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MATEMÁTICA PARA MECÂNICA
Autoras:
Fernanda Souza
Katia Dutra
Vamos começar?
Muitas vezes, temos que escrever números grandes demais ou muito pequenos.
Imagine que você tenha que expressar medidas grandiosas como:
A distância entre a Terra e o Sol;
Ou mínimas como a massa do átomo de hidrogênio.
Fica mais fácil e compacto expressar esses tipos de medidas se utilizarmos as potências de
10 e a notação científica.
Veja alguns exemplos.
Tamanho dos planetas
Fique por dentro
Quantidade de neurônios num
cérebro.
Vamos rever, então, as potências na base 10 e a notação científica que muito nos ajudarão na
simplificação da escrita e de cálculos envolvendo esse tipo de número com muitas ordens.
Toda potência de 10 é igual ao número formado pelo algarismo 1, seguido de tantos zeros quantas
forem as unidades do expoente.
Exemplos:
101 = 10
103 = 1000
10 -4 = 0,0001
102 = 100
10 -5 = 0,00001
O que são potências na base 10?
Observe as informações na forma de potência.
Uma bactéria é um
organismo unicelular e seu
diâmetro varia de 10 - 6 a
5 x 10 – 6 m .
E o que vem a ser notação
científica?
O raio do Sol tem
aproximadamente 6,96 x 108 m.
Este tipo de registro é chamado de
No exemplo anterior esse comprimento (d) do raio do Sol, é de aproximadamente
696 milhões de metros ou:
Para evitar tantos zeros, podemos usar as potências de 10. Assim, d pode ser escrito de
outro modo:
Mas o que nos impediria de escrever d como 696 X106 ? Ou como 69,6 x 107?
d ≈ 696 000 000 m
d = 696 000 000 m = 6,96 x 108 m
.Portanto, a notação científica surge como uma forma de padronizar essa simplificação, na
escrita, com potências de 10 e, ao mesmo tempo, dar a ideia imediata da grandeza do número
com o qual estamos lidando.
A notação científica também fornece uma ideia clara da ordem de grandeza (bilhões,
milhões, milésimos etc.) e a sua representação deve seguir o raciocínio abaixo:
a x 10n
onde
1 ≤ l a l < 10
n є Z
n é a ordem de grandeza
Na notação científica, esses números são escritos como produto de dois fatores em que um deles
é uma potência de 10 com expoente inteiro (positivo ou negativo) e o outro, chamado de
coeficiente, um número entre 1 e 10.
Melhor dizendo: na notação científica, o número deverá ter apenas um algarismo não nulo na
parte inteira.
a) 1 x 10 – 6
b) 5 x 10 – 6
c) 6,96 x 108
a) 3 275 =
3 casas decimais
b) 0, 00056 =
4 casas decimais para a direita
c) 2 8 , 5 =
uma casa decimal
3,275 x 103
5,6 x 10 – 4
2,85 x 10 (neste caso não se escreve o algarismo 1 como expoente de 10.)
Então, vamos ver como fica a distância entre a Terra e o Sol com a notação
científica?
E a massa do átomo de hidrogênio como fica?
Agora que você já sabe o que é notação científica e potência de 10, vamos ver um
exemplo prático na área de mecânica que envolve dilatação térmica.
Dilatação térmica é a mudança de tamanho que todos os materiais
apresentam quando são aquecidos.
Esta variação depende de uma constante característica de cada
material. Essa constante é conhecida como coeficiente de dilatação
térmica, e é representada pela letra grega α.
L = L0  T
L
T2
T1
L
Lo
Uma peça de vidro de 250 mm de comprimento em temperatura ambiente (25ºC) foi
aquecida a 500ºC. Qual foi o aumento do comprimento da peça após o aquecimento?
Considere:
 a variação de temperatura (t = 500 - 25),
 coeficiente de dilatação do vidro (α= 0,0000005)
L= Li α t
Em diversos problemas de física e mecânica usamos o coeficiente de dilatação linear, (que
chamamos de α) e que em geral tem muitas casas decimais. Nesses casos, os cálculos ficam
mais fáceis com o uso da notação científica. Acompanhe no exemplo a seguir:
Solução: Sabendo que
L=?
α= 0,000 000 5
Li= 250
t= 475
L= 0,000 000 5 x 250 x 475
L= Li α t
L= 5 x 10-7 x 2,5 x 102 x 4,75 x 102
L= (5 x 2,5 x 4,75) x 10-7 + 2 + 2
L= 59,375 x 10-3
L= 5,94 x 10-2
Observe como essa multiplicação
fica mais compacta e
simples com o uso da notação
científica.
