FUNÇÃO QUADRÁTICA
Chama-se função quadrática, ou
função polinomial do 2º grau, qualquer
função f de IR em IR dada por uma lei da
forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c
são números reais e a ≠ 0.

VEJAMOS ALGUNS EXEMPLOS DE
FUNÇÃO QUADRÁTICAS:

f(x) = 3x2 - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1

f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1

f(x) = - x2 + 8x, onde a = -1, b = 8 e c = 0

f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0

O GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL
DO 2º GRAU, Y = AX2 + BX + C, COM A ≠ 0, É
UMA CURVA CHAMADA PARÁBOLA

Trajetória de um salto de ginástica
olímpica

VAMOS CONSTRUIR O GRÁFICO DA FUNÇÃO
Y = X2 + X
x
y
-3
6
-2
2
-1
0
-½
-¼
0
0
1
2
2
6

Ao construir o gráfico de uma função
quadrática y = ax2 + bx + c,
notaremos sempre que:
•se a > 0, a parábola tem a
concavidade voltada para cima;
•se a < 0, a parábola tem a
concavidade voltada para baixo;

EXERCÍCIOS

1-Construa o gráfico das funções abaixo no papel
milimetrado:

F(x) = x² - 4

F(x) = 1 – x²

2-Confira seus gráficos no geogebra:

ZEROS OU RAÍZES
Chama-se zeros ou raízes da função
polinomial do 2º grau f(x) = ax2 + bx + c , a
≠ 0, os números reais x tais que f(x) = 0.
Então as raízes da função f(x) = ax2 + bx + c
são as soluções da equação do 2º grau
ax2 + bx + c = 0, as quais são dadas pela
chamada fórmula de Bháskara:

A quantidade de raízes reais de uma
função quadrática depende do valor obtido
para o radicando ∆ = b² - 4.a.c, chamado
discriminante, a saber:
 Quando
∆ é positivo, há duas raízes reais
e distintas;
 Quando ∆ é zero, há só uma raiz real;
 quando ∆ é negativo, não há raiz real

Duas raízes diferentes

Duas raízes iguais

Nenhuma raiz real

EXERCÍCIOS

1-Calcule os zeros das seguintes funções:
a)f (x) = x² – 3x – 10
b)f (x) = – x² – x + 12

2-Confira as raízes(ou zeros) no geogebra:

Exercícios




1-Represente graficamente as funções no papel milimetrado:
a)f(x) = x² + 5x +4
b)f(x) = - x² + 2x
2-Sendo f(x) = 2x² - 3x +1 calcule:
a)f(0)
b)f(1)
c)f(2)
d)f(5) – f(-5)

3-Determine o valor de m para que f(x)= (2m -5)x² +3x tenha
concavidade voltada para cima.

4-Calcule o valor de m para que f(x) = -4x² +5x – m +1 tenha
uma única raiz real

Coordenadas do vértice da
parábola
Em
qualquer caso, as coordenadas de V são (-b / 2.a , - ∆ / 4.a)
Veja os gráficos:

Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada
para cima e um ponto de mínimo V

Quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada
para baixo e um ponto de máximo V.

EXERCÍCIOS

1-Encontre as coordenadas do vértice para cada
função quadrática em seguida confira no geogebra:

a) y = x² - 4x + 3

b) y = -x² + 2x + 3

CONSTRUÇÃO DA PARÁBOLA
É POSSÍVEL CONSTRUIR O
GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO DO 2º
GRAU SEM MONTAR A TABELA DE
PARES (X, Y), MAS SEGUINDO
APENAS O ROTEIRO DE
OBSERVAÇÃO SEGUINTE:


O valor do coeficiente a define a concavidade da
parábola;


O valor do coeficiente a define a concavidade da
parábola;

Os zeros definem os pontos em que a parábola
intercepta o eixo dos x;


O valor do coeficiente a define a concavidade da
parábola;

Os zeros definem os pontos em que a parábola
intercepta o eixo dos x;

O vértice V indica o ponto de mínimo (se a > 0), ou
máximo (se a< 0);

O
valor do coeficiente a define a
concavidade da parábola;
 Os
zeros definem os pontos em que a
parábola intercepta o eixo dos x;
O
vértice V indica o ponto de mínimo
(se a > 0), ou máximo (se a< 0);
A
reta que passa por V e é paralela ao eixo
dos y é o eixo de simetria da parábola;


O valor do coeficiente a define a concavidade da
parábola;

Os zeros definem os pontos em que a parábola
intercepta o eixo dos x;

O vértice V indica o ponto de mínimo (se a > 0), ou
máximo (se a< 0);

A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos y é o
eixo de simetria da parábola;

Para x = 0 , temos y = a · 02 + b · 0 + c = c; então (0, c) é
o ponto em que a parábola corta o eixo dos y.

Construa os gráficos abaixo e em seguida
confira no geogebra:

F(x) = x² – 2x +1

F(x) = x² - 2x

F(x) = x² + 2x + 4

SOLUÇÃO:
a)
a=1 ,concavidade para cima
 ∆=0 , x’ = x” =1
 V=(1,0)
b)
 a=1 ,concavidade voltada para cima
 ∆=4 >0 ,x’=0 e x”=2
 V=(2,-1)
c)
 a=1 ,concavidade voltada para cima
 ∆=-12 <0 , não tem raiz real
 V=(-1,3)
