1) O documento apresenta 33 exercícios sobre polinômios, incluindo determinar o resto e quociente de divisões polinomiais, identificar expressões polinomiais, e relacionar propriedades e operações com polinômios.

1. 1 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br
Exercícios de Matemática
Polinômios
1) (ITA-1977) Se P(x) é um polinômio do 5º grau que
satisfaz as condições 1 = P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) e
P(6) = 0, então temos:
a) P(0) = 4
b) P(0) = 3
c) P(0) = 9
d) P(0) = 2
e) N.D.A.
2) (UFC-2002) Seja P(x) um polinômio de grau n  1, com
coeficientes reais. Sabendo que P(3 + i ) = 2 - 4i, onde i2
= -
1, calcule P(3 - i ).
3) (ITA-2005) No desenvolvimento de (ax2
- 2bx + c + 1)5
obtém-se um polinômio p(x) cujos coeficientes somam 32.
Se 0 e - 1 são raízes de p(x), então a soma a + b + c é igual
a
a) -
2
1
b) -
4
1
c)
2
1
d) 1
e)
2
3
4) (Unicamp-1994) Determine o quociente e o resto da
divisão de x100
+ x + 1 por x2
- 1.
5) (UNICAMP-2009) Seja f(x) = anxn
+ an-1xn-1
+ ...+ a1x + a0
um polinômio de grau n tal que an ≠ 0 e aj
IR para
qualquer j entre 0 e n. Seja g(x) = nanxn-1
+ (n - 1)an-1xn-2
+...+ 2a2x + a1 o polinômio de grau n - 1 em que os
coeficientes a1,a2,...,an são os mesmos empregados na
definição de f(x).
a) Supondo que n = 2, mostre que g







2
h
x
=
h
xfhxf )()( 
,para todo x, hIR, h ≠ 0.
b) Supondo que n = 3 e que a3 = 1, determine a expressão
do polinômio f(x), sabendo que f(1) = g(1) = f(-1) = 0.
6) (UFSCar-2009) Em relação a P(x), um polinômio de
terceiro grau, sabe-se que P(-1) = 2, P(0) = 1, P(1) = 2 e
P(2) = 7.
a) Determine a equação reduzida da reta que passa pelo
ponto em que o gráfico da função polinomial P(x) cruza o
eixo y, sabendo que essa reta tem coeficiente angular
numericamente igual à soma dos coeficientes de P(x).
b) Determine P(x).
7) (Fuvest-1991) Considere um polinômio não nulo p(x) tal
que (p(x))3
= x2
.p(x) = x.p(x2
) para todo x real.
a) qual é o grau de p(x)?
b) Determine p(x).
8) (Fuvest-1993) Sabendo-se que p(x) é um polinômio, a é
uma constante real e p(x) = x3
- 3x2
+ 2x +
2
x2
a.cosx
 é um
identidade em x, determine:
a) O valor da constante a. Justifique
b) as raízes da equação p(x) = 0.
9) (Fuvest-1985) Um polinômio P(x) = x3
+ ax2
+ bx + c
satisfaz as seguintes condições: P(1) = 0; P(-x) + P(x) = 0,
qualquer que seja x real. Qual o valor de P(2) ?
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
10) (Fuvest-1985) Dado o polinômio complexo p(z) = z2
+
(1+i)2
expresse, na forma a + bi, com a e b reais:
a)






i1
2
p
b) as raízes do polinômio
11) (Fuvest-1981) O polinômio P é tal que P(x) + x.P(2-x) =
x2
+ 3 para todo x real.
a) Determine P(0), P(1) e P(2).
b) Demonstre que o grau de P é 1.
12) (Unifesp-2003) A divisão de um polinômio p(x) por um
polinômio k(x) tem q(x) = x3
+ 3x2
+ 5 como quociente e
r(x) = x2
+ x + 7 como resto. Sabendo-se que o resto da
divisão de k(x) por x é 2, o resto da divisão de p(x) por x é
a) 10.
b) 12.
c) 17.
d) 25.
e) 70.
13) (UFC-2003) O coeficiente de x3
no polinômio p(x) = (x -
1)·(x + 3)5
é:
a) 30
b) 50