Navegando...
Você pode obter mais informações sobre os assuntos que tratamos na internet. Algumas
sugestões de sites:
Textos: http://www.matematicamuitofacil.com/notacaocientifica.html
http://fisicacom.blogspot.com/2009/03/as-potencias-de-10-ordem-de-grandeza.html
Vídeo: http://www.youtube.com/watch?v=zml2ce_PN4Q
http://www.youtube.com/watch?v=7LIlBdhETc8
Agora é sua vez!
Teste os seus
conhecimentos.
1. Em 1972 a nave americana “Pionner 10” percorreu 5 900 000 000 km, estabelecendo um recorde
na corrida espacial. Dê a notação científica desta distância em km.
2. Uma molécula é a menor parte de uma substância pura. O físico italiano Avogadro(1776- 1856)
mostrou que 18 g de água encerram cerca de 6,02 x 1023 moléculas. Calcule o valor aproximado do
número de moléculas contidas num miligrama de água.
3. A que temperatura foi aquecida uma peça de alumínio de 300 mm de comprimento e que sofreu
um aumento de comprimento (L) de 0,5 mm?
Dados: Fórmula da dilatação térmica L= Li α t, Temperatura ambiente = 26ºC, coeficiente de
dilatação do alumínio (α = 0,000 024)
4. A foto nos mostra o “átomo de Bruxelas”. Este monumento, símbolo da idade atômica, representa um
cristal de ferro ampliado 200 milhões de vezes. Sua estrutura, em aço revestido de alumínio, é composta
de 9 esferas de 10 m de diâmetro, interligadas por tubos de 29 m de comprimento e 3 m de diâmetro.
Determine em metros o tamanho real do diâmetro das esferas do cristal de ferro.
Gabarito
Confira suas
respostas!
1. 5,9 x 109 km
2. 3,34 x 1019 moléculas
3. 69,4 C
4. 5 x 10-9 metros
Referências
Bibliográficas
1. SILVEIRA, Ênio e MARQUES, Cláudio. Matemática vol. 4 . São Paulo: Moderna, 1995 .
2. FRANÇA , Hélio. Mecânica – Mecânica Aplicada/ FAETEC- ETER. Rio de Janeiro, 2008.
3. Fundação Roberto Marinho,TELECURSO 2000 - Calculo Técnico – Aula 2

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Notacao Cientifica

  • 2. Vamos começar? Muitas vezes, temos que escrever números grandes demais ou muito pequenos. Imagine que você tenha que expressar medidas grandiosas como: A distância entre a Terra e o Sol;
  • 3. Ou mínimas como a massa do átomo de hidrogênio.
  • 4. Fica mais fácil e compacto expressar esses tipos de medidas se utilizarmos as potências de 10 e a notação científica. Veja alguns exemplos. Tamanho dos planetas Fique por dentro Quantidade de neurônios num cérebro. Vamos rever, então, as potências na base 10 e a notação científica que muito nos ajudarão na simplificação da escrita e de cálculos envolvendo esse tipo de número com muitas ordens.
  • 5. Toda potência de 10 é igual ao número formado pelo algarismo 1, seguido de tantos zeros quantas forem as unidades do expoente. Exemplos: 101 = 10 103 = 1000 10 -4 = 0,0001 102 = 100 10 -5 = 0,00001 O que são potências na base 10?
  • 6. Observe as informações na forma de potência. Uma bactéria é um organismo unicelular e seu diâmetro varia de 10 - 6 a 5 x 10 – 6 m . E o que vem a ser notação científica? O raio do Sol tem aproximadamente 6,96 x 108 m.
  • 7. Este tipo de registro é chamado de No exemplo anterior esse comprimento (d) do raio do Sol, é de aproximadamente 696 milhões de metros ou: Para evitar tantos zeros, podemos usar as potências de 10. Assim, d pode ser escrito de outro modo: Mas o que nos impediria de escrever d como 696 X106 ? Ou como 69,6 x 107? d ≈ 696 000 000 m d = 696 000 000 m = 6,96 x 108 m
  • 8. .Portanto, a notação científica surge como uma forma de padronizar essa simplificação, na escrita, com potências de 10 e, ao mesmo tempo, dar a ideia imediata da grandeza do número com o qual estamos lidando. A notação científica também fornece uma ideia clara da ordem de grandeza (bilhões, milhões, milésimos etc.) e a sua representação deve seguir o raciocínio abaixo: a x 10n onde 1 ≤ l a l < 10 n є Z n é a ordem de grandeza
  • 9. Na notação científica, esses números são escritos como produto de dois fatores em que um deles é uma potência de 10 com expoente inteiro (positivo ou negativo) e o outro, chamado de coeficiente, um número entre 1 e 10. Melhor dizendo: na notação científica, o número deverá ter apenas um algarismo não nulo na parte inteira. a) 1 x 10 – 6 b) 5 x 10 – 6 c) 6,96 x 108
  • 10. a) 3 275 = 3 casas decimais b) 0, 00056 = 4 casas decimais para a direita c) 2 8 , 5 = uma casa decimal 3,275 x 103 5,6 x 10 – 4 2,85 x 10 (neste caso não se escreve o algarismo 1 como expoente de 10.)
