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Comprimento da Circunferência

Quando medimos os lados de uma região, estamos determinando o valor do seu perímetro. No caso das regiões circulares não
podemos adotar tal metodologia, pois não podemos definir a medida dos lados desse tipo de região. Para determinar a medida do
comprimento de uma região circular, utilizamos a medida de seu raio, mas somente isso não é suficiente.

Devido à relação comprimento/diâmetro nas regiões circulares, conseguimos descobrir um valor constante, aproximadamente igual a
3,14. Esse número irracional ficou conhecido por “pi”, o qual é representado pelo símbolo π. Em qualquer região circular basta
dividirmos o comprimento da mesma, pela medida do diâmetro, que encontraremos o valor correspondente a 3,14 aproximadamente.

Com base nessa descoberta, o comprimento de uma região limitada por uma circunferência é calculada através da expressão
matemática C = 2 * π * r. Por exemplo, se uma região circular possui raio medindo 8 metros, seu comprimento será calculado da
seguinte maneira:




C=2*3,14*8
C=50,24m

A descoberta desse número constante, relacionado às regiões circulares, é atribuída ao matemático grego Arquimedes. Na fórmula,
temos que:

C: comprimento da região circular
π: aproximadamente igual a 3,14
r: medida do raio da região circular.

Exemplos:

a ) Qual o comprimento de uma circunferencia cujo raio mede 8 cm ?

C= 2 *π*r

C= 2*3,14*8

C= 50,24
Medida de um Arco de Circunferência

Dada uma circunferência qualquer de centro O e raio r, iremos marcar dois pontos A e B, os quais dividirão a circunferência em duas
partes denominadas de arco de circunferência. Os pontos A e B são os extremos dos arcos. Caso as extremidades sejam coincidentes,
temos um arco com uma volta completa. Observe a ilustração a seguir:




Nela podemos notar a existência do arco AB e de um ângulo central representado por α. Para cada arco existente na circunferência
temos um ângulo central correspondente, ou seja: med(AÔB) = med(AB). Portanto, o comprimento de um arco depende do valor do
ângulo central.

Na medição de arcos e ângulos usamos duas unidades: o grau e o radiano.

Medidas em Grau

Sabemos que uma volta completa na circunferência corresponde a 360º, se a dividirmos em 360 arcos teremos arcos unitários medindo
1º grau. Dessa forma, enfatizamos que a circunferência é simplesmente um arco de 360º com o ângulo central medindo uma volta
completa ou 360º. Também podemos dividir o arco de 1º grau em 60 arcos de medidas unitárias iguais a 1’ (arco de um minuto). Da
mesma forma podemos dividir o arco de 1’ em 60 arcos de medidas unitárias iguais a 1” (arco de um segundo).

Medidas em Radianos

Dada uma circunferência de centro O e raio R, com um arco de comprimento s e α o ângulo central do arco, vamos determinar a
medida do arco em radianos de acordo com a figura a seguir:




Dizemos que o arco mede um radiano se o comprimento do arco for igual à medida do raio da circunferência. Assim, para sabermos a
medida de um arco em radianos, devemos calcular quantos raios da circunferência são precisos para se ter o comprimento do arco.
Portanto:




Com base nessa fórmula podemos expressar outra expressão para determinar o comprimento de um arco de circunferência:




De acordo com as relações entre as medidas em grau e radiano de arcos, vamos destacar uma regra de três capaz de converter as
medidas dos arcos. Veja:

360º → 2π radianos (aproximadamente 6,28)
180º → π radiano (aproximadamente 3,14)
90º → π/2 radiano (aproximadamente 1,57)
45º → π/4 radiano (aproximadamente 0,785)


medida em       medida em
graus           radianos


x               Α


180             Π



Exemplos de conversões:

a) 270º em radianos




b) 5π/12 em graus
Medidas Entre Arcos e Cordas de uma Circunferência

Uma CORDA de uma CIRCUNFERÊNCIA é um segmento de reta que une dois pontos da circunferência. Se os extremos de uma corda
não são extremos de um diâmetro eles são extremos de dois arcos de circunferência sendo um deles um arco menor e o outro um arco
maior. Quando não for especificada, a expressão arco de uma corda se referirá ao arco menor e quanto ao arco maior sempre teremos
que especificar.

OBSERVAÇÕES

Se um ponto X está em um arco AB e o arco AX é congruente ao arco XB, o ponto X é o ponto médio do arco AB. Além disso, qualquer
segmento de reta que contém o ponto X é um segmento bissetor do arco AB. O ponto médio do arco não é o centro do arco, o centro
do arco é o centro da circunferência que contém o arco.

Para obter a distância de um ponto O a uma reta r, traçamos uma reta perpendicular à reta dada passando pelo ponto O. O ponto T
obtido pela interseção dessas duas retas é o ponto que determinará um extremo do segmento OT cuja medida representa a distância
entre o ponto e a reta.

Em uma mesma circunferência ou em circunferências congruentes, cordas congruentes possuem arcos congruentes e arcos
congruentes possuem cordas congruentes. (FIGURA 1).




Um diâmetro que é perpendicular a uma corda é bissetor da corda e também de seus dois arcos. (FIGURA2 2).




Em uma mesma circunferência ou em circunferências congruentes, cordas que possuem a mesma distância do centro são congruentes.
(FIGURA 3).
Propriedade da Medida Relativa à Hipotenusa de um Triângulo R.

No plano, triângulo é a figura geométrica que ocupa o espaço interno limitado por três linhas retas que se unem, com três lados e três
ângulos que somam 180°. Também se pode definir um triângulo em superfícies gerais. Nesse casos, são chamados de triângulos
geodésicos e têm propriedades diferentes.

O triângulo é o único polígono que não possui diagonais e cada um de seus ângulos externos é suplementar do ângulo interno
adjacente. O perímetro de um triângulo é a soma das medidas dos seus lados. Denomina-se a região interna de um triângulo de região
convexa e a região externa de região côncava.

A área de um triângulo retângulo obtém-se calculando a metade do produto da medida da sua altura pela medida da sua base. Outra
maneira de calcular sua área é através do Teorema de Heron. Se o triângulo for equilátero de lado l, sua área A pode ser obtida
calculando:




Outra forma de calcular a área é                    , onde a e b são dois lados quaisquer do triângulo e alfa é o ângulo entre eles.

Tipos de triângulos

Um triângulo pode ser classificado de acordo com as medidas relativas de seus lados:

Um triângulo equilátero possui todos os lados congruentes. Um triângulo equilátero é também equiângulo: todos os seus ângulos
internos são congruentes (medem 60°), sendo, portanto, classificado como um polígono regular.

Um triângulo isósceles possui somente dois lados congruentes. Num triângulo isósceles, o ângulo formado pelos lados congruentes é
chamado ângulo do vértice. Os demais ângulos denominam-se ângulos da base e são congruentes.

Em um triângulo escaleno, as medidas dos três lados são diferentes. Os ângulos internos de um triângulo escaleno também possuem
medidas diferentes.

Denomina-se base o lado sobre qual se apóia o triângulo. No triângulo isósceles, considera-se base o lado de medida diferente.




