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Autoras:
Fernanda Cristina
Katia Dutra
Na ciência e nas mais variadas atividades humanas, as funções são usadas para
descrever e estudar a relação entre grandezas.
Muitos problemas da área de Administração requerem a expressão matemática das
variáveis e parâmetros envolvidos na forma de funções. Vamos usar a notação matemática e
estudar as funções associadas a situações simples da vida de um cidadão, tais como compra e
venda de produtos, orçamentos, financiamentos e aplicações financeiras e conceitos da
economia.
Vamos começar?
Dona Cida e sua família são vorazes consumidores de pizzas. Quando os seus filhos e seus netos a
visitam de “surpresa”, todas as sextas-feiras, a alternativa mais prática para Dona Cida que detesta
cozinhar para muita gente, é comprar as pizzas e dividir os custos entre todos.
Na Pizzaria Sabor Maravilha, preferida dos parentes de
Dona Cida, todas as pizzas têm o mesmo preço:
P = R$ 25,00
Para calcular o custo de qualquer número de pizzas, podemos fazer a
seguinte expressão matemática:
onde C(n) é o custo de n pizzas (R$)
P é o preço de uma pizza (R$/unidade de pizzas) e
n é o número de pizzas.
Essa expressão associa as variáveis C e n que chamamos de lei da
função.
C(n) = P . n
Usamos a seguinte notação:
que se lê: f é uma função de A em B
A função f transforma x de A em y de B.
f
x y
A B
Fique por dentro
Podemos representar uma função de várias formas:
Noção de função usando a nomenclatura de conjuntos.
1. Observe os conjuntos A e B relacionados da seguinte forma: em A alguns números inteiros e em B
outros .
Devemos associar os elementos de A ao seu triplo em B.
Note que:
 todos os elementos de A têm correspondente em B;
 a cada elemento de A corresponde um único valor de B.
Nesse caso, temos uma função de A em B, expressa pela fórmula: y= 3x
BA
7
6
- 6
- 4
- 3
0
3
2
1
0
- 1
- 2
- 2 -6
- 1 -3
0 0
1 3
2 6
2. Dados A ={0, 4} e B = { 2, 3, 5 }, relacionamos A e B pela seguinte forma: cada elemento de A é menor
do que um elemento de B.
Nesse caso não temos uma função de A em B , pois ao elemento 0 de A correspondem três elementos
de B (2, 3 e 5, pois 0 < 2, 0 < 3 e 0 < 5 ) e não apenas um único elemento de B.
0
4
3
2
5
A B
3. Dados A = { -4 , -2, 0, 2, 4} e B = { 0, 2, 4, 6, 8}, associamos os elementos de A ao seu igual em B.
Observe que há elementos de A (os números – 4 e – 2) que não têm correspondente em B.
nesse caso não temos uma função de A em B.
- 4
- 2
0
2
4
2
0
4
6
A B
8
4. Dados A = {- 2 , - 1, 0, 1, 2 } e B = { 0, 1, 4, 8, 16} e a correspondência entre A e B dada pela fórmula
y = x4 com x A e y B, temos:
Todos os elementos de A têm correspondente em B;
A cada elemento de A correspondente um único elemento de B.
0- 2
- 1
0
1
2
8
4
1
16
A B
Funções definidas por fórmulas matemáticas:
Grande parte das funções que estudamos é determinada por
fórmulas matemáticas (regras ou leis).
No início da nossa aula, vimos uma correspondência entre o número de pizza e o preço a pagar:
Vamos supor que a família de D. Cida tenha consumido num desse encontros de sexta-feira cinco
pizzas. Qual foi o valor da conta na Pizzaria Sabor Maravilha, sabendo que cada pizza custa R$ 25,00?
A nossa função é dada por
Você já pode calcular o valor:
Logo a família de D. Cida vai para R$ 125,00.
C(n) = P . n
C(5) = 25 . 5
C(5) = 125
 Uma firma que conserta televisores cobra uma taxa fixa de R$ 40,00 de visita mais R$ 20,00 por hora de
mão de obra. Então o preço y que se deve pagar pelo conserto de um televisor é dado em função do
número x de horas de trabalho ( mão-de-obra).
A fórmula matemática que expressa esse problema é:
Um restaurante aumenta seus preços em 10% para cobrir despesas de serviços. Chame de p os preços
do cardápio e de y os preços com acréscimos.
A fórmula matemática que expressa esse problema é:
Outras funções expressas por fórmulas matemáticas:
y = 20x + 40
y = 1,1 p
n Custo (R$)
0 0
1 25
2 50
3 75
4 100
5 125
Funções definidas por meio de uma tabela de valores:
Observe a tabela que podemos construir para
representar a função Custo de pizzas C(n):
Em livros, revistas e jornais frequentemente encontramos gráficos e tabelas que procuram retratar um
determinada situação.
