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EstatEstatíística Descritivastica Descritiva
Prof. Victor HugoProf. Victor Hugo LachosLachos DavilaDavila
AULA1AULA1--AULA5AULA5
2
oO que é a estatística ?
Para muitos, a estatística não passa de conjuntos
de tabelas de dados numéricos. Os estatísticos são
pessoas que coletam esses dados.
•A estatística originou-se com a coleta e construção
de tabelas de dados para os governos
• A situação evoluiu e esta coleta de dados
representa somente um dos aspectos da estatística.
3
Definição de Estatística
A estatística é um conjunto de técnicas que permite,
de forma sistemática, organizar, descrever, analisar
e interpretar dados oriundos de estudos ou
experimentos, realizados em qualquer área do
conhecimento.
4
Áreas da Estatística
1.- Estatística Descritiva
2.- Probabilidade
3.- Inferência estatística
5
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
A estatística descritiva é a etapa inicial da análise
utilizada para descrever e resumir os dados. A
disponibilidade de uma grande quantidade de dados
e de métodos computacionais muito eficientes
revigorou está área da estatística.
6
PROBABILIDADE
A teoria de probabilidades nos permite
descrever os fenômenos aleatórios, ou
seja, aqueles em que está presente a
incerteza.
7
INFERENCIA ESTATISTICA
E o estudo de técnicas que possibilitam a
extrapolação, a um grande conjunto de
dados, das informações e conclusões
obtidas a partir da amostra.
8
Etapas da Analise
Estatística
9
AMOSTRAGEM
Uma área importante em muitas aplicações Estatísticas é a da Tecnologia de
Amostragem.
Exemplos de Aplicação:
• Pesquisa de mercado,
• Pesquisa de opinião,
• Avaliação do processo de produção,
• Praticamente em todo experimento.
10
Amostragem Aleatória
Cada elemento da população tem a
mesma chance de ser escolhido.
Amostragem Estratificada
Classificar a população em, ao
menos dois estratos e extrair uma
amostra de cada um.
Amostragem Sistemática
Escolher cada elemento de ordem k.
11
Amostragem por Conglomerados
Dividir em seções a área populacional,
selecionar aleatoriamente algumas dessas
seções e tomar todos os elementos das
mesmas.
Amostragem de Conveniência
Utilizar resultados de fácil acesso.
12
Exemplo 1
Numa pesquisa eleitoral, um instituto de pesquisa
procura, com base nos resultados de um
levantamento aplicado a uma amostra da
população, prever o resultado da eleição.
13
Na eleição Presidencial
Os Institutos de Pesquisa de opinião
colhem periodicamente amostras de
eleitores para obter as estimativas de
intenção de voto da população. As
estimativas são fornecidas com um valor e
uma margem de erro.
O quadro do Instituto Toledo &
Associados, a seguir refere-se à intenção
de voto no 1º turno das eleições para o
governo em 2002.
14
Intenção de voto para presidente do Brasil-2002
Voto estimulado,em % do total de votos.A ultima pesquisa
ouviu 2.202 eleitores- Margem de erro de 2,09%
Fonte:Pesquisa toledo& Associados.
M aio Jul/Ago Set/OutJunio
34,9% 40,5%
33,6%
46,3%
13,8% 12,1%
34,3%
11,3%
22,8% 23,3%
13,8%
17,6%
12,6%
10,5%
9,0%
14,8%
Lula(P T )
S erra(P S D B )
C iro(P P S )
G arotinho(P S B )
15
Confronto no segundo turno.
Gráfico de setores ou em forma de pizza
16
No
Estado
Civil
Grau de
Instrução
No de
filhos
Salário (X
Sal. Min)
Idade
anos meses
Região de
procedência
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
Solteiro
Casado
Casado
Solteiro
Solteiro
Casado
Solteiro
Solteiro
Casado
Solteiro
Casado
Solteiro
Solteiro
Casado
Casado
Solteiro
Casado
Casado
Solteiro
Solteiro
Casado
Solteiro
Solteiro
Casado
Casado
Casado
Solteiro
Casado
Casado
Casado
Solteiro
Casado
Casado
Solteiro
Casado
Casado
10
grau
10
grau
10
grau
20
grau
10
grau
10
grau
10
grau
10
grau
20
grau
20
grau
20
grau
10
grau
20
grau
10
grau
20
grau
20
grau
20
grau
10
grau
Superior
20
grau
20
grau
20
grau
10
grau
Superior
20
grau
20
grau
10
grau
20
grau
20
grau
20
grau
Superior
20
grau
Superior
Superior
20
grau
Superior
-
1
2
-
-
0
-
-
1
-
2
-
-
3
0
-
1
2
-
-
1
-
-
0
2
2
-
0
5
2
-
1
3
-
2
3
4,00
4,56
5,25
5,73
6,26
6,66
6,86
7,39
7,59
7,44
8,12
8,46
8,74
8,95
9,13
9,35
9,77
9,80
10,53
10,76
11,06
11,59
12,00
12,79
13,23
13,60
13,85
14,69
14,71
15,99
16,22
16,61
17,26
18,75
19,40
23,30
26 03
32 10
36 05
20 10
40 07
28 00
41 00
43 04
34 10
23 06
33 06
27 11
37 05
44 02
30 05
38 08
31 07
39 07
25 08
37 04
30 09
34 02
41 00
26 01
32 05
35 00
46 07
29 08
40 06
35 10
31 05
36 04
43 07
33 07
48 11
42 02
Interior
Capital
Capital
Outro
Outro
Interior
Interior
Capital
Capital
Outro
Interior
Capital
Outro
Outro
Interior
Outro
Capital
Outro
Interior
Interior
Outro
Capital
Outro
Outro
Interior
Outro
Outro
Interior
Interior
Capital
Outro
Interior
Capital
Capital
Capital
Interior
Tabela 1.1 Informação do estado civil, grau de instrução, número de filhos, idade e procedência de 36
funcionários sorteados ao acaso da empresa MB.(Bussab e Morettin)
17
18
Variável
Qualquer característica associada a uma população
Classificação de variáveis
Quantitativa
{
{
Qualitativa
Nominal sexo, cor dos olhos
Ordinal Classe social, grau de instrução
Contínua
Discreta
Peso, altura,salario
Número de filhos, numero de
carros
19
Variáveis Quantitativas
MEDIDAS DE POSIÇÃO: Moda, Média, Mediana, Percentís,
Quartis.
