Operadores Lógicos

1. Lógica Matemática
Aula 03

2. Valor lógico
Toda proposição simples p é verdadeira ou é falsa.
p
V
F
p
V
F

3. Valor lógico de proposição composta
O valor lógico de uma proposição composta depende dos valores lógicos das proposições simples componentes
Qual o valor lógico das fórmulas abaixo?
p V q
p ∧ q
p → q V r

4. Tabela-Verdade

5. Tabela-Verdade
Instrumento utilizado para determinado o valor lógico de uma proposição composta.
Apresenta todos as possíveis combinações dos valores lógicos das proposições simples.

6. Tabela Verdade
P(p,q)
p
q
V
V
V
F
F
V
F
F
p
V
F
q
q
V
F
V
F

7. Tabela Verdade
Q(p,q,r)
R(p,q,r,s)

8. Conectivos lógicos / Operações lógicas
Cada conectivo/operador possui sua respectiva tabela-verdade
O raciocínio envolve certas operações sobre proposições: operações lógicas
Estas operações obedecem a regras do cálculo proposicional

9. Negação (~)

10. Negação
p: O Sol é uma estrela. V(p) = V
~p: O Sol não é uma estrela. V(~p) = F
q: 2+3 = 5. V(q) = V
~q: 2+3≠ 5. V(~q) = F
r: Roma é a capital da França. V(r)=F
~r: Roma não é a capital da França. V(~r)=V

11. Negação
p: Carlos é mecânico.
~p: Não é verdade que Carlos é mecânico.
Ou
~p: É falso que Carlos é mecânico.

12. Negação
Seja p uma proposição.
~p : não p
~p tem o valor lógico oposto ao de p
~V = F, ~F = V
V(~p) = ~V(p)
p
~p
V
F
F
V

13. Conjunção (∧)

14. Conjunção
Chama-se conjunção de duas proposições p e q, a proposição representada por “p e q”, cujo valor lógico é a verdade (V) quando as proposições p e q são ambas verdadeiras e falsidade (F) nos demais casos.
p e q
p ∧ q

15. Conjunção
p: A neve é branca.
q: 2 < 5.
p ∧ q
A neve é branca e 2<5.

16. Conjunção
V ∧ V = V
V ∧ F = F
F ∧ V = F
F ∧ F = F
p
q
p ∧ q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F

17. Conjunção
p: A neve é branca.
q: 2 < 5.
p ∧ q
A neve é branca e 2<5.
V(p ∧ q) = V(p) ∧ V(q) = V ∧ V = V

18. Conjunção
p: O céu é roxo.
q: 7 é um número primo.
p ∧ q
O céu é roxo e 7 é um número primo.
V(p ∧ q) = V(p) ∧ V(q) = F ∧ V = F

19. Conjunção
p: Os elefantes são grandes.
q: 5 < 2.
p ∧ q
Os elefantes são grandes e 5 < 2.
V(p ∧ q) = V(p) ∧ V(q) = V ∧ F = F

20. Conjunção
p: 10 < 5.
q: 20 > 30.
p ∧ q
10 < 5 e 20 > 30.
V(p ∧ q) = V(p) ∧ V(q) = F ∧ F = F

21. Disjunção(∨)

22. Disjunção
Chama-se disjunção de duas proposições p e q a proposição representada por “p ou q”, cujo valor lógico é a verdade (V) quando ao menos uma das proposições p e q são verdadeiras e falsidade (F) quando ambas as proposições são falsas.
p ou q
p∨q

23. Disjunção
p: A neve é branca.
q: 2 < 5.
p ∨ q
A neve é branca ou 2<5.

24. Disjunção
V ∨ V = V
V ∨ F = V
F ∨ V = V
F ∨ F = F
p
q
p ∨ q
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F

25. Disjunção
p: A neve é branca.
q: 2 < 5.
p ∨ q
A neve é branca ou 2<5.
V(p ∨ q) = V(p) ∨ V(q) = V ∨ V = V

26. Disjunção
p: O céu é roxo.
q: 7 é um número primo.
p ∨ q
O céu é roxo ou 7 é um número primo.
V(p∨ q) = V(p) ∨ V(q) = F ∨ V = V

27. Disjunção
p: Os elefantes são grandes.
q: 5 < 2.
p ∨ q
Os elefantes são grandes ou 5 < 2.
V(p ∨ q) = V(p) ∨ V(q) = V ∨ F = V

28. Disjunção
p: 10 < 5.
q: 20 > 30.
p ∨ q
10 < 5 ou 20 > 30.
V(p ∨ q) = V(p) ∨ V(q) = F ∨ F = V

29. Disjunção exclusiva (V)

30. Disjunção exclusiva
A palavra ou tem dois sentidos:
P: Carlos é médico ou professor
Q: Mario é alagoano ou gaúcho
P: Ou inclusivo, ambas as situações podem acontecer
Q: Ou exclusivo, somente uma das situações pode acontecer

31. Disjunção exclusiva
Chama-se disjunção exclusiva de duas proposições p e q a proposição representada por “p ou q, mas não ambos”, cujo valor lógico é a verdade (V) somente quando p é verdadeira ou q é verdadeira, mas não quando p e q são ambas verdadeiras. A falsidade (F) é quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas.
p∨q

32. Disjunção exclusiva
p: A neve é branca.
q: 2 < 5.
p ∨ q
A neve é branca ou 2<5, mas não ambas.

33. Disjunção exclusiva
V ∨ V = F
V ∨ F = V
F ∨ V = V
F ∨ F = F
p
q
p ∨ q
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F

34. Ordem de precedência
Negação (~)
Conjunção
Disjunção

35. Exercícios
1.Determine o valor lógico de cada uma das seguintes proposições:
a)O Brasil foi colônia de Portugal, mas hoje é um país independente.
b)Não é verdade que Belém é a capital do Pará.
c)2+7 = 9 e 4+8=12
d)Londres é a capital da Itália ou Recife é a capital do Ceará
e)1>0 ∧ 2+2=4
f)O Brasil é um país emergente e o Japão está em crise.
g)O Brasil não é um país emergente, mas o Japão está em crise.
h)Não é verdade que 12 é um número ímpar.

36. Exercícios
1.Determine o valor lógico de cada uma das seguintes proposições:
i)É falso que 2+3=5 e 1+1=3.
j)3+2 = 7 e 5+5=10
k)~(23≠8 ou 42≠43)
l)Brasília é a capital do Brasil e 20=0 ou 30=1
m)Ou o Brasil não é um país emergente ou o Japão não está em crise.
n)A inflação é praticamente nula e o desemprego não para de crescer.
o)Ou os salários aumentam, ou as vendas diminuem.
p)O azul é uma das cores da bandeira brasileira, e a bandeira de Portugal tem as cores verde e vermelho.

37. Exercícios
2.Sabendo que os valores lógicos das proposições p e q são respectivamente V e F, determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições:
a)푝∧~푞
b)푝∨~푞
c)~푝∧ 푞
d)~푝∧~푞
e)~푝∨~푞
f)푝∧(~푝∨푞)