Eqüilátero




Isósceles




Escaleno

Um triângulo também pode ser classificado de acordo com seus ângulos internos:
Um triângulo retângulo possui um ângulo reto. Num triângulo retângulo, denomina-se hipotenusa o lado oposto ao ângulo reto. Os
demais lados chamam-se catetos. Os catetos de um triângulo retângulo são complementares.

Um triângulo obtusângulo possui um ângulo obtuso e dois ângulos agudos.

Em um triângulo acutângulo, todos os três ângulos são agudos.




Retângulo




Obtusângulo




Acutângulo

Condição de existência de um triângulo

Para que se possa construir um triângulo é necessário que a medida de qualquer um dos lados seja menor que a soma das medidas dos
outros dois e maior que o valor absoluto da diferença entre essas medidas.

|b-c|<a<b+c

|a-c|<b<a+c

|a-b|<c<a+

Fatos Básicos

Fatos elementares sobre triângulos foram apresentados por Euclides nos livros 1-4 de sua obra Elementos aproximadamente em 300
a.C..

Um triângulo é um polígono.

Dois triângulos são ditos semelhantes se um pode ser obtido pela expansão uniforme do outro. Este é o caso se, e somente se, seus
ângulos correspondentes são iguais, e isso ocorre, por exemplo, quando dois triângulos compartilham um ângulo e os lados opostos a
esse ângulo. O fato crucial sobre triângulos similares é que os comprimentos de seus lados são proporcionais. Isto é, se o maior lado de
um triângulo é duas vezes o maior lado do triângulo similar, diz-se, então, que o menor lado será também duas vezes maior que o
menor lado do outro triângulo, e o comprimento do lado médio será duas vezes o valor do lado correspondente do outro triângulo.
Assim, a razão do maior lado e o menor lado do primeiro triângulo será a mesma razão do maior lado e o menor lado do outro
triângulo.

Usando-se triângulos retângulos e o conceito de similaridade, as funções trigonométricas de seno e cosseno podem ser definidas. Essas
são funções de um ângulo que são investigadas na trigonometria.

Nos casos a seguir, será usado um triângulo com vértices A, B e C, ângulos a, ß e ?e lados a, b e c. O lado a é oposto ao vértice A e ao
ângulo a, o lado b é oposto ao vértice B e ao ângulo ß e o lado c é oposto ao vértice C e ao ângulo ?.

Na geometria Euclidiana, de acordo com o Teorema angular de Tales, a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a dois
ângulos retos (180° ou p radianos). Isso permite a determinação da medida do terceiro ângulo, desde que sejam conhecidas as medidas
dos outros dois ângulos.
Ex:




Triângulo com vértices, lados e ângulos representados

Existe um Corolário desse Teorema, que afirma que a medida de um ângulo externo de um triângulo é igual à soma das medidas dos
ângulos internos não-adjacentes.

Ex: Sendo e a medida do ângulo externo do triângulo que tem como vértice o vértice C, pode-se afirmar que: e = a + ß




Os ângulos A e A' são iguais (duas paralelas cortadas por uma trasversal). Os ângulos B e B' são iguais por serem alternos internos. Os
ângulos C e C' são iguais por serem opostos pelo vértice. Assim vê-se que a soma dos ângulos internos do triângulo é 180o

Um teorema central é o Teorema de Pitágoras, que afirma que em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa
é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos. Se o vértice C do exemplo dado for um ângulo reto, pode-se escrever isso da
seguinte maneira:

c2 = a2 + b2

Isso significa que, conhecendo as medidas de dois lados de um triângulo retângulo, pode-se calcular a medida do terceiro lado —
propriedade única dos triângulos retângulos.

O Teorema de Pitágoras pode ser generalizado pela lei dos cossenos:




Essa lei é válida para todos os triângulos, mesmo se ?não for um ângulo reto e pode ser usada para determinar o tamanho de lados e
ângulos de um triângulo, desde que a medida de três ou dois lados e de um ângulo interno sejam conhecidas.




Teorema de Pitágoras

Essa lei é válida para todos os triângulos, mesmo se ?não for um ângulo reto e pode ser usada para determinar o tamanho de lados e
ângulos de um triângulo, desde que a medida de três ou dois lados e de um ângulo interno sejam conhecidas.



A lei dos senos diz:                                     , onde d é o diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo (uma
círcunferência que passa pelos três vértices do triângulo). A lei dos senos pode ser usada para computar a medidas dos lados de um
triângulo, desde que a medida de dois ângulos e de um lado sejam conhecidas.
Existem dois triângulos retângulos especiais que aparecem frequentemente em geometria. O chamado "triângulo 45º-45º-90º" possui
ângulos com essas medidas e a proporção de seus lados é:                 . O "triângulo 30º-60º-90º" possui ângulos com essas medidas
e a proporção de seus lados é:              .

Pontos, linhas e círculos associados a um triângulo

MEDIATRIZ




O circuncentro é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo.

A mediatriz é a reta perpendicular a um lado do triângulo, traçada pelo seu ponto médio. As três mediatrizes de um triângulo se
encontram em um único ponto, o circuncentro, que é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo, que passa pelos três vértices
do triângulo. O diâmetro dessa circunferência pode ser achado pela lei dos senos.

O Teorema de Tales determina que se o circuncentro estiver localizado em um lado do triângulo, o ângulo oposto a este lado será reto.
Determina também que se o circuncentro estiver localizado dentro do triângulo, este será acutângulo; se o circuncentro estiver
localizado fora do triângulo, este será obtusângulo.

Altura




O ponto de interseção das alturas é o ortocentro

Altura é um segmento de reta perpendicular a um lado do triângulo ou ao seu prolongamento, traçado pelo vértice oposto. Esse lado é
chamado base da altura, e o ponto onde a altura encontra a base é chamado de pé da altura.

O ponto de interseção das três alturas de um triângulo denomina-se ortocentro (H). No triângulo acutângulo, o ortocentro é interno ao
triângulo; no triângulo retângulo, é o vértice do ângulo reto; e no triângulo obtusângulo é externo ao triângulo. Os três vértices juntos
com o ortocentro formam um sistema ortocêntrico.

Mediana

O ponto de interseção das três medianas é o baricentro ou centro de gravidade.Mediana é o segmento de reta que une cada vértice do
triângulo ao ponto médio do lado oposto. A mediana relativa à hipotenusa em um triângulo retângulo mede metade da hipotenusa.

O ponto de interseção das três medianas é o baricentro ou centro de gravidade do triângulo. O baricentro divide a mediana em dois
segmentos. O segmento que une o vértice ao baricentro vale o dobro do segmento que une o baricentro ao lado oposto deste vértice.
No triângulo Equilátero, as medianas, bissetrizes e alturas são coincidentes. No isósceles, apenas a que chegam ao lado diferente, no
escaleno, nenhuma delas.




O ponto de interseção das três medianas é o baricentro ou centro de gravidade.

Bissetriz
O ponto de interseção das três bissetrizes é o incentro.

A bissetriz interna de um triângulo corresponde ao segmento de reta que parte de um vértice e vai até o lado oposto do vértice em que
partiu, dividindo o seu ângulo em dois ângulos congruentes.

Em um triângulo há três bissetrizes internas, sendo que o ponto de interseção delas chama-se incentro.

