O documento discute variáveis aleatórias contínuas e seus principais modelos. Apresenta os conceitos de função densidade de probabilidade para variáveis contínuas e como calcular medidas como esperança e variância. Detalha três importantes modelos contínuos: o modelo uniforme, o modelo exponencial e o modelo normal.
O documento discute variáveis aleatórias contínuas, definindo-as como funções que assumem valores em um intervalo de números reais. Explica como atribuir probabilidades a variáveis contínuas usando funções de densidade de probabilidade, e como calcular medidas como média, variância e probabilidades para variáveis aleatórias contínuas usando integrais. Fornece exemplos ilustrativos sobre profundidade de lençol freático e tempo de teste.
Este módulo apresenta distribuições de probabilidade discretas e contínuas importantes para análise de confiabilidade, como binomial, Poisson, normal, uniforme e exponencial. Exemplos ilustram como calcular probabilidades e parâmetros dessas distribuições para problemas de engenharia de confiabilidade. Recomenda-se que os alunos consultem referências para maiores detalhes sobre as distribuições.
Este documento discute conceitos básicos de variáveis aleatórias reais e suas distribuições de probabilidade. Primeiro, define-se variável aleatória real e apresenta-se sua função distribuição de probabilidade cumulativa. Em seguida, discutem-se propriedades das variáveis aleatórias discretas, contínuas e mistas, e introduz-se a função densidade de probabilidade. Por fim, exemplificam-se distribuições como uniforme, normal e exponencial.
Probabilidade e estatística - Variáveis AleatóriasLucas Vinícius
Este documento resume os principais conceitos de variáveis aleatórias, incluindo: 1) a definição de variável aleatória e sua notação; 2) variáveis aleatórias discretas e contínuas; 3) funções de probabilidade e repartição; 4) medidas de posição como média; e 5) medidas de dispersão como variância e desvio padrão. O documento fornece exemplos para ilustrar cada um desses conceitos.
1) Variáveis aleatórias contínuas podem assumir qualquer valor fracionário dentro de um intervalo, e a probabilidade de um valor é dada pela área sob a curva de distribuição de probabilidade entre esses valores.
2) A distribuição normal é amplamente usada e definida pela média e desvio padrão, com a variável normalizada Z facilitando cálculos de probabilidade.
3) Exemplos ilustram como usar a tabela normal para calcular probabilidades para variáveis contínuas como tempo de reação.
Curso MNPS 2018. DWI, DTI e Tractografia. Preprocessamento para o MNPSArmando Alaminos Bouza
DWI, DTI e Tractografia. Preprocessamento para o MNPS.
Como transformar DWI em DTI e tractografia e sua importação no sistema MNPS.
Uso básico do DSI-Studio. DSI-studio is developed by Fang-Cheng (Frank) Yeh.
MNPS is stereotactic Planning System developed by Mevis. Brazil.
O documento discute conceitos estatísticos como distribuição de probabilidades, distribuições discretas e contínuas. Explica que distribuições discretas envolvem variáveis aleatórias que podem ser contadas, como número de ocorrências, e fornece exemplos de formas de distribuição discreta. Também descreve características gerais de distribuições contínuas e exemplos como uniforme e normal.
1. O documento apresenta um relatório sobre cálculo de integrais.
2. Nele são definidas integral indefinida, integral definida e integração trigonométrica.
3. Exemplos resolvidos são fornecidos para cada tópico a fim de ilustrar os conceitos apresentados.
O documento discute variáveis aleatórias contínuas, definindo-as como funções que assumem valores em um intervalo de números reais. Explica como atribuir probabilidades a variáveis contínuas usando funções de densidade de probabilidade, e como calcular medidas como média, variância e probabilidades para variáveis aleatórias contínuas usando integrais. Fornece exemplos ilustrativos sobre profundidade de lençol freático e tempo de teste.
Este módulo apresenta distribuições de probabilidade discretas e contínuas importantes para análise de confiabilidade, como binomial, Poisson, normal, uniforme e exponencial. Exemplos ilustram como calcular probabilidades e parâmetros dessas distribuições para problemas de engenharia de confiabilidade. Recomenda-se que os alunos consultem referências para maiores detalhes sobre as distribuições.
Este documento discute conceitos básicos de variáveis aleatórias reais e suas distribuições de probabilidade. Primeiro, define-se variável aleatória real e apresenta-se sua função distribuição de probabilidade cumulativa. Em seguida, discutem-se propriedades das variáveis aleatórias discretas, contínuas e mistas, e introduz-se a função densidade de probabilidade. Por fim, exemplificam-se distribuições como uniforme, normal e exponencial.
Probabilidade e estatística - Variáveis AleatóriasLucas Vinícius
Este documento resume os principais conceitos de variáveis aleatórias, incluindo: 1) a definição de variável aleatória e sua notação; 2) variáveis aleatórias discretas e contínuas; 3) funções de probabilidade e repartição; 4) medidas de posição como média; e 5) medidas de dispersão como variância e desvio padrão. O documento fornece exemplos para ilustrar cada um desses conceitos.
1) Variáveis aleatórias contínuas podem assumir qualquer valor fracionário dentro de um intervalo, e a probabilidade de um valor é dada pela área sob a curva de distribuição de probabilidade entre esses valores.
2) A distribuição normal é amplamente usada e definida pela média e desvio padrão, com a variável normalizada Z facilitando cálculos de probabilidade.
3) Exemplos ilustram como usar a tabela normal para calcular probabilidades para variáveis contínuas como tempo de reação.
