O documento apresenta os principais conceitos sobre logaritmos, incluindo a definição, propriedades, mudança de base e resolução de equações e inequações logarítmicas.

2. Para aproveitar 100%
dessa aula você precisa
saber:
• Potenciação e Radiciação
• Introdução às Funções
• Função Afim
• Função quadrática
• Inequações do 1º e do 2º graus
• Função Exponencial

3. O que você
sabe sobre
logaritmos?

4. Para que
serve o
Logaritmo?

5. Logaritmo
Logaritmo de a na base b é o número
real x, tal que bx
= a, com a e b positivos e
b diferente de 1.
Exemplos:
abxa x
b =⇔=log
3828log)
2939log)
2
3
=⇔=⇔=
=⇔=⇔=
xxb
xxa
x
x

6. Logaritmo
abxa x
b =⇔=logdefinição
a > 0 e b > 0
b ≠ 1

7. Tente fazer
sozinho!
125log)
6log)
:
2,0
36
b
a
Calcule

8. Solução
( ) ( )
( )
4
1
2
1
2
66
66
636
6log)
2
12
2
12
36
=
=
=
=
=
=
x
x
xa
x
x
x
3
55
5
5
1
5
10
2
1252,0
125log)
3
3
3
2,0
−=
=
=





=





=
=
−
x
xb
x
x
x
x

9. Voltando a definição de logaritmo, temos
que x é o logaritmo, b é base e a é o
logaritmando.
xab =log
logaritmo
base
logaritmando
Dizemos que x é o logaritmo de a na base b

10. elementos
logaritmo
base
logaritmando
Logaritmo
abxa x
b =⇔=logdefinição
a > 0 e b > 0
b ≠ 1

11. Exercício
Calcule:
a) O logaritmo de 4 na base 1/8.
b) O número cujo logaritmo em base 3 vale
-2.
c) A base na qual o logaritmo de ¼ vale -1.

12. Exercício
Calcule:
a) O logaritmo de 4 na base 1/8.
b) O número cujo logaritmo em base 3 vale
-2.
c) A base na qual o logaritmo de ¼ vale -1.

13. Solução
a) O logaritmo de 4 na base 1/8.
( )
3
2
23
22
28
4
8
1
4log
3
2
8
1
−=
=−
=
=
=
=
−
−
x
x
x
x
x
x

14. b) O número cujo logaritmo em base 3 vale -2.
c) A base na qual o logaritmo de ¼ vale -1.
9
1
3
2log
2
3
=
=
−=
−
x
x
x
4
4
1
1log
1
4
1
=
=
−=
−
x
x
x

15. 2) Determine o domínio da função:
)65(log)( 2
1 +−= + xxxf x

16. Solução
Restrições para a base
x + 1 > 0 e x + 1 ≠ 1
x > -1 x ≠ 0
Restrições para o logaritmando
x2
– 5x + 6 > 0
x2
– 5x + 6 = 0
x1 = 2 e x2 = 3
S = ] -1, 0 [ U ] 0 , 2 [ U ] 3 , +∞ [
2 3
++
-
-1
+
-
0
-1 0 2 3

17. Consequências da definição
1ª) , pois a0
= 1.
2ª) , pois a1
= a.
3ª) , pois an
= an
.
4ª)
5ª)
01log =a
1log =aa
nan
a =log
na na
=log
yxyx aa =⇔= loglog

18. consequências
na na
=log
01log =a
yxyx aa =⇔=loglog
nan
a =log
0log =aa
elementos
logaritmo
base
logaritmando
Logaritmo
abxa x
b =⇔=logdefinição
a > 0 e b > 0
b ≠ 1

19. Exercício
Classifique as sentenças como verdadeiras
ou falsas:
01log)
01log)
55log)
11log)
5
5
1
5
=
=
=
=
d
c
b
a
52)
52)
73log)
33log)
2log
5log
7
3
7
7
5
2
=
=
=
=
h
g
f
e

20. Solução
01log)
15log)
55log)
11log)
5
5
1
5
=
=
=
=
d
c
b
a
falsa, pois 15
= 1
verdadeira, pois 51
= 5
falsa, pois 51
= 5
verdadeira, pois 50
= 1
falsa, pois 73
≠ 37
verdadeira
falsa52)
52)
73log)
33log)
2log
5log
7
3
7
7
5
2
=
=
=
=
h
g
f
e
verdadeira

21. Sistemas de Logaritmos
 Logaritmo decimal: apresenta base 10.
 Logaritmo neperiano: apresenta base e.
xx loglog10 =
xxe lnlog =

22. sistemas
decimal
neperiano
base e
ln
consequências
na na
=log
01log =a
yxyx aa =⇔=loglog
nan
a =log
0log =aa
elementos
logaritmo
base
logaritmando
Logaritmo
abxa x
b =⇔=logdefinição
a > 0 e b > 0
b ≠ 1