MEDIDAS DE DISPERSÃO: Amplitude, Intervalo-Interquartil,
Variância, Desvio Padrão, Coeficiente de Variação.
Medidas Resumo
20
Medidas de Posição
Moda(mo): É o valor (ou atributo) que
ocorre com maior freqüência.Moda
Ex: 4,5,4,6,5,8,4,4
Mo = 4
Variavel
qualitativa
21
Média
nn
x
n
i
i
n
xxxxx ∑=
=
++++
= 1321
...
Ex:2,5,3,7,8
Média = [(2+5+3+7+8)/5]=5
22
Mediana
A mediana é o valor da variável que ocupa a
posição central de um conjunto de n dados
ordenados.
Posição da mediana: (n+1)/2
Ex: 2,5,3,7,8
Dados ordenados: 2,3,5,7,8 => (5+1)/2=3
=> Md = 5
Ex: 3,5,2,1,8,6
Dados ordenados:1,2,3,5,6,8 =>
(6+1)/2=3,5 => Md=(3+5)/2=4
23
Percentis
O percentil de ordem px100 (0<p<1), em um
conjunto de dados de tamanho n, é o valor da
variável que ocupa a posição px(n+1) do conjunto
de dados ordenados.
O percentil de ordem p (ou p-quantil) deixa
px100% das observações abaixo dele na amostra
ordenada.
Casos Particulares:
Percentil 50=mediana, segundo quartil(md,Q2,q(0,5))
Percentil 25= primeiro quartil (Q1), q(0,25)
Percentil 75= terceiro quartil (Q3) , q(0,75)
24
ppsex
ppse,x
pse),()()f-(1
n1,...,i,
5.0
ppse,
)(
n(n),
1(1)
1i1i
i)(
>
<
<<+
=
−
==
= ++ iiii
i
pppqfpq
n
i
x
pq
O p-quantil, 0<p<1, pode ser calculado como:
,
1 ii
i
i
pp
pp
f
−
−
=
+
Onde:
)()3()2()1( ...... nxxxx ≤≤≤≤
Estatisticas de ordem
n
i 5.0
pi
−
=
25
Exemplos
Ex(1): 15,5,3,8,10,2,7,11,12
=>n=9
=> ordenamos: 2<3<5<7<8<10<11<12<15
P1=1/18; p2=3/18; p3=5/18; p4=7/18; p5=1/2;
p6=11/18; p7=13/18; p8=15/18; p9=17/18
Posição Md : q(0.5)=8
Posição de Q1: q(0.25)=4,5
Posição de Q3: q(0.75)=11,25
26
Exemplo 2: Considere as notas de um teste de 3 grupos de alunos:
Grupo 1: 3, 4, 5, 6, 7; Grupo 2: 1, 3, 5, 7,9; e Grupo 3: 5,5,5,5,5.
G1
0 10
0
10
0 10
5
G2
G3
55x:Temos 331331 ====== MdMdMdxx
27
Medidas de Dispersão
Finalidade: encontrar um valor que resuma a
variabilidade de um conjunto de dados
Amplitude (A): A=máx-min
Para os grupos anteriores, temos:
Grupo 1, A=4
Grupo 2, A=8
Grupo 3, A=0
28
Intervalo-Interquartil (d)
É a diferença entre o terceiro quartil e o primeiro
quartil, ou seja,
d= Q3-Q1
Ex(1): 15,5,3,8,10,2,7,11,12
Q1=4,5 e Q3=11,25
d =Q3-Q1=4,9-2,05=2,85
Max,Min,Q1,Q3,Q2: importantes para se ter uma boa ideia da
forma dos dados (simetrica ou assimetrica) e construir box-plots
29
Variância
( )
11
...
1
2222
2
)()()( 21
−
−
=
−
+++
=
∑−−− =
n
xx
n
S
n
i
i
xxxxxx n
Desvio padrão S
Variância=S:PadrãoDesvio
30
Cálculo da variância para o grupo 1:
G1:3, 4, 5, 6, 7: Vimos que:
5,2
4
10
15
)57()56()55()54()53( 22222
2
==
−
−+−+−+−+−
=S
5=x
Desvio padrão 58,15,2 ==S
00:3
16,310:2
58,15,2:1
2
2
2
==
==
==
SSG
SSG
SSG
31
Coeficiente de Variação (CV)
É uma medida de dispersão relativa;
Elimina o efeito da magnitude dos dados;
Exprime a variabilidade em relação a média
%100×=
X
S
CV
Útil Comparar duas ou mais variáveis
32
Exemplo 4: Altura e peso de alunos
Conclusão: Com relação as médias, os alunos são,
aproximadamente, duas vezes mais dispersos quanto ao peso
do que quanto a altura
Média Desvio padrão Coeficiente de
variação
Altura 1,143m 0,063m 5,5%
Peso 50Kg 6kg 12%
33
ORGANIZAÇÃO E REPRESENTAÇÃO DOS DADOS
Uma das formas de organizar e resumir a informação contida em
dados observados é por meio de tabela de freqüências e gráficos.
Tabela de freqüência: relaciona categorias (ou classes) de valores,
juntamente com contagem (ou freqüências) do número de valores que
se enquadram em cada categoria ou classe.
1. Variáveis qualitativas: Podemos construir tabela de freqüência
que os quantificam por categoria de classificação e sua
representação gráfica é mediante gráfico de barras, gráfico setorial
ou em forma de pizza.
