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TEORIA MATEMÁTICA DAS ELEIÇÕES - PODEMOS – Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães
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1
13Q(a) AULA 1 – Introdução a Teoria
Matemática das Eleições
13Q(a)
Essa primeira aula serve para você familiarizar com o assunto e não possui cálculos. Isso não
significa que esse curso não possui cálculos! Ele é recheado de problemas para ser resolvidos e
exige um mínimo de compreensão sobre os cálculos numéricos.
Esse material foi criado inicialmente para um Curso de Quarentena do PODEMOS em abril de
2020, durante a pandemia da COVID-19. Ele precisa ser melhorado, inseridos vídeos e editado.
AOS ALUNOS DO CURSO DE QUARENTENA devem buscar informações na Plataforma
Moodle sobre prazos e atividades para entregar.
ROTEIRO DE ESTUDOS
Pré Requisitos:
ESSA PRIMEIRA AULA NÃO POSSUI PRÉ-REQUISITOS
COMO PROCEDER?
➢ Leia atentamente esse texto, grifando os assuntos mais importantes se necessário. Quando houver
um link para vídeos acessar o link e assistir aos vídeos para melhor compreensão do conteúdo.
➢ Verifique com o seu professor se essa material será disponibilizado na Plataforma Moodle ou Google
Respostas e pergunte como você deve enviar as tarefas ao professor.
➢ Assista vídeos da parte teórica dessa matéria. Procure no Youtube pelos assuntos..
➢ Na dúvida procure ajuda de colegas, professores ou na Internet.
APRESENTAÇÃO DO CONTEÚDO E EXERCÍCIOS
Programação do Curso
LEIA COM ATENÇÃO ESSE
QUADRO
Carga Horária Semanal: 4 horas
Duração: 4 semanas
Pre-Requisitos: não há
O curso planejado é um aperfeiçoamento de um
bimestre do curso de Teoria de Jogos, no 8º período
do Bacharelado em Administração da
FAFEM/FUNVIC de Mococa (2 aulas semanais).
Posteriormente foi oferecido no OBMEP
PIC/MENTORES em 2016 pelo prof. Otávio Sales.
1. CONCEITOS INICIAIS E O SISTEMA
ELEITORAL BRASILEIRO
1. Temas motivacionais: o Dilema de Plínio, a
Eleição do Papa, L’Académie Royale de Sciences.
(Abordagens históricas e sem soluções, com
introdução às questões estudadas por Borda e
Condorcet).
2. Eleições brasileiras para o Poder Executivo e para
o Poder Legislativo: principais conceitos (breve
abordagem).
Apenas uma sucinta introdução aos conceitos gerais
da Teoria Matemática das Eleições e ao sistema
eleitoral brasileiro, permitindo ao estudante
compreender exemplos.
2. ELEIÇÕES MAJORITÁRIAS
2.1 Sistemas de Votação: Voto Plural, Voto Anti-
Plural, Voto de Duas Voltas, Método Run-Off,
Método de Condorcet, Método de Borda.
Incluindo abordagens históricas, o aluno deverá
compreender cada sistema de votação, com
exemplos de seu uso pelo mundo (de eleições sérias
até jogos, como a eliminação de personagens no
jogo Big Brother Brasil). O aluno deverá
compreender que em cada método utilizado o
vencedor é diferente, independentemente da
alteração do voto de cada cidadão e passa-se para
uma questão importante: qual é o método mais justo
de escolha?
Os exercícios serão problemas práticos de decisão
do vencedor utilizando-se cada método e observar
algumas incoerências nos métodos.
Um tema interessante para ilustrar a questão são os
Gerrymandering, a criação de desenhos bizarros de
distritos eleitorais para favorecer grupos políticos.
2.2 O Teorema da Impossibilidade de Arrow:
Universalidade, Monotonia, Independência Binária,
Soberania dos Cidadãos, Não Ditadura.
Uma análise não-formal do Teorema que mostra
impossível que uma eleição com mais de 2
candidatos seja justa, apresentando conceitos como
o da Unanimidade de Pareto, do Voto Estratégico, do
Teorema de Gibbard-Satterthwalte, etc.
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3. ELEIÇOES PROPORCIONAIS
3.1 O Sistema Brasileiro de Eleições Proporcionais
para deputado e vereador. O Método de Hondt.
Nesse tópico os alunos compreenderão qual é o
sentido da eleição proporcional, inclusive em seu
contexto e como as cadeiras são distribuídas no
Brasil, com exercícios práticos que podem incluir o
resultado das eleições em seus próprios municípios,
compreendendo os números e conceitos como
quociente eleitoral, cálculo das médias (sobras),
votos válidos, votos de legenda, votos nominais,
quociente partidário, número de cadeiras, etc.
3.2 História da divisão das cadeiras da Câmara dos
Representantes dos EUA: método de Jefferson e
Hamilton, outros métodos. O Paradoxo do Alabama.
Apresentação histórica e problematizada da história
da divisão das cadeiras do parlamento norte-
americano entre seus estados membros, com
leituras de textos e análise do surpreendente
Paradoxo do Alabama.
3.3 Métodos do Divisor: Webster e Hill. Regra da
Quota. Teorema da Impossibilidade de Balinski e
Young.
Matematização das eleições proporcionais para
resolver teoricamente o problema da divisão das
cadeiras do parlamento norte-americano, apontando
métodos, alternativas e análises
SUGESTÕES PARA SEGUNDO CURSO:
Teorema de Sem, Métodos Posiconais, Sistemas
Eleitorais Ponderados e Índices de Poder,
Referendos
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:
CARDOSO, Carla Guida da Silva. A Matemática das
Eleições. Dissertação de Mestrado. Lisboa -
Portugal: Universidade de Lisboa, 2009. 187 p.
Disponível em:
<http://repositorio.ul.pt/bitstream/10451/3447/1/ulfc0
55664_tm_Carla_Cardoso.pdf> . Acesso em 3
set.2016.
PINTO, Joaquim Antônio da Piedade. Teoria
Matemática das Eleições. Tese de Doutorado. Porto
– Portugal: Universidade do Porto, 2006. 101
p. Disponível em: <https://repositorio-
aberto.up.pt/bitstream/10216/64099/1/90439_Tese-
167_TM_01_C.pdf> Acesso em 3 set.2016
METODOLOGIA:
Parte do curso será conceitual, e a outra parte
dependerá de pesquisas dos estudantes em fontes
diversas e leitura de textos indicados.
Toda vez que aparecer a mãozinha LEIA
Introdução a Teoria Matemática das
Eleições
LEIA COM ATENÇÃO ESSE
QUADRO
Essa primeira semana é apenas
introdutória. Vamos colocar vocês em contato
com a fantástica matemática das eleições, que
não se aplica apenas para votações de políticos
para cargos eletivos, mas em inúmeras
situações, como escolha do síndico de um
prédio, do vencedor de The Voice, da Escola de
Samba vencedora na Marques do Sapucaí, do
eliminado do Big Brother Brasil, da escolha da
nova loira do Tchan ou da concessão de
prêmios como o Grammy (Música) ou o Jabuti
(Literatura).
