Um problema bem interessante publicado na lista PUC-RIO, Confira a solução da questão.

1. ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES
PUC-RIO - INTEGRAIS - FUNÇÃO ANALÍTICA
ClAudio Buffara – Rio de Janeiro

2. Um problema bem interessante publicado na lista PUC-RIO, Confira a solução
da questão.

3. DÚVIDA
Topei com este problema:
"Sejam a,b pert R, a > 0, b > 0 e consideremos a elipse g : t pert [0,2pi] ->
acost + isent pert C. Calcular de duas formas diferentes a integral Int_linha
[sobre g] dz/z e deduzir que Int [0, 2pi] (dt/(acost)^2 + (bsent)^2) = 2pi/ab"
obs: Int_linha é integral de linha se não ficou claro.
Bom, fique claro que no curso não vimos singularidades, séries de Laurent e
resíduos. Se a única maneira de resolver este problema for lançando mão
destas ferramentas por favor alguém me avise.

4. Eu comecei assim:
Considere: g[b] a circunferência de centro na origem e raio b orientada no
sentido anti horário, V o complementar de uma disco fechado centrado na
origem com raio estritamente menor que b e a função f, dada por f(z) = 1/z.
Temos evidentemente que V é aberto e f é holomorfa em V.
Como g e g[b] são V-homológicas vale o teorema de Cauchy e portanto
Int_linha [sobreg]dz/z = Int_linha[sobre g[b]dz/z =
Int[0,2pi]((b*i*e^it)/b*e^it))dt = 2pi*i
Bom, nem sei se este resultado está correto, mas a partir daí eu não tenho
nenhuma ideia para continuar. Agradeço qualquer ajuda/sugestão.

5. SOLUÇÃO
Sugestão:
Considere a integral do campo de vetores
F: R^2 - {0} -> R^2 dado por ( -y/(x^2+y^2) , x/(x^2+y^2) )
sobre o caminho g: [0,2pi] -> R^2 dado por g(t) = (acos(t),bsen(t))
Como g é de classe C^infinito, a integral será igual a:

6. Integral(0...2pi) <f(g(t)),g'(t)>dt, onde < , > é o produto interno usual.
Fazendo z = x + iy, expressando dz/z em função de x e y e olhando pra parte
imaginária desta diferencial, você vai ver que o campo F não foi tirado da
cartola. No mais, você está certo em afirmar que Integral(C) dz/z = i*2pi, onde
C é qualquer curva fechada contendo a origem em seu interior.
Confira a discussão completa em:
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200506/msg00287.html