34
Exemplo 1: Considere ao variável grau de Instrução dos dados da
tabela 1.(Variável qualitativa)
:Frequência absoluta da categoria i (número de indivíduos
que pertencem à categoria i
n
f
f i
ri
= : Frequência relativa da categoria i
if
33,3%
%100*% ii rr ff = : Frequência relativa percentual da categoria i
Grau de
instrução
1o Grau
2o Grau
Superior
total
Contagem
12
18
6
n=36
0,3333
0,5000
0,1667
1,0000
if irf %irf
50 %
16.7%
100%
Tabela de freqüência
35
Diagrama de barras para a variável
grau de instrução
33,33%
50,00%
16,70%
0,00%
10,00%
20,00%
30,00%
40,00%
50,00%
60,00%
1o Grau 2o Grau Superior
Representação gráfica de variáveis qualitativas
• Gráfico de Barras
• Diagrama circular, de sectores ou em forma de “pizza”
36
1oGrau(33.3%)
Superior(16.7%)2oGrau(50.0%)
Diagrama circular para avariavel grau deinstrução
Diagrama circular para a variávelgrau de
instrução
1o Grau
33%
2o Grau
50%
Superior
17%
37
2. Organização e representação de variáveis quantitativas
2.1 Quantitativas discretos: Organizam-se mediante tabelas de
frequências e a representação gráfica é mediante gráfico de
barras
Exemplo: Considere a variável número de filhos dos dados da tabela 1.
Tabela 2.1:Distribuição de freqüências de funcionários da empresa,
segundo o número de filhos
i Número de
filhos
(Xi )
Número de
funcionários
(fi )
% de funcionários
(fri)
1 0 4 20%
2 1 5 25%
3 2 7 35%
4 3 3 15%
5 5 1 5%
total 20 100%
38
Representação gráfica : Diagrama de Barras
0 1 2 3 4 5
5
15
25
35
Número
de filhos
%defuncionários
20%
25%
35%
15%
5%
Observação 1: A partir da tabela 2.1 podemos recuperar as 20
observação da tabela 1.1, ou seja, aqui não temos perda de
informação dos dados originais.
Mo=2
39
Determinação das medidas de posição e medidas de dispersão para
variáveis quantitativas discretas agrupados em tabela de freqüências:
n
fX
n
fXfXfX
X
k
i
ii
kk
∑=
=
+++
= 12211 L• Média:
Exemplo: Considere a tabela 2.1 e determine a média de filhos dos
funcionários.
65,1
20
33
20
1533725140
==
×+×+×+×+×
=X
• Mediana:
Dados ordenados:
0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 5 =>
(20+1)/2=10,5 => Md = (2+2) /2=2
40
• Variância:
1
)(
1
)()()( 1
2
2
2
2
21
2
12
−
−
=
−
−++−+−
=
∑=
n
fXX
n
fXXfXXfXX
S
k
i
ii
kkL
0,858553
19
16,3125
19
)65,15()65,13(3)65,12(7)65,11(5)65,10(4 22222
2
==
−+−+−+−+−
=S
Cálculo da variância para os dados da tabela 2.1
Desvio padrão:
0,9270,8585532
=== SS
41
2.2 Quantitativas continuas: Os seus valores podem ser qualquer
número real e ainda geralmente existe um grande nùmero de
valores diferentes. Como proceder a construir uma tabela de
frequência nestes casos?
A alternativa consiste em construir classes ou faixas de valores e
contar o número de ocorrências em cada faixa
No caso da variavel salario podemos considerar as seguintes
faixas de valores: [4,0; 7,0); [7,0;10,0);......
NOTAÇÃO: 4,0|----7,0
42
2.2 Procedimento de construção de tabelas de freqüência para
variáveis contínuas:
1. Escolha o número de intervalos de classe (k)
2. Identifique o menor valor (MIN) e o valor máximo (MAX) dos
dados.
3. Calcule a amplitude dos dados (A): A=MAX –MIN
4. Calcule o comprimento de cada intervalo de classe (h):
5. Arredonde o valor de h de forma que seja obtido um número
conveniente.
6. Obtenha os limites de cada intervalo de classe.
k
A
h =
hLI
MIN
+=
=
11
1
LS:superiorLimite
LI:inferiorLimite
:INTERVALOPRIMEIRO
43
hLI
LS
hLI
LS
INTERVALOSEGUNDO
k
k
+=
=
+=
=
−
k
1k
22
12
LS:superiorLimite
LI:inferiorLimite
:INTERVALOÉSIMO-k
LS:superiorLimite
LI:inferiorLimite
:
7. Construa uma tabela de freqüências, constituída pelas seguintes
colunas:
• Número de ordem de cada intervalo (i)
• Limites de cada intervalo. Os intervalos são fechados á
esquerda e aberta à direita: NOTAÇÃO:|----
44
• Ponto médio (ou marca de classe) de cada intervalo de classe:
2
´ ii
í
LILS
X
+
=
• Contagem dos dados pertencentes a cada intervalo.
•Freqüências absolutas de cada intervalo de classe.
•Freqüências relativas de cada intervalo de classe.
•Freqüências acumuladas absolutas de cada intervalo de classe.
•Freqüências acumuladas relativa de cada intervalo de classe.
∑=
=+++=
i
j
jii ffffF
1
21 L
n
F
FouffffF i
r
i
j
rrrrr ijii
==+++= ∑=
;
1
21
L
45
Exemplo: Considere a variável salário da empresa comercializadora de
produtos de informática.
Procedimento:
1. Considere k=5.
2. MIN=4; MAX=23,30.
3. A=MAX-MIN=23,30-4=19,30
4. h=19,3/5=3,86
5. h≈3,9
6. Cálculo dos limites de cada intervalo:
8,119,39,7LS
9,7LI
INTERVALOSEGUNDO
9,79,34LS
4LI
INTERVALOPRIMEIRO
2
2
1
1
=+=
=
=+=
=
Os demais limites dos intervalos foram gerados seguindo o
procedimento anterior.
46
• Ponto médio:
( ) ( ) 9,85.....
