Apostila b9 - reduzida

PODEMOS – B.9 – Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães
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1
B.9.1 – Função do 2º Grau e
Complementos sobre Funções
Função do 2º Grau
1)(COC) Uma embalagem para presentes está sendo
desenvolvida para uma loja de perfumes. A caixa terá
uma faixa decorativa de papelão. Veja o esboço do
projeto com as medidas indicadas:
Repara que uma dimensão tem medida fixa (10 cm). As
outras duas dimensões são variáveis, porém de mesma
medida 𝑥. Além disso, a faixa decorativa deve estar
sempre 3 cm menor de cada um dos lados.
Sobre essa situação, responda ao que se pede.
a)Escreva uma fórmula que de a medida da área y da
superfície externa da faixa decorativa em função de x.
b)O resultado obtido no item anterior é uma função
polinomial do 2º grau? Explique.
c)Usando a fórmula obtida no item a, determine a área y
da superfície externa para x=30 cm.
d)Nessa caixa, considerando a existência da faixa com
as características dadas, x deve ser maior que qual
medida inteira em centímetros?
2)(COC)O número de diagonais d de um polígono
convexo é dado em função do número de lados n desse
polígono por meio da fórmula:
𝑑 =
𝑛(𝑛 − 3)
2
Considere esse fórmula, responda ao que se pede.
a)Efetue a multiplicação indicada ao 2º membro dessa
igualdade e verifique se é uma função polinomial do 2º
grau. Justifique.
b)Empregando a função obtida no item anterior,
determine o número de diagonais d para n=12.
c)E possível que um polígono convexo tenha 100
diagonais? Justifique.
3)(COC) Verifique quais funções a seguir são
consideradas funções polinomiais do 2º grau. Calcule as
funções que são desse tipo.
4)(COC)Considere o seguinte triangulo com as medidas
dadas.
Chamando de y a área dessa figura, escreva uma
função polinomial do 2º grau que relaciona y com x.
Depois, identifique os coeficientes a, b e c.
5)(COC)Dada a função 𝑓(𝑥) = −2𝑥2
+ 3𝑥 − 7,
determine o valor de 𝑓(−2) + 𝑓(3)
6)(COC)Escreva uma função quadrática que forneça a
medida y da área pintada em função de x na figura.
Depois, identifique os coeficientes a, b e c.
7)(COC) Descubra os valores de x que fazem com que
𝑓(𝑥) = 0 na função quadrática a seguir:
𝑓(𝑥) = 𝑥2
− 4𝑥 − 21
8)(COC)Identifique os coeficientes a, b e c nas funções
quadráticas a seguir.
a)𝑦 = 𝑥2
− 3𝑥 − 2 b)𝑦 = −𝑥2
− 17
c)𝑦 = −
𝑥2
3
d)𝑦 =
𝑥2
5
+
𝑥
3
e)𝑦 = −0,1𝑥2
− √7

2
9)(COC)Escreva cada função a seguir para a forma
geral de uma função polinomial do 2º grau: 𝑦 = 𝑎𝑥2
+
𝑏𝑥 + 𝑐.
a)𝑦 = (𝑥 + 3)(𝑥 − 1)
b)𝑦 = −2𝑥 + 3𝑥(𝑥 − 6) + 22
10)(COC)Dada a função 𝑓(𝑥) = −3𝑥2
+ 20, o valor de
𝑓(√5) será positivo, negativo ou nulo?
11)(COC)Considere a seguinte função quadrática
𝑦 = 𝑥2
− 2𝑥 + 1
Complete a tabela a seguir corretamente tomando como
base essa função. Depois, assinale no plano cartesiano
os pontos obtidos e trace o gráfico.
12)(COC)Uma pedra foi arremessada para o alto e
descreveu uma trajetória curva definida pela função 𝑦 =
−2𝑥2
+ 8𝑥.
Com base nessa informação, complete totalmente a
tabela a seguir e, depois responda ao que se pede.
a)Assinale no plano cartesiano, os pontos obtidos na
tabela. Depois, trace o gráfico considerando apenas os
valores de 𝑥 variando de 0 a 4.
b)Qual foi a altura máxima atingida pela pedra?
c)Considerando que o solo era todo plano, qual foi a
distancia máxima alcançada pela pedra no instante em
que tocou o solo após ser arremessada?
13)(COC)Considere que y seja o quadrado de um valor
x, ou seja, 𝑦 = 𝑥2
. Sobre essa situação, responda ao
que se pede.
a)Complete os valores d y na tabela para alguns valores
inteiros de x.
b)Com base nos valores obtidos, trace o gráfico da
função 𝑦 = 𝑥2
c)Sendo 𝑥 um elemento do domínio dessa função, com
𝑥 ∈ ℝ, como se define o conjunto imagem dessa
função?
d)Observando o traçado da parábola, é possível
identificar um eixo de simetria. Determine-o.
e)Qual a razão para que o gráfico seja definido apenas
na parte positiva do eixo y?
14)(COC)Considere a função 𝑓(𝑥) = −𝑥2
+ 2𝑥 + 3.
Sobre essa função, determine:
a)as coordenadas dos pontos de cruzamento do gráfico
dessa função com o eixo x.
b)a coordenada do ponto de cruzamento do gráfico
dessa função com o eixo y.
15)(COC)A partir do gráfico da função 𝑦 = 𝑥2
construa o
gráfico da função 𝑦 = 𝑥2
+ 1.
16)(COC)Represente, em um mesmo plano cartesiano,
os gráficos das funções 𝑦 =
𝑥2
2
e 𝑦 = −
𝑥2
2
.
17)(COC)Construa o gráfico de 𝑓(𝑥) = 𝑥2
− 𝑥 − 2.
18)(COC)Na construção do gráfico de uma função
quadrática, qual é o nome a curva formada?
Concavidade da Parábola
1)(COC)No estudo e construção do gráfico de uma
função polinomial do 2º grau, é possível que a parábola
apresente concavidade voltada para cima ou para baixo.
Assim, considerando a função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐,
complete corretamente a frase:
“Considere uma função quadrática, caso o coeficiente
dominante ________ seja ________, a concavidade da
parábola é voltada para cima. Mas, se o coeficiente

3
dominante ________ apresentar um valor ________, a
concavidade é voltada para baixo.”
2)(COC)Circule as funções quadráticas que
apresentam, em sua representação gráfica, uma
concavidade volta para cima.
3)(COC)Considere a seguinte função quadrática em 𝑥:
𝑓(𝑥) = (2𝑚 + 1)𝑥2
+ 5𝑥 − 17
Determine quais são os valores reais de m que fazem
com que o gráfico dessa função quadrática apresente
concavidade voltada para baixo.
4)(COC)Identifique em cada função a seguir, o
coeficiente dominante a e escreva se o gráfico
apresenta a concavidade para baixo ou para cima.
a)𝑦 = 𝑥2
+ 2𝑥 − 5 b)𝑦 = −2𝑥2
− 3𝑥
c)𝑦 = 1 − √5𝑥2
+ 4𝑥 d)𝑓(𝑥) = −
𝑥2
3
− 𝑥
e)𝑓(𝑥) = −8 +
5𝑥2
7
5)(COC)Determine o valor de 𝑝 para que a função
quadrática 𝑓(𝑥) = (3𝑝 − 1)𝑥2
+ 4𝑥 + 3 apresente
concavidade voltada para cima.
6)(Apoema)O professor de Matemática desenhou na
lousa o gráfico de algumas funções quadráticas que
passavam pela origem do sistema de coordenadas
cartesianas, conforme esboço a seguir:
Note que cada curva tem indicada a função quadrática
correspondente e que a linha tracejada indica a função
quadrática definida por 𝑦 = 𝑥2
.
a)Qual dessas funções tem a maior imagem para 𝑥 = 7?
b)E qual tem a menor imagem para 𝑥 = 7?
Zero de uma função quadrática
1)(COC)Verifique, para cada função, se a parábola corta
o eixo x em dois pontos distintos, corta o eixo x em um
único ponto, ou se não corta o eixo x.
a)𝑦 = 𝑥2
+ 3𝑥 − 4 b)𝑦 = −𝑥2
− 6𝑥 − 9
c)𝑦 = 𝑥2
− 𝑥 + 3
2)(COC)Determine para cada função as coordenas dos
pontos que a parábola corta o eixo x.
a)𝑓(𝑥) = 𝑥2
− 5𝑥 + 6 b)𝑓(𝑥) = −3𝑥2
− 𝑥 + 2
c)𝑓(𝑥) = 𝑥2
− 5𝑥
3)(COC)Considerando uma função quadrática do tipo
𝑦 = 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐, trace, para cada caso, um esboço do
gráfico de acordo com o valor do discriminante e do
coeficiente dominante.
a)Δ > 0 e 𝑎 > 0 b) Δ > 0 e 𝑎 < 0
c)Δ = 0 e 𝑎 > 0 d)Δ = 0 e 𝑎 < 0
e)Δ < 0 e 𝑎 > 0 f) Δ < 0 e 𝑎 < 0
4)(COC)Considere a função quadrática dada por 𝑓(𝑥) =
4𝑥2
− 5𝑥 + (5𝑚 + 7). Determine o valor de m para que a
representação gráfica dessa função seja uma parábola
que corte o eixo x em dois pontos distintos.
Vértice da parábola
1)(COC)Igor precisava traçar o gráfico da função
quadrática 𝑓(𝑥) = 𝑥2
− 4𝑥 + 3. No entanto, estava em
dúvida sobre quais valores escolher para 𝑥 a fim de
compor uma tabela que fornecesse pontos adequados
para tal construção. Verificou então que determinar o
vértice V da parábola seria algo interessante, pois, a
partir desse ponto, ele escolheria outros quatro valores,
sendo dois menores e dois maiores que o 𝑥 do vértice.
Faça como Igor: identifique a coordenada do vértice V e,
a partir dessa coordenada, atribua outros quatro valores
para x. Finalmente, faça um esboço do gráfico
2)(COC)Dada uma função quadrática da forma 𝑓(𝑥) =
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐, o vértice da parábola que representa
geometricamente essa função é dado pela coordenada
𝑉 (−
𝑏
2𝑎
, −
Δ
4𝑎
). No entanto ao calcular essa coordenada,
um aluno do 9º ano lembrandoo-se apenas de que 𝑥 𝑣 =
−
𝑏
2𝑎
, esquecendo-se da expressão que fornece o valor
de 𝑦𝑣. Partindo do valor conhecido de 𝑥 𝑣, explique como
é possível determinar o valor de 𝑦𝑣 com base na função
dada.
3)(COC)Considere as funções quadráticas 𝑓(𝑥) = 𝑥2
+
2𝑥 + 1 e 𝑔(𝑥) = −𝑥2
− 2𝑥 − 1. Sobre essas funções,
responda o que se pede:
a)Determine a coordenada no vértice de cada função.
b)No caderno, faça os cálculos necessários e uma
tabela para cada função, tomando como referência a
coordenada do vértice.
c)O que se pode afirmar sobre a comparação dos dois
gráficos traçados?
4)(COC)Determine o valor de 𝑚 na função quadrática
em 𝑥, 𝑦 = 5𝑥2
− 2𝑥 + 5𝑚, para que o vértice da parábola
seja um ponto pertencente ao eixo 𝑥.
5)(COC)Mostre que uma função da forma 𝑦 = 𝑎𝑥2
, com
𝑥 real não nulo, descreve uma parábola que apresenta
o vértice 𝑉 sempre na origem, isto é, 𝑉 = (0; 0). Depois
como exemplo, construa o gráfico da função 𝑦 = 0,5𝑥2
.
Para isso, use régua e adote a medida de 1 cm para
cada unidade dos eixos.
Ponto de máximo e de mínimo da
parábola
1)(COC)Considere um esguicho de água fixado no solo.
Suponha que a trajetória percorrida pela água seja
exatamente de uma parábola obtida por meio da função
𝑦 = −0,5𝑥2
+ 4𝑥. A trajetória percorrida pela água é
ilustrada neste esboço:

4
O ponto A, que indica o ponto de máximo da parábola,
representa a altura, em metros, atingida pela água, e o
ponto B, um dos zeros da função, indica a distância, em
metros, atingida pelo esguicho de água.
Sobre essa situação, responda ao que se pede:
a)Qual é a coordenada do ponto de máximo? Qual é a
altura máxima atingida pela água?
b)Qual é a coordenada do ponto B? Qual é a distância
atingida pelo esguicho de água?
2)(COC)Dada uma função quadrática, como é possível,
sem efetuar cálculo algum, verificar se o gráfico definido
por essa função tem ponto de máximo ou ponto de
mínimo?
3)(COC)Determine o valor de 𝑚 na função cuja variável
é 𝑥 para que o valor máximo seja 5.
𝑦 = −3𝑥2
− 5𝑥 + 4𝑚
4)(COC)Roberto propôs um desafio para sua amiga
Paula: ela deveria escolher um número real qualquer e,
depois, multiplica-lo pela diferença entre 1 e o número
pensado.
Assim, se Paula pensar em um número 𝑥, ela deverá
multiplicar esse número por (1 − 𝑥).
Chamando de 𝑦 o produto obtido por meio dessa
multiplicação, qual será o maior produto obtido? Em qual
número real devemos pensar para chegar a esse maior
produto?
Para responder a essas questões, complete as frases
apresentadas em cada item e esboce o gráfico.
a)A função quadrática que representa o problema é
dada por _____
b)O coeficiente dominante é igual a _____. Logo, a
concavidade da parábola é voltada para _________.
Com isso, a parábola apresenta um ponto de
__________.
c)O vértice da parábola tem coordenada
_________________.
d)Obtendo outros pontos para a parábola, além do
vértice, esboce o gráfico.
e)Logo, o maior produto obtido nessa multiplicação é
______ e ocorre quando 𝑥 =___________.
5)(COC)Considere um dardo arremessado de tal forma
que descreva uma trajetória dada pela função 𝑦 = −
𝑥2
20
+
3𝑥
2
, em que o chão representa o eixo horizontal, 𝑥 e 𝑦 são
dados em metros, sendo 𝑥 a distancia alcançada no
lançamento e 𝑦 a altura atingida pelo dardo.
Nessas condições, qual será a altura atingida pelo
dardo? E qual distancia alcançará?
6)(COC)Para cada função dada, verifique se ela
apresenta um ponto de máximo ou um ponto de mínimo.
Justifique.
a)𝑦 = 𝑥2
− 2𝑥 − 3 b)𝑦 = −2𝑥2
c)𝑦 = −𝑥 − 2 − 𝑥2
d)𝑦 = √5𝑥2
+ 2𝑥 − 1
e)𝑦 = −
𝑥2
10
+ 9
7)(COC)Para que a função 𝑦 = 2𝑥2
+ 4𝑥 + 𝑘, cuja
variável é 𝑥, apresente um ponto de mínimo igual a −10,
qual deve ser o valor de 𝑘?
8)(COC)Em cada função, calcule o valor de 𝑥 para que
ela apresente um valor mínimo.
a)𝑦 = 2𝑥2
− 16𝑥 + 5 b)𝑦 = 3𝑥2
+ 12𝑥 − 7
Aplicação e revisão de Função
polinomial do 2º grau
1)(COC)Uma tela será usada para cercar uma região
retangular. Em um dos lados dessa região já existe um
muro. Veja ilustração:
São 6 metros de tela que deverão cercar a maior área
possível. Por meio da visão superior, temos a seguinte
representação:
Sobre essa situação, responda ao que se pede:
a)Escreva uma equação que relacione 𝑥 e 𝑦 ao
perímetro e outra que relacione 𝑥 e 𝑦 à área 𝐴.
b)Com base nas equações obtidas no item anterior,
escreva uma função quadrática que forneça A em
função de 𝑥.
c)Determine o vértice e os zeros da função e faça um
esboço desse gráfico. Depois analisando-o, determine
qual é a maior área que se pode formar e quais são as
medidas de 𝑥 e 𝑦 dessa área.
2)(COC)Considere o seguinte esboço do gráfico de uma
função quadrática.
E possível que ele seja o gráfico da função:
a)𝑦 = 𝑥2
− 2𝑥 + 3 b)𝑦 = −𝑥2
− 2𝑥 + 3
c)𝑦 = −𝑥2
− 3𝑥 + 2 d)𝑦 = 𝑥2
− 3𝑥 + 2
e)𝑦 = 𝑥2
+ 2𝑥 + 3
3)(COC)De um quadrado com 10 cm de lado, pretende-
se recortar um triângulo isósceles de tal forma que sua
altura ℎ seja o dobro de sua base 𝑏.

5
Para conseguir um triangulo com a maior área possível,
quais devem ser os valores de 𝑏 e de ℎ? Qual será a
medida da área nesse caso?
4)(COC)Construa, no plano cartesiano a seguir, os
gráficos das funções 𝑦 = 𝑥2
− 2𝑥 + 3 e 𝑦 = −2𝑥2
+ 4. 5)
5)(COC)Em uma companhia de aviação, a receita
arrecadada em determinado voo é dada por 𝑟(𝑥) =
−𝑥2
+ 300𝑥, em que 𝑟(𝑥) é a receita em reais e 𝑥 é o
número de passageiros desse voo.
Com certo número de passageiros presentes nesse voo,
é possível gerar qual receita máxima?
a)22.500 b)24.000 c)26.500
d)28.000 e)29.500
6)(COC)De uma cartolina quadrada com lados de
medidas 50 cm, são recortados dois quadrados, cujos
lados tem medidas 𝑥, e dois triângulos retângulos
isósceles de cateto 𝑥, formando uma máscara, como
mostra a figura abaixo:
A medida da área da máscara 𝐴(𝑥), após a retirada dos
dois quadrados e dos dois triângulos retângulos
isósceles, será de:
a)𝐴(𝑥) = 2500 − 7𝑥2
b)𝐴(𝑥) = 2500 − 6𝑥2
c)𝐴(𝑥) = 2500 − 5𝑥2
d)𝐴(𝑥) = 2500 − 4𝑥2
e)𝐴(𝑥) = 2500 − 3𝑥2
7)(COC)Uma caixa será montada com um quadrado de
papelão de lado medindo 𝑥, mostrado na figura 1. Para
isso, será recortado, de cada um de seus cantos, um
quadrado de lado 3, como mostra a figura 2:
A expressão que fornece a área A da região sombreada
na figura 2, em função de 𝑥, é:
a)𝐴 = 𝑥2
− 9 b)𝐴 = 12 − 𝑥2
c)𝐴 = 𝑥2
− 12 d)𝐴 = 36 − 𝑥2
e)𝐴 = 𝑥2
− 36
8)(COC)Uma bola é lançada para cima, verticalmente, e
a sua altura ℎ(𝑡), em metros, varia em relação ao tempo
𝑡 em segundos, conforme a seguinte função: ℎ(𝑡) =
−𝑡2
+ 10𝑡. O instante em que a bola atinge a altura de
25 m ocorre:
a)0 s após o lançamento.
b)10 s após o lançamento
c)4 s após o lançamento
d)5 s após o lançamento
e)25 s após o lançamento
Inequações do 2º Grau
1)(COC)Um retângulo deverá ser recortado de uma
cartolina para ser utilizado em um trabalho artístico.
Esse retângulo deverá respeitar as seguintes condições:
• O comprimento deve medir 2 cm a mais que a
largura;
• O comprimento e a largura devem ser dados em
medidas inteiras e positivas, em centímetros;
• A área deve ser menor que 63 cm².
Veja um esboço da figura:
De acordo com as informações, quais valores de 𝑥
devem ser considerados?
2)(COC)Dada a função 𝑦 = 𝑥2
, verifique para quais
valores reais de 𝑥 têm-se 𝑦 = 0, 𝑦 > 0 e 𝑦 < 0.
3)(COC)E possível, em ℝ, que 𝑦 < 0 na função
polinomial do 2º grau 𝑦 = 2𝑥2
− 𝑥 + 1? Explique.
4)(COC)Considerando o conjunto dos números reais,
determine o conjunto solução para as inequações do 2º
grau dadas:
a)𝑥2
+ 7𝑥 + 12 > 0 b)−𝑥2
− 9𝑥 ≥ 0
5)(COC)Estude os sinais das funções polinomiais do 2º
grau a seguir, considerando o conjunto dos números
reais.
a)𝑦 = 𝑥2
+ 16𝑥 + 64 b)𝑦 = 𝑥2
+ 3𝑥 + 3
c)𝑦 = −𝑥2
− 5𝑥 − 4 d)𝑦 = −2𝑥2
+ 𝑥
6)(COC)Sabe-se que a função polinomial do 2º grau
dada por 𝑦 = −
2𝑥2
17
+ 0,091𝑥 − 145,9 não apresenta
zeros da função. Com isso, considerando qualquer 𝑥
real, verifique se 𝑦 > 0 ou 𝑦 < 0.
7)(COC)em uma indústria de embalagens, uma caixa
em forma de paralelepípedo tem as seguintes
dimensões:
Quais devem ser os possíveis valores reais de x𝑥 para
que a caixa apresente um volume menor que 90
unidades cúbicas?
8)(COC)Na função 𝑓(𝑥) = −2𝑥2
+ 5𝑥 − 3, quais são os
valores reais de 𝑥 que fazem com que 𝑓(𝑥) > 0?

