Apostila trigonometria armando

Prof. Me. Armando Paulo da Silva – UTFPR – Campus Cornélio Procópio – Coordenação da Matemática 1
1 TRIGONOMETRIA
1.1 Origem da Trigonometria:
A etimologia da palavra TRIGONOMETRIA
significa “ medida dos triângulos”, sendo formada
pelos radicais gregos tri ( três), gonos ( ângulo) e
metron ( medir).
A trigonometria teve origem na antiga Grécia, em
decorrência dos estudos das relações entre os lados e
os ângulos de um triângulo, possivelmente com o
intuito de resolver problemas de navegação,
agrimensura e astronomia. O astrônomo grego
Hiparco ( 150 a.C.) construiu a primeira tabela
trigonométrica, mas o vocábulo Trigonometria foi
criado em 1595 pelo matemático alemão
Bartholomaus Pitiscus (15611613).
1.2 Ângulo:
Ângulo é o nome que se dá à abertura formada por
1.3 Medida de um Ângulo.
É igual à medida do arco que ele determina sobre uma
circunferência, cujo centro é o vértice.
1.4 Relações Métricas no Triângulo Retângulo:
Um triângulo retângulo possui um ângulo reto e dois
ângulos agudos e complementares. Os lados de um
triângulo retângulo chamamse catetos e hipotenusa.
Os catetos são sempre perpendiculares e formam um
ângulo reto.
Quando construímos sobre um ângulos agudo dois
triângulos retângulos, estes serão semelhantes e,
portanto, terão lados proporcionais.
Os triângulos ABC e APQ são semelhantes. Como seus
lados são proporcionais, podemos escrever:
Reescrever estas proporções utilizando a nomenclatura
de catetos e hipotenusa, temos:
Estas relações que acabamos de generalizar recebem
nomes especiais.
A primeira é chamada seno do ângulo x e escrevese:
cateto oposto
sen x =
hipotenusa
A segunda é chamada cosseno do ângulo x e escrevese:
cateto adjacente
cos x =
hipotenusa
A terceira é chamada tangente do ângulo x e
escrevese:
cateto oposto
tg x =
cateto adjacente

vértice ângulo
lado
lado
B
A
0
 ˆ ABmed AOB med

Determinar o diâmetro d da cabeça do parafuso,
conforme as medidas da figura.
R: d = 22,44 mm

A torre de Pisa, na Itália, é um campanário cuja
construção iniciouse em 1174. Devido ao tipo de
solo, a torre inclinouse, significativamente, desde
sua construção. A reta vertical que passa pelo centro
A de seu terraço superior encontra o solo em um
ponto B distante 4m do centro C de sua base. Sabendo
que a distância CA é 56 m, calcule a inclinação
)ACˆB( dessa torre, em graus.
R:  85º14’

Um observador na margem de um rio, vê o topo de
uma torre na outra margem segundo um ângulo de
56º. Afastandose vê a mesma torre segundo um
ângulo de 35º. Calcule a largura do rio.
R: x=17,95 m
Quebra Cabeça: Quaisquer dois quadrados, não
importa seus tamanhos relativos, podem ser cortados em
cinco peças que se juntarão novamente para formar um
só quadrado maior. Os cortes estão ilustrados nos
quadrados do exemplo abaixo.
Trace outros dois quadrados. Você sabe onde fazer os
cortes de modo que depois sejamos capazes de remontar
as peças num outro quadrado?
Exercícios:
1) Determine os elementos incógnitos:
a)
b)
c)
R: a) x =26,75m; b) x =8,76m, y = 7,10m e z =5,75m c)
x =12,99m e y = 10m

2) Determine a altura de um painel de propaganda
situado no topo de um edifício, sabendose que o
observador está situado a 100 m do edifício e
pode visualizar a base inferior e superior,
segundo um ângulo de 30º e 45º,
respectivamente. (R.: 42 m )
3) Numa rua horizontal um menino vê o topo de um
prédio sob um ângulo de 36º. Deslocandose 18
m no sentido do prédio, passa a avistálo sob um
ângulo de 42º. Calcular a altura do prédio.
(R.: 66,67 m ou 69,56 m).
4) Um engenheiro civil que constrói uma estrada diz
que, em certo trecho, há uma “rampa” de 33%.
Qual, então, a medida aproximada do ângulo de
inclinação? ( R.:   18º).
5) Um mastro de 6 m está em cima de uma colina de
altura d. De um ponto A avistamos seu pé sob um
ângulo de 60º e sua ponta sob 75º. Calcule a
altura da colina. ( R: 5,19 m ou 5, 22 m).
6) As posições relativas de uma pista de aeroporto e
de uma torre de controle de 6,1 m de altura são
ilustradas na figura abaixo. A cabeceira da pista
está a uma distância perpendicular de 100 metros
da base da torre. Se x é a distância percorrida na
pista por um avião, expresse a distância d entre o
avião e a torre de controle como função de x.
(R:   2d 10037 x )
7) De um ponto exterior P que está a h unidades
de um círculo de raio r, traça-se uma tangente ao
círculo (veja a figura). Seja y a distância do ponto P ao
ponto de tangência T. Expresse y como função de h e
r. ( lembre-se que se C é o centro do círculo, PT é
perpendicular a CT.) Se r é o raio da terra e h é a altura
de um foguete, então podemos deduzir uma fórmula
para a distância máxima ( à terra) que um astronauta
pode ver da nave.
Em particular, se h= 321.800 m e r = 6 436 000
m, dê uma aproximação para y.
(R: 2 2 y h hr  2.060 milhões )
1.5 Ponto móvel sobre uma curva
Consideremos uma curva no plano cartesiano. Se um
ponto P pertence à curva, dizemos que P é um ponto
fixo da mesma. Se assumirmos que este ponto possa ser
deslocado sobre a curva, este ponto receberá o nome de
ponto móvel. Um ponto móvel localizado sobre uma
circunferência, partindo de um ponto A pode percorrer
esta circunferência em dois sentidos opostos. Por
convenção, o sentido antihorário (contrário aos
ponteiros de um relógio) é adotado como sentido
positivo.
1.6 Arcos da circunferência
Quando escolhemos um dos sentidos de percurso, o arco
é denominado arco orientado e simplesmente pode ser
denotado por AB se o sentido de percurso for de A para
B e BA quando o sentido de percurso for de B para A.
Quando não consideramos a orientação dos arcos
formados por dois pontos A e B sobre uma
circunferência, temos dois arcos não orientados sendo A
e B as suas extremidades.

1.7 Medida de um arco
A medida de um arco de circunferência é feita por
comparação com um outro arco da mesma
circunferência tomado como a unidade de arco. Se u
for um arco de comprimento unitário (igual a 1), a
medida do arco AB , é o número de vezes que o arco
u cabe no arco AB .
Na figura abaixo, a medida do arco AB é 5 vezes a
medida do arco u . Denotando a medida do arco
AB por m( AB ) e a medida do arco u por m(u ),
temos:
m( AB ) = 5 m(u ).
A medida de um arco de circunferência é a mesma em
qualquer um dos sentidos.
1.8 Unidades de medida de arcos
A unidade de medida de arco do Sistema Internacional
(SI) é o radiano, mas existem outras medidas utilizadas
pelos técnicos que são o grau e o grado. Este último
não é muito comum.
Radiano: Medida de um arco que tem o mesmo
comprimento que o raio da circunferência na qual
estamos medindo o arco. Assim o arco tomado como
unidade tem comprimento igual ao comprimento do
raio ou 1 radiano, que denotaremos por 1 rad.
Lembramos que o comprimento de uma
circunferência de raio r é dado por 2r. Assim, para
calcularmos em radianos a medida a de um arco de
uma volta, fazemos:
a = 2r/r = 2rad
Exemplos:
Grau: Medida de um arco que corresponde a 1/360 do
arco completo da circunferência na qual estamos
medindo o arco.
Exercício Resolvido 01:
Exercício Resolvido 02: Exemp
los:
Dividindo a circunferência em 4
e 6 partes congruentes, temos:
O grau comporta ainda os submúltiplos, minuto ( ’) e
segundo (”) , de forma que:
1º = 60' e 1' = 60”
Grado: É a medida de um arco igual a 1/400 do arco
completo da circunferência na qual estamos medindo o
arco.
1.9 Arcos de uma volta
Se AB é o arco correspondente à volta completa de uma
circunferência, então:
2 rad = 360º
Podemos estabelecer os seguintes resultados:
Desenho
Grau 90º 180º 270º 360º
Grado 100 200 300 400
Radiano /2  3/2 2
Obs: 0 graus = 0 grado = 0 radianos
a)
b)
c)