Curso MNPS 2018. DWI, DTI e Tractografia. Preprocessamento para o MNPSArmando Alaminos Bouza
DWI, DTI e Tractografia. Preprocessamento para o MNPS.
Como transformar DWI em DTI e tractografia e sua importação no sistema MNPS.
Uso básico do DSI-Studio. DSI-studio is developed by Fang-Cheng (Frank) Yeh.
MNPS is stereotactic Planning System developed by Mevis. Brazil.
O documento discute conceitos estatísticos como distribuição de probabilidades, distribuições discretas e contínuas. Explica que distribuições discretas envolvem variáveis aleatórias que podem ser contadas, como número de ocorrências, e fornece exemplos de formas de distribuição discreta. Também descreve características gerais de distribuições contínuas e exemplos como uniforme e normal.
1. O documento apresenta um relatório sobre cálculo de integrais.
2. Nele são definidas integral indefinida, integral definida e integração trigonométrica.
3. Exemplos resolvidos são fornecidos para cada tópico a fim de ilustrar os conceitos apresentados.
Este documento resume um curso sobre recursos para tratamento de imagens de ressonância magnética de difusão, incluindo dMRI, DWI, DTI e tractografia. O curso aborda conceitos como tensor de difusão, anisotropia, mapas de FA coloridos e softwares como DSI Studio para processamento de imagens e reconstrução de fibras.
O documento descreve as características da distribuição normal de probabilidades. Explica que a distribuição normal tem forma de sino, é simétrica em relação à média e é caracterizada pela média e desvio padrão. Também fornece exemplos de como calcular probabilidades usando a distribuição normal.
1. Este documento apresenta uma lista de 21 exercícios sobre estatística econômica relacionados a distribuições de probabilidade, média, variância e cálculo de probabilidades.
2. Os exercícios envolvem determinar valores para que funções sejam densidades de probabilidade, calcular média e variância, estimar probabilidades baseadas em distribuições de probabilidade fornecidas.
3. Também inclui exercícios sobre distribuições normais pedindo para calcular probabilidades com base em médias e desvios padrões fornecidos
O documento descreve os principais modelos de probabilidade. Apresenta os conceitos de modelo discreto, contínuo, finito e infinito. Explica como calcular a média e variância populacional para modelos de probabilidade e fornece exemplos de modelos discretos como o uniforme, de Poisson, geométrico e binomial. Também explica modelos contínuos como o uniforme, exponencial e normal.
O documento apresenta os principais conceitos matemáticos relacionados ao eletromagnetismo, como operador nabla, gradiente, divergência e rotacional. Explica o significado geométrico e físico dessas grandezas vetoriais diferenciais e mostra exemplos de suas aplicações.
O documento apresenta uma introdução aos conceitos fundamentais do cálculo diferencial e integral. Em três frases ou menos, resume-se:
O texto define limites de funções de forma intuitiva e por meio de símbolos, apresenta noções sobre derivadas, incluindo a taxa de variação instantânea e a condição de derivabilidade. Também aborda teoremas como o do valor médio e do valor extremo, importantes para a otimização de funções.
Classificação de séries temporais via divergente entre densidades de probabil...André Carvalho
O documento descreve um método proposto para classificação de séries temporais baseado na divergência entre densidades de probabilidade estimadas no espaço de fases reconstruído. O método envolve a reconstrução do espaço de fases das séries, a estimativa das densidades de probabilidade nesse espaço e o cálculo da divergência entre as densidades para determinar a distância entre as séries.
O documento introduz o conceito de derivadas, explicando o que são derivadas, como calculá-las e suas aplicações. Ele fornece exemplos de como usar derivadas para calcular velocidade, inclinação de curvas e tangentes. O documento também apresenta as regras gerais para derivar funções como potências, soma, produto e quociente.
O documento discute a energia de deformação em materiais sob tensões normais, cisalhamento e flexão. Explica-se que a energia de deformação é igual ao trabalho realizado na deformação do material e é medida em joules (J). A densidade de energia de deformação é definida como a energia por unidade de volume e depende das propriedades do material como módulo de Young.
Este documento discute processos aleatórios, densidade espectral de potência e processos aleatórios passa-faixa. Primeiramente, define processos aleatórios como sistemas dinâmicos que dependem do tempo e são representados por uma família de funções amostras. Em seguida, explica como caracterizar processos aleatórios através de suas estatísticas como média e autocorrelação. Por fim, introduz a densidade espectral de potência e seu relacionamento com a autocorrelação através
O documento discute vários exemplos de aplicações da derivada em física, química e engenharia, incluindo a lei dos gases de Boyle, corrente elétrica, lei de Ohm, lei da indução, fluxo de fluidos em dutos, e tanque de água cônico. A derivada é usada para determinar como variáveis como volume, velocidade e nível de água variam em relação a outras variáveis como pressão, corrente e tempo.
As três distribuições de probabilidade mais comuns são a binomial, normal e uniforme. A distribuição binomial se aplica a variáveis discretas, enquanto a normal é usada para variáveis contínuas. O documento explica como calcular medidas como esperança matemática e variância para essas distribuições e fornece exemplos de sua aplicação em problemas reais.
O documento discute conceitos fundamentais sobre limites de funções, incluindo: (1) a definição formal de limite de funções, (2) a relação entre limites e sequências, (3) propriedades aritméticas dos limites e (4) limites laterais e no infinito.
1) O documento apresenta o programa de uma disciplina de cálculo que aborda tópicos como derivadas, máximos e mínimos de funções, integrais indefinidas e definidas.