Esse gráficos e tabelas, em geral, representam funções e por meio deles podemos obter informações
sobre a situação que retratam, bem como sobre as funções que representam.
Podemos representar a função Custo de pizzas C(n), na forma de gráfico, localizando cada ponto (n,C)
no Plano Cartesiano :
Funções definidas por meio de um gráfico:
C(n) (R$)
n (unidades)
125
100
75
50
25
543210
É fácil verificar que os pontos estão alinhados. Esse alinhamento ocorre
porque para cada aumento de uma pizza, aumenta sempre os mesmos
R$ 25,00.
Na maioria dos casos, o gráfico permite uma análise mais detalhada da função representada e revela
informações que seriam menos perceptíveis em uma fórmula ou uma tabela.
Domínio ou conjunto de
partida: é o conjunto A, e
é indicado por D (f)
Contradomínio é ou
conjunto de chegada: é o
conjunto B, e é indicado por
Cd (f).
Imagem: é o subconjunto do contradomínio
e corresponde a um conjunto constituído de
elementos de B que estão associados a
elementos de A, e é indicado por Im (f).
Dados A = {- 2 , - 1, 0, 1, 2 } e B = { 0, 1, 4, 8, 16} e a correspondência entre A e B dada pela fórmula
y = x4 com x A e y B, temos:
D(f) = A
Cd(f) = B
Im(f) = {0, 1, 16 }
0- 2
- 1
0
1
2
8
4
1
16
A B
Veja o exemplo:
Você pode obter mais informações sobre os assuntos que tratamos na internet. Assista a esse
vídeo sobre as funções em nosso dia a dia.
Navegando...
http://www.youtube.com/watch?v=AZapJ-AVAe4
Teste os seus
conhecimentos.
Agora é sua vez!
1. Um vendedor recebe um ordenado fixo de R$ 500,00. Além disso, recebe mais de R$ 10,00 cada vez
que vende uma unidade do produto com qual trabalha.
a) Complete a tabela:
b) Qual é a expressão matemática que exprime a relação?
c) Qual é o menor salário que o vendedor pode receber?
2. Um fabricante vende um produto por R$ 0,80 a unidade. O custo total do produto consiste numa taxa
fixa de R$ 40,00 mais o custo de produção de R$0,30 por unidade.
a) Qual o número de unidades que o fabricante deve vender para não ter lucro nem prejuízo?
b) Se vender 200 unidades desse produto, o comerciante terá lucro ou prejuízo?
Unidades
vendidas
0 1 2 3 40 10 x
Salário (R$) 500 510
3. Um consumidor comprou um automóvel por R$ 20 000,00, contatando que, no final de cada ano
de uso, o valor de mercado do veículo diminuiu para 90 % do valor de um amo atrás.
a) Complete a tabela, mostrando o valor de mercado do automóvel ao final de cada ano de uso.
b) Indicando por y o valor de mercado desse automóvel com x anos de uso, escreva a equação que
relaciona x e y.
c) O valor de mercado do automóvel é função do tempo de uso? Por quê?
Tempo de uso do
automóvel (anos)
Valor de mercado (R$)
0 20 000,00
1 0,9 . 20 000
2
3
x
GABARITO
1) a)
b) y = 500 + 10 x
c) Sim. Porque a cada quantidade vendida temos um único salário associado.
d) R$ 500
2) a) 80 unidades
b) Lucro
Unidades
vendidas
0 1 2 3 40 10 x
Salário (R$) 500 510 520 530 900 600 500+10x
3)
a)
b) y= (0,9)x . 20 000
c) Sim, porque cada tempo de uso está associado a um único valor
de mercado.
Tempo de uso do automóvel (anos) Valor de mercado (R$)
0 20 000,00
1 0,9 . 20 000
2
3
x
1. BARRETO FILHO, Benigno e SILVA, Cláudio Xavier. Matemática aula por aula, volume 1: ensino
médio (2º grau). São Paulo: FTD, 1998.
2. DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto & aplicações, volume 1: ensino médio e preparação
para educação superior. São Paulo: Ática, 2003.
3. SILVEIRA, Ênio e MARQUES, Cláudio. Matemática vol.4. São Paulo: Moderna, 1995 .
4. SMOLE, Kátia Cristina Stocco Smole e KIYUKAWA, Roko Saburo. Matemática: Ensino Médio
vol. 1. São Paulo: Saraiva, 1998.