1.10 Mudança de unidades
Consideremos um arco AB de medida R em radianos,
esta medida corresponde a G graus. A relação entre
estas medidas é obtida pela seguinte proporção:
2 rad …………… 360 graus
R rad …………… G graus
Assim, temos a igualdade R/2 = G/360, ou ainda:
180
GR


Exercícios:
8) Determinar a medida em radianos dos arcos: 120º
e 300º ( R: rad
8
5
erad
3
2 
).
9) Determinar a medida em graus de um arco de
medida 1 radiano ( R: 57º19’29”).
1.11 Ciclo Trigonométrico
Considere uma circunferência de raio unitário com
centro na origem de um sistema cartesiano ortogonal e
o ponto A=(1,0). O ponto A será tomado como a
origem dos arcos orientados nesta circunferência e o
sentido positivo considerado será o antihorário.
Assim, chamase círculo trigonométrico ou ciclo
trigonométrico, ao círculo orientado de raio unitário,
cujo centro é a origem do sistema de coordenadas
cartesianas, conforme figura a seguir.
Os eixos OX e OY decompõem o ciclo trigonométrico
em quatro quadrantes que são enumerados como
segue:
2o. quadrante
abscissa: negativa
ordenada: positiva
90º<ângulo<180º
1o. quadrante
abscissa: positiva
ordenada: positiva
0º<ângulo<90º
3o. quadrante
abscissa: negativa
ordenada:
negativa
180º<ângulo<270º
4o. quadrante
abscissa: positiva
ordenada:
negativa
270º<ângulo<360º
Obs.: Os quadrantes são usados para localizar pontos
e a caracterização de ângulos trigonométricos. Por
convenção, os pontos situados sobre os eixos não
pertencem a qualquer um dos quadrantes.
1.12 Arcos com mais de uma volta
Em Trigonometria, algumas vezes precisamos considerar
arcos cujas medidas sejam maiores do que 360º. Por
exemplo, se um ponto móvel parte de um ponto A sobre
uma circunferência no sentido antihorário e para em
um ponto M, ele descreve um arco AM .
A medida deste arco (em graus) poderá ser menor ou
igual a 360º ou ser maior do que 360º. Se esta medida
for menor ou igual a 360º, dizemos que este arco está em
sua primeira determinação.
Acontece que o ponto móvel poderá percorrer a
circunferência uma ou mais vezes em um determinado
sentido, antes de parar no ponto M, determinando arcos
maiores do que 360º ou arcos com mais de uma volta.
Existe uma infinidade de arcos, mas com medidas
diferentes, cuja origem é o ponto A e cuja extremidade é
o ponto M.
Seja o arco AM cuja primeira determinação tenha
medida igual a m. Um ponto móvel que parte de A e
pare em M, pode ter várias medidas algébricas,
dependendo do percurso.
Se o sentido for o antihorário, o ponto M da
circunferência trigonométrica será extremidade de uma
infinidade de arcos positivos de medidas:
m, m+2, m+4, m+6, ...
Se o sentido for o horário, o ponto M será extremidade
de uma infinidade de arcos negativos de medidas:
m2, m4, m6, ...
Generalizando este conceito, se m é a medida da
primeira determinação positiva do arco AM, podemos
representar as medidas destes arcos por:
µ( AM ) = m + 2k
onde k é um número inteiro, isto é, k pertence ao
conjunto Z={...,2,3,1,0,1,2,3,...}.

Família de arcos: Uma família de arcos { AM } é o
conjunto de todos os arcos com ponto inicial em A e
extremidade em M.
Exemplo: Se um arco de circunferência tem origem
em A e extremidade em M, com a primeira
determinação positiva medindo 2/3, então os arcos
desta família { AM }, medem:
Exemplos:
Obter a menor determinação, o quadrante e a
expressão geral dos arcos.
a) AB = 1690º
 Dividimos o arco por 360º
 O quociente representa o número de voltas
que o arco descreve sobre a circunferência
trigonométrica.
 O resto será a menor determinação.

Menor Determinação: 250º
Quadrante:3º
Expressão Geral: AB K.360º 250º
  



 
b) AM = 1270º15’40”
 Dividimos o arco por 360º
 O quociente representa o número de
voltas no sentido negativo sobre o ciclo
trigonométrico.
 O resto é um arco negativo, portanto, não
é a menor determinação.
 Para obtermos a menor determinação,
adicionamos 360º ao resto obtido.

Menor Determinação: α = 169º44'20"
Quadrante:4º
Expressão Geral: AM = K.360º +169º44'20"





c) AC = rad
3
23
 Dividimos o numerador pelo dobro do valor
do denominador.
 O quociente representa o número de voltas
que o arco descreve sobre a circunferência
trigonométrica.
 O resto será o numerador da menor
determinação procurada.

5
Menor Determinação:
3
Quadrante: 4º
5
Expressão Geral: AC 2K
3

 


 
   

Exercícios:
10) Obter a menor determinação , o quadrante e a
expressão geral dos arcos dados:¨
AM = 535º R:
175º
2º
 



 
quadrante
AM 360º.K 175º
AC =  430º R:
290º
4º
2
 



 
quadrante
AM 360º.K 90º
AR = 1079º23” R:
59º37"
1º
59º37"
 



 
quadrante
AM 360º.K
AB = rad
5
26
R:
6
.
5
3º
6
2 .
5

  



    

rad
quadrante
AP .K. rad
AP = rad
11
43
 R:
11
1º
2
11

 


 
   

rad
quadrante
AP .K. rad
Determinações positivas (sentido antihorário)
k=0 µ( AM ) = 2/3
k=1 µ( AM ) = 2/3+2=8/3
k=2 µ( AM ) = 2/3+4=14/3
k=3 µ( AM ) = 2/3+6=20/3
... ...
k=n µ( AM ) = 2/3+2n = (2+6n) /3
Determinações negativas (sentido horário)
k=1 µ( AM ) = 2/32 = 4/3
k=2 µ( AM ) = 2/34 = 6/3
k=3 µ( AM ) = 2/36 = 16/3
k=4 µ( AM ) = 2/38 = 22/3
... ...
k=n µ( AM ) = 2/32n = (26n) /3

1.13 Arcos Côngruos
Dois arcos trigonométricos são ditos côngruos,
quando a diferença entre eles é um número múltiplo
de 360º. Assim é que sendo x e y dois arcos
trigonométricos, eles serão côngruos se e somente se:
x  y = k . 360º , onde k é um número inteiro.
Portanto, para descobrir se dois arcos são côngruos,
basta verificar se a diferença entre eles é um múltiplo
de 360º (ou 2 radianos, pois 2 rad = 360º).
Obs. Arcos de uma mesma família são côngruos.
Exemplo:
Os arcos 2780º e 1700º, são côngruos, pois:
2780º  1700º = 1080º e
1080º é divisível por 360º (1080º / 360º = 3).
Exercício resolvido:
Quantos são os valores de m compreendidos entre 30
e 40, que tornam côngruos os arcos de medidas
(4m+10).180º e (3m2).180º ?
Solução:
Pela definição de arcos côngruos dada, deveremos ter:
(4m+10).180º  (3m2).180º = k . 360º, com k.
720m + 1800 [540m  360] = k . 360
720m + 1800  540m + 360 = k . 360
180m + 2160 = k . 360
180m = k . 360  2160
m = 2k  12
Mas, pelo enunciado, temos 30 < m < 40. Logo:
30 < 2k  12 < 40
42 < 2k < 52
21 < k < 26  k = 22, 23, 24 ou 25.
Existem 4 valores possíveis para k e, portanto, também
4 valores possíveis para m, já que m = 2k  12.
Portanto:
m = 32, 34, 36 e 38.
Exercícios:
11) Testes: Verdadeiro  Falso
a) Os arcos de 4200º e 3480º são côngruos
b) Os arcos de ( 420º ) e 300º são côngruos.
c) O arco de 10.002º pertence ao segundo
quadrante.
d) O arco de ( 200º) pertence ao segundo
quadrante.
R: Verdadeiro: a, b e d.
1.14 Arcos de mesma origem, simétricos em relação
ao eixo OX
Sejam AM e 'AM arcos no círculo trigonométrico,
com A=( 1, 0 ) e os pontos M e M' simétricos em relação
ao eixo horizontal OX.
Se a medida do arco AM é igual a m, então a medida do
arco 'AM é dada por: µ( 'AM ) = 2m.
1.15 Arcos de mesma origem, simétricos em
relação ao eixo OY
com A = ( 1 ,0 ) e os pontos M e M' simétricos em
relação ao eixo vertical OY. Se a medida do arco AM
for igual a m, então a medida do arco 'AM será dada
pela expressão µ( 'AM ) = m.
1.16 Arcos com a mesma origem e extremidades
simétricas em relação à origem
com A=( 1 ,0 ) e os pontos M e M' simétricos em
relação a origem (0,0). Se a medida do arco AM é igual
a m, então a medida do arco 'AM é dada por: µ( 'AM )
=  +m.