2) A bibliografia lista 3 livros de cálculo.
3) As avaliações incluem duas provas bimestrais e um exame final, sem uso de calculadora ou formulário.
Este documento resume a segunda aula de um curso de automação industrial sobre fundamentos básicos de mecânica. O programa inclui tópicos como medidas, unidades, padronização, erro e incerteza e princípios físicos como pressão, vazão e temperatura. Explica também a necessidade de medidas e padronização, além de abordar conceitos como erro experimental, exatidão, precisão e propagação de erro.
Aplicações da equação de Schrödinger independente do tempoLucas Guimaraes
Equação de Schrödinger; Interpretação probabilística da função de onda; Normalização; Equação de Schrödinger independente do tempo; Poço potencial quadrado infinito; Poço potencial quadrado finito.
(apresentação publicada com autorização do autor).
O documento apresenta conceitos básicos sobre variáveis aleatórias, incluindo sua definição, classificação, funções de distribuição e densidade de probabilidade. Exemplos ilustram como modelar variáveis aleatórias em problemas de geração de energia elétrica, e são apresentados parâmetros como esperança matemática e variância para caracterizar as variáveis. Problemas propostos aplicam os conceitos ao cálculo da capacidade estática de sistemas de geração.
Coc796 confiabilidade estrutural_ano_2003Eros Lima
1. O documento introduz os conceitos de variáveis aleatórias e distribuições de probabilidade para análise de confiabilidade estrutural. 2. São definidas propriedades importantes de variáveis aleatórias como média, variância, coeficiente de variação, assimetria e curtose. 3. Distribuições de probabilidade comuns são utilizadas para representar variáveis incertas em análise estrutural.
O documento discute sequências e séries numéricas. No capítulo 1, apresenta conceitos básicos de aritmética infinitesimal. No capítulo 2, trata de propriedades e testes de convergência de sequências numéricas, incluindo o teste da subsequência e o teorema de sanduíche. No capítulo 3, aborda propriedades e testes de convergência de séries numéricas, como séries geométricas e alternadas.
O documento discute o cálculo e interpretação da variância e desvio padrão. Apresenta três casos: 1) dados brutos ou rol, onde calcula a variância e desvio padrão de uma série de dados; 2) variável discreta, onde mostra como calcular essas medidas para dados com repetições; 3) variável contínua, explicando o cálculo para dados agrupados em classes.
Este documento resume um curso sobre recursos para tratamento de imagens de ressonância magnética de difusão, incluindo dMRI, DWI, DTI e tractografia. O curso aborda conceitos como tensor de difusão, anisotropia, mapas de FA coloridos e softwares como DSI Studio para processamento de imagens e reconstrução de fibras.
O documento descreve as características da distribuição normal de probabilidades. Explica que a distribuição normal tem forma de sino, é simétrica em relação à média e é caracterizada pela média e desvio padrão. Também fornece exemplos de como calcular probabilidades usando a distribuição normal.
1. Este documento apresenta uma lista de 21 exercícios sobre estatística econômica relacionados a distribuições de probabilidade, média, variância e cálculo de probabilidades.
2. Os exercícios envolvem determinar valores para que funções sejam densidades de probabilidade, calcular média e variância, estimar probabilidades baseadas em distribuições de probabilidade fornecidas.
3. Também inclui exercícios sobre distribuições normais pedindo para calcular probabilidades com base em médias e desvios padrões fornecidos
O documento descreve os principais modelos de probabilidade. Apresenta os conceitos de modelo discreto, contínuo, finito e infinito. Explica como calcular a média e variância populacional para modelos de probabilidade e fornece exemplos de modelos discretos como o uniforme, de Poisson, geométrico e binomial. Também explica modelos contínuos como o uniforme, exponencial e normal.
O documento apresenta os principais conceitos matemáticos relacionados ao eletromagnetismo, como operador nabla, gradiente, divergência e rotacional. Explica o significado geométrico e físico dessas grandezas vetoriais diferenciais e mostra exemplos de suas aplicações.
O documento apresenta uma introdução aos conceitos fundamentais do cálculo diferencial e integral. Em três frases ou menos, resume-se:
O texto define limites de funções de forma intuitiva e por meio de símbolos, apresenta noções sobre derivadas, incluindo a taxa de variação instantânea e a condição de derivabilidade. Também aborda teoremas como o do valor médio e do valor extremo, importantes para a otimização de funções.
Classificação de séries temporais via divergente entre densidades de probabil...André Carvalho
O documento descreve um método proposto para classificação de séries temporais baseado na divergência entre densidades de probabilidade estimadas no espaço de fases reconstruído. O método envolve a reconstrução do espaço de fases das séries, a estimativa das densidades de probabilidade nesse espaço e o cálculo da divergência entre as densidades para determinar a distância entre as séries.
O documento introduz o conceito de derivadas, explicando o que são derivadas, como calculá-las e suas aplicações. Ele fornece exemplos de como usar derivadas para calcular velocidade, inclinação de curvas e tangentes. O documento também apresenta as regras gerais para derivar funções como potências, soma, produto e quociente.
O documento discute a energia de deformação em materiais sob tensões normais, cisalhamento e flexão. Explica-se que a energia de deformação é igual ao trabalho realizado na deformação do material e é medida em joules (J). A densidade de energia de deformação é definida como a energia por unidade de volume e depende das propriedades do material como módulo de Young.
