(1) O documento contém uma prova de álgebra linear com 4 questões. A primeira questão pede para encontrar uma equação de plano e realizar operações de projeção nesse plano. A segunda questão pede para encontrar uma base de uma reta e calcular uma projeção ortogonal. A terceira questão pede para encontrar bases de um subespaço vetorial. A quarta questão pede para ortogonalizar uma base e calcular coordenadas de um vetor nessa nova base.

1. DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA DO CCE – UFES
Segunda Prova de Álgebra Linear – 2011/2
Aluno:____________________________________________________________________
Data: 25/10/2011
Questão 1 (3,0 pontos)
a) Encontre uma equação para o plano Π passando pelo ponto (1, − 1, 2 ) e que contém a
interseção dos planos x + z − 1 = 0 e 2 x − y + 2 z = 0 .
b) Para cada ponto P = ( x, y, z ) ∈ ℜ3 , determine o ponto Q ∈ Π tal que o vetor QP seja
paralelo ao eixo x.
c) A função que associa a cada ponto P ∈ ℜ3 o ponto Q ∈ Π obtido no item (b) é uma
transformação linear? Justifique. Caso seja transformação linear, determine sua matriz
canônica.
Questão 2 (2,0 pontos)
Seja r a reta de equações paramétricas x = t , y = −t , z = 2t . Determine
a) uma base de { v1 , v2 , v3 } do espaço euclidiano ℜ3 , sendo v1 ∈ r e v2 e v3 ortogonais a r.
b) a matriz canônica do operador linear de ℜ3 que é a projeção ortogonal sobre a reta r,
usando a base obtida no item (a).
Questão3 (3,0 pontos)
Seja W o subespaço vetorial do espaço euclidiano ℜ4 gerado por
S = { ( − 1, 0 , 1,2 ),( 3, − 1, 2 ,− 1 ),( − 5, 1, 0 ,5 ),( 5, − 2 , 5,0 ),(10, − 3, 5,− 5)} .
a) Encontre um subconjunto de S que seja base de W.
b) Expresse cada vetor de S que não esteja na base obtida no item (a) como uma
combinação linear dos vetores da base.
c) Determine uma base ortogonal do complemento ortogonal de W.
Questão 4 (2,0 pontos)
Sejam o espaço euclidiano ℜ 3 e B = {(1,0 ,0 ),( 3,4,− 2 ),( 0,4 ,1 )} uma base de ℜ 3 .
a) Use o processo de Gram-Schmidt para transformar B em uma base ortogonal.
b) Determine o vetor de coordenadas, em relação à base ortogonal obtida no item (a), do
vetor de ℜ3 cujo vetor de coordenadas, em relação a B, é (1 2 ,− 1 2 ,1) .