1.17 Funções circulares
As funções circulares constituem o objeto
fundamental da trigonometria circular e são
importantes devido à sua periodicidade pois elas
podem representar fenômenos naturais periódicos,
como as variações da temperatura terrestre, o
comportamento ondulatório do som, a pressão
sanguínea no coração, os níveis de água dos oceanos,
etc.
1.18 Função periódica
Dizemos que uma função f(x) é periódica se existe
um número real T  0 tal que f ( x + T ) = f ( x )
para todo x  Dom (f ).
O número T é chamado período da função f(x).
O gráfico de uma função periódica se repete a cada
intervalo de comprimento T.
Exemplos de gráficos de funções periódicas são
observadas nas Figuras abaixo:
1.19 Função limitada
Uma função f de domínio A contido em R é limitada,
se existe um número real positivo L, tal que para todo
x em A, valem as desigualdades:
L < f ( x ) < L
Esta última expressão pode ser escrita como:
| f(x) | < L.
1.20 Função par
Uma função f é uma função par, se para todo x do
domínio de f:
f(x) = f(x)
Funções pares são simétricas em relação ao eixo vertical
OY.
Exemplo:
A função f(x) = 2x , pois:  2 2f( x) x x   
1.21 Função ímpar:
Uma função f é uma função ímpar, se para todo x do
domínio de f:
f(x) = f(x)
Funções ímpares são simétricas em relação à origem
(0,0) do sistema de eixos cartesiano.
Exemplo:
A função f(x) = x é uma função par, pois f(x) = x =
f(x).
1.22 Função seno
Definição: Chamamos de função seno , a função
:f que, a cada número real x, associa o seno
desse número.
:f
f(x) = sen x
A função é denotada por f(x) = sen(x) ou y = sen(x).
Gráfico: O gráfico da função f(x) = sen x, denomina-se
senóide. Para construir o gráfico da função, atribuímos
valores para x e encontramos f(x). Segue uma tabela
com valores de f no intervalo [0,2].
x y = senx
0 0
2
 1
 0
2
3 -1
2 0
Na figura, o segmento Oy' que mede sen(x), é a projeção
do segmento OM sobre o eixo OY.

onde:
Dom:
Im:  1,1
P = 2 rad ( A função seno é periódica, pois:
sen ( x+ 2) = sen x.)
Crescente: [ 0,
2
 ]  [
2
3 ,2]
Decrescente: [
2
 ,
2
3 ]
Limitada: 1 < sen x < 1
Ímpar : sen(x) = sen(x)
Para todo x em R e para todo k em Z:
sen(x) = sen(x+2) = sen(x+4) =...= sen(x+2k)
Completamos o gráfico da função seno, repetindo os
valores da tabela em cada intervalo de medida 2,
teremos:
Sinal:
Intervalo 0,
2
 
  
,
2
 
 
 
3
,
2
 
 
 
3
,2
2
 
 
 
Função
seno
positiva positiva negativa negativa
Exercícios Resolvidos:
01) Construa o gráfico da função f(x) =  2 sen x,
dando o domínio, imagem, intervalos de
crescimento, decrescimento e o período.
Resolução:
Observe a tabela abaixo, onde atribuímos valores
para x e encontramos f(x).
x senx 2senx
0 0 0
2
 1 2
 0 0
2
3 1 2
2 0 0
O gráfico desta função está apresentado na figura
abaixo, onde comparamos o comportamento da função
f(x)= 2sen x, com a função f(x) = sen x.
onde:
Dom: 
Im:  2,2
P = rad2 
Crescente: [
2
 ,
2
3 ]
Decrescente: [ 0,
2

]  [
2
3
,2]
Obs. A função f(x) =  2 sen x modifica sua amplitude
em relação à função f(x) = senx.
02) Construa o gráfico da função f(x) = 




 

2
xsen ,
dando o domínio, imagem, intervalos de
crescimento, decrescimento e o período.
Resolução:
Fazendo x t x t
2 2
 
    

Observe a tabela abaixo,onde atribuímos valores para
x e encontramos f(x).
2
tx

 t y = sen t
2
 0 0

2
 1
2
3  0
2 3
2
 1
2
5 2 1
abaixo, onde comparamos o comportamento da
função f(x)= 




 

2
xsen com a função f(x) = sen x.
onde:
Dom: 
Im:  1,1
P = rad2 
Crescente: [
2
 ,  ]  [2  ,
5
2

]
Decrescente: [  , 2  ]
Exercícios:
12) O gráfico abaixo corresponde à função:
R: f(x)=2.senx
13) Construir os gráficos e dar o domínio, imagem e o
período das função:
x
a)f (x) sen
2
b) f(x) 2 sen x
c)f (x) senx
d)f (x) 2 sen(2x )
 
  
 
 

   
Respostas:
E-15:
a)
b)
c)
d)

1.23 Aplicações da Função Seno na Eletrotécnica.
Função Genérica da Corrente
)tsen(BA)t(i 
onde o ângulo de fase é



Exemplo:
Na equação:
)t500sen(5,2)t(i  com ms4t0 
Determine:
a) o gráfico
b) o domínio e a imagem
c) o valor máximo e mínimo da corrente
d) em que tempo teremos o valor máximo e em
que tempo teremos o valor mínimo
e) os valores do tempo que fazem com que a
corrente seja nula.
f) O período ( T)
g) A freqüência ( f )
h) O ângulo de fase quando tiver.
1.24 Função Cosseno
Definição: Chamamos de função cosseno , a função
:f que, a cada número real x, associa o
cosseno desse número.
:f
f(x) = cos x
A função é denotada por f(x) = cos(x) ou y = cos(x).
Gráfico: O gráfico da função f(x) = cos x ,
denomina-se cossenóide. Para construir o gráfico da
função, atribuímos valores para x e encontramos f(x),
conforme a tabela abaixo.
x y = cos x
0 1
2
 0
 1
2
3 0
2 1
Na figura, o segmento Ox, que mede cos(x), é a
projeção do segmento OM sobre o eixo horizontal
OX.
onde:
Dom:
Im:  1,1
P = 2 rad ( A função cosseno é periódica, pois:
cos ( x + 2) = cos x.)
Crescente:  ,2 
Decrescente:  0,
Limitada: 1 < cos x < 1
Par : cos (x) = cos x
Completamos o gráfico da função cosseno, repetindo os
valores da tabela em cada intervalo de medida 2,
teremos:
Sinal:
Intervalo 0,
2
 
  
,
2
 
 
 
3
,
2
 
 
 
3
,2
2
 
 
 
Função
cosseno
positiva negativa negativa positiva
Exercício Resolvido:
03) Construa o gráfico da função f(x) = 1+ cos x,
dando o domínio, imagem e o período.
Resolução:
Observe a tabela, onde atribuímos valores para x e
encontramos f(x).

