xn = a ent˜ao lim xn = a.
  40. 40. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 39 Demonstra¸c˜ao. Dado ε > 0 fixo e arbitr´ario existe nk ∈ Nk tal que ∀ n > nk, n ∈ Nk vale xn ∈ (a − ε, a + ε) pelo fato de lim n∈Nk xn = a. Tomamos n0 = max{n1, · · · , np}, da´ı vale para n > n0, xn ∈ (a − ε, a + ε) para todo n ∈ Nk com todo k, com isso uniformizamos o valor do ´ındice para o qual os termos da sequˆencia est˜ao no mesmo intervalo (a − ε, a + ε). Como todo n ∈ N pertence a algum Nk ent˜ao para n ∈ N suficientemente grande vale xn em (a − ε, a + ε) . Vamos tentar deixar mais clara a ´ultima proposi¸c˜ao. Seja n′ 0 = min{n > n0 |xn ∈ (a−ε, a+ε) ∀ n ∈ Nk, ∀ k}, tal conjunto ´e n˜ao vazio logo possui m´ınimo. Para todo n ∈ N, n > n′ 0 vale xn ∈ (a − ε, a + ε), pois dado n > n′ 0 > n0 xn pertence `a algum Nk e nas condi¸c˜oes colocadas na constru¸c˜ao do conjunto para Nk vale xn ∈ (a − ε, a + ε). Exemplo 22. Pode valer N = ∞∪ k=1 Nk com lim n∈Nk xn = a e lim xn ̸= a. Como por exemplo, definimos N2 = {2, 22 , 23 , · · · , 2n , · · · } em geral Nk+1 = {p1 k, p2 k, · · · , pn k , · · · } onde pk ´e o k-´esimo primo, definindo N1 como o complemento de ∞∪ k=2 Nk em N. De- finimos em N2, x2 = 2, xn = 0 para os outros valores, da mesma forma em Nk+1 definimos xpk = pk e xn = 0 para os outros valores. Em N1 definimos xn = 0 para todo n. A sequˆencia xn n˜ao converge possui uma subsequˆencia que tende a infinito. x2 = 2, x3 = 3, x5 = 5, · · · , xpk = pk, · · · a subsequˆencia dos primos. Propriedade 61. Se lim xn = a e lim(xn − yn) = 0 ent˜ao lim yn = a. Demonstra¸c˜ao. Temos lim xn = a somando com o limite lim(−xn + yn) = 0 segue lim −xn + xn + yn = a = lim yn. Propriedade 62. Sejam a ̸= 0 e lim yn a = 1 ent˜ao lim yn = a. Demonstra¸c˜ao. Tomando o produto dos limites lim a = a e lim yn a = 1 segue lim a yn a = lim yn = a. 1.6 C´alculo de limites por meio de subsequˆencias 1.6.1 lim a 1 n = 1 Propriedade 63. Seja a > 0 ent˜ao lim a 1 n = 1.
  41. 41. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 40 Demonstra¸c˜ao. A sequˆencia ´e decrescente se a > 1, pois de 1 < a multiplicando por an ambos lados segue an < an+1 , a 1 n+1 < a 1 n e tamb´em ´e limitada inferiormente, por 1 por exemplo, pois de 1 < a elevando a 1 n + 1 de ambos lados temos 1 < a 1 n . Se 0 < a < 1 a sequˆencia ´e crescente pois a < 1 multiplicando por an em ambos lados an+1 < an , a 1 n < a 1 n+1 al´em disso ´e limitada superiormente pois de a < 1 elevando a 1 n temos a 1 n < 1. Em qualquer dos casos temos que a sequˆencia ´e convergente por ser mon´otona e limitada. Logo existe o limite l = lim a 1 n . Qualquer subsequˆencia deve convergir ao mesmo limite, consideramos ent˜ao o limite da subsequˆencia l = lim a 1 (n)(n+1) = lim a 1 (n) a 1 n+1 = l l = 1 logo l = 1. Demonstra¸c˜ao.[2] Considere a > 1 escrevemos a 1 n = 1 + h da´ı h > 0 e a = (1 + h)n ≥ 1 + nh que implica a − 1 n ≥ h e 1 + a − 1 n ≥ 1 + h a 1 n ≥ 1, ent˜ao tem-se a desigualdade 1 + a − 1 n ≥ a 1 n ≥ 1 por teorema do sandu´ıche segue que lim a 1 n = 1. 1.6.2 lim n 1 n = 1 Propriedade 64. lim n 1 n = 1. Demonstra¸c˜ao. Vamos provar que a sequˆencia (xn) com termo dado por xn = n 1 n ´e decrescente a partir do seu terceiro termo. Tomamos a fun¸c˜ao f(x) = x 1 x = e 1 x lnx , derivando f′ (x) = 1 x2 (1 − lnx)x 1 x , 1 − lnx < 0, 1 < lnx para x > e, pois segue lnx > lne = 1, lnx ´e fun¸c˜ao crescente cont´ınua. Ent˜ao a sequˆencia ´e decrescente a partir do terceiro termo 3 > e. Outra maneira de demonstrar que a sequˆencia ´e decrescente a partir do primeiro termo segue de (1 + 1 n )n < n para n ≥ 3 da´ı (n + 1)n < nn+1 que implica (n + 1) 1 n+1 < n 1 n .