2. 2 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br
c) 100
d) 120
e) 180
14) (Vunesp-1999) Considere o polinômio
p(x) = x3
- mx2
+ m2
x - m3
, em que mR. Sabendo-se que
2i é raiz de p (x), determine:
a) os valores que m pode assumir;
b) dentre os valores de m encontrados em (a), o valor de m
tal que o resto da divisão de p(x) por (x  1) seja 5.
15) (UNIUBE-2001) O resto r(x) da divisão de p(x) = x 2001
por q(x) = x2
-1 é igual a
a) x3
b) x
c) -x -1
d) x1999
-1
16) (IBMEC-2001) Seja P(x) um polinômio de coeficientes
reais com P(1 – i) = 2 + 3i. Logo, P(1 + i) é igual a:
a) 1 – i
b) 1 + i
c) 2 + 3i
d) 2 – 3i
e) 13
17) (Fuvest-2002) Dado o polinômio p(x) = x2
.(x – 1) (x2
-
4), o gráfico da função y = p(x – 2) é melhor representado
por:
18) (Fuvest-1998) P(x) é um polinômio de grau  2 e tal que
P(1) = 2 e P(2) = 1. Sejam D(x) = (x 2) (x 1) e Q(x) o
quociente da divisão de P(x) por D(x).
a) Determine o resto da divisão de P(x) por D(x).
b) Sabendo que o termo independente de P(x) é igual a 8,
determine o termo independente de Q(x).
19) (ITA-2002) A divisão de um polinômio f(x) por (x - 1)(x
- 2) tem resto x + 1. Se os restos das divisões de f(x) por x -
1 e x - 2 são, respectivamente, os números a e b, então a2
+
b2
vale:
a) 13
b) 5
c) 2
d)1
e) 0
20) (Fuvest-1996) Seja p(x) um polinômio divisível por
x3. Dividindo p(x) por x1 obtemos quociente q(x) e resto
r=10. O resto da divisão de q(x) por x3 é:
a) 5
b) 3
c) 0
d) 3
e) 5
21) (FUVEST-2009) O polinômio p(x) = x3
+ ax2
+ bx, em
que a e b são números reais, tem restos 2 e 4 quando
dividido por x – 2 e x - 1, respectivamente.
Assim, o valor de a é
a) - 6
b) - 7
c) - 8
d) - 9
e) - 10
22) (UNIFESP-2007) Se
232
 xx
x
=
1x
a
+
2x
b
é
verdadeira para todo x real, x  1, x  2, então o valor de
a.b é
a) – 4.
b) – 3.
c) – 2.
d) 2.
e) 6.
23) (VUNESP-2008) Seja x um número real positivo. O
volume de um paralelepípedo reto-retângulo é dado, em
função de x, pelo polinômio x3
+ 7x2
+ 14x + 8. Se uma