6
Função Composta
Não vamos colocar exercícios nessa versão da
apostila. Porém, é assunto do módulo.
Função Inversa
Não vamos colocar exercícios nessa versão da
apostila. Porém, é assunto do módulo.
B.9.2 – Demonstrações em Matemática
Noções de Lógica
Valor lógico de uma proposição: Verdadeira ou Falsa.
Princípios Básicos das Proposições:
Princípio da não-contradição: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.
Princípio do terceiro excluído: Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa; não existe um terceiro valor lógico.
Negação de uma proposição:
A negação de uma proposição 𝑝 é dada por ~𝑝.
Conectivos:
E (∧) OU (∨) SE...ENTÃO (→) SE, E SOMENTE SE (↔)
Sentença aberta: não é uma proposição pois depende de informações (variável).
Ex: a)x+5=8 b) Certo rapaz é jogador de futebol
Tabela verdade:
Aplicações:
I – CONJUNÇÃO:
II – DISJUNÇÃO:
III – CONDICIONAL

7
IV - BICONDICIONAL
Implicação lógica – é uma condicional verdadeira.
Equivalência lógica – é uma bicondicional verdadeira
Quantificadores:
I. Quantificador universal: ∀ - para todo ou qualquer que seja
II. Quantificadores existenciais: ∃ - existe pelo menos um; ∃| - existe apenas um.
Negação de uma proposição com quantificador

8
1)(Manoel Paiva) Quais das afirmações a seguir são
proposições? Classificar cada proposição como V ou F:
a)4+2=6 b)2+9>15 c)x+5=6 d)x+y=10
2)(Manoel Paiva) Sendo p:5>3, q:5≠3, escrever a
negação de cada uma dessas sentenças.
3)(Manoel Paiva) Construa a tabela verdade das
proposições compostas:
a)𝑝 ∨ ~𝑝 b) 𝑝 ∧ ~𝑝 c)𝑝 ∨ ~𝑞 d) 𝑝 ∧ ~𝑞
4)(Manoel Paiva) Compare a tabela verdade de ~(𝑝 ∨ 𝑞)
e ~𝑝 ∧ ~𝑞 (Leis de De Morgan)
5)(Manoel Paiva) Qual é a negação de João é alto ou
gordo.
6)(Manoel Paiva) Mostre que as proposições ~(𝑝 ∧ 𝑞) e
~𝑝 ∨ ~𝑞 são equivalentes.
7)(Manoel Paiva) Dada as proposições 𝑝 → 𝑞 com a de
~𝑞 → ~𝑝 (contraposição)
8)(Manoel Paiva) Escreva a contrapositiva de “Se Celso
é pai de Guilherme, então Rita é esposa de Celso.
9)(Manoel Paiva) Sendo ℤ = {… , −3, −2, −1,0,1,2,3, … },
classificar cada uma das afirmações como V ou F:
a)(∀𝑥, 𝑥 ∈ ℤ)(𝑥 − 𝑥 = 0) b)(∀𝑥, 𝑥 ∈ ℤ)(𝑥 − 5 = 7)
c)(∃𝑥, 𝑥 ∈ ℤ)(𝑥 − 5 = 7) d) (∃|𝑥, 𝑥 ∈ ℤ)(𝑥 − 5 = 7)
e) (∃|𝑥, 𝑥 ∈ ℤ)(𝑥2
= 9) f) (∃𝑥, 𝑥 ∈ ℤ)(2𝑥 = 3)
10)(Manoel Paiva) Qual é a negação da proposição
𝑝: (∀𝑥)(𝑥 + 2 = 6)
11)(Manoel Paiva)Escreva a negação da proposição:
𝑝: (∃𝑥)(𝑥 ≤ 5)
12)(Manoel Paiva)Escreva a negação de:
a)Todo brasileiro gosta de futebol
b)Existe mulher alta
13)(Concurso de Copeiro - CORE-SP - Banca INAZ do Pará) Qual das
sentenças abaixo é uma sentença aberta?
a) 5 + 4 = 8. b) O jogo foi bom.
c) Pelé é considerado o rei do futebol no Brasil.
d) Que dia ensolarado. e) 2 + x = 10 para
14)(Concurso para Vários Cargos - Ensino Médio - Prefeitura de
Sarzedo - MG - Banca IBGP - 2018) Sobre os princípios das
proposições, analise as afirmativas a seguir:
I. Princípio da não contradição: “Uma proposição não pode ser, ao
mesmo tempo, falsa e verdadeira."
II. Princípio do terceiro excluído: “Toda proposição ou é verdadeira ou é
falsa. Nunca ocorrendo uma terceira opção."
III. Assim, as informações das proposições possuem valor lógico
totalmente verdadeiro e totalmente falso, podendo ser verdadeira e falsa
ao mesmo tempo.
Está(ão) CORRETA(s) a(s) afirmativa(s).
a) I apenas. b) III apenas. c) I e II apenas. d) I, II e III.
15)(Concurso de Guarda Municipal - Prefeitura de Paraíba do Sul -
RJ - Banca Instituto Pró-Município - 2019) No estudo de raciocínio
lógico tem-se as proposições que podem ser divididas em simples ou
compostas. Analise as duas proposições e marque a alternativa correta
com relação às mesmas.
I. Os cães são felizes;
II. Se fizer sol amanhã, então vamos à praia.
a) As proposições I e II são simples;
b) As proposições I e II são compostas;
c) A proposição I é simples e a preposição II é composta;
d) A proposição I é composta e a preposição II é simples.
16)(Concurso Especialista Técnico - Analista de Sistemas - BNB -
Banca CESPE - 2018) Julgue o item que segue, a respeito de lógica
proposicional.
A sentença “No Livro dos Heróis da Pátria consta o nome de Francisco
José do Nascimento, o Dragão do Mar, por sua atuação como líder
abolicionista no estado do Ceará." é uma proposição simples.
a)Errado b)Certo
17)(Concurso Especialista Técnico - Analista de Sistemas - BNB -
Banca CESPE - 2018) Julgue o item que segue, a respeito de lógica
proposicional.
Julgue o item que segue, a respeito de lógica proposicional.
A sentença “É justo que toda a população do país seja penalizada pelos
erros de seus dirigentes?” é uma proposição lógica composta.
a)Errado b)Certo
18)(Concurso Educador Social - Prefeitura de Ivaí - PR - Banca
Instituto FIP - 2018) Considerando as proposições:
p: Julia fala espanhol.
q: Fábio fala japonês.
A tradução da proposição “Ou Julia não fala espanhol ou Fábio fala
japonês" para a linguagem simbólica é:
a) p ^ q. b) q → p. c) (~p) ∨ q. d) (~p) ∧ (~q).
19)(Concurso Técnico do Seguro Social Ranking - INSS - Banca
CESPE - 2016) Julgue os itens a seguir, relativos a raciocínio lógico e
operações com conjuntos.
A sentença “Bruna acesse a internet e verifique a data de aposentadoria
do Sr. Carlos!" é uma proposição composta que pode ser escrita da
forma p ˄ q.
a)Errado b)Certo
20)(Concurso Vários Cargos - Nível Superior - SES - DF - Banca
IADES - 2018) Considere as proposições a seguir.
P: Estudar matemática; Q: Aprender matemática;
R: Gostar de matemática.
A sentença Q↔(P∨R) significa, a respeito da matemática, que
a) aprender é necessário para gostar ou estudar.
b) gostar e estudar são suficientes para aprender.
c) aprender e gostar são necessários para estudar.
d) aprender é suficiente para gostar e estudar.
e) gostar ou estudar são necessários para aprender
21)(Concurso para Soldado da Polícia Militar - PM-BA - Banca IBFC
- 2017) Se o valor lógico de uma proposição p é verdade e o valor lógico
de uma proposição q é falso, então é correto afirmar que o valor lógico:
a) da conjunção entre p e q é falso
b) da disjunção entre entre p e q é falso
c) do bicondicional entre p e q é verdade
d) do condicional entre p e q, nessa ordem, é verdade
e) da negação entre a disjunção entre p e q é verdade
22)(Simulado do INSS - 2016)
Se ela dança eu danço / Se ela dança eu danço / Se ela dança eu
danço / Falei com DJ / Pra fazer diferente.....
O texto acima é recorte de uma música conhecida na cultura brasileira.
Com base no texto responda o item a seguir:
Na primeira linha texto temos um condicional, representado por P → Q.
Sabemos da lógica que um condicional é falso quando temos uma
premissa verdadeira com tese falsa, deste o modo a negação da
primeira linha se dá quando “Ela dança e eu não danço".
a)Errado b)Certo
23)(Concurso de Enfermeiro - EBSERH - Banco IBFC - 2106) A
conjunção entre duas proposições compostas é verdadeira se:
a) os valores lógicos de ambas as proposições forem falsos
b) se o valor lógico de somente uma das proposições for verdade
c) se ambas as proposições tiverem valores lógicos verdadeiros
d) se o valor lógico de somente uma das proposições for falso
e) se o valor lógico da primeira proposição for verdade e o valor lógico
da segunda proposição for falso.
24)(Concurso para Analista de Sistemas - Desenvolvimento de
Sistemas - BRDE - Banca FUNDATEC - 2015) Qual operação lógica
descreve a tabela verdade da função Z abaixo cujo
operandos são A e B? Considere que V significa Verdadeiro, e F, Falso
a) Ou. b) E. c) Ou exclusivo.
d) Implicação (se...então).
e) Bicondicional (se e somente se).

