1. A função exponencial
A função exponencial natural é a função exp:R R+, definida como a inversa da
função logarítmo natural, isto é:
Ln[exp(x)]=x, exp[Ln(x)]=x
O gráfico da função exponencial é obtido pela reflexão do gráfico da função Logaritmo
natural em relação à identidade dada pela reta y=x.
Como o domínio da função Logaritmo natural é o conjunto dos números reais positivos,
então a imagem da função exp é o conjunto dos números reais positivos e como a
imagem de Ln é o conjunto R de todos os números reais, então o domínio de exp
também é o conjunto R de todos os números reais.
Observação: Através do gráfico de f(x)=exp(x), observamos que:
1. exp(x)>0 se x é real)
2. 0<exp(x)<1 se x<0
3. exp(x)=1 se x=0
4. exp(x)>1 se x>0
No Ensino Médio, a função exponencial é definida a partir da função logarítmica e
ciclicamente define-se a função logarítmica em função da exponencial como:
f(x)=exp(x), se e somente se, x=Ln(y)
Para uma definição mais cuidadosa, veja Logaritmos.
Exemplos:
1. Ln[exp(5)]=5
2. exp[ln(5)]=5
3. Ln[exp(x+1)1/2]=(x+1)1/2
4. exp[Ln((x+1)1/2]=(x+1)1/2
5. exp[3.Ln(x)]=exp(Ln(x³)]=x³
6. exp[k.Ln(x)]=exp[Ln(xk)]=xk
7. exp[(7(Ln(3)-Ln(4)]=exp[7(Ln(3/4))]=exp[(Ln(3/4)]7)=(3/4)7
A Constante e de Euler
Existe uma importantíssima constante matemática definida por

2. e = exp(1)
O número e é um número irracional e positivo e em função da definição da função
exponencial, temos que:
Ln(e)=1
Este número é denotado por e em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler
(1707-1783), um dos primeiros a estudar as propriedades desse número.
O valor deste número expresso com 40 dígitos decimais, é:
e=2,718281828459045235360287471352662497757
Conexão entre o número e e a função exponencial
Se x é um número real, a função exponencial exp(.) pode ser escrita como a potência de
base e com expoente x, isto é:
ex = exp(x)
Significado geométrico de e
Tomando um ponto v do eixo OX, com v>1 tal que a área da região do primeiro
quadrante localizada sob a curva y=1/x e entre as retas x=1 e x=v seja unitária, então o
valor de v será igual a e.
Propriedades básicas da função exponencial
Se x e y são números reais e k é um número racional, então:
1. y=exp(x) se, e somente se, x=Ln(y).
2. exp[Ln(y)]=y para todo y>0.
3. Ln[exp(x)]=x para todo x real.
4. exp(x+y)=exp(x) exp(y)
5. exp(x-y)=exp(x)/exp(y)
6. exp(x.k)=[exp(x)]k
Simplificações matemáticas
Podemos simplificar algumas expressões matemáticas com as propriedades das funções
exponenciais e logaritmos:

3. 1. exp[Ln(3)]=3.
2. Ln[exp(20x)]=20x.
3. exp[5.Ln(2)]=exp[Ln(25)]=25=32.
4. exp[2+5.ln(2)]=exp(2)exp(5.Ln(2))=32e².
Outras funções exponenciais
Podemos definir outras funções exponenciais como g(x)=ax, onde a é um número real
positivo diferente de 1 e de x. Primeiro, consideremos o caso onde o expoente é um
número racional r.
Tomando x=ar na equação x=exp[Ln(x)], obtemos:
ar=exp[Ln(ar)]
Como Ln[ar]=r.Ln(a), a relação acima fica na forma:
ar = exp[r.Ln(a)]
Esta última expressão, juntamente com a informação que todo número real pode ser
escrito como limite de uma sequência de números racionais, justifica a definição para
g(x)=ax, onde x é um número real:
ax=exp[x.Ln(a)]
Leis dos expoentes
Se x e y são números reais, a e b são números reais positivos, então:
1. axay=ax+y
2. ax/ay=ax-y
3. (ax) y=ax.y
4. (a b)x=axbx
5. (a/b)x=ax/bx
6. a-x=1/ax
Relação de Euler
Se i é a unidade imaginária e x é um número real, então vale a relação:
eix = exp(ix) = cos(x) + i sen(x)
Algumas Aplicações
Funções exponenciais desempenham papéis fundamentais na Matemática e nas ciências
envolvidas com ela, como: Física, Química, Engenharia, Astronomia, Economia,
Biologia, Psicologia e outras. Vamos apresentar alguns exemplos com aplicações destas
funções.
Lei do resfriamento dos corpos: Um indivíduo foi encontrado morto em uma sala com
temperatura ambiente constante. O legista tomou a temperatura do corpo às 21:00 h e
constatou que a mesma era de 32 graus Celsius. Uma hora depois voltou ao local e