Troféu do Grammy
Fonte: ekvador2011.blogspot.com
É claro que eleições formais são os
exemplos mais abundantes e há muito
matemática neles, e, eles ajudam a
compreender duas teorias que serão objeto de
nosso estudo:
• A Teoria Matemática da Decisão – qual
é o favorito? Isso nós chamaremos de
Eleições Majoritárias. São exemplos
das eleições majoritárias as escolhas de
prefeito, governador, senador,
presidente da república, os eliminados
do BBB, a sede dos Jogos Olímpicos e
os vencedores do Nobel.
• A Teoria da Partilha Justa, onde você
precisa dividir proporcionalmente um
certo número de coisas utilizando
critérios justos, e isso nós chamaremos
de Eleições Proporcionais. São
exemplos de eleições proporcionais as
eleições para vereador, deputado
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3
federal, deputado estadual, a
distribuição de vagas no parlamento dos
Estados Unidos por estado, a seleção de
times da Copa do Mundo por
eliminatórias.
As Eleições Majoritárias são mais
comuns e usuais, e encontramos exemplos
abundantes. Vários dilemas e paradoxos
surgiram durante a história dizendo respeito ao
tema. Também são comuns casos de distorções
e manipulações por descuidos matemáticos.
Viajaremos pela história de propostas de
Borda e Condorcet para resolver o problema da
escolha justa e aprenderemos que outro
matemático, Kenneth Arrow, provou ser
impossível tal justiça. Conheceremos vários
métodos de escolha nesse caso e analisaremos
criticamente os métodos utilizados no Brasil
para eleições e outros procedimentos similares.
A questão é como garantir que uma
escolha entre um grupo represente a
vontade ou selecione o melhor.
Paredão recordista do Big Brother Brasil, em
31 de março de 2020
Fonte: IstoE. Data 8/4/2020, 22h8
Suponha o paredão do Big Brother Brasil
de 31 de março de 2020, a maior votação online
de todos os tempos, com mais de 1,5 bilhão de
votantes. Estavam no páreo a cantora e atriz
Manu Gavassi, o arquiteto Felipe Prior e a
modelo Mari Gonzales. A pergunta do paredão
é “Quem você quer eliminar?” e as torcidas
de Felipe Prior e Manu Gavassi polarizaram um
contra o outro, aproveitando a grande
popularidade de ambos – acabando com Felipe
eliminado com 56,73%, Manu mantida na casa
com 42,51% e Mari, a menos preferida de todos,
com 0,76%. A lógica seria eliminar o menos
favorito e na época Manu era a mais seguida no
Instagram com 11,4 milhões de seguidores e
Felipe Prior despontava com o favorito em todas
enquetes com mais de 30% de favoritismo. Se
a pergunta fosse “Quem você quer que fique
na casa?” com direito a apena 1 único voto, é
óbvio que Mari seria eliminada, pois a menos
popular e com menor número de fãs – e nesse
caso paradoxal ele foi a menos votada. Isso
você já observa que o formato do voto altera o
resultado.
Para quem não acompanha BBB, siga o
exemplo, de um paredão com o ex-presidente
Lula o atual presidente Bolsonaro – ambos que
despertam ódio e paixão – e um candidato
inexpressivo em termos de torcida, como
Eynmael. Se a pergunta fosse “Quem você quer
eliminar?” Eynmael seria o menos votado, mas
se fosse “Quem você quer que fique na casa?”
ele seria o eliminado.
As Eleições Proporcionais são bastante
usuais atualmente nas eleições para deputados
e vereadores e geram a perplexidade de
candidatos mais votados serem derrotados por
candidatos menos votados. Você
compreenderá o sentido dessas aparentes
injustiças e suas origens históricas, com foco na
divisão das cadeiras da Câmara dos
Representantes nos Estados Unidos, em
diversas propostas como as de Hamilton,
Jefferson e Adams até métodos mais
aperfeiçoados como os de Webster, Hunting-Hill
e o de Hondt, este último que inspirou o sistema
utilizado no Brasil.
Seremos confrontados com as
vantagens e problemas de cada método e
conheceremos paradoxos como o famoso
Paradoxo de Alabama.
O objetivo desse curso é encantar e
mostrar a rica matemática que se encontram
nesses dois tipos de eleições e como a
Matemática pode ser utilizada para o bem e
para o mal em ambos os casos.
O curso foi baseado num bimestre da
disciplina de Teoria dos Jogos no 8º ano de
Administração da Faculdade da “Fundação
Universitária Vida Cristã” de Mococa – SP,
ministrada pelo Prof. Otávio Luciano Camargo
Sales de Magalhães, mestre, aperfeiçoado com
um curso do PIC/OBMEP MENTORES.
Essa primeira aula não exige que você faça
cálculos e nem há problemas, eles
começam na 2ª semana.
Toda vez que aparecer a mãozinha LEIA
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LEITURA OBRIGATÓRIA PARA ESSA
AULA 1:
https://repositorio-
aberto.up.pt/bitstream/10216/64099/1/90439_Tes
e-167_TM_01_C.pdf (você vai baixar um arquivo
de 24,5 Megas)
LEITURA ATENTA: Páginas 3 a 7 (Procure
compreender as idéias principais)
LEITURA RÁPIDA: Páginas 8 a 29 (Preste
atenção no contexto e leia as partes históricas,
sem se focar profundamente na Matemática)
Exercício 1
Para cada questão produza um texto
argumentativo explicando as suas opiniões.
Recomenda-se a leitura do texto, mas não se
preocupe em ser técnico – apresente sua opinião,
ainda que ingênua:
a) Uma eleição onde a maior parte dos cidadãos
escolhe o seu candidato preferido é justa?
Explique criticamente.
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b) Dê exemplos de contradições em eleições e
escolhas (considere eleições como qualquer
escolha e não apenas de políticos).
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c) Como a Matemática pode ajudar a criar uma
eleição menos suscetível à manipulações e mais
justa? (Ou como pode ocorrer exatamente o
contrário?)
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Exercício 2
Três participantes do Programa “Big Brother
Brasil” foram enviados ao “paredão”. Dois – André
e Bianca – foram para o paredão pelo voto dos
brothers e a terceira, Clarisse teve o azar de
atender o “big-fone” na hora errada e foi direto
para o paredão.
André é um moço justo e inteligente, que
despertou encantamento dos telespectadores,
mas rivalizou com Bianca, querida em sua cidade
natal, uma importante metrópole do Nordeste,
ganhando simpatia também de parte do público
nordestino. Bianca, por sua vez, além de amada
pelos seus conterrâneos é odiada por grande
parte do público por seus ataques para André.
Presume-se que a rejeição para Bianca é maior do
que a de André. Ambos ocupam a mídia de
fofocas da televisão com bastante destaque.
Clarisse, por sua vez, é uma moça quietinha, tida
como “sem graça” pelo público, e raramente
protagoniza alguma cena marcante, sendo o
público indiferente.
A emissora de televisão decidia se fazia a votação
com a pergunta:
I – “Quem deve ficar na casa?”, sendo eliminado o
menos votadoou
II – “Quem deve ser eliminado?”.
Analise as duas perguntas e mostre qual seria o
eliminado caso fosse adotada a pergunta I ou II.
Suponha que nenhuma estratégia é utilizada e que
o público votante escolhe honestamente, de
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5
acordo com suas preferências. Justifique sua
resposta.