9
25)(Concurso Vários Cargos - Nível Superior - SEGPLAN - GO -
2018) Dizer que não é verdade que “Maria é assistente social e Alberto
é cozinheiro”, é logicamente equivalente a dizer que é verdade que:
a) Maria não é assistente social ou Alberto não é cozinheiro.
b) Maria não é assistente social e Alberto não é cozinheiro.
c) Maria é assistente social ou Alberto não é cozinheiro.
d) Se Maria não é assistente social, então Alberto é cozinheiro.
e) Se Maria não é assistente social, então Alberto não é cozinheiro.
26)(Concurso para Vários Cargos - Nível Médio - TRF - 1ª Região -
Banca CESPE - 2017) A partir da proposição P: "Quem pode mais,
chora menos.", que corresponde a um ditado popular, julgue o próximo
item.
A negação da proposição P pode ser expressa por “Quem pode menos,
chora mais”.
a)Errado b)Certo
27)(Concurso para área de Saúde - Ensino Médio - SES - PR - Banca
IBFC - 2016) De acordo com a lógica de proposições a negação da
frase “Os carros são velozes e as bicicletas não são de três rodas” é:
a) Os carros não são velozes e as bicicletas são de três rodas.
b) Os carros são velozes ou as bicicletas não são de três rodas.
c) Os carros não são velozes ou as bicicletas não são de três rodas.
d) Os carros não são velozes ou as bicicletas são de três rodas.
28)(Concurso para Professor - SEDUC - MT - Banca IBFC - 2017) De
acordo com a lógica proposicional, a negação da frase “O advogado não
foi convincente e a petição foi cancelada”
a) Se o advogado foi convincente, então a petição não foi cancelada
b) Se o advogado não foi convincente, então a petição não foi cancelada
c) O advogado não foi convincente se, e somente se, a petição não foi
cancelada
d) Se a petição não foi cancelada, então o advogado foi convincente
e) Se a petição foi cancelada, então o advogado não foi convincente
29)(Concurso Básico para Todos os Cargos Exceto 12 - MPOG -
Banca CESPE - 2015) Considerando a proposição P: “Se João se
esforçar o bastante, então João conseguirá o que desejar", julgue o item
a seguir.
A negação da proposição P pode ser corretamente expressa por “João
não se esforçou o bastante, mas, mesmo assim, conseguiu o que
desejava".
a)Errado b)Certo
30)(Concurso para Vários Cargos - Nível Superior - Prefeitura do
Rio de Janeiro - RJ - 2016) Em uma matéria jornalística, uma pessoa
afirmou em entrevista que “este transporte é irregular ou não houve
fiscalização adequada”. A negação dessa afirmação é a seguinte:
a) esse transporte não é irregular ou houve fiscalização adequada
b) esse transporte não é irregular e houve fiscalização adequada
c) esse transporte é irregular ou houve fiscalização adequada
d) esse transporte é irregular e houve fiscalização adequada
31)(Vestibular da FATEC – 2011) A negação da sentença - 3 < x ≤ 2 é
a) x ≤ - 3 ou x > 2. b) x < - 3 ou x ≥2.
c) x < - 2 ou x ≥ 3. d) x < - 3 e x ≥ 2.
e) x ≤ - 3 e x > 2.
32)(Concurso para Soldado da Polícia Militar - PM-BA - Banca IBFC
- 2017) A frase: “Se o soldado chegou atrasado, então não fez atividade
física” é equivalente à frase:
a) O soldado chegou atrasado e não fez atividade física
b) O soldado chegou atrasado e fez atividade fisica
c) O soldado chegou atrasado ou fez atividade física
d) O soldado não chegou atrasado ou não fez atividade física
e) O soldado chegou atrasado se, e somente, não fez atividade física
33)(Concurso para Auxiliar Administrativa – CFF – Banca INAZ do
Pará – 2017) Qual é a alternativa que apresenta a equivalência da
proposição:
“Se o pai fala inglês, então o filho fala francês”.
a) “Se o pai não fala inglês, então o filho não fala francês”.
b) “O pai não fala inglês e o filho fala francês”.
c) “O pai não fala inglês ou o filho fala francês”.
d) “O pai fala francês e o filho fala inglês”.
e) “O pai não fala francês e o filho não fala inglês”.
Demonstrações
Material conciso, que precisa ser completado
Demonstrações Diretas
Idéias teóricas para explicação
𝑝 ⟹ 𝑞 (se ‘p’ então ‘q’)
O que é recíproca? 𝑞 ⟹ 𝑝
Hipótese / Tese
Postulado-Axioma / Teorema / Lema / Corolário
Definição / Ente Primitivo
Conjecturas – O Ultimo Teorema de Fermat e a
Conjectura de Goldbach
1) Prove que se m e n forem par,
a) a soma m+n também é par.
b) o produto mn também é par.
2) Prove que o quadrado de um número ímpar é ímpar .
3) Prove que se n é divisível por 6, 2n é divisível por 4.
Demonstração por Contraposição
O que é contrapositiva? ~𝑞 ⇒ ~𝑝
1) Prove que se n² é par, necessariamente n é par.
2) Prove que se 3n+2 é ímpar, então n é ímpar.
3) Prove que se n=ab, então 𝑎 ≤ √ 𝑛 ou 𝑏 ≤ √ 𝑛.
Demonstração pela Redução ao
Absurdo
Se p é verdadeira ~p é falsa
𝑝^~𝑞 ⇒ ~(𝑝 → 𝑞) é uma tautologia
Mostrar que 𝑝^~𝑞 é falsa
1) Prove que √2 é irracional.
2) Prove que existem infinitos números primos.
3) Prove que se um número somado com ele mesmo é
igual a ele mesmo, então esse número é zero.
Comentários de Paradoxos da divisão
por Zero (2=1 ?)
#1 – Prova que 2=1
Suponha que 𝑥 = 𝑦
Multiplique ambos os
membros por x
𝑥2
= 𝑥𝑦
Tire 𝑦2
em ambos os
membros
𝑥2
− 𝑦2
= 𝑥𝑦 − 𝑦2
Fatore ambos os membros (𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦) = 𝑦(𝑥
− 𝑦)
Divida ambos os membros
por 𝑥 − 𝑦
𝑥 + 𝑦 = 𝑦
Como já é hipótese que
𝑥 = 𝑦
𝑦 + 𝑦 = 𝑦
Portanto 2𝑦 = 𝑦
Divida ambos os membros
por y
2 = 1
Onde está o erro?
#2 – Outra prova
Sabemos que
0x2=0 (1) e 0x1=0 (2)
Usando a propriedade transitiva da igualdade temos que
0x2=0x1
Dividindo ambos os membro por zero
2=1

10
#3 – Mais
0
0
é ao mesmo tempo igual a 0 e 1, pois:
- Um número dividido por ele mesmo é 1.
- Zero dividido por qualquer número é 0.
Logo 1=0, e portanto 1+1=0+1, e então 2=1
#4 – Mais ainda
Sabemos que
2-2=0 e 1-1=0
Igualando as duas expressões temos que
2-2=1-1
Fatorando temos que
2(1-1)=1(1-1)
Dividindo ambos os membros por 1-1 temos que
2=1
Todos esses 4 raciocínios são idênticos e tem uma
explicação única!
Demonstração por Exaustão
Quantificadores
O erro de Fermat: 𝐹𝑛 = 22 𝑛
+ 1, sendo n primo, é primo.
É falso para n=5, pois 225
+ 1 = 4.294.967.297 =
641 × 6.700.417
“A expressão 991𝑛2
+ 1 não é um quadrado perfeito
para todo todo número n”. Essa expressão falha quando
n=12.055.735.790.331.359.447.442.538.767
1) Prove que é falso que ∀𝑛 ∈ ℝ, 𝑛! ≤ 𝑛2
.
Demonstração por Casos
1) Prove que se 𝑛 ∈ ℕ, então 𝑛2
≥ 𝑛.
Provas Geométricas Simples - Álgebra
1) Suponha válidas as relações métricas no triângulo
retângulo.
Prove válido o Teorema de Pitágoras:
Existem mais de 350 formas de demonstrar o Teorema de
Piágoras registradas em um livro do Prof. Elisha Scott
Loomis, dos Estados Unidos, entre elas demonstrações
de Pascal, Pappus, Bháskara, Napoleão Bonaparte e do
presidente estadunidense James Garfield. O prof. Paulus
Gerdes, de Moçambique, com base na cultura dos povos
de Moçambique demonstrou infinitas maneiras de provar
o Teorema de Pitágoras.
2) Usando o Teorema de Pitágoras deduza:
a) Uma fórmula para calcular a diagonal de um quadrado.
b) Uma fórmula para calcular a altura de um triângulo
equilátero.
c) Uma fórmula para calcular a área de um hexágono
regular.
d) Uma fórmula para o lado e para o apótema de um
triângulo equilátero inscrito numa circunferência.
e) O seno e o cosseno de 45º.
3) Mostre que, para ângulos de 0º a 90º, é verdadeiro que
𝑠𝑒𝑛2
𝑥 + cos2
𝑥 = 1.
Provas Geométricas Simples –
Argumentos Angulares e Combinatórios
O problema da circularidade em demonstrações.
A diferença da prova e da demonstração rigorosa.
1) Mostre que ângulos opostos pelo vértice são
congruentes.
2) Deduza a fórmula da soma dos ângulos internos de um
polígono, supondo que a soma dos ângulos internos de
um triângulo é 180º.
3) Deduza uma fórmula para a soma dos ângulos internos
de um polígono.
4) Demonstre o Teorema do Ângulo Externo para um
triângulo.
5) Considere que é válida a afirmação “Em retas paralelas
cortadas por uma transversal, ângulos alternos internos
são congruentes”. A partir disso verifique que a soma dos
ângulos internos de um triângulo é 180º.
Propriedades da Igualdade e da
Desigualdade
Propriedades da Igualdade (Relação de Equivalência)
Reflexiva a=a
Simétrica Se a=b, então b=a
Transitiva Se a=b e b=c, então a=c
Propriedades da Desigualdade (Relação de Ordem)
Reflexiva a≤a
a≥a
Transitiva Se a≤b e b≤c, então a≤c
Se a≥b e b≥c, então a≥c
Anti-simétrica Se a≥b, então b≤a
O problema das Definições
A importância das definições para as provas.
1) Prove que, se 𝐴 ⊂ 𝐵 e 𝐵 ⊂ 𝐶, então 𝐴 ⊂ 𝐶.
(Transitividade)
2) Mostre que semelhança é uma relação de
equivalência.
3) Mostre que inclusão é uma relação de ordem parcial.
Princípio da Indução Finita
1) p(1) é válido – passo básico ou base da indução
2) Se par todo k p(k) implica em p(k+1), onde k é um
natural positivo – passo indutivo
1) Prove que:
a) 2 𝑘
< 𝑘!, ∀𝑛 ≥ 4, 𝑛 ∈ ℕ
b) 1 + 2 + 3+. . . +𝑛 =
𝑛(𝑛+1)
2
c) 1 + 3 + 5 + ⋯ + (2𝑛 − 1) = 𝑛2
d) 𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2) para n inteiro é sempre divisível por 6.
e) 32𝑛+1
+ 2 𝑛−1
é divisível por 7.