3. 3 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br
aresta do paralelepípedo mede x+1, a área da face
perpendicular a essa aresta pode ser expressa por:
a) x2
– 6x + 8.
b) x2
+ 14x + 8.
c) x2
+ 7x + 8.
d) x2
– 7x + 8.
e) x2
+ 6x + 8.
24) (UFC-2007) Os números reais a, b, c e d são tais que,
para todo x real, tem-se
ax3
+ bx2
+ cx + d = (x2
+ x – 2)(x – 4) – (x + 1)(x2
– 5x +
3).
Desse modo, o valor de b + d é:
a) –2
b) 0
c) 4
d) 6
e) 10
25) (Vunesp-2006) Se a, b, c são números reais tais que ax2
+ b(x + 1)2
+ c(x + 2)2
= (x + 3)2
para todo x real, então o
valor de a - b + c é
a) -5.
b) -1.
c) 1.
d) 3.
e) 7.
26) (Mack-2006)
Considerando o resto r(x) e o quociente Q(x) da divisão
acima, se r(4) = 0, Q(1) vale
ax4
+ 5x2
-ax+4 x2
-4
r(x) Q(x)
a) 1
b) -3
c) -5
d) -4
e) 2
27) (UFPB-2006) Considerando as proposições sobre
polinômios, assinale com V a(s) verdadeira(s) e com F, a(s)
falsa(s).
( )Sejam f (x) e g (x) polinômios não-nulos tais que
f (2) = g (2) = 0. Se r (x) é o resto da divisão de f (x) por
g (x), então r (2) = 0.
( )O polinômio
23)( 3
 xxxf tem uma raiz inteira.
( )Se f (x) e g (x) são polinômios de grau 3, então o grau do
produto f (x)g (x) é 9.
A seqüência correta é:
a) VFF
b) FVF
c) FFV
d) VVF
e) VFV
f) FVV
28) (Vunesp-2006) Considere o polinômio p(x) = x3
+ bx2
+
cx + d, onde b, c e d são constantes reais. A derivada de
p(x) é, por definição, o polinômio p’(x) = 3x2
+ 2bx + c. Se
p’(1) = 0, p’(-1) = 4 e o resto da divisão de p(x) por x - 1 é
2, então o polinômio p(x) é:
a) x3
- x2
+ x + 1.
b) x3
- x2
- x + 3.
c) x3
- x2
- x - 3.
d) x3
- x2
- 2x + 4.
e) x3
- x2
- x + 2.
29) (UFV-2005) Éder e Vando, alunos de 7ª série, brincam
de modificar polinômios com uma Regra de Três Passos
(R3P). No 1º passo, apagam o termo independente; no 2ª
passo, multiplicam cada monômio pelo seu grau; e, no 3º
passo, subtraem 1 no grau de cada monômio. Pela aplicação
da R3P ao polinômio p(x ) = (2x +1)(x -3 ) obtém-se o
polinômio:
a) 4x -5
b) 2x + 3
c) 4x + 5
d) 4x + 3
e) 2x - 5
30) (Mack-2004) Considere o polinômio P(x), do segundo
grau, tal que P(x) - P(x + 1) = x, qualquer que seja x real.
Sabendo que P(0) = 0, assinale, dentre as alternativas, o
melhor esboço gráfico de y = P(x).
a)
b)
c)
d)

