Equacoes-Algebricas-Galois.pdf

Equações Algébricas e a Origem da Teoria de Galois
Ronie Peterson Dario
Departamento Acadêmico de Matemática
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
XV Semana da Matemática e I Encontro de Ensino de Matemática
Pato Branco-PR, 29 de setembro de 2010.
Ronie P. Dario (DAMAT - UTFPR) Equações e Galois 1 / 21

Introdução
Introdução
Equações Algébricas

Introdução
Introdução
ax + b = c

Introdução
Introdução
ax + b = c
x2
− 4x + 7 = 0

Introdução
Introdução
ax + b = c
x2
− 4x + 7 = 0
kx4
+
√
7x−5
+ h = 9

Introdução
Introdução
ax + b = c
x2
− 4x + 7 = 0
kx4
+
√
7x−5
+ h = 9
são equações algébricas.

Introdução
Introdução
ax + b = c
x2
− 4x + 7 = 0
kx4
+
√
7x−5
+ h = 9
são equações algébricas. Não são equações algébricas:

Introdução
Introdução
ax + b = c
x2
− 4x + 7 = 0
kx4
+
√
7x−5
+ h = 9
x3
− 4x + 2 = cos(x)
ex
+ 8x = 3

Introdução
Introdução
ax + b = c
x2
− 4x + 7 = 0
kx4
+
√
7x−5
+ h = 9
x3
− 4x + 2 = cos(x)
ex
+ 8x = 3
Equação Geral de Grau n:
anxn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0 = 0

Equação de Primeiro Grau
Equações de Primeiro Grau

Dados os números a, b, a 6= 0, a equação geral de primeiro grau é
ax + b = 0

ax + b = 0
Exemplos: (1) 3x + 7 = 9

ax + b = 0
Exemplos: (1) 3x + 7 = 9 (2) x + x
4 = 15.

ax + b = 0
Exemplos: (1) 3x + 7 = 9 (2) x + x
4 = 15.
Primeiros Registros: Papiro de Rhind (egı́pcios) e Babilônicos, 1650 a.C.

Método da Falsa Posição

x +
x
4
= 15

x +
x
4
= 15
Chute inicial: 4

x +
x
4
= 15
Chute inicial: 4 → Resultado: 5

x +
x
4
= 15
Mas 3 × 5 = 15.

x +
x
4
= 15
Mas 3 × 5 = 15.
Então 3 × 4 = 12 é a resposta.

Axiomas de Euclides, 300 a. C.

(1) Se iguais forem somados a iguais, os resultados serão iguais.

(2) Se iguais forem subtraı́dos a iguais, os resultados serão iguais.

ax + b = 0, a 6= 0

ax + b = 0, a 6= 0
⇒ ax + b − b = 0 − b

ax + b = 0, a 6= 0
⇒ ax + b − b = 0 − b
⇒ ax + 0 = −b

ax + b = 0, a 6= 0
⇒ ax + b − b = 0 − b
⇒ ax + 0 = −b
⇒ ax = −b

ax + b = 0, a 6= 0
⇒ ax + b − b = 0 − b
⇒ ax + 0 = −b
⇒ ax = −b
⇒ 1
a

ax = 1
a (−b)

ax + b = 0, a 6= 0
⇒ ax + b − b = 0 − b
⇒ ax + 0 = −b
⇒ ax = −b
⇒ 1
a

ax = 1
a (−b)
⇒ x = −b
a

Equações de Segundo Grau
Equação geral de grau 2

ax2
+bx+c = 0, a 6= 0
a, b, c constantes e a 6= 0.

ax2
+bx+c = 0, a 6= 0
Fórmula de Bhaskara (Sridhara, século IX)

ax2
+bx+c = 0, a 6= 0
Fórmula de Bhaskara (Sridhara, século IX)
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a

