DeClara n.º 75 Abril 2024 - O Jornal digital do Agrupamento de Escolas Clara ...
ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - SÉRIE DOS INVERSOS DOS PRIMOS
1. ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES
PUC-RIO - SÉRIE DOS INVERSOS DOS PRIMOS
ClAudio Buffara – Rio de Janeiro
2. Seguindo nossas publicações sobre as dúvidas publicadas na lista PUC-RIO,
hoje compartilharei uma questão sobre inversos dos primos.
3. DÚVIDA
Algum de vocês já estudou, quanto a convergência, séries do tipo Soma ( n=1,
oo) (1/p_n)^k, sendo p_n o n_gésimo primo positivo e k>=1 um real? Eu sei que
para k=1 a série diverge. Alguém poderia dar uma sugestão de como podemos
provar isto?
Uma forma de fazer isso é supondo que a série converge. Se isso ocorre, então
existe um k inteiro positivo tal que Soma( n=k+1, oo)(1/p_n) < 1/2.
Seja Q = p_1*...*p_k o produto dos k primeiros primos, e considere números da
forma 1 + m*Q, onde m = 1, 2, ... . Claramente, todo fator primo desses
números está entre os primos p_(k+1), p_(k+2), ... . Logo, para cada r >= 1,
temos
Soma(m=1, r)(1/(1 + m*Q)) <= Soma(t=1, oo)[Soma(n=k+1, oo)(1/p_n)]^t ,
4. visto que a soma à direita inclui entre seus termos todos os termos da
esquerda. Mas da observação feita no início,
Soma(t=1, oo)[Soma(n=k+1, oo)(1/p_n)]^t <= Soma(t=1, oo)(1/2)^t = 2
e portanto Soma(m=1, r)(1/(1 + m*Q)) converge.
Mas
integral(1, A)(1/(1 + x*Q))dx = (1/Q)*log(1 + A*Q) - (1/Q)*log(1 + Q) -> oo
quando A -> oo.
Logo, pelo teste da integral, este somatório deveria divergir, o que gera a
nossa desejada contradição.
Eu não estou certo quanto a isso, mas acho que há uma demonstração
combinatória desse resultado...
5. SOLUÇÃO
A ideia é provar que, para x >= 2, SOMA(p <= x) 1/p > log(log(x)) - 1, onde a
soma em questão se estende aos primos <= x. A divergência da série dos
inversos dos primos é uma consequência imediata dessa desigualdade.
Seja A = conjunto dos naturais cujos fatores primos são <= x.
Então, o produtório:
PRODUTO(p <= x) (1 + 1/p + 1/p^2 + ...)
É igual a soma:
SOMA(n em A) 1/n.
Em particular, se n <= x, então n pertence a A, de forma que a soma:
SOMA(1 <= n <= x) 1/n está incluída na soma acima.
6. Agora, sabemos que:
SOMA(1 <= n <= N) 1/n >= INTEGRAL(1 a N+1) dx/x = log(N+1) > log(x).
Logo,
SOMA(n em A) 1/n > SOMA(1 <= n <= x) 1/n > log(x).
Por outro lado,
SOMA(n em A) 1/n =
PRODUTO(p <= x) (1 + 1/p + 1/p^2 + ...) =
PRODUTO(p <= x) 1/(1 - 1/p).
7. Ou seja:
PRODUTO(p <= x) 1/(1 - 1/p) > log(x).
Agora, para a grande sacada da demonstração - a desigualdade:
exp(y + y^2) >= 1/(1 - y), para 0 <= y <= 1/2,
a qual se demonstra facilmente pela análise da derivada de:
f(y) = (1 - y)exp(y + y^2)
Fazendo y = 1/p para cada primo p <= x, e multiplicando as desigualdades
membro a membro, obtemos:
PRODUTO (p <= x) exp(1/p + 1/p^2) >= PRODUTO(p <= x) 1/(1 - 1/p) > log(x).