  42. 42. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 41 Ela tamb´em ´e limitada inferiormente por 1, pois n ≥ 1 ⇒ n 1 n ≥ 1 1 n = 1. Portanto ela converge para o ´ınfimo do conjunto dos termos da sequˆencia e todas suas subsequˆencias devem convergir para o mesmo limite, digamos l, tem-se que l ≥ 1 pela propriedade da sequˆencia, ent˜ao l ̸= 0. Tomamos a subsequˆencia de termos (2n) 1 2n , segue l2 = (lim(2n) 1 2n )2 = lim(2n) 1 n = lim 2 1 n lim n 1 n = l logo l2 = l que implica l = 1, pois n˜ao pode ser l = 0. Exemplo 23. Se 0 < a < 1 ent˜ao lim an = 0, pois an ´e decrescente limitada inferiormente logo ´e convergente. lim an+1 = L = a. lim an = aL, se L ̸= 0 ent˜ao a = 1, absurdo, logo L = 0. 1.7 Limites infinitos Defini¸c˜ao 26 (Limite +infinito). Seja uma sequˆencia (xn) . Ent˜ao lim xn = ∞ se acontece ∀ A > 0 ∃n0 ∈ N | n > n0 ⇒ xn > A nesse caso dizemos que xn tende a infinito. Negar que lim(xn) = ∞ significa que ∃A > 0 ∀ n0 ∈ N | ∃n > n0 tal que xn < A isto ´e, sempre haver´a uma infinidade de termos menores que um certo n´umero A. Defini¸c˜ao 27 (Limite − infinito). Dizemos que lim xn = −∞ ⇔ lim −xn = ∞. Corol´ario 27. Se limxn = ∞ ent˜ao por defini¸c˜ao (xn) n˜ao ´e limitada superiormente, da mesma maneira se lim xn = −∞ ent˜ao xn n˜ao ´e limitada inferiormente . Defini¸c˜ao 28 (Sequˆencia Oscilante). Uma sequˆencia (xn) ´e dita oscilante se ela n˜ao ´e convergente, nem vale lim xn = ∞ ou lim xn = −∞. Propriedade 65. Seja (xn) tal que lim xn = a ent˜ao lim(−1)n xn existe sse a = 0.
