Estudo da Trigonometria revendo os conceitos basicos

Trigonometria
2
O significado da palavra trigonometria, vem do grego e resulta da
conjunção de três palavras:
Tri – três
Gonos – ângulo
Metrein - medir
Trigonometria significa, o estudo das medidas dos triângulos.

4
Algumas aplicações da Trigonometria

Triângulo retângulo
7
Triângulo retângulo é todo triângulo que apresenta um ângulo reto, ou
seja, um ângulo de 90°.
cateto
cateto
hipotenusa
cateto
cateto
hipotenusa
A hipotenusa é sempre o maior lado do triângulo retângulo;
Em qualquer triângulo, a soma dos ângulos internos é sempre 180°;
Como num triângulo retângulo um dos ângulos é reto, a soma dos outros
dois ângulos agudos (menores que 90º) é sempre 90°;
Quando a soma de dois ângulos internos é igual a 90°, dizemos que esses
ângulos são complementares.

Teorema de Pitágoras
8
Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é
igual a soma dos quadrados das medidas dos catetos.
c = 4
b = 3
a = 5
25
25
16
9
25
4
3
5 2
2
2
2
2
2






 c
b
a

Aplicação do Teorema de Pitágoras
9
2
2
:
2
2
3
4
3
4
2
:
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2































d
d
d
h
h
h
h

Teorema de Tales
10
Um feixe de retas paralelas, intersectado por duas transversais,
determina, sobre essas transversais segmentos proporcionais.
Exemplo de aplicação:

Relações Trigonométricas num triângulo retângulo
12
Seno

Cálculo de seno, cosseno e tangente dos ângulos
notáveis
Seno, cosseno e tangente de 30° e 60º
adjacente
cateto
oposto
cateto
tgα
hipotenusa
adjacente
cateto
cosα
hipotenusa
oposto
cateto
senα



18
2

Seno, cosseno e tangente de 45°
adjacente
cateto
oposto
cateto
tgα
hipotenusa
adjacente
cateto
cosα
hipotenusa
oposto
cateto
senα



19

Construção da Tabela Trigonométrica
20

Relações entre seno, cosseno e tangente
21

23
Observe a situação a seguir:
Um fio elétrico será instalado entre um poste P e uma casa, separados
por um lago em um terreno plano. Como calcular o comprimento do
fio necessário para a instalação?
Pela necessidade de solucionar
problemas relacionados a triângulos
que não são retângulos, se
desenvolveram formas de trabalhar
com senos e cossenos de ângulos
obtusos ( maiores que 90°).

Teorema ou Lei dos Senos
24
A lei dos senos pode ser utilizada em
qualquer triângulo. No caso de
triângulos retângulos, basta considerar
sen 90° = 1.

Aplicação da Lei dos Senos
25
A Lei dos Senos é geralmente usada, quando são conhecidos 2 ângulos internos
e a medida do cateto oposto a um desses ângulos.

Teorema ou Lei dos Cossenos
26
A Lei dos Cossenos é geralmente usada, quando são conhecidas as medidas de
dois lados e o ângulo formado por eles.

29
Existem problemas em que se deseja calcular a área de um triângulo
e não são conhecidas as medidas da base e altura. Nesses casos,
a área pode ser calculada de duas maneiras diferentes:
1ª maneira: Área de um triângulo em função da medidas de
dois lados e do ângulo compreendido entre eles.

30
2ª maneira: Fórmula de Heron

33
ÂNGULO CENTRAL
Todo ângulo central possui um arco correspondente,
e reciprocamente, a todo arco corresponde um
ângulo central.
A medida de um arco é entendida como a medida do
seu ângulo central. Para medir um arco, usamos o
grau ou o radiano.
O comprimento de um arco é a sua medida linear e é expresso em centímetros,
metros...
IMPORTANTE
Os arcos AB e A’B’ têm a mesma “abertura”, ou
seja, a mesma medida (mesmo ângulo), mas
possuem comprimentos diferentes.

34
MEDIDA DE ARCOS: O GRAU
O grau é definido, dividindo-se uma
circunferência em 360 partes iguais. Cada
uma dessas partes, corresponde a um arco
de um grau (1°).
Transferidor:
usado para
medir ângulos.

35
MEDIDA DE ARCOS: O RADIANO
Observe o arco AB da circunferência, em
que o comprimento é igual a medida do
raio:
Dizemos que, a medida do arco AB ou do
ângulo central BÔA, é igual a 1 radiano
(1 rad).
Assim, dizemos que um arco AB que
possui comprimento igual ao raio da
circunferência, mede 1 radiano.

36
Qual é o comprimento de uma circunferência?
R
C
R
C
Diâmetro
o
Compriment



2
2
141592654
,
3




 (Pi)
Qual é a medida em radianos de um arco de 360°?
)
(360
ncia
circunferê
uma
de
arco
do
medida
rad
rad
rad
arco
do
Medida
arco
do
o
Compriment











2
2
2
1
2
2
1
x
R
R
x
R
xR
x
rad
R
R
x
πR
rad
R

37
Quantos graus mede um arco de 1 radiano?
rad
rad






180
2
360
Portanto, temos que:













3
57
14
,
3
180
180
2
360
360
2
1
2
360
1
2
º
360
,
x
π
x
x
π
x
rad
x
rad
π
radianos
em
arco
do
Medida
graus
em
arco
do
Medida



38
CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA

40
CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA:
Arcos Simétricos






180
:
IIQ






180
:
IIIQ
π-α
IV
2
360
: 



:
IQ
2
90






180
2
3
270




2
360 


41
SENO, COSSENO E TANGENTE NA
CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA
Sinal SENO:
= 30°
= 45°
= 60°
90°
120° =
135° =
150° =
210° =
225° =
240° =
270°
= 300°
= 315°
= 330°


 360
2
Seno

42
Sinal COSSENO:
= 30°
= 45°
= 60°
90°
120° =
135° =
150° =
210° =
225° =
240° =
270°
= 300°
= 315°
= 330°


 360
2
Cosseno

43
Sinal TANGENTE:
= 30°
= 45°
= 60°
90°
120° =
135° =
150° =
210° =
225° =
240° =
270°
= 300°
= 315°
= 330°


 360
2
Tangente

44
= 30°
= 45°
= 60°
90°
120° =
135° =
150° =
210° =
225° =
240° =
270°
= 300°
= 315°
= 330°


 360
2
Tangente
Seno
Cosseno

45
DEMAIS RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
Secante: o sinal da secante é o mesmo do cosseno
x
x
cos
1
sec 
Cossecante: o sinal da cossecante é o mesmo do
seno x
x
sen
1
sec
cos 
Cotangente: o sinal da cotangente é o mesmo da
tangente. x
x
gx
sen
cos
cot 

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