Este documento apresenta uma agenda para discutir vários tópicos relacionados a variáveis aleatórias, incluindo: (1) distribuição uniforme, (2) média e variância da distribuição uniforme, (3) distribuição normal, (4) distribuição F, e (5) distribuição t de Student. O documento também fornece uma introdução sobre variáveis aleatórias e suas funções de distribuição e densidade. Por fim, discute a distribuição uniforme em mais detalhes, definindo sua função de densidade, esperança matemática e

1. Anselmo Alves de Sousa
Estatístico - CONRE 9743

4. Agenda

5. Agenda
Variável Aleatória:

6. Agenda
Variável Aleatória: função de distribuição e de densidade;

7. Agenda
Variável Aleatória: função de distribuição e de densidade;
0 Distribuição Uniforme

8. Agenda
Variável Aleatória: função de distribuição e de densidade;
0 Distribuição Uniforme X ∼ U[a, b];

9. Agenda
Variável Aleatória: função de distribuição e de densidade;
0 Distribuição Uniforme X ∼ U[a, b];
1 Média e Variância: X ∼ U[a, b];

10. Agenda
Variável Aleatória: função de distribuição e de densidade;
0 Distribuição Uniforme X ∼ U[a, b];
1 Média e Variância: X ∼ U[a, b];
2 Distribuição Normal

11. Agenda
Variável Aleatória: função de distribuição e de densidade;
0 Distribuição Uniforme X ∼ U[a, b];
1 Média e Variância: X ∼ U[a, b];
2 Distribuição Normal X ∼ N(µ, σ2
);

12. Agenda
Variável Aleatória: função de distribuição e de densidade;
0 Distribuição Uniforme X ∼ U[a, b];
1 Média e Variância: X ∼ U[a, b];
2 Distribuição Normal X ∼ N(µ, σ2
);
3 Distribução F de probabilidade;

13. Agenda
Variável Aleatória: função de distribuição e de densidade;
0 Distribuição Uniforme X ∼ U[a, b];
1 Média e Variância: X ∼ U[a, b];
2 Distribuição Normal X ∼ N(µ, σ2
);
3 Distribução F de probabilidade;
4 Distribuição t de Student.

14. Agenda
Variável Aleatória: função de distribuição e de densidade;
0 Distribuição Uniforme X ∼ U[a, b];
1 Média e Variância: X ∼ U[a, b];
2 Distribuição Normal X ∼ N(µ, σ2
);
3 Distribução F de probabilidade;
4 Distribuição t de Student.

15. Introdução

16. Introdução
i. Variável Aleatória:

17. Introdução
i. Variável Aleatória: Seja (Ω, F, P)

18. Introdução
i. Variável Aleatória: Seja (Ω, F, P) um espaço de probabilidade.
Denominamos variável aleatória, qualquer função:

19. Introdução
i. Variável Aleatória: Seja (Ω, F, P) um espaço de probabilidade.
Denominamos variável aleatória, qualquer função: X : Ω → R

20. Introdução
i. Variável Aleatória: Seja (Ω, F, P) um espaço de probabilidade.
Denominamos variável aleatória, qualquer função: X : Ω → R tal que
X−1
(I) = {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ I} ∈ F

21. Introdução
i. Variável Aleatória: Seja (Ω, F, P) um espaço de probabilidade.
Denominamos variável aleatória, qualquer função: X : Ω → R tal que
X−1
(I) = {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ I} ∈ F
uma variável aleatória (v.a)

22. Introdução
i. Variável Aleatória: Seja (Ω, F, P) um espaço de probabilidade.
Denominamos variável aleatória, qualquer função: X : Ω → R tal que
X−1
(I) = {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ I} ∈ F
uma variável aleatória (v.a) é um característico numérico do resultado de
um experimento aleatório.

23. Introdução
i. Variável Aleatória: Seja (Ω, F, P) um espaço de probabilidade.
Denominamos variável aleatória, qualquer função: X : Ω → R tal que
X−1
(I) = {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ I} ∈ F
uma variável aleatória (v.a) é um característico numérico do resultado de
um experimento aleatório.
Uma variável aleatória X em um espaço de probabilidade (Ω, F, P)

24. Introdução
i. Variável Aleatória: Seja (Ω, F, P) um espaço de probabilidade.
Denominamos variável aleatória, qualquer função: X : Ω → R tal que
X−1
(I) = {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ I} ∈ F
uma variável aleatória (v.a) é um característico numérico do resultado de
um experimento aleatório.
Uma variável aleatória X em um espaço de probabilidade (Ω, F, P) é
uma função real denida no espaço Ω

25. Introdução
i. Variável Aleatória: Seja (Ω, F, P) um espaço de probabilidade.
Denominamos variável aleatória, qualquer função: X : Ω → R tal que
X−1
(I) = {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ I} ∈ F
uma variável aleatória (v.a) é um característico numérico do resultado de
um experimento aleatório.
Uma variável aleatória X em um espaço de probabilidade (Ω, F, P) é
uma função real denida no espaço Ω tal que [X ≤ x]

26. Introdução
i. Variável Aleatória: Seja (Ω, F, P) um espaço de probabilidade.
Denominamos variável aleatória, qualquer função: X : Ω → R tal que
X−1
(I) = {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ I} ∈ F
uma variável aleatória (v.a) é um característico numérico do resultado de
um experimento aleatório.
Uma variável aleatória X em um espaço de probabilidade (Ω, F, P) é
uma função real denida no espaço Ω tal que [X ≤ x] é evento aleatório
∀x ∈ R; i.e,

27. Introdução
i. Variável Aleatória: Seja (Ω, F, P) um espaço de probabilidade.
Denominamos variável aleatória, qualquer função: X : Ω → R tal que
X−1
(I) = {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ I} ∈ F
uma variável aleatória (v.a) é um característico numérico do resultado de
um experimento aleatório.
Uma variável aleatória X em um espaço de probabilidade (Ω, F, P) é
uma função real denida no espaço Ω tal que [X ≤ x] é evento aleatório
∀x ∈ R; i.e,
X : Ω → R é variável aleatória se [X ≤ x] ∈ F, ∀x ∈ R

28. Introdução

29. Introdução
Sendo X uma va em (Ω, F, P) sua função de distribuição é denida por:

30. Introdução
Sendo X uma va em (Ω, F, P) sua função de distribuição é denida por:
FX(x) = P(X ∈ (−∞, x])) = P(X ≤ x)

31. Introdução
Sendo X uma va em (Ω, F, P) sua função de distribuição é denida por:
FX(x) = P(X ∈ (−∞, x])) = P(X ≤ x)
A partir da f.d obtemos quaisquer informações acerca da v.a.

