Matemática 12.º Ano                      Combinações, Triângulo de Pascal e Binómio de Newton                             ...
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Mas daqui, por um procedimento semelhante, mostraríamos que a igualdade se manteria válida sesubstituíssemos n por n + 2 ,...
Soma dos números de uma linha do Triângulo de PascalJá sabemos que os elementos da r -ésima linha do Triângulo de Pascal (...
O termo médio não depende do desenvolvimento do Binómio de Newton que estamos a utilizar: ele vai                         ...
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  1. 1. Matemática 12.º Ano Combinações, Triângulo de Pascal e Binómio de Newton J. Silvestre, 2007-11-200. Combinações....................................................................................................................................................................................1 A fórmula e o significado ......................................................................................................................... 1 Propriedades........................................................................................................................................... 21. Triângulo de Pascal.........................................................................................................................................................................3 Algumas propriedades ............................................................................................................................. 3 Exercícios (1).......................................................................................................................................... 42. Binómio de Newton.........................................................................................................................................................................4 Em busca do desenvolvimento da potência de uma soma........................................................................... 4 Desenvolvimento alternativo ..................................................................................................................... 6 Exercícios (2).......................................................................................................................................... 6 Soma dos números de uma linha do Triângulo de Pascal ............................................................................ 7 Exercícios (3).......................................................................................................................................... 7 Termo médio........................................................................................................................................... 7 Exercícios (4).......................................................................................................................................... 80. CombinaçõesA fórmula e o significadoDesigna-se por “combinações de n elementos, p a p ”, e representa-se por nC p , o número desubconjuntos distintos com p elementos que é possível extrair de um conjunto com n elementos.Para contar estes subconjuntos (ou seja, para determinar nC p ) podemos proceder do seguinte modo:• Começamos por determinar o número de sequências distintas com p elementos que é possível formar a partir dos n elementos do conjunto completo. Temos n elementos à escolha para a 1.ª posição, n − 1 para a 2.ª posição,..., n − k + 1 para a k.ª posição,..., n − p + 1 para a última posição. O número total de sequências possíveis é pois igual a n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2 ) ⋅ K ⋅ (n − p + 1) que pode reescrito da sequinte forma n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2 ) ⋅ K ⋅ (n − p + 1) (n − p ) ⋅ (n − p − 1) ⋅ K ⋅1 n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2 ) ⋅ K ⋅ (n − p + 1) = ⋅ 1 (n − p ) ⋅ (n − p − 1) ⋅K ⋅1 n! = (n − p )! e que é geralmente representado por n Ap (arranjos sem repetição de n elementos p a p ).• Acontece que, ao efectuarmos a contagem desta forma, estamos a contar o mesmo subconjunto mais de uma vez, visto que aos mesmos p elementos de um subconjunto correspondem p Ap sequências distintas de números. Assim, o número de subconjuntos vai ser igual ao número de sequências n Ap dividido pelo número de vezes que cada subconjunto aparece na lista de