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Exercício 3
Uma escola tem 3 turmas de Ensino Médio, todas
com exatamente 30 alunos, uma de cada série, e
irá escolher um mascote oficial da escola. A
diretora determinou que cada uma das escolas irá
escolher o favorito entre 3 mascotes: um lobo,
uma águia e um dragão. O 1º e o 3º escolheram o
lobo como o favorito e a águia foi a escolhida do
2º ano, sendo escolhido o vencedor o mascote
mais votado na turma. Por ser o preferido de duas
classes, a diretora decidiu que o lobo era o
mascote oficial.
Mostre com um exemplo que se contados os 90
alunos da escola, o dragão pode ter sido o mais
votado entre os três.
Rascunho. A marcação de vermelho indica a
maior votação de cada coluna.
1º
ano
2º
ano
3º
ano
TOTAL
LOBO
ÁGUIA
DRAGÃO
TOTAL 30 30 30 90
Resposta definitiva:
1º
ano
2º
ano
3º
ano
TOTAL
LOBO
ÁGUIA
DRAGÃO
TOTAL 30 30 30 90
Exercícios 4
Um concurso para a “Nova Loira do Tchan” é feito
na televisão em vários programas exibidos
diariamente. A cada dia disputam 2 bailarinas e o
público escolhe a favorita que vai para uma fase
posterior. Inicialmente 16 participantes disputam
aos pares, em “oitavas-de-final”; restando 8
participantes, disputam “quartas-de-final”, as 4
restantes disputam semifinais, restando às duas
últimas a disputa da final.
Suponha que a escolha do público é sempre
transitiva, ou seja, se a bailarina A vencer a B (𝐴 ≻
𝐵), e a B vencer a C (𝐵 ≻ 𝐶), então, a A vence a C
(𝐴 ≻ 𝐶). Também suponha que o público sempre
vota igual.
a) Em qualquer situação a bailarina
vencedora seria vencedora?
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b) Quantas das demais bailarinas poderiam ir
para a final?
Dica:
Para entender o item “b”, veja o exemplo com 4
bailarinas A, B, C e D. Suponha 𝐴 ≻ 𝐵 ≻ 𝐶 ≻ 𝐷.
• Se as semifinais fossem A X B e depois C
X B, teríamos um final A X C e o C como
2ª colocada.
• Se as semifinais fossem A X C e depois B
X D, teríamos uma final A X B e o B como
2ª colocada.
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Exercício 5
Uma eleição para Conselheiros Tutelares de um
município exige que cada eleitor escolha 5 nomes
de uma lista de 11 candidatos, podendo escolher
quaisquer candidatos. A urna é travada para
aceitar apenas 5 nomes ou nenhum, ou seja, não
é possível você votar em apenas 1 candidato ou
qualquer número diferente de 5 ou 0. Também não
é possível votar duas vezes no mesmo candidato.
Você é candidato e chegou a sua hora de votar.
Que estratégia você deve utilizar em sua escolha
para beneficiar a sua eleição, supondo 5 vagas
para o cargo?
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Exercício 6
Explique com suas palavras o Dilema de Plínio,
que você deve ter lido no texto complementar..
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ATIVIDADES OPTATIVAS COM FEEDBACK
Exercício 7
Candidatos que adotam posições extremas ou
que possuem alta rejeição são facilmente eleitos
para ocupar vagas em parlamentos mas não
conseguem se eleger facilmente em eleições
majoritárias (onde apenas o mais votado é
escolhido).
Em 2002 a eleição francesa ganhou repercussão
mundial pois pela primeira vez na história da
Europa um candidato nacionalista de extrema-
direita foi para o segundo turno. O candidato Jean-
Marie Le Pen, ultranacionalista, da Frente
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7
Nacional – FN obteve 16,86% dos votos e ficou em
2º lugar, com poucos votos a menos que Jacques
Chirac no 1º turno.
Fonte: Wikipédia
Desesperados todos os candidatos oposicionistas
se uniram para derrotar Le Pen no 2º turno. Na
França o voto é facultativo e por isso o 2º turno
costuma ter menos votantes do que o 1º turno,
porém, dessa vez, o número de eleitores
aumentou e deu a vitória para a reeleição de
Jacques Chirac com 82,21% dos votos, número
muito maior do que sua popularidade como
presidente francês.
Fonte: Wikipédia.
Unidos, até mesmo os opositores foram em
massa apoiar Chirac pela alta rejeição aos
valores extremistas de Le Pen.
Com base nessas informações, explique porque
candidatos controversos (como Paulo Maluf ou
Marcos Feliciano), extremistas de direita (como
Jair Bolsonaro ou Donald Trump, nos Estados
Unidos) ou de extrema-esquerda (como os
militantes do PSTU, PCO ou PCB) encontrariam
dificuldades matemáticas para se elegerem para
cargos como Presidente da República,
Governador de Estado ou Prefeito de Capital.
OBS: essa questão foi feita antes da eleição de
Trump e Bolsonaro e outros extremistas de direita
e esquerda pelo mundo e foi elaborada numa
época onde os ânimos e paixões políticas não
estavam acirradas. Após a Primavera Árabe e o
advento das redes sociais, pela primeira vez, se
permitiu a eleição de extremistas numa eleição
com 2 turnos. A sua resposta deve levar em conta
os argumentos do texto, sem adentrar nos
condicionantes históricos que permitiram a eleição
de Trump, Bolsonaro e outros. NÃO QUEREMOS
OPINIÕES POLÍTICAS NESSE CURSO,
APENAS QUESTÕES TÉCNICAS DA
MATEMÁTICA, essas últimas universais e não
passíveis as paixões. Questões que entrem, ainda
que tangencialmente, em posições ideológicas,
não serão consideradas ou respondidas.
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Exercício 8
Em 2000, sobre as eleições norte-americanas, o
mundo ouviu dizer que o republicano George W.
Bush, com 50.460.110 de votos, ou seja 47,87%
do eleitorado venceu as eleições contra o
democrata Al Gore, que obteve 51.003.926 votos
populares, ou seja, 48,38%.
É que a eleição norte-americana é baseada na
representatividade de cada um dos 50 estados e
do distrito federal, onde há um número de votos
para cada estado no Colégio Eleitoral, e o mais
votado leva todos os votos daquele Estado. Com
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8
isso, Al Gore teve 266 votos contra 271 de Bush
nesse Colégio.
Veja no mapa o número de votos de cada estado
com a quantidade de eleitores e o candidato mais
votado em cada estado de acordo com a cor (azul
ou vermelha):
Como a votação na Flórida foi apertada e envolta
de polêmicas, pediram-se sucessivas
recontagens, pois, caso Gore tivesse vencido
naquele Estado teria larga vitória no Colégio
Eleitoral.
Mostre que caso Gore tivesse vencido no Alaska,
que tem apenas 3 votos, e todos os demais
resultados tivessem sido mantidos, ele seria
vitorioso no Colégio Eleitoral.
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Exercício 9
O conceito de “Empate” pode ser entendido como
ausência de vitória (como no Xadrez) ou mesma
quantidade de pontos ou votos.