4. 4 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br
e)
31) (Fuvest-1992) Sejam R1 e R2 os restos das divisões de
um polinômio P(x) por x-1 e por x+1, respectivamente.
Nessas condições, se R(x) é o resto da divisão de P(x) por
x2
-1 então R(0) é igual a:
a) R1 - R2
b) 21
21
RR
RR 
c) R1 + R2
d) R1.R2
e) 2
RR 21 
32) (Fuvest-1984) Dividindo-se um polinômio p(x) por (x-
1)2
, obtém-se um resto que, dividido por (x-1), dá resto 3.
Ache p(1).
33) (Fuvest-1981) O grau dos polinômios f, g e h é 3. O
número natural n pode ser o grau do polinômio não nulo
f(g+h) se e somente se:
a) n = 6
b) n = 9
c) 0  n  6
d) 3  n  9
e) 3  n  6
34) (Mack-2005) Um polinômio p(x) tem resto A, quando
dividido por (x - A), e resto B, quando dividido por (x - B),
sendo A e B números reais. Se o polinômio p(x) é divisível
por (x - A).(x - B), então:
a) A = B = 0
b) A = B = 1
c) A = 1 e B = -1
d) A = 0 e B = 1
e) A = 1 e B = 0
35) (PUCCamp-1998) Se os graus dos polinômios f, g, h
são, respectivamente, 4, 3 e 2, então o grau do polinômio:
a) g2
é 9
b) f.g é 7
c) f + h é 6
d) g  h é 1
e) 3. f é 12
36) (UFPA-1998) Considere o polinômio P(x) = x3
+ 2x2
+
mx + n, com m, n  R. Sabendo-se que P(x) + 2 é divisível
por x + 2 e P(x)2 é divisível por x2, determine os
valores de m e n.
37) (Vunesp-1995) Se m é raiz do polinômio real p(x) = x6
 (m+1)x5
+ 32, determine o resto da divisão de p(x) por
x1.
38) (Unitau-1995) Sabe-se que 1, 2 e 3 são raízes de um
polinômio do terceiro grau P(x) e que P(0) = 1. logo, P(10)
vale:
a) 48.
b) 24.
c) -84.
d) 104.
e) 34.
39) (UEL-1996) O polinômio p tem grau 4n+2 e o polinômio
q tem grau 3n1, sendo n inteiro e positivo. O grau do
polinômio p.q é sempre:
a) igual ao máximo divisor comum entre 4n+2 e 3n1.
b) igual a 7n+1.
c) inferior a 7n+1.
d) igual a 12n2
+2n+2.
e) inferior a 12n2
+2n+2.
40) (Mack-1997) O polinômio P(x) = 3x3
+ax2
+bx+c é
divisível por x2
3x+2 e por x2
2x+1. Então a soma dos
números reais a, b e c é:
a) 2
b) -2
c) 3
d) -3
e) zero
41) (Mack-1997) O resto da divisão de um polinômio de
P(x) por (x k) é R. Se o resto da divisão de P(x) + R/3 por
(x k) é 24, então R vale:
a) 14
b) 16
c) 18
d) 20
e) 22
42) (Mack-1996) O resto da divisão de um polinômio P(x)
por 2x1 é 4; deste modo, o resto da divisão de (x2
x).P(x)
por 2x1 é:
a) -2
b) -
2
1

5. 5 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br
c)
2
1
d) 2
e) 4
43) (ITA-1995) A divisão de um polinômio P(x) por x2
-x
resulta no quociente 6x2
+5x+3 e resto 7x. O resto da
divisão de P(x) por 2x+1 é igual a:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
44) (FGV-1995) Sabe-se que o polinômio f = x4
-x3
-3x2
+x+2
é divisível por x2
-1. Um outro divisor de f é o polinômio:
a) x2
- 4
b) x2
+ 1
c) (x + 1)2
d) (x - 2)3
e) (x - 1)2
45) (FEI-1996) A soma de dois polinômios P(x) + Q(x) é um
polinômio de grau 6, e a diferença P(x)-Q(x) é um
polinômio de grau 4. É válido afirmar-se que:
a) a diferença Q(x) - P(x) tem grau 6.
b) P(x) e Q(x) têm o mesmo grau.
c) P(x) tem grau 5.
d) Q(x) tem grau 4.
e) P(x) tem grau 4.
46) (FEI-1994) Se na divisão do polinômio P(x) = x3
+ 5x -
4 pelo polinômio Q(x) obtém-se um quociente x e um resto
R(x) que é divisível por x-1, então R(x) vale:
a) (x -1)
b) 2(x -1)
c) 3(x -1)
d) 4(x -1)
e) 5(x -1)
47) (UFC-2004) Se a expressão
12x
b
12x
a
14x
52x
2 