Resolução
ax2
+bx+c = 0, a 6= 0

Resolução
ax2
+bx+c = 0, a 6= 0
⇒ x2
+
b
a
x +
c
a
= 0

Resolução
ax2
+bx+c = 0, a 6= 0
⇒ x2
+
b
a
x +
c
a
= 0
⇒ x2
+
b
a
x = −
c
a

Resolução
ax2
+bx+c = 0, a 6= 0
⇒ x2
+
b
a
x +
c
a
= 0
⇒ x2
+
b
a
x = −
c
a
⇒ x2
+
b
a
x +
b2
4a2
= −
c
a
+
b2
4a2

Resolução
ax2
+bx+c = 0, a 6= 0
⇒ x2
+
b
a
x +
c
a
= 0
⇒ x2
+
b
a
x = −
c
a
⇒ x2
+
b
a
x +
b2
4a2
= −
c
a
+
b2
4a2
⇒

x +
b
2a
2
=
b2 − 4ac
4a2

Resolução
ax2
+bx+c = 0, a 6= 0
⇒ x2
+
b
a
x +
c
a
= 0
⇒ x2
+
b
a
x = −
c
a
⇒ x2
+
b
a
x +
b2
4a2
= −
c
a
+
b2
4a2
⇒

x +
b
2a
2
=
b2 − 4ac
4a2
⇒
s
x +
b
2a
2
= ±
r
b2 − 4ac
4a2

Resolução
ax2
+bx+c = 0, a 6= 0
⇒ x2
+
b
a
x +
c
a
= 0
⇒ x2
+
b
a
x = −
c
a
⇒ x2
+
b
a
x +
b2
4a2
= −
c
a
+
b2
4a2
⇒

x +
b
2a
2
=
b2 − 4ac
4a2
⇒
s
x +
b
2a
2
= ±
r
b2 − 4ac
4a2
⇒ x +
b
2a
= ±
√
b2 − 4ac
2a

Resolução
ax2
+bx+c = 0, a 6= 0
⇒ x2
+
b
a
x +
c
a
= 0
⇒ x2
+
b
a
x = −
c
a
⇒ x2
+
b
a
x +
b2
4a2
= −
c
a
+
b2
4a2
⇒

x +
b
2a
2
=
b2 − 4ac
4a2
⇒
s
x +
b
2a
2
= ±
r
b2 − 4ac
4a2
⇒ x +
b
2a
= ±
√
b2 − 4ac
2a
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a

Equações de Grau 3
ax3
+ bx2
+ cx + d = 0, a 6= 0

ax3
+ bx2
+ cx + d = 0, a 6= 0
x3
+ px = q

ax3
+ bx2
+ cx + d = 0, a 6= 0
x3
+ px = q
Scipione del Ferro (1515)

ax3
+ bx2
+ cx + d = 0, a 6= 0
x3
+ px = q
Scipione del Ferro (1515)
x =
3
s
−
q
2
+
r
q2
4
+
p3
27
+
3
s
−
q
2
−
r
q2
4
+
p3
27

A equação da discórdia
ax3
+ bx2
+ cx + d = 0, a 6= 0
x3
+ px = q

ax3
+ bx2
+ cx + d = 0, a 6= 0
x3
+ px = q
x3 + px = q x3 + px = q

ax3
+ bx2
+ cx + d = 0, a 6= 0
x3
+ px = q
x3 + px = q x3 + px = q
x3 + px2 + q = 0

ax3
+ bx2
+ cx + d = 0, a 6= 0
x3
+ px = q
x3 + px = q x3 + px = q
x3 + px2 + q = 0 Ars Magna