Uma Câmara Municipal possui 9 vereadores,
sendo 4 situacionistas e 5 oposicionistas. Foi
protocolado por um vereador da oposição um
projeto que não é do interesse do prefeito; e, para
esse projeto ser aprovado são necessários 5
votos.
O presidente da casa legislativa é da oposição e
só pode votar em caso de empate. Cada vereador
pode votar SIM, NÃO ou se afastar do plenário e
não votar. Explique como o prefeito pode
conseguir barrar o projeto sem burlar nenhuma
regra.
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Fonte: Ministério Público Federal
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9
Exercício 10
A tabela abaixo, organizado pelo site “Atlas das
Eleições Presidenciais”, disponível em
https://sites.google.com/site/atlaseleicoespreside
nciais/ranking-das-capitais-por-preferncia-
ideolgica, mostra a preferência de votos nos
candidatos do PT (Lula e Dilma, em vermelho) e
do PRN/PSDB (Fernando Collor, Fernando
Henrique Cardoso, José Serra, Geraldo Alckmin e
Aécio Neves) nas eleições presidenciais do Brasil
pós Ditadura. Os resultados dizem respeito aos
votos no 2º turno, exceto em 1994 e 1998 onde a
eleição foi decidida no 1º turno (na eleição de 1994
também foram considerados os votos de Brizola
como se de Lula fossem, para “simular” um 2º
turno).
a) Verifique se o que os autores chamaram
de “média” na tabela foi um cálculo não
ponderado das votações da “esquerda”.
Essa metodologia (sem explicações no
texto) pode ser considerada precisa?
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b) Que ordem a tabela utilizou para ser
organizada?
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c) Considerando que a capital de São Paulo
tem uma população superior ao dobro da
2ª cidade mais populosa do país (o Rio de
Janeiro), explique por que não é possível
afirmar que o desempenho do PT nas
eleições de 2006 foi superior ao do PT nas
eleições de 2010.
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d) Considerando apenas o voto nas capitais
do país, qual é o único ano que é possível
afirmar com toda certeza que o PT foi o
vitorioso? Explique.
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_______________________________________
e) Que conclusões você tira dessas tabelas?
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_______________________________________
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_______________________________________
_______________________________________
f) Vamos supor que os critérios de vitória na
eleição pudessem ser decididos após a
votação. Manipule os resultados das
eleições de 2014 para tornar Aécio
vencedor utilizando critérios diferenciados
de escolha.
_______________________________________
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_______________________________________
_______________________________________
_______________________________________
_______________________________________
_______________________________________
_______________________________________
_______________________________________
Exercício 11
TEXTO I
“A divulgação do vencedor do 54º Prêmio Jabuti
na categoria romance foi seguida por uma
polêmica devido às notas do jurado identificado
como "C" – identificado pela Folha de S.Paulo
como o crítico e editor Rodrigo Gurgel – que
atribuiu duas notas 0 e um 0,5 ao livro "Infâmia, da
presidente da Academia Brasileira de Letras, Ana
Maria Machado, levando à vitória do novato Oscar
Nakasato, com seu romance de estreia
"Nihonjin". No catálogo do evento, foi confirmado
que o jurado C - pivô do escândalo - era o crítico
literário Rodrigo Gurgel. Os outros dois jurados
foram Amilton Pinheiro e Suzana Ramos Ventura.”
Fonte:
http://entretenimento.uol.com.br/noticias/redacao/
2012/11/28/votantes-do-premio-jabuti-reagem-a-
polemica-e-elegem-obra-juvenil-como-livro-do-
ano-de-ficcao.htm Acesso em 16 set.2016
TEXTO II
Foi um “erro”, “uma certa bobeada”. São essas as
palavras que o curador do Prêmio Jabuti, José
Luiz Goldfarb, usa ao se lembrar da polêmica em
que o prêmio literário esteve envolvido no ano
passado. Responsável pelo cargo desde 1991,
Goldfarb fez a avaliação ao G1 nesta quinta-feira
(4), dia em que o Jabuti abre inscrições para sua
edição 2013, que vão até 15 de junho. Em
entrevista por telefone, o curador comentou que os
jurados agora só podem dar notas entre 8 e 10 aos
livros concorrentes.
“Há mais de dez anos vinha sendo assim”, explica
Goldfarb. “No ano passado, acho que houve um
descuido, uma certa bobeada. Alguém sugeriu
que as notas fossem de 0 a 10. Depois, gente
percebeu que foi um erro.” Isso, porque houve
espaço para que um dos três jurados da categoria
romance desse nota mínima para “Infâmia”, de
Ana Maria Machado.
“Se você deixa de 0 a 10, realmente abre espaço
para que algum jurado possa abusar da nota
baixa, que foi o ocorrido”, prossegue Goldfarb. “O
famoso ‘jurado C’, que depois se revelou o senhor
Gurgel [o crítico Rodrigo Gurgel], deu nota muito
baixa a algumas obras. E a nota dele acabou
tendo valor excessivo. Como são apenas três
jurados, se um deles faz isso, desequilibra o
resultado do prêmio." A categoria romance foi
vencida por “Nihonjin”, livro de estreia de Oscar
Nakasato.
PODEMOS – Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães
35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT
11
Goldfarb diz que a volta ao antigo regulamento
evita uma situação que ele, como curador,
descreve como “desagradável, ter um jurado que
está abusando de sua competência”. “Agora, não
vai se permitir que um jurado se transforme no fiel
da balança.”
Fonte: http://g1.globo.com/pop-
arte/noticia/2013/04/erro-em-2012-fez-premio-
jabuti-voltar-antigo-regulamento-diz-curador.html
Acesso em 16 set.2016
a) Explique matematicamente como a
votação do Jurado C pode ter sido decisiva
no Prêmio Jabuti de 2012.
_______________________________________
_______________________________________
_______________________________________
_______________________________________
_______________________________________
_______________________________________
_______________________________________
_______________________________________
_______________________________________
b) Um corpo de jurados irão atribuir notas
para 10 livros em uma determinada
categoria. Cada jurado pode atribuir 10
notas para 10 critérios diferentes.
I. Mostre matematicamente
que se a nota for livre entre
0 e 10, um único jurado não
idôneo pode levar à
eliminação de um livro
específico em um grupo de
5 jurados onde todos os
outros costumam atribuir
notas de 8 a 10.
Resposta: Suponha que os jurados A, B, C e D
atribuam notas 8 para 9 livros e notas 10 para um
10º livro, com isso, os 9 primeiros livros possuem
320 pontos cada e o 10º livro possui 400 pontos.
O jurado E atribui 0 pontos para o 10º livro e 100
pontos para os demais, o que leva à inequívoca
derrota do 10º livro (que terá 400 pontos contra
420 dos demais livros).
II. Mostre que se os jurados A,
B, C e D atribuírem notas de
7 a 10, o jurado E sozinho
não consegue derrotar o 10º
livro.
_______________________________________
_______________________________________
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_______________________________________
_______________________________________
III. Mostre que caso
houvessem apenas 4
jurados, em circunstâncias
idênticas (notas de 8 a 10),
não seria possível um dos
jurados derrotar sozinho um
dos livros.