11
f) 𝑛3
− 𝑛 é divisível por 3.
g) 2 𝑜
+ 21
+ 22
+ ⋯ + 2 𝑛−1
= 2 𝑛
− 1
Outros Temas relacionados (de outros
módulos)
PRINCÍPIO DA CASA DOS POMBOS – PCP
RECURSIVIDADE
Demonstração em Geometria
Esse assunto será abordado pelo professor
teoricamente com material complementar.
Paradoxos
Esse assunto será abordado pelo professor
teoricamente com material complementar.
B.8.2 – Noções sobre Sólidos Geométricos
e Volumes
Noções de Geometria Espacial
1)(Bianchini) Quais dos objetos a seguir não dá a idéia
de um sólido? E quais dão a idéia de um poliedro?
2)(Bianchini) Cada sólido representado a seguir é
identificado por um número. Use essa identificação para
classificar esses sólidos como corpo redondo ou
poliedro. Organize essas informações em uma tabela.
3)(Somos Educação)Quais sólidos abaixo são
poliedros e quais são corpos redondos? É possível não
se enquadrar em nenhuma das duas categorias.
4)(Somos Educação)Classifique as figuras em
poliedros, corpos redondos ou nenhum dos dois.
5)(Bianchini) Veja o que Paulo e Pedro fizeram com
copos descartáveis:
Paulo contornou com lápis a boca do copo sobre uma
folha de papel.
Pedro pintou toda a parte externa do copo com tinta
guaxe.
a)Qual deles representou uma figura plana?
b)Pedro pintou a superfície de um poliedro?
6)(Bianchini)Veja as imagens do caranguejo e de sua
sombra. Qual delas representa uma figura plana?

12
7)(Bianchini) Dê o nome dos poliedros de acordo com
o número de faces.
8)(Bianchini) Todas as figuras a seguir são hexaedros:
Calcule o número de vértices, faces e arestas de cada
um deles.
9)(Bianchini)Dê o nome completo dos seguintes
prismas e pirâmides:
10)(Bianchini)Das embalagens apresentadas a seguir,
identifique quais têm forma de prisma e quais têm forma
de pirâmide.
11)(Bianchini)Identifique em cada construção se a
parte indicada pela seta lembra a forma de prisma, de
pirâmide ou nenhuma delas.
12)(Bianchini)Em cada linha do quadro a seguir,
descubra qual dos poliedros tem suas faces
desenhadas.
13)(Somos Educação)Qual poliedro pode ser montado
com cada conjunto a seguir?
14)(Bianchini) Determine o número de vértices, faces e
arestas de cada uma das figuras a seguir e verifique que
V+F-A=2:
15)(Bianchini) Observe a pirâmide abaixo e responda:
o ponto E está no mesmo plano de A, B e C? E o ponto
A está no mesmo plano de D, C e E?
16)(Bianchini)Considerando a figura, copie no caderno
as afirmações verdadeiras.
a)Os pontos A, B, C e D são coplanares.
b)Os pontos A, B, C e F não são coplanares.
c)Os pontos D, C, F e G são coplanares.
d)Os pontos B, C, F e G são coplanares.

13
17)(Somos Educação)Veja a representação de um
bloco retangular e de sua planificação. Coloque na
planificação as letras no lugar adequado.
Você precisa se lembrar o que são pontos e retas
coplanares, o que são retas reversas: E1 / B1
Prismas e Pirâmides e Relação de
Euler
1)(Somos Educação)Que tipos de polígonos aparecem
nos contornos das faces de cada poliedro? Quantos são
de cada tipo?
2)(Somos Educação)Qual das figuras indica um
poliedro com o número de vértices igual ao número de
faces?
3)(Somos Educação)Escreva o nome do sólido
geométrico que pode ser montado com cada uma das
planificações a seguir:
4)Preencha a tabela:
5)(Somos Educação)Complete o quadro abaixo com o
número de vértices (V), o número de faces (F) e o
número de arestas (A) das pirâmides a seguir. Depois
indique, entre todos os casaos, em quais deles se
verifica:
a)V=F b)V+F=A+2 c)2V=A+2
d)F+A=19 e)A=F+3 f)AF=30
6)(Saresp – Adaptado por Somos Educação) Paula
vai colar um adesivo em cada face de duas caixas de
presente, com as do desenho, até mesmo nas faces que
ficam apoiadas sobre a mesa. O total de adesivos que
Paula vai colar é:
7)(Somos Educação)O paralelepípedos ou blocos
retangulares, incluídos os cubos, são exemplos de
prismas ou pirâmides?
8)(Somos Educação)Em um prisma, o número de
faces é 7 e o número de arestas é 15. Então, o número
de vértices é ___.
9)(Somos Educação)Verifique a relação de Euler nos
poliedros a seguir:
10)(Bianchini) Se as bases de um prisma têm 7 vértices
cada uma, quantas arestas tem esse prisma? E quantas
faces laterais?
11)(Bianchini) Se uma pirâmide tem 12 vértices,
quantos lados tem sua base? Quantas faces laterais tem
essa pirâmide? E arestas?
12)(Bianchini) Se uma pirâmide de 20 faces e um
prisma têm o mesmo número de vértices, quantas faces
tem o prisma?

14
13)(Somos Educação)Considere uma pirâmide
qualquer e responda às questões a seguir.
a)O número de faces e o número de vértices são iguais
ou diferentes?
b)O que acontece com o número de vértices em relação
ao número de lados da base?
c)O que acontece com o número de arestas em relação
ao número de lados da base?
14)(Somos Educação)Beatriz está limpado seu porta-
lápis de vidro, que tem a forma de um prisma octogonal.
Quantas faces Beatriz tem de limpar?
15)(Somos Educação)Rose fabrica potes de geléia que
tem a forma de prisma decagonal. Cada face do pote é
feita por um único pedaço de vidro, inclusive a tampa.
De quantos pedaços de vidro ela necessita para fazer
10 potes?
16)(Somos Educação)Flávia construiu um aquário de
base hexagonal fechado como representa a figura. Ela
vedou todos os encontros de duas peças de vidra com
massa e um pedaço de alumínio. Quantos pedaços de
alumínio Flávia usou?
Vistas
1)(Bianchini) Para cada poliedro, desenhe uma figura
plana que representa a parte da sua superfície que
represente a parte da sua superfície vista de cima.
2)(OBM) Sobre uma mesa retangular de uma sala foram
colocados quadro sólidos, mostrados no desenho.
Uma câmera no teto da sala, bem acima da mesa,
fotografou o conjunto. Qual dos esboços a seguir
representa melhor essa fotografia?
3)(Somos Educação)Desenhe a vista superior e a
inferior de cada sólido geométrico.
4)(Somos Educação)Considere três dados de cores
diferentes em que as faces “encostadas” têm o mesmo
número de pontos.
Observe duas vistas dos três dados:
Examine as figuras acima e desenhe as vistas inferior,
lateral direita, frontal e de trás dos dados.
5)(OBM) No desenho abaixo, três cubos iguais estão
apoiados sobre uma mesa. Cada cubo tem as faces
numeradas por 0, 1, 3 , 4, 5, 9, onde cada número
aparece exatamente uma vez. Qual é a soma dos
números das faces em contato com a mesa?
a)6 b)8 c)9 d)10 e)12
6)(Universidade de Coimbra – Portugal) Qual das
peças seguintes permite construir um paralelepípedo a
partir de objeto representado ao lado?
7)(Somos Educação) Em qualquer dado, a soma dos
pontos das faces opostas é sempre igual a 7. Na figura
a seguir, a soma dos pontos brancos das faces que
estão encostadas nas três placas (verde, marrom e
vermelha) é igual a 20. Com base nessa informação,
responda às questões a seguir.
a)Quantos pontos marca a face de baixo apoiada na
placa vermelha?
b)Qual é a soma dos pontos das faces dos dois dados
que estão encostadas uma na outra?

15
8)(Exame Final do Ensino Básico – Portugal –
Matemática 92 – 3º Ciclo – 2012 – 1ª Chamada) Na
Figura 1, está representado um recipiente com tinta.
Nesse recipiente mergulhou-se um cubo branco, tal
como se ilustra na Figura 2. Desta forma, a parte do
cubo que ficou submersa adquiriu a cor da tinta.
Em qual das opções seguintes pode estar uma
planificação desse cubo depois de retirado do
recipiente? Assinala a opção correta.
Corpos Redondos e Sólidos de
Revolução
1)Desenhe a forma geradora dos sólidos abaixo se eles
forem de revolução (despreze detalhes mínimos). Caso
contrário, assinale-os com um x:
:
2)(Saeb) Ao fazer um molde de um copo, em cartolina,
na forma de cilindro de base circular, qual é a
planificação do molde desse copo?
3)(ENEM – 1998) Assim como na relação entre o perfil
de um corte de um torno e a peça torneada, sólidos de
revolução resultam da rotação de figuras planas em
torno de um eixo, girando-se as figuras abaixo em torno
da haste indicada obtém-se os sólidos de revolução que
estão na coluna da direita.
A correspondência correta entre as figuras planas e os
sólidos de revolução obtidos é:
a) 1A, 2B, 3C, 4D, 5E. b) 1B, 2C, 3D, 4E, 5A
c) 1B, 2D, 3E, 4A, 5D d) 1D, 2E, 3A, 4B, 5C
e) 1D, 2E, 3B, 4C, 5A
O material do E1 tem exercícios interessantes de
Sólidos de Revolução.
Poliedros Regulares
1)Dê o nome dos sólidos abaixo:
2)Duas histórias interessantes relacionadas com este tema. Uma diz
respeito ao Filósofo Grego Platão, outra ao Astrônomo e Físico
Johannes Kepler.
Platão associou os 4 elementos com os sólidos. Para ele a terra era o
cubo, o ar era o octaedro regular, a água o icosaedro regular, o fogo
o tetraedro regular. O formato do éter, a “alma do universo”, o “5º
elemento” era um dodecaedro regular.
Esta idéia está escrita em seu livro Timeu publicado em cerca de
360aC.
Fonte:
http://www.pythagoras.nu/mmmcms/public/artikel_printversie.php?de
ze_art_online_id=124
Associe os nomes às gravuras acima.

