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Aula 2
Prof.º Luciano Pessanha
MATEMÁTICA
?
 Os Conjuntos Numéricos estão ligados a História do Homem e o avanço
da Matemática como ciência.
 Padrões Naturais x Necessidade (presentes nos animais, plantio da
agricultura, contar animais, religião)
 Padrões Culturais x Necessidade ( medir o território, contar a
quantidade de grãos, declarar impostos, construir prédios, construir
embarcações, etc.)
 Nascem as Unidades de Medida usando o corpo como referência
(palmo, cúbito, polegada, etc.)
ℕ CONJUNTO DOS NÚ MEROS NATURAIS
ℤ CONJUNTO DOS NÚ MEROS INTEIROS
Da palavra em alemã o "Zahl" = nú mero
ℚ CONJUNTO DOS NÚ MEROS RACIONAIS
Da palavra quociente
𝕀 ou Ir CONJUNTO DOS NÚ MEROS IRRACIONAIS
ℝ ou ℜ CONJUNTO DOS NÚ MEROS REAIS
ℂ CONJUNTO DOS NÚ MEROS COMPLEXOS
NATURAIS (ℕ)
São aqueles números que aparecem naturalmente ao longo de um processo de contagem.
Todos seus elementos são infinitos e ordenados positivamente, ou seja, sempre possui um
sucessor e um antecessor (com exceção do zero que só possui sucessor).Todo sucessor é o
antecessor mais 1. Um nº e seu sucessor serão consecutivos.
ℕ ={0, 1, 2, 3, ...}
Entre os subconjuntos de N, destacamos:
ℕ* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...} ou ℕ - {0}
ℕpares = {0, 2, 4, 6, 8,...}
ℕímpares = {1, 3, 5, 7, ....}
ℕprimos = {2, 3, 5, 7, 11, ...}
Obs: O sinal * (asterisco) significa que o zero não faz parte desse conjunto.
Operações em ℕ:
ℕ + ℕ = ℕ
ℕ x ℕ = ℕ
ℕ - ℕ = ?
ℕ
Sucessor de ℕ = ℕ + 1
Antecessor de ℕ* = ℕ* – 1
Consecutivos = ℕ, ℕ + 1
NATURAIS (ℕ)
SOMA: +123 (1ª parcela)
256 (2ª parcela)
379 (soma/total)
(s – 2ªp = 1ªp)
MULTIPLICAÇÃO OU PRODUTO:
234 (1º fator)
x _ 45 (2º fator)
950
936+
(1ºf = p / 2ºf ) 10310 (produto)
OBS: Quem não sabe tabuada não sabe fazer operações de multiplicação e divisão
1)(VUNESP-2012) O sucessor do dobro de determinado número é 23. Esse mesmo
determinado número somado a 1 e, depois, dobrado será igual a:
2) Maria vai ao mercado quatro vezes por mês e gasta R$ 75,00 a cada uma dessas compras.
Sendo assim, podemos afirmar que os gastos de Maria no mercado, em um mês, resultam
em:
3) Em determinada loja, o pagamento de um computador pode ser feito sem entrada, em 12
parcelas de R$ 250,00. Sendo assim, um cliente que opte por essa forma de pagamento
deverá pagar pelo computador um total de:
4) Quando nasceu, o jacaré-açu de determinado zoológico tinha, aproximadamente, 30
centímetros de comprimento; já adulto, seu comprimento é vinte vezes maior que o
comprimento que tinha ao nascer. Sendo assim, podemos afirmar que esse jacaré-açu
adulto tem comprimento de: A 3 m B 12 m C 9 m D 5 m E 6 m
5) Enumerando os elementos, escreva os conjuntos:
a)A = {x  N x < 5} =
b)B = {x  N 5  x  9} =
c)C = {x  N* x é par} =
d)D = {x  N 3 < x  10} =
INTEIROS (ℤ)
Conjunto dos Números Inteiros ( ℤ ) : É formado por todos os números naturais
e por seus respectivos opostos ou simétricos, com exceção do zero.Todos os
seus elementos são infinitos e ordenados positiva e negativamente, com exceção
do zero que é nulo.
ℤ ={... – 3, – 2. – 1, 0 , 1 , 2 , ...}
ℕ
ℤ
ℤ + ℤ=ℤ
ℤ - ℤ= ℤ
ℤ x ℤ=ℤ
ℤ ÷ ℤ = ?
Ex: (-7) / (+2) =
7
2
= 3,5
Números Opostos = quando apresentam
soma igual a zero. Ex: (+a) + (-a) = 0
GANHAR 5 + GANHAR 3 = GANHAR 8 ∴ (+5) + (+3) = (+8)
PERDER 3 + PERDER 4 = PERDER 7 ∴ (-3) + (-4) = (-7)
GANHAR 8 + PERDER 5 = GANHAR 3 ∴ (+8) + (-5) = (+3)
PERDER 8 + GANHAR 5 = PERDER 3 ∴ (-8) + (+5) = (-3)
OBS: O sinal (+) antes do nú mero positivo pode ser dispensado, mas o sinal (-), antes do nú mero
negativo nunca pode ser dispensado.
-4 +70
(- 4) + (+11) = - 4+11= + 7 = 7
+11
| |
Chamamos a distância de um ponto da reta à origem (distância do
ponto até o zero) de módulo ou valor absoluto. Não há muito
sentido em considerarmos distâncias negativas
Exemplos:
|3| = 3
-|3| = - 3
|-7| = 7
|0| = 0
-|-1| = -1
Vamos generalizar ?