_______________________________________
_______________________________________
_______________________________________
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_______________________________________
_______________________________________
_______________________________________
IV. Para um avaliador sozinho
não possa derrubar um livro
específico, a nota mínima,
para o caso de 5 jurados
pode ser de ____.
_______________________________________
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V. Para que um avaliador
sozinho não possa derrubar
um livro específico, a nota
mínima para o caso de 3
jurados bastaria ser ____.
_______________________________________
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_______________________________________
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_______________________________________
_______________________________________
_______________________________________
_______________________________________
DICAS DE LEITURAS:
STEFFENON, Rogério Ricardo; JABUINSKI,
Antônio César. A Matemática da Escolha
Social: Eleições Majoritárias e Divisões
Proporcionais. 60 páginas. Disponível em:
<http://www.bienasbm.ufba.br/M48.pdf> Acesso
em 15 set.2016.
PODEMOS – Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães
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13 qa teoria matematica das eleicoes - aula 1

  • 1. TEORIA MATEMÁTICA DAS ELEIÇÕES - PODEMOS – Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 1 13Q(a) AULA 1 – Introdução a Teoria Matemática das Eleições 13Q(a) Essa primeira aula serve para você familiarizar com o assunto e não possui cálculos. Isso não significa que esse curso não possui cálculos! Ele é recheado de problemas para ser resolvidos e exige um mínimo de compreensão sobre os cálculos numéricos. Esse material foi criado inicialmente para um Curso de Quarentena do PODEMOS em abril de 2020, durante a pandemia da COVID-19. Ele precisa ser melhorado, inseridos vídeos e editado. AOS ALUNOS DO CURSO DE QUARENTENA devem buscar informações na Plataforma Moodle sobre prazos e atividades para entregar. ROTEIRO DE ESTUDOS Pré Requisitos: ESSA PRIMEIRA AULA NÃO POSSUI PRÉ-REQUISITOS COMO PROCEDER? ➢ Leia atentamente esse texto, grifando os assuntos mais importantes se necessário. Quando houver um link para vídeos acessar o link e assistir aos vídeos para melhor compreensão do conteúdo. ➢ Verifique com o seu professor se essa material será disponibilizado na Plataforma Moodle ou Google Respostas e pergunte como você deve enviar as tarefas ao professor. ➢ Assista vídeos da parte teórica dessa matéria. Procure no Youtube pelos assuntos.. ➢ Na dúvida procure ajuda de colegas, professores ou na Internet. APRESENTAÇÃO DO CONTEÚDO E EXERCÍCIOS Programação do Curso LEIA COM ATENÇÃO ESSE QUADRO Carga Horária Semanal: 4 horas Duração: 4 semanas Pre-Requisitos: não há O curso planejado é um aperfeiçoamento de um bimestre do curso de Teoria de Jogos, no 8º período do Bacharelado em Administração da FAFEM/FUNVIC de Mococa (2 aulas semanais). Posteriormente foi oferecido no OBMEP PIC/MENTORES em 2016 pelo prof. Otávio Sales. 1. CONCEITOS INICIAIS E O SISTEMA ELEITORAL BRASILEIRO 1. Temas motivacionais: o Dilema de Plínio, a Eleição do Papa, L’Académie Royale de Sciences. (Abordagens históricas e sem soluções, com introdução às questões estudadas por Borda e Condorcet). 2. Eleições brasileiras para o Poder Executivo e para o Poder Legislativo: principais conceitos (breve abordagem). Apenas uma sucinta introdução aos conceitos gerais da Teoria Matemática das Eleições e ao sistema eleitoral brasileiro, permitindo ao estudante compreender exemplos. 2. ELEIÇÕES MAJORITÁRIAS 2.1 Sistemas de Votação: Voto Plural, Voto Anti- Plural, Voto de Duas Voltas, Método Run-Off, Método de Condorcet, Método de Borda. Incluindo abordagens históricas, o aluno deverá compreender cada sistema de votação, com exemplos de seu uso pelo mundo (de eleições sérias até jogos, como a eliminação de personagens no jogo Big Brother Brasil). O aluno deverá compreender que em cada método utilizado o vencedor é diferente, independentemente da alteração do voto de cada cidadão e passa-se para uma questão importante: qual é o método mais justo de escolha? Os exercícios serão problemas práticos de decisão do vencedor utilizando-se cada método e observar algumas incoerências nos métodos. Um tema interessante para ilustrar a questão são os Gerrymandering, a criação de desenhos bizarros de distritos eleitorais para favorecer grupos políticos. 2.2 O Teorema da Impossibilidade de Arrow: Universalidade, Monotonia, Independência Binária, Soberania dos Cidadãos, Não Ditadura. Uma análise não-formal do Teorema que mostra impossível que uma eleição com mais de 2 candidatos seja justa, apresentando conceitos como o da Unanimidade de Pareto, do Voto Estratégico, do Teorema de Gibbard-Satterthwalte, etc.
  • 2. PODEMOS – Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 2 3. ELEIÇOES PROPORCIONAIS 3.1 O Sistema Brasileiro de Eleições Proporcionais para deputado e vereador. O Método de Hondt. Nesse tópico os alunos compreenderão qual é o sentido da eleição proporcional, inclusive em seu contexto e como as cadeiras são distribuídas no Brasil, com exercícios práticos que podem incluir o resultado das eleições em seus próprios municípios, compreendendo os números e conceitos como quociente eleitoral, cálculo das médias (sobras), votos válidos, votos de legenda, votos nominais, quociente partidário, número de cadeiras, etc. 3.2 História da divisão das cadeiras da Câmara dos Representantes dos EUA: método de Jefferson e Hamilton, outros métodos. O Paradoxo do Alabama. Apresentação histórica e problematizada da história da divisão das cadeiras do parlamento norte- americano entre seus estados membros, com leituras de textos e análise do surpreendente Paradoxo do Alabama. 3.3 Métodos do Divisor: Webster e Hill. Regra da Quota. Teorema da Impossibilidade de Balinski e Young. Matematização das eleições proporcionais para resolver teoricamente o problema da divisão das cadeiras do parlamento norte-americano, apontando métodos, alternativas e análises SUGESTÕES PARA SEGUNDO CURSO: Teorema de Sem, Métodos Posiconais, Sistemas Eleitorais Ponderados e Índices de Poder, Referendos REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS: CARDOSO, Carla Guida da Silva. A Matemática das Eleições. Dissertação de Mestrado. Lisboa - Portugal: Universidade de Lisboa, 2009. 187 p. Disponível em: <http://repositorio.ul.pt/bitstream/10451/3447/1/ulfc0 55664_tm_Carla_Cardoso.pdf> . Acesso em 3 set.2016. PINTO, Joaquim Antônio da Piedade. Teoria Matemática das Eleições. Tese de Doutorado. Porto – Portugal: Universidade do Porto, 2006. 