Redução

Redução
Sejam a, b, c, d constantes e a 6= 0.
ax3
+ bx2
+ cx + d = 0

Redução
ax3
+ bx2
+ cx + d = 0
Fazendo x = y − b
3a e substituindo,

Redução
ax3
+ bx2
+ cx + d = 0
Fazendo x = y − b
3a e substituindo,
0 = a

y −
b
3a
3
+ b

y −
b
3a
2
+ c

y −
b
3a

+ d

Redução
ax3
+ bx2
+ cx + d = 0
Fazendo x = y − b
3a e substituindo,
0 = a

y −
b
3a
3
+ b

y −
b
3a
2
+ c

y −
b
3a

+ d
= ay3
+

b − 3a
b
3a

| {z }
0
y2
+

b2
3a
−
2b2
3a
+ c

y +
b3
27a2
+
b3
9a2
−
cb
3a
+ d

Redução
ax3
+ bx2
+ cx + d = 0
Fazendo x = y − b
3a e substituindo,
0 = a

y −
b
3a
3
+ b

y −
b
3a
2
+ c

y −
b
3a

+ d
= ay3
+

b − 3a
b
3a

| {z }
0
y2
+

b2
3a
−
2b2
3a
+ c

y +
b3
27a2
+
b3
9a2
−
cb
3a
+ d
ay3
+ py + q = 0.

Resolução de x3
+ px + q = 0

Resolução de x3
+ px + q = 0
Façamos x = u + v.

Resolução de x3
+ px + q = 0
x3
= (u + v)3

Resolução de x3
+ px + q = 0
x3
= (u + v)3
= u3
+ v3
+ 3uv(u + v)

Resolução de x3
+ px + q = 0
x3
= (u + v)3
= u3
+ v3
+ 3uv(u + v) = u3
+ v3
+ 3uvx

Resolução de x3
+ px + q = 0
x3
= (u + v)3
= u3
+ v3
+ 3uv(u + v) = u3
+ v3
+ 3uvx
x3 − 3uvx − (u3 + v3) = 0.

Resolução de x3
+ px + q = 0
x3
= (u + v)3
= u3
+ v3
+ 3uv(u + v) = u3
+ v3
+ 3uvx
x3 − 3uvx − (u3 + v3) = 0.
Segue que p = −3uv e q = −(u3 + v3).

Resolução de x3
+ px + q = 0
x3
= (u + v)3
= u3
+ v3
+ 3uv(u + v) = u3
+ v3
+ 3uvx
x3 − 3uvx − (u3 + v3) = 0.
Segue que p = −3uv e q = −(u3 + v3). Logo u3 e v3 são as raı́zes da
equação de segundo grau
z2
+ qz −
p3
27
= 0.

Resolução de x3
+ px + q = 0
x3
= (u + v)3
= u3
+ v3
+ 3uv(u + v) = u3
+ v3
+ 3uvx
x3 − 3uvx − (u3 + v3) = 0.
z2
+ qz −
p3
27
= 0.
Pela Fórmula de Bhaskara, temos

Resolução de x3
+ px + q = 0
x3
= (u + v)3
= u3
+ v3
+ 3uv(u + v) = u3
+ v3
+ 3uvx
x3 − 3uvx − (u3 + v3) = 0.
z2
+ qz −
p3
27
= 0.
u3
= −
q
2
+
r
q2
4
+
p3
27
e v3
= −
q
2
−
r
q2
4
+
p3
27

Resolução de x3
+ px + q = 0
x3
= (u + v)3
= u3
+ v3
+ 3uv(u + v) = u3
+ v3
+ 3uvx
x3 − 3uvx − (u3 + v3) = 0.
z2
+ qz −
p3
27
= 0.
u3
= −
q
2
+
r
q2
4
+
p3
27
e v3
= −
q
2
−
r
q2
4
+
p3
27
x =
3
s
−
q
2
+
r
q2
4
+
p3
27
+
3
s
−
q
2
−
r
q2
4
+
p3
27

Exemplo

Exemplo
x3
− 6x − 9 = 0

Exemplo
x3
− 6x − 9 = 0
p = −6 e q = −9 na fórmula de Cardano:

Exemplo
x3
− 6x − 9 = 0
x =
3
s
−
q
2
+
r
q2
4
+
p3
27
+
3
s
−
q
2
−
r
q2
4
+
p3
27

