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De posse de a e r, a progressão aritmética em questão é:                                     P.A. = (3/5-2, 3/5, 3/5+2)   ...
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Resolução I - Polinômios e números complexos

  1. 1. MACVEST GABARITO COMENTADO - LISTA I Polinômios e números complexos01 a) Demonstração.Dicas: Calcule f(x+h), [f(x+h)-f(x)]/h e compare com o resultado de g(x + h/2)b) Como f(1) = g(1) = f(-1) = 0, 1 é raíz de f(x) e g(x) e -1 é raiz de f(x). Tendo a1=1 esubstituindo x por 1 nas devidas equações, obtemos um sistema linear. Resolvendo e achando osvalores de a2, a1 e a0, obtemos como resposta o polinômio do 3º grau x3-x2-x+1.02 Como 1+i é raiz da equação e a raiz da equação é tida a partir da seguinte relação: x 4 + a = 0 → x = √−a 4Logo, sendo x = 1+i, temos: 4 1+i = √ −a elevando−se ambos os membros a quarta potência , temos : −a = (1+i)4 −a = (1+i)2⋅(1+ i)2 −a = (1+2i+i 2)⋅(1+ 2i+i 2 ) Como i= √−1,temos que i 2 = −1 −a = (1+2i−1)⋅(1+ 2i−1) −a = (2i)⋅(2i ) −a = 4i 2 −a = −4 a = 403 a) Do gráfico, temos:para x = -2, y=0;para x = 1, y=0;para x=0, y=2.Substituindo os valores acima na equação ax³+bx+c, temos(-2)³a+(-2)b+c = 0 → -8a-2b+c = 0 (I)(1)³a+(1)b+c = 0 → a+b+c = 0 (II)0a+0b+c = 2 → c = 2 (III)Substituindo III em I e II, temos:-8a-2b = -2 (dividindo por 2) → -4a-b = -1 (IV)a+b = -2 (V)Somando IV com V, temos:-3a = -3a = 1 (VI)Substituindo VI em IV:-4.1-b = -1 → -b = 3 → b = -3 Portanto, os coeficientes a, b e c vale, respectivamente, 1, -3 e 2.b) Sabemos que só são raízes da equação -2 e 1, porém, temos que saber a multiplicidade destasraízes. Portanto, analisemos as equações de grau inferior ao grau do polinômio.O polinômio em questão é: P(x) = x³-3x+2 1
  2. 2. Valendo-se do algoritmo de Briot-Ruffini, vem: 1 0 -3 2 | 1 1 1 -2 0 |Logo, o polinômio de segundo grau que vem de P(x) é Q(x) = x²+x-2. Analisando as raízes deQ(x), vemos que elas são -2 e 1, sendo, também, -2 e 1 raízes de P(x). Como 1 já é raiz de P(x),dizemos que 1 é raiz de multiplicidade 2 de P(x). Logo, as raízes de P(x) são -2, com multiplicidade 1, e 1, com multiplicidade 2.04 Considere a equação: P(x) = x³ – (2a-1)x² – a(a+1)x + 2a²(a-1) = 0E seja (a-1) uma raiz desta equação. Por definição, temos que se o polinômio é do 3º grau, elepossui três raízes. Como temos uma delas, as outras duas serã, genericamente, r 1e r2. Com isso,podemos aplicar o algoritmo de Briot-Ruffini: 1 - (2a-1) - a(a+1) 2a²(a-1) | (a-1) 1 |Simplificando o algoritmo: 1 -2a+1 -a²-a 2a³-2a² | (a-1) 1 -a -2a² 0 |Com isso, sabemos que o polinômio de 2º grau que vem é: Q(x) = x² – ax – 2a²Resolvendo Q(x), de forma a determinar suas raízes: x² – ax – 2a² = 0Soma: -b/a = aProduto: c/a = -2a²Como a soma é positiva, a maior raíz é positiva e tendo-se o produto negativo, alguma raíztambém é negativa, porém, como a maior raíz já é positiva, a menor tem que, obrigatoriamente,ser negativa. O produto pode ser fatorado, obtendo-se:Produto: c/a = -2a . a.Como (2a) é o maior fator, ele é positivo. Logo, o produto fica:Produto = c/a = 2a . (-a)Somente testando se 2a e (-a) são raízes:Soma = 2a – a = aEstá mais que comprovado que 2a e (-a) são raízes da equação. Como 2a e (-a) são raízes dopolinômio Q(x) que foi obtido a partir do polinômio P(x), 2a e (-a) também