101 p. Disponível em: <https://repositorio- aberto.up.pt/bitstream/10216/64099/1/90439_Tese- 167_TM_01_C.pdf> Acesso em 3 set.2016 METODOLOGIA: Parte do curso será conceitual, e a outra parte dependerá de pesquisas dos estudantes em fontes diversas e leitura de textos indicados. Toda vez que aparecer a mãozinha LEIA Introdução a Teoria Matemática das Eleições LEIA COM ATENÇÃO ESSE QUADRO Essa primeira semana é apenas introdutória. Vamos colocar vocês em contato com a fantástica matemática das eleições, que não se aplica apenas para votações de políticos para cargos eletivos, mas em inúmeras situações, como escolha do síndico de um prédio, do vencedor de The Voice, da Escola de Samba vencedora na Marques do Sapucaí, do eliminado do Big Brother Brasil, da escolha da nova loira do Tchan ou da concessão de prêmios como o Grammy (Música) ou o Jabuti (Literatura). Troféu do Grammy Fonte: ekvador2011.blogspot.com É claro que eleições formais são os exemplos mais abundantes e há muito matemática neles, e, eles ajudam a compreender duas teorias que serão objeto de nosso estudo: • A Teoria Matemática da Decisão – qual é o favorito? Isso nós chamaremos de Eleições Majoritárias. São exemplos das eleições majoritárias as escolhas de prefeito, governador, senador, presidente da república, os eliminados do BBB, a sede dos Jogos Olímpicos e os vencedores do Nobel. • A Teoria da Partilha Justa, onde você precisa dividir proporcionalmente um certo número de coisas utilizando critérios justos, e isso nós chamaremos de Eleições Proporcionais. São exemplos de eleições proporcionais as eleições para vereador, deputado
  • 3. PODEMOS – Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 3 federal, deputado estadual, a distribuição de vagas no parlamento dos Estados Unidos por estado, a seleção de times da Copa do Mundo por eliminatórias. As Eleições Majoritárias são mais comuns e usuais, e encontramos exemplos abundantes. Vários dilemas e paradoxos surgiram durante a história dizendo respeito ao tema. Também são comuns casos de distorções e manipulações por descuidos matemáticos. Viajaremos pela história de propostas de Borda e Condorcet para resolver o problema da escolha justa e aprenderemos que outro matemático, Kenneth Arrow, provou ser impossível tal justiça. Conheceremos vários métodos de escolha nesse caso e analisaremos criticamente os métodos utilizados no Brasil para eleições e outros procedimentos similares. A questão é como garantir que uma escolha entre um grupo represente a vontade ou selecione o melhor. Paredão recordista do Big Brother Brasil, em 31 de março de 2020 Fonte: IstoE. Data 8/4/2020, 22h8 Suponha o paredão do Big Brother Brasil de 31 de março de 2020, a maior votação online de todos os tempos, com mais de 1,5 bilhão de votantes. Estavam no páreo a cantora e atriz Manu Gavassi, o arquiteto Felipe Prior e a modelo Mari Gonzales. A pergunta do paredão é “Quem você quer eliminar?” e as torcidas de Felipe Prior e Manu Gavassi polarizaram um contra o outro, aproveitando a grande popularidade de ambos – acabando com Felipe eliminado com 56,73%, Manu mantida na casa com 42,51% e Mari, a menos preferida de todos, com 0,76%. A lógica seria eliminar o menos favorito e na época Manu era a mais seguida no Instagram com 11,4 milhões de seguidores e Felipe Prior despontava com o favorito em todas enquetes com mais de 30% de favoritismo. Se a pergunta fosse “Quem você quer que fique na casa?” com direito a apena 1 único voto, é óbvio que Mari seria eliminada, pois a menos popular e com menor número de fãs – e nesse caso paradoxal ele foi a menos votada. Isso você já observa que o formato do voto altera o resultado. Para quem não acompanha BBB, siga o exemplo, de um paredão com o ex-presidente Lula o atual presidente Bolsonaro – ambos que despertam ódio e paixão – e um candidato inexpressivo em termos de torcida, como Eynmael. Se a pergunta fosse “Quem você quer eliminar?” Eynmael seria o menos votado, mas se fosse “Quem você quer que fique na casa?” ele seria o eliminado. As Eleições Proporcionais são bastante usuais atualmente nas eleições para deputados e vereadores e geram a perplexidade de candidatos mais votados serem derrotados por candidatos menos votados. Você compreenderá o sentido dessas aparentes injustiças e suas origens históricas, com foco na divisão das cadeiras da Câmara dos Representantes nos Estados Unidos, em diversas propostas como as de Hamilton, Jefferson e Adams até métodos mais aperfeiçoados como os de Webster, Hunting-Hill e o de Hondt, este último que inspirou o sistema utilizado no Brasil. Seremos confrontados com as vantagens e problemas de cada método e conheceremos paradoxos como o famoso Paradoxo de Alabama. O objetivo desse curso é encantar e mostrar a rica matemática que se encontram nesses dois tipos de eleições e como a Matemática pode ser utilizada para o bem e para o mal em ambos os casos. O curso foi baseado num bimestre da disciplina de Teoria dos Jogos no 8º ano de Administração da Faculdade da “Fundação Universitária Vida Cristã” de Mococa – SP, ministrada pelo Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães, mestre, aperfeiçoado com um curso do PIC/OBMEP MENTORES. Essa primeira aula não exige que você faça cálculos e nem há problemas, eles começam na 2ª semana. Toda vez que aparecer a mãozinha LEIA
  • 4. PODEMOS – Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 4 LEITURA OBRIGATÓRIA PARA ESSA AULA 1: https://repositorio- aberto.up.pt/bitstream/10216/64099/1/90439_Tes e-167_TM_01_C.pdf (você vai baixar um arquivo de 24,5 Megas) LEITURA ATENTA: Páginas 3 a 7 (Procure compreender as idéias principais) LEITURA RÁPIDA: Páginas 8 a 29 (Preste atenção no contexto e leia as partes históricas, sem se focar profundamente na Matemática) Exercício 1 Para cada questão produza um texto argumentativo explicando as suas opiniões. Recomenda-se a leitura do texto, mas não se preocupe em ser técnico – apresente sua opinião, ainda que ingênua: a) Uma eleição onde a maior parte dos cidadãos escolhe o seu candidato preferido é justa? Explique criticamente. _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ b) Dê exemplos de contradições em eleições e escolhas (considere eleições como qualquer escolha e não apenas de políticos). _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ c) Como a Matemática pode ajudar a criar uma eleição menos suscetível à manipulações e mais justa? (Ou como pode ocorrer exatamente o contrário?) _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ Exercício 2 Três participantes do Programa “Big Brother Brasil” foram enviados ao “paredão”. Dois – André e Bianca – foram para o paredão pelo voto dos brothers e a terceira, Clarisse teve o azar de atender o “big-fone” na hora errada e foi direto para o paredão. André é um moço justo e inteligente, que despertou encantamento dos telespectadores, mas rivalizou com Bianca, querida em sua cidade natal, uma importante metrópole do Nordeste, ganhando simpatia também de parte do público nordestino. Bianca, por sua vez, além de amada pelos seus conterrâneos é odiada por grande parte do público por seus ataques para André. Presume-se que a rejeição para Bianca é maior do que a de André. Ambos ocupam a mídia de fofocas da televisão com bastante destaque. Clarisse, por sua vez, é uma moça quietinha, tida como “sem graça” pelo público, e raramente protagoniza alguma cena marcante, sendo o público indiferente. A emissora de televisão decidia se fazia a votação com a pergunta: I – “Quem deve ficar na casa?”, sendo eliminado o menos votadoou II – “Quem deve ser eliminado?”. Analise as duas perguntas e mostre qual seria o eliminado caso fosse adotada a pergunta I ou II. Suponha que nenhuma estratégia é utilizada e que o público votante escolhe honestamente, de