Exemplo
x3
− 6x − 9 = 0
x =
3
s
−
q
2
+
r
q2
4
+
p3
27
+
3
s
−
q
2
−
r
q2
4
+
p3
27
=
3
s
9
2
+
r
(−9)2
4
+
(−6)3
27
+
3
s
9
2
−
r
(−9)2
4
+
(−6)3
27

Exemplo
x3
− 6x − 9 = 0
x =
3
s
−
q
2
+
r
q2
4
+
p3
27
+
3
s
−
q
2
−
r
q2
4
+
p3
27
=
3
s
9
2
+
r
(−9)2
4
+
(−6)3
27
+
3
s
9
2
−
r
(−9)2
4
+
(−6)3
27
=
3
s
9
2
+
r
49
4
+
3
s
9
2
−
r
49
4

Exemplo
x3
− 6x − 9 = 0
x =
3
s
−
q
2
+
r
q2
4
+
p3
27
+
3
s
−
q
2
−
r
q2
4
+
p3
27
=
3
s
9
2
+
r
(−9)2
4
+
(−6)3
27
+
3
s
9
2
−
r
(−9)2
4
+
(−6)3
27
=
3
s
9
2
+
r
49
4
+
3
s
9
2
−
r
49
4
=
3
r
9 + 7
2
+
3
r
9 − 7
2
=

Exemplo
x3
− 6x − 9 = 0
x =
3
s
−
q
2
+
r
q2
4
+
p3
27
+
3
s
−
q
2
−
r
q2
4
+
p3
27
=
3
s
9
2
+
r
(−9)2
4
+
(−6)3
27
+
3
s
9
2
−
r
(−9)2
4
+
(−6)3
27
=
3
s
9
2
+
r
49
4
+
3
s
9
2
−
r
49
4
=
3
r
9 + 7
2
+
3
r
9 − 7
2
=
3
√
8 +
3
√
1

Exemplo
x3
− 6x − 9 = 0
x =
3
s
−
q
2
+
r
q2
4
+
p3
27
+
3
s
−
q
2
−
r
q2
4
+
p3
27
=
3
s
9
2
+
r
(−9)2
4
+
(−6)3
27
+
3
s
9
2
−
r
(−9)2
4
+
(−6)3
27
=
3
s
9
2
+
r
49
4
+
3
s
9
2
−
r
49
4
=
3
r
9 + 7
2
+
3
r
9 − 7
2
=
3
√
8 +
3
√
1 = 2 + 1 = 3.

Números Complexos

Números Complexos
Cardano (Ars Magna)
x3
− 15x − 4 = 0

Números Complexos
Cardano (Ars Magna)
x3
− 15x − 4 = 0
x =
3
q
2 +
√
−121 +
3
q
2 −
√
−121

Números Complexos
Cardano (Ars Magna)
x3
− 15x − 4 = 0
x =
3
q
2 +
√
−121 +
3
q
2 −
√
−121
Mas, x = 4 é solução da equação.

Números Complexos
Cardano (Ars Magna)
x3
− 15x − 4 = 0
x =
3
q
2 +
√
−121 +
3
q
2 −
√
−121
Rafael Bombelli (1560)
(2 ±
√
−1)3
= 2 ±
√
−121

Números Complexos
Cardano (Ars Magna)
x3
− 15x − 4 = 0
x =
3
q
2 +
√
−121 +
3
q
2 −
√
−121
(2 ±
√
−1)3
= 2 ±
√
−121
x = (2 +
√
−1) + (2 −
√
−1) = 4

Números Complexos
Cardano (Ars Magna)
x3
− 15x − 4 = 0
x =
3
q
2 +
√
−121 +
3
q
2 −
√
−121
(2 ±
√
−1)3
= 2 ±
√
−121
x = (2 +
√
−1) + (2 −
√
−1) = 4
Gauss (1831).