  43. 43. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 42 Demonstra¸c˜ao. Seja ent˜ao lim xn = a considere a sequˆencia (zn) de termo dado por zn = (−1)n xn temos a subsequˆencia de termos pares (z2n) = (x2n) com limite lim z2n = lim x2n = a e a subsequˆencia de termos ´ımpares (z2n−1) = (−x2n−1) com limite lim z2n−1 = lim −x2n−1 = −a para que o limite exista ´e necess´ario e suficiente que a = −a logo 2a = 0, a = 0. Propriedade 66. Se lim xn = a ̸= 0 ent˜ao ((−1)n xn) ´e oscilante. Demonstra¸c˜ao. (xn) ´e limitada logo n˜ao pode valer lim(−1)n xn infinito ou menos infinito, como (xn) converge para um valor n˜ao nulo, ent˜ao a sequˆencia ´e oscilante. Propriedade 67. Se lim xn = ±∞ ent˜ao ((−1)n xn) ´e oscilante . Demonstra¸c˜ao. Para n > n0 vale xn > A > 0 logo para n par (−1)n xn ´e positivo e para n ´ımpar tal termo ´e negativo ent˜ao a sequˆencia n˜ao pode tender a infinito, tamb´em n˜ao pode ser convergente pois n˜ao ´e limitada. Propriedade 68. lim n = ∞. Demonstra¸c˜ao. Temos que mostrar que para todo A > 0 podemos encontrar n0 ∈ N tal que n > n0 implica n > A, isso vale pois os naturais n˜ao s˜ao limitados superiormente nos reais. Propriedade 69. Se a > 1 ent˜ao lim an = ∞. Demonstra¸c˜ao. Podemos escrever an = (1 + h)n com 1 + h > 1 logo h > 0 e vale a desigualdade de Bernoulli an = (1 + h)n > 1 + nh podemos conseguir assim que 1 + nh > A, tomando n0 > A h − 1 e como a > 1 implica an+1 > an temos uma sequˆencia crescente logo n > n0 implica an > A logo lim an = ∞. Propriedade 70. Dada uma sequˆencia (xn) n˜ao-decrescente ilimitada temos que lim xn = ∞. Demonstra¸c˜ao. Se (xn) ´e uma sequˆencia ilimitada n˜ao-decrescente ela ´e limitada inferiormente pelo seu primeiro termo ent˜ao ela deve ser ilimitada superiormente, logo podemos tomar A > 0 e vai existir n0 ∈ N tal que xn0 > A e como ela ´e n˜ao-decrescente temos que n > n0 implica xn ≥ xn0 > A logo temos lim xn = ∞.
  44. 44. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 43 1.7.1 lim √ n = ∞. Exemplo 24. lim √ n = ∞. Temos que √ n ´e crescente e n˜ao ´e limitada superior- mente, pois √ A2 = A. ( √ n) n˜ao ´e limitada por´em lim √ n n = lim 1 √ n = 0. Propriedade 71. Se lim xn+p = ∞ para algum p natural ent˜ao lim xn = ∞. Demonstra¸c˜ao. Para qualquer A > 0 existe n0 ∈ n tal que n > n0 implica xn+p > A, a partir de xn0+1+p vale essa desigualdade, ent˜ao existe n1 = n0 + p tal que para n > n1 vale xn > A o que implica lim xn = ∞. Propriedade 72. Se lim xn = ∞ ent˜ao xn ´e limitada inferiormente. Demonstra¸c˜ao. Se lim xn = ∞, ent˜ao ∀ A > 0 existe n0 ∈ N tal que n > n0 vale xn > A, tomando A = 1 tem-se que para n > n0 , xn > 1, como existe um n´umero finito de termos possivelmente menores que 1 ent˜ao a sequˆencia ´e limitada inferiormente. 1.7.2 lim n∑ k=1 1 √ n + k = ∞. Exemplo 25. lim n∑ k=1 1 √ n + k = ∞. Vale k ≤ n ⇒ k + n ≤ 2n ⇒ √ k + n ≤ √ 2n ⇒ 1 √ 2n ≤ 1 √ k + n somando de 1 at´e n segue √ n 2 ≤ lim n∑ k=1 1 √ n + k logo por compara¸c˜ao lim n∑ k=1 1 √ n + k = ∞. 1.8 Opera¸c˜oes com limites infinitos Propriedade 73 (Crit´erio do inverso). Seja xn > 0 para todo n ∈ N ent˜ao lim xn = 0 ⇔ lim 1 xn = ∞.