  2. 2. sequências. O resultado é n! 1 n C p = n Ap ÷ p A p = ⋅ (n − p )! p! n! = (n − p )! p!Obviamente nC p só está definido se (cumulativamente)- n e p são números inteiros não negativos (i.e. pertencem a IN 0 ): o número de elementos de umconjunto é um número inteiro, que será positivo se houver elementos ou será zero se o conjunto forvazio;- p ≤ n (não é possível extrair mais do que n elementos de um conjunto que só tem n elementos.Propriedades 1. Para qualquer n ∈ IN 0 e para qualquer p ∈ {0, 1, 2, K , n}, tem-se uma das seguintes situações: - se p = 0 ou p = n então nC p = 1; - se 0 < p < n então nC p = n −1C p −1 + n −1C p . n! Esta propriedade pode ser verificada a partir da fórmula nC p = , mas pode também ser (n − p )! p! justificada do sequinte modo (no que se segue, B designa um conjunto com n elementos): - se p = 0 estamos a extrair um subconjunto com 0 elementos e só há um subconjunto nessas condições: o conjunto vazio; - se p = n estamos a extrair todos os elementos do conjunto, e só há uma forma de o fazer; - se 0 < p < n podemos começar por formar um subconjunto B com n − 1 elementos de B , deixando um elemento isolado; para formar o nosso subconjunto com p elementos de B temos então duas alternativas: ou extraímos n − 1 elementos de B e lhes juntamos o elemento que ficou de fora (o que dá n −1C p −1 subconjuntos distintos com p elementos) ou extraímos os n n −1 elementos todos de B (o que dá mais C p subconjuntos distintos com p elementos). Todos os nC p subconjuntos de B podem ser obtidos de uma destas formas, portanto tem-se n C p = n −1C p −1 + n −1C p . 2. Para qualquer n ∈ IN (i.e. para cada número inteiro n > 0 ) tem-se nC1 = n . Esta propriedade obtém-se imediatamente substituindo p por 1 na fórmula e simplificando. Alternativamente: fazer p = 1 corresponde a contar o número de subconjuntos de 1 elemento que é possível formar a partir dos n elementos do conjunto original B ; obviamente existirão tantos subconjuntos de 1 elemento quantos os elementos, ou seja, n . 3. Para qualquer n ∈ IN 0 e para qualquer p ∈ {0, 1, 2, K , n}, tem-se n C p = n Cn − p . Mais uma vez, esta propriedade pode ser verificada a partir da fórmula, ou pode ser justificada do seguinte modo: A cada subconjunto de p elementos que formemos corresponde um e apenas um subconjunto de n − p elementos: os que “deixámos para trás”. Logo, terá que haver tantos subconjuntos de
  3. 3. p elementos (em número de nC p ) quantos os subconjuntos com n − p elementos ( nCn − p ), donde sai o resultado pretendido.1. Triângulo de PascalAlgumas propriedades• O Trângulo de Pascal é um triângulo de números com este aspecto (são mostradas apenas asprimeiras 5 linhas). 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1Constrói-se linha por linha, aplicando as seguintes regras:- a n-ésima linha tem n números, em posições intercaladas com a linha imediatamente acima;- o primeiro número e o último número de cada linha são iguais a 1;- os restantes números de cada linha obtêm-se adicionando os dois números mais próximos da linhaimediatamente acima.• Repara que estas são exactamente as mesmas regras que encontrámos acima, na propriedade 1das combinações:- o primeiro valor possível para n é zero, e para esse valor apenas está definida uma “combinação”,que é 0C0 ; o 2.