1) O documento discute uma questão sobre equações diofantinas, especificamente mostrar que todo número natural c maior ou igual a a.b pode ser escrito na forma ax + by e que ab-a-b não pode ser escrito desta forma. 2) A solução explica que como mdc(a,b)=1, a equação ax + by = c tem soluções inteiras para todo c inteiro. 3) A distância entre pontos inteiros adjacentes na reta ax + by = c é raiz(a2 + b2) e a distância entre os pontos de intersecção

1. ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE:
QUESTÕES PUC-RIO - EQUAÇÃO DIOFANTINA
ClAudio Buffara – Rio de Janeiro

2. Para quem gosta e estuda matemática a lista PUC-RIO é um forum onde
compartilhamos dúvidas e soluções interessantes, enrriquecendo o
aprendizado.

3. DÚVIDA
Poderiam tentar demonstrar isso pra mim?
Sejam a, b números naturais diferentes de 0 e coprimos.
a) Mostre que todo natural c=>a.b(maior ou igual) se escreve na forma ax + by
com x, y naturais;
b) Mostre que ab-a-b não se escreve na forma ax + by, com x, y naturais.

4. SOLUÇÃO
Sabemos que por ser mdc (a,b) = 1, ax + by = c tem soluções inteiras para todo
c inteiro.
Isso quer dizer que, para cada c inteiro, a reta ax + by = c tem pontos inteiros
(ou seja, com ambas as coordenadas inteiras), os quais são igualmente
espaçados.
Se um ponto é (m,n), os pontos adjacentes serão (m-b,n+a) e (m+b,n-a), de
modo que a distância entre dois pontos inteiros adjacentes é raiz(a^2+b^2).

5. Agora, os pontos de intersecção da reta com os eixos coordenados são:
(0,c/b) e (c/a,0), de modo que a distância entre eles é:
raiz((c/b)^2+(c/a)^2) = (c/ab)*raiz(a^2 + b^2).
Confira a discussão completa em:
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200502/msg00021.html