Ângulos triângulos

Matemática - 9º Ano
2011-2012

Ângulo: é o conjunto de pontos do plano delimitado
por duas semi-retas com origem comum. A medida da
amplitude do ângulo é dada em graus.
Neste caso, o ângulo AOB tem origem em O e é
delimitado pelas semi-retas OA e OB.

CLASSIFICAÇÃO DE ÂNGULOS QUANTO À
AMPLITUDE

2011-2012

Ângulos adjacentes
Consideremos dois ângulos com uma semi-reta
comum, por exemplo a semi-reta OC:

• Os ângulos AOC e COB são adjacentes, porque têm
um lado comum que os separa.

• Os ângulos AOB e COB não são adjacentes, porque,
apesar de terem um lado comum, este não os separa.

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Ângulos suplementares e
complementares
Ângulos suplementares são suplementares, porque
Os ângulos AOC e COB
quando adjacentes, formam um ângulo raso, ou seja de
180°.
Ângulos AOC + COB = 180°

Ângulos complementares

Os ângulos AOC e COB são complementares porque,
quando adjacentes, formam um ângulo reto.
Ângulos AOC + COB = 90°.
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Ângulos verticalmente opostos

As semi-retas que constituem o ângulo a são as semi-retas
opostas àquelas que constituem o ângulo d (verificando-se o
mesmo c e b);
a diz-se verticalmente oposto a d (e vice e versa) e c diz-
se verticalmente oposto a b (e vice versa).

Quaisquer dois ângulos verticalmente opostos são
congruentes (geometricamente iguais).
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Ângulos de lados paralelos

Aos pares de ângulos assinalados chama-se ângulos

de lados paralelos – são ângulos cujas semi-retas

que os definem são paralelas (em sentido estrito ou

coincidentes).

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• Na figura, os ângulos a
e b têm os lados paralelos
e são ambos agudos, pelo
que são congruentes.

•Na figura, os ângulos c e
d têm os lados paralelos
e são ambos obtusos,
pelo que são congruentes.

• Na figura, os ângulos a e
d têm os lados paralelos.
No entanto, a é agudo e d
é obtuso, pelo que são
ângulos suplementares .

Em particular, se ambos fossem retos, então seriam congruentes e
suplementares.
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Ângulos alternos – externos
Dadas duas retas paralelas intersectadas
por uma terceira, concorrente, chama-se
ângulos alternos – externos aos pares a e
c (são congruentes) e b e d (também
congruentes),
assinalados na figura.

Ângulos alternos – internos
Dadas duas retas paralelas intersectadas
por uma terceira, concorrente, chama-se
ângulos alternos – internos aos pares e e
g (são congruentes) e f e h (também
congruentes),
assinalados na figura.

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Posição relativa de duas retas no
plano

Paralelas:
Na figura a e b são retas paralelas:
a//b
As retas paralelas podem ser:
• Estritamente paralelas (quando não se
intersectam);
• Coincidentes (quando se intersectam
em todos os seus pontos)
Concorrentes:

Perpendiculares
Na figura a e c são retas
perpendiculares (intersectam-se,
formando ângulos retos):
Oblíquas
Na figura, a e d são retas oblíquas
(intersectam-se, mas não formam
ângulos retos ):
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•A soma das amplitudes dos ângulos internos
de um qualquer triângulo é 180°

•A amplitude de um ângulo externo de um
triângulo é igual à soma das amplitudes dos
ângulos internos não adjacentes

•A soma das amplitudes dos ângulos externos
de um qualquer triângulo é 360°

• Diz-se que dois triângulos (ou quaisquer
duas figuras) são congruentes se puderem
ser sobrepostos ponto por ponto.
Se assim for, têm lados correspondentes com
o mesmo comprimento e ângulos
correspondentes com a mesma amplitude.

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Critério de congruência LAL (lado – ângulo – lado)
Se dois lados de um triângulo e o ângulo por eles formado forem
congruentes com os elementos correspondentes de um outro
triângulo, os triângulos são congruentes.

Critério de congruência ALA (ângulo – lado – ângulo)
Se um dos lados de um triângulo e os ângulos adjacentes a esse
lado forem congruentes aos elementos correspondentes de um
outro triângulo, os triângulos são congruentes.

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Critério de congruência LLL (lado – lado – lado)
Se os três lados de um triângulo forem congruentes aos lados
correspondentes de um outro triângulo, os triângulos são congruentes.

Em geral:

Num triângulo, ao maior lado opõe-se o maior ângulo (e vice versa) e ao
menor lado opõe-se o menor ângulo (e vice versa).
Num triângulo, a ângulos congruentes opõem-se lados congruentes (e
vice – versa).

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Eixos de Simetria de um
triângulo

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Quadriláteros

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A soma das amplitudes dos ângulos internos de qualquer
quadrilátero é 360°.

Diagonais e eixos de simetria de um paralelogramo

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Figuras semelhantes

Duas figuras são semelhantes se têm a mesma forma. Duas figuras
têm a mesma forma se são congruentes ou se uma delas é ampliação
da outra. Figuras ampliadas, reduzidas ou congruentes são
Dois polígonos são semelhantes se têm os ângulos correspondentes iguais
semelhantes.
e os lados correspondentes proporcionais.

Razão de semelhança

r > 1 – ampliação 0 < r < 1 – redução r = 1 – igualdade geométrica

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Critérios de semelhança de
triângulos

Critério de semelhança AA

(ângulo – ângulo): se dois triângulos tiverem dois ângulos correspondentes
congruentes, então são semelhantes.

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Critério de semelhança LLL

(lado – lado- lado): se dois triângulos tiverem as medidas dos três lados
correspondentes proporcionais, então são semelhantes.

Matemática - 9º Ano 2011-2012

Critério de semelhança LAL

(lado – ângulo – lado): se dois triângulos tiverem as medidas de dois lados
correspondentes proporcionais e os ângulos entre esses lados congruentes,
então são semelhantes.

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Relação entre os perímetros e áreas de triângulos
semelhantes

Em geral verifica-se que:

A razão entre os perímetros de dois triângulos semelhantes é igual à
razão de semelhança.

A razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes é igual ao
quadrado da razão de semelhança.

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