O círculo que tem o incentro como centro e é tangente aos três lados do triângulo é denominado círculo inscrito.

Já a bissetriz externa é o segmento da bissetriz de um ângulo externo situado entre o vértice e a interseção com o prolongamento do
lado oposto.

As bissetrizes externas duas a duas têm um ponto de interseção, denominado ex-incentro relativo ao lado que contêm os vértices pelos
quais passam essas retas.

Dado um ex-incentro, o círculo que tem esse ponto como centro, e é tangente a um lado e ao prolongamento dos dois outros lados do
triângulo, é denominado círculo ex-inscrito.

Em um triângulo equilátero, o incentro, o ortocentro e o baricentro são o mesmo ponto.

Dado um ex-incentro, o círculo que tem esse ponto como centro, e é tangente a um lado e ao prolongamento dos dois outros lados do
triângulo, é denominado círculo ex-inscrito.

Em um triângulo equilátero, o incentro, o ortocentro e o baricentro são o mesmo ponto.

Reta de Euler

É a reta que contém o ortocentro, o baricentro e o circuncentro.

Círculo dos Nove Pontos

É o círcunferência que contém os pontos médios dos lados, os pés das alturas, e os pontos médios dos segmentos que unem o
ortocentro aos vértices.

Relações de desigualdades entre lados e ângulos

1ª relação: Um ângulo externo de um triângulo é maior que qualquer um dos ângulos internos não-adjacentes.

2ª relação: Se dois lados de um triângulo têm medidas diferentes, ao maior lado opõe-se o maior ângulo e ao menor lado, opõe-se o
menor ângulo.

3ª relação: Em todo triângulo, qualquer lado tem medida menor que a soma das medidas dos outros dois.
Relações Métricas de uma Circunferência

A circunferência possui algumas importantes relações métricas envolvendo segmentos internos, secantes e tangentes. Através dessas
relações obtemos as medidas procuradas.

Cruzamento entre duas cordas

O cruzamento de duas cordas na circunferência gera segmentos proporcionais, e a multiplicação entre as medidas das duas partes de
uma corda é igual à multiplicação das medidas das duas partes da outra corda. Observe:




AP * PC = BP * PD

Exemplo 1




x * 6 = 24 * 8
6x = 192
x = 192/6
x = 32



Dois segmentos secantes partindo de um mesmo ponto

Em qualquer circunferência, quando traçamos dois segmentos secantes, partindo de um mesmo ponto, a multiplicação da medida de
um deles pela medida de sua parte externa é igual à multiplicação da medida do outro segmento pela medida de sua parte externa.
Observe:




RP * RQ = RT * RS

Exemplo 2




x * (42 + x) = 10 * (30 + 10)
x2 + 42x = 400
x2 + 42x – 400 = 0
Aplicando a forma resolutiva de uma equação do 2º grau:




Os resultados obtidos são x’ = 8 e x’’ = – 50. Como estamos trabalhando com medidas, devemos considerar somente o valor positivo x =
8.



Segmento secante e segmento tangente partindo de um mesmo ponto

Nesse caso, o quadrado da medida do segmento tangente é igual à multiplicação da medida do segmento secante pela medida de sua
parte externa.




(PQ)2 = PS * PR

Exemplo 3




x2 = 6 * (18 + 6)
x2 = 6 * 24
x2 = 144
√x2 = √144
x = 12
Polígonos Regulares

Conceito de um polígono regular:

Um polígono é chamado equiângulo quando possui todos os ângulos internos congruentes, e equiláterosquando possui todos os lados
congruentes. Um polígono é REGULAR quando todos os seus lados e todos os seus ângulos são congruentes.

Exemplos:

O retângulo tem todos os ângulos internos congruentes.

Logo, o retângulo é equiângulo.




O losango tem todos os lados congruentes.

Logo, o losango é equilátero.




O quadrado tem todos os lados e todos os ângulos internos congruentes.

Logo, o quadrado é equilátero e equiângulo.




Elementos de um Polígono Regular:

Se um polígono é regular, consideramos:

Centro do polígono: é o centro da circunferência circunscrita (ponto o).
Raio do polígono: é o raio da circunferência circunscrita




Apótema do polígono: é a distância entre o centro e cada um dos lados do polígono




Ângulo Central: é aquele cujo vértice é o centro do polígono e cujos lados são semi-retas que contêm dois raios consecutivos
Relações Métricas nos Polígonos Regulares:

Considerando um círculo e um polígono inscrito de n lados, definimos como apótema de uma figura poligonal o segmento de reta que
parte do centro da figura formando com o lado um ângulo de 90º, isto é, podemos dizer que o apótema é perpendicular ao lado do
polígono.




A determinação da medida do apótema de um polígono está diretamente ligada ao raio da circunferência em que ele está inscrito, ao
valor do ângulo central e à medida do lado do triângulo que forma o polígono. A figura a seguir é um hexágono regular inscrito na
circunferência de raio medindo 4 cm. Vamos determinar a medida do apótema desse hexágono.




No hexágono regular inscrito na circunferência, a medida do raio r da circunferência é igual à medida do lado do polígono. Dessa forma,
temos que o lado medirá 4 cm. Observando o hexágono notamos que ele é formado por 6 triângulos, todos com o apótema de mesmo
valor, então basta destacarmos um deles e trabalharmos as relações existentes.

Podemos aplicar a relação de Pitágoras, basta calcular a medida do apótema:




a²+2²=4²
a²+4=16
a²=16–4
a²=12
a=√12
a = 2√3 cm

Exemplo2: Determine o apótema do quadrado inscrito na circunferência e a medida do raio, sabendo que o lado do quadrado mede 10
cm.




Podemos trabalhar com o seguinte triângulo retângulo:
Determinando o apótema através da tangente do ângulo de 45º (360º : 8).

tg45º=5/a
1=5/a
a = 5 cm




Determinando o raio através do Teorema de Pitágoras:

r²=a²+5²
r²=5²+5²
r²=25+25
r²=50
r=√50
r=5√2cm




Exemplo3:

Vejamos como podemos determinar a área de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência de raio r em função da medida do
raio.

Considere um triângulo equilátero de lado l, inscrito numa circunferência de raio r, como mostra a figura.




Onde a é o apótema do triângulo equilátero.

O centro C da circunferência é o ortocentro e baricentro do triângulo equilátero. Logo, seu comprimento equivale a 1/3 do valor da
altura do triângulo. Ou seja,




Dessa forma, podemos constatar, também, que o raio r equivale a 2/3 do valor da altura do triângulo. Assim, podemos escrever:
Verificamos também que o apótema equivale à metade do valor do raio da circunferência. Ou seja:




Sabemos que a área de qualquer triângulo é dada por:

A = base x altura

Para o triângulo equilátero, sabemos que:




Logo, a área do triângulo equilátero será:




Nosso objetivo é determinar a área do triângulo equilátero em função do raio da circunferência. Temos que:




Daí, obtemos a seguinte igualdade:




Dessa forma, a área do triângulo equilátero inscrito numa circunferência, em função do raio r, será:




Vejamos alguns exemplos de aplicação.

Exemplo 1. Determine a área de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência de 8 cm de raio.