Este documento discute processos aleatórios, densidade espectral de potência e processos aleatórios passa-faixa. Primeiramente, define processos aleatórios como sistemas dinâmicos que dependem do tempo e são representados por uma família de funções amostras. Em seguida, explica como caracterizar processos aleatórios através de suas estatísticas como média e autocorrelação. Por fim, introduz a densidade espectral de potência e seu relacionamento com a autocorrelação através
O documento discute vários exemplos de aplicações da derivada em física, química e engenharia, incluindo a lei dos gases de Boyle, corrente elétrica, lei de Ohm, lei da indução, fluxo de fluidos em dutos, e tanque de água cônico. A derivada é usada para determinar como variáveis como volume, velocidade e nível de água variam em relação a outras variáveis como pressão, corrente e tempo.
As três distribuições de probabilidade mais comuns são a binomial, normal e uniforme. A distribuição binomial se aplica a variáveis discretas, enquanto a normal é usada para variáveis contínuas. O documento explica como calcular medidas como esperança matemática e variância para essas distribuições e fornece exemplos de sua aplicação em problemas reais.
O documento discute conceitos fundamentais sobre limites de funções, incluindo: (1) a definição formal de limite de funções, (2) a relação entre limites e sequências, (3) propriedades aritméticas dos limites e (4) limites laterais e no infinito.
1) O documento apresenta o programa de uma disciplina de cálculo que aborda tópicos como derivadas, máximos e mínimos de funções, integrais indefinidas e definidas.
2) A bibliografia lista 3 livros de cálculo.
3) As avaliações incluem duas provas bimestrais e um exame final, sem uso de calculadora ou formulário.
Este documento resume a segunda aula de um curso de automação industrial sobre fundamentos básicos de mecânica. O programa inclui tópicos como medidas, unidades, padronização, erro e incerteza e princípios físicos como pressão, vazão e temperatura. Explica também a necessidade de medidas e padronização, além de abordar conceitos como erro experimental, exatidão, precisão e propagação de erro.
Aplicações da equação de Schrödinger independente do tempoLucas Guimaraes
Equação de Schrödinger; Interpretação probabilística da função de onda; Normalização; Equação de Schrödinger independente do tempo; Poço potencial quadrado infinito; Poço potencial quadrado finito.
(apresentação publicada com autorização do autor).
O documento apresenta conceitos básicos sobre variáveis aleatórias, incluindo sua definição, classificação, funções de distribuição e densidade de probabilidade. Exemplos ilustram como modelar variáveis aleatórias em problemas de geração de energia elétrica, e são apresentados parâmetros como esperança matemática e variância para caracterizar as variáveis. Problemas propostos aplicam os conceitos ao cálculo da capacidade estática de sistemas de geração.
Coc796 confiabilidade estrutural_ano_2003Eros Lima
1. O documento introduz os conceitos de variáveis aleatórias e distribuições de probabilidade para análise de confiabilidade estrutural. 2. São definidas propriedades importantes de variáveis aleatórias como média, variância, coeficiente de variação, assimetria e curtose. 3. Distribuições de probabilidade comuns são utilizadas para representar variáveis incertas em análise estrutural.
O documento discute sequências e séries numéricas. No capítulo 1, apresenta conceitos básicos de aritmética infinitesimal. No capítulo 2, trata de propriedades e testes de convergência de sequências numéricas, incluindo o teste da subsequência e o teorema de sanduíche. No capítulo 3, aborda propriedades e testes de convergência de séries numéricas, como séries geométricas e alternadas.
O documento discute o cálculo e interpretação da variância e desvio padrão. Apresenta três casos: 1) dados brutos ou rol, onde calcula a variância e desvio padrão de uma série de dados; 2) variável discreta, onde mostra como calcular essas medidas para dados com repetições; 3) variável contínua, explicando o cálculo para dados agrupados em classes.
Atividades de Inglês e Espanhol para Imprimir - AlfabetinhoMateusTavares54
Quer aprender inglês e espanhol de um jeito divertido? Aqui você encontra atividades legais para imprimir e usar. É só imprimir e começar a brincar enquanto aprende!
Folheto | Centro de Informação Europeia Jacques Delors (junho/2024)Centro Jacques Delors
Estrutura de apresentação:
- Apresentação do Centro de Informação Europeia Jacques Delors (CIEJD);
- Documentação;
- Informação;
- Atividade editorial;
- Atividades pedagógicas, formativas e conteúdos;
- O CIEJD Digital;
- Contactos.
Para mais informações, consulte o portal Eurocid:
- https://eurocid.mne.gov.pt/quem-somos
Autor: Centro de Informação Europeia Jacques Delors
Fonte: https://infoeuropa.mne.gov.pt/Nyron/Library/Catalog/winlibimg.aspx?doc=48197&img=9267
Versão em inglês [EN] também disponível em:
https://infoeuropa.mne.gov.pt/Nyron/Library/Catalog/winlibimg.aspx?doc=48197&img=9266
Data de conceção: setembro/2019.
Data de atualização: maio-junho 2024.
000. Para rezar o terço - Junho - mês do Sagrado Coração de Jesús.pdf
06_Variaveis_Continuas.pdf
1. Variáveis aleatórias contínuas
Wagner H. Bonat
Fernando P. Mayer
Elias T. Krainski
Universidade Federal do Paraná
Departamento de Estatística
Laboratório de Estatística e Geoinformação
LEG/DEST/UFPR VAs contínuas 1 / 42
3. Variáveis aleatórias contínuas Introdução
Variáveis aleatórias
Em probabilidade, uma função X que associa a cada evento do espaço
amostral um número real X(ω) ∈ R, é denominada uma variável aleatória
(VA).