ax4
+bx3
+cx2
+dx+e = 0, a 6= 0

ax4
+bx3
+cx2
+dx+e = 0, a 6= 0
x4
+ px2
+ qx + r = 0.

ax4
+bx3
+cx2
+dx+e = 0, a 6= 0
x4
+ px2
+ qx + r = 0.
Ludovico Ferrari (1522-1565)

ax4
+bx3
+cx2
+dx+e = 0, a 6= 0
x4
+ px2
+ qx + r = 0.
x4 + 2px2 + p2 = px2 − qx − r + p2

ax4
+bx3
+cx2
+dx+e = 0, a 6= 0
x4
+ px2
+ qx + r = 0.
x4 + 2px2 + p2 = px2 − qx − r + p2
(x2 + p)2 = px2 − qx − r + p2

ax4
+bx3
+cx2
+dx+e = 0, a 6= 0
x4
+ px2
+ qx + r = 0.
x4 + 2px2 + p2 = px2 − qx − r + p2
(x2 + p)2 = px2 − qx − r + p2
(x2 + p + u)2 = (p + 2u)x2 − qx + (p2 − r + 2pu + u2)

ax4
+bx3
+cx2
+dx+e = 0, a 6= 0
x4
+ px2
+ qx + r = 0.
x4 + 2px2 + p2 = px2 − qx − r + p2
(x2 + p)2 = px2 − qx − r + p2
(x2 + p + u)2 = (p + 2u)x2 − qx + (p2 − r + 2pu + u2)
q2 − 4(p + 2u)(p2 − r + 2pu + u2) = 0.

Equações de grau maior ou igual a 5

Euler (± 1750) tentou reduzir a equação quı́ntica a uma quádrica.

Lagrange (± 1780) também falhou nessa tentativa.

Ruffini (± 1810) tentou demonstrar que é impossı́vel resolver, em geral,
as equações de grau 5 por meio de operações algébricas
(soma, subtração, multiplicação, divisão e radiciação).

N. H. Abel (1802-1829)

N. H. Abel (1802-1829)
Demonstrou, em 1824, o Teorema de Abel-Ruffini.

Origem da Teoria de Galois

François Viète (1570)

x2 + bx + c =

x2 + bx + c = (x − x1)(x − x2) = x2 − (x1 + x2)x + x1x2.

x2 + bx + c = (x − x1)(x − x2) = x2 − (x1 + x2)x + x1x2.
⇒ −b = x1 + x2 e c = x1x2.

x2 + bx + c = (x − x1)(x − x2) = x2 − (x1 + x2)x + x1x2.
⇒ −b = x1 + x2 e c = x1x2.
Exemplo p(x) = x2 − 4x + 1

x2 + bx + c = (x − x1)(x − x2) = x2 − (x1 + x2)x + x1x2.
⇒ −b = x1 + x2 e c = x1x2.
x1 = 2 +
√
3

x2 + bx + c = (x − x1)(x − x2) = x2 − (x1 + x2)x + x1x2.
⇒ −b = x1 + x2 e c = x1x2.
x1 = 2 +
√
3 x2 = 2 −
√
3.

x2 + bx + c = (x − x1)(x − x2) = x2 − (x1 + x2)x + x1x2.
⇒ −b = x1 + x2 e c = x1x2.
x1 = 2 +
√
3 x2 = 2 −
√
3. Então x1 + x2 = 4 e x1x2 = 1.

x2 + bx + c = (x − x1)(x − x2) = x2 − (x1 + x2)x + x1x2.
⇒ −b = x1 + x2 e c = x1x2.
x1 = 2 +
√
3 x2 = 2 −
√
3. Então x1 + x2 = 4 e x1x2 = 1.
Permutação: Bijeção {x1, x2} → {x1, x2}

x2 + bx + c = (x − x1)(x − x2) = x2 − (x1 + x2)x + x1x2.
⇒ −b = x1 + x2 e c = x1x2.
x1 = 2 +
√
3 x2 = 2 −
√
3. Então x1 + x2 = 4 e x1x2 = 1.
id
x1 = 2 +
√
3 7→ x1 = 2 +
√
3