32. Introdução
Sendo X uma va em (Ω, F, P) sua função de distribuição é denida por:
FX(x) = P(X ∈ (−∞, x])) = P(X ≤ x)
A partir da f.d obtemos quaisquer informações acerca da v.a.
Obtemos também a função de densidade de probabilidade

33. Introdução
Sendo X uma va em (Ω, F, P) sua função de distribuição é denida por:
FX(x) = P(X ∈ (−∞, x])) = P(X ≤ x)
A partir da f.d obtemos quaisquer informações acerca da v.a.
Obtemos também a função de densidade de probabilidade ou a função de
probabilidade

34. Introdução
Sendo X uma va em (Ω, F, P) sua função de distribuição é denida por:
FX(x) = P(X ∈ (−∞, x])) = P(X ≤ x)
A partir da f.d obtemos quaisquer informações acerca da v.a.
Obtemos também a função de densidade de probabilidade ou a função de
probabilidade , que está associada à uma função de distribuição;

35. Introdução
Sendo X uma va em (Ω, F, P) sua função de distribuição é denida por:
FX(x) = P(X ∈ (−∞, x])) = P(X ≤ x)
A partir da f.d obtemos quaisquer informações acerca da v.a.
Obtemos também a função de densidade de probabilidade ou a função de
probabilidade , que está associada à uma função de distribuição;

36. Exame 2019

37. Exame 2019 Questão 1

38. Exame 2019 Questão 1
Julgue como verdadeiras ou falsas as armativas que se seguem:

39. Exame 2019 Questão 1
Julgue como verdadeiras ou falsas as armativas que se seguem:
0. Uma dada variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [2, 5] tem
média igual a 3, 50.

40. Exame 2019 Questão 1
Julgue como verdadeiras ou falsas as armativas que se seguem:
0. Uma dada variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [2, 5] tem
média igual a 3, 50.
1. Uma dada variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [2, 5] tem
variância igual a 0, 75.

41. Exame 2019 Questão 1
Julgue como verdadeiras ou falsas as armativas que se seguem:
0. Uma dada variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [2, 5] tem
média igual a 3, 50.
1. Uma dada variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [2, 5] tem
variância igual a 0, 75.
2. Seja X uma variável aleatória com distribuição normal, com média 2 e
variância 5, então Z =
X − 2
5
também apresenta distribuição normal, com
média 0 e variância 1.

42. Exame 2019 Questão 1
Julgue como verdadeiras ou falsas as armativas que se seguem:
0. Uma dada variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [2, 5] tem
média igual a 3, 50.
1. Uma dada variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [2, 5] tem
variância igual a 0, 75.
2. Seja X uma variável aleatória com distribuição normal, com média 2 e
variância 5, então Z =
X − 2
5
também apresenta distribuição normal, com
média 0 e variância 1.
3. Sejam Z1 e Z2 duas variáveis aleatórias independentes com distribuição
quiquadrado, então W =
Z1
Z2
apresenta distribuição F.

43. Exame 2019 Questão 1
Julgue como verdadeiras ou falsas as armativas que se seguem:
0. Uma dada variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [2, 5] tem
média igual a 3, 50.
1. Uma dada variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [2, 5] tem
variância igual a 0, 75.
2. Seja X uma variável aleatória com distribuição normal, com média 2 e
variância 5, então Z =
X − 2
5
também apresenta distribuição normal, com
média 0 e variância 1.
3. Sejam Z1 e Z2 duas variáveis aleatórias independentes com distribuição
quiquadrado, então W =
Z1
Z2
apresenta distribuição F.
4. Seja uma variável aleatória X, com distribuição t-Student com 2 graus de
liberdade. Então sua variância não será denida.

44. Distribuição Uniforme[a, b]

45. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por

46. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.

47. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Valor esperado ou Esperança Matemática:

48. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Valor esperado ou Esperança Matemática:
E(X) =
b
a
x · f(x) dx

49. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Valor esperado ou Esperança Matemática:
E(X) =
b
a
x · f(x) dx
=
b
a
x
b − a
dx

50. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Valor esperado ou Esperança Matemática:
E(X) =
b
a
x · f(x) dx
=
b
a
x
b − a
dx =
x2
2(b − a)
b
a

51. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Valor esperado ou Esperança Matemática:
E(X) =
b
a
x · f(x) dx
=
b
a
x
b − a
dx =
x2
2(b − a)
b
a
=
b2
2(b − a)

52. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Valor esperado ou Esperança Matemática:
E(X) =
b
a
x · f(x) dx
=
b
a
x
b − a
dx =
x2
2(b − a)
b
a
=
b2
2(b − a)
−
a2
2(b − a)

53. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Valor esperado ou Esperança Matemática:
E(X) =
b
a
x · f(x) dx
=
b
a
x
b − a
dx =
x2
2(b − a)
b
a
=
b2
2(b − a)
−
a2
2(b − a)
=
b2 − a2
2(b − a)

54. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Valor esperado ou Esperança Matemática:
E(X) =
b
a
x · f(x) dx
=
b
a
x
b − a
dx =
x2
2(b − a)
b
a
=
b2
2(b − a)
−
a2
2(b − a)
=
b2 − a2
2(b − a)
=
(b − a)(b + a)

55. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Valor esperado ou Esperança Matemática:
E(X) =
b
a
x · f(x) dx
=
b
a
x
b − a
dx =
x2
2(b − a)
b
a
=
b2
2(b − a)
−
a2
2(b − a)
=
b2 − a2
2(b − a)
=
(b − a)(b + a)
2(b − a)

56. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Valor esperado ou Esperança Matemática:
E(X) =
b
a
x · f(x) dx
=
b
a
x
b − a
dx =
x2
2(b − a)
b
a
=
b2
2(b − a)
−
a2
2(b − a)
=
b2 − a2
2(b − a)
=
(b − a)(b + a)
2(b − a)
=
(b − a)(b + a)
2(b − a)

57. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Valor esperado ou Esperança Matemática:
E(X) =
b
a
x · f(x) dx
=
b
a
x
b − a
dx =
x2
2(b − a)
b
a
=
b2
2(b − a)
−
a2
2(b − a)
=
b2 − a2
2(b − a)
=
(b − a)(b + a)
2(b − a)
=
(b − a)(b + a)
2(b − a)
E(X) =
a + b
2

58. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.

59. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Valor esperado de X2
:

60. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Valor esperado de X2
:
E(X2
)

61. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Valor esperado de X2
:
E(X2
) =
b
a
x2
· f(x) dx

62. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Valor esperado de X2
:
E(X2
) =
b
a
x2
· f(x) dx
=
b
a
x2
b − a
dx

63. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Valor esperado de X2
:
E(X2
) =
b
a
x2
· f(x) dx
=
b
a
x2
b − a
dx =
x3
3(b − a)
b
a

64. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Valor esperado de X2
:
E(X2
) =
b
a
x2
· f(x) dx
=
b
a
x2
b − a
dx =
x3
3(b − a)
b
a
=
b3
3(b − a)

65. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Valor esperado de X2
:
E(X2
) =
b
a
x2
· f(x) dx
=
b
a
x2
b − a
dx =
x3
3(b − a)
b
a
=
b3
3(b − a)
−
a3
3(b − a)

66. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Valor esperado de X2
:
E(X2
) =
b
a
x2
· f(x) dx
=
b
a
x2
b − a
dx =
x3
3(b − a)
b
a
=
b3
3(b − a)
−
a3
3(b − a)
=
b3 − a3

67. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Valor esperado de X2
:
E(X2
) =
b
a
x2
· f(x) dx
=
b
a
x2
b − a
dx =
x3
3(b − a)
b
a
=
b3
3(b − a)
−
a3
3(b − a)
=
b3 − a3
3(b − a)

68. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Valor esperado de X2
:
E(X2
) =
b
a
x2
· f(x) dx
=
b
a
x2
b − a
dx =
x3
3(b − a)
b
a
=
b3
3(b − a)
−
a3
3(b − a)
=
b3 − a3
3(b − a)
=
(b − a)(b2 + ab + a2)

69. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Valor esperado de X2
:
E(X2
) =
b
a
x2
· f(x) dx
=
b
a
x2
b − a
dx =
x3
3(b − a)
b
a
=
b3
3(b − a)
−
a3
3(b − a)
=
b3 − a3
3(b − a)
=
(b − a)(b2 + ab + a2)
3(b − a)

70. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Valor esperado de X2
:
E(X2
) =
b
a
x2
· f(x) dx
=
b
a
x2
b − a
dx =
x3
3(b − a)
b
a
=
b3
3(b − a)
−
a3
3(b − a)
=
b3 − a3
3(b − a)
=
(b − a)(b2 + ab + a2)
3(b − a)
=
(b − a)(b2 + ab + a2)
3(b − a)

71. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Valor esperado de X2
:
E(X2
) =
b
a
x2
· f(x) dx
=
b
a
x2
b − a
dx =
x3
3(b − a)
b
a
=
b3
3(b − a)
−
a3
3(b − a)
=
b3 − a3
3(b − a)
=
(b − a)(b2 + ab + a2)
3(b − a)
=
(b − a)(b2 + ab + a2)
3(b − a)
E(X2
) =
b2 + ab + a2
3

72. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.

73. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Variância Var(X) = E(X2
) − E(X)2
:

74. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Variância Var(X) = E(X2
) − E(X)2
:
Var(X)

75. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Variância Var(X) = E(X2
) − E(X)2
:
Var(X) =
b2 + ab + a2
3

76. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Variância Var(X) = E(X2
) − E(X)2
:
Var(X) =
b2 + ab + a2
3
−
a + b
2
2

77. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Variância Var(X) = E(X2
) − E(X)2
:
Var(X) =
b2 + ab + a2
3
−
a + b
2
2
=
4b2 + 4ab + 4a2
12

78. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Variância Var(X) = E(X2
) − E(X)2
:
Var(X) =
b2 + ab + a2
3
−
a + b
2
2
=
4b2 + 4ab + 4a2
12
−
a2 + 2ab + b2
4

79. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Variância Var(X) = E(X2
) − E(X)2
:
Var(X) =
b2 + ab + a2
3
−
a + b
2
2
=
4b2 + 4ab + 4a2
12
−
a2 + 2ab + b2
4
=
4b2 + 4ab + 4a2
12

80. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Variância Var(X) = E(X2
) − E(X)2
:
Var(X) =
b2 + ab + a2
3
−
a + b
2
2
=
4b2 + 4ab + 4a2
12
−
a2 + 2ab + b2
4
=
4b2 + 4ab + 4a2
12
−
3a2 + 6ab + 3b2
12

81. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Variância Var(X) = E(X2
) − E(X)2
:
Var(X) =
b2 + ab + a2
3
−
a + b
2
2
=
4b2 + 4ab + 4a2
12
−
a2 + 2ab + b2
4
=
4b2 + 4ab + 4a2
12
−
3a2 + 6ab + 3b2
12
=
b2 − 2ab + a2
12

82. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Variância Var(X) = E(X2
) − E(X)2
:
Var(X) =
b2 + ab + a2
3
−
a + b
2
2
=
4b2 + 4ab + 4a2
12
−
a2 + 2ab + b2
4
=
4b2 + 4ab + 4a2
12
−
3a2 + 6ab + 3b2
12
=
b2 − 2ab + a2
12
=
(b − a)2
12

83. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.

84. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Média e Variância:

85. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Média e Variância:
E(X) =
a + b
2

86. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Média e Variância:
E(X) =
a + b
2
e Var(X) =
(b − a)2
12

87. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Média e Variância:
E(X) =
a + b
2
e Var(X) =
(b − a)2
12
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0. Uma dada variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [2, 5] tem
média igual a 3, 50.

88. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Média e Variância:
E(X) =
a + b
2
e Var(X) =
(b − a)2
12
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0. Uma dada variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [2, 5] tem
média igual a 3, 50.
1. Uma dada variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [2, 5] tem
variância igual a 0, 75.

89. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Média e Variância:
E(X) =
a + b
2
e Var(X) =
(b − a)2
12
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0. Uma dada variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [2, 5] tem
média igual a 3, 50.
1. Uma dada variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [2, 5] tem
variância igual a 0, 75.

90. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Média e Variância:
E(X) =
a + b
2
e Var(X) =
(b − a)2
12
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0. V Uma dada variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [2, 5]
tem média igual a 3, 50.

91. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Média e Variância:
E(X) =
a + b
2
e Var(X) =
(b − a)2
12
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0. V Uma dada variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [2, 5]
tem média igual a 3, 50. Temos E(X) = (2 + 5)/2 = 3, 5.

92. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Média e Variância:
E(X) =
a + b
2
e Var(X) =
(b − a)2
12
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0. V Uma dada variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [2, 5]
tem média igual a 3, 50. Temos E(X) = (2 + 5)/2 = 3, 5.
1. V Uma dada variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [2, 5]
tem variância igual a 0, 75.

93. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Média e Variância:
E(X) =
a + b
2
e Var(X) =
(b − a)2
12
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0. V Uma dada variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [2, 5]
tem média igual a 3, 50. Temos E(X) = (2 + 5)/2 = 3, 5.
1. V Uma dada variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [2, 5]
tem variância igual a 0, 75. Temos Var(X) = (5 − 2)2
/12 = 9/12 = 0, 75.

94. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Média e Variância:
E(X) =
a + b
2
e Var(X) =
(b − a)2
12
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0. V Uma dada variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [2, 5]
tem média igual a 3, 50. Temos E(X) = (2 + 5)/2 = 3, 5.
1. V Uma dada variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [2, 5]
tem variância igual a 0, 75. Temos Var(X) = (5 − 2)2
/12 = 9/12 = 0, 75.