,onde a e b são constantes, é verdadeira para todo número
real x   2
1
, então o valor de a+b é:
a) -2
b) -1
c) 1
d) 2
e) 3
48) (Mack-1998) Considerando as divisões de polinômios
dados, podemos afirmar que o resto da divisão de P(x) por
x2
- 8 x + 12 é:
P(x) x - 2
4 Q(x)
Q(x) x - 6
1 Q1(x)
a) 2 x + 2
b) 2 x + 1
c) x + 2
d) 3 x - 2
e) x + 1
49) (UEL-1994) O polinômio x3
 x2
 14x + 24 é divisível
por
a) x1 e x+3
b) x2 e x+5
c) x2 e x+4
d) x3 e x+2
e) x+5 e x3
50) (Fatec-1995) Os restos da divisão de um polinômio p
por (x1) e por (x+2) são respectivamente, 1 e 23. O resto
da divisão de p por (x1)(x+2) é:
a) -23
b) -22x
c) x-2
d) 3x+1
e) 8x-7
51) (Cesgranrio-1994) O resto da divisão do polinômio
P(x)=(x2
+1)2
pelo polinômio D(x)=(x-1)2
é igual a:
a) 2
b) 4
c) 2x-1
d) 4x-2
e) 8x-4
52) (FGV-2004) a) Na figura a seguir, ABCD é um
retângulo e AMCN é um losango.
Determine a medida do segmento NB, sabendo que AB =
2AD = 20cm.
b) Considere dois polinômios, f(x) e g(x), tais que o grau de
f(x) é n + 2 e o grau de g(x) é n - 1. Sejam q(x) e r(x) (r(x)
0), respectivamente, o quociente e o resto da divisão de f(x)

6. 6 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br
por g(x). O que se pode afirmar a respeito dos graus dos
polinômios q(x) e r(x)?
53) (Fatec-2002) O polinômio p = x3
+ 2
a
x2
- 7x - 2
a
, a 
R, é divisível por (x - 2).
Se o polinômio q = 2ax3
+ 3ax2
+ bx + 1 é um cubo
perfeito, então o valor de b é
a) 6
b) 4
c) 3
d) 2
e) 1
54) (PUC-PR-2003) Dado o polinômio x4
+ x3
- mx2
- nx +
2, determinar m e n para que o mesmo seja divisível por x2
- x - 2. A soma m + n é igual a:
a) 6
b) 7
c) 10
d) 9
e) 8
55) (CPCAR-2002) O resto da divisão do polinômio
1xx2x2x)x(p 234
 por x + 1 é um número
a) ímpar menor que 5
b) par menor que 6
c) primo maior que 5
d) primo menor que 7
56) (UEL-2002) Qual é o resto da divisão de xx)x(p 110

pelo polinômio xx)x(q 2

?
a) - 2x
b) - 2
c) x
d) - x
e) 0
57) (Vunesp-2000) Ao dividirmos um polinômio p(x) por (x
- c), obtemos quociente q(x) = 3x3
- 2x2
+ x - 1 e resto p(c)
= 3. Sabendo-se que p(1) = 2, determine
a) o valor de c;
b) o polinômio p(x).
58) (Mack-2002) Se o polinômio p(x) = x5
+ 4ax4
+ 3x3
+ a3
, a  IR , é divisível por x - a , então 1a2
 é:
a) 10
b) 1
c) 2
d) 2
e) 26
59) (PUC-RJ-2002) Dado que as raízes do polinômio p(x) =
x3
+ ax2
+ bx + c são 0,1 e -1, calcule p(2).
60) (FGV-2002) Se o polinômio P(x) = x3
- kx2
+ 6x - 1 for
divisível por (x - 1), ele também será divisível por:
a) x2
- 5x + 1
b) x2
- 5x + 3
c) x2
+ 5x + 1
d) x2
+ 5x + 3
e) x2
- 5x + 5
61) (UFC-2002) O polinômio P(x) = 2x3
- x2
+ ax + b, em
que a e b são números reais, possui o número complexo i
como uma de suas raízes. Então o produto ab é igual a:
a) -2
b) -1
c) 0
d) 1
e) 2
62) (Fatec-1996) Se f é uma função de IR em IR definida
por f(x)= 3x
3x
2


, então a expressão 1x
f(1)f(x)


, para x1, é
equivalente a:
a) 3)2(x
3x
2


b) 3)2(x
3x
2


c) 3)2(x
1x
2


d) 3)2(x
1x
2


e) x
1
63) (Vunesp-2002) Considere a função polinomial de 3º
grau, p(x) = x3
– 3x + 1.
a) Calcule p(–2), p(0), p(1), p(2) e esboce o gráfico.
b) Com base no item (a), responda, justificando sua
resposta, quantas raízes reais e quantas raízes complexas
(não reais) tem p(x).