x cos x 1+cos x
0 1 2
2
 0 1
 1 0
2
3 0 1
2 1 2
abaixo, onde comparamos o comportamento da
função f(x)= 1+cos x com a função f(x) =cos x.
onde:
Dom:
Im: [ ]20,
P = rad2 
Crescente:  ,2 
Decrescente:  0,
Obs. A função f(x) = 1 + cos x desloca-se em 1
unidade no eixo y em relação ao gráfico da função
f(x)= cos x.
04) Construa o gráfico da função f(x) =
x
cos
2
,
dando o domínio, imagem e o período.
Resolução:
Fazendo
x
t x 2t
2
  
Observe a tabela, onde atribuímos valores para x e
encontramos f(x).
x t
cos
x
2
0 0 1

2
 0
2  1
3
2
3 0
4 2 1
abaixo, onde comparamos o comportamento da função
f(x) = cos x com a função f(x) = cos
x
2
.
RESUMINDO
Considerando as funções:
y = a + b sen ( mx + n )
y = a + b cos ( mx + n ).
Temos:
Dom:
C.D:
Im: ba,ba  , b> 0
P = rad
m
2 
Exercícios:
14) Construir os gráficos e dar o domínio, imagem e o
período das função:
a) y =  cos x
b) y = cos 2x

c) y = 1+2 cos x
Respostas:
a)
b)
c)
1.25 Função tangente
Definição: Chama-se função tangente aquela que
associa a todo x real, x k
2

   , o número
real y = tan x.
A função é denotada por f(x) = tan x ou y = tg x.
Gráfico: O gráfico da função tangente é chamado de
tangentóide, para construir o gráfico da função,
atribuímos valores para x e encontramos f(x). Como a
tangente não existe para arcos da forma: k
2

  onde
k  Z, estaremos considerando o conjunto dos
números reais diferentes destes valores, conforme a
tabela abaixo.
x y = tan x
0 0
2
 
 0
2
3 
2 0
Na figura, o segmento AT , mede tg(x).
onde:
Dom: x / x k
2
 
    
 
Im:
P = rad ( A função tangente é periódica, pois:
tg ( x + ) = tg x.)
Sempre Crescente.
Limitação: A função tangente não é limitada
A função tangente é ímpar, pois para todo x real onde a
tangente está definida, temse que:
tg(x)= tg (x)
Obs1. Para os arcos da forma K
2

  a função
tangente não é definida, apresentando nesses pontos
assíntotas verticais.
Obs2. Na figura anterior, temos que:
tg AM = tg x = AT
pela semelhança dos triângulos retângulos ONM e OAT,
assim:
AT NM
OA ON
 mas, AT tgx ,
OA r 1  ,
NM senx e
OQ cosx

Substituindo na expressão
tgx senx
1 cosx
 , teremos:
senx
tgx
cosx
 , onde x K
2

  
Completamos o gráfico da função tangente, repetindo
os valores da tabela na mesma ordem em que se
apresentam, teremos:
Sinal:
Intervalo [0, /2] [/2, ] [,3/2] [3/2,2]
Função
tangente
positiva negativa positiva negativa
1.26 Função cotangente
Definição: Chama-se função cotangente aquela que
associa a todo x real, x k ,  o número real
y = cot x.
A função é denotada por f(x) = cotg x ou y = cot x.
Gráfico: O gráfico da função cotangente é chamado
de cotangentóide, para construir o gráfico da função,
cotangente não existe para arcos da forma: k, onde
kZ, estaremos considerando o conjunto dos números
reais diferentes destes valores, conforme a tabela
abaixo.
x y = cot x
0 
2
 0
 
2
3 0
2 
Na figura, o segmento BS , mede cotg(x).
onde:
Dom: x / x k  
Im:
P = rad ( A função tangente é periódica, pois:
cotg ( x + ) = cotg x.)
Sempre Decrescente.
Limitação: A função tangente não é limitada.
A função tangente é ímpar, pois para todo x real onde a
tangente está definida, temse que:
cotg(x)= cotg (x)
Obs1. Para os arcos da forma K a função tangente
não é definida, apresentando nesses pontos assíntotas
verticais.
Obs 2. Por analogia ao que foi feito na tangente,
podemos mostrar que
cosx 1
cot x
senx tgx
 
Completamos o gráfico da função cotangente, repetindo
os valores da tabela na mesma ordem em que se
apresentam, teremos:
Sinal:
Intervalo [0, /2] [/2, ] [,3/2] [3/2,2]
Função
tangente
positiva negativa positiva negativa

1.27 Função Secante
Definição: Chama-se função secante aquela que
associa a todo x real, x k
2

   , o número
real y = sec x.
A função é denotada por f(x) = sec x ou y = sc(x)
Gráfico: Para construir o gráfico da função,
secante não existe para arcos da forma: k
2

  onde
kZ, estaremos considerando o conjunto dos números
reais diferentes destes valores, conforme a tabela
abaixo.
x y = sec x
0 1
4
 2
2
 
3
4
 2
 1
5
4
 2
2
3 
7
4
 2
2 1
Gráfico: O segmento OV mede sec(x).
onde:
Dom: x / x k
2
 
    
 
Im:    , 1 1,   
P = 2 rad
Crescente:  0,
Decrescente:  ,2 
Limitação: A função secante não é limitada
A função secante é par, pois para todo x real onde a
secante está definida, temse que: séc x= sec (x)
Obs1. Para os arcos da forma K
2

  a função secante
não é definida, apresentando nesses pontos assíntotas
verticais.
Obs 2. Por analogia ao que foi feito na tangente,
podemos mostrar que
1
secx
cosx

Completamos o gráfico da função secante, repetindo os
valores da tabela na mesma ordem em que se apresentam,
teremos:
Sinal:
Intervalo [0, /2] [/2, ] [,3/2] [3/2,2]
Função
secante
positiva negativa negativa positiva
1.28 Função Cossecante
Definição: Chama-se função cosssecante aquela que
associa a todo x real, x k  , o número real
y = cossec x.
A função é denotada por f(x) = cossec x ou y = csc(x)
Gráfico: Para construir o gráfico da função, atribuímos
valores para x e encontramos f(x). Como a secante não
existe para arcos da forma: k onde k  Z, estaremos
considerando o conjunto dos números reais diferentes
destes valores, conforme a tabela abaixo.

x y =cossec x
0 
4
 2
2
 1
3
4
 2
 
5
4
 2
2
3
1
7
4
  2
2 
Gráfico: O segmento OB mede cossec(x).
onde:
Dom: x / x k  
Im:    , 1 1,   
P = 2 rad
Crescente:
3
, ,
2 2
    
     
   
Decrescente:
3
0, ,2
2 2
    
    
   
Limitação: A função cossecante não é limitada.
A função cossecante é ímpar, pois para todo x real
onde a cossecante está definida, temse que:
cossec(x) =  cosses (x)
Obs1. Para os arcos da forma K a função
cossecante não é definida, apresentando nesses pontos
assíntotas verticais.
Obs 2. Por analogia ao que foi feito na cotangente,
podemos mostrar que
1
cossecx
sen x

Completamos o gráfico da função secante, repetindo os
valores da tabela na mesma ordem em que se apresentam,
teremos:
Sinal:
Intervalo [0, /2] [/2, ] [,3/2] [3/2,2]
Função
cossecante
positiva positiva negativa negativa
1.29 Resumo de Trigonometria
Quanto ao Domínio
Função seno e cosseno
Dom f =
Função tangente e secante
Dom f= { x / x K
2

    }
Função cotangente e cossecante
Dom f= { x / x K   }
Quanto ao Período
Função seno, cosseno, secante e cossecante:
P = 2 
Função tangente e cotangente:
P = 
Exercícios:
17) Determine o domínio das funções abaixo:
a) y 2tg 2x
3
 
  
 
b) y =
x 3
1 cossec
3 2
 
  
 
c) y = 3 + sec 2x
6
 
 
 

d)
5x
y 3 2cot 45º
2
 
   
 
e)  y 2 sec 2x 140º  
R: a)
5
2 12
  
    
 
k
D x / x
b)
2 6
  
    
 
k
D x / x
c)
5
2 12
  
    
 
k
D x / x
d)  72 18   D x / x k º
e)  90 2    D x / x k
18) Determinar o período das funções abaixo, sem
construir tabelas ou gráficos:
y = 4
x
cos
8
 