Qual é o módulo de um número qualquer x?
|x| = ? |x|=
+x; se x ≥ 0 ∴ Ex: |3| = +(3)
-x; se x < 0 ∴ Ex. |-7| = - (-7) = 7
Calcular:
a) |6|+ 1 =
b) |-5| - 9 =
c) |-10| - 11 =
d) |-6| - |-12| =
e) |0,2 - 0,9|=
f) |a| = 7 ∴ a =
g) |x|= |-2| ∴ x =
INTEIROS (ℤ)
SOMA: +123 (1ª parcela)
a+b=c 256 (2ª parcela)
379 (soma/total)
(s – 2ªp = 1ªp)
SUBTRAÇÃO: - 328 (minuendo)
a+ (-b) =c 140 (subtraendo)
188 (subtração
(m – s = d ou m= s+ d) ou diferença)
m + (s + d) = 2.m
MULTIPLICAÇÃO OU PRODUTO:
234 (1º fator)
x _ 45 (2º fator)
950
936+
(1ºf = p / 2ºf ) 10310 (produto)
DIVISÃO OU RAZÃO*:
(dividendo)
+256,0 -5 (divisor)
06 -51,2 (quociente)
10
0 (resto)
(D= d . q + r)
OBS*: Nem toda divisão terá como resultado um número natural ou inteiro.
INTEIROS (ℤ)
OBS*: Nem toda divisão terá como resultado um número natural ou inteiro.
NÚMERO INVERSO:
Todo número inteiro, diferente de zero, possui um inverso
z = 5 𝑧−1=
1
5
Observe:
Dois números dizem-se inversos um do outro se o seu produto é igual a 1.
z = -35 𝑧−1= ?
Sinais e parênteses
1.Sinal de + antes dos parênteses não modifica o que está dentro. Ex:
+ (+5) = 5
+ (-5) = -5
2.Sinal de - antes dos parênteses modifica o que está dentro. A presença do sinal de –
indica “o oposto de” Ex:
- (+5) = -5
- (-5) = +5
Exercícios:
Calcule o valor de :
a) - (+8) = d) + (+4) = g) - (-10) =
b) + (-9) = e) - (-3) = h) + (-15) =
c) - (-2) = f) + (-10) = i) + (+60) =
Na Adição e na Subtração utilizamos a seguinte definição:
Números com sinais diferentes: Subtrai e conserva o sinal do maior (em módulo).
-20 + 3 = - 17 +48 – 18 = + 30
Números com sinais iguais: Soma e conserva o sinal.
-20 - 5 = - 25 18 + 3 = 21
Multiplicação e Divisão:
Sinais iguais Sinais diferentes:
( +) ( +) = + ( -) (+ ) = -
( - ) ( -) = + (+ ) ( -) = -
Exemplos:
(+ 6).(-2) = - 12 (-81):(-3) = +27
(-5).(-9) = +45 (100):(-10) = - 10
Exercícios:
1) Calcule:
a) (-4) + (- 6) = k) (15):(5) =
b) -8+1+3= w) (-24):(-12) =
c) 10-12+5= l) (30):(-10) =
d) (+3).(-2) = m) (8 -5) + (18 -7.3) =
e) (-3).(-9) = n) (16 : 4 . 3) – (38 -18 : 9) =
f) (-9).(11) = o) 12 - [ 2+ (5+ 3.2) -8 ] +3 =
g) (-4).(-5).(+2) = p) {4 - [2.(8 – 12)] – 5 } =
i) (-5).(-3) (-8).(+3) = q) {12 : [5 - ( 2 . 3 ) ]+1} =
j) (-9)-(-3) = s){2 + [ 3 : ( 10 – 11 ) + 4 ] + 1}=
1)Numa subtração, a soma do minuendo com o subtraendo e o
resto é igual a 264. Qual é o valor do minuendo?
Soluçã o:
Sejam m o minuendo, s o subtraendo e r o resto de uma subtração qualquer, é sempre verdade que:
m - s = r → s + r = m
(a soma de s com r nos dá m)
Ao somarmos os três termos da subtração, m + s + r, observamos que a adição das duas últimas parcelas, s +
r, resulta sempre igual a m. Assim poderemos escrever:
m + (s + r) = m + m = 2m
O total será sempre o dobro do minuendo.
Deste modo, temos:
m + s + r = 264
2m = 264
m = 264 ÷ 2 = 132
Resposta: O minuendo será 132.
2) Numa divisão inteira, o divisor é 12, o quociente é 5 e o
resto é o maior possível. Qual é o dividendo?
Solução:
Se o divisor é 12, então o maior resto possível é 11, pois o resto não pode
superar nem igualar-se ao divisor. Assim, chamando de n o dividendo
procurado, teremos:
n = (quociente) × (divisor) + (resto)
n = 5 × 12 + 11
n = 60 + 11
n = 71
Resposta: O dividendo Procurado é 71.
EXERCÍCIOS
1) Relacione os elementos e os conjuntos usando os símbolos  e .
a) 6 ........ N b) 3/5 ........ Z c) -15 ........ N*
d) -1/4 ........ Z- e) 5 ........ N* f) ( 3 – 4) ........ N
g) (3 + 4) ....... Z*+ h) -7 ........Z*-
DESAFIO
RACIONAIS (ℚ)
São os números que podem ser expressos sob a forma de fração. Essas
frações podem ser escritas na forma de nº natural, decimal exato e não exato
(dízima periódica)Esses números eram muito importantes no comércio
devido a sua precisão. Servem para comparação de grandezas.
ℚ ={x / x =
𝒂
𝒃
, com a ∈ ℤ e b ∈ ℤ *}
-0,5
ℚ + ℚ=ℚ
ℚ - ℚ=ℚ
ℚ x ℚ=ℚ
ℚ ÷ ℚ*= ℚ
Ex: (-7) / (+2) =
7
2
= 3,5
𝒂
𝒃
=
𝒏𝒖𝒎𝒆𝒓𝒂𝒅𝒐𝒓
𝒅𝒆𝒏𝒐𝒎𝒊𝒏𝒂𝒅𝒐𝒓
RACIONAIS (ℚ)
1) DECIMAL EXATO ( nº FINITO de algarismos):
2) DECIMAL NÃO EXATO ou DÍZIMA PERIÓDICA (nº INFINITO de algarismos):
Pode ser simples ou composta:
1
3
= 0,333...
1
22
= 0,04545...
167
66
= 2,53030...
