(1) A prova de Álgebra Linear contém 5 questões sobre planos, transformações lineares, subespaços vetoriais e bases. (2) A primeira questão pede para encontrar uma equação para um plano perpendicular a dois outros planos e determinar pontos nesse plano. (3) A quinta questão pede para encontrar bases para um subespaço vetorial de R5 e seu complemento ortogonal.

1. DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA DO CCE – UFES
Segunda Prova de Álgebra Linear – 2011/1
Aluno:____________________________________________________________________
Data: 10/05/2011
Questão 1 (3,0 pontos)
a) Encontre uma equação para o plano Π passando pela origem e que é perpendicular à
reta de interseção dos planos 2 x + y + z = −1 e x + 2 y + z = 7 .
b) Dado um ponto P = ( x, y, z ) ∈ ℜ3 , determine o ponto Q ∈ Π tal que o vetor QP seja
ortogonal ao plano Π .
c) A função que associa a cada ponto P ∈ ℜ3 o ponto Q ∈ Π obtido no item (b) é uma
transformação linear? Justifique. Caso seja transformação linear, determine sua matriz
canônica.
Questão 2 (1,0 pontos)
{ }
Seja v1, v 2 , v 3 uma base de um espaço vetorial V. Mostre que u 1 , u 2 , u 3 { } também é
base de V, sendo u1 = v1 , u 2 = v1 + v 2 e u 3 = v1 + v 2 + v 3 .
Questão 3 (2,0 pontos)
Sejam r a reta de equações paramétricas x = t , y = −t , z = 2t e Π o plano passando pela
origem e perpendicular à reta r. Determine a matriz canônica do operador linear T de ℜ3
tal que T ( v ) = 0 , para cada v ∈ r , e T ( v ) = −2v , para cada v ∈ Π .
Questão 4 (2,0 pontos)
Seja W o subespaço vetorial de ℜ4 gerado por
S = { (1, − 1, 5, 2 ), ( − 2, 3, 1, 0 ), ( 4, − 5, 9, 4 ), ( 0, 4, 2, − 3 ), ( − 7, 18, 2, − 8)}.
a) Encontre um subconjunto de S que seja base de W.
b) Expresse cada vetor de S que não esteja na base obtida no item (a) como uma
combinação linear dos vetores da base.
Questão 5 (2,0 pontos)
Seja W o subespaço vetorial do espaço euclidiano ℜ5 gerado por
S = { (1, 4, 5, 6, 9 ), ( 3, − 2, 1, 4, − 1 ), ( − 1, 0, − 1, − 2, − 1 ), ( 2, 3, 5, 7, 8 )} . Encontre bases para W e
para o complemento ortogonal de W.