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1. MATEMÁTICA
Editora Exato 1
LOGARITMOS
1. DEFINIÇÃO
Dados a, b *
+
∈ R e a 1
≠ .
x
a
log b x a b
= ↔ =
2. ELEMENTOS
log b
a
= x
logaritmando
Logaritmo
base
O logaritmo representa o expoente da base pa-
ra gerar o logaritmando.
Exemplo
E.1) x x 3
2
log 8 x 2 8 2 2 x 3
= ⇒ = ⇒ = ⇒ = .
E.2)
3
x x 2
2
3
log 2 2 x 2 2 2 2 2 x
2
= ⇒ = ⇒ = ⇒ = .
2.2. Conseqüências da Definição
Dados x, b, a 0
> e a 1
≠ .
a
log 1 0
= , pois a0
=1.
a
log a 1
= , pois a1
=a.
m
a
log a m
= , pois am
=am
.
a
log b
a b
= .
a a
log x log b x b
= ⇒ =
2.3. Representações Especiais
O logaritmo na base 10 é escrito sem a ba-
se, isto é, 10
log b log b
= .
O logaritmo na base e (número periano) é
escrito como e
lnb log b
=
2.4. Propriedades Operatórias
Satisfeitas as condições de existência, temos:
P1) logb (ac) = a
logb + c
logb ;
P2) logb 







c
a
= a
logb − c
logb ;
P3) logbam
= m . a
logb ;
P4) a
log
m
1
a
log b
m
b
⋅
= .
2.5. Mudança de Base
O a
log b pode ser escrito em qualquer base
( )
x x 0 e x 1
≠ como a divisão de x
log b e x
log a , ou se-
ja, x
a
x
log b
log b
log b
= (com a 0
e a 1
≠ ).
Exemplo:
E.1) 2
3
2
log 5
log 5
log 3
=
E.2) Calcule o valor de 3
log 2 , sabendo que
10
log 2 0,301
= e 10
log 3 0,477
= .
Resolução:
Mudando o logaritmo para a base 10, temos:
3
log 2 0,301
log 2
log 3 0,477
= =
2.6. Antilogaritmo e Cologaritmo
Define-se como antilog de x na base a como o
logaritmando do logaritmo de b na base a, ou seja,
a a
log b x antilog x b
= ⇔ = .
Define-se como cologaritmo de b na base a
como o oposto do logaritmo de b na base a, ou seja,
a a
colog b log b
= − .
Exemplo:
E.1) 2 2
b antilog 3 log b 3 b 8
= ⇔ = ⇒ = .
E.2) Determine o 2 2
colog 16 log 16 4
= − = − .
2.7. Equações Logarítmicas
Para resolver as equações logarítmicas da
mesma base, usamos o fato de a função logarítmica
ser injetora, ou seja, quando suas imagens são iguais,
então os elementos correspondentes do domínio são
iguais (supondo satisfeitas as condições de existência
dos logaritmos). Em símbolos, temos:
( )
c 1 c 2 1 2 1 2
log x log x x x x , x ,c e c 1
+ +
= ⇔ = ∈ ∈ ≠
R R .
Exemplo:
E.1) Calcule o valor de x na equação
( ) ( )
log x 3 log 2x 5
− = −
Resolução:
Usando a propriedade na equação.
( ) ( )
log x 3 log 2x 5 x 3 2x 5 x 2
− = − ⇒ − = − ⇒ = ,
como x 2
= não satisfaz à condição de existência,
pois o logaritmando se torna negativo, então o con-
junto solução é vazio.
3. LOGARITMOS DECIMAIS
Denomina-se de logaritmo decimal ou de
Brigss a todo logaritmo de base 10. Esses logaritmos
podem ser escritos como abaixo.
log b= c + 0, m
Representa a mantissa (parte
fracionária do logaritmo).
Representa a característica (parte
inteira do logaritmo).
3.1. Cálculo da Característica
Considere o logaritmo logb, em que b está es-
crito na forma decimal.
Centro de Ensino Dias Carneiro
Gov. Eug. Barros - MA 16/09/2014
Professor: José Santos da Silva Turma: A Turno: Vespertino
Aluno(a):