Solução: Pelo enunciado, temos que r = 8 cm. A área do triângulo equilátero inscrito numa circunferência pode ser obtida conhecendo-
se somente o valor do raio. Segue que:
Exemplo 2. Um triângulo equilátero com lados medindo 10 cm está inscrito numa circunferência de raio r. Calcule a área dessa
circunferência.

Solução: Para determinar a área da circunferência precisamos conhecer a medida de seu raio. Como sabemos a medida do lado do
triângulo equilátero, podemos obter o valor de r pela fórmula:
Área de um Polígono Regular

Todo polígono regular pode ser inscrito em uma circunferência. Ao decompormos esse polígono notamos várias regiões triangulares,
então se o polígono for decomposto em n triângulos basta calcularmos sua área e multiplicarmos pelo número de triângulos.




Obs.: O número de lados da figura é igual ao número de triângulos que compõem a figura.

No pentágono inscrito abaixo podemos notar que a altura de cada triângulo que o compõe corresponde ao apótema do polígono,
podemos substituir a altura h pelo apótema a, na expressão que calcula a área de cada triângulo:




Para calcular a área total basta multiplicarmos a expressão da área de cada triângulo pelo perímetro do polígono e dividir por dois
como demonstra a expressão final:




Vamos calcular a área de um pentágono regular, onde cada lado mede 4m.

Já vimos que o pentágono é formado por cinco triângulos e vale lembrarmos que em qualquer polígono a soma dos ângulos externos é
sempre igual a 360º. Para calcularmos o apótema deste triângulo devemos recorrer à relação trigonométrica tangente. Veja que o
apótema divide a base em duas partes iguais.
A área total de um pentágono cujo lado mede 4 metros é de 27,5 m2.
Área Do Círculo

A área do círculo é diretamente proporcional ao raio, que é a distância entre o centro e a sua extremidade. Para calcularmos a área do
círculo, utilizamos a expressão matemática que relaciona o raio e a letra grega π (pi), que corresponde a, aproximadamente, 3,14.

A = π * r²

O círculo é determinado de acordo com o aumento do número de lados de um polígono. Quanto mais lados um polígono apresenta,
mais ele se assemelha a um círculo. Observe as figuras na seguinte ordem: hexágono (6 lados), octógono (8 lados), dodecágono (12
lados) e icoságono (20 lados).




Vamos determinar a área de algumas regiões circulares.

Exemplo 1

Determine quantos metros quadrados de grama são necessários para preencher uma praça circular com raio medindo 20 metros.




A = π * r²
A = 3,14 * 20²
A = 3,14 * 400
A = 1256 m²



Serão necessários 1256 m² de grama.



Exemplo 2

Determine a área da região em destaque representada pela figura a seguir. Considerando que a região maior possui raio medindo 10
metros, e a região menor, raio medindo 3 metros.




Área da região com raio medindo 10 metros

A = π * r²
A = 3,14 * 10²
A = 3,14 * 100
A = 314 m²

Área da região com raio medindo 3 metros

A = π * r²
A = 3,14 * 3²
A = 3,14 * 9
A = 28,26 m²

Área da região em destaque
A = 314 – 28,26
A = 285,74 m²



Exemplo 3

Deseja–se ladrilhar uma área no formato circular de 12 metros de diâmetro. Ao realizar o orçamento da obra, o pedreiro aumenta em
10% a quantidade de metros quadrados de ladrilhos, afirmando algumas perdas na construção. Determine quantos metros quadrados
de ladrilhos devem ser comprados.

Diâmetro igual a 12, então o raio equivale a 6 metros.

A = π * r²
A = 3,14 * 6²
A = 3,14 * 36
A = 113,04 m²

Calculando 10%
10% = 10/100
10/100 * 113,04
11,30

Total de ladrilhos a serem comprados
113,04 + 11,30
124,34 m²

Será preciso comprar 124,34 m² de ladrilhos.

Coroa Circular

Quando duas ou mais circunferências possuem o mesmo centro, são denominadas concêntricas. Nesse caso elas podem ter raio de
tamanhos diferentes. Observe:




Ao unirmos duas circunferências de mesmo centro com raios R e r, considerando R > r, temos que a diferença entre as áreas é
denominada coroa circular. Observe:
A área da coroa circular representada pode ser calculada através da diferença entre as áreas totais das duas circunferências, isto é, área
do círculo maior menos a área do círculo menor.

Área da coroa = Área do círculo maior – Área do círculo menor

Área da coroa = (π * R²) – (π * r²)

Área da coroa = π * (R² – r²)

Observação: Os resultados podem ser dados em função de π, caso seja necessário substitua π por seu valor aproximado, 3,14.

Exemplo 1

Determine a área da coroa circular da figura a seguir, considerando o raio da circunferência maior igual a 10 metros e raio da
circunferência menor igual a 8 metros.




A = π * (R² – r²)
A = π * (10² – 8²)
A = π * (100 – 64)
A = π * 36
A = 36π m²
ou
A = 36 * 3,14
A = 113,04 m²



Exemplo 2

Um cavalo está amarrado em uma árvore através de uma corda de 20 metros de comprimento. A área total da pastagem possui raio de
50 metros de comprimento. Considerando a área de pastagem máxima do cavalo, determine a área não utilizada na alimentação do
cavalo.




A = π * (50² – 20²)
A = π * (2500 – 400)
A = π * (2100)
A = π * 2100
A = 2100π m²
ou
A = 2100 * 3,14
A = 6594 cm²

Setor Circular
A área total de um círculo é proporcional ao tamanho do raio e pode ser calculada pela expressão π * r², na qual π equivale a 3,14 e r é
a medida do raio do círculo. O círculo pode ser dividido em infinitas partes, as quais recebem o nome de arcos (partes de um círculo).
Os arcos de uma região circular são determinados de acordo com a medida do ângulo central, e é com base nessa informação que
calcularemos a área de um segmento circular.

Uma volta completa no círculo corresponde a 360º, valor que podemos associar à expressão do cálculo da área do círculo, π * r².
Partindo dessa associação podemos determinar a área de qualquer arco com a medida do raio e do ângulo central, através de uma
simples regra de três. Observe:

360º ------------- π * r²
θº ------------------ x

onde:
π = 3,14
r = raio do círculo
θº = medida do ângulo central
x = área do arco

Exemplo 1

Determine a área de um segmento circular com ângulo central de 32º e raio medindo 2 m.
Resolução:

360º ------------- π * r²
32º ------------------ x

360x = 32 * π * r²
x = 32 * π * r² / 360
x = 32 * 3,14 * 2² / 360
x = 32 * 3,14 * 4 / 360
x = 401,92 / 360
x = 1,12

A área do segmento circular possui aproximadamente 1,12 m².

Exemplo 2

Qual a área de um setor circular com ângulo central medindo 120º e comprimento do raio igual a 12 metros.

360º ------------- π * r²
120º ------------------ x



360x = 120 * π * r²
x = 120 * π * r² / 360
x = 120 * 3,14 * 12² / 360
x = 120 * 3,14 * 144 / 360
x = 54259,2 / 360
x = 150,7

A área do setor circular citado corresponde, aproximadamente, a 150,7 m².
TRABALHO


               DE


MATEMÁTICA

  Escola Adventista de Jardim Metrópole


 Alunos: Isabelly Viana, Priscila Graziela,


     Gabriela Cristina e Higor Vieira.