Uma variável aleatória pode ser classificada como discreta ou contínua,
dependendo do domínio dos valores de X.
Exemplo: o número de alunos em uma sala é uma variável aleatória
(discreta), denotada por X (maiúsculo). Uma observação dessa variável é
denotada pela respectiva letra minúscula, e.g., x = 50 alunos.
Em geral, denotamos a probabilidade de uma V.A. X assumir determinado
valor x como
P[X] ou P[X = x]
LEG/DEST/UFPR VAs contínuas 3 / 42
4. Variáveis aleatórias contínuas Introdução
Distribuições de probabilidade
Existem diversos modelos probabilísticos que procuram descrever vários tipos
de variáveis aleatórias: são as distribuições de probabilidade de
variáveis aleatórias (discretas ou contínuas).
A distribuição de probabilidades de uma VA X é, portanto, uma descrição
das probabilidades associadas com os possíveis valores de X. Os valores que
X assume determinam o suporte (S) da VA.
Variáveis discretas → suporte em um conjunto de valores
enumeráveis (finitos ou infinitos)
Variáveis contínuas → suporte em um conjunto não enumerável de
valores
LEG/DEST/UFPR VAs contínuas 4 / 42
5. Variáveis aleatórias contínuas Introdução
Distribuições de probabilidade
Denomina-se de distribuição de probabilidade de alguma variável
aleatória, a regra geral que define a
função de probabilidade (fp) (V.A.s discretas), ou a
função densidade de probabilidade (fdp) (V.A.s contínuas)
para a variável de interesse.
Existem muitas distribuições de probabilidade, mas algumas merecem
destaque por sua importância prática.
Estas distribuições também são chamadas de modelos probabilísticos.
LEG/DEST/UFPR VAs contínuas 5 / 42
6. Variáveis aleatórias contínuas Introdução
Variáveis aleatórias contínuas
Uma V.A. é classificada como contínua se assume valores em qualquer
intervalo dos números reais, ou seja, um conjunto de valores não enumerável.
Dessa forma, não é possível atribuir probabilidades para um ponto específico,
apenas para intervalos da reta.
Exemplos:
Peso de animais
Tempo de falha de um equipamento eletrônico
Altura da maré em uma hora específica
Salinidade da água do mar
Retorno financeiro de um investimento
LEG/DEST/UFPR VAs contínuas 6 / 42
7. Variáveis aleatórias contínuas Introdução
Exemplo 6.1
Estudos anteriores revelam a existência de uma grande lençol de água no
subsolo de uma região. No entanto, sua profundidade ainda não foi
determinada, sabendo-se apenas que o lençol pode estar situado em qualquer
ponto entre 20 e 100 metros.
Determine uma função para representar a variável X (profundidade do
lençol de água).
Calcule a probabilidade de encontar água em uma profundidade pelo
menos igual a 25, e menor ou igual a 29 metros.
Qual a probabilidade de encontrar água na profundidade de 60 metros?
LEG/DEST/UFPR VAs contínuas 7 / 42
8. Variáveis aleatórias contínuas Variáveis aleatórias contínuas
Função densidade de probabilidade
Não podemos atribuir probabilidades à valores específicos, pois há uma
quantidade não enumerável (infinita) de valores em um ponto.
Atribuimos probabilidades à intervalos de valores, por meio de uma função.
Portanto, as probabilidades são representadas por áreas.
30 40 50 60 70
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
X
Densidade
LEG/DEST/UFPR VAs contínuas 8 / 42
9. Variáveis aleatórias contínuas Variáveis aleatórias contínuas
Função densidade de probabilidade
A função densidade de probabilidade (fdp) atribui probabilidades à
intervalos de valores do tipo [a, b], e é definida por
P[a < X < b] =
Z b
a
f (x)dx
com as seguintes propriedades:
i. É uma função não negativa
f (x) ≥ 0
ii. A área total sob a curva deve ser igual a 1
Z +∞
−∞
f (x)dx = 1
LEG/DEST/UFPR VAs contínuas 9 / 42
10. Variáveis aleatórias contínuas Variáveis aleatórias contínuas
Função densidade de probabilidade
Observações:
P[X = x] = 0, portanto:
P[a ≤ X ≤ b] = P[a < X ≤ b] = P[a ≤ X < b] = P[a < X < b]
Qualquer função f (·) que seja não negativa e cuja área total sob a
curva seja igual à unidade caracterizará uma VA contínua.
f (x) não representa a probabilidade de ocorrência de algum evento. A
área sob a curva entre dois pontos é que fornecerá a
probabilidade.
LEG/DEST/UFPR VAs contínuas 10 / 42
11. Variáveis aleatórias contínuas Variáveis aleatórias contínuas
Exemplo
Seja a função:
f (x) =
(
3
2 x2, se − 1 ≤ x ≤ 1
0, caso contrário
Verifique se essa função é uma fdp.
Calcule:
P[X > 0]
P[X > 1/2]
P[−1/2 ≤ X ≤ 1/2]
P[X < −2]
P[X < 1/2]
P[X < 0 ∪ X > 1/2]
(Ver também exemplos 6.2 e 6.3).
LEG/DEST/UFPR VAs contínuas 11 / 42
12. Variáveis aleatórias contínuas Variáveis aleatórias contínuas
Medidas de posição para VAs contínuas
O valor esperado (ou média) da VA contínua X com função densidade
f (x), é dado pela expressão:
E(X) = µ =
Z ∞
−∞
x f (x)dx.