2
5
= 0,4
1
4
= 0,25
35
4
= 8,75
Seja um nú mero
𝐩
𝐪
, tal que p seja mú ltiplo de q. Para escrevê-lo na forma decimal basta efetuar a
divisã o do numerador pelo denominador. Nessa divisã o pode acontecer dois casos:
0,6 =
6
10
=
3
5
7,0 =
7
1
= 7 0,18 =
18
100
=
9
50
OBS: A fração que gera uma dízima periódica é chamada de fração geratriz
Fração Irredutível é aquela que não dá mais para simplificar
Observação:
Os números racionais negativos NÃO tem raiz
quadrada em ℚ (racionais).
Exemplo: −
4
9
∉ ℚ
DÍZIMAS PERIÓDICAS
Sua representação é periódica e possui um número infinito de algarismos.
Exemplos:
a) 0,777... pode ser escrito na forma
𝟕
𝟗
b) 0,1313... pode ser escrito na forma
𝟏𝟑
𝟗𝟗
c) 0,4666... pode ser escrito na forma
𝟒𝟔 −𝟒
𝟗𝟎
=
𝟒𝟐
𝟗𝟎
=
𝟐𝟏
𝟒𝟓
=
𝟕
𝟏𝟓
Período com 1 Algarismo Período com 1 Algarismo
Período com 2 Algarismo Período com 2 Algarismo
Parte Periódica
Parte Não-Periódica
RESUMINDO: Parte não-periódica seguida da periódica, menos a não
periódica sobre um 9 para a periódica e zero(s) para a não periódica.
Dízima
Simples
Dízima
Composta
Técnica 1:
Técnica para qualquer Dízima Periódica:
Você multiplica a dízima ou por 10, ou por 100 ou por 1000, etc (até chegar no número que inicia a repetição).
Depois você iguala essa multiplicação a uma equação do primeiro grau, onde o x corresponde à dízima já em
fração.
Exemplo: Seja a dízima 0,333...
Então:
x = 0,333... (multipliquemos ambos os membros por 10 para chegar no início da repetição)
10x = 3,333...
Agora subtraímos a segunda da primeira:
10x = 3,333...
-1x = 0,333...
9x = 3 x=
3
9
=
𝟏
𝟑
(fração geratriz)
Técnica para qualquer Dízima Periódica:
Você multiplica a dízima ou por 10, ou por 100 ou por 1000, etc (até chegar no número que inicia a repetição).
Depois você iguala essa multiplicação a uma equação do primeiro grau, onde o x corresponde à dízima já em
fração.
Exemplo: Seja a dízima 5,1717...
Então:
X = 5,1717... (multipliquemos ambos os membros por 100 para chegar no início da repetição)
10x = 517,1717...
Agora subtraímos a segunda da primeira:
10x = 517,1717...
- x = 5,1717...
9x = 512 x =
512
9
(fração geratriz)
E aí? Consegue fazer esse sozinho ?
Encontre a fração geratriz as dízimas periódicas abaixo:
a) 1,23434... =
b) 0,7333... =
c) 2,1888... =
d) 2,2414141... =
e) c) 0,151515... =
RACIONAIS (ℚ)
SOMA:
a
b
+
c
d
=
𝑎.𝑑+𝑏.𝑐
b.d
SUBTRAÇÃO: a
b
−
c
d
=
𝑎.𝑑−𝑏.𝑐
b.d
MULTIPLICAÇÃO OU PRODUTO:
a
b
.
c
d
=
𝑎.𝑐
b.d
DIVISÃO OU RAZÃO*:
a
b
÷
c
d
=
a
b
.
d
c
=
𝑎.𝑑
b.𝑐
Regra de Sinais
(+) . (+) = (+) O amigo do meu amigo é meu amigo
(-) . (-) = (+) O inimigo do meu inimigo é meu amigo
(+) . (-) = (-) O amigo do meu inimigo é meu inimigo
(-) . (+) = (-) O inimigo do meu amigo é meu inimigo
Denominadores Iguais:
Denominadores Diferentes:
Denominadores Iguais:
Denominadores Diferentes:
RACIONAIS (ℚ)
NÚMERO INVERSO em ℚ :
Todo número inteiro, diferente de zero, possui um inverso. Dois
números dizem-se inversos um do outro se o seu produto é igual a 1.
q =
5
3
𝑞−1
=
3
5
POTÊNCIA em ℚ :
q = −
3
5
2
=
9
25
q =
3
5
−2
=
5
3
2
=
25
9
OBS:Toda potência com expoente par é um número positivo.
𝑎
𝑛
𝑚 =
𝑚
𝑎 𝑛
OBS: Quem tá em cima vai pra dentro e quem tá embaixo vai pra fora
4−0,5
= 4
−1
2 = 1/
2
41 = 1/2
a)
𝟏
𝟐
+
𝟑
𝟐
= e)
𝟑
𝟓
.
𝟐
𝟕
= i)
𝟑
𝟓
. 2=
b)
𝟓
𝟑
-
𝟒
𝟑
= f)
𝟏
𝟐
.
(−𝟑)
𝟕
= j)
c)
𝟑
𝟓
+
𝟐
𝟒
= g)
𝟏
𝟐
÷
𝟑
𝟐
=
d)
𝟑
𝟕
-
𝟐
𝟓
= h)
𝟑
(−𝟓)
÷
𝟒
𝟖
=
1)Coloque os números decimais na forma de fração e calcule o valor das expressões:
a) 19,6 + 3,04 + 0,076 =
b) 17 + 4,32 + 0,006 =
c) 4,85 - 2,3 =
d) 9,9 - 8,76 =
e) (0,378 - 0,06) - 0,245 =
f) 2,4 * 3,5 =
g) 4 * 1,2 * 0,75 =
h) (0,35 - 0,18 * 2) - 0,03 =
i) 2/7 x 9/3 + 2/6 ÷ 3/5 - 2 =
j) 17 / 6 =
k) 137 / -36 =
l)
2) Ana está lendo um livro. Em um dia ela leu
1
4
do livro e no dia seguinte leu
1
6
do livro. Então calcule:
*a fração do livro que ela já leu.