95. Distribuição Normal X ∼ N(µ, σ2
)

96. Distribuição Normal X ∼ N(µ, σ2
)
Uma variável X segue o modelo Normal se sua densidade é a seguinte:

97. Distribuição Normal X ∼ N(µ, σ2
)
Uma variável X segue o modelo Normal se sua densidade é a seguinte:
f(x)

98. Distribuição Normal X ∼ N(µ, σ2
)
Uma variável X segue o modelo Normal se sua densidade é a seguinte:
f(x) =
1
σ
√
2π

99. Distribuição Normal X ∼ N(µ, σ2
)
Uma variável X segue o modelo Normal se sua densidade é a seguinte:
f(x) =
1
σ
√
2π
exp −
(x − µ)2
2σ2

100. Distribuição Normal X ∼ N(µ, σ2
)
Uma variável X segue o modelo Normal se sua densidade é a seguinte:
f(x) =
1
σ
√
2π
exp −
(x − µ)2
2σ2
, −∞ x ∞, com µ, σ ∈ R, σ 0

101. Distribuição Normal X ∼ N(µ, σ2
)
Uma variável X segue o modelo Normal se sua densidade é a seguinte:
f(x) =
1
σ
√
2π
exp −
(x − µ)2
2σ2
, −∞ x ∞, com µ, σ ∈ R, σ 0
E(X) = µ

102. Distribuição Normal X ∼ N(µ, σ2
)
Uma variável X segue o modelo Normal se sua densidade é a seguinte:
f(x) =
1
σ
√
2π
exp −
(x − µ)2
2σ2
, −∞ x ∞, com µ, σ ∈ R, σ 0
E(X) = µ e σ é o desvio padrão e Var(X) = σ2
.

103. Distribuição Normal X ∼ N(µ, σ2
)
Uma variável X segue o modelo Normal se sua densidade é a seguinte:
f(x) =
1
σ
√
2π
exp −
(x − µ)2
2σ2
, −∞ x ∞, com µ, σ ∈ R, σ 0
E(X) = µ e σ é o desvio padrão e Var(X) = σ2
. Gráco:

104. Distribuição Normal X ∼ N(µ, σ2
)
Uma variável X segue o modelo Normal se sua densidade é a seguinte:
f(x) =
1
σ
√
2π
exp −
(x − µ)2
2σ2
, −∞ x ∞, com µ, σ ∈ R, σ 0.

105. Distribuição Normal X ∼ N(µ, σ2
)
Uma variável X segue o modelo Normal se sua densidade é a seguinte:
f(x) =
1
σ
√
2π
exp −
(x − µ)2
2σ2
, −∞ x ∞, com µ, σ ∈ R, σ 0.
A função de distribuição da N(µ, σ2
) não tem uma forma fechada;

106. Distribuição Normal X ∼ N(µ, σ2
)
Uma variável X segue o modelo Normal se sua densidade é a seguinte:
f(x) =
1
σ
√
2π
exp −
(x − µ)2
2σ2
, −∞ x ∞, com µ, σ ∈ R, σ 0.
A função de distribuição da N(µ, σ2
) não tem uma forma fechada;
Sendo X ∼ N(µ; σ2
),

107. Distribuição Normal X ∼ N(µ, σ2
)
Uma variável X segue o modelo Normal se sua densidade é a seguinte:
f(x) =
1
σ
√
2π
exp −
(x − µ)2
2σ2
, −∞ x ∞, com µ, σ ∈ R, σ 0.
A função de distribuição da N(µ, σ2
) não tem uma forma fechada;
Sendo X ∼ N(µ; σ2
), então Z =
X − µ
σ
⇒ N(0, 1);

108. Distribuição Normal X ∼ N(µ, σ2
)
Uma variável X segue o modelo Normal se sua densidade é a seguinte:
f(x) =
1
σ
√
2π
exp −
(x − µ)2
2σ2
, −∞ x ∞, com µ, σ ∈ R, σ 0.
A função de distribuição da N(µ, σ2
) não tem uma forma fechada;
Sendo X ∼ N(µ; σ2
), então Z =
X − µ
σ
⇒ N(0, 1);
P
X − µ
σ
≤ z

109. Distribuição Normal X ∼ N(µ, σ2
)
Uma variável X segue o modelo Normal se sua densidade é a seguinte:
f(x) =
1
σ
√
2π
exp −
(x − µ)2
2σ2
, −∞ x ∞, com µ, σ ∈ R, σ 0.
A função de distribuição da N(µ, σ2
) não tem uma forma fechada;
Sendo X ∼ N(µ; σ2
), então Z =
X − µ
σ
⇒ N(0, 1);
P
X − µ
σ
≤ z = P(X ≤ zσ + µ)

110. Distribuição Normal X ∼ N(µ, σ2
)
Uma variável X segue o modelo Normal se sua densidade é a seguinte:
f(x) =
1
σ
√
2π
exp −
(x − µ)2
2σ2
, −∞ x ∞, com µ, σ ∈ R, σ 0.
A função de distribuição da N(µ, σ2
) não tem uma forma fechada;
Sendo X ∼ N(µ; σ2
), então Z =
X − µ
σ
⇒ N(0, 1);
P
X − µ
σ
≤ z = P(X ≤ zσ + µ)
=
zσ+µ
−∞

111. Distribuição Normal X ∼ N(µ, σ2
)
Uma variável X segue o modelo Normal se sua densidade é a seguinte:
f(x) =
1
σ
√
2π
exp −
(x − µ)2
2σ2
, −∞ x ∞, com µ, σ ∈ R, σ 0.
A função de distribuição da N(µ, σ2
) não tem uma forma fechada;
Sendo X ∼ N(µ; σ2
), então Z =
X − µ
σ
⇒ N(0, 1);
P
X − µ
σ
≤ z = P(X ≤ zσ + µ)
=
zσ+µ
−∞
1
σ
√
2π
exp −
(x − µ)2
2σ2
dx

112. Distribuição Normal X ∼ N(µ, σ2
)
Uma variável X segue o modelo Normal se sua densidade é a seguinte:
f(x) =
1
σ
√
2π
exp −
(x − µ)2
2σ2
, −∞ x ∞, com µ, σ ∈ R, σ 0.
A função de distribuição da N(µ, σ2
) não tem uma forma fechada;
Sendo X ∼ N(µ; σ2
), então Z =
X − µ
σ
⇒ N(0, 1);
P
X − µ
σ
≤ z = P(X ≤ zσ + µ)
=
zσ+µ
−∞
1
σ
√
2π
exp −
(x − µ)2
2σ2
dx
=
y
−∞

113. Distribuição Normal X ∼ N(µ, σ2
)
Uma variável X segue o modelo Normal se sua densidade é a seguinte:
f(x) =
1
σ
√
2π
exp −
(x − µ)2
2σ2
, −∞ x ∞, com µ, σ ∈ R, σ 0.
A função de distribuição da N(µ, σ2
) não tem uma forma fechada;
Sendo X ∼ N(µ; σ2
), então Z =
X − µ
σ
⇒ N(0, 1);
P
X − µ
σ
≤ z = P(X ≤ zσ + µ)
=
zσ+µ
−∞
1
σ
√
2π
exp −
(x − µ)2
2σ2
dx
=
y
−∞
1
√
2π
exp −
y2
2
dy