16
3) Escreva o nome dos sólidos cuja planificação está
abaixo:
4)O que é um Poliedro Regular?
5)Preencha a tabela:
Poliedro Regular V F A arestas
que
Sai de
um
vértice
Número
de
lados
da
Face
T
H
O
D
I
6)Quanto ao número de faces, o cubo é um:
( ) Tetraedro ( ) Hexaedro ( ) Octaedro
7)Quanto ao número de faces uma pirâmide quadrangular é um:
( ) Tetraedro ( ) Pentaedro ( ) Octaedro
8)Qual prisma é um hexaedro?
( ) Prisma triangular( ) Prisma quadrangular( ) Prisma hexagonal
9)Calcule o número de vértices, faces e arestas:
10)(Somos Educação)Verifique se as figuras são
poliedros regulares.
11)(Somos Educação) Examine o cubo e sua
planificação e responda.
a)Quantas faces tem o cubo? Quantos vértices? E
quantas arestas?
b)Por que o cubo também é chamado de hexaedro
regular?
c)O cubo é um caso particular do bloco retangular?
Explique.
12)(Somos Educação)Sobre o Tetraedro Regular,
responda:
a)O tetraedro regular é uma pirâmide especial?
Explique.
b)Qual é o significado do prefixo tetra?
c)Quantas faces tem o tetraedro regulares? Quantos
vértices? E quantas arestas?
d)O que ocorre com o número de faces e de vértices de
um tetraedro? Isso acontece em qualquer pirâmide?
13)(Somos Educação)Sobre o Octaedro Regular,
responda:
a)O que significa a expressão octaedro regular?
b)Qual é a forma das faces do octaedro regular?
c)Quantos vértices, quantas arestas e quantas faces
tem o octaedro?
14)(Somos Educação)Sobre o Dodecaedro Regular,
responda:
a)O que significa dodecaedro regular?
b)Qual é a forma das faces do dodecaedro regular?
c)Quantos vértices tem o dodecaedro? Quantas
arestas? E quantas faces?
15)(Somos Educação)Sobre o Icosaedro Regular,
responda:
a)O que significa icosaedro regular?
b)Qual é a forma das faces do icosaedro regular?
c)Quantos vértices tem o icosaedro? Quantas arestas?
E quantas faces?
16)(Somos Educação)Complete a tabela e verifique a
relação de Euler?
17)(Somos Educação)Considere os cinco poliedros
regulares.
a)Em quais deles temos 𝑉 =
3
4
𝐹?

17
b)Em quais deles temos 𝐹 =
2
3
𝐴?
c)Em quais deles temos:
2𝑉+𝐹+3𝐴
2𝐴+7
= 2
18)(Somos Educação)Em um poliedro regular, o
número de vértices é a metade do número de arestas e
o número de faces é
2
3
do número de arestas. Descubra
quantos vértices, quantas faces e quantas arestas tem
esse poliedro e qual é seu nome.
19)(PUC-SP) O poliedro regular que possui 20 vértices,
30 arestas e 12 faces denomina-se:
a) tetraedro b)icosaedro c)hexaedro
d)dodecaedro e)icosaedro
20)(PUC-SP) Sobre as sentenças:
I- Um octaedro regular tem 8 faces quadradas.
II- Um dodecaedro regular tem 12 faces pentagonais.
III- Um icosaedro regular tem 20 faces triangulares.
É correto afirmar que apenas:
a)I é verdadeira b)II é verdadeira
c)III é verdadeira d)I e II são verdadeiras
e) II e III são verdadeiras
21)(UFCG-MS) Um professor de Matemática, em uma
aula de Geometria, pediu que cada aluno construísse
um poliedro convexo regular com 20 faces triangulares.
Podemos afirmar que o número de vértices do poliedro
construído pelos alunos é igual a:
a)28 b)12 c)19 d)27 e)41
22)(OBM) Um dado especial tem como faces triângulos
equiláteros, numerados de 1 a 4, como no desenho.
Colando dois dados, fazemos coincidir duas faces, com
o mesmo número ou não. Qual dos números a seguir
não pode ser a soma dos números das faces visíveis?
a)12 b)14 c)17 d)18 e)19
Outros Poliedros
Cubo (aqui é só contar,
não é preciso da técnica,
mas faremos como
exemplo)
Faces: 6 faces
quadrangulares
(quadradas)
Arestas: 6 faces x 4 lados
= 24; 242=12 arestas
Vértices: 6 faces x 4 lados
= 24; grau dos vértices: 3
(partem 3 arestas de cada
vértice); 243=8 vértices
Dodecaedro
Faces: 12 faces
pentagonais
Arestas: 12 faces x 5
lados = 60; 602=30
arestas
Vértices: 12 faces x 5
lados = 60; grau dos
vértices: 3 (g=3); 603=20
vértices.
Poliedro Bola,
Buckyball ou Icosaedro
Truncado
Faces: 12 faces
pentagonais, 20 faces
hexagonais; total de
faces: 12+20=32 faces
Arestas:
12x5+20x6=60+120=180;
1802=90 arestas
Vértices: grau dos
vértices: 3; 1803=60
vértices
Tetraedro Truncado
Faces: 4 faces
hexagonais, 4 faces
triangulares; total de
faces: 4+4=8 faces
Arestas:
4x6+4x3=24+12=36;
362=18 arestas
Vértices: grau do vértice:
3; 183=6 arestas
1)Vejam os conceitos e simbologias:
Considere
então:
Prisma
Piramidal
Triangular –
PP3
Prisma
Piradimal
Quadrangul
ar – PP4
Prisma
Piramidal N-
agonal –
PPn
* Prisma
Piramidal
Triangular (ou
Pirâmide
Triangular
Alongada ou
Sólido de
Johnson 7 – J7)
* Prisma
Piramidal
Quadrangular
(ou Pirâmide
Quadrangular
Alongada ou
Sólido de
Johnson 8 – J8)
* Prisma
Piramidal
Pentagonal (ou
Pirâmide
Pentagonal
Alongada ou
Sólido de
Johnson 9 – J9)
a) Preencha a tabela:
P
P
3
P
P
4
P
P
5
P
P
6
P
P
7
P
P
8
P
P
9
P
P
10
P
P
89
PP
14
4
PP
38
7
P
P
n
V
F
A

18
b) As seqüências de vértices, de faces e arestas estão
em Progressão Aritmética, assim como estão as
seqüências de Prismas e Pirâmides.
c) Mostre que para os Prismas Piramidais, V+F-A=2.
3) (UERJ-1999) Um icosaedro regular tem 20 faces e 12
vértices, a partir dos quais retiram-se 12 pirâmides
congruentes. As medidas das arestas dessas pirâmides
são iguais a 1/3 da aresta do icosaedro. O que resta é
um tipo de poliedro usado na fabricação de bolas.
Observe as figuras.
Para confeccionar uma bola de futebol, um artesão usa
esse novo poliedro, no qual cada gomo é uma face. Ao
costurar dois gomos para unir duas faces do poliedro,
ele gasta 7 cm de linha. Depois de pronta a bola, o
artesão gastou, no mínimo, um comprimento de linha
igual a:
a) 7,0 m b) 6,3 m c) 4,9 m d) 2,1 m
4) Uma bola de futebol é composta por 20 “gomos”
hexagonais e 12 “gomos” pentagonais. Uma costureira
gasta 15 cm de linha para emendar os gomos e formar
uma bola. Quantos metros de linha usa essa costureira?
5) Desenhe:
a) Pentágono não convexo
b) Eneágono não convexo
c) Heptágono não convexo
6) Dê o nome às formas:
7) Dada a forma geométrica e a planificação, encontre
vértices, faces e arestas:
8) Qual é o formato das faces laterais do:
a) Prisma____________________________
b) Pirâmide _________________________
9) Classifique as figuras quanto ao número de faces
4 faces – TETRAEDRO5 faces – PENTAEDRO
6 faces – HEXAEDRO 7 faces – HEPTAEDRO
8 faces – OCTAEDRO 9 faces – ENEAEDRO
10 faces – DECAEDRO11 faces – UNDECAEDRO
12 faces – DODECAEDRO
15 faces – PENTADECAEDRO
20 faces – ICOSAEDRO
Como se classificaria quanto ao número de faces:
a) a pirâmide hexagonal
b) o prisma pentagonal
c) a pirâmide eneagonal
d) o prisma heptagonal
11) Associe cada figura às suas planificações:
12) Classifique os poliedros quanto às faces
13) Um ponto que aparece em uma face de cada
planificação estará também em outras faces depois de
montada a figura. Quais são essas outras faces?
Responda sem montar a figura.
14) Cada planificação a seguir tem uma face pintada que
será vizinha de outras faces depois de montada a figura.
Sem montá-la, assinale essas outras faces.

19
28)Veja a figura abaixo e responda
a) Quantos são os vértices? b) Quantas são as faces?
c) Quantas são as arestas? d) Calcule V+F-A
29) Construa em papel sulfite o molde para construir a
seguinte figura
TEMÁTICAS IMPORTANTES (veja E1):
- Como desenhar sem tirar o lápis do papel
- Faixa de Möbius e Garrafa de Klein
- Problema das Sete Pontes de Königsberg
Aplicações Topológicas – Problema das
Quatro Cores
(Somos Educação)Pinte as figuras com o menor
número possível de cores e indique o número de cores
que você usou.
(Somos Educação)Na figura, temos o mapa
simplificado da região Norte do Brasil pintado como o
melhor número possível de cores. Responda: quantos
são os estados e quantas cores foram necessárias?
(Somos Educação)Agora você têm os mapas das
regiões Sudeste e Nordeste. Pinte-os com o menor
número possível de cores. Indique o número de estados
e o número de cores em cada um deles.
Volumes: conceitos básicos
1)(Prova de Aferição do Ensino Básico – Portugal) A
Rosa decidiu medir o volume do corpo do seu peixe.
Para o fazer, colocou água num copo graduado e, em
seguida, mergulhou o peixe lá dentro, como se vê na
figura.
Faça uma estimativa do volume do corpo do peixe de
Rosa.
2)(Somos Educação) Observe as pilhas montadas com
cubos de aresta 1 cm. Determine o volume dos poliedros
a seguir:
3)(Somos Educação)Qual é a medida do volume de um
cubo de 10 cm de aresta?