2. 2
Se b 1
, então a característica de log b é
encontrada subtraindo uma unidade do nú-
mero de algarismos que b apresenta em sua
parte inteira.
Exemplo:
E.1) {
4alg
log3478,701 4 1 3
⇒ − =
E.2) {
1 alg
log 2 ,347 c 1 1 0
⇒ = − = .
Se b 1
, então a característica de log b é i-
gual ao oposto do números de zeros que b
apresenta antes do primeiro algarismo não
nulo.
Exemplo:
E.1) {
2 zeros
log 0,0 31 c 2
⇒ = − .
E.2)
4 zeros
log0,000345 c 4
⇒ = −
1
2
3
3.2. Cálculo da Mantissa
É obtida em tabela conhecida como tábua de
logaritmos.
Propriedade: se as representações decimais de
dois números positivos diferem apenas na posição da
vírgula, então os logaritmos possuem a mesma man-
tissa.
Exemplo:
E.1) log 271 = 2 + 0,43297 = 2,43297
E.2) log 2,71 = 0 + 0,43297 = 0,43297
E.3) log 0,0271 = −2 + 0,43297 = −1, 56703
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1 Resolva: 625
log 5
Resolução:
625
log 5 (lê-se log de 5 na base 625)
x
=
Fatorar:
625
125
25
5
1
5
5
5
5
5
4
( )
1
4 2
625 5
1
5 5 4
2
1
8
x
x
x
x
=
/ /
= → =
=
2 A soma 2 2
log 8 log 16
+ .
Resolução:
2
log 8
2 8
2 2
3
x
x
x
x
=
=
=
=
2
4
log 16
2 16
2 2
4
x
x
x
x
=
=
=
=
3 + 4 = 7
3 Qual o valor da expressão 5 3
log 25 log 81
+ ?
Resolução:
5
2
log 25
5 25
5 5
2
x
x
x
x
=
=
=
=
3
4
log 81
3 81
3 3
4
x
x
x
x
=
=
=
=
2 + 4 = 6
EXERCÍCIOS
1 (PUC) Se 2 2
log 512 x
= , então x vale:
a) 6
b) 3/2
c) 9
d) 3
e) 2/3
2 (FESP) A expressão 2 4
log 16 log 32
− é igual a:
a) ½
b) 3/2
c) 1
d) 2
e) 2/3
3 (CESCEM) O valor da expressão
1 0,1
2
log 32 log0,001 log 10 10
+ − é:
a) –13
b) 2
c) –13/2
d) 13/2
e) –19/2
4 A solução da equação ( )
8 8
log x log 3x 2 1
+ − = é i-
gual a:
a) –4/3
b) 1/2
c) –2
d) 2
e) 4/3
3

3. 3
5 Se 2
log x a
= , então 8
log x é igual a:
a) a/3.
b) a/4
c) 2a.
d) 3a.
e) 4a.
6 O produto 9 2 5
log 2 log 5 log 3
⋅ ⋅ é igual a:
a) 0.
b) 1.
c) 1/5.
d) 1/3.
e) 1/2.
7 O valor da expressão 3 25
log 5 log 27
⋅ é:
a) 2/3.
b) 3/2.
c) 2.
d) 3.
e) 1/3.
8 (MACK) O valor de ( )
3 4
2
log log 2 log 3
⋅ é:
a) 2.
b) 1/2.
c) –1/2.
d) –2.
e) 3/2.
9 (FUVEST) Se 2 2
log b log a 5
− = , o quociente
b
a
vale:
a) 10.
b) 25.
c) 32.
d) 64.
e) 128.
10 (UFMT) Sendo 4
x
log 25
3
= , podemos afirmar que
2
log 5 é igual a:
a)
x
3
b)
2x
3
c)
2
x
9
d) 3
x
3
e)
2
3
x
9
11 (FEI-SP) Se log2 a
= e log3 b
= , escrevendo
32
log
27
em função de a e b, obtemos:
a) 2a+b
b) 2a-b
c) 2ab
d)
2a
b
e) 5a-3b
12 (FATEC) A solução da equação
7 5
log 10 log 7 logx 4
⋅ ⋅ = é:
a) 625.
b) 2401.
c) 10000.
d) 710
.
e) 57
.
13 A característica de log2 é:
a) 2.
b) 1.
c) 0.
d) 1.
e) 2 .
14 (PUC) O logaritmo negativo 10
log a 3,415
= − po-
derá ser escrito:
a) 3.415.
b) 4,415 .
c) 3,415 .
d) 4,585 .
e) Nenhuma.
15 (GAMA FILHO) Dado log3 0,47712
= , calcule
log81 log2,43
+
a) 2,29408.
b) 1.01476.
c) 2,01002.
d) 3,65432.
e) 2,41784.
16 (CESCEM) As características, no sistema deci-
mal, de log7, log 0,032, log105
e log0,00010, são,
respectivamente:
a) 1, -1, 6, -3.
b) 1, -1, 5, -3.
c) 0, -1, 5, -4.
d) 0, -2, 5, -4.
e) 7, 0, 5, 0.

4. 4
17 Supondo-se para log 2 o valor aproximado 0,301,
acha-se para log 12,5 o valor:
a) 0,602.
b) 0,398.
c) 0,903.
d) 0,097.
e) 1,097.
GABARITO
1 A
2 B
3 C
4 D
5 A
6 E
7 B
8 D
9 C
10 A
11 E
12 A
13 C
14 D
15 A
16 D
17 E