º valor possível para n é 1, e para esse valor de n estão definidas 2 “combinações”,que são 1C0 e 1C1 ; e assim sucessivamente: para o k-ésimo valor que n pode tomar, estão definidas k“combinações”;- na lista nC0 , n C1 , K, n C n o primeiro elemento e o último elemento são ambos iguais a 1;- se escrevermos sucessivamente estas listas, com os números intercalados, a propriedaden C p = n −1C p −1 + n −1C p garante que cada número de uma lista (à excepção dos das pontas) resulta dasoma dos números mais próximos da lista imediatamente acima.Como as regras de formação são as mesmas, pelas as entradas do Triângulo de Pascal são ocupadas pelas “combinações” nC p .• Como o primeiro valor que n toma nas combinações é zero, a 1.ª linha corresponde a n = 0 , a 2.ªlinha corresponde a n = 1 ,..., a r-ésima linha corresponde a n = r − 1 (verifica na porção do Triângulode Pascal reproduzida acima que, por exemplo, a 5.ª linha corresponde a n = 5 − 1 = 4 ).Do mesmo modo, como o primeiro valor que p toma em cada linha é zero, o 1.º elemento de umalinha corresponde a p = 0 , o 2.º elemento corresponde a p = 1 ,..., o k-ésimo elemento corresponde a p = k − 1 (verifica na porção do Triângulo de Pascal reproduzida acima que o 2.º elemento da 4.ª linha 4−1é igual a C2 −1 =3C1 ).• Observando o Triângulo de Pascal, verificas que ele é simétrico em relação a uma linha vertical quepasse pelo “vértice” (o número 1 situado no topo): as entradas simétricas em relação a esta linha são
  4. 4. iguais. Por que será?Quais são essas entradas simétricas? São as entradas que se situam à mesma distância dos extremosdo triângulo. Se uma dessas entradas corresponde a nC p , então deixa à sua esquerda exactamente pentradas, logo a sua simétrica será a entrada que deixa à sua direita exactamente p entradas, ecorresponde a nC n − p . Mas nós já sabemos que nC p = nC n − p , portanto em cada linha do Triângulo dePascal as entradas simétricas são iguais -- ou seja, o Triângulo de Pascal é simétrico.Exercícios (1) Exercício□ Exercício 1. (a: fácil/médio; b: difícil)A soma dos três primeiros números de uma certa linha (linha r) do Triângulo de Pascal é igual a 154. a) Qual é o terceiro número da linha imediatamente abaixo (linha r+1)? b) Qual é o penúltimo número da mesma linha (linha r)? Exercício□ Exercício 2. (bastante difícil)Três números consecutivos de uma certa linha do Triângulo de Pascal são 80730, 296010 e 888030.Determine o 2.º número dessa mesma linha do Triângulo de Pascal. Sugestões(Sugestões :- Dê nomes aos três números do enunciado: x = 80730 , y = 296010 , z = 888030 .- Considere que x= nC p e obtenha as expressões correspondentes para y e z . Nestas expressões sóintervêm n e p . Temos pois 3 equações e 2 incógnitas ( n e p ); em teoria será possíveldeterminarmos os valores das incógnitas. y z- Vai-nos ser útil considerar duas novas quantidades, α = e β = . Use as expressões de x , y e x y z obtidas na etapa anterior para relacionar as novas quantidades α e β com as incógnitas n e p . y z- Calcule os valores de α = e β = a partir dos dados do enunciado, e substitua-os nas equações x yque obteve na etapa anterior. Deste modo obteve um sistema de duas equações do 1.º grau em n eem p , sistema este que pode ser resolvido (por exemplo pelo método de substituição) para obter n e p . Caso tenha usado valores aproximados para α e β , não irá obter valores inteiros para n e p ,pelo que terá que arredondar para o inteiro mais próximo.- Recorrendo à sua calculadora, confirme que x= nC p , y = n C p +1 e z = nC p + 2 .- Por fim, use a informação de que agora dispõe para responder à questão colocada no enunciado.)2. Binómio de NewtonEm busca do desenvolvimento da potência de uma somaConsidere a conhecida expansão do quadrado de uma soma:(a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2 .Repare que esta igualdade pode ser escrita na forma 2(a + b)2 = ∑ 2C p ⋅ a 2− p ⋅ b p p=0