2
8,119,7
;95,5
2
9,74 ´
2
´
1 =
+
==
+
= XX
De forma similar obtém-se os outros pontos médios.
i Intervalos
de classe
Ponto médio
(X´i)
Freqüência
Absoluta (fi)
Freqüência
Relativa )( irf
Freqüência
Acumulada
Absoluta (Fi)
Freqüência
Acumulada
Relativa )( irF
1 4,0 |-- 7,9 5,95 10 0,277778 10 0,277778
2 7,9 |-- 11,8 9,85 12 0,333333 22 0,611111
3 11,8 |-- 15,7 13,75 7 0,194444 29 0,805556
4 15,7 |-- 19,6 17,65 6 0,166667 35 0,972222
5 19,6 |-- 23,5 21,55 1 0,027778 36 1
Total 36 1,000000
Tabela 2.2: Distribuição de freqüências da variável salário.
Nesta organização de dados, temos perda de informação dos
dados originais
47
Representação gráfica:
• Histograma de freqüências relativas (em %) para a variável salário
4.0 7.9 11.8 15.7 19.6 23.5
0
10
20
30
Salário
%defuncionários
19.44%
16,67%
2,7%
27,78%
33,33%
48
Útil para encontrar os percentis: Exemplo Q2 ou Md
4.0 7.9 11.8 15.7 19.6 23.5
0
10
20
30
Salário
%defuncionários
19.44%
16,67%
2,7%
27,78%
33,33%
5,10
22,22
9,7
%33,33
9,78,11
=⇒
−
=
−
Md
Md
Md
22.22%
Assimétrica a direita
49
. Histograma usando densidade de frequência (mais comum!)
Área=1
7,1%*3,9=27,6
50
• Histograma de freqüência acumulada relativa (em %)
4.0 7.9 11.8 15.7 19.6 23.5
0
50
100
Salario
Frequênciaacumuladapercentual(%)
27,78%
61,11%
80,56%
97,22% 100%
61% dos empregados tem salário
inferior a 12 salarios mínimos
19% possuim salário superior a 16
salários mínimos
51
4 00 56
5 25 73
6 26 66 86
7 39 44 59
8 12 46 74 95
9 13 35 77 80
10 53 76
11 06 59
12 00 79
13 23 60 85
14 69 71
15 99
16 22 61
17 26
18 75
19 40
20
21
22
23 30
Gráfico de Ramo e Folhas: Variável salário
• Valores concentrados entre 4 e 19
• Leve assimetria na direção dos valores
grandes( assimétrica à direita)
• Destaque do valor 23.30
52
Medidas de posição e medidas de dispersão para variáveis
contínuas agrupadas em tabela de freqüências.
• Média:
n
fX
n
fXfXfX
X
k
i
ii
kk
∑=
=
++
= 1
´
´
2
´
21
´
1 L
11,15
35
401,4
36
155,21665,17775,131285,91095,5
==
×+×+×+×+×
=X
Este resultado difere do valor obtido anteriormente. Porque?
Se calculamos a média para dados não agrupados apresentadas
anteriormente resulta:
11,122
36
30,2336,44
36
3621
=
+++
=
+++
=
LL XXX
X
Exemplo: Considere a tabela 2.2
53
• Moda (mo):
h
dd
d
LImo i ×⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+=
21
1
classe.deintervalodoocompriment:
modal.classedainferiorlimiteoé:
))(fabsolutafrequênciamaiortemqueclasseaquela(émodalClasse:
12
11
i
h
ffd
ffd
LI
i
ii
ii
i
+
−
−=
−=
Exemplo: Considere a tabela 2.2.
2122 ≠>= jff jJá que, ⇒ i =2, é a classe modal
9,0149,3
)712()1012(
1012
9,7
21
1
2 =×⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−+−
−
+=×⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+= h
dd
d
LImo
TDF
54
• Mediana (Md)
h
f
Fn
LIMd
i
i
i ×⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
+= −15,0
classe.deintervalodoocompriment:
mediana.classedaabsolutafrequência:
medianaclasseaanteriorclassedaabsolutaacumuladafrequênciaaé:
mediana.classedainferiorLimite:
dados)dos50%osuperou
TDFnadoscolunaaondeclassedeintervaloo(émédianaclasseaé:
1
h
f
F
LI
Fi
i
i-
i
i
Exemplo: Considere a tabela 2.2
2/222 nF >=Já que, ⇒ i =2, é a classe mediana
8,559,3
12
1018
9,7
5,0
1
1
2 =×⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
+=×⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
+= h
f
Fn
LIMd
55
• Variância:
( )
1
2
1
´
2
−
−
=
∑=
n
XXf
S
k
i
ii
i Intervalos
de classe
X´i fi
( )2´
XXf ii −
1 4,0 |-- 7,9 5,95 10 270,40
2 7,9 |-- 11,8 9,85 12 20,28
3 11,8 |-- 15,7 13,75 7 47,32
4 15,7 |-- 19,6 17,65 6 253,50
5 19,6 |-- 23,5 21,55 1 108,16
Total 36 699,66
Exemplo: Considere a tabela 2.2. Vimos que 15,11=X
( )
Padrão)(Desvio4,47105S19,99029
35
699,66
136
25
1
´
2
=⇒==
−
−
=
∑=i
ii XXf
S
56
Esquema dos cinco números
Extremos
Quartis
Mediana
x(1) x(n)
Q1 Q3
Q2
nTotal Observações
x(1) x(n)Q1 Q2 Q3
57
Boxplot
O BOXPLOT representa os dados através de um retângulo
construído com os quartis e fornece informação sobre valores
extremos. (veja o esquema embaixo)
58
Exemplo de construção de um Boxplot. Com a finalidade de
aumentar o peso (em Kg) um regime alimentar foi aplicado em 12
pessoas. Os resultados (ordenados) foram:
-0,7 2,5 3,0 3,6 4,6 5,3 5,9 6,0 6,2 6,3 7,8 11,2.
Calculando as medidas temos:
Mediana (md ou Q2) = 5,6kg
1º.quartil (Q1) = 3,3kg
3º.quartil (Q3) = 6,25kg
d=intervalo interquartil = Q3-Q1 =2,95kg
Logo as linhas auxiliares correspondem aos pontos:
Q1-1,5d = -1,25kg
Q3+1,5d = 10,675kg
59
Exemplo: Considere os dados da tabela 1.1, o boxplot para variável
salário por educação e região de procedência dos funcionários da
empresa.