  
 
y = 6 +
4
sen 2x
3
 
 
 
y = 5  tg 7x
4
 
 
 
R: a) p = 16  rad
b) p =  rad
c) p =
7

rad
1.30 Valores Especiais de Funções
Trigonométricas
Exercícios
19) Calcular o valor de cada expressão:
a)
23tg30º 2sen60º 9sec 30º
y
tg45º sec60º 5cos60º
 

 
b) y =
2
2 2
sen 45º 3tg30º 3cot60º
3cos 45º cot 30º cos60º
 
 
c) y =
2
2
2tg45º 6cos 30º 5sec60
sec 30º 4sen45º 2cosses45º
 
  
d) y =
2 2
2 2
4sec 3tg 6cos
6 4 4
4cot 9cot sec
4 3 4
  
 
  
 
R: a) y = 24
b) y = 1 / 2
c) y = 25 / 8
d) y =
16 16 2
3
 
1.31 Relações Trigonométricas Fundamentais
Seja a figura:
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo
OQM, temos:
     
2 2 2
QM OQ OM 
como:
QM OP senx 
OQ cosx
OM r 1  , temos a relação trigonométrica fundamental
nº 01:
º  rad
0º 0 0 1 0 - 1 -
30º 2
45º 1 1
60º 2
90º 1 0 - 0 - 1
sen2
x + cos2
x = 1
M
v
uQ
P
0
x

Dividindo a relação fundamental nº 01 por sen2
(x) e
por cos2
(x) e aplicando os conceitos de tangente,
cotangente, secante e cossecante, teremos outras duas
relações fundamentais, a saber:
e
Exemplos:
01) Simplifique a expressão:
cossecx senx
cotgx secx


Solução:
Utilizando os conceitos vistos, temos:
2
2 2
1 1 sen x
senx
senx senx 1 sen x cos x
cosx 1 1
.
senx cosx senx


   
02) Sendo x um arco tal que cos x = tgx , calcule
senx.
Solução:
Sabemos que tgx =
senx
cosx
Substituindo tgx por cosx (dado do problema), vem:
cosx =
senx
cosx
donde vem: cos2
x = senx.
Mas, cos2
x = 1  sen2
x .
Substituindo, fica: 1  sen2
x = senx.
Daí, vem: sen2
x + senx 1 = 0
Fazendo senx = y e substituindo: y2
+ y  1 = 0.
Resolvendo esta equação do 2º grau, fica:
Como y = senx e , temos somente um dos valores
acima satisfazendo o problema, ou seja:
5 1
senx ,
2

 que é a resposta procurada.
03) Para que valor de m a expressão:
y = (m 1)(sen4
x  cos4
x) + 2cos2
x + m.cosx 
2.cosx + 1 é independente de x?
Solução:
Podemos escrever:
y = (m  1)[(sen2
x  cos2
x)(sen2
x + cos2
x)] + 2cos2
x +
mcosx  2cosx + 1
Como sen2
x + cos2
x = 1, substituindo, fica:
y = (m1)(sen2
x cos2
x) +2cos2
x + mcosx 2cosx +1
y = msen2
x  mcos2
x  sen2
x + cos2
x + 2cos2
x +
mcosx
 2cosx + 1
Escrevendo tudo em função de cosx, lembrando que
sen2
x = 1  cos2
x, vem:
y = m(1  cos2
x)  mcos2
x  (1  cos2
x) + cos2
x +
2cos2
x + mcosx  2cosx + 1
y = m  mcos2
x  mcos2
x  1 + cos2
x + cos2
x + 2cos2
x
+ mcosx  2cosx + 1
Simplificando os termos semelhantes, fica:
y = m + (4  2m)cos2
x + (m  2)cosx
Para que a expressão acima seja independente de x,
deveremos ter necessariamente 4  2m = 0 e m  2 = 0
portanto: m = 2, que é a resposta procurada.
Exercícios:
20) Dado
3
sen x
5
 , com x
2

   , calcule as
demais funções.
R.:  
4
cos x
5
;  
3
tgx
4
;  
5
sec x
4
; 
5
csc x
3
;  
4
cot x
3
21) Sendosecx 2  e x
2

  , calcule tgx e senx.
R.:  
2
tgx 1 e senx=
2
22) Sendo cot a = 3 e
3
a
2

   ,calcule o valor de :
seca cosseca
y
cosseca cosa



R.: 
1
y
3
23) Sendo 2 232sen x 16cos x 25  , calcule o valor do
senx. R.:   
3
y senx
4
24) Calcule m, de modo que se tenha simultaneamente:
m 2
senx
8

 e
5 m
cosx
2

 . R.: m =2
25) Para que valor de m a expressão:
y = m(sen4
x  cos4
x) + 2cos2
x 1 + m é
independente de x?
R.: m=1
1.32 Identidades Trigonométricas
Uma igualdade entre expressões trigonométricas é chamada
Identidade, quando a igualdade é satisfeita para todos os
valores que pertencem aos domínios das funções que
envolvem.
Para provarmos uma identidade trigonométrica,
podemos proceder de duas maneiras:
tg2
x + 1 = sec2
x cotg2
x + 1 = cosec2
x

Tomando um dos membros (geralmente o mais
“complicado”) transformando-o no outro.
Tomando os dois membros e transformando
simultaneamente em expressões iguais.
Exemplos: Provar as identidades:
a) 4 4 2cos x sen x 2sen x 1  
b)    2 2 21 tgx 1 tgx 2sec x   
c)
3
tgx senx secx
1 cosxsen x



1.33 Operações com Arcos
Conhecidas as linhas trigonométricas dos arcos a e b,
determinaremos as funções circulares dos arcos da
forma a + b, a  b, 2.a e
a
.
2
Fórmulas de Adição e Subtração de arcos
Exemplo 29 a)
sen(a b) sena.cosb senb.cosa  
Exemplo 30 b)
sen(a b) sena.cosb senb.cosa  
Exemplo 31 c)
cos(a b) cosa.cosb sena.senb  
Exemplo 32 d)
cos(a b) cosa.cosb sena.senb  
Exemplo 33 e)
tga tgb
tg(a b)
1 tga.tgb

 

Exemplo 34 f)
tga tgb
tg(a b)
1 tga.tgb

 

Exemplo 35
Exemplo 36 Obs. Nota: nas duas fórmulas da
tangente, sempre leve em conta a absoluta
impossibilidade da divisão por zero!
Exemplo 37
Exemplos:
Exemplo 38 01) Calcular sen 75º.
Exemplo 39 Solução:
Exemplo 40 Sen 75º = sen (30º+45)
Exemplo 41 = sen30º. cos 45º+sen45º.cos
30º
Exemplo 42 =
1 2 2 3
. .
2 2 2 2
 =
2 6
4

Exemplo 43
Exemplo 44 02) Determine cos (x  90º)
Exemplo 45 Solução:
Exemplo 46 Aplicando a equação d, temos:
Exemplo 47 cos (x  90º) = cosx . cos90º + senx .
sen90º
Exemplo 48 como cos90º = 0 e sen90º = 1,
substituindo, vem:
cos(x  90º) = senx.
Se fizermos a = 0º na fórmula do cosseno da diferença,
teremos:
cos(0  b) = cos0 . cosb + sen0 . senb
e como sabemos que cos0 = 1 e sen0 = 0, substituindo, fica:
cos( b) = cosb
03) Sabendo-se que sen x =
8
17
, cos y =
3
5
 , 0 x
2

  e
y ,
2

   calcular tg(x+y):
Solução:
Pela expressão e, temos:
tg( x + y) =
tgx tgy
1 tgx.tgy


=
8 4
15 3
8 4
1 .
15 3
 
  
 
 
  
 
=
8 20
15
32
1
45


tg( x+ y) =
12 45
.
15 77

tg( x+ y) =
36
77

Exercícios:
26) Simplificar as expressões abaixo:
a)
cos(a b) cos(a b)
y
sen(a b) sen(a b)
  

  
b)
senb.cos(a b) sen(a b)
y
sen(a 60º) sen(a 60º)
  

  
c)
2sen (a b) 2.senb.cosa.sen(a b)
y
sen(a b).sen(a b)
  