20
Volume do Bloco Retangular
1)(Somos Educação)Qual é o volume da caixa, do
aquário e da piscina representados abaixo?
2)(COC)Uma caixa de papelão foi montada na forma de
um cubo com arestas medindo 12 cm, conforme
ilustração.
Depois disso, revestiram-na por completo, com papel de
presente, pois seria utilizada como decoração de Natal.
Determine a medida da área da superfície coberta pelo
papel de presente.
3)(COC)Considere o seguinte bloco retangular cujas
dimensões são dadas pelas medidas a, b e c.
Faça um esboço da planificação desse sólido e depois
escreva uma fórmula que dê a medida da área A da
superfície desse sólido (área total).
4)(COC)Calcule a área total de um bloco retangular que
tem 40 cm de comprimento, 20 cm de largura e 15 cm
de altura.
5)(Somos Educação)Escreva uma fórmula geral para
determina medida do volume do paralelepípedo e do
cubo abaixo.
6)(Somos Educação)Calcule a área e o volume da
figura a seguir:
7)(Somos Educação)Qual é a área total de um
paralelepípedo com dimensões de 6 centímetros, 8
centímetros e 10 centímetros? Qual o volume desse
paralelepípedo?
8)(Somos Educação)Se um paralelepípedo tem
volume de792 m³, comprimento de 11 metros e largura
de 8 metros, qual é a medida de sua altura?
9)(Somos Educação)Quanto mede o comprimento de
cada aresta de um cubo com volume de 343 dm³?
10)(Somos Educação)Qual é a medida do volume de
um cubo cuja área total é de 384 cm²?
11)(Somos Educação)Com cubinhos que têm 2
centímetros de aresta foi formado um bloco retangular
como este da figura. Qual é o volume desse bloco?
Medidas de Capacidade e Volume
1)(Somos Educação)Você estudou que, se um cubo
tem arestas de 1 dm (10 cm), seu volume é de 1 dm³
(1000 cm³) e sua capacidade é de 1 litro. Complete as
correspondências:
2)(Somos Educação)Faça uma estimativa e depois
responda considerando a representação abaixo.
Quantos litros de água são necessários para encher
esta piscina de plástico?
3)(Somos Educação)A capacidade desta caixa térmica
de isopor é maior, igual ou menor que 35 litros?
4)(Somos Educação) Uma caixa-d’água tem a forma de
um paralelepípedo de dimensões 80 cm por 90 cm por
60 cm. Qual é a medida do seu volume? E de sai
capacidade?
5)(Somos Educação)Um tanque em forma de
paralelepípedo tem como base uma região retangular de
30 cm por 20 cm. Ele está com nível de água de 7,5 cm.
Quando um cubo sólido é completamente mergulhado
no tanque, o nível de água se eleva em 0,5 cm. Quanto
mede, aproximadamente, a aresta do cubo?
6)(Somos Educação)Faça o desenho da planificação
de um bloco retangular com dimensões de 4 cm, 3 cm e
1 cm.

21
Mais Volume do Bloco Retangular
1)(Somos Educação)Uma caixa de creme dental com
a forma de um bloco retangular tem as seguintes
dimensões: 3 cm, 4 cm e 18 cm. Determine a área da
caixa planificada.
2)(Somos Educação)Para construir uma caixa aberta
com a forma de um bloco retangular, Júlia recortou uma
região poligonal de papelão como está indicado na
figura, dobrou e colocou fita-crepe. Quantos centímetros
quadrados de papelão ela usou?
3)(Somos Educação)Sônia é decoradora e resolveu
comprar alguns aquários de vidro para decorar a casa
das três clientes.
Observer os três modelos que ela comprou e as
informações em cada um.
a)Calcule a medida do volume de cada aquário.
b)Determine a medida do comprimento de cada aresta
do aquário C.
c)Responda: o volume de C corresponde a quanto por
cento do volume de A?
d)Determine quantos litros de água cabem em cada um
desses aquários.
4)(Somos Educação)Para encher um tanque A, uma
torneira que despeja 190 litros de água por minuto ficou
aberta durante 1 hora e 10minutos. O tanque B tem
volume 11,3 m³.
a)Em qual dos dois tanques cabe mais água?
b)Quantos litros a mais?
5)(Somos Educação)As dimensões de um reservatório
em forma de bloco retangular, em metros, são três
números naturais consecutivos. Descubra essas
dimensões sabendo que, nesse reservatório, cabem
120 000 litros de água.
6)(Somos Educação)Uma torneira despeja 20 litros de
água por minuto. Quanto tempo ela gasta para encher
uma caixa-d’água em formato de paralelepípedo com
dimensões 1 metro, 1 metro por 0,5 metro?
7)(Somos Educação)O nível de água corresponde a
2/3 da altura do aquário. Quantos litros de água há no
aquário?
8)(Somos Educação)Os vasilhames A e B estão cheios
de água e o vasilhame C, de forma cúbica, está vazio.
Despejando água de A e B em C, este fica com 4/5 de
sua capacidade ocupada. Qual é a medida de cada
aresta de C?
9)(Somos Educação)Uma caixa-d’água em forma de
paralelepípedo tem as seguintes dimensões: 0,95 m,
1,95 m e 0,95 m.
Qual é o valor aproximado da medida de capacidade
dessa caixa?
a)20.000 L b)2.000 L c)5.000 L
10)(Somos Educação)Uma indústria embala os
sabonetes que fabrica em caixas com dimensões de 20
centímetros, 10 centímetros e 8 centímetros. Para
transportar as caixas elas são colocadas em recipientes
com a forma, a posição e as dimensões indicadas na
figura abaixo:
As caixas devem ser colocadas no recipiente, todas na
mesma posição, de modo que caiba nele o maior
número possível de caixas.
a)Analise as três figuras a seguir e faça uma estimativa:
qual delas indica a melhor posição para que isso
aconteça?

22
b)Calcule quantas caixas cabem nos recipientes A, B e
C, considerando a posição indicada em cada um deles,
e confirma sua resposta para o item “a”.
11)(Somos Educação)Um bloco de forma cúbica com
medidas 10 cm x 10 cm x 10 cm é pintado em suas 6
faces com tinta azul. Depois ele é cortado em bloquinhos
de medidas 1 cm x 1 cm x 1 cm. Qual é a quantidade de
bloquinhos que não terão nenhuma de suas faces
pintadas de azul?
12)(Somos Educação)Em uma caixa-d’água com 1 m³
de volume cabem 1.000 L de água. Calcule quantos
litros de água cabem em um reservatório que tem a
forma de um bloco retangular com dimensões de 2 m,
1,5 m e 70 cm.
13)(Somos Educação)Um tanque com a forma de bloco
retangular tem as dimensões indicadas na figura abaixo.
Se uma torneira despeja 25 L de água por minuto, em
quanto tempo ele encherá esse tanque?
14)(Somos Educação)Qual deve ser a medida da
aresta de um reservatório cubico para que sua
capacidade seja de 8000 L?
15)(Somos Educação)Um cubo de aresta 10 cm está
com água até certa altura. Em seu interior, é colocada
uma pedra que faz a altura da água subir 4 cm sem que
a água derrame. Qual é o volume da pedra colocada em
seu interior?
16)(Somos Educação)Os dois recipientes mostrados
nas figuras estão cheios de um mesmo material. A
quantidade contida no recipiente cúbico tem massa 600
g.
a)Qual é a massa da quantidade contida no outro
recipiente?
b)Qual é a densidade desse material?
c)Quando colocado na água, ele flutua ou afunda?
17)(Somos Educação)Vamos considerar uma cartolina
retangular cujo comprimento é 40 cm e cuja largura é de
20 cm. Para calcular sua área, nós dependemos dessas
duas medidas, o que nos leva a concluir que a área da
cartolina não é uma medida linear, ou seja, se
reduzirmos suas dimensões pela metade, isso não
significa que sua área também será reduzida à metade.
Observe: a área da cartolina é o produto de suas
dimensões (40 ∙ 20) resultando um total de 800 cm². Se
reduzirmos essas dimensões para 20 cm e 10 cm, a
nova área será de 200 cm² (20 ∙ 10), ou seja, um quarto
da área anterior (e não a metade).
Consideramos, agora, a figura que representa a mesma
cartolina citada acima, mas da qual serão recortadas
quatro regiões quadradas de lado x, uma em cada canto.
Observe o gráfico. Ele mostra como varia a área da
região em destaque da cartolina quando retiramos as
quatro regiões quadradas.
I)Responda às questões a seguir, usando o gráfico se
necessário.
a)Qual é a expressão algébrica E que representa a área
da cartolina após a retirada dos cantos?
b)É possível retirar as quatro regiões quadradas dos
cantos com lados de medida 11 cm? Justifique.
c)Qual deve ser a área de cada uma das quatro regiões
quadradas para que a área restante corresponda a 7/8
da área inicial. Dica: considere a área de cada região
quadrada como 𝑥2
.
II)Após recortarmos a quatro regiões quadradas da
cartolina, obtemos a figura da esquerda. Depois de
dobrada nas linhas tracejadas, obtemos a caixa
mostrada na figura da direita.
Observe no gráfico que, para obtermos a caixa, o valor
de x deve ser maior do que zero e menor do que 10.