  45. 45. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 44 Demonstra¸c˜ao. Se lim xn = 0 temos que para todo ε > 0 existe n0 ∈ N tal que para n > n0 implica |xn| < ε, xn < ε, 1 ε < 1 xn tomando A = 1 ε segue 1 xn > A logo lim 1 xn = ∞. Considerando agora lim 1 xn = ∞ temos que para todo A > 0 existe n0 ∈ N tal que para n > n0 vale 1 xn > A logo 1 A > xn tomando ε = A temos xn < ε, |xn| < ε logo lim xn = 0. 1.8.1 Se lim |xn+1| |xn| = L ent˜ao lim n √ |xn| = L. Propriedade 74. Seja (xn) uma sequˆencia de termos n˜ao nulos, se lim |xn+1| |xn| = L ent˜ao lim n √ |xn| = L. Demonstra¸c˜ao. Seja L > 0, ent˜ao existe n0 ∈ N tal que para k > n0 vale 0 < L − ε < t1 < |xk+1| |xk| < t2 < L + ε aplicando n∏ k=n0+1 em ambos lados e usando produto telesc´opico tem-se |xn0+1|(t1)n−n0 < |xn+1| < |xn0+1|(t2)n−n0 tomando a raiz n-´esima |xn0+1| 1 n (t1)1− n0 n < |xn+1| 1 n < |xn0+1| 1 n (t2)1− n0 n para n grande tem-se L − ε < |xn+1| 1 n < L + ε da´ı segue que lim |xn+1| 1 n = L. Se L = 0, temos argumento similar, existe n0 ∈ N tal que para k > n0 vale 0 < |xk+1| |xk| < t2 < ε < 1 aplicando n∏ k=n0+1 em ambos lados e usando produto telesc´opico tem-se 0 < |xn+1| < |xn0+1|(t2)n−n0
  46. 46. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 45 tomando a raiz n-´esima 0 < |xn+1| 1 n < |xn0+1| 1 n (t2)1− n0 n para n grande tem-se 0 < |xn+1| 1 n < ε da´ı segue que lim |xn+1| 1 n = 0. Corol´ario 28. Usando o crit´erio do inverso, temos que se lim |xn+1| |xn| = ∞ ent˜ao lim n √ |xn| = ∞. Exemplo 26. Provar que lim n √ (2n)! n! = ∞. Tomamos xn = (2n)! n! da´ı temos xn+1 xn = (2n + 2)(2n + 1)(2n)! (n + 1)n! n! (2n)! = (2n + 2)(2n + 1) (n + 1) = 2(2n + 1) → ∞ logo lim n √ (2n)! n! = ∞. 1.8.2 lim n √ (2n)! n!nn = 4 e . Exemplo 27. Mostrar que lim n √ (2n)! n!nn = 4 e . Tomamos xn = (2n)! n!nn , da´ı xn+1 xn = 2(2n + 1) n + 1 1 (1 + 1 n )n → 4 e . Exemplo 28. Mostrar que lim n n √ n! = e. Tomamos xn = nn n! , da´ı xn+1 xn = (n + 1)n+1 nn 1 n + 1 = (n + 1)n nn = (1 + 1 n )n → e , da´ı segue que lim n n √ n! = e. Disso segue tamb´em que lim n a n √ n! = e a , isto ´e, lim n √ nn n!an = e a , da´ı tomando o inverso, temos lim n √ n!an nn = a e , em especial se e = a, segue que lim n √ n!en nn = e e = 1.
  47. 47. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 46 1.8.3 lim n→∞ ( m + n n )1 n = 1 Exemplo 29. Vale que lim n→∞ ( m + n n )1 n = 1. Vamos usar o crit´erio que acabamos de provar, vamos tomar xn = ( m + n n ) = (m + n)! n!m! , da´ı o limite do quociente ´e o limite de xn+1 xn = (m + n + 1)! (n + 1)!m! m!.n! (m + n)! = (m + n + 1) n + 1 = m n + 1 + 1, tomando o limite tem-se que m n + 1 → 0 com m fixo logo lim xn+1 xn = 1 e da´ı lim x 1 n n = 1, por isso lim n→∞ ( m + n n )1 n = 1. 1.8.4 lim n √ n! = ∞ Exemplo 30. Mostrar que lim n √ n! = ∞ . Vamos trablhar com xn = 1 n! , temos que xn+1 xn = 1 (n + 1)! n! = 1 n + 1 → 0 ent˜ao pelo teorema anterior o limite da raiz n -´esima de tal sequˆencia tamb´em tende a zero, isto ´e lim 1 n √ n! → 0, pelo crit´erio do inverso segue que lim n √ n! = ∞. Exemplo 31. lim 1 √ n = 0 pois lim √ n = ∞ e √ n > 0. 1.8.5 lim 1 √ n + 1 + √ n = lim √ n + 1 − √ n = 0 Exemplo 32. lim ∆ √ n = 0 pois √ n + 1 − √ n = 1 √ n + 1 + √ n . Exemplo 33. Mostrar que lim √ n + t √ n + 1 + √ n = 1 2