11.2
Observação
exterior
(discrepante
ou atipica)
60
1 2 3
5
15
25
Grau de Instrucao
Salario
Boxplot de Salário por educação
5 15 25
1
2
3
GrauInstrucao
Salario
Boxplot de Salário por educação
5 1 5 2 5
In te ri o r
C a p i ta l
O u tro
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Estatística Descritiva

  • 1. EstatEstatíística Descritivastica Descritiva Prof. Victor HugoProf. Victor Hugo LachosLachos DavilaDavila AULA1AULA1--AULA5AULA5
  • 2. 2 oO que é a estatística ? Para muitos, a estatística não passa de conjuntos de tabelas de dados numéricos. Os estatísticos são pessoas que coletam esses dados. •A estatística originou-se com a coleta e construção de tabelas de dados para os governos • A situação evoluiu e esta coleta de dados representa somente um dos aspectos da estatística.
  • 3. 3 Definição de Estatística A estatística é um conjunto de técnicas que permite, de forma sistemática, organizar, descrever, analisar e interpretar dados oriundos de estudos ou experimentos, realizados em qualquer área do conhecimento.
  • 4. 4 Áreas da Estatística 1.- Estatística Descritiva 2.- Probabilidade 3.- Inferência estatística
  • 5. 5 ESTATÍSTICA DESCRITIVA A estatística descritiva é a etapa inicial da análise utilizada para descrever e resumir os dados. A disponibilidade de uma grande quantidade de dados e de métodos computacionais muito eficientes revigorou está área da estatística.
  • 6. 6 PROBABILIDADE A teoria de probabilidades nos permite descrever os fenômenos aleatórios, ou seja, aqueles em que está presente a incerteza.
  • 7. 7 INFERENCIA ESTATISTICA E o estudo de técnicas que possibilitam a extrapolação, a um grande conjunto de dados, das informações e conclusões obtidas a partir da amostra.
  • 9. 9 AMOSTRAGEM Uma área importante em muitas aplicações Estatísticas é a da Tecnologia de Amostragem. Exemplos de Aplicação: • Pesquisa de mercado, • Pesquisa de opinião, • Avaliação do processo de produção, • Praticamente em todo experimento.
  • 10. 10 Amostragem Aleatória Cada elemento da população tem a mesma chance de ser escolhido. Amostragem Estratificada Classificar a população em, ao menos dois estratos e extrair uma amostra de cada um. Amostragem Sistemática Escolher cada elemento de ordem k.
  • 11. 11 Amostragem por Conglomerados Dividir em seções a área populacional, selecionar aleatoriamente algumas dessas seções e tomar todos os elementos das mesmas. Amostragem de Conveniência Utilizar resultados de fácil acesso.
  • 12. 12 Exemplo 1 Numa pesquisa eleitoral, um instituto de pesquisa procura, com base nos resultados de um levantamento aplicado a uma amostra da população, prever o resultado da eleição.
  • 13. 13 Na eleição Presidencial Os Institutos de Pesquisa de opinião colhem periodicamente amostras de eleitores para obter as estimativas de intenção de voto da população. As estimativas são fornecidas com um valor e uma margem de erro. O quadro do Instituto Toledo & Associados, a seguir refere-se à intenção de voto no 1º turno das eleições para o governo em 2002.
  • 14. 14 Intenção de voto para presidente do Brasil-2002 Voto estimulado,em % do total de votos.A ultima pesquisa ouviu 2.202 eleitores- Margem de erro de 2,09% Fonte:Pesquisa toledo& Associados. M aio Jul/Ago Set/OutJunio 34,9% 40,5% 33,6% 46,3% 13,8% 12,1% 34,3% 11,3% 22,8% 23,3% 13,8% 17,6% 12,6% 10,5% 9,0% 14,8% Lula(P T ) S erra(P S D B ) C iro(P P S ) G arotinho(P S B )
  • 15. 15 Confronto no segundo turno. Gráfico de setores ou em forma de pizza
  • 16. 16 No Estado Civil Grau de Instrução No de filhos Salário (X Sal. Min) Idade anos meses Região de procedência 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 Solteiro Casado Casado Solteiro Solteiro Casado Solteiro Solteiro Casado Solteiro Casado Solteiro Solteiro Casado Casado Solteiro Casado Casado Solteiro Solteiro Casado Solteiro Solteiro Casado Casado Casado Solteiro Casado Casado Casado Solteiro Casado Casado Solteiro Casado Casado 10 grau 10 grau 10 grau 20 grau 10 grau 10 grau 10 grau 10 grau 20 grau 20 grau 20 grau 10 grau 20 grau 10 grau 20 grau 20 grau 20 grau 10 grau Superior 20 grau 20 grau 20 grau 10 grau Superior 20 grau 20 grau 10 grau 20 grau 20 grau 20 grau Superior 20 grau Superior Superior 20 grau Superior - 1 2 - - 0 - - 1 - 2 - - 3 0 - 1 2 - - 1 - - 0 2 2 - 0 5 2 - 1 3 - 2 3 4,00 4,56 5,25 5,73 6,26 6,66 6,86 7,39 7,59 7,44 8,12 8,46 8,74 8,95 9,13 9,35 9,77 9,80 10,53 10,76 11,06 11,59 12,00 12,79 13,23 13,60 13,85 14,69 14,71 15,99 16,22 16,61 17,26 18,75 19,40 23,30 26 03 32 10 36 05 20 10 40 07 28 00 41 00 43 04 34 10 23 06 33 06 27 11 37 05 44 02 30 05 38 08 31 07 39 07 25 08 37 04 30 09 34 02 41 00 26 01 32 05 35 00 46 07 29 08 40 06 35 10 31 05 36 04 43 07 33 07 48 11 42 02 Interior Capital Capital Outro Outro Interior Interior Capital Capital Outro Interior Capital Outro Outro Interior Outro Capital Outro Interior Interior Outro Capital Outro Outro Interior Outro Outro Interior Interior Capital Outro Interior Capital Capital Capital Interior Tabela 1.1 Informação do estado civil, grau de instrução, número de filhos, idade e procedência de 36 funcionários sorteados ao acaso da empresa MB.(Bussab e Morettin)
