O documento discute como determinar se uma função discreta do tipo y = (ax + b)/(cx + d) tem pares (x,y) naturais para valores inteiros de x e y, dado valores conhecidos para os parâmetros a, b, c e d. A solução proposta testa dois casos - se c é igual a zero ou não - e fornece procedimentos algorítmicos para encontrar pares (x,y) ou determinar que nenhum existe dentro de intervalos finitos de possíveis valores para x.

1. ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO -
FATORAR! PRIMALIDADE! FUNÇÃO DISCRETA! TUDO SE RELACIONA?
ClAudio Buffara – Rio de Janeiro

2. Toda semana compartilho com vocês dúvidas publicadas na lista PUC-RIO,
para dividir conhecimento e agregar ainda mais experiências.

3. DÚVIDA
Bem eu tô com uma relação interessante que dá para associar a primalidade
de um número, a fatoração de um número qualquer. Acho que não é nada
especial, mas estou precisando de uma ajuda! Eu quero analisar a seguinte
função: y= (c1 -10*x*c2)/(100*x+10c3)
É o seguinte, eu tenho: c1,c2,c3 mas não x, nem y. Logo é uma função em x e y.
Quero saber quando essa função vai ter um y natural para um x também
natural?
Tem algum procedimento, raciocínio, fórmula para dizer se essa função tem
par (x,y) natural? Ou alguma função que retorne se uma função tem par (x,y)
natural num intervalo qualquer?

4. SOLUÇÃO
Pelo que eu entendi, você tem uma expressão do tipo: y = (ax + b)/(cx + d)
com a, b, c, d inteiros conhecidos e quer saber se existe algum inteiro positivo
x tal que y seja inteiro positivo.
Se esse for o caso, faça o seguinte:
Caso 1: c = 0
Nesse caso, d tem que dividir ax + b, ou seja, ax == -b (mod d).
Se mdc (a,d) dividir b, então a solução será única no intervalo [1,d/mdc(a,d)].
Chame-a de x_0.
O conjunto-solução será: {x_0 + md | m >= 0, a(x_0 + md)/c > 0 e ambos são
inteiros}

5. Caso 2: c <> 0
Re-escreva a expressão como y = (1/c)*(a + (bc - ad)/(cx + d)).
Pra y ser inteiro positivo, é necessário que cx + d dívida bc - ad.
Assim, teste os valores inteiros de x no intervalo [1,b-(a+1)d/c]
(se b-(a+1)d/c < 1, então não existe solução).
De qualquer forma, o número de candidatos a solução será finito. Para cada x
candidato, teste pra ver se c divide (a + (bc-ad)/(cx+d)). Se algum dividir e o
quociente for positivo, você tenha achado o y.
Confira a discussão completa em:
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200511/msg00055.html