7. 7 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br
64) (UFPR-1999) Considerando que os polinômios desta
questão têm coeficientes reais, é correto afirmar:
(01) Se o resto da divisão de um polinômio p(x) por
x1 é 5 e por x+1 é 3, então 3p(1) = 5p(1).
(02) Se p(x) e q(x) são polinômios de grau n, então o
polinômio p(x) + q(x) sempre tem grau n.
(04) Se p(x) = (x2)5
, então a soma das raízes da
equação p(x) = 0 é igual a 10.
(08) Se os números complexos 1+i e 2+i são raízes da
equação polinomial p(x) = 0, então é possível que o grau da
equação seja igual a 2.
(16) Se a equação polinomial p(x) = 0 não tem raízes
reais, então o gráfico de p(x), em um sistema de
coordenadas cartesianas ortogonais, não intercepta o eixo
das abscissas.
Marque como resposta a soma dos itens corretos.
65) (Fuvest-1999) Dividindo-se o polinômio p(x) por 2x2

3x + 1, obtêm-se quociente 3x2
+ 1 e resto x + 2. Nessas
condições, o resto da divisão de p(x) por x 1 é:
a) 2
b) 1
c) 0
d) -1
e) -2
66) (Fuvest-1999) O gráfico:
Pode representar a função f(x)=
a) x (x – 1)
b) x2
(x2
– 1)
c) x3
(x – 1)
d) x (x2
– 1)
e) x2
(x – 1)

8. 8 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br
Gabarito
1) Alternativa: D
Note que, se todos os restos das divisões por (x-1), (x-2),
(x-3), (x-4) e (x-5) são 1, então P(x) -1 é divisível por (x-
1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5).
Assim, P(x) - 1 = a(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5). Como P(6) =
0, temos -1 = a.5.4.3.2.1, ou seja, temos a = - 120
1
.
Daí, P(x) = - 120
1
(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) + 1 e portanto,
fazendo x = 0, temos P(0) = 2.
2) P(3-i) = 2+4i
Resolução: Seja P(x) = anxn
+ a-n-1xn-1
+ ... + a1x + ao, an  0.
Temos:
o1
1n
1n
n
n a)3(a...)3(a)3(a)3(P  
 iiii
o1
1n
1n
n
n a)3(a...)3(a)3(a  
 iii
o1
1n
1n
n
n a)3(a...)3(a)3(a 

 iii
o1
1n
1n
n
n a)3(a...)3(a)3(a  
 iii
)3(P i
i42 
i42 .
3) Alternativa: A
(supondo-se coeficientes reais para o polinômio. Caso
contrário, não há solução correta.)
4) a) R(x) = x + 2
b) Q(x) = x98
+ x96
+ x94
+ ... + x2
+ 1
5) a) Para n = 2, temos f(x) = a2x2
+ a1x + a0 e g(x) = 2a2x +
a1.
Assim, h
xfhxf )()( 
=
h
axaxaahxahxa )01
2
201
2
2 ()()( 
=
h
axaxaahaxahaxhaxa 01
2
2011
2
22
2
2 2 
= h
ahaxah )2.( 122 
=2a2