  48. 48. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 47 para t ≥ 0. Tem-se lim √ n + t √ n + 1 + √ n = lim 1 √ n+1 n+t + √ n n+t = lim 1 √ n+1 n+t + √ n n+t = lim 1 √ 1+ 1 n 1+ t n + √ 1 1+ t n = 1 2 . Propriedade 75 (Crit´erio de compara¸c˜ao). Sejam duas sequˆencias (xn) e (yn) e um n´umero natural n0 tal que se para n > n0 vale xn ≥ yn e lim yn = ∞ ent˜ao lim xn = ∞. Demonstra¸c˜ao. Se lim yn = ∞ ent˜ao para qualquer A > 0 existe n1 ∈ N tal que para n > n1 vale yn > A e temos tamb´em que para n > n0 vale xn ≥ yn, tomando n2 = max{n1, n0} para n > n2 vale xn ≥ yn e yn > A logo xn > A o que implica lim xn = ∞. Propriedade 76. Se lim xn = ∞ e (yn) ´e limitada inferiormente ent˜ao lim xn + yn = ∞. Demonstra¸c˜ao. Com (yn) limitada inferiormente tem-se B ∈ R tal que yn > B e como temos lim xn = ∞ vale para todo A > 0 existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ xn > A logo de yn > B somando xn tem-se xn + yn > B + xn e de xn > A somando B segue xn + B > A + B logo xn + yn > A + B para todo C > 0 podemos tomar A + B = C assim lim xn + yn = ∞. Corol´ario 29. Se lim yn = ∞ e lim xn = ∞ ent˜ao lim xn +yn = ∞, pois yn ´e limitada inferiormente. Corol´ario 30. lim 1 n + n = ∞ pois 1 n ´e limitada inferiormente e n → ∞. Corol´ario 31. Se (yn) ´e uma sequˆencia convergente e lim xn = ∞ ent˜ao lim xn +yn = ∞, pois (yn) sendo convergente, ela ´e limitada logo limitada inferiormente. Propriedade 77. Se lim xn = ∞ e existe c > 0 tal que yn > c para todo n ∈ N ent˜ao lim xnyn = ∞.
  49. 49. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 48 Demonstra¸c˜ao. Se lim xn = ∞ ent˜ao ∀A > 0 ∃n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ xn > A e se existe c > 0 tal que yn > c para todo n natural ent˜ao para n > n0 , xn > 0 logo yn.xn > c.xn e de xn > A segue xn.c > Ac assim xnyn > Ac podemos tomar ent˜ao A = B c com B > 0 arbitr´ario donde segue xnyn > B logo lim xnyn = ∞. Corol´ario 32. Se lim xn = ∞ e lim yn = ∞ ent˜ao lim xn.yn = ∞. Corol´ario 33. Se lim xn = ∞ e b > 0 uma constante ent˜ao lim bxn = ∞. Podemos tomar yn = b para todo n na propriedade anterior e como b > 0 existe 0 < c < b da´ı a propriedade segue. Propriedade 78. Seja b > 0 real, se lim xn = ∞ ent˜ao lim(xn)b = ∞. Demonstra¸c˜ao. Se lim xn = ∞ ent˜ao ∀ B > 0 ∃n0 ∈ N | n > n0 ⇒ xn > B tomando B = A 1 b , ent˜ao xn > A 1 b da´ı (xn)b > A com A arbitr´ario, logo a sequˆencia tende a infinito. Propriedade 79. Se lim an = ∞ e an > 0∀ n ∈ N ent˜ao lim n∑ k=1 ak n = ∞. Demonstra¸c˜ao. ∀ A > 0 ∃ n0 ∈ N tal que para n > n0 tem-se an > 2A ent˜ao para n > 2n0 ( que implica n − n0 n > 1 2 ) vale n∑ k=1 ak n ≥ n∑ k=n0+1 2A n = 2A n − n0 n ≥ 2A 2 = A logo lim n∑ k=1 ak n = ∞. Corol´ario 34. Se lim xn = ∞ e n˜ao vale xn > 0 ∀ n ∈ N ent˜ao a propriedade tamb´em vale pois existe n0 ∈ N tal que para n > n0 tem-se xn > 0 , da´ı n∑ k=1 ak n = n0∑ k=1 ak n + n∑ k=n0+1 ak n = n0∑ k=1 ak n + n−n0∑ k=1 xk ak+n0 n
  50. 50. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 49 assim se define uma nova sequˆencia (xn) que satisfaz as propriedades do resultado anterior . Propriedade 80. Se (xn − yn) ´e limitada e lim yn = ∞ ent˜ao lim xn yn = 1. Demonstra¸c˜ao. Existem t1, t2 ∈ R e n0 tal que para n > n0 vale t1 < xn − yn < t2, ⇒ t1 + yn < xn < t2 + yn com yn > 0 dividimos por esse valor t1 yn + 1 < xn yn < t2 yn + 1 tomando o limite em ambos lados tem-se por sandu´ıche 1 ≤ lim xn yn ≤ 1 lim lim xn yn = 1. 1.8.6 lim ln(n + 1) − ln(n) = 0 Propriedade 81. Vale que lim ln(n + 1) − ln(n) = 0. Demonstra¸c˜ao. 0 < ln(n + 1) − ln(n) = ln( n + 1 n ) = ln(1 + 1 n ) = n ln(1 + 1 n ) n = ln(1 + 1 n )n n ≤ (1 + 1 n )n n como lim(1 + 1 n )n = e ent˜ao tal sequˆencia ´e limitada e com lim 1 n = 0 segue que lim (1 + 1 n )n n = 0, da´ı por sandu´ıche tem-se lim ln(n + 1) − ln(n) = 0. 1.8.7 lim ln(n + 1) ln(n) = 1. Corol´ario 35. lim ln(n + 1) ln(n) = 1 pois lim ln(n + 1) − ln(n) = 0 e lim ln(n) = ∞. Poder´ıamos argumentar apenas que (lim ln(n+1)−ln(n)) ´e limitada sem mostrar que converge da seguinte maneira:(ln(n+1)−ln(n)) ´e limitada pois vale 0 < ln(1+ 1 n ) < 1+ 1 n com 1 + 1 n limitada.
