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  1. 1. Aluno: Prontuário: Data: 02/04/2014 Professor: Renato Mello (rmello@gmail.com) Disciplina: Fundamentos de Matemática (FMT T1) Prova 1 Apresente sempre cálculos ou justicativas, a menos nas questões/itens marcados com um asterisco (*). Alunos que colarem receberão nota zero. Resolva os exercícios abaixo. Q1. (2,0) Considere as proposições abaixo. X: Hoje é sexta-feira S: Hoje é segunda-feira D: Amanhã será dia de diversão P: Hoje é dia de prova C: Hoje é dia de cerveja F: Hoje é um dia feliz (a) *Escreva as frases abaixo na forma de fórmulas envolvendo os símbolos de X, D, C, S, P, F e os conectivos. i. (0,5) Hoje é dia de prova porém amanhã será dia de diversão. ii. (0,5) Amanhã será dia de diversão, já que hoje é sexta-feira de prova e não é dia de cerveja. (b) *Traduza as fórmulas abaixo para a língua portuguesa (escreva por extenso): i. (0,5) F ↔ ∼ P ∧ (X ∨ C) ii. (0,5) X → C ∧ ∼ S Q2. (5,0) Considere as fórmulas: P(p, q) = p ∧ (p → q) → q Q(p, q) = (p ∧ q) ∨ ∼(p ∨ q) R(p, q) = p ↔ q (a) (3,0) Construa as tabelas-verdade de P, Q e R. (b) (1,0) Classique as fórmulas acima como tautologia, contradições ou contingências. (c) (1,0) Quais das fórmulas acima são equivalentes? Q3. (2,0) Considere as funções f(x) = x+1 5 , g(x) = 4 √ x e h(x) = x4 . (a) (0,5) *Quais são os domínios dessas funções? E as imagens? (b) (0,5) *Quais dessas funções são injetivas? E sobrejetivas? E bijetivas? (c) (0,5) Determine a inversa da função f. (d) (0,5) As funções g e h são inversas? Como poderíamos modicar uma delas, sem alterar suas fórmulas, para que elas se tornassem inversas? Q4. (2,0) Classique as fórmulas abaixo como proposições ou sentenças abertas. Quando se tratar de uma proposição, diga qual o seu valor lógico. Quando se tratar de uma sentença aberta, classique como unária, binária, etc (isto é, diga de quantas variáveis ela depende). Considere o domínio dos números reais. (a) (0,5) ∃a ∃b x (ax = b); (c) ∃x ∀z [(x + 5y = z + w) ∧ (−3x − 6y = z − w) ∨ (x = w)]; (b) (0,5) ∃x (x + y = 10); (d) ∃! x (x2 + 6x + 9 = 0). Q5. (1,0) Sejam A = x 3x x + 1 2x e B = 2 3 1 0 . (0,5) Calcule o produto AB e, a seguir, (0,5) determine x para que a matriz AB seja triangular superior. BOA PROVA!
  2. 2. Soluções Q1. (a) i. (0,5) P ∧ D ii. (0,5) (P ∧ X ∧ ∼ C) → D (b) i. (0,5) Hoje é um dia feliz se e somente se não for dia de prova e for sexta-feira ou dia de cerveja. ii. (0,5) Se hoje for sexta-feira, então é hoje dia de cerveja e não é segunda-feira. Q2. (a) (1,0) p q p → q p ∧ (p → q) p ∧ (p → q) → q F F V F V F V V F V V F F F V V V V V V (1,0) p q p ∧ q p ∨ q ∼(p ∨ q) (p ∧ q) ∨ ∼(p ∨ q) F F F F V V F V F V F F V F F V F F V V V V F V (1,0) p q p ↔ q F F V F V F V F F V V V (b) (1,0) P é uma tautologia. Q e R são contingências. (c) (1,0) Q e R são equivalentes. Q3. (a) (0,5) Dom f = R, Dom g = R+, Dom h = R, Im f = R, Im g = R+, Im h = R+ (b) (0,5) São injetivas f e g. É sobrejetiva apenas f. É bijetiva apenas f. (c) (0,5) Teremos y = f(x) y = x + 1 5 Trocando x por y: x = y + 1 5 y + 1 = 5x y = 5x − 1 Logo, f−1 (x) = 5x − 1. (d) (0,5) As funções g e h não são inversas, pois: g(h(x)) = 4 h(x) = 4 √ x4 = |x| Deveríamos ter g(h(x)) = x ∀x ∈ R e h(g(x)) = x ∀x ∈ R+. Para que se tornem inversas, basta alterar o domínio de h e os contradomínios de g e h.
  3. 3. Q4. (a) (0,5) Proposição verdadeira. Ela pode ser refraseada da seguinte forma: Existem coecientes a e b que tornam a equação ax = b impossível na variável x. Essa armação é verdadeira, pois basta escolher para a o valor 0 (zero) e para b qualquer valor real não-nulo, por exemmplo 1. Nesse caso a equação ca 0x = 1, que é evidentemente impossível. (b) (0,5) Sentença aberta unária. (c) (0,5) Sentença aberta binária. (d) (0,5) Proposição verdadeira. Ela pode ser refraseada da seguinte forma: Existe uma única solução para a equação do segundo grau x2 + 6x + 9 = 0. É fácil vericar que se trata de uma verdade, pois o discriminante é ∆ = 0, assim a equação possui duas raízes reais e iguais, ou seja, apenas uma solução. Q5. (0,5) AB = x 3x x + 1 2x 2 3 1 0 = 2x + 3x 3x + 0 2(x + 1) + 2x 3(x + 1) + 0 = 5x 3x 4x + 2 6x + 6 (0,5) Para que a matriz seja triangular superior, será preciso que o termo abaixo da diagonal principal seja nulo, ou seja, 4x + 2 = 0. Resolvendo, obtemos x = −1 2 .

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