4. tomou novamente a temperatura do corpo e constatou que a mesma estava a 30 graus
Celsius. Aproximadamente a que horas morreu o indivíduo, sabendo-se que a
temperatura média de um corpo humano normal é de 37 graus Celsius?
Partindo de estudos matemáticos pode-se construir uma função exponencial decrescente
que passa pelos pontos (21,32) e (22,30) onde abscissas representam o tempo e as
ordenadas a temperatura do corpo.
A curva que descreve este fenômeno é uma função exponencial da forma:
f(t) = C eA t
então obtemos que:
A = Ln(30)-Ln(32)
C = 32/ (30/32)21
A função exponencial que rege este fenômeno de resfriamento deste corpo é dada por:
f(t) = 124,09468 e-0,0645385t
e quando f(t) = 37 temos que:
t = 18,7504... = 18 horas + 45 minutos
que pode ser observado através do gráfico.
Observação: Neste exemplo, usamos a construção de um gráfico e as propriedades
operatórias das funções exponenciais e logarítmicas.
Curvas de aprendizagem: Devido ao seu uso por psicólogos e educadores na descrição
do processo de aprendizagem, as curvas exponenciais realizam um papel importante.
A curva básica para este tipo de estudo é da forma:
f(x) = c - a e-k.x
onde c, a e k são constantes positivas. Considerando o caso especial em que c=a temos
uma das equações básicas para descrever a relação entre a consolidação da
aprendizagem y=f(x) e o número de reforços x.

5. A função:
f(x) = c - a e-k.x
cresce rapidamente no começo, nivela-se e então aproxima-se de sua assíntota y=c.
Estas curvas também são estudadas em Economia, na representação de várias funções
de custo e produção.
Crescimento populacional: Em 1798, Thomas Malthus, no trabalho "An Essay on the
Principle of Population" formulou um modelo para descrever a população presente em
um ambiente em função do tempo. Considerou N=N(t) o número de indivíduos em certa
população no instante t. Tomou as hipóteses que os nascimentos e mortes naquele
ambiente eram proporcionais à população presente e a variação do tempo conhecida
entre os dois períodos. Chegou à seguinte equação para descrever a população presente
em um instante t:
N(t)=No ert
onde No é a população presente no instante inicial t=0 e r é uma constante que varia com
a espécie de população.
O gráfico correto desta função depende dos valores de No e de r. Mas sendo uma função
exponencial, a forma do gráfico será semelhante ao da função y=Kex.
Este modelo supõe que o meio ambiente tenha pouca ou nenhuma influência sobre a
população.
Desse modo, ele é mais um indicador do potencial de sobrevivência e de crescimento de
cada espécie de população do que um modelo que mostre o que realmente ocorre.
Consideremos por exemplo uma população de bactérias em um certo ambiente. De
acordo com esta equação se esta população duplicar a cada 20 minutos, dentro de dois
dias, estaria formando uma camada em volta da terra de 30 cm de espessura. Assim,
enquanto os efeitos do meio ambiente são nulos, a população obedece ao modelo
N=Noert. Na realidade, se N=N(t) aumenta, o meio ambiente oferece resistência ao seu
crescimento e tende a mantê-lo sobre controle. Exemplos destes fatores são, a
quantidade disponível de alimentos, acidentes, guerras, epidemias,...
Como aplicação numérica, consideremos uma colônia de bactérias se reproduzindo
normalmente. Se num certo instante havia 200 bactérias na colônia, passadas 12 horas
havia 600 bactérias. Quantas bactérias haverá na colônia após 36 horas da última
contagem?
No instante inicial havia 200 bactérias, então No=200, após 12 horas havia 600
bactérias, então
N(12)=600=200 er12

