O documento apresenta uma lista de exercícios de álgebra linear que envolvem transformações lineares e suas matrizes relativas a bases. Os exercícios incluem determinar matrizes de transformações lineares dadas, calcular combinações de transformações lineares e suas matrizes, e provar propriedades de transformações lineares como sobrejetividade.

1. Universidade Federal de Alagoas- UFAL
Lista 4 - Parte 1 - Transformações Lineares
Álgebra Linear
Prof. Marcos Ranieri
Nome:
1. Sejam F, G, H ∈ L(R2
) denidas por F(x, y) = (x, 2y), G(x, y) = (y, x + y), H(x, y) = (0, x).
(a) Determine F + H, F ◦ G, G ◦ (F + H), G ◦ F, H ◦ F, H ◦ F ◦ G, G ◦ F ◦ H.
(b) Determine as matrizes (em relação a base canônica) das transformações lineares do item
anterior.
2. Determine a matriz do operador linear A : R2
→ R2
, relativamente à base case canônica
sabendo que A(1, 1) = (2, 3) e A(−1, 1) = (4, 5).
3. Qual é a matriz, na base canônica, do operador A : R2
→ R2
tal que A(2, 3) = (2, 3) e
A(−3, 2) = 0?
4. Seja F ∈ L(R2
) cuja matriz em relação à base B = {(1, 0), (1, 4)} é
1 1
5 1
. Determine a matriz
de F em relação a base canônica.
5. Determine a matriz do operador de derivação D : Pn
→ Pn
relativamente à base {1, t, t2
, ..., tn
}.
6. Calcule a n-ésima potência da matriz M =
1 a
0 1
.
7. Determine a matriz da projeção P : R2
→ R2
, P(x, y) = (x, 0) relativamente à base {u, v} ⊂ R2
,
onde u = (1, 1) e v = (1, 2).
8. Seja
1 9
−1 6
a matriz de uma transformação T : R2
→ R2
numa dada base B = {v1, v2}. Seja
C = {u1, u2} uma outra base de R2
tal que u1 = 3v1 + v2 e u2 = 2v1 + v2. Determine a matriz
da transformação T relativamente à base C.
9. Sejam F, G ∈ L(R3
) tais que F(x, y, z) = (x, 2y, y − z) e que a matriz de 2F − G em relação à
base canônica é dada por 

1 1 0
0 1 0
1 2 1.

 .
Determine a matriz de G em relação à base canônica. Determine também G(x, y, z).
10. Prove que se T ∈ L(R4
, R2
) é tal que
Ker(T) = {(x, y, z, w) ∈ R4
: x = 5y e z = 7w},
então T é sobrejetiva.
11. Prove que se {v1, ..., vn} geram V e T ∈ L(V, W) é sobrejetiva. Então {Tv1, ..., Tvn} geram W.