2
h
x
+a1
= g







2
h
x
b) f(x) = x3
-x2
-x + 1
6) a) y = 2x + 1
b) P(x) =
3
1
x3
+ x2
–
3
1
x + 1
7) Se (p(x))3
= x2
.p(x) então ou p(x) = 0 ou p(x)2
= x2
.
Como p(x) é não nulo, então p(x)2
= x2
 p(x) = x ou p(x)
= -x. E ambos também verificam a condição (p(x))3
=
x.p(x2
).
a) grau = 1
b) p(x) = x ou p(x) = -x
8) a) a = 0, considerando-se que os monômios precisam ser
da forma .xn
com  real e n inteiro, para qualquer x.
b) raízes: 0, 1 e 2
9) Alternativa: E
10) a) 4i
b) -1+i e 1-i
11) a) P(0) = 3, P(1) = 2 e P(2) = 1.
b) Como o grau de x2
+ 3 é 2, e o grau de x.P(2-x) > grau de
P(x), então o grau de x.P(2-x) é 2. Como o grau de x é 1, o
grau de P(2-x) é 2-1 = 1. Assim, o grau de P(x) é 1.
12) Alternativa: C
13) Alternativa: E
(x+3)5
= x5
+ 5.x4
.3 +10.x3
.32
+10.x2
.33
+ 5.x.34
+35
= x5
+
15.x4
+90.x3
.+270.x2
+ 405x.+ 243. Daí o termo de grau 3
em (x-1)(x+3)5
será 270x3
- 90x3
= 180x3
. Portanto, o
coeficiente do termo de grau 3 deste polinômio é 180.
14) a) m=2 ou m=-2
b) m=2
15) Alternativa: B
16) Alternativa: D
17) Alternativa: A
Se p(x) = x2
.(x – 1) (x2
– 4) então p’(x) = p(x–2) = (x–
2)2
.(x-2 - 1) ((x-2)2
– 4) = (x–2)2
.(x–3).(x2
–4x) = x(x–

9. 9 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br
2)2
.(x–3).(x–4), ou seja, p’(x) têm raízes em x=0, x=2 (raiz
dupla), x=3 e x=4.
As únicas alternativas possíveis são (a) e (b). Como p’(1) =
1.(–1)2
.(1–3).(1–4) = 6 então o gráfico de p’(x) é positivo
para 0<x<2 e a alternativa correta é a (a)
18) a) R(x) = - x + 3
b)
2
5
19) Alternativa: A
20) Alternativa: A
21) Alternativa: A
22) Alternativa: C
23) Alternativa: E
24) Alternativa: D
25) Alternativa: E
26) Alternativa: C
27) Alternativa: A
28) Alternativa: B
29) Alternativa: A
30) Alternativa: B
31) Alternativa: E
32) p(1) = 3
33) Alternativa: E
34) Alternativa: A
35) Alternativa: B
36) m = –3 e n = –8
37) Resto = 30
38) Alternativa: C
39) Alternativa: B
40) Alternativa: D
41) Alternativa: C
42) Sem alternativa. O resto = –1
43) Alternativa: E
44) Alternativa: C
45) Alternativa: B
46) Alternativa: D
47) Alternativa: C
48) Alternativa: C
49) Alternativa: C
50) Alternativa: E
51) Alternativa: E
52) a) BN =
cm
2
415
b) gr(q) = 3 e 0 gr(r) < n - 1
53) Alternativa: A
54) Alternativa: E
55) Alternativa: C
56) Alternativa: B
57) a) c = 2
b) p(x) = 3x4
-8x3
+ 5x2
+ 3x + 5
58) Alternativa: B
59) p(2) = 6
60) Alternativa: A
61) Alternativa: A
62) Alternativa: A
63) a) p(x) = x3
– 3x + 1
p(–2) = – 8 + 6 + 1  p(–2) = – 1
p(0) = 0 – 0 + 1  p(0) = 1
p(1) = 1 – 3 + 1  p(1) = – 1
p(2) = 8 – 6 + 1  p(2) = 3

10. 10 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br
b) Como p(x) é do 3o
grau, ele tem 3 raízes complexas. Pelo
gráfico de p(x) percebemos que todas as 3 são reais (3
“cortes” no eixo x), portanto nenhuma é imaginária.
64) V – F – V – F – V = 1+4+16 = 21
65) Alternativa: B
66) Alternativa: D