A mediana é o valor Md que tem a propriedade de
P(X ≥ Md) ≥ 1/2 e P(X ≤ Md) ≥ 1/2.
A moda é o valor Mo tal que,
f (Mo) = max
x
f (x).
LEG/DEST/UFPR VAs contínuas 12 / 42
13. Variáveis aleatórias contínuas Variáveis aleatórias contínuas
Variância para VAs contínuas
Para uma VA X com densidade f (x), a variância é dada por
Var(X) = σ2
=
Z ∞
−∞
(x − µ)2
f (x)dx.
Expressão alternativa
Var(X) = σ2
= E(X2
) − E(X)2
.
onde
E(X2
) =
Z ∞
−∞
x2
f (x)dx.
LEG/DEST/UFPR VAs contínuas 13 / 42
14. Variáveis aleatórias contínuas Variáveis aleatórias contínuas
Exemplo
Seja a função:
f (x) =
(
3
2 x2, se − 1 ≤ x ≤ 1
0, caso contrário
Calcule E(X), Var(X), DP(X).
LEG/DEST/UFPR VAs contínuas 14 / 42
15. Principais modelos contínuos
Sumário
1 Variáveis aleatórias contínuas
Introdução
Variáveis aleatórias contínuas
2 Principais modelos contínuos
Modelo Uniforme contínuo
Modelo Exponencial
Modelo Normal
3 Exercícios
LEG/DEST/UFPR VAs contínuas 15 / 42
16. Principais modelos contínuos Modelo Uniforme contínuo
Modelo Uniforme contínuo
Definição: uma VA X tem distribuição Uniforme contínua no intervalo
[a, b], a < b, se sua função densidade de probabilidade é dada por
f (x) =
(
1
b−a se a ≤ x ≤ b
0 caso contrário
Notação: X ∼ U[a, b]
Esperança e variância: E(X) = a+b
2 e Var(X) = (b−a)2
12 .
LEG/DEST/UFPR VAs contínuas 16 / 42
17. Principais modelos contínuos Modelo Uniforme contínuo
Modelo Uniforme contínuo
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
a = 0, b = 1
x
f(x)
−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
a = −1, b = 1
x
f(x)
10 12 14 16 18 20
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
a = 10, b = 20
x
f(x)
−10 −5 0 5 10
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
a = −10, b = 10
x
f(x)
LEG/DEST/UFPR VAs contínuas 17 / 42
18. Principais modelos contínuos Modelo Uniforme contínuo
Exemplo 6.5
Com o objetivo de verificar a resistência à pressão de água, os técnicos de
qualidade de uma empresa inspecionam os tubos de PVC produzidos.
Os tudos inspecionados têm 6 metros de comprimento e são submetidos a
grandes pressões até o aparecimento do primeiro vazamento, cuja distância a
uma das extremidades (fixada à priori) é anotada para fins de análise.
Escolhe-se um tubo ao acaso para ser inspecionado. Queremos calcular a
probabilidade de que o vazamento esteja, a no máximo 1 metro das
extremidades.
LEG/DEST/UFPR VAs contínuas 18 / 42
19. Principais modelos contínuos Modelo Exponencial
Modelo Exponencial
Definição: uma VA contínua X assumindo valores não negativos, segue o
modelo exponencial com parâmetro α > 0 se sua densidade é dada por
f (x) =
(
αe−αx se x ≥ 0
0 caso contrário
Notação: X ∼ Exp(α)
Esperança e variância: E(X) = µ = 1
α e Var(X) = 1
α2 .
Propriedade da distribuição Exponencial
P(a < X < b) =
R b
a αe−αx dx = e−αa − e−αb.
LEG/DEST/UFPR VAs contínuas 19 / 42
21. Principais modelos contínuos Modelo Exponencial
Exemplo 6.6
Uma indústria fabrica lâmpadas especiais que ficam em operação
continuamente.
A empresa oferece a seus clientes a garantia de reposição, caso a lâmpada
dure menos de 50 horas. A vida útil dessas lâmpadas é modelada através da
distribuição Exponencial com parâmetro 1/8000.
Qual é a duração média das lâmpadas?
Determine a proporção de troca por defeito de fabricação.
LEG/DEST/UFPR VAs contínuas 21 / 42
22. Principais modelos contínuos Modelo Exponencial
Exemplo 6.6
Seja X ∼ Exp(1/8000).
Duração média das lâmpadas: E(X) = 1
α = 1
1/8000 = 8000 horas.
Proporção de troca por defeito:
P(X < 50) =
Z 50
0
αe−αx
dx
=
Z 50
0
1
8000
e− 1
8000
x
dx
= e− 1
8000
0
− e− 1
8000
50
(usando a propriedade)
= 1 − 0.994
= 0.006
LEG/DEST/UFPR VAs contínuas 22 / 42
23. Principais modelos contínuos Modelo Normal
Modelo Normal
Definição: Dizemos que uma VA X segue o modelo normal se sua fdp é a
seguinte
f (x) =
1
σ
√
2π
exp
"
−
1
2
x − µ
σ
2
#
, −∞ x ∞
onde µ ∈ R é a média da população, σ ∈ R+ é o desvio-padrão
populacional.