  51. 51. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 50 Outra maneira ´e considerar ln(n + 1) ln(n) − 1 = ln(n + 1) − ln(n) ln(n) = ln(1 + 1 n ) ln(n) como o numerador ´e limitado e o denominador tende ao infinito o limite ´e nulo lim ln(n + 1) ln(n) − 1 = 0 ⇒ lim ln(n + 1) ln(n) = 1. Exemplo 34. O limite lim(xn − yn) pode existir, por´em n˜ao vale lim xn yn = 1, tome por exemplo xn = 2 n , yn = 1 n , vale lim(xn − yn) = lim 1 n = 0 e lim xn yn = lim 2 n n = 2. Exemplo 35. Se (xn) ´e limitada e lim yn = ∞ n˜ao podemos concluir nada sobre lim xn.yn , pode ser infinito xn = 1, pode ser − infinito, com xn = −1, o limite pode existir como xn = 1 n e yn = n, ou pode n˜ao existir com xn = (−1)n . Exemplo 36. Se (xk) ´e limitada ent˜ao (xk) (C, 1) ´e convergente? Propriedade 82. Se lim xn = ∞ e a > 0 ent˜ao lim √ ln(xn + a − √ ln(xn = 0. Demonstra¸c˜ao. √ ln(xn + a − √ ln(xn = ln(xn + a) − ln(xn) √ ln(xn + a + √ ln(xn o denominador ln(1 + a xn ) < 1 + a xn → 1 logo o numerador ´e limitado e o numerador tende ao infinito, ent˜ao o limite ´e nulo. Propriedade 83. Seja f : N → N injetora ent˜ao lim f(n) = ∞. Demonstra¸c˜ao. Vamos mostrar que ∀ n0 ∈ N ∃n1 ∈ N | n > n1 ⇒ f(n) > n0. Seja An0 = {n ∈ N | f(n) ≤ n0} tal conjunto tem no m´aximo n0 elementos, pois se tivesse mais de n0 ent˜ao f n˜ao seria injetiva , pois ter´ıamos n1, · · · , nn0 tais que f(n1) = 1 , f(n2) = 2, · · · , f(nn0 ) = n0
  52. 52. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 51 se houvesse mais algum nt com f(nt) igual a algum desses valores acima, ter´ıamos f(nt) = f(ns) com nt ̸= ns e da´ı a fun¸c˜ao n˜ao seria injetora, observe que os valores de An0 s´o podem ser 1, 2, · · · , n0. Se An0 ´e vazio tomamos n1 = 1, da´ı para n > 1 vale f(n) > n0, se n˜ao for vazio, tomamos n1 = max{An0 }, que pode ser tomado, pois todo conjunto finito tem um m´aximo, da´ı para n > n1 tem-se f(n) > n0, pois se existisse n2 > n1 tal que f(n2) ≤ n0 entraria em contradi¸c˜ao com o fato de n1 ser o m´aximo desses valores, da´ı segue que lim f(n) = ∞. Exemplo 37. Se f : N → N ´e sobrejetora ent˜ao pode n˜ao valer lim f(n) = ∞, como por exemplo a sequˆencia (1, 2, 1, 3, 1, 4, · · · ) em que se tem subsequˆencia de termo yn = n e xn = 1 alternadas. Propriedade 84. Se lim xn = a ent˜ao lim xf(n) = a onde f : N → N ´e injetora. Demonstra¸c˜ao. Como lim xn = a ent˜ao para todo ε > 0 existe n1 ∈ N tal que n > n1 implica |xn − a| < ε. Pelo fato de f(n) → ∞, existe n2 ∈ N tal que n > n2 + n1 implica f(n) > n1 da´ı |xf(n) − a| < ε. 1.9 Limites e