O documento discute uma dúvida sobre congruência modular. A solução mostra que (x^y)==(x^( y mod(p-1)*(q-1) ))(mod n) se p e q forem primos e n=p*q. Além disso, apresenta outras relações congruentes como x^(p*q) + x == x^p + x^q (mod p*q).

1. ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE:
QUESTÕES PUC-RIO - CONGRUÊNCIA
ClAudio Buffara – Rio de Janeiro

2. Hoje uma dúvida interessante postada na lista PUC-RIO sobre congruência

3. DÚVIDA
Ei pessoal talvez esse não seja tão trivial:
Seja a^b("a" elevado a "b") , a==b(mod n)("a" é congruente a "b" módulo n) e "j
mod c" o resto da divisão de "j" por "c".
Seja x,y,p,q e n inteiros ,"n=p*q" e "p" e "q" são primos.
Prove que:
(x^y)==(x^( y mod[p-1]*[q-1] ) )(mod n)

4. SOLUÇÃO
se p = 3 e q = 5, então (p-1)*(q-1) = 8 (e nao 12....)
tomando x = 6 e y = 8, teremos mdc(x,p*q) = 3 e y mod (p-1)*(q-1) = 0
x^y = 6^8 = 1.679.616 = 111.974*15 + 6 == 6 (mod 15)
e
x^0 = 1 == 1 (mod 15)
Por outro lado, um resultado parecido que vale para um inteiro x qualquer é o
seguinte (p e q são primos distintos):
x^(p*q) + x == x^p + x^q (mod p*q)

5. Além disso, também vale:
x^(p+q) + x^2 == x^(p+1) + x^(q+1) (mod p*q)
Isso sem falar que:
p^(q-1) + q^(p-1) == 1 (mod p*q)
Confira a discussão completa em:
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200303/msg00506.html