Referências
Bibliográficas

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Noções de Funções

  • 2. Na ciência e nas mais variadas atividades humanas, as funções são usadas para descrever e estudar a relação entre grandezas. Muitos problemas da área de Administração requerem a expressão matemática das variáveis e parâmetros envolvidos na forma de funções. Vamos usar a notação matemática e estudar as funções associadas a situações simples da vida de um cidadão, tais como compra e venda de produtos, orçamentos, financiamentos e aplicações financeiras e conceitos da economia. Vamos começar?
  • 3. Dona Cida e sua família são vorazes consumidores de pizzas. Quando os seus filhos e seus netos a visitam de “surpresa”, todas as sextas-feiras, a alternativa mais prática para Dona Cida que detesta cozinhar para muita gente, é comprar as pizzas e dividir os custos entre todos. Na Pizzaria Sabor Maravilha, preferida dos parentes de Dona Cida, todas as pizzas têm o mesmo preço: P = R$ 25,00
  • 4. Para calcular o custo de qualquer número de pizzas, podemos fazer a seguinte expressão matemática: onde C(n) é o custo de n pizzas (R$) P é o preço de uma pizza (R$/unidade de pizzas) e n é o número de pizzas. Essa expressão associa as variáveis C e n que chamamos de lei da função. C(n) = P . n
  • 5. Usamos a seguinte notação: que se lê: f é uma função de A em B A função f transforma x de A em y de B. f x y A B Fique por dentro
  • 6. Podemos representar uma função de várias formas: Noção de função usando a nomenclatura de conjuntos. 1. Observe os conjuntos A e B relacionados da seguinte forma: em A alguns números inteiros e em B outros . Devemos associar os elementos de A ao seu triplo em B. Note que:  todos os elementos de A têm correspondente em B;  a cada elemento de A corresponde um único valor de B. Nesse caso, temos uma função de A em B, expressa pela fórmula: y= 3x BA 7 6 - 6 - 4 - 3 0 3 2 1 0 - 1 - 2 - 2 -6 - 1 -3 0 0 1 3 2 6
  • 7. 2. Dados A ={0, 4} e B = { 2, 3, 5 }, relacionamos A e B pela seguinte forma: cada elemento de A é menor do que um elemento de B. Nesse caso não temos uma função de A em B , pois ao elemento 0 de A correspondem três elementos de B (2, 3 e 5, pois 0 < 2, 0 < 3 e 0 < 5 ) e não apenas um único elemento de B. 0 4 3 2 5 A B
  • 8. 3. Dados A = { -4 , -2, 0, 2, 4} e B = { 0, 2, 4, 6, 8}, associamos os elementos de A ao seu igual em B. Observe que há elementos de A (os números – 4 e – 2) que não têm correspondente em B. nesse caso não temos uma função de A em B. - 4 - 2 0 2 4 2 0 4 6 A B 8
  • 9. 4. Dados A = {- 2 , - 1, 0, 1, 2 } e B = { 0, 1, 4, 8, 16} e a correspondência entre A e B dada pela fórmula y = x4 com x A e y B, temos: Todos os elementos de A têm correspondente em B; A cada elemento de A correspondente um único elemento de B. 0- 2 - 1 0 1 2 8 4 1 16 A B
  • 10. Funções definidas por fórmulas matemáticas: Grande parte das funções que estudamos é determinada por fórmulas matemáticas (regras ou leis). No início da nossa aula, vimos uma correspondência entre o número de pizza e o preço a pagar: Vamos supor que a família de D. Cida tenha consumido num desse encontros de sexta-feira cinco pizzas. Qual foi o valor da conta na Pizzaria Sabor Maravilha, sabendo que cada pizza custa R$ 25,00? A nossa função é dada por Você já pode calcular o valor: Logo a família de D. Cida vai para R$ 125,00. C(n) = P . n C(5) = 25 . 5 C(5) = 125
  • 11.  Uma firma que conserta televisores cobra uma taxa fixa de R$ 40,00 de visita mais R$ 20,00 por hora de mão de obra. Então o preço y que se deve pagar pelo conserto de um televisor é dado em função do número x de horas de trabalho ( mão-de-obra). A fórmula matemática que expressa esse problema é: Um restaurante aumenta seus preços em 10% para cobrir despesas de serviços. Chame de p os preços do cardápio e de y os preços com acréscimos. A fórmula matemática que expressa esse problema é: Outras funções expressas por fórmulas matemáticas: y = 20x + 40 y = 1,1 p
  • 12. n Custo (R$) 0 0 1 25 2 50 3 75 4 100 5 125 Funções definidas por meio de uma tabela de valores: Observe a tabela que podemos construir para representar a função Custo de pizzas C(n):
  • 13. Em livros, revistas e jornais frequentemente encontramos gráficos e tabelas que procuram retratar um determinada situação. Esse gráficos e tabelas, em geral, representam funções e por meio deles podemos obter informações sobre a situação que retratam, bem como sobre as funções que representam. Podemos representar a função Custo de pizzas C(n), na forma de gráfico, localizando cada ponto (n,C) no Plano Cartesiano : Funções definidas por meio de um gráfico: C(n) (R$) n (unidades) 125 100 75 50 25 543210
  • 14. É fácil verificar que os pontos estão alinhados. Esse alinhamento ocorre porque para cada aumento de uma pizza, aumenta sempre os mesmos R$ 25,00. Na maioria dos casos, o gráfico permite uma análise mais detalhada da função representada e revela informações que seriam menos perceptíveis em uma fórmula ou uma tabela.