114. Distribuição Normal X ∼ N(µ, σ2
)
Uma variável X segue o modelo Normal se sua densidade é a seguinte:
f(x) =
1
σ
√
2π
exp −
(x − µ)2
2σ2
, −∞ x ∞, com µ, σ ∈ R, σ 0.
A função de distribuição da N(µ, σ2
) não tem uma forma fechada;
Sendo X ∼ N(µ; σ2
), então Z =
X − µ
σ
⇒ N(0, 1);
P
X − µ
σ
≤ z = P(X ≤ zσ + µ)
=
zσ+µ
−∞
1
σ
√
2π
exp −
(x − µ)2
2σ2
dx
=
y
−∞
1
√
2π
exp −
y2
2
dy
y = (x − µ)/σ

115. Distribuição Normal X ∼ N(2, 5)
Uma variável X segue o modelo Normal se sua densidade é a seguinte:
f(x) =
1
σ
√
2π
exp −
(x − µ)2
2σ2
, −∞ x ∞, com µ, σ ∈ R, σ 0.

116. Distribuição Normal X ∼ N(2, 5)
Uma variável X segue o modelo Normal se sua densidade é a seguinte:
f(x) =
1
σ
√
2π
exp −
(x − µ)2
2σ2
, −∞ x ∞, com µ, σ ∈ R, σ 0.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Julgue como verdadeiras ou falsas as armativas que se seguem:

117. Distribuição Normal X ∼ N(2, 5)
Uma variável X segue o modelo Normal se sua densidade é a seguinte:
f(x) =
1
σ
√
2π
exp −
(x − µ)2
2σ2
, −∞ x ∞, com µ, σ ∈ R, σ 0.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Julgue como verdadeiras ou falsas as armativas que se seguem:
2. Seja X uma variável aleatória com distribuição normal, com média 2 e
variância 5

118. Distribuição Normal X ∼ N(2, 5)
Uma variável X segue o modelo Normal se sua densidade é a seguinte:
f(x) =
1
σ
√
2π
exp −
(x − µ)2
2σ2
, −∞ x ∞, com µ, σ ∈ R, σ 0.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Julgue como verdadeiras ou falsas as armativas que se seguem:
2. Seja X uma variável aleatória com distribuição normal, com média 2 e
variância 5 , então Z =
X − 2
5

119. Distribuição Normal X ∼ N(2, 5)
Uma variável X segue o modelo Normal se sua densidade é a seguinte:
f(x) =
1
σ
√
2π
exp −
(x − µ)2
2σ2
, −∞ x ∞, com µ, σ ∈ R, σ 0.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Julgue como verdadeiras ou falsas as armativas que se seguem:
2. Seja X uma variável aleatória com distribuição normal, com média 2 e
variância 5 , então Z =
X − 2
5
também apresenta distribuição normal, com
média 0 e variância 1.

120. Distribuição Normal X ∼ N(2, 5)
Uma variável X segue o modelo Normal se sua densidade é a seguinte:
f(x) =
1
σ
√
2π
exp −
(x − µ)2
2σ2
, −∞ x ∞, com µ, σ ∈ R, σ 0.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Julgue como verdadeiras ou falsas as armativas que se seguem:
2. Seja X uma variável aleatória com distribuição normal, com média 2 e
variância 5 , então Z =
X − 2
5
também apresenta distribuição normal, com
média 0 e variância 1.

121. Distribuição Normal X ∼ N(2, 5)
Uma variável X segue o modelo Normal se sua densidade é a seguinte:
f(x) =
1
σ
√
2π
exp −
(x − µ)2
2σ2
, −∞ x ∞, com µ, σ ∈ R, σ 0.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Julgue como verdadeiras ou falsas as armativas que se seguem:
2. F Seja X uma variável aleatória com distribuição normal, com média 2 e
variância 5, então Z =
X − 2
5
também apresenta distribuição normal, com
média 0 e variância 1.

122. Distribuição Normal X ∼ N(2, 5)
Uma variável X segue o modelo Normal se sua densidade é a seguinte:
f(x) =
1
σ
√
2π
exp −
(x − µ)2
2σ2
, −∞ x ∞, com µ, σ ∈ R, σ 0.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Julgue como verdadeiras ou falsas as armativas que se seguem:
2. F Seja X uma variável aleatória com distribuição normal, com média 2 e
variância 5, então Z =
X − 2
5
também apresenta distribuição normal, com
média 0 e variância 1.
Veja que
µ = 2

123. Distribuição Normal X ∼ N(2, 5)
Uma variável X segue o modelo Normal se sua densidade é a seguinte:
f(x) =
1
σ
√
2π
exp −
(x − µ)2
2σ2
, −∞ x ∞, com µ, σ ∈ R, σ 0.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Julgue como verdadeiras ou falsas as armativas que se seguem:
2. F Seja X uma variável aleatória com distribuição normal, com média 2 e
variância 5, então Z =
X − 2
5
também apresenta distribuição normal, com
média 0 e variância 1.
Veja que
µ = 2 e σ =
√
5

124. Distribuição Normal X ∼ N(2, 5)
Uma variável X segue o modelo Normal se sua densidade é a seguinte:
f(x) =
1
σ
√
2π
exp −
(x − µ)2
2σ2
, −∞ x ∞, com µ, σ ∈ R, σ 0.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Julgue como verdadeiras ou falsas as armativas que se seguem:
2. F Seja X uma variável aleatória com distribuição normal, com média 2 e
variância 5, então Z =
X − 2
5
também apresenta distribuição normal, com
média 0 e variância 1.
Veja que
µ = 2 e σ =
√
5 ⇒ Z =
X − 2
√
5

125. Distribuição Normal X ∼ N(2, 5)
Uma variável X segue o modelo Normal se sua densidade é a seguinte:
f(x) =
1
σ
√
2π
exp −
(x − µ)2
2σ2
, −∞ x ∞, com µ, σ ∈ R, σ 0.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Julgue como verdadeiras ou falsas as armativas que se seguem:
2. F Seja X uma variável aleatória com distribuição normal, com média 2 e
variância 5, então Z =
X − 2
5
também apresenta distribuição normal, com
média 0 e variância 1.
Veja que
µ = 2 e σ =
√
5 ⇒ Z =
X − 2
√
5
∼ N(0, 1).

126. Distribuição F: W ∼ F(ν1, ν2)

127. Distribuição F: W ∼ F(ν1, ν2)
Sejam U e V duas v.a independentes

128. Distribuição F: W ∼ F(ν1, ν2)
Sejam U e V duas v.a independentes , cada uma com distribuição
qui-quadrado

129. Distribuição F: W ∼ F(ν1, ν2)
Sejam U e V duas v.a independentes , cada uma com distribuição
qui-quadrado , com ν1 e ν2, graus de liberdade

130. Distribuição F: W ∼ F(ν1, ν2)
Sejam U e V duas v.a independentes , cada uma com distribuição
qui-quadrado , com ν1 e ν2, graus de liberdade , respectivamente.

