1) O documento discute equações trigonométricas e suas relações fundamentais. 2) As soluções de equações trigonométricas são agrupadas em conjuntos de soluções que incluem todos os valores de x que satisfazem a equação. 3) Exemplos mostram como encontrar os conjuntos de soluções para diferentes equações trigonométricas.

1. Equações Trigonométricas – www.valci.mat.br
Relações Fundamentais 1 sen x = sen a
No círculo trigonométrico, o eixo horizontal é 2 cos x = cos a
representado pelo seno e o eixo vertical, pelo 3 tg x = tg a
cosseno. Suas projeções determinam os catetos de onde:
um triangulo retângulo, sendo assim por Pitágoras, x = um arco trigonométrico incógnita;
é valida a relação fundamental: a = um arco trigonométrico qualquer.
Arcos de mesmo seno
Já sabemos através da simetria de arcos no
circulo trigonométrico que:
sen(p - a) = sen a
Portanto, a solução genérica de uma equação
do tipo:
sen x = sen a
Será x = (2k + 1)360° - a ou x = 2k360° + a
sen(x)2 + cos(x)2 = 1 x = (2k + 1)p - a ou x = 2kp + a (radiano)
Então: Exemplo:
sen(x) = 1 - cos(x)2 Seja x pertencente aos Reais. sen(x) = 0,5
Como 0,5 = sen 30º
2
cos(x) = 1 - sen(x) Então
S= {x | x Î R; x =(2k + 1)360° - 30° ou x = 2k360°
+ 30°, k Î Z}
Equações Trigonométricas
Para que exista uma equação qualquer é Ou você pode listar:
preciso que tenha pelo menos uma incógnita e S = {..., -210, 30, 150°, ...}
uma igualdade. Agora, para ser uma equação
trigonométrica é preciso que, além de ter essas Exercícios
características gerais, é preciso que a função 1. Encontre o conjunto solução para as
trigonométrica seja a função de uma incógnita. equações trigonométricas. Considere 0°≤ x ≤360°
Dica: liste as soluções.
Exemplo de equação trigonométrica:
(I) sen(2x) – cos(4x) = 0 A) sen(x) = 1
Exemplo de não equação trigonométrica: B) 2.sen(x) = 1
(II) x2 + sen(30°) . (x + 1) = 15
C) sen(x) = 0,866 consulte tabela
Repare que sen(30°) é constante, ou seja,
poderíamos substituir por 0,5. Então, a equação D) 2.sen(x) = -1
(II) é apenas de 2 º grau.
E) 6.sen(x) + 1 = 4
Solução ou Conjunto Verdade 2. Encontre o conjunto solução para as
Normalmente as equações trigonométricas
equações trigonométricas. Considere x Real.
admitem muitas soluções que são agrupadas em
um conjunto S (Conjunto Solução).
A) sen(x) = 1
Exemplo:
Para 0°≤ x ≤360° sen(x) = 0
B) 2.sen(x) = 1
Como: sen(0) = 0 sen(180) = 0 sen(360) = 0
Então S = { 0, 180, 360}
C) sen(x) = 0,866 consulte tabela
Quase todas as equações trigonométricas,
D) 2.sen(x) = -1
quando convenientemente tratadas e
transformadas, podem ser reduzidas a pelo menos
uma das três equações trigonométricas E) 2. sen(x) =
elementares.