x2 + bx + c = (x − x1)(x − x2) = x2 − (x1 + x2)x + x1x2.
⇒ −b = x1 + x2 e c = x1x2.
x1 = 2 +
√
3 x2 = 2 −
√
3. Então x1 + x2 = 4 e x1x2 = 1.
id
x1 = 2 +
√
3 7→ x1 = 2 +
√
3
x2 = 2 −
√
3 7→ x2 = 2 −
√
3

x2 + bx + c = (x − x1)(x − x2) = x2 − (x1 + x2)x + x1x2.
⇒ −b = x1 + x2 e c = x1x2.
x1 = 2 +
√
3 x2 = 2 −
√
3. Então x1 + x2 = 4 e x1x2 = 1.
id
x1 = 2 +
√
3 7→ x1 = 2 +
√
3
x2 = 2 −
√
3 7→ x2 = 2 −
√
3
σ
x1 = 2 +
√
3 7→ x2 = 2 −
√
3

x2 + bx + c = (x − x1)(x − x2) = x2 − (x1 + x2)x + x1x2.
⇒ −b = x1 + x2 e c = x1x2.
x1 = 2 +
√
3 x2 = 2 −
√
3. Então x1 + x2 = 4 e x1x2 = 1.
id
x1 = 2 +
√
3 7→ x1 = 2 +
√
3
x2 = 2 −
√
3 7→ x2 = 2 −
√
3
σ
x1 = 2 +
√
3 7→ x2 = 2 −
√
3
x2 = 2 −
√
3 7→ x1 = 2 +
√
3

x2 + bx + c = (x − x1)(x − x2) = x2 − (x1 + x2)x + x1x2.
⇒ −b = x1 + x2 e c = x1x2.
x1 = 2 +
√
3 x2 = 2 −
√
3. Então x1 + x2 = 4 e x1x2 = 1.
id
x1 = 2 +
√
3 7→ x1 = 2 +
√
3
x2 = 2 −
√
3 7→ x2 = 2 −
√
3
σ
x1 = 2 +
√
3 7→ x2 = 2 −
√
3
x2 = 2 −
√
3 7→ x1 = 2 +
√
3
x2 + x1 = 4 e x2x1 = 1.

x2 + bx + c = (x − x1)(x − x2) = x2 − (x1 + x2)x + x1x2.
⇒ −b = x1 + x2 e c = x1x2.
x1 = 2 +
√
3 x2 = 2 −
√
3. Então x1 + x2 = 4 e x1x2 = 1.
id
x1 = 2 +
√
3 7→ x1 = 2 +
√
3
x2 = 2 −
√
3 7→ x2 = 2 −
√
3
σ
x1 = 2 +
√
3 7→ x2 = 2 −
√
3
x2 = 2 −
√
3 7→ x1 = 2 +
√
3
x2 + x1 = 4 e x2x1 = 1. G(p(x), Q) = {id, σ} = Z/2Z

f(x) = x4
− 10x2
+ 1

f(x) = x4
− 10x2
+ 1
Raı́zes:
x1 =
√
2 +
√
3

f(x) = x4
− 10x2
+ 1
Raı́zes:
x1 =
√
2 +
√
3
x2 =
√
2 −
√
3

f(x) = x4
− 10x2
+ 1
Raı́zes:
x1 =
√
2 +
√
3
x2 =
√
2 −
√
3
x3 = −
√
2 +
√
3

f(x) = x4
− 10x2
+ 1
Raı́zes:
x1 =
√
2 +
√
3
x2 =
√
2 −
√
3
x3 = −
√
2 +
√
3
x4 = −
√
2 −
√
3

f(x) = x4
− 10x2
+ 1
Raı́zes:
x1 =
√
2 +
√
3
x2 =
√
2 −
√
3
x3 = −
√
2 +
√
3
x4 = −
√
2 −
√
3
G(f(x), Q) = {id, σ1, σ2, σ3}