Notação: X ∼ N(µ, σ2)
Esperança e variância: E(X) = µ e Var(X) = σ2
LEG/DEST/UFPR VAs contínuas 23 / 42
25. Principais modelos contínuos Modelo Normal
Modelo Normal
Característcas da curva normal:
É simétrica em relação à µ
O ponto máximo (moda) de f (x) é o ponto x = µ
Os pontos de inflexão da função são µ − σ e µ + σ
A área total sob a curva é 1 ou 100%
A curva é assintótica em relação ao eixo x
LEG/DEST/UFPR VAs contínuas 25 / 42
26. Principais modelos contínuos Modelo Normal
Modelo Normal
Para qualquer VA normal X, valem as seguintes relações:
P[X µ] = P[X µ]
P[µ − σ X µ + σ] u 0, 683
P[µ − 2σ X µ + 2σ] u 0, 954
P[µ − 3σ X µ + 3σ] u 0, 997
Portanto, 6σ é frequentemente referida como a largura de uma distribuição
normal.
Métodos mais avançados de integração podem ser utilizados para mostrar
que a área sob a função densidade de probabilidade normal de
−∞ x ∞ é igual a 1.
LEG/DEST/UFPR VAs contínuas 26 / 42
27. Principais modelos contínuos Modelo Normal
Regra empírica para uma distribuição normal
x
f(x)
µ − 3 ⋅ σ µ − 2 ⋅ σ µ − σ µ µ + σ µ + 2 ⋅ σ µ + 3 ⋅ σ
0.34
0.34
0.14
0.14 0.14
0.14
0.02
0.02
68.3%
95.4%
99.7%
LEG/DEST/UFPR VAs contínuas 27 / 42
28. Principais modelos contínuos Modelo Normal
Modelo Normal
Para obter uma probabilidade do modelo normal, devemos calcular a área
entre os pontos a e b, ou seja,
P[a X b] =
Z b
a
1
√
2πσ
exp
−
1
2
x − µ
σ
2
#
dx
No entanto, essa função não possui forma fechada, e o cálculo de
probabilidades pode ser feito apenas por aproximações numéricas.
Para contornar esse problema, os valores de probabilidade são obtidos para
uma distribuição normal padrão (Z) com µ = 0 e σ2 = 1,
Z =
X − µ
σ
∼ N(0, 1)
A vantagem é que podemos fazer uma única tabela com as integrais
aproximadas de Z, ao invés de uma tabela para cada par (µ, σ2).
LEG/DEST/UFPR VAs contínuas 28 / 42
29. Principais modelos contínuos Modelo Normal
Modelo Normal
Se Z ∼ N(0, 1), então sua fdp é
f (z) =
1
√
2π
exp
−
1
2
(z)2
Para se obter a probabilidade de Z estar entre a e b,
P[a Z b] =
Z b
a
1
√
2π
exp
−
1
2
(z)2
dz
As integrais (áreas) para valores de Z entre 0,00 e 3,99 estão na tabela.
Portanto, para qualquer valor de X entre a e b, podemos calcular a
probabilidade correspondente através da transformação,
P[a X b] = P
a − µ
σ
Z
b − µ
σ
LEG/DEST/UFPR VAs contínuas 29 / 42
30. Principais modelos contínuos Modelo Normal
Modelo Normal
70 80 90 100 110 120 130
0.00
0.06 µ = 100, σ2
= 25
X
f(X)
−6 −4 −2 0 2 4 6
Z
LEG/DEST/UFPR VAs contínuas 30 / 42
31. Principais modelos contínuos Modelo Normal
Modelo Normal
Exemplo de uso da tabela
Calcule as probabilidades (áreas):
P(0 Z 2)
P(Z 2)
P(Z −2)
P(2, 0 Z 2, 5)
P(−2, 61 Z 2, 43)
P(Z −1, 63)
Qual é o valor de c tal que P(0 Z c) = 0, 4?
Qual é o valor de d tal que P(Z d) = 0, 8?
LEG/DEST/UFPR VAs contínuas 31 / 42
32. Principais modelos contínuos Modelo Normal
Exemplo 6.9
Doentes sofrendo de certa moléstia são submetidos a um tratamento
intensivo cujo tempo de cura foi modelado por uma densidade Normal de
média 15 e desvio padrão 2 (em dias).
Calcule a proporção de pacientes que demorarão mais de 17 dias para
se recuperar.
Calcule a probabilidade um paciente selecionado ao acaso demorar
menos de 20 dias para se recuperar.
Qual o tempo máximo necessário para a recuperação de 25% dos
pacientes?
Se 100 pacientes forem escolhidos ao acaso, qual seria o número
esperado de doentes curados em menos de 11 dias?
LEG/DEST/UFPR VAs contínuas 32 / 42
33. Principais modelos contínuos Modelo Normal
Normal como aproximação da binomial
A distribuição Normal é uma das mais importantes na Estatística:
Muitos fenômenos aleatórios se comportam próximos à essa distribuição
Pode ser usada como aproximação para outras distribuições
Se X ∼ Bin(n, p) então E(X) = np e Var(X) = np(1 − p).
Podemos aproximar a binomial pela normal, usando
Y ∼ N(µ = np, σ2
= np(1 − p)),
em geral, quando np ≥ 5 e np(1 − p) ≥ 5.
LEG/DEST/UFPR VAs contínuas 33 / 42
34. Principais modelos contínuos Modelo Normal
Exemplo 6.11
Estudo do Sindicato dos Bancários indica que cerca de 30% dos funcionários
de banco têm problemas de estresse, provenientes das condições de trabalho.
Numa amostra de 200 bancários, qual seria a probabilidade de pelo menos
50 com essa doença?