  5. 5. (a parcela a 2 obtém-se fazendo p = 0 , a parcela 2ab corresponde a p = 1 , e a parcela b 2 resulta defazer p = 2 ).Se usarmos a letra n para representar o número 2, a igualdade pode ainda ser escrita na forma n(a + b)n = ∑ nC p ⋅ a n− p ⋅ b p . p=0Facilmente se verifica que esta igualdade permanece válida quando n = 1 e quando n = 0 . Com umpouco mais de contas, verifica-se que também é válida quando n = 3 . Mas será que é válida paraqualquer n inteiro?Para mostrar que sim, suponhamos (“hipótese de indução”) que a igualdade n(a + b)n = ∑ nC p ⋅ a n− p ⋅ b p p=0é válida para um certo número inteiro n , e vejamos se ainda é válida quando avançamos para onúmero inteiro seguinte (isto é, quando substituimos n por n + 1 ):(a + b )n+1 = (a + b )(a + b )n(aplicar a hipótese de indução) n= (a + b )∑ nC p ⋅ a n − p ⋅ b p p =0 n n= a ∑ nC p ⋅ a n − p ⋅ b p + b ∑ nC p ⋅ a n − p ⋅ b p p=0 p=0 n n= ∑ nC p ⋅ a n +1− p ⋅ b p + ∑ nC p ⋅ a n − p ⋅ b p +1 p =0 p=0(fazer k = p + 1 ⇒ p = k − 1) n n +1= ∑ nC p ⋅ a n +1− p ⋅ b p + ∑ nC k −1 ⋅ a n +1−k ⋅ b k p =0 k =1(fazer p = k ) n n +1= ∑ nC p ⋅ a n +1− p ⋅ b p + ∑ n C p −1 ⋅ a n +1− p ⋅ b p p =0 p =1 n n= 1 ⋅ a n +1 ⋅ b 0 + ∑ nC p ⋅ a n +1− p ⋅ b p +∑ nC p −1 ⋅ a n +1− p ⋅ b p + 1 ⋅ a 0 ⋅ b n +1 p =1 p =1 ( ) n= 1 ⋅ a n +1 ⋅ b 0 + ∑ nC p −1 + nC p ⋅ a n +1− p ⋅ b p + 1 ⋅ a 0 ⋅ b n +1 p =1 n= n +1C0 ⋅ a n +1−0 ⋅ b 0 + ∑ n +1C p ⋅ a n +1− p ⋅ b p + n +1Cn +1 ⋅ a n +1−( n +1) ⋅ b n +1 p =1 n +1= ∑ n +1C p ⋅ a n +1− p ⋅ b p p =0Concluímos, finalmente, que a igualdade ainda é válida para o número inteiro seguinte: n +1(a + b )n+1 = ∑ n+1C p ⋅ a n+1− p ⋅ b p . p =0
  6. 6. Mas daqui, por um procedimento semelhante, mostraríamos que a igualdade se manteria válida sesubstituíssemos n por n + 2 , n + 3 , etc.., percorrendo todos os números inteiros não negativos.(Chama-se a isto uma demonstração por indução.)Conclusão: para qualquer número inteiro n ≥ 0 é válida a expansão n (a + b)n = ∑ nC p ⋅ a n− p ⋅ b p p=0A esta expansão da potência de uma soma dá-se o nome de Binómio de Newton.Para cada valor de p , a parcela nC p ⋅ a n − p ⋅ b p é um termo do desenvolvimento de (a + b ) . Obviamente no 1.º termo corresponde a p = 0 , o 2.º termo corresponde a p = 1 ,..., o k -ésimo termo corresponde a p = k − 1 . Portanto, o k -ésimo termo (que podemos representar por Tk : “termo de ordem k ”) é dadopor Tk = nCk −1 ⋅ a n −k +1 ⋅ b k −1 .Desenvolvimento alternativoRepare-se que, quando o índice p percorre os números inteiros de 0 até n , o número r = n − ppercorre também os números inteiros de n até 0 (por ordem decrescente). Então também podemosusar r como índice do somatório, visto que iremos obter exactamente as mesmas parcelas (por ordeminversa). Substituindo p por r = n − r na expressão que está a ser somada, obtemos n(a + b )n = ∑ nCn− r ⋅ a n−(n− r ) ⋅ b n−r r =0 n= ∑ n Cr ⋅ a r ⋅ b n − r r =0onde se usou a propriedade nC n −r = nC r .Mas r é uma “variável muda” (é um índice que só aparece dentro do somatório), e portanto podemosvoltar a usar um p em seu lugar: n (a + b)n = ∑ nC p ⋅ a p ⋅ b n− p p=0Esta é uma versão alternativa do Binómio de Newton. Ambas são perfeitamente equivalentes: as n + 1parcelas são as mesmas – só muda a ordem pela qual são somadas. Neste desenvolvimento ok -ésimo termo é Tk = nC k −1 ⋅ a k −1 ⋅ b n −k +1 . Obviamente é diferente do k -ésimo termo do desenvolvimentoanterior.Como existem estas duas versões equivalentes do Binómio de Newton, todas as questões quecoloquemos que envolvam a posição de cada termo são vazias de sentido, salvo no caso excepcionalde se tratar do termo médio, que é o mesmo em ambas as expansões.Exercícios (2) Exercício□ Exercício 3. (médio) 12  1No desenvolvimento de  3 x +  existe algum termo independente? Calcula-o se existir, ou justifica  xque não existe.