131. Distribuição F: W ∼ F(ν1, ν2)
Sejam U e V duas v.a independentes , cada uma com distribuição
qui-quadrado , com ν1 e ν2, graus de liberdade , respectivamente. Então a v.a
W =
U/ν1
V/ν2

132. Distribuição F: W ∼ F(ν1, ν2)
Sejam U e V duas v.a independentes , cada uma com distribuição
qui-quadrado , com ν1 e ν2, graus de liberdade , respectivamente. Então a v.a
W =
U/ν1
V/ν2
Tem função de densidade:

133. Distribuição F: W ∼ F(ν1, ν2)
Sejam U e V duas v.a independentes , cada uma com distribuição
qui-quadrado , com ν1 e ν2, graus de liberdade , respectivamente. Então a v.a
W =
U/ν1
V/ν2
Tem função de densidade:
f(w)

134. Distribuição F: W ∼ F(ν1, ν2)
Sejam U e V duas v.a independentes , cada uma com distribuição
qui-quadrado , com ν1 e ν2, graus de liberdade , respectivamente. Então a v.a
W =
U/ν1
V/ν2
Tem função de densidade:
f(w) =
Γ(ν1+ν2
2 )

135. Distribuição F: W ∼ F(ν1, ν2)
Sejam U e V duas v.a independentes , cada uma com distribuição
qui-quadrado , com ν1 e ν2, graus de liberdade , respectivamente. Então a v.a
W =
U/ν1
V/ν2
Tem função de densidade:
f(w) =
Γ(ν1+ν2
2 )
Γ ν1
2 Γ ν2
2

136. Distribuição F: W ∼ F(ν1, ν2)
Sejam U e V duas v.a independentes , cada uma com distribuição
qui-quadrado , com ν1 e ν2, graus de liberdade , respectivamente. Então a v.a
W =
U/ν1
V/ν2
Tem função de densidade:
f(w) =
Γ(ν1+ν2
2 )
Γ ν1
2 Γ ν2
2
·
ν1
ν2
ν1/2

137. Distribuição F: W ∼ F(ν1, ν2)
Sejam U e V duas v.a independentes , cada uma com distribuição
qui-quadrado , com ν1 e ν2, graus de liberdade , respectivamente. Então a v.a
W =
U/ν1
V/ν2
Tem função de densidade:
f(w) =
Γ(ν1+ν2
2 )
Γ ν1
2 Γ ν2
2
·
ν1
ν2
ν1/2
·
w
ν1−2
2

138. Distribuição F: W ∼ F(ν1, ν2)
Sejam U e V duas v.a independentes , cada uma com distribuição
qui-quadrado , com ν1 e ν2, graus de liberdade , respectivamente. Então a v.a
W =
U/ν1
V/ν2
Tem função de densidade:
f(w) =
Γ(ν1+ν2
2 )
Γ ν1
2 Γ ν2
2
·
ν1
ν2
ν1/2
·
w
ν1−2
2
1 + ν1
ν2

139. Distribuição F: W ∼ F(ν1, ν2)
Sejam U e V duas v.a independentes , cada uma com distribuição
qui-quadrado , com ν1 e ν2, graus de liberdade , respectivamente. Então a v.a
W =
U/ν1
V/ν2
Tem função de densidade:
f(w) =
Γ(ν1+ν2
2 )
Γ ν1
2 Γ ν2
2
·
ν1
ν2
ν1/2
·
w
ν1−2
2
1 + ν1
ν2
· w
ν1+ν2
2
,

140. Distribuição F: W ∼ F(ν1, ν2)
Sejam U e V duas v.a independentes , cada uma com distribuição
qui-quadrado , com ν1 e ν2, graus de liberdade , respectivamente. Então a v.a
W =
U/ν1
V/ν2
Tem função de densidade:
f(w) =
Γ(ν1+ν2
2 )
Γ ν1
2 Γ ν2
2
·
ν1
ν2
ν1/2
·
w
ν1−2
2
1 + ν1
ν2
· w
ν1+ν2
2
, w 0

141. Distribuição F: W ∼ F(ν1, ν2)
Sejam U e V duas v.a independentes , cada uma com distribuição
qui-quadrado , com ν1 e ν2, graus de liberdade , respectivamente. Então a v.a
W =
U/ν1
V/ν2
Tem função de densidade:
f(w) =
Γ(ν1+ν2
2 )
Γ ν1
2 Γ ν2
2
·
ν1
ν2
ν1/2
·
w
ν1−2
2
1 + ν1
ν2
· w
ν1+ν2
2
, w 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Julgue como verdadeiras ou falsas as armativas que se seguem:
3. Sejam Z1 e Z2 duas variáveis aleatórias independentes com distribuição
qui-quadrado, então W =
Z1
Z2
apresenta distribuição F.

142. Distribuição F: W ∼ F(ν1, ν2)
Sejam U e V duas v.a independentes, cada uma com distribuição
qui-quadrado, com ν1 e ν2, graus de liberdade, respectivamente. Então a v.a
W =
U/ν1
V/ν2
Tem função de densidade:
f(w) =
Γ(ν1+ν2
2 )
Γ ν1
2 Γ ν2
2
·
ν1
ν2
ν1/2
·
w
ν1−2
2
1 + ν1
ν2
· w
ν1+ν2
2
, w 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Julgue como verdadeiras ou falsas as armativas que se seguem:
3. F Sejam Z1 e Z2 duas variáveis aleatórias independentes com distribuição
qui-quadrado, então W =
Z1
Z2
apresenta distribuição F.
Veja que não estão denidos ν1 e ν2, os graus de liberdade.

143. Distribuição t: t ∼ tν

144. Distribuição t: t ∼ tν
Seja Z uma v.a N(0, 1)

145. Distribuição t: t ∼ tν
Seja Z uma v.a N(0, 1) e Y uma v.a χ2
ν

146. Distribuição t: t ∼ tν
Seja Z uma v.a N(0, 1) e Y uma v.a χ2
ν , com Z e Y independentes

147. Distribuição t: t ∼ tν
Seja Z uma v.a N(0, 1) e Y uma v.a χ2
ν , com Z e Y independentes . Então a
v.a
t =
Z
Y
ν

148. Distribuição t: t ∼ tν
Seja Z uma v.a N(0, 1) e Y uma v.a χ2
ν , com Z e Y independentes . Então a
v.a
t =
Z
Y
ν
Tem função de densidade:
f(t) =

149. Distribuição t: t ∼ tν
Seja Z uma v.a N(0, 1) e Y uma v.a χ2
ν , com Z e Y independentes . Então a
v.a
t =
Z
Y
ν
Tem função de densidade:
f(t) =
Γ(ν+1
2 )