  • 17. 17
  • 18. 18 Variável Qualquer característica associada a uma população Classificação de variáveis Quantitativa { { Qualitativa Nominal sexo, cor dos olhos Ordinal Classe social, grau de instrução Contínua Discreta Peso, altura,salario Número de filhos, numero de carros
  • 19. 19 Variáveis Quantitativas MEDIDAS DE POSIÇÃO: Moda, Média, Mediana, Percentís, Quartis. MEDIDAS DE DISPERSÃO: Amplitude, Intervalo-Interquartil, Variância, Desvio Padrão, Coeficiente de Variação. Medidas Resumo
  • 20. 20 Medidas de Posição Moda(mo): É o valor (ou atributo) que ocorre com maior freqüência.Moda Ex: 4,5,4,6,5,8,4,4 Mo = 4 Variavel qualitativa
  • 22. 22 Mediana A mediana é o valor da variável que ocupa a posição central de um conjunto de n dados ordenados. Posição da mediana: (n+1)/2 Ex: 2,5,3,7,8 Dados ordenados: 2,3,5,7,8 => (5+1)/2=3 => Md = 5 Ex: 3,5,2,1,8,6 Dados ordenados:1,2,3,5,6,8 => (6+1)/2=3,5 => Md=(3+5)/2=4
  • 23. 23 Percentis O percentil de ordem px100 (0<p<1), em um conjunto de dados de tamanho n, é o valor da variável que ocupa a posição px(n+1) do conjunto de dados ordenados. O percentil de ordem p (ou p-quantil) deixa px100% das observações abaixo dele na amostra ordenada. Casos Particulares: Percentil 50=mediana, segundo quartil(md,Q2,q(0,5)) Percentil 25= primeiro quartil (Q1), q(0,25) Percentil 75= terceiro quartil (Q3) , q(0,75)
  • 24. 24 ppsex ppse,x pse),()()f-(1 n1,...,i, 5.0 ppse, )( n(n), 1(1) 1i1i i)( > < <<+ = − == = ++ iiii i pppqfpq n i x pq O p-quantil, 0<p<1, pode ser calculado como: , 1 ii i i pp pp f − − = + Onde: )()3()2()1( ...... nxxxx ≤≤≤≤ Estatisticas de ordem n i 5.0 pi − =
  • 25. 25 Exemplos Ex(1): 15,5,3,8,10,2,7,11,12 =>n=9 => ordenamos: 2<3<5<7<8<10<11<12<15 P1=1/18; p2=3/18; p3=5/18; p4=7/18; p5=1/2; p6=11/18; p7=13/18; p8=15/18; p9=17/18 Posição Md : q(0.5)=8 Posição de Q1: q(0.25)=4,5 Posição de Q3: q(0.75)=11,25
  • 26. 26 Exemplo 2: Considere as notas de um teste de 3 grupos de alunos: Grupo 1: 3, 4, 5, 6, 7; Grupo 2: 1, 3, 5, 7,9; e Grupo 3: 5,5,5,5,5. G1 0 10 0 10 0 10 5 G2 G3 55x:Temos 331331 ====== MdMdMdxx
  • 27. 27 Medidas de Dispersão Finalidade: encontrar um valor que resuma a variabilidade de um conjunto de dados Amplitude (A): A=máx-min Para os grupos anteriores, temos: Grupo 1, A=4 Grupo 2, A=8 Grupo 3, A=0
  • 28. 28 Intervalo-Interquartil (d) É a diferença entre o terceiro quartil e o primeiro quartil, ou seja, d= Q3-Q1 Ex(1): 15,5,3,8,10,2,7,11,12 Q1=4,5 e Q3=11,25 d =Q3-Q1=4,9-2,05=2,85 Max,Min,Q1,Q3,Q2: importantes para se ter uma boa ideia da forma dos dados (simetrica ou assimetrica) e construir box-plots
  • 29. 29 Variância ( ) 11 ... 1 2222 2 )()()( 21 − − = − +++ = ∑−−− = n xx n S n i i xxxxxx n Desvio padrão S Variância=S:PadrãoDesvio
  • 30. 30 Cálculo da variância para o grupo 1: G1:3, 4, 5, 6, 7: Vimos que: 5,2 4 10 15 )57()56()55()54()53( 22222 2 == − −+−+−+−+− =S 5=x Desvio padrão 58,15,2 ==S 00:3 16,310:2 58,15,2:1 2 2 2 == == == SSG SSG SSG
  • 31. 31 Coeficiente de Variação (CV) É uma medida de dispersão relativa; Elimina o efeito da magnitude dos dados; Exprime a variabilidade em relação a média %100×= X S CV Útil Comparar duas ou mais variáveis
  • 32. 32 Exemplo 4: Altura e peso de alunos Conclusão: Com relação as médias, os alunos são, aproximadamente, duas vezes mais dispersos quanto ao peso do que quanto a altura Média Desvio padrão Coeficiente de variação Altura 1,143m 0,063m 5,5% Peso 50Kg 6kg 12%
  • 33. 33 ORGANIZAÇÃO E REPRESENTAÇÃO DOS DADOS Uma das formas de organizar e resumir a informação contida em dados observados é por meio de tabela de freqüências e gráficos. Tabela de freqüência: relaciona categorias (ou classes) de valores, juntamente com contagem (ou freqüências) do número de valores que se enquadram em cada categoria ou classe. 1. Variáveis qualitativas: Podemos construir tabela de freqüência que os quantificam por categoria de classificação e sua representação gráfica é mediante gráfico de barras, gráfico setorial ou em forma de pizza.