*a fração do livro que falta para ela terminar a leitura.
3) Em um pacote há
4
5
de 1 Kg de açúcar. Em outro pacote há
1
3
. Quantos quilos de açúcar o primeiro pacote
tem a mais que o segundo?
4) No dia do lançamento de um prédio de apartamentos,
1
3
desses apartamentos foi vendido e
1
6
foi
reservado. Assim:
h) Qual a fração dos apartamentos que foi vendida e reservada?
i) Qual a fração que corresponde aos apartamentos que não foram vendidos ou reservados?
2 + 2 + 2+. . . ∈ ℚ?
DESAFIO NÍVEL HARD
2 + 2 + 2+. . . = X (igualo a x) X2 - X – 2 = 0 (Equação do 2º grau)
X’= -1 e X”= 2
2 + 2 + 2+. . .
2
= X2 (elevo os 2 membros ao quadrado)
OBS: A questão é uma soma infinita, logo não podemos considerar
2 + 2 + 2+. . . = X2 x’=-1 como possível solução, logo a única resposta possível é:
2 + X =X2 S={2}
X2 - X – 2 = 0
Método de Aproximação:
1,4 2
= 1,96 1,41 2
= 1,9881 1,414 2
= 1,9993
1,5 2
= 2,25 1,42 2
= 2,0164 1,415 2
= 2,0022
-1
x
x+1
2u
2u
+2
IRRACIONAIS (𝕀 ou Ir)
Área= 𝑙 x 𝑙 = 𝑙2
= 22
= 4𝑢2
(quadrado maior)
Área= 𝑙 x 𝑙 = 𝑙2
= x2
= 2𝑢2
(quadrado maior)
Quanto vale x?
x2
= 2
x = 1,4142135623... (infinito e não periódico)
IRRACIONAIS (I)
Acredita-se que estes números foram descobertos a partir da observação
da área do círculo de objetos celestes (Sol e Lua) e na construção de objetos
circulares como mesas, cestos, etc.
Na Babilônia:
P= (3 +
𝟏
𝟖
) . D π =
𝑷
𝑫
= 3,125 (acerto de 2 casas decimais)
Na Grécia:
Arquimedes chegou a 22/7= 3,142857142857... (nº racional)
Um discípulo de Pitágoras chamado Hipaso de Metaponto, descobriu que a
hipotenusa de um triangulo retângulo de lados 1 e 1 dava um número
desconhecido. Segundo a lenda, Pitágoras o afogou por ter contado sua
descoberta :
IRRACIONAIS (𝕀 ou Ir ou ℚ′)
São os números que não podem ser escrito na forma fracionária, com
numerador inteiro (Z) e denominador inteiro (Z*). São as decimais
infinitas e não periódicas.
Exemplos:
𝜋, e, Φ são chamados de números transcendentes
𝕀 = {x/x é dízima não periódica}
OBS:Todo número 𝒑 com p primo é irracional.Toda raiz não exata tb.
𝕀 = ={x / x =
𝒂
𝒃
, com a ∉ ℤ e b ∉ ℤ*}
e = 2,718 281...; Φ =
1+ 5
2
= 1,61803398...
𝕀 + 𝕀 =ℚ
𝕀 − 𝕀 =ℚ
𝕀 x 𝕀 = ℚ
1) Assinale o número irracional:
(A) 0,7 (B) 0,77 (C) 0,77555... (D) 0,71727374...
2) Assinale a afirmação verdadeira:
(A)0,313131... é um número natural.
(B)5, 47 é um número inteiro.
(C)5, 171717... é um número irracional.
(D)4, 262626... é um número racional.
, onde n é o numero dentro da raiz e p é a raiz exata mais
próxima do número n. Observe o exemplo abaixo, no qual n =
5:
Exemplo:
EXÉRCÍCIOS:
1) Calcule o valor aproximado das raiz quadrada abaixo:
𝟑 ≅
𝟏 + 𝟖 ≅
− 𝟐 ≅
2) Escreva na ordem decrescente, ou seja, do maior para o
menor, os seguintes números e localize sua posição na reta
numérica abaixo:
( 5,
7
9
,
4
10
, π, 0,666...)=
REAIS (ℝ ou ℜ)
O conjunto R dos números reais é formado pela união do conjunto Q dos
números racionais com o conjunto 𝕀 dos números irracionais, ou seja,
agora todos os pontos de uma reta são encontrados.
O conjunto dos números reais pode ser representado da seguinte
maneira:
ℜ= ℚ ∪ 𝕀 = {x I x ∈ Q ou x ∈ Ir}
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ 𝕀
𝕀 = ℜ - ℚ ℚ ∩ 𝕀 =∅
Sobre conjuntos numéricos são feitas as seguintes afirmações:
I.Todo número inteiro é real; II.Todo número real é racional;
III.Todo número racional é irracional; IV.Todo número irracional é natural;
V.Todo número natural é racional.
Qual(is) dessas afirmações é (são) verdadeiras?
1)Complete a tabela abaixo com o antecessor e o sucessor.
Antecessor Nú mero Sucessor
-122
-18
0
x
Use ∈ ou ∉ nas lacunas:
a) 2______ℕ b) √9________ℤ c) −5 ______ℤ
d)
3
8 ________ℚ e) −21_______ℚ f) 0,55555 … ________ℚ′
g) 0,56 _______ℝ h) − 6________ℚ′ i) −
1
4
________ℕ
j) 𝑎2_______ℤ, sendo a ∈ ℕ.
1) O resultado da expressão 𝟒 + 𝟏𝟔 é um número:
a) Natural b) Inteiro c) Racional d) Irracional e) N.d.a
2) Nos espaços escreva V se a afirmativa for verdadeira e F se for falsa.
( ) Todo número racional é inteiro.
( ) Todo número natural é racional.
( ) Todas as dízimas periódicas são números irracionais.
( ) O valor aproximado de Pi é 3,41.
3) Qual dos números abaixo não é racional?
a) 2,53 b) 2,3333.... c) 4,189189...
d) 3,1414... e) 2,876329736...