 
R: a) cotg a; b) 1; c) 1
27) Calcule tg (a b). Sabendo-se que cot a =2,
secb 2  e
3
b ,
2

   R:
1
3

28) Calcular sen a, sabendo-se que a + b = 150º,
3
sen.b
4
 e b .
2

   R:
7 3 3
8
 
29) Achar a sec( ab), dados tg a =
3
4
,cossec b =
13
,
12

3
a
2

   e
3
b 2 .
2

   R:
65
33

30) Simplificar a seguinte expressão:
y = cos(x  90º)  cos(x  270º). R: 2senx
31) Calcule:
a)cos 15º R:
6 2
4

b) tg 75º R: 2 3
c) sen 105º R:
6 2
4

32) Sabendo que
13
12
acos  , a + b = 120º e
0 a
2

  , calcule o cos b. R:
12 5 3
26
 
ARCO DUPLO
Fazendo a = b nas fórmulas da soma, vem:
 2 2cos(2a) cos a sen a 
 sen(2a) 2sena.cosa
 2
2.tga
tg(2a)
1 tg a


Obs. A fórmula acima somente é válida para tg a  1
e tg a  1, já que nestes casos o denominador seria
nulo.
EXEMPLOS:
a) sen4x = 2.sen2x.cos2x
b) senx = 2.sen(x/2).cos(x/2)
c) cosx = cos2
(x/2) - sen2
(x/2)
d) cos4x = cos2
2x - sen2
2x
EXERCÍCIOS:
33) Dado tg x 2 1  , calcule tg 2x . R: 1
34) Sendo sen x + cos x =
5
6
, calcular: sen 2x.
R:
11
25
35) Calcular sen(2a+b) , sendo sen a =
3
5
e sen b =
5
,
13
0 a e b
2 2
 
     .
R:
253
325

ARCO METADE
Vamos agora achar as funções trigonométricas da
metade de um arco, partindo das anteriores.
Cosseno do arco metade: Sabemos que:
cos2a = cos2
a  sen2
a
Substituindo sen2
a, por: 1  cos2
a e sen2
a + cos2
a por 1,
vem:
cos2a = 2.cos2
a  1, isolando cos2
a :
cos2
a = (1+cos2a) / 2
Fazendo a = x/2, vem, cos2
(x/2) = [1+cosx]/2.
Podemos escrever então a fórmula do cosseno do arco
metade como:
 x 1 cosx
cos
2 2

 
Seno do arco metade: De maneira análogo, obtemos o
seno e do arco metade.
 x 1 cosx
sen
2 2

 
Tangente do arco metade: Dividindo membro a
membro as equações anteriores, lembrando que
tg(x/2) = sen(x/2) / cos(x/2), vem:
 x 1 cosx
tg
2 1 cosx

 

Obs: o sinal algébrico de cada expressão, vai depender
do quadrante ao qual pertence o arco x/2.
Exercício resolvido:
Sabendo que sen x =
4 3
e <x<
5 2

  , calcular tg
x
2
.
Resolução:
1º passo: determinar o quadrante de
x
2
:
Se
3
<x<
2

 , dividindo todos os termos por 2,
temos:
x 3
2 2 4
 
  , isto é:
x
2
é um arco do 2º quadrante.
2º passo: cálculo de cos x:
2
24
cos x 1
5
 
   
 
3
cosx
5
  
3º passo: cálculo de tg
x
2
2 5x
sen
x 52tg 2
x2 5cos
2 5
   


Exercícios:
36) Sabendo que tg a=
7
3
 e
3
a 2
2

   , calcular
a
sen
2
. R:
2
4
37) Calcular cotg
a
2
, sabendo que sec a =
5
4
 e
3
a
2

   . R:
1
3

38) Dada
2 3
cossecx
3
 e x
2

  , calcular tg
x
2
R: 3
1.34 Transformação de somas em Produto
Veremos nesta seção transformações de expressões
da forma sen p  sen q e cos p  cos q, em produto,
cujas fórmulas são de grande importância nas
simplificações de expressões trigonométricas.
Já sabemos que:
sen(a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a
sen (a  b) = sen a . cos b  sen b . cos a
Fazendo :
a + b = p
a b = q



, temos:
p q
2
p + q
a =
2
b =






Somando membro a membro estas igualdades,
obteremos:
sen(a + b)+ sen(a  b) = 2.sen a . cos b. Daí:
 p q p q
senp senq 2sen .cos
2 2
 
 
Analogamente, obteríamos as seguintes fórmulas:
 p q p q
senp senq 2sen .cos
2 2
 
 
 p q p q
cosp cosq 2cos .cos
2 2
 
 
 p q p q
cosp cosq 2sen .sen
2 2
 
  
Exemplos:
01) Transformar em produto a expressão:
y = sen50º + sen40º
Solução:
50º 40º 40º 50º
y 2sen .cos
2 2
 

y 2sen45º.cos( 5º)  , como cos (a) = cos a, temos
y 2sen45º.cos5º
02) cos 30º + cos 10º = 2.cos20º.cos10º
03) cos 60º +cos40° = 2.sen50º.sen10º
04) sen70º  sen 30º = 2 sen20°.cos 50º
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01) Se sen3x + senx = cos3x + cosx, então
tg2x é igual a:
Solução:
Usando as fórmulas de transformação em produto,
teremos:
3x x 3x x 3x x 3x x
2.sen .cos 2cos .cos
2 2 2 2
   

2.sen2x.cosx = 2.cos2x.cosx.Simplificando:
sen2x = cos2x e, portanto,
sen2x
1
cos2x
  tg2x =1.
02) Determine o período da função:
y = sen20x.cos10x + sen10x.cos20x.
Solução:
Sabemos que sena.cosb + senb.cosa = sen (a + b).
Logo,
y = sen20x.cos10x+sen10x.cos20x = sen(20x+10x)
= sen30x
Portanto, a função dada é equivalente a y = sen30x.
Como, o período de uma função da forma y = senbx é
dado por T = 2 / b.
O período da função dada será: T = 2 / 30 =  /15 rd.
03) Qual o valor máximo da função y = f(x) definida
por:
100
y
100 cosx.cos4x senx.sen4x

 
Solução:
Sabemos que:
cosx.cos4x senx.sen4x = cos(x + 4x) = cos5x
Portanto, podemos escrever:
100
y
100 cos5x


Para que y seja máximo, devemos ter 100+cos5x sendo
o mínimo, e isto só ocorrerá quando cos5x =1.
Logo, o valor máximo da função será:
100 100
y
100 1 99
 

.

04) Seja dada a função y = f(x), definida por:
cosx.cos13x
y
cos3x cos5x


. Nestas condições, pedese
calcular o valor de y = f( /17).
Solução:
Vamos transformar em produto o denominador da
função:
cosx.cos13x cos13x
y
2.cos4x.cosx 2.cos4x
 
mas, cos13x = cos(17x  4x)
= cos17x.cos4x + sen17x.sen4x.
Como x =  /17, vem imediatamente que 17x =  .
Logo, substituindo vem:
cos13x = cos .cos4x + sen .sen4x
= 1.cos4x + 0.sen4x
=  cos4x
Já que cos13x =  cos4x , para x =  /17, substituindo,
vem finalmente:
y =  cos4x / (2.cos4x) = 1/2.
Exercícios:
39) Transformar em produto:
sen28º  sen52º
tg20º + tg60º
2senx + sen2x
sen5a + sena + sen9a  sen3a
R: a) 2sen12ºcos40º
b)
2 80
20
sen º
cos º
c) 24
2
x
senxcos
d) 4sen3a.cos4a.cos2a
1.35 Equações trigonométricas
Toda igualdade que possui uma ou mais funções
trigonométricas em pelo menos um dos membros,
recebe o nome de equações trigonométricas.
Exemplos:
01) sen x + cos x =
3
4
e sen 2x = cos2
x são
equações trigonométricas.
02) x + ( tg 30º) = x2
e x + sen 60º =
3
2
, não são
equações trigonométricas.
Resolver uma equação trigonométrica consite em
determinar os valores dos arcos que verificam a
equação.
Dizemos que r é uma raiz ou solução da equação
trigonométrica f(x) = g(x) se r for elemento do
domínio de f e g e se f(r) = g(r) for verdadeira.
Equações Trigonométricas Fundamentais
Quase todas as equações trigonométricas, quando
convenientemente tratadas e transformadas, podem ser
reduzidas a pelo menos uma das três equações seguintes:
a) sen x = a
b) cos x = a
c) tg x = a
Estas são as equações trigonométricas elementares ou
equações trigonométricas fundamentais As soluções
destas equações podem ser resumidas no seguinte
quadro:
1
2
x 360º.k m
a)senx a para 1 a 1
x 360º.k m
b)cosx a x 360º.k m para 1 a 1
c)tgx a x 180º.k m
 
