O documento apresenta a resolução algébrica e a interpretação geométrica de sistemas de equações lineares, tanto com duas quanto com três incógnitas, destacando os tipos de sistemas: possíveis e determinados, possíveis e indeterminados, e impossíveis. Exemplos são fornecidos para cada tipo, contextualizando situações práticas que ilustram a aplicação desses conceitos. Além disso, aborda sistemas não lineares, com ênfase na intersecção de curvas e suas implicações geométricas.

1. NOVAS TECNOLOGIAS NO ENSINO DA MATEMÁTICA – NTEM
ALUNA: LUANA FERREIRA D’AVILA
PÓLO: NOVA IGUAÇU GRUPO: 2 Atividade 1: TAAGEM
Resolução Algébrica e Interpretação Geométrica de Sistemas de Equações 2x2
Apresentarei neste tópico três exemplos que demonstram a interpretação geométrica
da solução algébrica de sistemas de equações lineares de duas equações com duas incógnitas.
Para este caso temos que o sistema pode ser possível e determinado (SPD), possível e
indeterminado (SPI) ou impossível (SI).
SISTEMA IMPOSSIVEL
Este tipo de sistema não tem solução algébrica. De fato, as retas cujas equações gerais são:
6x + 4y = 31
são retas paralelas, não possuem ponto em comum na geometria euclidiana.
3x + 2y = 7
Contextualizando: O triplo da altura de uma estrutura metálica pequena somado ao dobro
de sua largura dá 7 metros. Ao somarmos as medidas da altura e largura de uma estrutura
maior que possui o dobro da medida da estrutura menor obtemos 31 metros. Quanto mede a
altura e largura da estrutura maior? Não existe estrutura que atenda estas características.
FIGURA 1

2. SISTEMA LINEAR POSSÍVEL E DETERMINADO
O sistema tem solução algébrica única, que podemos ver através da
representaçãográfica que nos mostra o ponto de interseção das retas cujasequações gerais são:
x+y=2
Solução: x=2 e y=0
3x - y = 6
Contextualizando: A soma da quantidade em reais que eu e minha irmã temos no
bolso dá R$ 2,00. O triplo da quantia que me cabe diminuido da quantia exata que minha
irmã tem resulta em R$ 6,00. Quantos reais temos separadamente?
FIGURA 2

3. SISTEMA LINEAR POSSIVEL E INDETERMINADO
Este tipo de sistema tem infinitas soluções que são representadas pela interseção das
retas cujas equações gerais são:
x+y=4
Observa-se que estas equações representam retas coincidentes.
2x + 2 y = 8
Contextualizando: O semi-perímetro de uma caixa de lados x e y mede 4 metros. O
perímetro de uma segunda caixa com lados iguais a 2x e 2y mede 8 metros. Qual a medida
dos lados de cada caixa?
FIGURA 3

4. Resolução Algébrica e Interpretação Geométrica de Sistemas de Equações 3x3
Apresentarei neste tópico exemplos que demonstram a interpretação geométrica da
solução algébrica de sistemas de equações lineares de três equações com três incógnitas. Em
um sistema de equações com três equações com três incógnitas, cada equação representa um
plano no espaço tridimensional.
Para este caso temos que o sistema pode ser possível e determinado (SPD), possível e
indeterminado (SPI) ou impossível (SI).
Na totalidade, existem oito posições possíveis para os planos α, βe µ.
sistema possível e determinado: 1 posição
sistema possível e indeterminado: 3 posições
sistemas impossíveis: 4 posições
Abaixo são expostas estas oito posições relativas de α, βe µ:

5. SISTEMA LINEAR POSSIVEL E DETERMINADO- 3X3
O sistema é determinado , ou seja, possui solução única, quando os três planos se
encontram em um único ponto.
x-y+z = 6 ( )
x+y-z = 4 ( ) Solução: x=5, y=6 e z=7
2x - y + 3z = 25 ( )
Contextualizando: Fui ao shopping passear e num impulso adquiri vestidos, saias e
sapatos. Ao ser questionada por meu pai sobre a quantidade de peças, respondi:
A quantidade de vestidos diminuída da quantidade de saias, mais o número de sapatos
dá 6.
A quantidade de vestidos somada a quantidade de saias, diminuída do número de
sapatos dá 4.
O dobro de vestidos menos o número de saias somado ao triplo da quantidade de
sapatos daria 25.
Será que meu pai será capaz de descobrir a quantia exata de vestidos, saias e sapatos que
comprei?
y
PLANO α
PLANO β
PLANO µ
z
x
FIGURA 4

6. SISTEMA LINEAR POSSIVEL E INDETERMINADO- 3X3
Quando os três planos se intersectam em uma reta r, isto é, se α∩ β∩ µ = r, diz-se que
o sistema é indeterminado e a solução do sistema está contida em qualquer ponto da reta r. Há
três casos possíveis:
1º CASO- Os 3 planos são diferentes e possuem uma reta r em comum, α∩ β∩ µ = r.
Qualquer ponto desta reta r pertence ao conjunto solução do sistema.
x y+z =1 ( )
2x - y z = 3 ( ) Uma das possíveis soluções: x= 4/3 , y= -1/3 e z=0
5x 2y + 4z = 6 ( )
Contextualizando: Há possibilidade geométrica de construir uma caixa com as
dimensões oferecidas acima?Espera-se que o aluno interprete este possível resultado como
solução para o sistema, mas que não solucione o problema proposto.
(-2.68,-4.47,3.29)
z
PLANO α
PLANO β
PLANO µ
x y
(5.35,3.81,-3.29)
FIGURA 5.1

