O documento discute logaritmos e como eles podem ser usados para simplificar cálculos complexos reduzindo multiplicações e divisões a adições e subtrações. Logaritmos também são usados para expressar fenômenos naturais em escalas como intensidade de som, pH e magnitude de terremotos. Exemplos mostram como logaritmos podem ser aplicados para resolver problemas em diferentes áreas.

1. Logaritmos
Josiane Ferzola Fagundes
Marina Menna Barreto
Reinaldo da Cruz Duarte

2. Problema Inicial
Uma planta não pode viver a profundidades
muito maiores que 10 m porque necessita de
luz solar.
Suponha que num lago, a intensidade da luz
se reduza 25% a cada metro de
profundidade.
A que profundidade a luz se reduz a 10% da
luz do dia?

3. Idéia de Solução:
Partindo-se de um modelo exponencial, do
tipo y = yo . ax
Onde: y é a luminosidade no ponto procurado
yo é a luminosidade na superfície
a é a taxa de decaimento solar
x é a profundidade que se quer encontrar

4. Temos:
10% = 100% (25%) x
metros

5. Um pouco da História dos
Logaritmos...
Muitos dos campos nos quais os cálculos
numéricos são importantes, como a
astronomia, a navegação, o comércio, a
engenharia e a guerra fizeram com que as
demandas para que estes cálculos se
tornassem cada vez mais rápidos e
precisos crescessem sempre
continuamente. Quatro notáveis invenções
vieram a atender sucessivamente essas
demandas crescentes.

6. A notação hindo-arábica, as
frações decimais, os logaritmos e
os modernos computadores.
É hora de se considerar o
terceiro destes grandes
dispositivos poupadores de
trabalho, os logaritmos, inventados
por John Napier perto do início do
séc. XVII.

7. O poder dos logaritmos, como instrumento de
cálculo, repousa no fato de que eles reduzem
multiplicações e divisões a simples operações de
adição e multiplicação.
324
324
x 245
+ 245
+1620
569
+1296
+ 648
uma operação 79380
quatro operações

8. Como se dá isto ?
Pensemos, por exemplo,
em potências de 2

9. Observamos que quando multiplicamos 4 (=22) por
32 (=25), obtemos como resultado 128.
Mas, 128 é exatamente 27 !
Podemos observar que, ao invés de fazermos 4 x 32,
podemos simplesmente somar seus expoentes (2 + 5 = 7) e
assim, construir uma tabela que faça qualquer produto de
potências de 2!

10. Podemos observar também que os números
da primeira seqüência correspondem a
uma progressão geométrica enquanto os
números da segunda a uma progressão
aritmética.
Vamos chamar então de logaritmos os
números da série aritmética e de
antilogaritmos os números da série
geométrica! Dizemos então que o
logaritmo de 8 na base 2 é 3!

11. Tentemos agora fazer o mesmo
para o nosso sistema de numeração
decimal (base 10).
antilog
logaritmo
Para multiplicar 100 por 1000,
basta somarmos seus logaritmos!

12. Mas e se quisermos o produto
de 2 por 3?
Podemos observar que a nossa tabela
nova não é muito útil já que não nos
resolve um problema relativamente
simples.
Devemos então melhorar esta tabela !

13. Vamos então reescrever a
primeira parte da tabela:
Podemos ver facilmente que logaritmo de 3
está certamente entre 0 e 1, já que 1 < 3 < 10.
Observe o raciocínio e complete a tabela!
100,1 = número = 1,25

14. Resumindo temos que, se tivermos um
número x, que possa ser escrito como:
x= base
y
(ex. 100 = 1)
log base x=y (ex. log 10 1 = 0)

15. Durante anos ensinou-se a calcular com
logaritmos na escola de 2o grau ou no início
dos cursos superiores de matemática;
também por muitos anos a régua de cálculo
logaritmica, foi o símbolo do estudante de
engenharia no campus universitário.
Hoje porém com o advento das
calculadoras portáteis, ninguém mais em sã
consciência usa uma tábua de logaritmo ou
uma régua de cálculo para fins
computacionais.

