Hoje publicarei uma dúvida compartilhada na lista PUC-RIO, onde a resolução mais simples é a solução do problema.

1. ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES
PUC-RIO PROBLEMA SIMPLES DE P.A
ClAudio Buffara – Rio de Janeiro

2. Hoje publicarei uma dúvida compartilhada na lista PUC-RIO, onde a resolução
mais simples é a solução do problema.

3. PROBLEMA
Problema simples de P.A. que está me dando um baile:
"As medidas de um triângulo retângulo estão em P.A. Quanto vale o seu
perímetro se sua área é 1/6?"
Sabendo que as medidas compõe uma P.A. de tres termos, vem:
catetos: x, x-R e hipotenusa x+R, onde R=RAZÃO
Por Pitágoras temos:

4. (x+R)^2 = (x-R)^2 + x^2
x^2 + 2xR + R^2 = x^2 - 2xR + R^2 + x^2
x^2 - 4xR = 0
x (x - 4R) = 0
ou x=0 ou x-4R = 0

5. x-4R = 0 <=> x = 4R (equacao I)
Da relação de área temos:
1/6 = x(x-R) / 2
1/6 = (x^2 - Rx)/2
6x^2 - 6Rx = 2
6x (x-R) = 2 (equação II)

6. Substituindo (equação I) em (equação II) vem:
6x (x-R) = 2
6(4R) (4R - R) = 2
(24R)(3R) = 2
72R = 2
R = 36 (equação III)
Substituindo (III) em (I):
X=4R
X=4(36)
X=144
Isto configura um ABSURDO, pois os lados seriam X=144, X-R = 108 e
X+R=180, que apesar de estarem em P.A. não bate com a área.

7. SOLUÇÃO
De fato, deveria ser 1/6 = 4R*3R/2 ==> R^2 = 1/36 ==> R = 1/6.
E assim, teremos x = 4R = 2/3 ==> Perímetro = 3x = 2.
Confira a discussão completa em:
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200309/msg00026.html