LEG/DEST/UFPR VAs contínuas 34 / 42
35. Principais modelos contínuos Modelo Normal
Exemplo 6.11
Estudo do Sindicato dos Bancários indica que cerca de 30% dos funcionários
de banco têm problemas de estresse, provenientes das condições de trabalho.
Numa amostra de 200 bancários, qual seria a probabilidade de pelo menos
50 com essa doença?
Temos então X ∼ Bin(200, 0.3), e a probabilidade seria
P(X ≥ 50) =
200
X
k=50
200
k
0.3k
0.7200−k
que é difícil de calcular sem computador.
LEG/DEST/UFPR VAs contínuas 34 / 42
36. Principais modelos contínuos Modelo Normal
Exemplo 6.11
Mas E(X) = np = 60 e Var(X) = np(1 − p) = 42. Assim, temos
Y ∼ N(60, 42), de modo que
P(X ≥ 50) ≈ P(Y ≥ 50 − 0.5) = P
Y − 60
√
42
≥
49.5 − 60
√
42
= P(Z ≥ −1.62) = 0.9474
Obs.: o valor −0.5 é o fator de correção de continuidade.
Usando o R:
## Cálculo exato pela binomial
pbinom(49, size = 200, prob = 0.3, lower.tail = FALSE)
# [1] 0.9494082
## Aproximação pela Normal
pnorm(50-0.5, mean = 60, sd = sqrt(42), lower.tail = FALSE)
# [1] 0.9474037
LEG/DEST/UFPR VAs contínuas 35 / 42
37. Principais modelos contínuos Modelo Normal
Exemplo 6.11
Aproximação de X ∼ Bin(200, 0.3) com Y ∼ N(60, 42).
0 50 100 150 200
0.00
0.02
0.04
0.06
x
Densidade
LEG/DEST/UFPR VAs contínuas 36 / 42
38. Principais modelos contínuos Modelo Normal
Combinação linear de Normais independentes
Se X1, X2, . . . , Xn fomam uma sequência de variáveis aleatórias
independentes, onde Xi ∼ N(µi , σ2
i ), e a1, a2, . . . , an são constantes
quaisquer, então:
W =
n
X
i=1
ai Xi terá distribuição Normal com W ∼ N(µW , σ2
W )
onde:
µW = E(
n
X
i=1
ai Xi ) =
n
X
i=1
E(ai Xi ) =
n
X
i=1
ai E(Xi ) =
n
X
i=1
ai µi
σ2
W = Var(
n
X
i=1
ai Xi ) =
n
X
i=1
Var(ai Xi ) =
n
X
i=1
a2
i Var(Xi ) =
n
X
i=1
a2
i σ2
i
LEG/DEST/UFPR VAs contínuas 37 / 42
39. Principais modelos contínuos Modelo Normal
Exemplo 6.13
Uma corretora negocia títulos na Bolsa de Valores e utiliza um modelo
probabilístico para avaliar seus lucros. Suas aplicações financeiras de compra
e venda atingem três áreas: agricultura, indústria e comércio. Admita que o
seguinte modelo representa o comportamento do lucro diário da corretora
(em milhares):
L = 2LA + 5LI + 3LC
onde LA, LI e LC representam, os lucros diários nos setores de agricultura,
indústria e comércio.
As distribuições de probabilidades dessas variáveis aleatórias são
LA ∼ N(3, 4), LI ∼ N(6, 9) e LC ∼ N(4, 16). Supondo independência entre
os três setores, qual será a probabilidade de um lucro diário acima de 50 mil.
LEG/DEST/UFPR VAs contínuas 38 / 42
40. Principais modelos contínuos Modelo Normal
Exemplo 6.13
L ∼ N(µL, σ2
L), onde:
µL =
3
X
i=1
ai µi = 2 × 3 + 5 × 6 + 3 × 4 = 48
σ2
L =
3
X
i=1
a2
i σ2
i = 22
× 4 + 52
× 9 + 32
× 16 = 385
Portanto, L ∼ N(48, 385), e assim,
P(L 50) = P
Z
50 − 48
√
385
= P(Z 0.10)
= 0.4602
LEG/DEST/UFPR VAs contínuas 39 / 42
41. Principais modelos contínuos Modelo Normal
Exemplo 6.12
Um serviço de fiscalização é criado para averiguar se garrafas de um certo
refrigerante contém, de fato, o volume especificado pelo fabricante. Para
tanto, 10 garrafas do produto são compradas no varejo, em várias regiões da
cidade. Cada uma dessas garrafas é esvaziada e o volume de seu conteúdo,
que denotaremos por V é aferido.
Uma vez obtidos os 10 valores, a média aritmética M é calculada e, se
M 290 mililitros (ml), a companhia é multada. Estudos na linha de
produção do fabricante mostraram que variações sempre ocorrem, mesmo se
as especificações forem seguidas.
Por essa razão, considera-se o volume do conteúdo das garrafas como
seguindo o modelo Normal, com média µ = 300 ml e desvio-padrão σ = 25
ml. Gostaríamos de calcular qual é a probabilidade de que o fabricante seja
multado injustamente.
LEG/DEST/UFPR VAs contínuas 40 / 42
42. Exercícios
Sumário
1 Variáveis aleatórias contínuas
Introdução
Variáveis aleatórias contínuas
2 Principais modelos contínuos
Modelo Uniforme contínuo
Modelo Exponencial
Modelo Normal
3 Exercícios
LEG/DEST/UFPR VAs contínuas 41 / 42