  • 11. Então, vamos ver como fica a distância entre a Terra e o Sol com a notação científica?
  • 12. E a massa do átomo de hidrogênio como fica?
  • 13. Agora que você já sabe o que é notação científica e potência de 10, vamos ver um exemplo prático na área de mecânica que envolve dilatação térmica. Dilatação térmica é a mudança de tamanho que todos os materiais apresentam quando são aquecidos. Esta variação depende de uma constante característica de cada material. Essa constante é conhecida como coeficiente de dilatação térmica, e é representada pela letra grega α. L = L0  T L T2 T1 L Lo
  • 14. Uma peça de vidro de 250 mm de comprimento em temperatura ambiente (25ºC) foi aquecida a 500ºC. Qual foi o aumento do comprimento da peça após o aquecimento? Considere:  a variação de temperatura (t = 500 - 25),  coeficiente de dilatação do vidro (α= 0,0000005) L= Li α t Em diversos problemas de física e mecânica usamos o coeficiente de dilatação linear, (que chamamos de α) e que em geral tem muitas casas decimais. Nesses casos, os cálculos ficam mais fáceis com o uso da notação científica. Acompanhe no exemplo a seguir:
  • 15. Solução: Sabendo que L=? α= 0,000 000 5 Li= 250 t= 475 L= 0,000 000 5 x 250 x 475 L= Li α t L= 5 x 10-7 x 2,5 x 102 x 4,75 x 102 L= (5 x 2,5 x 4,75) x 10-7 + 2 + 2 L= 59,375 x 10-3 L= 5,94 x 10-2 Observe como essa multiplicação fica mais compacta e simples com o uso da notação científica.
  • 16. Navegando... Você pode obter mais informações sobre os assuntos que tratamos na internet. Algumas sugestões de sites: Textos: http://www.matematicamuitofacil.com/notacaocientifica.html http://fisicacom.blogspot.com/2009/03/as-potencias-de-10-ordem-de-grandeza.html Vídeo: http://www.youtube.com/watch?v=zml2ce_PN4Q http://www.youtube.com/watch?v=7LIlBdhETc8
  • 17. Agora é sua vez! Teste os seus conhecimentos. 1. Em 1972 a nave americana “Pionner 10” percorreu 5 900 000 000 km, estabelecendo um recorde na corrida espacial. Dê a notação científica desta distância em km.
  • 18. 2. Uma molécula é a menor parte de uma substância pura. O físico italiano Avogadro(1776- 1856) mostrou que 18 g de água encerram cerca de 6,02 x 1023 moléculas. Calcule o valor aproximado do número de moléculas contidas num miligrama de água. 3. A que temperatura foi aquecida uma peça de alumínio de 300 mm de comprimento e que sofreu um aumento de comprimento (L) de 0,5 mm? Dados: Fórmula da dilatação térmica L= Li α t, Temperatura ambiente = 26ºC, coeficiente de dilatação do alumínio (α = 0,000 024)
  • 19. 4. A foto nos mostra o “átomo de Bruxelas”. Este monumento, símbolo da idade atômica, representa um cristal de ferro ampliado 200 milhões de vezes. Sua estrutura, em aço revestido de alumínio, é composta de 9 esferas de 10 m de diâmetro, interligadas por tubos de 29 m de comprimento e 3 m de diâmetro. Determine em metros o tamanho real do diâmetro das esferas do cristal de ferro.
  • 20. Gabarito Confira suas respostas! 1. 5,9 x 109 km 2. 3,34 x 1019 moléculas 3. 69,4 C 4. 5 x 10-9 metros
  • 21. Referências Bibliográficas 1. SILVEIRA, Ênio e MARQUES, Cláudio. Matemática vol. 4 . São Paulo: Moderna, 1995 . 2. FRANÇA , Hélio. Mecânica – Mecânica Aplicada/ FAETEC- ETER. Rio de Janeiro, 2008. 3. Fundação Roberto Marinho,TELECURSO 2000 - Calculo Técnico – Aula 2