7. 2º CASO: Os 3 planos são coincidentes, ou seja, estão sobrepostos.Neste caso o
sistema é indeterminado e qualquer pontodos planos é uma solução do sistema.
x 2y - z = 3 ( )
2x 4y 2z = 6 ( ) Uma das possíveis soluções: x= 3 , y= 0 e z=0
3x 6y - 3z = 9 ( )
Observa-se qua as equações dos planos são múltiplas uma das outras.
Contextualizando: Há possibilidade geométrica de construir uma caixa com as
dimensões oferecidas acima?Espera-se que o aluno interprete este possível resultado como
solução para o sistema, mas que não solucione o problema proposto.
(4.88,4.92,1.29)
x
z
PLANO α
y
PLANO β
PLANO µ
(-2.88,-0.92,-5.29)
FIGURA 5.2

8. 3º CASO: 2 planos coincidem e o 3º plano intercede-os numa reta r. Qualquer ponto
que esteja sobre a reta r pertence ao conjunto solução deste sistema.
x + 2y - z = 3 ( )
2x + 4y - 2z = 6 Uma das possíveis soluções é : x=3, y=0 e z=0
3x + 6y + z = 9 ( )
Contextualizando: Um grupo de amigos que viaja em carros separados desloca-se
segundo o sistema de equações acima. Há possibilidade de nos encontrarmos no
caminho?Algum grupo viaja junto? Em que ponto podemos marcar para nos encontrarmos?
(-0.46,-2.44,3.56)
PLANO α
PLANO β
PLANO µ
(6.46,2.44,-3.56)
FIGURA 5.3

9. SISTEMA LINEAR IMPOSSÍVEL
Um sistema é dito impossível quando ao menos dois desses planos estão paralelos no
espaço, ou se dois deles intersectam o terceiro segundo retas paralelas. Neste caso a interseção
α∩ β∩ µ é vazia. Há quatro casos possíveis de impossibilidade de solução:
1º CASO- 2 planos são coincidentes e o 3º plano é paralelo aos demais. Não há
interseção dos três planos mutuamente.
x + 2y - z = 3 ( )
2x + 4y - 2z = 6
3x + 6y - 3z = 8 ( )
Contextualizando: Recebi uma encomenda de casinha de cachorro com as seguintes
características:
A medida da altura somada ao dobro da largura diminuída da medida da
profundidade deve resultar em 3 metros.
O dobro das características acima deve resultar em 6 metros.
No entanto, o triplo das caracteríticas exigidas dever se igualar a 8 metros,
devido a problemas de espaço.
Que medidas deve ter a casinha de cachorro para que atenda a todas as características
acima? Existe alguma possibilidade desta casinha ser construída?

10. z
PLANO α
PLANO β
PLANO µ
y
x
FIGURA 6

11. 2º CASO- os 3 planos são paralelos. Assim, α// β // µ , impossibilitando um ponto de
interseção aos planos.
x + 2y - z = 3 ( )
2x + 4y - 2z = 4
3x + 6y - 3z = 5 ( )
Contextualizando: Existe algum sólido geométrico cujas medidas de altura, largura e
profundidade atenda às características citadas no sistema cima?
(6.88,-2.92,6.29)
PLANO α
PLANO β
PLANO µ
(-3.88,5.92,-3.29)
FIGURA 6.1

12. 3º CASO- Há 2 planos paralelos e o 3º faz uma interseção com os demais. Pode-se
observar no gráfico queα // β e µ∩ α, µ∩β. Não há ponto de interseção entre os três planos
simultaneamente.
x - 2y + 3z = 4 ( )
2x + 4y + z = 0
x+y+z =3 ( )
Contextualizando: Crie um cubo cujas faces obedeçam as medidas de altura, largura
e comprimento indicadas no sistema de equações acima.
(3.77,-3.77,10.54)
PLANO α
PLANO β
PLANO µ
x
y
(-3.77,3.77,-4.54)
FIGURA 6.2

13. 4º CASO: Os 3 planos se interceptam dois a dois segundo retas paralelas:
α ∩ β, α ∩ µ, µ∩β
x + 2y - 3z = 1 ( )
3x + y + z = 2
8x + y + 6z = 2
Contextualizando: Eu, meu avô e uma tia nos movimentamos em carros separados
segundo o sistema de equações acima. Em que ponto podemos marcar para nós três nos
encontrarmos?
(-4.51,-4.19,3.43)
z
PLANO α
x
y
PLANO β
PLANO µ
(4.51,4.19,-3.43)
FIGURA 6.3
(4.51,-4.19,3.43)
z
x
y
(-4.51,4.19,-3.43)
FIGURA 6.4

14. Resolução e Interpretação Geométrica de Sistemas de Equações Não Lineares
Um sistema não-linear é aquele que não pode ser modelado por meio de equações
lineares: algébricas ou diferenciais.
Intersecção de círculo com hipérbole
Temos 4 soluçõesque são os pontos onde as curvas se interceptam. No gráfico pode-se
ver claramente os pontos de interseção.
x 2 + y2 - 2 = 0
9x 2 - y 2 - 9 = 0
Contextualizando: Um satélite que possui órbita circular descrita pela equação
x 2 + y 2 - 2 = 0 é ameaçado pela órbita de um astro que se move segundo a equação
9x 2 - y 2 - 9 = 0 . Há chance deste satélite colidir com o astro desconhecido? Se houver
chance, cite em qual ponto esta colisão pode ocorrer.

15. y
x

16. Sistemas 2x2 – Print da tela do Maxima
Sistemas 3x3 – Print da tela do Maxima

17. Print com tela do Maxima para as cônicas