    
 
      
   
graficamente:
Exemplos:
01) senx =1
Solução:
O arco AM cujo seno é igual a 1 vale 90º, então:
 S x / x k.360º 90º   
a)
b)
c)

02) cossesc x = 2
Solução:
Se cosse x = 2 então senx =
1
2
AM = 30º ( 1º Q) ou AM = 150º ( 2º Q), então:
 S x / x k.360º 30º ou x / x k.360º 150º      
03) cox = 1
Solução:
AM = 180º, então:
 S x / x k.360º 180º   
04) sec x = 2
Solução:
Se sec x = 2 então cosx =
2
2

AM = 135º ( 2º Q) ou AM = 225º = 135º ( 4º Q),
então:
 S x / x k.360º 135º   
05) tg x= 3
Solução:
AM = 120º ( 2º Q) ou AM = 300º = ( 4º Q), então:
 S x / x k.180º 120º   
EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS REDUTÍVEIS
ÀS FUNDAMENTAIS
Existem equações que podem ser reduzidas às
fundamentais, via de regra, qualquer equação
trigonométrica não elementar, pode ser transformada numa
equação elementar, através do uso das relações
trigonométricas usuais, vejamos um exemplo:
Exemplos:
Resolva as seguintes equações trigonométricas
abaixo:
01) 2sen x 3cosx 3 0  
Solução:
Colocando a equação em função de cosx, temos:
 21 cos x 3cosx 3    2cos x 3cosx 2 0    ,
fazendo a mudança de variável y = cos x, temos, a
equação do 2º grau:
2y 3y 2 0   , cuja solução é: y = 1 ou y = 2,
assim recaímos nas equações fundamentais: cos x = 1
ou cos x = 2 (impossível), logo:
 S x / x k.360º  
02)2cosx – 3secx = 5
Solução:
Lembrando que secx = 1/cosx, vem, por substituição:
2.cosx – 3.(1/cosx) – 5 = 0
2.cosx – 3/cosx – 5 = 0
Tirando o mmc:
2.cos2
x – 3 – 5.cosx = 0
Arrumando convenientemente, teremos:
2.cos2
x – 5.cosx – 3 = 0.
Fazendo a substituição trigonométrica y = cosx,
teremos a equação do segundo grau:
22y 5y 3 0  
cuja solução é:
2( 5) ( 5) 4.2.( 3) 5 49 5 7
y
2.2 4 4
       
  
Assim y = 3 ou y= 1/2.
Como y = cosx, a equação cosx = 3 não possui solução,
pois o cosseno só pode assumir valores de  1,1 .
Já para a equação cosx = 1/2, teremos:
AM = 120º ( 2º Q) ou AM = 240º = 120º ( 3º Q),
então:
 S x / x k.360º 120º    ou em radianos:
2
S x / x 2k.
3
 
     
 
03) TG X + COTG X = 2
Solução:
Substituindo tg x e cotg x pelos seus valores expressos
em função de sen x e cosx, vem:
senx cosx
2
cosx senx
 
Efetuando a operação indicada no primeiro membro:
2 2(sen x + cos x)
= 2
(senx.cosx)
, como sen2
x + cos2
x = 1, fica:
1
2
senx.cosx

1 = 2.senx.cosx = sen2x  sen2x = 1
O arco AM cujo seno é igual a 1 vale 90º, então:
2x = k.360º+90º e portanto
 S x / x k.180º 45º   
Exercícios:
40) Resolver as equações trigonométricas abaixo:
sen x = 1
tg x = 0

cossec x = 2
2 sec ( x+ 20º) = 4
sen x 1
6
 
  
 
R: a)  360 270   S x / x k. º º
b)  180  S x / x k. º
c)  120 50   S x / x k. º º
d)  360 225 360 315     S x / x k. º º ou x k. º º
e)  360 80 360 40     S x / x k. º º ou x k. º º
f)
2
2
3
 
     
 
S x / x k.
41) Resolver as equações trigonométricas:
a) 22sen x 3senx 1 0  
b) 23tg x 5 7secx 
c) 2 2cos 3x 2sen 3x 2 
d) 4 4 5
sen x cos x
8
 
R:
 
 
 
360 90
360 30
360 150
   
  
  
a ) S x / x k. º º ou
x / x k. º º ou
x / x k. º º
b)  360 60   S x / x k. º º
c)  60 30   S x / x k. º º
d)  90 30   S x / x k. º º
1.36 Funções circulares inversas
Sabemos que uma função f de domínio D possui inversa
somente se f for bijetora. As funções circulares, conforme
definidas, não são bijetoras, mas podemos tomar
subconjuntos desses domínios para gerar novas
função que possuam inversas.
Exemplo:
A função f(x) = sen x não é bijetora em seu domínio
de definição que é o conjunto dos números reais, pois
para um valor de y correspondem infinitos valores de
x, isto quer dizer que não podemos definir a inversa
de sen(x) em seu domínio. Devemos então restringir o
domínio para um subconjunto dos números reais onde
a função é bijetora.
FUNÇÃO ARCOSENO
Consideremos a função f(x) = sen x, com domínio no
intervalo [/2,/2] e imagem no intervalo [1,1].
A função inversa de f, denominada arco seno de x,
definida por f1
:[1,1] [/2,/2] é denotada por
f1
(x) = arcsen(x).
Lê-se: “ o arco cujo seno é x”
Gráfico da função arcoseno: o gráfico da inversa é
simétrico do gráfico de y = senx em relação à bissetriz
do 1º e 3º quadrantes.
Função arcocosseno
Seja a função g(x) = cos x, com domínio [0,] e
imagem [1,1]. De modo análogo ao estudo da função
seno, podemos definir a função de f, denominada arco
cosseno de x, definida por g1
:[1,1] ] [0,] e
denotada por: g1
(x) = arccos(x).
Lê-se: “ o arco cujo cosseno é x”.
Gráfico da função arcocosseno:
Função arcotangente
Dada a função f(x) = tan(x), com domínio (/2,/2) e
imagem em R, a função inversa de f, denominada
arcotangente é definida por f1
:R (/2,/2) e
denotada por: f1
(x) = arctan(x)
Lê-se: “ o arco cuja tangente é x”.

Gráfico da função arcotangente:
Função arcocotangente
Dada a função f(x) = cotg x, com domínio (0,) e
imagem em R, a função inversa de f, denominada
arcocotangente é definida por f1
:R](0,) e
denotada por: f1
(x) = arccot(x)
Lê-se: “ o arco cuja cotangente é x”.
Gráfico da função arcocotangente:
Exemplos:
01) Calcular  arc tg 3  
SOLUÇÃO:
 arc tg 3  
tg 3 e
2 2
 
      
3

   
02) Calcular
1
y tg arc.sen
2
  
   
  
Solução:
1
arc sen
2
 
   
 
1
sen
2
   e
2 2
 
   
6

   
Como y = tg 
3
y tg y
6 3
 
      
 
03) Achar o domínio e o conjunto imagem da função
y = arc sen ( 4x  3)
solução:
y = arc sen ( 4x  3) seny 4x 3   e
y
2 2
 
  
1 seny 1 1 4x 3 1       
2 4x 4 
1
x 1
2
 
Logo,
1
D x / x 1 e
2
 
    
 
Im `y / y
2 2
  
     
 
Exercícios:
42) Calcular  nos seguintes casos:
a)
1
arc sen
2
 
b)
3
arc cos
2
  
c) arc tg 3 
d) 2arc tg 3 
R: a)
6

; b)
5
6

; c)
3

d)
2


43) Calcular o valor de y para:
a)
1
y cos arc sen
3
 
  
 
b)
5
y tg arc cos
13
  
   
  
c)
3
y tg arc sen
5
  
   
  