  • 5. PODEMOS – Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 5 acordo com suas preferências. Justifique sua resposta. _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ Exercício 3 Uma escola tem 3 turmas de Ensino Médio, todas com exatamente 30 alunos, uma de cada série, e irá escolher um mascote oficial da escola. A diretora determinou que cada uma das escolas irá escolher o favorito entre 3 mascotes: um lobo, uma águia e um dragão. O 1º e o 3º escolheram o lobo como o favorito e a águia foi a escolhida do 2º ano, sendo escolhido o vencedor o mascote mais votado na turma. Por ser o preferido de duas classes, a diretora decidiu que o lobo era o mascote oficial. Mostre com um exemplo que se contados os 90 alunos da escola, o dragão pode ter sido o mais votado entre os três. Rascunho. A marcação de vermelho indica a maior votação de cada coluna. 1º ano 2º ano 3º ano TOTAL LOBO ÁGUIA DRAGÃO TOTAL 30 30 30 90 Resposta definitiva: 1º ano 2º ano 3º ano TOTAL LOBO ÁGUIA DRAGÃO TOTAL 30 30 30 90 Exercícios 4 Um concurso para a “Nova Loira do Tchan” é feito na televisão em vários programas exibidos diariamente. A cada dia disputam 2 bailarinas e o público escolhe a favorita que vai para uma fase posterior. Inicialmente 16 participantes disputam aos pares, em “oitavas-de-final”; restando 8 participantes, disputam “quartas-de-final”, as 4 restantes disputam semifinais, restando às duas últimas a disputa da final. Suponha que a escolha do público é sempre transitiva, ou seja, se a bailarina A vencer a B (𝐴 ≻ 𝐵), e a B vencer a C (𝐵 ≻ 𝐶), então, a A vence a C (𝐴 ≻ 𝐶). Também suponha que o público sempre vota igual. a) Em qualquer situação a bailarina vencedora seria vencedora? _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ b) Quantas das demais bailarinas poderiam ir para a final? Dica: Para entender o item “b”, veja o exemplo com 4 bailarinas A, B, C e D. Suponha 𝐴 ≻ 𝐵 ≻ 𝐶 ≻ 𝐷. • Se as semifinais fossem A X B e depois C X B, teríamos um final A X C e o C como 2ª colocada. • Se as semifinais fossem A X C e depois B X D, teríamos uma final A X B e o B como 2ª colocada. _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________
  • 6. PODEMOS – Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 6 Exercício 5 Uma eleição para Conselheiros Tutelares de um município exige que cada eleitor escolha 5 nomes de uma lista de 11 candidatos, podendo escolher quaisquer candidatos. A urna é travada para aceitar apenas 5 nomes ou nenhum, ou seja, não é possível você votar em apenas 1 candidato ou qualquer número diferente de 5 ou 0. Também não é possível votar duas vezes no mesmo candidato. Você é candidato e chegou a sua hora de votar. Que estratégia você deve utilizar em sua escolha para beneficiar a sua eleição, supondo 5 vagas para o cargo? _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ ______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ Exercício 6 Explique com suas palavras o Dilema de Plínio, que você deve ter lido no texto complementar.. _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ ATIVIDADES OPTATIVAS COM FEEDBACK Exercício 7 Candidatos que adotam posições extremas ou que possuem alta rejeição são facilmente eleitos para ocupar vagas em parlamentos mas não conseguem se eleger facilmente em eleições majoritárias (onde apenas o mais votado é escolhido). Em 2002 a eleição francesa ganhou repercussão mundial pois pela primeira vez na história da Europa um candidato nacionalista de extrema- direita foi para o segundo turno. O candidato Jean- Marie Le Pen, ultranacionalista, da Frente
  • 7. PODEMOS – Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 7 Nacional – FN obteve 16,86% dos votos e ficou em 2º lugar, com poucos votos a menos que Jacques Chirac no 1º turno. Fonte: Wikipédia Desesperados todos os candidatos oposicionistas se uniram para derrotar Le Pen no 2º turno. Na França o voto é facultativo e por isso o 2º turno costuma ter menos votantes do que o 1º turno, porém, dessa vez, o número de eleitores aumentou e deu a vitória para a reeleição de Jacques Chirac com 82,21% dos votos, número muito maior do que sua popularidade como presidente francês. Fonte: Wikipédia. Unidos, até mesmo os opositores foram em massa apoiar Chirac pela alta rejeição aos valores extremistas de Le Pen. Com base nessas informações, explique porque candidatos controversos (como Paulo Maluf ou Marcos Feliciano), extremistas de direita (como Jair Bolsonaro ou Donald Trump, nos Estados Unidos) ou de extrema-esquerda (como os militantes do PSTU, PCO ou PCB) encontrariam dificuldades matemáticas para se elegerem para cargos como Presidente da República, Governador de Estado ou Prefeito de Capital. OBS: essa questão foi feita antes da eleição de Trump e Bolsonaro e outros extremistas de direita e esquerda pelo mundo e foi elaborada numa época onde os ânimos e paixões políticas não estavam acirradas. Após a Primavera Árabe e o advento das redes sociais, pela primeira vez, se permitiu a eleição de extremistas numa eleição com 2 turnos. A sua resposta deve levar em conta os argumentos do texto, sem adentrar nos condicionantes históricos que permitiram a eleição de Trump, Bolsonaro e outros. NÃO QUEREMOS OPINIÕES POLÍTICAS NESSE CURSO, APENAS QUESTÕES TÉCNICAS DA MATEMÁTICA, essas últimas universais e não passíveis as paixões. Questões que entrem, ainda que tangencialmente, em posições ideológicas, não serão consideradas ou respondidas. _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ Exercício 8 Em 2000, sobre as eleições norte-americanas, o mundo ouviu dizer que o republicano George W. Bush, com 50.460.110 de votos, ou seja 47,87% do eleitorado venceu as eleições contra o democrata Al Gore, que obteve 51.003.926 votos populares, ou seja, 48,38%. É que a eleição norte-americana é baseada na representatividade de cada um dos 50 estados e do distrito federal, onde há um número de votos para cada estado no Colégio Eleitoral, e o mais votado leva todos os votos daquele Estado. Com
  • 8. PODEMOS – Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 8 isso, Al Gore teve 266 votos contra 271 de Bush nesse Colégio. Veja no mapa o número de votos de cada estado com a quantidade de eleitores e o candidato mais votado em cada estado de acordo com a cor (azul ou vermelha): Como a votação na Flórida foi apertada e envolta de polêmicas, pediram-se sucessivas recontagens, pois, caso Gore tivesse vencido naquele Estado teria larga vitória no Colégio Eleitoral. Mostre que caso Gore tivesse vencido no Alaska, que tem apenas 3 votos, e todos os demais resultados tivessem sido mantidos, ele seria vitorioso no Colégio Eleitoral. _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ Exercício 9 O conceito de “Empate” pode ser entendido como ausência de vitória (como no Xadrez) ou mesma quantidade de pontos ou votos. Uma Câmara Municipal possui 9 vereadores, sendo 4 situacionistas e 5 oposicionistas. Foi protocolado por um vereador da oposição um projeto que não é do interesse do prefeito; e, para esse projeto ser aprovado são necessários 5 votos. O presidente da casa legislativa é da oposição e só pode votar em caso de empate. Cada vereador pode votar SIM, NÃO ou se afastar do plenário e não votar. Explique como o prefeito pode conseguir barrar o projeto sem burlar nenhuma regra. _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ Fonte: Ministério Público Federal