  • 34. 34 Exemplo 1: Considere ao variável grau de Instrução dos dados da tabela 1.(Variável qualitativa) :Frequência absoluta da categoria i (número de indivíduos que pertencem à categoria i n f f i ri = : Frequência relativa da categoria i if 33,3% %100*% ii rr ff = : Frequência relativa percentual da categoria i Grau de instrução 1o Grau 2o Grau Superior total Contagem 12 18 6 n=36 0,3333 0,5000 0,1667 1,0000 if irf %irf 50 % 16.7% 100% Tabela de freqüência
  • 35. 35 Diagrama de barras para a variável grau de instrução 33,33% 50,00% 16,70% 0,00% 10,00% 20,00% 30,00% 40,00% 50,00% 60,00% 1o Grau 2o Grau Superior Representação gráfica de variáveis qualitativas • Gráfico de Barras • Diagrama circular, de sectores ou em forma de “pizza”
  • 36. 36 1oGrau(33.3%) Superior(16.7%)2oGrau(50.0%) Diagrama circular para avariavel grau deinstrução Diagrama circular para a variávelgrau de instrução 1o Grau 33% 2o Grau 50% Superior 17%
  • 37. 37 2. Organização e representação de variáveis quantitativas 2.1 Quantitativas discretos: Organizam-se mediante tabelas de frequências e a representação gráfica é mediante gráfico de barras Exemplo: Considere a variável número de filhos dos dados da tabela 1. Tabela 2.1:Distribuição de freqüências de funcionários da empresa, segundo o número de filhos i Número de filhos (Xi ) Número de funcionários (fi ) % de funcionários (fri) 1 0 4 20% 2 1 5 25% 3 2 7 35% 4 3 3 15% 5 5 1 5% total 20 100%
  • 38. 38 Representação gráfica : Diagrama de Barras 0 1 2 3 4 5 5 15 25 35 Número de filhos %defuncionários 20% 25% 35% 15% 5% Observação 1: A partir da tabela 2.1 podemos recuperar as 20 observação da tabela 1.1, ou seja, aqui não temos perda de informação dos dados originais. Mo=2
  • 39. 39 Determinação das medidas de posição e medidas de dispersão para variáveis quantitativas discretas agrupados em tabela de freqüências: n fX n fXfXfX X k i ii kk ∑= = +++ = 12211 L• Média: Exemplo: Considere a tabela 2.1 e determine a média de filhos dos funcionários. 65,1 20 33 20 1533725140 == ×+×+×+×+× =X • Mediana: Dados ordenados: 0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 5 => (20+1)/2=10,5 => Md = (2+2) /2=2
  • 40. 40 • Variância: 1 )( 1 )()()( 1 2 2 2 2 21 2 12 − − = − −++−+− = ∑= n fXX n fXXfXXfXX S k i ii kkL 0,858553 19 16,3125 19 )65,15()65,13(3)65,12(7)65,11(5)65,10(4 22222 2 == −+−+−+−+− =S Cálculo da variância para os dados da tabela 2.1 Desvio padrão: 0,9270,8585532 === SS
  • 41. 41 2.2 Quantitativas continuas: Os seus valores podem ser qualquer número real e ainda geralmente existe um grande nùmero de valores diferentes. Como proceder a construir uma tabela de frequência nestes casos? A alternativa consiste em construir classes ou faixas de valores e contar o número de ocorrências em cada faixa No caso da variavel salario podemos considerar as seguintes faixas de valores: [4,0; 7,0); [7,0;10,0);...... NOTAÇÃO: 4,0|----7,0
  • 42. 42 2.2 Procedimento de construção de tabelas de freqüência para variáveis contínuas: 1. Escolha o número de intervalos de classe (k) 2. Identifique o menor valor (MIN) e o valor máximo (MAX) dos dados. 3. Calcule a amplitude dos dados (A): A=MAX –MIN 4. Calcule o comprimento de cada intervalo de classe (h): 5. Arredonde o valor de h de forma que seja obtido um número conveniente. 6. Obtenha os limites de cada intervalo de classe. k A h = hLI MIN += = 11 1 LS:superiorLimite LI:inferiorLimite :INTERVALOPRIMEIRO
  • 43. 43 hLI LS hLI LS INTERVALOSEGUNDO k k += = += = − k 1k 22 12 LS:superiorLimite LI:inferiorLimite :INTERVALOÉSIMO-k LS:superiorLimite LI:inferiorLimite : 7. Construa uma tabela de freqüências, constituída pelas seguintes colunas: • Número de ordem de cada intervalo (i) • Limites de cada intervalo. Os intervalos são fechados á esquerda e aberta à direita: NOTAÇÃO:|----
  • 44. 44 • Ponto médio (ou marca de classe) de cada intervalo de classe: 2 ´ ii í LILS X + = • Contagem dos dados pertencentes a cada intervalo. •Freqüências absolutas de cada intervalo de classe. •Freqüências relativas de cada intervalo de classe. •Freqüências acumuladas absolutas de cada intervalo de classe. •Freqüências acumuladas relativa de cada intervalo de classe. ∑= =+++= i j jii ffffF 1 21 L n F FouffffF i r i j rrrrr ijii ==+++= ∑= ; 1 21 L
  • 45. 45 Exemplo: Considere a variável salário da empresa comercializadora de produtos de informática. Procedimento: 1. Considere k=5. 2. MIN=4; MAX=23,30. 3. A=MAX-MIN=23,30-4=19,30 4. h=19,3/5=3,86 5. h≈3,9 6. Cálculo dos limites de cada intervalo: 8,119,39,7LS 9,7LI INTERVALOSEGUNDO 9,79,34LS 4LI INTERVALOPRIMEIRO 2 2 1 1 =+= = =+= = Os demais limites dos intervalos foram gerados seguindo o procedimento anterior.