desigualdades Propriedade 85 (Permanˆencia de sinal I). Se lim xn = b com b > 0 ent˜ao no m´aximo uma quantidade finita de termos dessa sequˆencia pode n˜ao ser positiva, isto ´e, existe n0 ∈ N tal que para n > n0 vale xn > 0. Demonstra¸c˜ao. Como lim xn = b para todo ε > 0 existe n0 tal que para n > n0 temos |xn − b| < ε, xn ∈ (b − ε, b + ε) tomando ε = b 2 temos b − ε = b − b 2 = 2b − b 2 = b 2 e b + ε = b + b 2 = 3b 2 logo existe n0 tal que para n > n0 tem-se xn ∈ ( b 2 , 3b 2 ) logo xn ´e positivo. Propriedade 86 (Permanˆencia de sinal II). Se lim xn = b com b < 0 ent˜ao no m´aximo uma quantidade finita de termos dessa sequˆencia pode n˜ao ser negativa, isto ´e, existe n0 ∈ N tal que para n > n0 vale xn < 0.
  53. 53. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 52 Demonstra¸c˜ao. Como lim xn = b para todo ε > 0 existe n0 tal que para n > n0 temos |xn −b| < ε, xn ∈ (b−ε, b+ε) tomando ε = b 2 existe n0 tal que para n > n0 tem-se xn ∈ ( b 2 , 3b 2 ) logo xn ´e negativo. Corol´ario 36. Seja (xn) uma sequˆencia com limxn = a e b ∈ R tal que a > b ent˜ao existe n0 ∈ N tal que xn > b para qualquer n > n0. Consideramos a sequˆencia (xn − b) ela tem limite lim(xn − b) = lim xn − b = a − b > 0 pela permanˆencia de sinal existe n0 tal que para n > n0 vale xn − b > 0 logo xn > b. Corol´ario 37. Se lim xn < b ent˜ao xn < b para n suficientemente grande. Sendo lim xn = a < b ent˜ao lim xn − b = a − b < 0, da´ı por permanˆencia de sinal segue que para n suficientemente grande tem-se xn − b < 0, xn < b. Outra demonstra¸c˜ao pode ser feita assim: Se lim xn = a < b, ent˜ao 0 < b − a, tomando ε < b − a segue que ∃ n0 ∈ N | n > n0 ⇒ xn ∈ (a − ε, a + ε) por´em a + ε < b, da´ı xn < a + ε < b. Corol´ario 38. Sejam (xn), (yn) duas sequˆencias com lim xn = a e lim yn = b. Se b > a ent˜ao existe n0 ∈ N tal que yn > xn para qualquer n > n0. Considerando a sequˆencia (xn − yn) ela tem limite lim xn − yn = b − a > 0 logo pela permanˆencia de sinal existe n0 ∈ N tal que para n > n0 vale xn − yn > 0, xn > yn . Propriedade 87. Se lim xn = 0 e existe t ∈ N tal que xt > 0 , ent˜ao {xn} possui m´aximo. Demonstra¸c˜ao. Vale xt > 0, da´ı tomamos ε > 0 tal que ε < xt, ent˜ao para n > n0 > t vale xn ∈ (−ε, ε), o conjunto A = {xn, n ≤ n0}, possui m´aximo por ser finito e o m´aximo xs dele satisfaz xs ≥ xn para n ≤ n0 por constru¸c˜ao e xs ≥ xn para n > n0, pois xs ≥ xt > ε > xn nessas condi¸c˜oes. Generalizando a propriedade anterior Propriedade 88. Se lim xn = a e existe t ∈ N tal que xt > a , ent˜ao {xn} possui m´aximo.