R:a)
2 2
3
; b)
12
5
 c)
3
4

44) Determinar do domínio e o conjunto imagem das
funções:
y = arc sen 2x
y = arc cos ( 3x  1)
y = arc tg
3
4
x
R:a)
1 1
2 2
D x / x
 
     
 
e
2 2
Im ` y / y
  
     
 
b)
2
0
3
D x / x e
 
    
 
 0Im ` y / y    

c) D e
0
2
Im ` y / y
 
    
 
1.37 Triângulo Qualquer
Lei dos Senos
Num triângulo qualquer, a razão entre cada lado e o
seno do ângulo oposto é constante e igual ao diâmetro
da circunferência circunscrita ao triângulo, isto é:
     
2
a b c
R
sen Bsen A sen C
  
Demonstração: Para simplificar as notações iremos
denotar o ângulo correspondente a cada vértice pelo
nome do vértice, por exemplo para o triângulo de
vértices ABC os ângulos serão A, B e C
respectivamente, assim quando escrevermos sen(A)
estaremos nos referindo ao seno do ângulo
correspondente ao vértice A.
Seja ABC um triângulo qualquer, inscrito numa
circunferência de raio R. Tomando como base do
triângulo o lado BC, construímos um novo triângulo
BCA', de tal modo que o segmento BA' seja um
diâmetro da circunferência. Este novo triângulo é
retângulo em C.
Temos três casos a considerar, dependendo se o
triângulo ABC é acutângulo, obtusângulo ou
retângulo.
Triângulo acutângulo: Os ângulos correspondentes
aos vértices A e A' são congruentes, pois são ângulos
inscritos à circunferência que correspondem a um
mesmo arco BC. Então:
  2
a
sen A
R

isto é,
 
2
a
R
sen A

Repetindo o mesmo processo para as bases AC e AB,
encontraremos os outros quocientes
   
2
b c
R
sen B sen C
 
Triângulo obtusângulo: Se A e A' são os ângulos que
correspondem aos vértices A e A', a relação entre eles é
dada por A' =  A, pois são ângulos inscritos à
circunferência correspondentes a arcos replementares
BAC e BA'C. Então
 
2
a
sen A senA
R
   
isto é,
 
2
a
R
sen A

Repetindo o mesmo processo para as bases AC e AB,
encontraremos os outros quocientes:
   
2
b c
R
sen B sen C
 
Triângulo retângulo: Como o triângulo ABC é um
triângulo retângulo, é imediato que

      90 1
b c
sen B , sen C e sen A sen º
a a
   
Como, neste caso a=2R, temos,
     
a b c
sen Bsen A sen C
 
Lei Dos Cossenos:
Em um triângulo qualquer, o quadrado da medida de
um lado é igual a diferença entre a soma dos
quadrados das medidas dos outros dois lados e o
dobro do produto das medidas desses lados pelo
cosseno do ângulo formado por estes lados.
 a² = b² + c²  2bc cos( A )
 b² = a² + c²  2ac cos( B )
 c² = a² + b²  2ab cos(C C)
Demonstração: Temos três casos a considerar,
dependendo se o triângulo ABC é acutângulo,
obtusângulo ou retângulo.
Triângulo retângulo: Se o triângulo ABC é retângulo,
com ângulo reto no vértice A. A relação
a² = b² + c²  2bc cos(A)
recai no teorema de Pitágoras.
a² = b² + c²
uma vez que cos(A)=cos(/2)=0.
Triângulo acutângulo: Seja o triângulo ABC um
triângulo acutângulo com ângulo agudo
correspondente ao vértice A, como mostra a figura.
Seja o segmento de reta HC perpendicular ao lado AB
(altura do triângulo relativa ao lado AB), passando pelo
vértice C. Aplicando o Teorema de Pitágoras no
triângulo CHB, temos:
a² = h² + ( c x)²
= h² + (c ²2cx + x²)
= (h² + x²) + c² 2cx (Equação 01)
No triângulo AHC, temos que:b² = h² + x²
e também cos(A)=x / b, ou seja, x = b cos(A)
Substituindo estes resultados na equação (Eq. 01),
obtemos:
a² = b² + c²  2bc cosA
Triângulo obtusângulo: Seja o triângulo obtusângulo
ABC com o ângulo obtuso correspondente ao vértice A,
como mostra a figura.
Seja o segmento de reta HC perpendicular ao lado AB
(altura do triângulo relativa ao lado AB), passando pelo
vértice C. Aplicando o Teorema de Pitágoras no
triângulo CHB, temos que:
a² = h² + ( c x)²
= h² + (c ²2cx + x²)
= (h² + x²) + c² 2cx (Equação 02)
No triângulo AHC, temos que b² = h² + x² e também:
cos(D)= x / b= cos( A) = cos(A), então, x = b
cos(A)
Substituindo estes resultados na equação (Eq.02),
obtemos:
a² = b² + c²  2bc cos(A)
Exemplos:
01) Dadas duas forças concorrentes F1 = 10 Kgf e F2
=15 Kgf, sabendo que formam um ângulo de 120º,
calcular a resultante.

Solução:
Aplicando a lei dos cossenos, temos:
2 2 2
r 1 21 2F F F 2F F cos60º  
2 2 2
r
1
F 10 15 2.10.15.
2
  
2
rF 175
rF 175
rF 5 7 Kgf
02) Num triângulo dois lados de medidas 4cm e 8cm
formam entre si um angulo de 60º. Qual a medida do
outro lado?
Solução:
Ora, sendo x a medida do terceiro lado, teremos:
x2
= 42
+ 82
– 2.4.cos60º = 16 + 64 – 8.(1/2),
já que cos60º = 1/2.
x2
= 16 + 64 – 4 = 76
x2
= 22
.19  x = 2 19 cm
03) Determine o comprimento do lado de um
hexágono regular inscrito num círculo de raio R.
Solução:
R = raio do círculo.
Sabemos que um hexágono regular possui 6 lados de
medidas congruentes, ou seja de medidas iguais.
Observe que o angulo A é igual a 60º. Logo, o lado
PQ do hexágono regular será dado pela lei dos
cossenos por:
PQ2
= R2
+ R2
– 2.R.R.cos60º = 2R2
– R2
PQ2
= R2
, de onde conclui-se: PQ = R, ou seja, a
medida do lado de um hexágono regular inscrito num
círculo de raio R é igual a R
03) Em uma região há um rio com curso irregular.
Sua largura não é constante e ele faz muitas curvas.
Entre os ponto A e B, situados em margens opostas,
deseja-se construir uma ponte. Para isso, é necessário
determinar a distância AB. O topógrafo, que está na
margem inferior assinala com uma estaca um ponto C
qualquer. Com a trena, ele mede a distância AC e
encontra 56 m. Com o teodolito ele mede os ângulos
BAC e ACB encontrando 118º e 35º,
respectivamente. Qual será o valor da distância AB?
Solução:
Vamos analisar o triângulo ABC. Se A =118º e C = 35º,
então podemos calcular o ângulo B . Como sabemos, a
soma dos triângulos é 180º.
118º B 35º 180º B 27º    
Determinando AB = c e AC = b, a lei dos senos nos
informa que:
c b
senBsenC
 , ou seja,
c 56
sen35º sen27º

Utilizando uma calculadora científica, determinamos o
valor de c = 70,75 m.
Exercícios:
45) Num triângulo ABC, b = 7m, c = 5 m e Â= 60º.
Calcule a medida do lado a. R: 39a cm
46) Em um triângulo, são dados: a = 4cm , b = 3cm, c
= 3cm, calcule o cos Â. R: A = arc cos
1
9
47)Em um triângulo, são dados: A = 30º, B = 45º e a
= 4m . Calcule os lados b e c.
R:  4 2 2 2 b m e c= 2 6 m
48) Num triângulo, os lados que formam um ângulo de
60º, a medida de um é o dobro do outro. Calcular a
medida dos demais ângulos internos. R: 30º e 90º
Desafio final: O ângulo sob o qual um observador vê
uma torre duplica quando ele se aproxima 110m e
triplica quando se aproxima mais 50m. Calcular a altura
da torre. R: 88 m
F1 60º
120º
F2

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