  • 9. PODEMOS – Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 9 Exercício 10 A tabela abaixo, organizado pelo site “Atlas das Eleições Presidenciais”, disponível em https://sites.google.com/site/atlaseleicoespreside nciais/ranking-das-capitais-por-preferncia- ideolgica, mostra a preferência de votos nos candidatos do PT (Lula e Dilma, em vermelho) e do PRN/PSDB (Fernando Collor, Fernando Henrique Cardoso, José Serra, Geraldo Alckmin e Aécio Neves) nas eleições presidenciais do Brasil pós Ditadura. Os resultados dizem respeito aos votos no 2º turno, exceto em 1994 e 1998 onde a eleição foi decidida no 1º turno (na eleição de 1994 também foram considerados os votos de Brizola como se de Lula fossem, para “simular” um 2º turno). a) Verifique se o que os autores chamaram de “média” na tabela foi um cálculo não ponderado das votações da “esquerda”. Essa metodologia (sem explicações no texto) pode ser considerada precisa? _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ b) Que ordem a tabela utilizou para ser organizada? _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ c) Considerando que a capital de São Paulo tem uma população superior ao dobro da 2ª cidade mais populosa do país (o Rio de Janeiro), explique por que não é possível afirmar que o desempenho do PT nas eleições de 2006 foi superior ao do PT nas eleições de 2010. _______________________________________ _______________________________________
  • 10. PODEMOS – Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 10 _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ d) Considerando apenas o voto nas capitais do país, qual é o único ano que é possível afirmar com toda certeza que o PT foi o vitorioso? Explique. _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ e) Que conclusões você tira dessas tabelas? _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ f) Vamos supor que os critérios de vitória na eleição pudessem ser decididos após a votação. Manipule os resultados das eleições de 2014 para tornar Aécio vencedor utilizando critérios diferenciados de escolha. _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ Exercício 11 TEXTO I “A divulgação do vencedor do 54º Prêmio Jabuti na categoria romance foi seguida por uma polêmica devido às notas do jurado identificado como "C" – identificado pela Folha de S.Paulo como o crítico e editor Rodrigo Gurgel – que atribuiu duas notas 0 e um 0,5 ao livro "Infâmia, da presidente da Academia Brasileira de Letras, Ana Maria Machado, levando à vitória do novato Oscar Nakasato, com seu romance de estreia "Nihonjin". No catálogo do evento, foi confirmado que o jurado C - pivô do escândalo - era o crítico literário Rodrigo Gurgel. Os outros dois jurados foram Amilton Pinheiro e Suzana Ramos Ventura.” Fonte: http://entretenimento.uol.com.br/noticias/redacao/ 2012/11/28/votantes-do-premio-jabuti-reagem-a- polemica-e-elegem-obra-juvenil-como-livro-do- ano-de-ficcao.htm Acesso em 16 set.2016 TEXTO II Foi um “erro”, “uma certa bobeada”. São essas as palavras que o curador do Prêmio Jabuti, José Luiz Goldfarb, usa ao se lembrar da polêmica em que o prêmio literário esteve envolvido no ano passado. Responsável pelo cargo desde 1991, Goldfarb fez a avaliação ao G1 nesta quinta-feira (4), dia em que o Jabuti abre inscrições para sua edição 2013, que vão até 15 de junho. Em entrevista por telefone, o curador comentou que os jurados agora só podem dar notas entre 8 e 10 aos livros concorrentes. “Há mais de dez anos vinha sendo assim”, explica Goldfarb. “No ano passado, acho que houve um descuido, uma certa bobeada. Alguém sugeriu que as notas fossem de 0 a 10. Depois, gente percebeu que foi um erro.” Isso, porque houve espaço para que um dos três jurados da categoria romance desse nota mínima para “Infâmia”, de Ana Maria Machado. “Se você deixa de 0 a 10, realmente abre espaço para que algum jurado possa abusar da nota baixa, que foi o ocorrido”, prossegue Goldfarb. “O famoso ‘jurado C’, que depois se revelou o senhor Gurgel [o crítico Rodrigo Gurgel], deu nota muito baixa a algumas obras. E a nota dele acabou tendo valor excessivo. Como são apenas três jurados, se um deles faz isso, desequilibra o resultado do prêmio." A categoria romance foi vencida por “Nihonjin”, livro de estreia de Oscar Nakasato.
  • 11. PODEMOS – Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 11 Goldfarb diz que a volta ao antigo regulamento evita uma situação que ele, como curador, descreve como “desagradável, ter um jurado que está abusando de sua competência”. “Agora, não vai se permitir que um jurado se transforme no fiel da balança.” Fonte: http://g1.globo.com/pop- arte/noticia/2013/04/erro-em-2012-fez-premio- jabuti-voltar-antigo-regulamento-diz-curador.html Acesso em 16 set.2016 a) Explique matematicamente como a votação do Jurado C pode ter sido decisiva no Prêmio Jabuti de 2012. _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ b) Um corpo de jurados irão atribuir notas para 10 livros em uma determinada categoria. Cada jurado pode atribuir 10 notas para 10 critérios diferentes. I. Mostre matematicamente que se a nota for livre entre 0 e 10, um único jurado não idôneo pode levar à eliminação de um livro específico em um grupo de 5 jurados onde todos os outros costumam atribuir notas de 8 a 10. Resposta: Suponha que os jurados A, B, C e D atribuam notas 8 para 9 livros e notas 10 para um 10º livro, com isso, os 9 primeiros livros possuem 320 pontos cada e o 10º livro possui 400 pontos. O jurado E atribui 0 pontos para o 10º livro e 100 pontos para os demais, o que leva à inequívoca derrota do 10º livro (que terá 400 pontos contra 420 dos demais livros). II. Mostre que se os jurados A, B, C e D atribuírem notas de 7 a 10, o jurado E sozinho não consegue derrotar o 10º livro. _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ III. Mostre que caso houvessem apenas 4 jurados, em circunstâncias idênticas (notas de 8 a 10), não seria possível um dos jurados derrotar sozinho um dos livros. _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ IV. Para um avaliador sozinho não possa derrubar um livro específico, a nota mínima, para o caso de 5 jurados pode ser de ____. _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ V. Para que um avaliador sozinho não possa derrubar um livro específico, a nota mínima para o caso de 3 jurados bastaria ser ____. _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ DICAS DE LEITURAS: STEFFENON, Rogério Ricardo; JABUINSKI, Antônio César. A Matemática da Escolha Social: Eleições Majoritárias e Divisões Proporcionais. 60 páginas. Disponível em: <http://www.bienasbm.ufba.br/M48.pdf> Acesso em 15 set.2016.
  • 12. PODEMOS – Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães 35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT 12