são raízes de P(x). Portanto, são raízes de P(x) (a-1), 2a e (-a).05 TEMA DA QUESTÃO FORA DO CONTEÚDO ESTUDADO06 a) Chamando a raíz média (maior que a menor e menor que a maior raíz), e como as raízesformam uma progressão aritmética, de razão genericamente tomada como sendo r, temos: P.A. = (a-r, a, a+r)É dado que a soma das raízes é 9/5. Logo:Soma: a-r+a+a+r = 9/5 → 3a = 9/5 → a = 3/5.Também é dado que a diferença entre o quadrado da maior raíz e o quadrado da menor raíz é24/5. Assim sendo:(a+r)² – (a-r)² = (fatorando – diferença de dois quadrados) (a+r + a -r) (a+r – a +r) = (2a)(2r) =4ar = 24/5.Como a = 3/5, vem:4.3r/5 = 24/5 → 12r/5=24/5 → r = 2. 2
  3. 3. De posse de a e r, a progressão aritmética em questão é: P.A. = (3/5-2, 3/5, 3/5+2) P.A. = (-7/5, 3/5, 13/5)b) Sabemos que, pelo teorema fundamental da álgebra... ATENÇÃO!!!!!! TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA1) Todo polinômio de grau maior que 1 pode vir a ter raízes complexas.2) Todo polinômio de grau maior que 1 pode ser decomposto como o produto da diferençaentre a variável e suas raízes (teorema da decomposição). n n−1 n−2 a n x + a n−1 x +a n −2 x + ...+ a 1 x + a0 =a n⋅( x−r 1)⋅(x−r 2 )⋅ x−r 3)⋅...( x−r n−1)⋅( x−r n) (3) Corolário do teorema da decomposição (Decorrência de um teorema): Um polinômio degrau n pode ser decomposto em um produto de n fatores de grau 1.4) Corolário do corolário: Sendo verdade que um polinômio de grau n pode ser decompostoem n fatores de grau 1 e como cada fator de grau 1 envolve a diferençaentre a variável e umaraíz, então um polinômio de grau n possui n raízes.É claro que você não deve mostrar que você sabe de onde vem a definição com tantoespalhafato, como agora, no vestibular... Então, retomando:Sabemos que, pelo teorema fundamental da álgebra, o polinômio P(x) pode ser obtido peloproduto (Teorema da decomposição): −7 3 13 P (x )=5⋅ x−( ( ))⋅ x− )⋅ x− ) ( ( 5 5 5Realizando as operações necessárias, chegamos na seguinte expressão: 125 x 3−225 x 2−365 x+ 273 P (x )= 25Que pode ser representado também por: 125 x3 225 x 2 365 x 273 P (x )= − − + 25 25 25 25Vemos que o coeficiente de grau 1 é -365/25. Simplificando a fração, temos que o coeficiente em questão é – 73/5. 1 107 a) Sendo Z0= − + i , fazendo-se o MMC entre as frações, temos: 1+i 2i 1 1 1⋅2i−1⋅ (1+i )+i⋅ 2i)⋅(1+i ) ( Z0= − + i →Z 0= 1+i 2i (1+i )⋅2iSendo assim, temos: 2i−1−i+ 2i 2 +2i 2 + 2i 3 Z0= 2i+2i 2 3
  4. 4. Como i= √−1 , temos que i 3= √−1⋅√ −1⋅√−1=−i e i 2=√−1⋅√−1=−1Sendo assim: 2i−1−i+ 2i 2 +2i 2 + 2i 3 2i −1−i −2−2−2i −i−5 Z0= = = 2i+2i 2 2i−2 2i−2Multiplicando-se pelo conjugado do denominador, temos: −i−5 2i+ 2 (−i−5)⋅(2i+ 2) −2i 2−10i−2i−10 2−12i−10 −8−12i 8 12i Z0= ⋅ = = = = = − 2i−2 2i+ 2 (2i)2−22 4i 2−4 −4−4 −8 −8 −8 3 Z 0=1+ i 2 Logo, a parte real (Re) de Zo = 1 e a parte imaginária (Im) de Zo = 3/2.b) O teorema das raízes complexas... ATENÇÃO!!!!!! TEOREMA DAS RAÍZES COMPLEXAS Se z = a+bi for raiz de um polinômio, z = a-bi (seu conjugado) também o será.Continuando... O teorema das raízes complexas nos garante que: 3 3 Se z 0=1+ i é raiz , z 0 =1− i também será raiz 2 2Como o exercício pede um polinômio que possua Zo como raíz, o termo de maior grau dopolinômio pode ser considerado 1, no momento. Logo, pelo teorema fundamental da álgebra: 3 3 3 3 3 3 2 13 P ( x )=1⋅(x−1− i)⋅ x−1+3/2 i)=x 2−x− xi−x +1+ i+ xi− i−( i) =x 2−2x+ ( 2 2 2 2 2 2 4Como procura-se um polinômio de coeficientes inteiros, vem: 2 13 2 x −2x+ (⋅4)=0(⋅4)→4x −8x +13=0 4 Então, 4x²-8x+13 é a equação com menores coeficientes inteiros que possui Zo como raiz.c) Considerando genericamente w=a+bi, temos: 3 3a 3b z 0⋅w=(1+ i)⋅(a +bi)=a+ i+bi+ i 2 2 2 2Como i² = -1: 3a 3b z 0⋅w=a + i+ bi− 2 2Colocando-se i em evidência onde é conveniente, temos: 3b 3a z 0⋅w=(a− )+( + b)i 2 2Do plano complexo, temos que, para um número complexo y = c+di, o seu módulo fz parte daequação |y|²=c²+d². Então: 4
  5. 5. √ √ √ 2 2 2 2 2 2 3b 3a 2 9b 9a 2 2 9b 9a 2 ∣z 0⋅w∣= (a− 2 ) +( 2 +b) = a −3ab+ 4 + 4 +3ab +b = a + 4 + 4 + b =5 √ 2Calculando-se o MMC entre as frações, temos: ∣ √ z 0⋅w∣= a 2+ 9b 2 9a 2 2 4 + 4 √ +b = 13a 2+ 13b2 √13a 2 +13b 2Elevando-se ambos os membros da equação ao quadrado, vem: 4 = 2 =5 √ 2 13a 2+13b 2 =25⋅2→13a 2+ 13b2=100 4Mas, como o exercício pede um complexo Zo.W que possua as partes real e imaginária iguais,vem: 3b 3a a− = +b 2 2 3a 3b a− = +b 2 2 2a−3a 2b+ 3b = 2 2 −a 5b = 2 2 −a=5b a=−5bComo a = -5b, temos: 13a 2 +13b2 =100 2 2 13⋅ (−5b) +13b =100 2 2 325b +13b =100 2 338b =100 2 50 b= 169 b=5 √ 2 13como a = -5b: b=5 √ a=−5b→a=−5⋅5 √ 2 2 13 13 a=−25 √2 13 Logo, o número complexo w=−25 +5 √2 √2 i 13 13d) TEMA DA ALTERNATIVA AINDA NÃO ESTUDADO08 a) Sendo o polinômio P(x) = x³ – 14x² + kx – 64 = 0 e chamando de b a raiz média edenominando-se genericamente a razão de q, temos: P.G. = (a/q, a, a.q).Das relações de Girard, vem:Soma: -b/a = 14Produto: -d/a = 64Logo: 5
  6. 6. 2 a a+ a⋅q+ a⋅q + a+ a⋅q=14→ =14→a +a⋅q +a⋅q 2=14q q qe a 3 3 ⋅a⋅a⋅q=64→ a =64→a=√ 64→a=4 q Substituindo a=4 na primeira equação, temos: a+ a⋅q+ a⋅q 2=14q ⋅1 4+ 4q + 4q 2=14q →4q 2−10q + 4=0 ( )→2q 2−5q + 2=0 2Resolvendo-se a equação, achamos q = 2 ou q = ½.Portanto, as possíveis progressões podem ser: P.G. = (a/q, a, a.q) P.G. = (2, 4, 8) ou P.G. = (8, 4, 2) Logo, as raízes são 2, 4 e 8.b) Temos que o produto das raízes duas a duas é:Produto 2x2: c/a = kLogo: 2.4 + 2.8 + 4.8 = k 8 + 16 + 32 = k k = 5609 QUESTÃO RESOLVIDA EM SALA (A resolução será feita a parte) −1 √ 310 a) Sendo o número ω= + i um número complexo, temos que: 2 2 1 1 2 ω= = −1+ √3 i −1+ √ 3i 2Multiplicando-se o denominador pelo seu conjugado, temos: 1 2 −1−√ 3 i 2⋅(−1− √3 i) −2−2 √ 3i −2−2 √3 i −2−2 √ 3 i ω =−1+ 3i ⋅−1− 3 i = (−1+ 3 i)⋅ = 2 = 1−(−3) = 4 √ √ √ (−1− √3 i) (−1 )−(√ 3i)2Simplificando a expressão, vem: 1 −2 −2 √ 3 i −1 √ 3 i ω= 4 + 4 = 2 − 2Temos, também, que: 3 −1 √ 3 i −1 √ 3i −1 √ 3i −1 √ 3 i 9 5 √ 3 i ω3=( + ) =( + )⋅( + )⋅( + )= − 2 2 2 2 2 2 2 2 8 8 1 Portanto, as partes real (Re) e imaginária (Im) dos números ω e ω 3 são: 1 −1 −√ 3 3 9 −5 √ 3 ω : ℜ= 2 e ℑ= 2 e ω : ℜ= e ℑ= 8 8 6
  7. 7. b) Os números 1 ω e ω estão representados no gráfico abaixo: 3 1onde ⃗ ω e ⃗=ω3 AB= BCc) Se substituirmos z=1 na equação z³-1 = 0, veremos que 1-1=0. Logo, 1 é raiz. Valendo-se doalgoritmos de Briot-Ruffini, vem: 1 0 0 -1 | 1 1 1 1 0|Logo, a equação de segundo grau que vem de z³-1=0 é z² + z + 1 = 0. Resolvendo-se a equação,temos: −1±√1 2−4 z= 2 −1± √−3 z= 2 −1±√ 3⋅√ −1 z= 2 −1±√ 3i z= 2 −1− √ 3 i −1+ √ 3 i As raízes complexas z = e z = são raízes da equação z³-1 = 0. 2 2 7

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