f(x) = x4
− 10x2
+ 1
Raı́zes:
x1 =
√
2 +
√
3
x2 =
√
2 −
√
3
x3 = −
√
2 +
√
3
x4 = −
√
2 −
√
3
G(f(x), Q) = {id, σ1, σ2, σ3}
id =

x1 x2 x3 x4
x1 x2 x3 x4


f(x) = x4
− 10x2
+ 1
Raı́zes:
x1 =
√
2 +
√
3
x2 =
√
2 −
√
3
x3 = −
√
2 +
√
3
x4 = −
√
2 −
√
3
G(f(x), Q) = {id, σ1, σ2, σ3}
id =

x1 x2 x3 x4
x1 x2 x3 x4

σ1 =

x1 x2 x3 x4
x3 x4 x1 x2


f(x) = x4
− 10x2
+ 1
Raı́zes:
x1 =
√
2 +
√
3
x2 =
√
2 −
√
3
x3 = −
√
2 +
√
3
x4 = −
√
2 −
√
3
G(f(x), Q) = {id, σ1, σ2, σ3}
id =

x1 x2 x3 x4
x1 x2 x3 x4

σ1 =

x1 x2 x3 x4
x3 x4 x1 x2

σ2 =

x1 x2 x3 x4
x2 x1 x4 x3


f(x) = x4
− 10x2
+ 1
Raı́zes:
x1 =
√
2 +
√
3
x2 =
√
2 −
√
3
x3 = −
√
2 +
√
3
x4 = −
√
2 −
√
3
G(f(x), Q) = {id, σ1, σ2, σ3}
id =

x1 x2 x3 x4
x1 x2 x3 x4

σ1 =

x1 x2 x3 x4
x3 x4 x1 x2

σ2 =

x1 x2 x3 x4
x2 x1 x4 x3

σ3 =

x1 x2 x3 x4
x4 x3 x2 x1


Grupo de Galois de um Polinômio

Seja f um polinômio de grau n com coefientes em Q.

A = {x1, . . . , xn} suas raı́zes.

Sn = {α : A → A | α é permutação}

G(f, Q) ≤ Sn

G(f, Q) ≤ Sn
Teorema (Galois) O polinômio f é resolúvel por radicais se, e somente
se, o grupo de Galois G(f, Q) é um grupo solúvel.

G(f, Q) ≤ Sn
Sn é solúvel para n ≤ 4 =⇒

G(f, Q) ≤ Sn
existência das fórmulas de Bhaskara, Cardano e Ferrari.

G(f, Q) ≤ Sn
existência das fórmulas de Bhaskara, Cardano e Ferrari.
Sn não é solúvel para n ≥ 5.

Novas Perspectivas na Teoria de Galois

Abordagem Moderna: Seja K/F uma extensão de corpos.

G(K/F) := {σ : K → K | σ automorfismo e σ(a) = a, para todo a ∈ F}

O Teorema Fundamental da Teoria de Galois

O Teorema Fundamental da Teoria de Galois estabelece uma bijeção
entre os subcorpos F

entre os subcorpos F ⊂ L ⊂ K e os subgrupos de G(K/F).

Teoria de Galois Inversa

Teoria de Galois Inversa
Determinação do grupo de Galois de extensões infinitas.

Bibliografia
[1] BRUSAMARELLO, R. Equações Algébricas, I Colóquio Regional
da Região Centro-Oeste, UFMS, 2009.
[2] EVES, Howard. Introdução a História da Matemática, Sunder
Series, 1953.
[3] GARBI, G.G. O Romance das Equações Algébricas, Editora
Livraria da Fı́sica. 2a Edição, São Paulo, 2007.
[4] STEWART, I. Galois Theory, 3a Edição, Chapman Hall/CRC,
Boca Raton, London, New Yorq, Washington, 2004.

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