150. Distribuição t: t ∼ tν
Seja Z uma v.a N(0, 1) e Y uma v.a χ2
ν , com Z e Y independentes . Então a
v.a
t =
Z
Y
ν
Tem função de densidade:
f(t) =
Γ(ν+1
2 )
Γ ν
2

151. Distribuição t: t ∼ tν
Seja Z uma v.a N(0, 1) e Y uma v.a χ2
ν , com Z e Y independentes . Então a
v.a
t =
Z
Y
ν
Tem função de densidade:
f(t) =
Γ(ν+1
2 )
Γ ν
2
√
πν

152. Distribuição t: t ∼ tν
Seja Z uma v.a N(0, 1) e Y uma v.a χ2
ν , com Z e Y independentes . Então a
v.a
t =
Z
Y
ν
Tem função de densidade:
f(t) =
Γ(ν+1
2 )
Γ ν
2
√
πν
· 1 +

153. Distribuição t: t ∼ tν
Seja Z uma v.a N(0, 1) e Y uma v.a χ2
ν , com Z e Y independentes . Então a
v.a
t =
Z
Y
ν
Tem função de densidade:
f(t) =
Γ(ν+1
2 )
Γ ν
2
√
πν
· 1 +
t2
ν

154. Distribuição t: t ∼ tν
Seja Z uma v.a N(0, 1) e Y uma v.a χ2
ν , com Z e Y independentes . Então a
v.a
t =
Z
Y
ν
Tem função de densidade:
f(t) =
Γ(ν+1
2 )
Γ ν
2
√
πν
· 1 +
t2
ν
−(ν+1)/2

155. Distribuição t: t ∼ tν
Seja Z uma v.a N(0, 1) e Y uma v.a χ2
ν , com Z e Y independentes . Então a
v.a
t =
Z
Y
ν
Tem função de densidade:
f(t) =
Γ(ν+1
2 )
Γ ν
2
√
πν
· 1 +
t2
ν
−(ν+1)/2
, −∞ t ∞

156. Distribuição t: t ∼ tν
Seja Z uma v.a N(0, 1) e Y uma v.a χ2
ν , com Z e Y independentes . Então a
v.a
t =
Z
Y
ν
Tem função de densidade:
f(t) =
Γ(ν+1
2 )
Γ ν
2
√
πν
· 1 +
t2
ν
−(ν+1)/2
, −∞ t ∞
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Valor esperado:

157. Distribuição t: t ∼ tν
Seja Z uma v.a N(0, 1) e Y uma v.a χ2
ν , com Z e Y independentes . Então a
v.a
t =
Z
Y
ν
Tem função de densidade:
f(t) =
Γ(ν+1
2 )
Γ ν
2
√
πν
· 1 +
t2
ν
−(ν+1)/2
, −∞ t ∞
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Valor esperado:
E(T)

158. Distribuição t: t ∼ tν
Seja Z uma v.a N(0, 1) e Y uma v.a χ2
ν , com Z e Y independentes . Então a
v.a
t =
Z
Y
ν
Tem função de densidade:
f(t) =
Γ(ν+1
2 )
Γ ν
2
√
πν
· 1 +
t2
ν
−(ν+1)/2
, −∞ t ∞
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Valor esperado:
E(T) =
∞
−∞

159. Distribuição t: t ∼ tν
Seja Z uma v.a N(0, 1) e Y uma v.a χ2
ν , com Z e Y independentes . Então a
v.a
t =
Z
Y
ν
Tem função de densidade:
f(t) =
Γ(ν+1
2 )
Γ ν
2
√
πν
· 1 +
t2
ν
−(ν+1)/2
, −∞ t ∞
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Valor esperado:
E(T) =
∞
−∞
t ·
Γ(ν+1
2 )
Γ ν
2
√
πν
· 1 +
t2
ν
−
(ν+1)
2
dt

160. Distribuição t: t ∼ tν
Seja Z uma v.a N(0, 1) e Y uma v.a χ2
ν , com Z e Y independentes . Então a
v.a
t =
Z
Y
ν
Tem função de densidade:
f(t) =
Γ(ν+1
2 )
Γ ν
2
√
πν
· 1 +
t2
ν
−(ν+1)/2
, −∞ t ∞
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Valor esperado:
E(T) =
∞
−∞
t ·
Γ(ν+1
2 )
Γ ν
2
√
πν
· 1 +
t2
ν
−
(ν+1)
2
dt = 0

161. Distribuição t: t ∼ tν
Seja Z uma v.a N(0, 1) e Y uma v.a χ2
ν , com Z e Y independentes . Então a
v.a
t =
Z
Y
ν
Tem função de densidade:
f(t) =
Γ(ν+1
2 )
Γ ν
2
√
πν
· 1 +
t2
ν
−(ν+1)/2
, −∞ t ∞
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Valor esperado:
E(T) =
∞
−∞
t ·
Γ(ν+1
2 )
Γ ν
2
√
πν
· 1 +
t2
ν
−
(ν+1)
2
dt = 0 (f(t) é ímpar!)

162. Distribuição t: t ∼ tν
Seja Z uma v.a N(0, 1) e Y uma v.a χ2
ν, com Z e Y independentes. Então a
v.a
t =
Z
Y
ν
Tem função de densidade:
f(t) =
Γ(ν+1
2 )
Γ ν
2
√
πν
· 1 +
t2
ν
−(ν+1)/2
, −∞ t ∞
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Variância: Var(X) = E(X2
) − E(X)2
, E(X) = 0 ⇒ Var(X) = E(X2
).
E(T2
) =
∞
−∞
Γ(ν+1
2 )
Γ ν
2
√
πν
· t2
1 +
t2
ν
−(ν+1)/2
dt

163. Resultados Importantes

164. Resultados Importantes
Γ(α)

165. Resultados Importantes
Γ(α) =
∞
0
yα−1
e−x2
2 dx;

166. Resultados Importantes
Γ(α) =
∞
0
yα−1
e−x2
2 dx;
1
0
yα−1
(1 − y)β−1
dy

167. Resultados Importantes
Γ(α) =
∞
0
yα−1
e−x2
2 dx;
1
0
yα−1
(1 − y)β−1
dy =
Γ(α)Γ(β)
Γ(α + β)
;

168. Resultados Importantes
Γ(α) =
∞
0
yα−1
e−x2
2 dx;
1
0
yα−1
(1 − y)β−1
dy =
Γ(α)Γ(β)
Γ(α + β)
;
Γ(α + 1)

169. Resultados Importantes
Γ(α) =
∞
0
yα−1
e−x2
2 dx;
1
0
yα−1
(1 − y)β−1
dy =
Γ(α)Γ(β)
Γ(α + β)
;
Γ(α + 1) = αΓ(α);

170. Resultados Importantes
Γ(α) =
∞
0
yα−1
e−x2
2 dx;
1
0
yα−1
(1 − y)β−1
dy =
Γ(α)Γ(β)
Γ(α + β)
;
Γ(α + 1) = αΓ(α);
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Variância da distribuição t de Student: Var(X) = E(X2
) − E(X)2