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  • 1. Aula 2 Prof.º Luciano Pessanha MATEMÁTICA
  • 2. ?  Os Conjuntos Numéricos estão ligados a História do Homem e o avanço da Matemática como ciência.  Padrões Naturais x Necessidade (presentes nos animais, plantio da agricultura, contar animais, religião)  Padrões Culturais x Necessidade ( medir o território, contar a quantidade de grãos, declarar impostos, construir prédios, construir embarcações, etc.)  Nascem as Unidades de Medida usando o corpo como referência (palmo, cúbito, polegada, etc.)
  • 3.
  • 4. ℕ CONJUNTO DOS NÚ MEROS NATURAIS ℤ CONJUNTO DOS NÚ MEROS INTEIROS Da palavra em alemã o "Zahl" = nú mero ℚ CONJUNTO DOS NÚ MEROS RACIONAIS Da palavra quociente 𝕀 ou Ir CONJUNTO DOS NÚ MEROS IRRACIONAIS ℝ ou ℜ CONJUNTO DOS NÚ MEROS REAIS ℂ CONJUNTO DOS NÚ MEROS COMPLEXOS
  • 5. NATURAIS (ℕ) São aqueles números que aparecem naturalmente ao longo de um processo de contagem. Todos seus elementos são infinitos e ordenados positivamente, ou seja, sempre possui um sucessor e um antecessor (com exceção do zero que só possui sucessor).Todo sucessor é o antecessor mais 1. Um nº e seu sucessor serão consecutivos. ℕ ={0, 1, 2, 3, ...} Entre os subconjuntos de N, destacamos: ℕ* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...} ou ℕ - {0} ℕpares = {0, 2, 4, 6, 8,...} ℕímpares = {1, 3, 5, 7, ....} ℕprimos = {2, 3, 5, 7, 11, ...} Obs: O sinal * (asterisco) significa que o zero não faz parte desse conjunto. Operações em ℕ: ℕ + ℕ = ℕ ℕ x ℕ = ℕ ℕ - ℕ = ? ℕ Sucessor de ℕ = ℕ + 1 Antecessor de ℕ* = ℕ* – 1 Consecutivos = ℕ, ℕ + 1
  • 6. NATURAIS (ℕ) SOMA: +123 (1ª parcela) 256 (2ª parcela) 379 (soma/total) (s – 2ªp = 1ªp) MULTIPLICAÇÃO OU PRODUTO: 234 (1º fator) x _ 45 (2º fator) 950 936+ (1ºf = p / 2ºf ) 10310 (produto) OBS: Quem não sabe tabuada não sabe fazer operações de multiplicação e divisão
  • 7. 1)(VUNESP-2012) O sucessor do dobro de determinado número é 23. Esse mesmo determinado número somado a 1 e, depois, dobrado será igual a: 2) Maria vai ao mercado quatro vezes por mês e gasta R$ 75,00 a cada uma dessas compras. Sendo assim, podemos afirmar que os gastos de Maria no mercado, em um mês, resultam em: 3) Em determinada loja, o pagamento de um computador pode ser feito sem entrada, em 12 parcelas de R$ 250,00. Sendo assim, um cliente que opte por essa forma de pagamento deverá pagar pelo computador um total de: 4) Quando nasceu, o jacaré-açu de determinado zoológico tinha, aproximadamente, 30 centímetros de comprimento; já adulto, seu comprimento é vinte vezes maior que o comprimento que tinha ao nascer. Sendo assim, podemos afirmar que esse jacaré-açu adulto tem comprimento de: A 3 m B 12 m C 9 m D 5 m E 6 m
  • 8. 5) Enumerando os elementos, escreva os conjuntos: a)A = {x  N x < 5} = b)B = {x  N 5  x  9} = c)C = {x  N* x é par} = d)D = {x  N 3 < x  10} =
  • 9. INTEIROS (ℤ) Conjunto dos Números Inteiros ( ℤ ) : É formado por todos os números naturais e por seus respectivos opostos ou simétricos, com exceção do zero.Todos os seus elementos são infinitos e ordenados positiva e negativamente, com exceção do zero que é nulo. ℤ ={... – 3, – 2. – 1, 0 , 1 , 2 , ...} ℕ ℤ ℤ + ℤ=ℤ ℤ - ℤ= ℤ ℤ x ℤ=ℤ ℤ ÷ ℤ = ? Ex: (-7) / (+2) = 7 2 = 3,5 Números Opostos = quando apresentam soma igual a zero. Ex: (+a) + (-a) = 0 GANHAR 5 + GANHAR 3 = GANHAR 8 ∴ (+5) + (+3) = (+8) PERDER 3 + PERDER 4 = PERDER 7 ∴ (-3) + (-4) = (-7) GANHAR 8 + PERDER 5 = GANHAR 3 ∴ (+8) + (-5) = (+3) PERDER 8 + GANHAR 5 = PERDER 3 ∴ (-8) + (+5) = (-3) OBS: O sinal (+) antes do nú mero positivo pode ser dispensado, mas o sinal (-), antes do nú mero negativo nunca pode ser dispensado.
  • 10. -4 +70 (- 4) + (+11) = - 4+11= + 7 = 7 +11
  • 11. | | Chamamos a distância de um ponto da reta à origem (distância do ponto até o zero) de módulo ou valor absoluto. Não há muito sentido em considerarmos distâncias negativas Exemplos: |3| = 3 -|3| = - 3 |-7| = 7 |0| = 0 -|-1| = -1 Vamos generalizar ? Qual é o módulo de um número qualquer x? |x| = ? |x|= +x; se x ≥ 0 ∴ Ex: |3| = +(3) -x; se x < 0 ∴ Ex. |-7| = - (-7) = 7
  • 12. Calcular: a) |6|+ 1 = b) |-5| - 9 = c) |-10| - 11 = d) |-6| - |-12| = e) |0,2 - 0,9|= f) |a| = 7 ∴ a = g) |x|= |-2| ∴ x =
  • 13. INTEIROS (ℤ) SOMA: +123 (1ª parcela) a+b=c 256 (2ª parcela) 379 (soma/total) (s – 2ªp = 1ªp) SUBTRAÇÃO: - 328 (minuendo) a+ (-b) =c 140 (subtraendo) 188 (subtração (m – s = d ou m= s+ d) ou diferença) m + (s + d) = 2.m MULTIPLICAÇÃO OU PRODUTO: 234 (1º fator) x _ 45 (2º fator) 950 936+ (1ºf = p / 2ºf ) 10310 (produto) DIVISÃO OU RAZÃO*: (dividendo) +256,0 -5 (divisor) 06 -51,2 (quociente) 10 0 (resto) (D= d . q + r) OBS*: Nem toda divisão terá como resultado um número natural ou inteiro.