6. logo
e12r=600/200=3
assim
ln(e12r)=ln(3)
Como Ln e exp são funções inversas uma da outra, segue que 12r=ln(3), assim:
r=ln(3)/12=0,0915510
Finalmente:
N(48) = 200 e48.(0,0915510) = 16200 bactérias
Então, após 36 horas da útima contagem ou seja, 48 horas do início da contagem,
haverá 16200 bactérias.
Desintegração radioativa: Os fundamentos do estudo da radioatividade ocorrerram no
início do século por Rutherford e outros. Alguns átomos são naturalmente instáveis, de
tal modo que após algum tempo, sem qualquer influência externa sofrem transições para
um átomo de um novo elemento químico e durante esta transição eles emitem radiações.
Rutherford formulou um modelo para descrever o modo no qual a radioatividade decai.
Se N=N(t) representa o número de átomos da substância radioativa no instante t, No o
número de átomos no instante t=0 e k é uma constante positiva chamada de constante de
decaimento, então:
N(t) = No e-k.t
esta constante de decaimento k, tem valores diferentes para substâncias diferentes,
constantes que são obtidas experimentalmente.
Na prática usamos uma outra constante T, denominada meia-vida do elemento químico,
que é o tempo necessário para que a quantidade de átomos da substância decaia pela
metade.
Se N=No/2 para t=T, temos
No/2 = No e-k.T
assim
T=Ln(2)/k
Na tabela, apresentamos indicadores de meia-vida de alguns elementos químicos:
Substância Meia-vida T
Xenônio 133 5 dias
Bário 140 13 dias
Chumbo 210 22 anos
Estrôncio 90 25 anos
Carbono 14 5.568 anos
Plutônio 23.103 anos
Urânio 238 4.500.000.000 anos
Para o Carbono 14, a constante de decaimento é:

7. k = Ln(2)/T = Ln(2)/5568 = 12,3386 por ano
Trigonometria e aplicações
Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triângulo
retângulo, assunto comum na oitava série do Ensino Fundamental. Também dispomos
de uma página mais aprofundada sobre o assunto tratado no âmbito do Ensino Médio.
A trigonometria possui uma infinidade de aplicações práticas. Desde a antiguidade já se
usava da trigonometria para obter distâncias impossíveis de serem calculadas por
métodos comuns.
Algumas aplicações da trigonometria são:
 Determinação da altura de um certo prédio.
 Os gregos determinaram a medida do raio de terra, por um processo muito
simples.
 Seria impossível se medir a distância da Terra à Lua, porém com a trigonometria
se torna simples.
 Um engenheiro precisa saber a largura de um rio para construir uma ponte, o
trabalho dele é mais fácil quando ele usa dos recursos trigonométricos.
 Um cartógrafo (desenhista de mapas) precisa saber a altura de uma montanha, o
comprimento de um rio, etc. Sem a trigonometria ele demoraria anos para
desenhar um mapa.
Tudo isto é possível calcular com o uso da trigonometria do triângulo retângulo.
Triângulo Retângulo
É um triângulo que possui um ângulo reto, isto é, um dos seus ângulos mede noventa
graus, daí o nome triângulo retângulo. Como a soma das medidas dos ângulos internos
de um triângulo é igual a 180°, então os outros dois ângulos medirão 90°.
Observação: Se a soma de dois ângulos mede 90°, estes ângulos são denominados
complementares, portanto podemos dizer que o triângulo retângulo possui dois ângulos
complementares.
Para ver mais detalhes sobre triângulos clique aqui.

8. Lados de um triângulo retângulo
Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais. Estes nomes são dados de
acordo com a posição em relação ao ângulo reto. O lado oposto ao ângulo reto é a
hipotenusa. Os lados que formam o ângulo reto (adjacentes a ele) são os catetos.
Termo Origem da palavra
Cathetós:
Cateto
(perpendicular)
Hypoteinusa:
Hipotenusa
Hypó(por baixo) + teino(eu estendo)
Para padronizar o estudo da Trigonometria, adotaremos as seguintes notações:
Letra Lado Triângulo Vértice = Ângulo Medida
a Hipotenusa A = Ângulo reto A=90°
b Cateto B = Ângulo agudo B<90°
c Cateto C = Ângulo agudo C<90°
Para ver mais detalhes sobre ângulos clique aqui.
Nomenclatura dos catetos
Os catetos recebem nomes especiais de acordo com a sua posição em relação ao ângulo
sob análise. Se estivermos operando com o ângulo C, então o lado oposto, indicado por
c, é o cateto oposto ao ângulo C e o lado adjacente ao ângulo C, indicado por b, é o
cateto adjacente ao ângulo C.
Ângulo Lado oposto Lado adjacente
C c cateto oposto b cateto adjacente
B b cateto oposto c cateto adjacente
Um dos objetivos da trigonometria é mostrar a utilidade do conceitos matemáticos no
nosso cotidiano. Iniciaremos estudando as propriedades geométricas e trigonométricas
no triângulo retângulo. O estudo da trigonometria é extenso e minucioso.
Propriedades do triângulo retângulo
1. Ângulos: Um triângulo retângulo possui um ângulo reto e dois ângulos agudos
complementares.