16. Nos perguntamos então por que
continuamos a ensinar
logaritmos nas Escolas e nas
Universidades ?

17. ... Por que apesar dos logaritmos
não serem mais necessários como
facilitadores de cálculos, eles se
tornaram um modelo conveniente
de se expressar os mais diversos
fenômenos da natureza.
Vejamos alguns exemplos

18. Os logaritmos e os decibéis
O som é toda variação na pressão do ar (ou outro
meio elástico) capaz de impressionar o ouvido.
A impressionalidade do ouvido é devida à sua
capacidade de perceber a freqüência, a
intensidade e a potência com que ocorrem tais
variações. onde:
dB = nível do som em decibéis
(intensidade sonora)
I = intensidade acústica
I0 = intensidade “zero” da

19. Devido ao seu enorme campo de
variação*, estas grandezas são
usualmente expressas em escala
logaritmica.
*Um murmúrio irradia uma potência de 0,000000001 watt,
enquanto que um avião a jato ao decolar produz uma
potência de 100000 watts.

20. Usamos escalas logaritmicas para
possibilitar uma melhor visualização
do gráfico e para transformar
algumas curvas em linhas retas.
Vejamos alguns exemplos

25. Os Logaritmos no Curral
O consumo da ração alimentícia bovina
é proporcional à superfície externa do
corpo do animal.
Sabendo-se que um boi que pesa
aproximadamente 630Kg necessita de
13500 calorias de ração, perguntamos:
Quantas calorias provenientes da
ração necessitará um boi que pesa 420 Kg?

26. Para resolvermos este problema, devemos
utilizar além da álgebra a geometria.
De acordo com as condições do problema, as
calorias que procuramos (x) são proporcionais à
superfície externa (s) do corpo do animal:
x s1
=
13500 s 2
onde s1 é a superfície
externa do boi que pesa 630 Kg.

27. A geometria nos ensina que as superfícies
(s) de corpos semelhantes são proporcionais ao
quadrado de suas medidas lineares (l), e os
volumes (e, por conseguinte, o peso) são
proporcionais ao cubo das medidas lineares.
s1 l 2 420 l 3 l 3
420
= 2 ⇒ = 2 ⇒ =
s 2 l1 630 l1 l1 3
630
4 1
x = 13500 ⋅ 3 log x = log(13500) + ( log 4 − log 9 )
9 3
x = 10300

28. Os logaritmos e o pH
O pH de uma solução aquosa nos diz o quanto
ácida (H+) ou básica (OH-) é a solução.

29. Podemos escrever também:
pH = - log [H+] & pOH = - log [OH-]
Sabe-se, da química que: [H+] x [OH-] = 10-14
aplicando-se logaritmo dos dois lados temos:
log[H+] + log[OH-] = log 10-14
log[H+] + log[OH-] = -14
-log[H+] - log[OH-] = 14
pH + pOH = 14

30. Observamos então que o pH é medido
em escala logaritmica, onde cada
unidade representa um fator de 10.
Sabendo-se que o pH do café é 5 e o
da água é 7.
Pergunta-se: qual é o mais ácido e
quantas vezes é mais ácido?

31. pH café = 5 [H+] = 10-5
acidez
pH água = 7 [H+] = 10-7
logo o pH do café é:
10 −5
−7
= 100 vezes mais ácido que a água
10

32. Os logaritmos e os terremotos
A escala Richter, usada para medir a
magnitude dos terremotos, é uma escala
logaritmica. Isto significa que as medidas
de intensidade dos terremotos cresce
exponencialmente

33. Em 1906, em São Francisco (E.U.A) teve
um terremoto (8,3 na escala Richter) que
causou incêndio e destruição de quase
toda a cidade. Em 1989, também em São
Francisco, um outro terremoto (7,1 na
escala Richter) atingiu a cidade já
reconstruida.
Quantas vezes mais intenso foi o
terremoto de 1906?