171. Resultados Importantes
Γ(α) =
∞
0
yα−1
e−x2
2 dx;
1
0
yα−1
(1 − y)β−1
dy =
Γ(α)Γ(β)
Γ(α + β)
;
Γ(α + 1) = αΓ(α);
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Variância da distribuição t de Student: Var(X) = E(X2
) − E(X)2
E(T2
)

172. Resultados Importantes
Γ(α) =
∞
0
yα−1
e−x2
2 dx;
1
0
yα−1
(1 − y)β−1
dy =
Γ(α)Γ(β)
Γ(α + β)
;
Γ(α + 1) = αΓ(α);
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Variância da distribuição t de Student: Var(X) = E(X2
) − E(X)2
E(T2
) =
∞
−∞

173. Resultados Importantes
Γ(α) =
∞
0
yα−1
e−x2
2 dx;
1
0
yα−1
(1 − y)β−1
dy =
Γ(α)Γ(β)
Γ(α + β)
;
Γ(α + 1) = αΓ(α);
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Variância da distribuição t de Student: Var(X) = E(X2
) − E(X)2
E(T2
) =
∞
−∞
Γ(ν+1
2 )
Γ ν
2
√
πν
·

174. Resultados Importantes
Γ(α) =
∞
0
yα−1
e−x2
2 dx;
1
0
yα−1
(1 − y)β−1
dy =
Γ(α)Γ(β)
Γ(α + β)
;
Γ(α + 1) = αΓ(α);
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Variância da distribuição t de Student: Var(X) = E(X2
) − E(X)2
E(T2
) =
∞
−∞
Γ(ν+1
2 )
Γ ν
2
√
πν
· t2

175. Resultados Importantes
Γ(α) =
∞
0
yα−1
e−x2
2 dx;
1
0
yα−1
(1 − y)β−1
dy =
Γ(α)Γ(β)
Γ(α + β)
;
Γ(α + 1) = αΓ(α);
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Variância da distribuição t de Student: Var(X) = E(X2
) − E(X)2
E(T2
) =
∞
−∞
Γ(ν+1
2 )
Γ ν
2
√
πν
· t2
1 +
t2
ν
−
(ν+1)
2
dt

176. Resultados Importantes
Γ(α) =
∞
0
yα−1
e−x2
2 dx;
1
0
yα−1
(1 − y)β−1
dy =
Γ(α)Γ(β)
Γ(α + β)
;
Γ(α + 1) = αΓ(α);
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Variância da distribuição t de Student: Var(X) = E(X2
) − E(X)2
E(T2
) =
∞
−∞
Γ(ν+1
2 )
Γ ν
2
√
πν
· t2
1 +
t2
ν
−
(ν+1)
2
dt
Seja y = 1 +
t2
v
−1
⇒ t ∈ R

177. Resultados Importantes
Γ(α) =
∞
0
yα−1
e−x2
2 dx;
1
0
yα−1
(1 − y)β−1
dy =
Γ(α)Γ(β)
Γ(α + β)
;
Γ(α + 1) = αΓ(α);
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Variância da distribuição t de Student: Var(X) = E(X2
) − E(X)2
E(T2
) =
∞
−∞
Γ(ν+1
2 )
Γ ν
2
√
πν
· t2
1 +
t2
ν
−
(ν+1)
2
dt
Seja y = 1 +
t2
v
−1
⇒ t ∈ R , temos 0 y 1.

178. Variância da t

179. Variância da t
Variância da distribuição t de Student:
E(T2
) =
∞
−∞
Γ(ν+1
2 )
Γ ν
2
√
πν
· t2
1 +
t2
ν
−
(ν+1)
2
dt
Seja y = 1 +
t2
v
−1
⇒ t ∈ R, temos 0 y 1.

180. Variância da t
Variância da distribuição t de Student:
E(T2
) =
∞
−∞
Γ(ν+1
2 )
Γ ν
2
√
πν
· t2
1 +
t2
ν
−
(ν+1)
2
dt
Seja y = 1 +
t2
v
−1
⇒ t ∈ R, temos 0 y 1.
E(T2
)

181. Variância da t
Variância da distribuição t de Student:
E(T2
) =
∞
−∞
Γ(ν+1
2 )
Γ ν
2
√
πν
· t2
1 +
t2
ν
−
(ν+1)
2
dt
Seja y = 1 +
t2
v
−1
⇒ t ∈ R, temos 0 y 1.
E(T2
) = n
Γ n+1
2
Γ 1
2 Γ n
2

182. Variância da t
Variância da distribuição t de Student:
E(T2
) =
∞
−∞
Γ(ν+1
2 )
Γ ν
2
√
πν
· t2
1 +
t2
ν
−
(ν+1)
2
dt
Seja y = 1 +
t2
v
−1
⇒ t ∈ R, temos 0 y 1.
E(T2
) = n
Γ n+1
2
Γ 1
2 Γ n
2
1
0
y
n
2
−2
(1 − y)
1
2 dy

183. Variância da t
Variância da distribuição t de Student:
E(T2
) =
∞
−∞
Γ(ν+1
2 )
Γ ν
2
√
πν
· t2
1 +
t2
ν
−
(ν+1)
2
dt
Seja y = 1 +
t2
v
−1
⇒ t ∈ R, temos 0 y 1.
E(T2
) = n
Γ n+1
2
Γ 1
2 Γ n
2
1
0
y
n
2
−2
(1 − y)
1
2 dy =
n
n − 2

184. Variância da t
Variância da distribuição t de Student:
E(T2
) =
∞
−∞
Γ(ν+1
2 )
Γ ν
2
√
πν
· t2
1 +
t2
ν
−
(ν+1)
2
dt
Seja y = 1 +
t2
v
−1
⇒ t ∈ R, temos 0 y 1.
E(T2
) = n
Γ n+1
2
Γ 1
2 Γ n
2
1
0
y
n
2
−2
(1 − y)
1
2 dy =
n
n − 2
Finalmente X ∼ tn ⇒ E(X) = 0 e Var(X) =
n
n − 2
.

185. Exame 2019 Questão 1
4. V Seja uma variável aleatória X, com distribuição t-Student com 2 graus de
liberdade. Então sua variância não será denida.

186. Exame 2019 Questão 1
4. V Seja uma variável aleatória X, com distribuição t-Student com 2 graus de
liberdade. Então sua variância não será denida.
X ∼ tn ⇒ E(X) = 0 e Var(X) =
n
n − 2

187. Exame 2019 Questão 1
4. V Seja uma variável aleatória X, com distribuição t-Student com 2 graus de
liberdade. Então sua variância não será denida.
X ∼ tn ⇒ E(X) = 0 e Var(X) =
n
n − 2

188. Conteúdo Exclusivo
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Anselmo Alves de Sousa
Estatístico - CONRE 9743