O documento fornece a solução para o problema de quantos modos 3 casais podem se sentar ao redor de uma mesa circular de forma que marido e mulher não fiquem juntos. A solução divide o problema em casos mutuamente exclusivos e calcula o número de ocorrências de cada caso, somando no final para obter a resposta de 32 modos possíveis.

1. ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES
PUC-RIO - DÚVIDA EPCAR
ClAudio Buffara – Rio de Janeiro

2. Hoje publicarei um problema que foi compartilhado na lista PUC-RIO.

3. DÚVIDA
De quantos modos 3 casais podem sentar-se ao redor de uma mesa circular
de tal forma que marido e mulher não fiquem juntos? r= 32, como faço isso?

4. SOLUÇÃO
Eu sou meio ruim de combinatória. Então, para minimizar a chance de errar,
eu sempre procuro dividir esses problemas com restrições em casos simples e
mutuamente exclusivos e calcular o número de ocorrências de cada um. No
fim, é só somar tudo.
Por exemplo, chame os pares de Aa, Bb e Cc.

5. Sejam:
ABC: nº de permutações em que os casais Aa, Bb, Cc ficam juntos.
AB: nº de permutações em que os casais Aa e Bb ficam juntos mas Cc fica
separado.
AC e BC: definidos analogamente.
A: nº de permutações em que Aa fica junto mas Bb e Cc ficam separados
B e C: definidos analogamente
X: nº de permutações em que todos ficam separados ==> esse é o que
queremos calcular.

6. Sabemos que o nº total de maneiras dos casais se sentarem sem restrições é
simplesmente o nº de permutações circulares de 6 elementos = 5! = 120.
Cálculo de ABC:
Permutações circulares dos pares Aa, Bb e Cc: 2! = 2
Nº de permutações do par Aa: 2 (A-a ou a-A)
Nº de permutações do par Bb: 2
Nº de permutações do par Cc: 2
ABC = 2^4 = 16

7. Cálculo de AB:
Como Aa e Bb ficam juntos mas Cc fica separado, só pode ser o caso que C e c
ocupam posições diametralmente opostas. Suponhamos que C esteja sentado:
Nº de maneiras de sentar c: 1
Nº de maneiras de sentar Aa e Bb, após c ter sentado: 2
Nº de permutações do par Aa: 2
Nº de permutações do par Bb: 2
AB = 2^3 = 8
Analogamente, AC = BC = 8

8. Cálculo de A:
Imaginemos o par Aa já sentado (junto)
Vamos dividir em 2 casos:
(1) B senta junto de A ou de a;
(2) B não senta junto de A nem de a.

9. Caso 1:
Nº de maneiras de sentar B: 2
Nº de maneiras de sentar b, após B ter sentado: 1
Nº de maneiras de sentar Cc, após B e b terem sentado: 2
Nº de permutações do par Aa: 2
Total caso 1 = 2^3 = 8.

10. Assim:
1/(a1.a2) = (1/r)*(1/(a+r) - 1/(a+2r))
1/(a2.a3) = (1/r)*(1/(a+2r) - 1/(a+3r))
1/(a3.a4) = (1/r)*(1/(a+3r) - 1/(a+4r))
1/(a(n-1).an) = (1/r)*(1/(a+(n-1)r) - 1/(a+nr))
Mas então, a soma tornou-se telescópica, ou seja:
SOMA = (1/r)*(1/(a+r) - 1/(a+nr)) = (1/r)*(n-1)r/((a+r)(a+nr)) = (n-1)/(a1.an)
Confira a discussão completa em:
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200309/msg00016.html

11. Caso 2:
Nº de maneiras de sentar B: 2
Nº de maneiras de sentar b, após B ter sentado: 1
Nº de maneiras de sentar Cc, após B e b terem sentado: 2
Nº de permutações do par Aa: 2
Total caso 2 = 2^3 = 8
Assim, A = 8 + 8 = 16
Analogamente, B = C = 16

12. Agora, repare que todos os casos acima mais o caso pedido no enunciado são
mutuamente exclusivos e esgotam todas as permutações circulares das 6
pessoas. Assim, podemos escrever:
5! = X + A + B + C + AB + AC + BC + ABC ⇒ 120 = X + 3*16 + 3*8 + 16 ⇒ 120
= X + 88 ==> X = 32.
Confira a discussão completa em:
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200309/msg00021.html