             Professor: André


                Ano: 9°ano


      Data: 01 de Dezembro de 2011
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Trigonometria

  • 1. Comprimento da Circunferência Quando medimos os lados de uma região, estamos determinando o valor do seu perímetro. No caso das regiões circulares não podemos adotar tal metodologia, pois não podemos definir a medida dos lados desse tipo de região. Para determinar a medida do comprimento de uma região circular, utilizamos a medida de seu raio, mas somente isso não é suficiente. Devido à relação comprimento/diâmetro nas regiões circulares, conseguimos descobrir um valor constante, aproximadamente igual a 3,14. Esse número irracional ficou conhecido por “pi”, o qual é representado pelo símbolo π. Em qualquer região circular basta dividirmos o comprimento da mesma, pela medida do diâmetro, que encontraremos o valor correspondente a 3,14 aproximadamente. Com base nessa descoberta, o comprimento de uma região limitada por uma circunferência é calculada através da expressão matemática C = 2 * π * r. Por exemplo, se uma região circular possui raio medindo 8 metros, seu comprimento será calculado da seguinte maneira: C=2*3,14*8 C=50,24m A descoberta desse número constante, relacionado às regiões circulares, é atribuída ao matemático grego Arquimedes. Na fórmula, temos que: C: comprimento da região circular π: aproximadamente igual a 3,14 r: medida do raio da região circular. Exemplos: a ) Qual o comprimento de uma circunferencia cujo raio mede 8 cm ? C= 2 *π*r C= 2*3,14*8 C= 50,24
  • 2. Medida de um Arco de Circunferência Dada uma circunferência qualquer de centro O e raio r, iremos marcar dois pontos A e B, os quais dividirão a circunferência em duas partes denominadas de arco de circunferência. Os pontos A e B são os extremos dos arcos. Caso as extremidades sejam coincidentes, temos um arco com uma volta completa. Observe a ilustração a seguir: Nela podemos notar a existência do arco AB e de um ângulo central representado por α. Para cada arco existente na circunferência temos um ângulo central correspondente, ou seja: med(AÔB) = med(AB). Portanto, o comprimento de um arco depende do valor do ângulo central. Na medição de arcos e ângulos usamos duas unidades: o grau e o radiano. Medidas em Grau Sabemos que uma volta completa na circunferência corresponde a 360º, se a dividirmos em 360 arcos teremos arcos unitários medindo 1º grau. Dessa forma, enfatizamos que a circunferência é simplesmente um arco de 360º com o ângulo central medindo uma volta completa ou 360º. Também podemos dividir o arco de 1º grau em 60 arcos de medidas unitárias iguais a 1’ (arco de um minuto). Da mesma forma podemos dividir o arco de 1’ em 60 arcos de medidas unitárias iguais a 1” (arco de um segundo). Medidas em Radianos Dada uma circunferência de centro O e raio R, com um arco de comprimento s e α o ângulo central do arco, vamos determinar a medida do arco em radianos de acordo com a figura a seguir: Dizemos que o arco mede um radiano se o comprimento do arco for igual à medida do raio da circunferência. Assim, para sabermos a medida de um arco em radianos, devemos calcular quantos raios da circunferência são precisos para se ter o comprimento do arco. Portanto: Com base nessa fórmula podemos expressar outra expressão para determinar o comprimento de um arco de circunferência: De acordo com as relações entre as medidas em grau e radiano de arcos, vamos destacar uma regra de três capaz de converter as medidas dos arcos. Veja: 360º → 2π radianos (aproximadamente 6,28)
  • 3. 180º → π radiano (aproximadamente 3,14) 90º → π/2 radiano (aproximadamente 1,57) 45º → π/4 radiano (aproximadamente 0,785) medida em medida em graus radianos x Α 180 Π Exemplos de conversões: a) 270º em radianos b) 5π/12 em graus
  • 4. Medidas Entre Arcos e Cordas de uma Circunferência Uma CORDA de uma CIRCUNFERÊNCIA é um segmento de reta que une dois pontos da circunferência. Se os extremos de uma corda não são extremos de um diâmetro eles são extremos de dois arcos de circunferência sendo um deles um arco menor e o outro um arco maior. Quando não for especificada, a expressão arco de uma corda se referirá ao arco menor e quanto ao arco maior sempre teremos que especificar. OBSERVAÇÕES Se um ponto X está em um arco AB e o arco AX é congruente ao arco XB, o ponto X é o ponto médio do arco AB. Além disso, qualquer segmento de reta que contém o ponto X é um segmento bissetor do arco AB. O ponto médio do arco não é o centro do arco, o centro do arco é o centro da circunferência que contém o arco. Para obter a distância de um ponto O a uma reta r, traçamos uma reta perpendicular à reta dada passando pelo ponto O. O ponto T obtido pela interseção dessas duas retas é o ponto que determinará um extremo do segmento OT cuja medida representa a distância entre o ponto e a reta. Em uma mesma circunferência ou em circunferências congruentes, cordas congruentes possuem arcos congruentes e arcos congruentes possuem cordas congruentes. (FIGURA 1). Um diâmetro que é perpendicular a uma corda é bissetor da corda e também de seus dois arcos. (FIGURA2 2). Em uma mesma circunferência ou em circunferências congruentes, cordas que possuem a mesma distância do centro são congruentes. (FIGURA 3).
  • 5. Propriedade da Medida Relativa à Hipotenusa de um Triângulo R. No plano, triângulo é a figura geométrica que ocupa o espaço interno limitado por três linhas retas que se unem, com três lados e três ângulos que somam 180°. Também se pode definir um triângulo em superfícies gerais. Nesse casos, são chamados de triângulos geodésicos e têm propriedades diferentes. O triângulo é o único polígono que não possui diagonais e cada um de seus ângulos externos é suplementar do ângulo interno adjacente. O perímetro de um triângulo é a soma das medidas dos seus lados. Denomina-se a região interna de um triângulo de região convexa e a região externa de região côncava. A área de um triângulo retângulo obtém-se calculando a metade do produto da medida da sua altura pela medida da sua base. Outra maneira de calcular sua área é através do Teorema de Heron. Se o triângulo for equilátero de lado l, sua área A pode ser obtida calculando: Outra forma de calcular a área é , onde a e b são dois lados quaisquer do triângulo e alfa é o ângulo entre eles. Tipos de triângulos Um triângulo pode ser classificado de acordo com as medidas relativas de seus lados: Um triângulo equilátero possui todos os lados congruentes. Um triângulo equilátero é também equiângulo: todos os seus ângulos internos são congruentes (medem 60°), sendo, portanto, classificado como um polígono regular. Um triângulo isósceles possui somente dois lados congruentes. Num triângulo isósceles, o ângulo formado pelos lados congruentes é chamado ângulo do vértice. Os demais ângulos denominam-se ângulos da base e são congruentes. Em um triângulo escaleno, as medidas dos três lados são diferentes. Os ângulos internos de um triângulo escaleno também possuem medidas diferentes. Denomina-se base o lado sobre qual se apóia o triângulo. No triângulo isósceles, considera-se base o lado de medida diferente. Eqüilátero Isósceles Escaleno Um triângulo também pode ser classificado de acordo com seus ângulos internos:
  • 6. Um triângulo retângulo possui um ângulo reto. Num triângulo retângulo, denomina-se hipotenusa o lado oposto ao ângulo reto. Os demais lados chamam-se catetos. Os catetos de um triângulo retângulo são complementares. Um triângulo obtusângulo possui um ângulo obtuso e dois ângulos agudos. Em um triângulo acutângulo, todos os três ângulos são agudos. Retângulo Obtusângulo Acutângulo Condição de existência de um triângulo Para que se possa construir um triângulo é necessário que a medida de qualquer um dos lados seja menor que a soma das medidas dos outros dois e maior que o valor absoluto da diferença entre essas medidas. |b-c|<a<b+c |a-c|<b<a+c |a-b|<c<a+ Fatos Básicos Fatos elementares sobre triângulos foram apresentados por Euclides nos livros 1-4 de sua obra Elementos aproximadamente em 300 a.C.. Um triângulo é um polígono. Dois triângulos são ditos semelhantes se um pode ser obtido pela expansão uniforme do outro. Este é o caso se, e somente se, seus ângulos correspondentes são iguais, e isso ocorre, por exemplo, quando dois triângulos compartilham um ângulo e os lados opostos a esse ângulo. O fato crucial sobre triângulos similares é que os comprimentos de seus lados são proporcionais. Isto é, se o maior lado de um triângulo é duas vezes o maior lado do triângulo similar, diz-se, então, que o menor lado será também duas vezes maior que o menor lado do outro triângulo, e o comprimento do lado médio será duas vezes o valor do lado correspondente do outro triângulo. Assim, a razão do maior lado e o menor lado do primeiro triângulo será a mesma razão do maior lado e o menor lado do outro triângulo. Usando-se triângulos retângulos e o conceito de similaridade, as funções trigonométricas de seno e cosseno podem ser definidas. Essas são funções de um ângulo que são investigadas na trigonometria. Nos casos a seguir, será usado um triângulo com vértices A, B e C, ângulos a, ß e ?e lados a, b e c. O lado a é oposto ao vértice A e ao ângulo a, o lado b é oposto ao vértice B e ao ângulo ß e o lado c é oposto ao vértice C e ao ângulo ?. Na geometria Euclidiana, de acordo com o Teorema angular de Tales, a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a dois ângulos retos (180° ou p radianos). Isso permite a determinação da medida do terceiro ângulo, desde que sejam conhecidas as medidas dos outros dois ângulos.
  • 7. Ex: Triângulo com vértices, lados e ângulos representados Existe um Corolário desse Teorema, que afirma que a medida de um ângulo externo de um triângulo é igual à soma das medidas dos ângulos internos não-adjacentes. Ex: Sendo e a medida do ângulo externo do triângulo que tem como vértice o vértice C, pode-se afirmar que: e = a + ß Os ângulos A e A' são iguais (duas paralelas cortadas por uma trasversal). Os ângulos B e B' são iguais por serem alternos internos. Os ângulos C e C' são iguais por serem opostos pelo vértice. Assim vê-se que a soma dos ângulos internos do triângulo é 180o Um teorema central é o Teorema de Pitágoras, que afirma que em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos. Se o vértice C do exemplo dado for um ângulo reto, pode-se escrever isso da seguinte maneira: c2 = a2 + b2 Isso significa que, conhecendo as medidas de dois lados de um triângulo retângulo, pode-se calcular a medida do terceiro lado — propriedade única dos triângulos retângulos. O Teorema de Pitágoras pode ser generalizado pela lei dos cossenos: Essa lei é válida para todos os triângulos, mesmo se ?não for um ângulo reto e pode ser usada para determinar o tamanho de lados e ângulos de um triângulo, desde que a medida de três ou dois lados e de um ângulo interno sejam conhecidas. Teorema de Pitágoras Essa lei é válida para todos os triângulos, mesmo se ?não for um ângulo reto e pode ser usada para determinar o tamanho de lados e ângulos de um triângulo, desde que a medida de três ou dois lados e de um ângulo interno sejam conhecidas. A lei dos senos diz: , onde d é o diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo (uma círcunferência que passa pelos três vértices do triângulo). A lei dos senos pode ser usada para computar a medidas dos lados de um triângulo, desde que a medida de dois ângulos e de um lado sejam conhecidas.
  • 8. Existem dois triângulos retângulos especiais que aparecem frequentemente em geometria. O chamado "triângulo 45º-45º-90º" possui ângulos com essas medidas e a proporção de seus lados é: . O "triângulo 30º-60º-90º" possui ângulos com essas medidas e a proporção de seus lados é: . Pontos, linhas e círculos associados a um triângulo MEDIATRIZ O circuncentro é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo. A mediatriz é a reta perpendicular a um lado do triângulo, traçada pelo seu ponto médio. As três mediatrizes de um triângulo se encontram em um único ponto, o circuncentro, que é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo, que passa pelos três vértices do triângulo. O diâmetro dessa circunferência pode ser achado pela lei dos senos. O Teorema de Tales determina que se o circuncentro estiver localizado em um lado do triângulo, o ângulo oposto a este lado será reto. Determina também que se o circuncentro estiver localizado dentro do triângulo, este será acutângulo; se o circuncentro estiver localizado fora do triângulo, este será obtusângulo. Altura O ponto de interseção das alturas é o ortocentro Altura é um segmento de reta perpendicular a um lado do triângulo ou ao seu prolongamento, traçado pelo vértice oposto. Esse lado é chamado base da altura, e o ponto onde a altura encontra a base é chamado de pé da altura. O ponto de interseção das três alturas de um triângulo denomina-se ortocentro (H). No triângulo acutângulo, o ortocentro é interno ao triângulo; no triângulo retângulo, é o vértice do ângulo reto; e no triângulo obtusângulo é externo ao triângulo. Os três vértices juntos com o ortocentro formam um sistema ortocêntrico. Mediana O ponto de interseção das três medianas é o baricentro ou centro de gravidade.Mediana é o segmento de reta que une cada vértice do triângulo ao ponto médio do lado oposto. A mediana relativa à hipotenusa em um triângulo retângulo mede metade da hipotenusa. O ponto de interseção das três medianas é o baricentro ou centro de gravidade do triângulo. O baricentro divide a mediana em dois segmentos. O segmento que une o vértice ao baricentro vale o dobro do segmento que une o baricentro ao lado oposto deste vértice. No triângulo Equilátero, as medianas, bissetrizes e alturas são coincidentes. No isósceles, apenas a que chegam ao lado diferente, no escaleno, nenhuma delas. O ponto de interseção das três medianas é o baricentro ou centro de gravidade. Bissetriz