  7. 7. Soma dos números de uma linha do Triângulo de PascalJá sabemos que os elementos da r -ésima linha do Triângulo de Pascal (i.e. da “linha número r ”, senumerarmos as linhas começando em 1) são nC0 , nC1 ,..., nCn , onde n = r − 1 . Qual será a soma de ntodos estes números? Podemos escrevê-la na forma de somatório: nC0 + nC1 + K+ nCn = ∑ nC p . Mas p=0como vamos calcular este somatório?Repare-se que este somatório é muito parecido com o da expansão do Binómio de Newton, n(a + b)n = ∑ nC p ⋅ a n− p ⋅ b p . A diferença é que nas parcelas não aparecem os factores a n− p e b p . p=0Será que existe algum valor que possamos atribuir a a e a b para que as suas potências sejam todasiguais? Sim, existe: o número 1! Então, tomando a = 1 e b = 1 e substituindo no Binómio de Newton,obtemos n n(1 + 1)n = ∑ nC p ⋅1n− p ⋅1p = ∑ nC p ⋅1⋅1 p =0 p =0 n= ∑ nC p p =0Mas (1+ 1) é simplesmente 2n , portanto n n ∑ p =0 n C p = 2n .Substituindo n por r − 1 , concluímos que a soma das entradas da r -ésima linha do Triângulo de Pascal é igual a 2 r −1 .Exercícios (3) Exercício□ Exercício 4. (médio)O produto dos 4 elementos das extremidades de uma linha do Triângulo de Pascal (os dois primeiros eos dois últimos) é igual a 1296. Qual é a soma de todos os números da linha seguinte (imediatamenteabaixo) do Triângulo de Pascal?Termo médioA expansão de (a + b ) tem n + 1 termos. Se n for par – ou seja, se n = 2m para um certo inteiro m – nentão o termo Tm +1 = C m ⋅ a m ⋅ b m deixa exactamente m termos à sua esquerda e m termos à sua ndireita, ou seja, está posicionado no meio do desenvolvimento . Por esse motivo, dá-se-lhe o nome determo médio do desenvolvimento. nSubstituindo m por , podemos escrever o termo médio da seguinte forma: 2 n nTn +1 = nC n ⋅ a 2 ⋅ b 2 . 2 2
  8. 8. O termo médio não depende do desenvolvimento do Binómio de Newton que estamos a utilizar: ele vai nser igual a nC n ⋅ a 2 ⋅ b 2 tanto no desenvolvimento (a + b )n = ∑ nC p ⋅ a n − p ⋅ b p como no desenvolvimento n n 2 p=0 nalternativo (a + b )n = ∑ nC p ⋅ a p ⋅ b n − p . p=0Exercícios (4) Exercício□ Exercício 5. (difícil) ( ) nNo desenvolvimento de x 2 − 3 , ao dividir o termo do 4º grau (ou seja, o termo onde aparece x 4 ) pelo 3termo do 2.º grau (o termo cuja parte literal é x 2 ) obtém-se − x 2 . Determina o termo médio deste 2desenvolvimento. Sugestões(Sugestões :- Escreve a expressão geral dos termos deste desenvolvimento, mantendo as letras n e p massubstituindo a e b pelos respectivos valores.- Determina os valores de p correspondentes aos termos do 4.º grau e do 2.º grau, e simplifica aomáximo esses termos, de modo a que desapareça o p e fique apenas o n . 3- Calcula o quociente entre esses termos, e compara com x 2 . Qual terá que ser o valor de n ? 2- Uma vez conhecido n , calcula o termo médio do desenvolvimento.)

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