9. 2. Lados: Um triângulo retângulo é formado por três lados, uma hipotenusa (lado
maior) e outros dois lados que são os catetos.
3. Altura: A altura de um triângulo é um segmento que tem uma extremidade num
vértice e a outra extremidade no lado oposto ao vértice, sendo que este segmento
é perpendicular ao lado oposto ao vértice. Existem 3 alturas no triângulo
retângulo, sendo que duas delas são os catetos. A outra altura (ver gráfico acima)
é obtida tomando a base como a hipotenusa, a altura relativa a este lado será o
segmento AD, denotado por h e perpendicular à base.
A hipotenusa como base de um triângulo retângulo
Tomando informações da mesma figura acima, obtemos:
1. o segmento AD, denotado por h, é a altura relativa à hipotenusa CB, indicada
por a.
2. o segmento BD, denotado por m, é a projeção ortogonal do cateto c sobre a
hipotenusa CB, indicada por a.
3. o segmento DC, denotado por n, é a projeção ortogonal do cateto b sobre a
hipotenusa CB, indicada por a.
Projeções de segmentos
Introduziremos algumas idéias básicas sobre projeção. Já mostramos, no início deste
trabalho, que a luz do Sol ao incidir sobre um prédio, determina uma sombra que é a
projeção oblíqua do prédio sobre o solo.
Tomando alguns segmentos de reta e uma reta não coincidentes é possível obter as
projeções destes segmentos sobre a reta.
Nas quatro situações apresentadas, as projeções dos segmentos AB são indicadas por
A'B', sendo que no último caso A'=B' é um ponto.
Projeções no triângulo retângulo

10. Agora iremos indicar as projeções dos catetos no triângulo retângulo.
1. m = projeção de c sobre a hipotenusa.
2. n = projeção de b sobre a hipotenusa.
3. a = m+n.
4. h = média geométrica entre m e n. Para saber mais, clique sobre média
geométrica.
Relações Métricas no triângulo retângulo
Para extrair algumas propriedades, faremos a decomposição do triângulo retângulo
ABC em dois triângulos retângulos menores: ACD e ADB. Dessa forma, o ângulo A
será decomposto na soma dos ângulos CÂD=B e DÂB=C.
Observamos que os triângulos retângulos ABC, ADC e ADB são semelhantes.
Triângulo hipotenusa cateto maior cateto menor
ABC a b c
ADC b n h
ADB c h m
Assim:
a/b = b/n = c/h
a/c = b/h = c/m
b/c = n/h = h/m
logo:
a/c = c/m equivale a c² = a.m
a/b = b/n equivale a b² = a.n
a/c = b/h equivale a a.h = b.c
h/m = n/h equivale a h² = m.n

11. Existem também outras relações do triângulo inicial ABC. Como a=m+n, somando c²
com b², obtemos:
c² + b² = a.m + a.n = a.(m+n) = a.a = a²
que resulta no Teorema de Pitágoras:
a² = b² + c²
A demonstração acima, é uma das várias demonstrações do Teorema de Pitágoras.
Funções trigonométricas básicas
As Funções trigonométricas básicas são relações entre as medidas dos lados do
triângulo retângulo e seus ângulos. As três funções básicas mais importantes da
trigonometria são: seno, cosseno e tangente. O ângulo é indicado pela letra x.
Função Notação Definição
medida do cateto oposto a x
seno sen(x)
medida da hipotenusa
medida do cateto adjacente a x
cosseno cos(x)
medida da hipotenusa
medida do cateto oposto a x
tangente tan(x)
medida do cateto adjacente a x
Tomando um triângulo retângulo ABC, com hipotenusa H medindo 1 unidade, então o
seno do ângulo sob análise é o seu cateto oposto CO e o cosseno do mesmo é o seu
cateto adjacente CA. Portanto a tangente do ângulo analisado será a razão entre seno e
cosseno desse ângulo.

12. sen(x)=
CO
H
=
CO
1
cos(x)=
CA
H
=
CA
1
tan(x)=
CO
CA
=
sen(x)
cos(x)
Relação fundamental: Para todo ângulo x (medido em radianos), vale a importante
relação:
cos²(x) + sen²(x) = 1