  • 46. 46 • Ponto médio: ( ) ( ) 9,85..... 2 8,119,7 ;95,5 2 9,74 ´ 2 ´ 1 = + == + = XX De forma similar obtém-se os outros pontos médios. i Intervalos de classe Ponto médio (X´i) Freqüência Absoluta (fi) Freqüência Relativa )( irf Freqüência Acumulada Absoluta (Fi) Freqüência Acumulada Relativa )( irF 1 4,0 |-- 7,9 5,95 10 0,277778 10 0,277778 2 7,9 |-- 11,8 9,85 12 0,333333 22 0,611111 3 11,8 |-- 15,7 13,75 7 0,194444 29 0,805556 4 15,7 |-- 19,6 17,65 6 0,166667 35 0,972222 5 19,6 |-- 23,5 21,55 1 0,027778 36 1 Total 36 1,000000 Tabela 2.2: Distribuição de freqüências da variável salário. Nesta organização de dados, temos perda de informação dos dados originais
  • 47. 47 Representação gráfica: • Histograma de freqüências relativas (em %) para a variável salário 4.0 7.9 11.8 15.7 19.6 23.5 0 10 20 30 Salário %defuncionários 19.44% 16,67% 2,7% 27,78% 33,33%
  • 48. 48 Útil para encontrar os percentis: Exemplo Q2 ou Md 4.0 7.9 11.8 15.7 19.6 23.5 0 10 20 30 Salário %defuncionários 19.44% 16,67% 2,7% 27,78% 33,33% 5,10 22,22 9,7 %33,33 9,78,11 =⇒ − = − Md Md Md 22.22% Assimétrica a direita
  • 49. 49 . Histograma usando densidade de frequência (mais comum!) Área=1 7,1%*3,9=27,6
  • 50. 50 • Histograma de freqüência acumulada relativa (em %) 4.0 7.9 11.8 15.7 19.6 23.5 0 50 100 Salario Frequênciaacumuladapercentual(%) 27,78% 61,11% 80,56% 97,22% 100% 61% dos empregados tem salário inferior a 12 salarios mínimos 19% possuim salário superior a 16 salários mínimos
  • 51. 51 4 00 56 5 25 73 6 26 66 86 7 39 44 59 8 12 46 74 95 9 13 35 77 80 10 53 76 11 06 59 12 00 79 13 23 60 85 14 69 71 15 99 16 22 61 17 26 18 75 19 40 20 21 22 23 30 Gráfico de Ramo e Folhas: Variável salário • Valores concentrados entre 4 e 19 • Leve assimetria na direção dos valores grandes( assimétrica à direita) • Destaque do valor 23.30
  • 52. 52 Medidas de posição e medidas de dispersão para variáveis contínuas agrupadas em tabela de freqüências. • Média: n fX n fXfXfX X k i ii kk ∑= = ++ = 1 ´ ´ 2 ´ 21 ´ 1 L 11,15 35 401,4 36 155,21665,17775,131285,91095,5 == ×+×+×+×+× =X Este resultado difere do valor obtido anteriormente. Porque? Se calculamos a média para dados não agrupados apresentadas anteriormente resulta: 11,122 36 30,2336,44 36 3621 = +++ = +++ = LL XXX X Exemplo: Considere a tabela 2.2
  • 53. 53 • Moda (mo): h dd d LImo i ×⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + += 21 1 classe.deintervalodoocompriment: modal.classedainferiorlimiteoé: ))(fabsolutafrequênciamaiortemqueclasseaquela(émodalClasse: 12 11 i h ffd ffd LI i ii ii i + − −= −= Exemplo: Considere a tabela 2.2. 2122 ≠>= jff jJá que, ⇒ i =2, é a classe modal 9,0149,3 )712()1012( 1012 9,7 21 1 2 =×⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −+− − +=×⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + += h dd d LImo TDF
  • 54. 54 • Mediana (Md) h f Fn LIMd i i i ×⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − += −15,0 classe.deintervalodoocompriment: mediana.classedaabsolutafrequência: medianaclasseaanteriorclassedaabsolutaacumuladafrequênciaaé: mediana.classedainferiorLimite: dados)dos50%osuperou TDFnadoscolunaaondeclassedeintervaloo(émédianaclasseaé: 1 h f F LI Fi i i- i i Exemplo: Considere a tabela 2.2 2/222 nF >=Já que, ⇒ i =2, é a classe mediana 8,559,3 12 1018 9,7 5,0 1 1 2 =×⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − +=×⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − += h f Fn LIMd
  • 55. 55 • Variância: ( ) 1 2 1 ´ 2 − − = ∑= n XXf S k i ii i Intervalos de classe X´i fi ( )2´ XXf ii − 1 4,0 |-- 7,9 5,95 10 270,40 2 7,9 |-- 11,8 9,85 12 20,28 3 11,8 |-- 15,7 13,75 7 47,32 4 15,7 |-- 19,6 17,65 6 253,50 5 19,6 |-- 23,5 21,55 1 108,16 Total 36 699,66 Exemplo: Considere a tabela 2.2. Vimos que 15,11=X ( ) Padrão)(Desvio4,47105S19,99029 35 699,66 136 25 1 ´ 2 =⇒== − − = ∑=i ii XXf S
  • 56. 56 Esquema dos cinco números Extremos Quartis Mediana x(1) x(n) Q1 Q3 Q2 nTotal Observações x(1) x(n)Q1 Q2 Q3
  • 57. 57 Boxplot O BOXPLOT representa os dados através de um retângulo construído com os quartis e fornece informação sobre valores extremos. (veja o esquema embaixo)
  • 58. 58 Exemplo de construção de um Boxplot. Com a finalidade de aumentar o peso (em Kg) um regime alimentar foi aplicado em 12 pessoas. Os resultados (ordenados) foram: -0,7 2,5 3,0 3,6 4,6 5,3 5,9 6,0 6,2 6,3 7,8 11,2. Calculando as medidas temos: Mediana (md ou Q2) = 5,6kg 1º.quartil (Q1) = 3,3kg 3º.quartil (Q3) = 6,25kg d=intervalo interquartil = Q3-Q1 =2,95kg Logo as linhas auxiliares correspondem aos pontos: Q1-1,5d = -1,25kg Q3+1,5d = 10,675kg
  • 59. 59 Exemplo: Considere os dados da tabela 1.1, o boxplot para variável salário por educação e região de procedência dos funcionários da empresa. 11.2 Observação exterior (discrepante ou atipica)
  • 60. 60 1 2 3 5 15 25 Grau de Instrucao Salario Boxplot de Salário por educação 5 15 25 1 2 3 GrauInstrucao Salario Boxplot de Salário por educação 5 1 5 2 5 In te ri o r C a p i ta l O u tro RegiãodeProcedência S a la r io B o xp lo t d e S a lá r io p o r r e g iã o d e p r o c e d ê n c ia