  • 15. Domínio ou conjunto de partida: é o conjunto A, e é indicado por D (f) Contradomínio é ou conjunto de chegada: é o conjunto B, e é indicado por Cd (f). Imagem: é o subconjunto do contradomínio e corresponde a um conjunto constituído de elementos de B que estão associados a elementos de A, e é indicado por Im (f).
  • 16. Dados A = {- 2 , - 1, 0, 1, 2 } e B = { 0, 1, 4, 8, 16} e a correspondência entre A e B dada pela fórmula y = x4 com x A e y B, temos: D(f) = A Cd(f) = B Im(f) = {0, 1, 16 } 0- 2 - 1 0 1 2 8 4 1 16 A B Veja o exemplo:
  • 17. Você pode obter mais informações sobre os assuntos que tratamos na internet. Assista a esse vídeo sobre as funções em nosso dia a dia. Navegando... http://www.youtube.com/watch?v=AZapJ-AVAe4
  • 18. Teste os seus conhecimentos. Agora é sua vez! 1. Um vendedor recebe um ordenado fixo de R$ 500,00. Além disso, recebe mais de R$ 10,00 cada vez que vende uma unidade do produto com qual trabalha. a) Complete a tabela: b) Qual é a expressão matemática que exprime a relação? c) Qual é o menor salário que o vendedor pode receber? 2. Um fabricante vende um produto por R$ 0,80 a unidade. O custo total do produto consiste numa taxa fixa de R$ 40,00 mais o custo de produção de R$0,30 por unidade. a) Qual o número de unidades que o fabricante deve vender para não ter lucro nem prejuízo? b) Se vender 200 unidades desse produto, o comerciante terá lucro ou prejuízo? Unidades vendidas 0 1 2 3 40 10 x Salário (R$) 500 510
  • 19. 3. Um consumidor comprou um automóvel por R$ 20 000,00, contatando que, no final de cada ano de uso, o valor de mercado do veículo diminuiu para 90 % do valor de um amo atrás. a) Complete a tabela, mostrando o valor de mercado do automóvel ao final de cada ano de uso. b) Indicando por y o valor de mercado desse automóvel com x anos de uso, escreva a equação que relaciona x e y. c) O valor de mercado do automóvel é função do tempo de uso? Por quê? Tempo de uso do automóvel (anos) Valor de mercado (R$) 0 20 000,00 1 0,9 . 20 000 2 3 x
  • 20. GABARITO 1) a) b) y = 500 + 10 x c) Sim. Porque a cada quantidade vendida temos um único salário associado. d) R$ 500 2) a) 80 unidades b) Lucro Unidades vendidas 0 1 2 3 40 10 x Salário (R$) 500 510 520 530 900 600 500+10x
  • 21. 3) a) b) y= (0,9)x . 20 000 c) Sim, porque cada tempo de uso está associado a um único valor de mercado. Tempo de uso do automóvel (anos) Valor de mercado (R$) 0 20 000,00 1 0,9 . 20 000 2 3 x
  • 22. 1. BARRETO FILHO, Benigno e SILVA, Cláudio Xavier. Matemática aula por aula, volume 1: ensino médio (2º grau). São Paulo: FTD, 1998. 2. DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto & aplicações, volume 1: ensino médio e preparação para educação superior. São Paulo: Ática, 2003. 3. SILVEIRA, Ênio e MARQUES, Cláudio. Matemática vol.4. São Paulo: Moderna, 1995 . 4. SMOLE, Kátia Cristina Stocco Smole e KIYUKAWA, Roko Saburo. Matemática: Ensino Médio vol. 1. São Paulo: Saraiva, 1998. Referências Bibliográficas