23. Qual é o valor de cada uma das seguintes
expressões?
Exercícios
1ln2ln3ln)
10log1log5log)
32
35
+−
−+
eeb
a

24. Solução
10120.2
3
1
.32
1log2log3log
1ln2ln3ln)
0101
10log1log5log)
3
12
32
35
=+−=+−
=+−
=+−
=−+
=−+
eee ee
eeb
a

25. Propriedades do logaritmo
1ª) Logaritmo do produto
Exemplo:
( ) cbcb aaa loglog.log +=
( )
( ) 32125.5log
25log5log25.5log
5
555
=+=
+=

26. Propriedades do logaritmo
2ª) Logaritmo do quociente
Exemplo:
cb
c
b
aaa logloglog −=





( )
( ) 12log2,0log
10log2log
10
2
log2,0log
5 −=
−=





=

27. Propriedades do logaritmo
3ª) Logaritmo da potência
Exemplo:
( ) bcb a
c
a loglog =
aa 7
10
7 log10log =

28. sistemas
decimal
neperiano
base e
ln
consequências
na na
=log
01log =a
yxyx aa =⇔=loglog
nan
a =log
0log =aa
elementos
logaritmo
base
logaritmando
Logaritmo
abxa x
b =⇔=logdefinição
a > 0 e b > 0
b ≠ 1
potência
quociente
produto cbbc aaa loglog)(log +=
bcb a
c
a loglog =
( ) cbcb aaa logloglog −=propriedades

29. Tente fazer sozinho!
Sabendo que log 2 = a e log 3 = b, calcule,
em função de a e b:
=
=
=
=
=
=
3
8,1log)
4
1log)
30log)
5log)
5,1log)
6log)
f
e
d
c
b
a

30. Tente fazer sozinho!
Sabendo que log 2 = a e log 3 = b, calcule,
em função de a e b:
=
=
=
=
=
=
3
8,1log)
4
1log)
30log)
5log)
5,1log)
6log)
f
e
d
c
b
a

31. Solução
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )12
3
1
10log3log2log
3
1
10
3.2
log
3
1
10
18
log
3
1
8,1log
3
1
8,1log8,1log)
222log1log2
2
1
log2
2
1
log
4
1log)
110log3log10.3log30log)
12log10log
2
10
log5log)
2log3log
2
3
log
10
15
log5,1log)
3log2log3.2log6log)
2
2
3
2
3
1
−+=−+=






=





===
−=−=−=





=





=
+=+==
−=−=





=
−=−=





=





=
+=+==
ba
f
aae
bd
ac
abb
baa

32. Para mudar para base c, usaremos
a fórmula:
Exemplo: Mudando para base 10.
Mudança de base
a
b
b
c
c
a
log
log
log =
balog
12log2
2log
12log
12log2 =

33. 01log =a
01log =a
sistemas
decimal
neperiano
base e
ln
consequências
na na
=log
01log =a
yxyx aa =⇔=loglog
nan
a =log
0log =aa
elementos
logaritmo
base
logaritmando
Logaritmo
abxa x
b =⇔=logdefinição
a > 0 e b > 0
b ≠ 1
potência
quociente
produto cbbc aaa loglog)(log +=
bcb a
c
a loglog =
( ) cbcb aaa logloglog −=propriedades
b
a
a
c
c
b
log
log
log =
Mudança
de base

34. Exercício 1
Calcule o valor de:
5log.4log.3log 354

35. Solução
1
3log
5log
.
5log
4log
.
4log
3log
5log.4log.3log 354
=
=

36. Exercício 2
342e)
324d)
322c)
3-4b)
32-4a)
:éxdevaloroentão,1log)2(log
e2xreal,númerouméxSeSP)-(Fuvest
42
+
+
+
=−−
>
xx

37. Solução
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
44
log
2log44log
2log2log
2log2log2
1
2
log
2log
1
4log
log
2log
1log2log
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
42
=




 +−
=−+−
=−−
=−−
=−−
=−−
=−−
x
xx
xxx
xx
xx
x
x
x
x
xx
324
048
444
44
4
44
2
2
2
2
2
2
±=
=+−
+−=
+−
=
+−
=
x
xx
xxx
x
xx
x
xx
Como x > 0, então
resposta letra D.

38. O que vimos nessa aula:
• Definição de logaritmo
• Consequências da definição
• Propriedades do logaritmo
• Mudança de base
• Como resolver equações e inequações
logarítmicas

39. Bibliografia
• Dante, Luiz Roberto – Matemática Contexto
e Aplicações. 4ª edição – 2008. Editora
Ática – SP. Páginas: 224 a 255.
• Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Périgo,
Roberto; Degenszajn, David – Matemática
(volume único). 4ª edição – 2007. Editora
Atual – SP. Páginas: 103 a 131.
• Bianchini, Edwaldo; Paccola, Herval –
Curso de Matemática. 3ª edição – 2003.
Editora Moderna – SP. Páginas: 133 a 154.