  • 14. INTEIROS (ℤ) OBS*: Nem toda divisão terá como resultado um número natural ou inteiro. NÚMERO INVERSO: Todo número inteiro, diferente de zero, possui um inverso z = 5 𝑧−1= 1 5 Observe: Dois números dizem-se inversos um do outro se o seu produto é igual a 1. z = -35 𝑧−1= ?
  • 15. Sinais e parênteses 1.Sinal de + antes dos parênteses não modifica o que está dentro. Ex: + (+5) = 5 + (-5) = -5 2.Sinal de - antes dos parênteses modifica o que está dentro. A presença do sinal de – indica “o oposto de” Ex: - (+5) = -5 - (-5) = +5 Exercícios: Calcule o valor de : a) - (+8) = d) + (+4) = g) - (-10) = b) + (-9) = e) - (-3) = h) + (-15) = c) - (-2) = f) + (-10) = i) + (+60) =
  • 16. Na Adição e na Subtração utilizamos a seguinte definição: Números com sinais diferentes: Subtrai e conserva o sinal do maior (em módulo). -20 + 3 = - 17 +48 – 18 = + 30 Números com sinais iguais: Soma e conserva o sinal. -20 - 5 = - 25 18 + 3 = 21 Multiplicação e Divisão: Sinais iguais Sinais diferentes: ( +) ( +) = + ( -) (+ ) = - ( - ) ( -) = + (+ ) ( -) = - Exemplos: (+ 6).(-2) = - 12 (-81):(-3) = +27 (-5).(-9) = +45 (100):(-10) = - 10
  • 17. Exercícios: 1) Calcule: a) (-4) + (- 6) = k) (15):(5) = b) -8+1+3= w) (-24):(-12) = c) 10-12+5= l) (30):(-10) = d) (+3).(-2) = m) (8 -5) + (18 -7.3) = e) (-3).(-9) = n) (16 : 4 . 3) – (38 -18 : 9) = f) (-9).(11) = o) 12 - [ 2+ (5+ 3.2) -8 ] +3 = g) (-4).(-5).(+2) = p) {4 - [2.(8 – 12)] – 5 } = i) (-5).(-3) (-8).(+3) = q) {12 : [5 - ( 2 . 3 ) ]+1} = j) (-9)-(-3) = s){2 + [ 3 : ( 10 – 11 ) + 4 ] + 1}=
  • 18. 1)Numa subtração, a soma do minuendo com o subtraendo e o resto é igual a 264. Qual é o valor do minuendo? Soluçã o: Sejam m o minuendo, s o subtraendo e r o resto de uma subtração qualquer, é sempre verdade que: m - s = r → s + r = m (a soma de s com r nos dá m) Ao somarmos os três termos da subtração, m + s + r, observamos que a adição das duas últimas parcelas, s + r, resulta sempre igual a m. Assim poderemos escrever: m + (s + r) = m + m = 2m O total será sempre o dobro do minuendo. Deste modo, temos: m + s + r = 264 2m = 264 m = 264 ÷ 2 = 132 Resposta: O minuendo será 132.
  • 19. 2) Numa divisão inteira, o divisor é 12, o quociente é 5 e o resto é o maior possível. Qual é o dividendo? Solução: Se o divisor é 12, então o maior resto possível é 11, pois o resto não pode superar nem igualar-se ao divisor. Assim, chamando de n o dividendo procurado, teremos: n = (quociente) × (divisor) + (resto) n = 5 × 12 + 11 n = 60 + 11 n = 71 Resposta: O dividendo Procurado é 71.
  • 20.
  • 21. EXERCÍCIOS 1) Relacione os elementos e os conjuntos usando os símbolos  e . a) 6 ........ N b) 3/5 ........ Z c) -15 ........ N* d) -1/4 ........ Z- e) 5 ........ N* f) ( 3 – 4) ........ N g) (3 + 4) ....... Z*+ h) -7 ........Z*-
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  • 23.
