(I) O documento discute duas equações onde a soma de variáveis é igual a um valor total, com restrições sobre os valores das variáveis. (II) A segunda equação possui mais soluções que a primeira porque a função que conta o número de soluções é não-decrescente até metade do valor total e depois não-crescente. (III) Isso pode ser provado através de uma correspondência um-para-um entre as soluções de cada equação próxima.
3. DÚVIDA
Falando novamente sobre o assunto, vejam as equações:
(I): x1 + x2 + x3 + x4 = 27 (o maior valor para incógnitas é 9 e todos os valores
são naturais)
(II): x1 + x2 + x3 + x4 = 18 (o maior valor para incógnitas é 9 e todos os
valores são naturais)
Há como provar que a equação (II) possui mais soluções que (I) sem
resolvê-las pelo método exposto por você? Dá para generalizar este problema,
ou seja, comparar 2 equações destes tipos (com cotas superior) e dizer qual a
que possui mais soluções?
4. SOLUÇÃO
Sim. Seja f_{n,a}(k) o número de soluções de x1 + ... + xn = k, 0 <= xi <= a.
Então f é não-decrescente de 0 até na/2 e não-crescente de na/2 até na; se n
> 1 podemos trocar "não-decrescente" e "não-crescente" por "estritamente
crescente" e "estritamente decrescente", respectivamente.
Acho que basta provar que para todo inteiro k tal que 0 <= k < na/2, existe
uma sobrejeção do conjunto das soluções de x1 + .. + xn = k + 1 sobre o
conjunto das soluções de x1 + ... + xn = k.
5. A sobrejeção é obtida facilmente:
Seja (a_1,a_2,...,a_n) uma solução de x_1 + ... + x_n = k.
Se a_1 < a, então (a_1 + 1,a_2,...,a_n) é uma solução de:
x1 + ... + xn = k + 1.
Caso contrário, seja j o menor índice tal que a_j < a. Então:
(a_1,...,a_j + 1,...,a_n) é solução de x1 + ... + xn = k + 1.
6. O caso em que k > na/2 é tratado mediante uma mudança de variáveis similar
a que o Shine usou: yi = a - xi. Esta mudança de variáveis estabelece uma
bijeção entre o conjunto das soluções de:
x1 + ... + xn = k
e o das soluções de:
x1 + ... + xn = na - k,
para 0 <= k <= na/2.
Confira a discussão completa em:
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200409/msg00592.html