  54. 54. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 53 Demonstra¸c˜ao. Vale xt > a, da´ı tomamos ε > 0 tal que ε < xt − a, ent˜ao para n > n0 > t vale xn ∈ (a − ε, a + ε), o conjunto A = {xn, n ≤ n0}, possui m´aximo por ser finito e o m´aximo xs dele satisfaz xs ≥ xn para n ≤ n0 por constru¸c˜ao e xs ≥ xn para n > n0, pois xs ≥ xt > a + ε > xn nessas condi¸c˜oes. Propriedade 89. Se lim xn = a e existe t ∈ N tal que xt < a , ent˜ao {xn} possui m´ınimo. Demonstra¸c˜ao. Tomamos ε > 0 tal que ε < a − xt da´ı existe n0 ∈ N tal que para n > n0 > t vale xn ∈ (a−ε, a+ε) dai tomamos xs = min{xn | n ≤ n0}, vale xn ≥ xs para todo n, pois para n ≤ n0 isso vale por defini¸c˜ao e para n > n0 tem-se xs ≥ xt ≥ xn. Corol´ario 39. Se uma sequˆencia ´e convergente e possui um ponto `a direita do seu limite ent˜ao ela possui m´aximo, se ela possui um ponto a esquerda do seu limite ent˜ao ela possui um m´ınimo. Se ela for constante ela possui m´aximo e m´ınimo. Ent˜ao em qualquer caso uma sequˆencia convergente possui m´aximo ou m´ınimo. Corol´ario 40. Se uma sequˆencia n˜ao possui m´aximo ou m´ınimo ela ´e divergente. Propriedade 90. Se existe n0 ∈ N tal que para n > n0 temos xn ≥ 0 e lim xn = a ent˜ao a ≥ 0. Esta propriedade diz que se a sequˆencia tem no m´aximo um n´umero finito de termos negativos (esse n´umero podendo ser zero) ent˜ao seu limite quando existe n˜ao pode ser negativo. Demonstra¸c˜ao. Suponha que a < 0 ent˜ao existir˜ao n1 ∈ N e ε = − a 2 > 0 tal que para n > n1 temos xn ∈ (a − ε, a + ε) , nesse caso temos xn < 0 mas por hip´otese temos que para n > n0 , xn ≥ 0 o que contradiz a hip´otese, pois podemos tomar n2 > n1, n0 e ter´ıamos xn2 ≥ 0 (pela hip´otese ) e xn2 < 0 (pela condi¸c˜ao de a < 0) o que ´e um absurdo logo temos que a ≥ 0. Corol´ario 41. Um sequˆencia de n´umeros n˜ao-negativos n˜ao pode ter limite negativo. No caso de uma sequˆencia de n´umeros n˜ao-negativos temos xn ≥ 0 para todo n.
  55. 55. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 54 1.9.1 O limite preserva desigualdades Propriedade 91 (Limite preserva desigualdade). Se (xn) e (yn) s˜ao convergentes e satisfazem yn ≥ xn para todo n > n0 ent˜ao lim yn ≥ lim xn. Demonstra¸c˜ao. Tomamos zn = yn − zn, vale para n > n0 que zn ≥ 0, (zn) ´e convergente por ser subtra¸c˜ao de sequˆencias convergentes logo lim zn = lim yn −lim xn ≥ 0 e da´ı lim yn ≥ lim xn. Propriedade 92. Se lim xn = a, lim yn = b e |xn − yn| ≥ ε para todo n, ent˜ao |a − b| ≥ ε. Demonstra¸c˜ao. Suponha por absurdo que |a − b| =ε1 < ε e |yn − xn| ≥ ε. Podemos tomar n > n0 tal que |yn − b| < ε2 e |xn − a| < ε3 onde ε1 + ε2 + ε3 < ε, que pode ser feito, pois basta tomar ε2 + ε3 < ε − ε1 >0 logo |yn − xn| ≤ |yn − b| + |b − a| + |xn − a| < ε1 + ε2 + ε3 = ε que contradiz |yn − xn| ≥ ε. Propriedade 93. Se g : A → R ´e limitada numa vizinhan¸ca de a e lim xn = a (com xn ∈ A ) ent˜ao a sequˆencia (g(xn)) ´e limitada. Demonstra¸c˜ao. Como g ´e limitada numa vizinhan¸ca de a ent˜ao existe ε > 0 tal que para x ∈ (a − ε, a + ε) ∩ A vale |g(x)| ≤ M. Por termos lim xn = a, ent˜ao existe n0 ∈ N tal que n > n0 implica xn ∈ (a − ε, a + ε), logo vale |g(xn)| ≤ M.

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