  • 9. O ponto de interseção das três bissetrizes é o incentro. A bissetriz interna de um triângulo corresponde ao segmento de reta que parte de um vértice e vai até o lado oposto do vértice em que partiu, dividindo o seu ângulo em dois ângulos congruentes. Em um triângulo há três bissetrizes internas, sendo que o ponto de interseção delas chama-se incentro. O círculo que tem o incentro como centro e é tangente aos três lados do triângulo é denominado círculo inscrito. Já a bissetriz externa é o segmento da bissetriz de um ângulo externo situado entre o vértice e a interseção com o prolongamento do lado oposto. As bissetrizes externas duas a duas têm um ponto de interseção, denominado ex-incentro relativo ao lado que contêm os vértices pelos quais passam essas retas. Dado um ex-incentro, o círculo que tem esse ponto como centro, e é tangente a um lado e ao prolongamento dos dois outros lados do triângulo, é denominado círculo ex-inscrito. Em um triângulo equilátero, o incentro, o ortocentro e o baricentro são o mesmo ponto. Dado um ex-incentro, o círculo que tem esse ponto como centro, e é tangente a um lado e ao prolongamento dos dois outros lados do triângulo, é denominado círculo ex-inscrito. Em um triângulo equilátero, o incentro, o ortocentro e o baricentro são o mesmo ponto. Reta de Euler É a reta que contém o ortocentro, o baricentro e o circuncentro. Círculo dos Nove Pontos É o círcunferência que contém os pontos médios dos lados, os pés das alturas, e os pontos médios dos segmentos que unem o ortocentro aos vértices. Relações de desigualdades entre lados e ângulos 1ª relação: Um ângulo externo de um triângulo é maior que qualquer um dos ângulos internos não-adjacentes. 2ª relação: Se dois lados de um triângulo têm medidas diferentes, ao maior lado opõe-se o maior ângulo e ao menor lado, opõe-se o menor ângulo. 3ª relação: Em todo triângulo, qualquer lado tem medida menor que a soma das medidas dos outros dois.
  • 10. Relações Métricas de uma Circunferência A circunferência possui algumas importantes relações métricas envolvendo segmentos internos, secantes e tangentes. Através dessas relações obtemos as medidas procuradas. Cruzamento entre duas cordas O cruzamento de duas cordas na circunferência gera segmentos proporcionais, e a multiplicação entre as medidas das duas partes de uma corda é igual à multiplicação das medidas das duas partes da outra corda. Observe: AP * PC = BP * PD Exemplo 1 x * 6 = 24 * 8 6x = 192 x = 192/6 x = 32 Dois segmentos secantes partindo de um mesmo ponto Em qualquer circunferência, quando traçamos dois segmentos secantes, partindo de um mesmo ponto, a multiplicação da medida de um deles pela medida de sua parte externa é igual à multiplicação da medida do outro segmento pela medida de sua parte externa. Observe: RP * RQ = RT * RS Exemplo 2 x * (42 + x) = 10 * (30 + 10) x2 + 42x = 400 x2 + 42x – 400 = 0
  • 11. Aplicando a forma resolutiva de uma equação do 2º grau: Os resultados obtidos são x’ = 8 e x’’ = – 50. Como estamos trabalhando com medidas, devemos considerar somente o valor positivo x = 8. Segmento secante e segmento tangente partindo de um mesmo ponto Nesse caso, o quadrado da medida do segmento tangente é igual à multiplicação da medida do segmento secante pela medida de sua parte externa. (PQ)2 = PS * PR Exemplo 3 x2 = 6 * (18 + 6) x2 = 6 * 24 x2 = 144 √x2 = √144 x = 12
  • 12. Polígonos Regulares Conceito de um polígono regular: Um polígono é chamado equiângulo quando possui todos os ângulos internos congruentes, e equiláterosquando possui todos os lados congruentes. Um polígono é REGULAR quando todos os seus lados e todos os seus ângulos são congruentes. Exemplos: O retângulo tem todos os ângulos internos congruentes. Logo, o retângulo é equiângulo. O losango tem todos os lados congruentes. Logo, o losango é equilátero. O quadrado tem todos os lados e todos os ângulos internos congruentes. Logo, o quadrado é equilátero e equiângulo. Elementos de um Polígono Regular: Se um polígono é regular, consideramos: Centro do polígono: é o centro da circunferência circunscrita (ponto o).
  • 13. Raio do polígono: é o raio da circunferência circunscrita Apótema do polígono: é a distância entre o centro e cada um dos lados do polígono Ângulo Central: é aquele cujo vértice é o centro do polígono e cujos lados são semi-retas que contêm dois raios consecutivos
  • 14. Relações Métricas nos Polígonos Regulares: Considerando um círculo e um polígono inscrito de n lados, definimos como apótema de uma figura poligonal o segmento de reta que parte do centro da figura formando com o lado um ângulo de 90º, isto é, podemos dizer que o apótema é perpendicular ao lado do polígono. A determinação da medida do apótema de um polígono está diretamente ligada ao raio da circunferência em que ele está inscrito, ao valor do ângulo central e à medida do lado do triângulo que forma o polígono. A figura a seguir é um hexágono regular inscrito na circunferência de raio medindo 4 cm. Vamos determinar a medida do apótema desse hexágono. No hexágono regular inscrito na circunferência, a medida do raio r da circunferência é igual à medida do lado do polígono. Dessa forma, temos que o lado medirá 4 cm. Observando o hexágono notamos que ele é formado por 6 triângulos, todos com o apótema de mesmo valor, então basta destacarmos um deles e trabalharmos as relações existentes. Podemos aplicar a relação de Pitágoras, basta calcular a medida do apótema: a²+2²=4² a²+4=16 a²=16–4 a²=12 a=√12 a = 2√3 cm Exemplo2: Determine o apótema do quadrado inscrito na circunferência e a medida do raio, sabendo que o lado do quadrado mede 10 cm. Podemos trabalhar com o seguinte triângulo retângulo:
  • 15. Determinando o apótema através da tangente do ângulo de 45º (360º : 8). tg45º=5/a 1=5/a a = 5 cm Determinando o raio através do Teorema de Pitágoras: r²=a²+5² r²=5²+5² r²=25+25 r²=50 r=√50 r=5√2cm Exemplo3: Vejamos como podemos determinar a área de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência de raio r em função da medida do raio. Considere um triângulo equilátero de lado l, inscrito numa circunferência de raio r, como mostra a figura. Onde a é o apótema do triângulo equilátero. O centro C da circunferência é o ortocentro e baricentro do triângulo equilátero. Logo, seu comprimento equivale a 1/3 do valor da altura do triângulo. Ou seja, Dessa forma, podemos constatar, também, que o raio r equivale a 2/3 do valor da altura do triângulo. Assim, podemos escrever:
  • 16. Verificamos também que o apótema equivale à metade do valor do raio da circunferência. Ou seja: Sabemos que a área de qualquer triângulo é dada por: A = base x altura Para o triângulo equilátero, sabemos que: Logo, a área do triângulo equilátero será: Nosso objetivo é determinar a área do triângulo equilátero em função do raio da circunferência. Temos que: Daí, obtemos a seguinte igualdade: Dessa forma, a área do triângulo equilátero inscrito numa circunferência, em função do raio r, será: Vejamos alguns exemplos de aplicação. Exemplo 1. Determine a área de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência de 8 cm de raio. Solução: Pelo enunciado, temos que r = 8 cm. A área do triângulo equilátero inscrito numa circunferência pode ser obtida conhecendo- se somente o valor do raio. Segue que:
  • 17. Exemplo 2. Um triângulo equilátero com lados medindo 10 cm está inscrito numa circunferência de raio r. Calcule a área dessa circunferência. Solução: Para determinar a área da circunferência precisamos conhecer a medida de seu raio. Como sabemos a medida do lado do triângulo equilátero, podemos obter o valor de r pela fórmula:
  • 18. Área de um Polígono Regular Todo polígono regular pode ser inscrito em uma circunferência. Ao decompormos esse polígono notamos várias regiões triangulares, então se o polígono for decomposto em n triângulos basta calcularmos sua área e multiplicarmos pelo número de triângulos. Obs.: O número de lados da figura é igual ao número de triângulos que compõem a figura. No pentágono inscrito abaixo podemos notar que a altura de cada triângulo que o compõe corresponde ao apótema do polígono, podemos substituir a altura h pelo apótema a, na expressão que calcula a área de cada triângulo: Para calcular a área total basta multiplicarmos a expressão da área de cada triângulo pelo perímetro do polígono e dividir por dois como demonstra a expressão final: Vamos calcular a área de um pentágono regular, onde cada lado mede 4m. Já vimos que o pentágono é formado por cinco triângulos e vale lembrarmos que em qualquer polígono a soma dos ângulos externos é sempre igual a 360º. Para calcularmos o apótema deste triângulo devemos recorrer à relação trigonométrica tangente. Veja que o apótema divide a base em duas partes iguais.
  • 19. A área total de um pentágono cujo lado mede 4 metros é de 27,5 m2.
  • 20. Área Do Círculo A área do círculo é diretamente proporcional ao raio, que é a distância entre o centro e a sua extremidade. Para calcularmos a área do círculo, utilizamos a expressão matemática que relaciona o raio e a letra grega π (pi), que corresponde a, aproximadamente, 3,14. A = π * r² O círculo é determinado de acordo com o aumento do número de lados de um polígono. Quanto mais lados um polígono apresenta, mais ele se assemelha a um círculo. Observe as figuras na seguinte ordem: hexágono (6 lados), octógono (8 lados), dodecágono (12 lados) e icoságono (20 lados). Vamos determinar a área de algumas regiões circulares. Exemplo 1 Determine quantos metros quadrados de grama são necessários para preencher uma praça circular com raio medindo 20 metros. A = π * r² A = 3,14 * 20² A = 3,14 * 400 A = 1256 m² Serão necessários 1256 m² de grama. Exemplo 2 Determine a área da região em destaque representada pela figura a seguir. Considerando que a região maior possui raio medindo 10 metros, e a região menor, raio medindo 3 metros. Área da região com raio medindo 10 metros A = π * r² A = 3,14 * 10²
  • 21. A = 3,14 * 100 A = 314 m² Área da região com raio medindo 3 metros A = π * r² A = 3,14 * 3² A = 3,14 * 9 A = 28,26 m² Área da região em destaque A = 314 – 28,26 A = 285,74 m² Exemplo 3 Deseja–se ladrilhar uma área no formato circular de 12 metros de diâmetro. Ao realizar o orçamento da obra, o pedreiro aumenta em 10% a quantidade de metros quadrados de ladrilhos, afirmando algumas perdas na construção. Determine quantos metros quadrados de ladrilhos devem ser comprados. Diâmetro igual a 12, então o raio equivale a 6 metros. A = π * r² A = 3,14 * 6² A = 3,14 * 36 A = 113,04 m² Calculando 10% 10% = 10/100 10/100 * 113,04 11,30 Total de ladrilhos a serem comprados 113,04 + 11,30 124,34 m² Será preciso comprar 124,34 m² de ladrilhos. Coroa Circular Quando duas ou mais circunferências possuem o mesmo centro, são denominadas concêntricas. Nesse caso elas podem ter raio de tamanhos diferentes. Observe: Ao unirmos duas circunferências de mesmo centro com raios R e r, considerando R > r, temos que a diferença entre as áreas é denominada coroa circular. Observe:
  • 22. A área da coroa circular representada pode ser calculada através da diferença entre as áreas totais das duas circunferências, isto é, área do círculo maior menos a área do círculo menor. Área da coroa = Área do círculo maior – Área do círculo menor Área da coroa = (π * R²) – (π * r²) Área da coroa = π * (R² – r²) Observação: Os resultados podem ser dados em função de π, caso seja necessário substitua π por seu valor aproximado, 3,14. Exemplo 1 Determine a área da coroa circular da figura a seguir, considerando o raio da circunferência maior igual a 10 metros e raio da circunferência menor igual a 8 metros. A = π * (R² – r²) A = π * (10² – 8²) A = π * (100 – 64) A = π * 36 A = 36π m² ou A = 36 * 3,14 A = 113,04 m² Exemplo 2 Um cavalo está amarrado em uma árvore através de uma corda de 20 metros de comprimento. A área total da pastagem possui raio de 50 metros de comprimento. Considerando a área de pastagem máxima do cavalo, determine a área não utilizada na alimentação do cavalo. A = π * (50² – 20²) A = π * (2500 – 400) A = π * (2100) A = π * 2100 A = 2100π m² ou A = 2100 * 3,14 A = 6594 cm² Setor Circular
  • 23. A área total de um círculo é proporcional ao tamanho do raio e pode ser calculada pela expressão π * r², na qual π equivale a 3,14 e r é a medida do raio do círculo. O círculo pode ser dividido em infinitas partes, as quais recebem o nome de arcos (partes de um círculo). Os arcos de uma região circular são determinados de acordo com a medida do ângulo central, e é com base nessa informação que calcularemos a área de um segmento circular. Uma volta completa no círculo corresponde a 360º, valor que podemos associar à expressão do cálculo da área do círculo, π * r². Partindo dessa associação podemos determinar a área de qualquer arco com a medida do raio e do ângulo central, através de uma simples regra de três. Observe: 360º ------------- π * r² θº ------------------ x onde: π = 3,14 r = raio do círculo θº = medida do ângulo central x = área do arco Exemplo 1 Determine a área de um segmento circular com ângulo central de 32º e raio medindo 2 m. Resolução: 360º ------------- π * r² 32º ------------------ x 360x = 32 * π * r² x = 32 * π * r² / 360 x = 32 * 3,14 * 2² / 360 x = 32 * 3,14 * 4 / 360 x = 401,92 / 360 x = 1,12 A área do segmento circular possui aproximadamente 1,12 m². Exemplo 2 Qual a área de um setor circular com ângulo central medindo 120º e comprimento do raio igual a 12 metros. 360º ------------- π * r² 120º ------------------ x 360x = 120 * π * r² x = 120 * π * r² / 360 x = 120 * 3,14 * 12² / 360 x = 120 * 3,14 * 144 / 360 x = 54259,2 / 360 x = 150,7 A área do setor circular citado corresponde, aproximadamente, a 150,7 m².
  • 24. TRABALHO DE MATEMÁTICA Escola Adventista de Jardim Metrópole Alunos: Isabelly Viana, Priscila Graziela, Gabriela Cristina e Higor Vieira. Professor: André Ano: 9°ano Data: 01 de Dezembro de 2011