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  • 26. RACIONAIS (ℚ) São os números que podem ser expressos sob a forma de fração. Essas frações podem ser escritas na forma de nº natural, decimal exato e não exato (dízima periódica)Esses números eram muito importantes no comércio devido a sua precisão. Servem para comparação de grandezas. ℚ ={x / x = 𝒂 𝒃 , com a ∈ ℤ e b ∈ ℤ *} -0,5 ℚ + ℚ=ℚ ℚ - ℚ=ℚ ℚ x ℚ=ℚ ℚ ÷ ℚ*= ℚ Ex: (-7) / (+2) = 7 2 = 3,5 𝒂 𝒃 = 𝒏𝒖𝒎𝒆𝒓𝒂𝒅𝒐𝒓 𝒅𝒆𝒏𝒐𝒎𝒊𝒏𝒂𝒅𝒐𝒓
  • 27. RACIONAIS (ℚ) 1) DECIMAL EXATO ( nº FINITO de algarismos): 2) DECIMAL NÃO EXATO ou DÍZIMA PERIÓDICA (nº INFINITO de algarismos): Pode ser simples ou composta: 1 3 = 0,333... 1 22 = 0,04545... 167 66 = 2,53030... 2 5 = 0,4 1 4 = 0,25 35 4 = 8,75 Seja um nú mero 𝐩 𝐪 , tal que p seja mú ltiplo de q. Para escrevê-lo na forma decimal basta efetuar a divisã o do numerador pelo denominador. Nessa divisã o pode acontecer dois casos: 0,6 = 6 10 = 3 5 7,0 = 7 1 = 7 0,18 = 18 100 = 9 50 OBS: A fração que gera uma dízima periódica é chamada de fração geratriz Fração Irredutível é aquela que não dá mais para simplificar
  • 28. Observação: Os números racionais negativos NÃO tem raiz quadrada em ℚ (racionais). Exemplo: − 4 9 ∉ ℚ
  • 29. DÍZIMAS PERIÓDICAS Sua representação é periódica e possui um número infinito de algarismos. Exemplos: a) 0,777... pode ser escrito na forma 𝟕 𝟗 b) 0,1313... pode ser escrito na forma 𝟏𝟑 𝟗𝟗 c) 0,4666... pode ser escrito na forma 𝟒𝟔 −𝟒 𝟗𝟎 = 𝟒𝟐 𝟗𝟎 = 𝟐𝟏 𝟒𝟓 = 𝟕 𝟏𝟓 Período com 1 Algarismo Período com 1 Algarismo Período com 2 Algarismo Período com 2 Algarismo Parte Periódica Parte Não-Periódica RESUMINDO: Parte não-periódica seguida da periódica, menos a não periódica sobre um 9 para a periódica e zero(s) para a não periódica. Dízima Simples Dízima Composta
  • 31. Técnica para qualquer Dízima Periódica: Você multiplica a dízima ou por 10, ou por 100 ou por 1000, etc (até chegar no número que inicia a repetição). Depois você iguala essa multiplicação a uma equação do primeiro grau, onde o x corresponde à dízima já em fração. Exemplo: Seja a dízima 0,333... Então: x = 0,333... (multipliquemos ambos os membros por 10 para chegar no início da repetição) 10x = 3,333... Agora subtraímos a segunda da primeira: 10x = 3,333... -1x = 0,333... 9x = 3 x= 3 9 = 𝟏 𝟑 (fração geratriz)
  • 32. Técnica para qualquer Dízima Periódica: Você multiplica a dízima ou por 10, ou por 100 ou por 1000, etc (até chegar no número que inicia a repetição). Depois você iguala essa multiplicação a uma equação do primeiro grau, onde o x corresponde à dízima já em fração. Exemplo: Seja a dízima 5,1717... Então: X = 5,1717... (multipliquemos ambos os membros por 100 para chegar no início da repetição) 10x = 517,1717... Agora subtraímos a segunda da primeira: 10x = 517,1717... - x = 5,1717... 9x = 512 x = 512 9 (fração geratriz)
  • 33. E aí? Consegue fazer esse sozinho ? Encontre a fração geratriz as dízimas periódicas abaixo: a) 1,23434... = b) 0,7333... = c) 2,1888... = d) 2,2414141... = e) c) 0,151515... =
  • 34.
  • 35. RACIONAIS (ℚ) SOMA: a b + c d = 𝑎.𝑑+𝑏.𝑐 b.d SUBTRAÇÃO: a b − c d = 𝑎.𝑑−𝑏.𝑐 b.d MULTIPLICAÇÃO OU PRODUTO: a b . c d = 𝑎.𝑐 b.d DIVISÃO OU RAZÃO*: a b ÷ c d = a b . d c = 𝑎.𝑑 b.𝑐 Regra de Sinais (+) . (+) = (+) O amigo do meu amigo é meu amigo (-) . (-) = (+) O inimigo do meu inimigo é meu amigo (+) . (-) = (-) O amigo do meu inimigo é meu inimigo (-) . (+) = (-) O inimigo do meu amigo é meu inimigo Denominadores Iguais: Denominadores Diferentes: Denominadores Iguais: Denominadores Diferentes:
  • 36. RACIONAIS (ℚ) NÚMERO INVERSO em ℚ : Todo número inteiro, diferente de zero, possui um inverso. Dois números dizem-se inversos um do outro se o seu produto é igual a 1. q = 5 3 𝑞−1 = 3 5 POTÊNCIA em ℚ : q = − 3 5 2 = 9 25 q = 3 5 −2 = 5 3 2 = 25 9 OBS:Toda potência com expoente par é um número positivo. 𝑎 𝑛 𝑚 = 𝑚 𝑎 𝑛 OBS: Quem tá em cima vai pra dentro e quem tá embaixo vai pra fora 4−0,5 = 4 −1 2 = 1/ 2 41 = 1/2
  • 37. a) 𝟏 𝟐 + 𝟑 𝟐 = e) 𝟑 𝟓 . 𝟐 𝟕 = i) 𝟑 𝟓 . 2= b) 𝟓 𝟑 - 𝟒 𝟑 = f) 𝟏 𝟐 . (−𝟑) 𝟕 = j) c) 𝟑 𝟓 + 𝟐 𝟒 = g) 𝟏 𝟐 ÷ 𝟑 𝟐 = d) 𝟑 𝟕 - 𝟐 𝟓 = h) 𝟑 (−𝟓) ÷ 𝟒 𝟖 =
  • 38. 1)Coloque os números decimais na forma de fração e calcule o valor das expressões: a) 19,6 + 3,04 + 0,076 = b) 17 + 4,32 + 0,006 = c) 4,85 - 2,3 = d) 9,9 - 8,76 = e) (0,378 - 0,06) - 0,245 = f) 2,4 * 3,5 = g) 4 * 1,2 * 0,75 = h) (0,35 - 0,18 * 2) - 0,03 = i) 2/7 x 9/3 + 2/6 ÷ 3/5 - 2 = j) 17 / 6 = k) 137 / -36 = l) 2) Ana está lendo um livro. Em um dia ela leu 1 4 do livro e no dia seguinte leu 1 6 do livro. Então calcule: *a fração do livro que ela já leu. *a fração do livro que falta para ela terminar a leitura.