34. Sugestões de exercícios
1. Como calcular x = 3 15,2 ?
2. Calcular (6,21)8 :
3. Como poderíamos saber se será possível
fazer 250 em uma calculadora comum ? Isto
é, quantos algarismos têm este número?
4. O volume de uma esfera é dado por
V=4πR3 /3 onde R é o raio da esfera.
Calcular o raio da esfera de volume 20cm3.

35. 5. Calcular o valor de A = 5 (3,4) 2 ⋅ (1,73) 2
com aproximação de centésimos.
6. Determinar qual é o tempo necessário
para que um capital empregado a taxa de
3% ao mês, com juros capitalizados
mensalmente, triplique seu valor.
7. Uma certa cultura de bactérias cresce
segundo a lei N(t) = 2000 . 10 t/36, onde N(t)
é número de bactérias após t horas.
Quantas bactérias haverá após 3 horas?

36. 8. (CESGRANRIO-77)As indicações R1 e R2 ,na escala
Richter, de dois terremotos estão relacionadas pela
fórmula:
R1 - R2 = Log (M1/M2)
onde M1 e M2 medem a energia liberada pelos terremotos
sob a forma de ondas que se propagam pela crosta
terrestre. Houve dois terremotos : um correspondente a
R1 = 8 e outro correspondente a R2 = 6. A razão M1/M2 é:
a)2 b)log2 10 c)4/3 d)102 e)log (4/3)
9. A expressão log 2 + log 3 + log 4 + log 5 equivale a:
a)log 5! b) 5! Log 5 c)5 log 5! d) 5 + log 5 ! e)5 ! + log 5

37. Encontre o erro...
2 3 2 3
1 1  1  1 1  1
> ⇒   >  ⇒ log  > log 
4 8  2  2  2  2
 1  1
⇒ 2 log  > 3 log  ⇒ 2 > 3
 2  2
?!?
Dividimos ambos os
membros por log(1/2)

38. Referência Bibliográfica
• JACOBS, HAROLD R., “Mathenatics: a human endeavor”, ed
San Francisco, 1970
• AGUIAR, ALBERTO F. A., XAVIER, AIRTON,
RODRIGUES,JOSÉ, “Cálculo para ciências médicas e
biológicas”, ed Harbra, São Paulo, 1988
• IEZZI, GELSON, DOLCE, OSVALDO, MURAKAMI, CARLOS,
”Fundamentos de Matemática Elementar - logaritmos (vol 2)” ,
ed Atual, S Paulo, 1997
• SANTOS, ANTONIO L., “Olimpíadas de matemática do
estado do Rio de Janeiro”, ed Atual/ SBM, S Paulo/Rio de
Janeiro, 1996
• GIOVANNI, JOSÉ R., BONJORNO, JOSÉ R., “Matemática
-2o grau (vol 1)” ed FTD, S Paulo
• CARNEIRO, VERA C., “Funções Elementares (100 situações-
problema de matemática)”, ed da Universidade, 1993

39. “Chambered nautilus” é uma criatura
marinha, que a medida que cresce
desloca-se sucessivamente em direção
à compartimentos de mesmo formato,
com excessão do último, onde já
atingiu seu tamanho máximo.
A concha tem o formato de uma curva
chamada ESPIRAL LOGARITMICA,
que foi descoberta por Descartes.

40. •http://athena.mat.ufrgs.br/~portosil/passa1f.html
•FELTRE, Ricardo;YOSHINAGA, Setsuo “Físico-Química
(vol3)” ed. Moderna, S.Paulo, 1977
•HOGBEN, Lancelot “Maravilhas da matemática- influência
e função da Matemática nos conhecimentos humanos” ed.
Globo, P. Alegre,1952