  • 39. 3) Em um pacote há 4 5 de 1 Kg de açúcar. Em outro pacote há 1 3 . Quantos quilos de açúcar o primeiro pacote tem a mais que o segundo? 4) No dia do lançamento de um prédio de apartamentos, 1 3 desses apartamentos foi vendido e 1 6 foi reservado. Assim: h) Qual a fração dos apartamentos que foi vendida e reservada? i) Qual a fração que corresponde aos apartamentos que não foram vendidos ou reservados?
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  • 42. 2 + 2 + 2+. . . ∈ ℚ? DESAFIO NÍVEL HARD 2 + 2 + 2+. . . = X (igualo a x) X2 - X – 2 = 0 (Equação do 2º grau) X’= -1 e X”= 2 2 + 2 + 2+. . . 2 = X2 (elevo os 2 membros ao quadrado) OBS: A questão é uma soma infinita, logo não podemos considerar 2 + 2 + 2+. . . = X2 x’=-1 como possível solução, logo a única resposta possível é: 2 + X =X2 S={2} X2 - X – 2 = 0
  • 43. Método de Aproximação: 1,4 2 = 1,96 1,41 2 = 1,9881 1,414 2 = 1,9993 1,5 2 = 2,25 1,42 2 = 2,0164 1,415 2 = 2,0022 -1 x x+1 2u 2u +2 IRRACIONAIS (𝕀 ou Ir) Área= 𝑙 x 𝑙 = 𝑙2 = 22 = 4𝑢2 (quadrado maior) Área= 𝑙 x 𝑙 = 𝑙2 = x2 = 2𝑢2 (quadrado maior) Quanto vale x? x2 = 2 x = 1,4142135623... (infinito e não periódico)
  • 44. IRRACIONAIS (I) Acredita-se que estes números foram descobertos a partir da observação da área do círculo de objetos celestes (Sol e Lua) e na construção de objetos circulares como mesas, cestos, etc. Na Babilônia: P= (3 + 𝟏 𝟖 ) . D π = 𝑷 𝑫 = 3,125 (acerto de 2 casas decimais) Na Grécia: Arquimedes chegou a 22/7= 3,142857142857... (nº racional) Um discípulo de Pitágoras chamado Hipaso de Metaponto, descobriu que a hipotenusa de um triangulo retângulo de lados 1 e 1 dava um número desconhecido. Segundo a lenda, Pitágoras o afogou por ter contado sua descoberta :
  • 45. IRRACIONAIS (𝕀 ou Ir ou ℚ′) São os números que não podem ser escrito na forma fracionária, com numerador inteiro (Z) e denominador inteiro (Z*). São as decimais infinitas e não periódicas. Exemplos: 𝜋, e, Φ são chamados de números transcendentes 𝕀 = {x/x é dízima não periódica} OBS:Todo número 𝒑 com p primo é irracional.Toda raiz não exata tb. 𝕀 = ={x / x = 𝒂 𝒃 , com a ∉ ℤ e b ∉ ℤ*} e = 2,718 281...; Φ = 1+ 5 2 = 1,61803398... 𝕀 + 𝕀 =ℚ 𝕀 − 𝕀 =ℚ 𝕀 x 𝕀 = ℚ
  • 46. 1) Assinale o número irracional: (A) 0,7 (B) 0,77 (C) 0,77555... (D) 0,71727374...
  • 47.
  • 48. 2) Assinale a afirmação verdadeira: (A)0,313131... é um número natural. (B)5, 47 é um número inteiro. (C)5, 171717... é um número irracional. (D)4, 262626... é um número racional.
  • 49. , onde n é o numero dentro da raiz e p é a raiz exata mais próxima do número n. Observe o exemplo abaixo, no qual n = 5: Exemplo:
  • 50. EXÉRCÍCIOS: 1) Calcule o valor aproximado das raiz quadrada abaixo: 𝟑 ≅ 𝟏 + 𝟖 ≅ − 𝟐 ≅
  • 51. 2) Escreva na ordem decrescente, ou seja, do maior para o menor, os seguintes números e localize sua posição na reta numérica abaixo: ( 5, 7 9 , 4 10 , π, 0,666...)=
  • 52.
  • 53. REAIS (ℝ ou ℜ) O conjunto R dos números reais é formado pela união do conjunto Q dos números racionais com o conjunto 𝕀 dos números irracionais, ou seja, agora todos os pontos de uma reta são encontrados. O conjunto dos números reais pode ser representado da seguinte maneira: ℜ= ℚ ∪ 𝕀 = {x I x ∈ Q ou x ∈ Ir} ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ 𝕀 𝕀 = ℜ - ℚ ℚ ∩ 𝕀 =∅
  • 54. Sobre conjuntos numéricos são feitas as seguintes afirmações: I.Todo número inteiro é real; II.Todo número real é racional; III.Todo número racional é irracional; IV.Todo número irracional é natural; V.Todo número natural é racional. Qual(is) dessas afirmações é (são) verdadeiras?
  • 55. 1)Complete a tabela abaixo com o antecessor e o sucessor. Antecessor Nú mero Sucessor -122 -18 0 x Use ∈ ou ∉ nas lacunas: a) 2______ℕ b) √9________ℤ c) −5 ______ℤ d) 3 8 ________ℚ e) −21_______ℚ f) 0,55555 … ________ℚ′ g) 0,56 _______ℝ h) − 6________ℚ′ i) − 1 4 ________ℕ j) 𝑎2_______ℤ, sendo a ∈ ℕ.
  • 56. 1) O resultado da expressão 𝟒 + 𝟏𝟔 é um número: a) Natural b) Inteiro c) Racional d) Irracional e) N.d.a 2) Nos espaços escreva V se a afirmativa for verdadeira e F se for falsa. ( ) Todo número racional é inteiro. ( ) Todo número natural é racional. ( ) Todas as dízimas periódicas são números irracionais. ( ) O valor aproximado de Pi é 3,41. 3) Qual dos números abaixo não é racional? a) 2,53 b) 2,3333.... c) 4,189189... d) 3,1414... e) 2,876329736...