23
Observe o gráfico e faça o que se pede:
d)Represente o volume da caixa com uma expressão
algébrica.
e)O que aconteceria se tivéssemos x=0 ou x=10 cm?
f)Qual o volume da caixa para x=7 cm?
g)Para um volume de 1400 cm³, qual é
aproximadamente o valor de x?
18)(Somos Educação)No bloco retangular da figura ao
lado, a medida de 𝐸𝐶̂ 𝐹 é:
a)30° b)45° c)60° d)90°
Diagonal do Bloco Retangular
Calcule a diagonal FC do Bloco Retangular:
Proporcionalidade e Volume
1)(Somos Educação)considere dois cubos cujas
arestas medem 4 cm e 6 cm, nessa ordem.
Calcule e indique com frações irredutíveis a razão entre:
a)as medidas de comprimento das arestas.
b)os perímetros das faces.
c)as áreas das faces.
d)as áreas totais.
e)os volumes.
2)(Somos Educação)A medidas de volume de um cubo
com arestas de 1 cm é igual a 1 cm³. Fixamos esse cubo
como unidade de medida de volume.
Observe as figuras acima e faça o que se pede.
a)Há quantos cubinhos de 1 cm³ no cubo da figura 2?
Qual é o volume do cubo da figura 2?
b)Há quantos cubinhos de 1 cm³ no cubo da figura 3?
Qual é o volume do cubo da figura 3?
c)Há alguma outra maneira de calcular o volume desses
cubos sem contar os cubinhos que formam o cubo
maior? Explique.
d)Qual é a medida do volume de um cubo com arestas
de 5 cm?
3)(Somos Educação)Considere o paralelepípedo
abaixo com dimensões de 6 cm, por 2 cm, por 3 cm, e a
unidade de medida de volume é 1 cm³. Vamos calcular
o volume desse paralelepípedo.
a)Há quantos cubinhos de 1 cm³ no paralelepípedo da
figura 3? Qual é o volume do paralelepípedo da figura
3?
b)Há alguma outra maneira de calcular o volume desse
paralelepípedo sem contar os cubinhos que o formam?
Explique.
4)(Somos Educação)Elisabeth faz chocolates para
vender. Ela vende barras de um mesmo tipo de
chocolate, com tamanhos diferentes. As barras têm a
forma aproximada de um paralelepípedo, e os valores
que correspondem ao volume (em cm³), à massa (em g)
e ao preço (em reais) são proporcionais.
Abaixo temos o valor de uma das barras. Analise-o e
escreva os valores das outras duas barras.

24
c)Um quarto tipo de barra de chocolate tem a forma
cúbica e será vendido por R$ 5,76. Determine o seu
volume, a medida de cada aresta e o seu “peso”,
considerando que a proporcionalidade será mantida.
Tópicos que podem ser assuntos desse módulo:
Proporcionalidade e Semelhança de Sólidos,
Simetrias em Sólidos – que precisam entrar na
versão definitiva
Volume do Prisma
1)(Somos Educação)Calcule a medida do volume de
cada um dos sólidos abaixo.
2)(Somos Educação)a)Determine a área, em
centímetros quadrados, da região retangular abaixo.
b)Quantos cubinhos de 1 cm de aresta são necessários
para cobrir a região retangular acima?
c)Quantos cubinhos de 1 cm de aresta são necessários
para encher completamente o prisma abaixo? Esse
valor corresponde à medida do volume do prisma.
d)Como podemos obter o volume desse prisma
relacionando a área da sua base e a sua altura?
e)Vamos agora calcular o volume deste outro prisma.
Para isso, resolva os exercícios a seguir.
Determine a área, em centímetros quadrados, da região
limitada pelo triângulo retângulo abaixo.
f)Quantos cubinhos de 1 cm de aresta são necessários
para encher completamente o prismo abaixo? Esse
valor corresponde à medida do volume do prisma.
g)Como podemos obter o volume do prisma acima
relacionando a área da base e a altura desse prisma?
3)(Somos Educação)Calcule a medida do volume de
cada sólido indicado abaixo.
a) Prisma com 5 cm de altura, cuja base tem como
contorno um triângulo retângulo com lados 6 cm, 8 cm e
10 cm.
b)Cilindro com diâmetro da base da medida igual a 8 cm
e altura de medida igual a 5 cm.
c)Prisma com 6 cm de altura, cuja base tem como
contorno um hexágono regular com lados de 8 cm (use
√3 = 1,7)

25
4)(Somos Educação)Uma caixa de creme dental com
a forma de um bloco retangular tem as seguintes
dimensões: 3 cm, 4 cm e 18 cm. Determine a área da
caixa planificada.
5)(Somos Educação)Para construir uma caixa aberta
com a forma de um bloco retangular, Júlia recortou uma
região poligonal de papelão como está indicado na
figura, dobrou e colocou fita-crepe. Quantos centímetros
quadrados de papelão ela usou?
6)(Somos Educação)Qual é a área do prisma a seguir?
7)(Somos Educação)Veja o prisma de base quadrada:
a)Qual é área lateral desse prisma?
b)Qual é a área de cada uma das suas bases?
8)(Somos Educação)Moacir é marceneiro e quer
construir uma caixa de madeira com a forma e as
dimensões indicadas na figura abaixo. De quantos
centímetros quadrados de madeira Moacir vai precisar
para construir essa caixa?
9)(Somos Educação)Determine a área total
aproximada da superfície do prisma pentagonal abaixo,
formado por duas regiões pentagonais e cinco regiões
retangulares. Use 𝑡𝑔 36° = 0,727.
10)(Somos Educação)Calcule a área total da superfície
de uma caixa cúbica com aresta de 5 cm.
11)(Somos Educação)Um prisma de base triangular
tem as seguintes características:
• Cada base é um região triangular com um
ângulo reto e lados de 6 cm, 8 cm e 10 cm.
• Altura com medida de 8 cm.
a)A área da base.
b)A área da maior face lateral.
c)A área total desse prisma.
12)(Somos Educação)Uma caixa de fósforos é
composta de duas peças. Observe as dimensões da
caixa de fósforo da figura abaixo e responda: em qual
das peças, a ou b, se usa mais material na confecção?
13)(UFABC-SP) Para fabricar um único microchip de 32
megabytes de memória (figura 1) usam-se 1,6 kg de
combustível fóssil e 72 gramas de substâncias químicas
(Enciclopédia do Estudante, Estadão). É necessária
ainda toda a água contida em um prisma reto de base
quadrada (figura 2), com sua capacidade total
preenchida. Sabendo que a densidade da água, ou
massa por unidade de volume, é de 1 g/mL, pode-se
concluir que a massa de água usada para fabricar esse
microchip é igual a:
a)400 g b)500 g c) 550 g
d) 600 g e)700 g

26
14)(UECE) Se um prisma triângulo reto é tal que cada
uma de suas arestas mede 2 m, então a medida do seu
volume é:
a)3√2 m³ b)2√3m³ c)6 m³ d)8 m³
15)(COC)Paula confecciona bombons de chocolate e,
para o Natal, está utilizando uma caixa no formato de
prisma de base triangular, conforme ilustração.
Ele deseja embalar essa caixa com papel de presente.
Considerando as medidas dadas, no esboço a seguir e
sua respectiva planificação (dois triângulos equiláteros
e três retângulos), qual é a quantidade mínima de papel,
em centímetros quadrados, que Paula deverá utilizar?
Considere: √3 = 1,73
16)(COC)Tiago produz envelopes para cartões e cartas.
Um dos modelos que ele produz toma como base a
seguinte planificação:
A planificação é obtida a partir de uma única folha de
papel retangular, conforme esquema e medidas em
milímetros:
A planificação é formada por um triângulo isósceles e
quatro retângulos.
Considerando essa situação, responda ao que se pede.
a)Determine a área total, em centímetros quadrados, da
superfície da folha de papel usada para traçar o molde
do cartão.
b)Determine, em centímetro quadrados, a área da
superfície da folha ocupada apenas pelo molde do
cartão.
c)Depois do recorte do molde, as sobras da folha são
direcionadas para reciclagem. Assim, são
reaproveitadas na própria linha de produção dos
cartões. Que porcentagem de uma folha é desprezada
e enviada para reciclagem após o recorte do molde?
d)Para a confecção de 1000 cartões quantos metros
quadrados de folha são necessários? Desse total,
quantos metros quadrados de folha são reciclados?
17)(COC)Uma caixa de presentes tem o formato de um
prisma de base pentagonal regular.
As medidas dessa caixa são apresentadas no rascunho
a seguir:
Deseja-se embalar essa caixa com um papel adesivo,
cobrindo toda a sua superfície. Qual é a medida da área
total da superfície desse sólido? Considere
tg(36°)=0,73.
O Princípio de Cavalièri
Segunda imagem, do prof. Nilo
Esse princípio é usado para demonstrar os volumes da
pirâmide, do cone e da esfera
Volume da Pirâmide
1)(Somos Educação)Verifique que o volume da
pirâmide é 1/3 do volume do prisma de mesma base.

27
2)(Somos Educação)Pedro ganhou uma pirâmide de
acrílico com as seguintes características: a base é uma
região retangular de 5 cm por 6 cm e a altura é de 9 cm.
Qual é o volume dessa pirâmide?
3)(Somos Educação)A altura dessa pirâmide é de 8,95
cm. A medida de seu volume está mais próxima de 80
cm³, 70 cm³ ou 60 cm³?
4)(Somos Educação)Uma pirâmide de base quadrada
tem altura de 13 cm e sua base tem 2,5 cm de lado, qual
é a medida de seu volume?
5)(Somos Educação)Leia o texto:
Com as informações dadas, descubra a área da base da
pirâmide de Quéops. Use calculadora.
6)(UFPE)Uma pirâmide tem base quadrada e faces
laterais congruentes, como ilustrado a seguir. Se as
arestas laterais da pirâmide medem 10 cm, e a altura da
pirâmide mede 8 cm, qual é o volume da pirâmide?
a)190cm³ b)192cm³ c)194cm³
d)196cm³ e)198cm³
7)(Somos Educação)Faça o desenho da planificação
de um pirâmide de base quadrada, como da figura ao
lado, considerando as seguintes dimensões:
a)cada lado de base 3 cm;
b)cada face lateral: região triangular isósceles com 2,5
cm de altura.
8)(COC)A figura a seguir ilustra um típico vaso de flores.
Ele é confeccionado em madeira e possui o formato de
um tronco de pirâmide regular.
No entanto, uma de suas bases, a maior, não existe.
Deseja-se cobrir toda a parte externa desse vaso,
incluindo o fundo, com um material decorativo.
Determine quantos centímetros quadrados deverão ser
cobertos por este material sabendo-se que a base
menor é um quadrado com 10 cm de lado, as faces
laterais são trapézios com base maior medindo 15 cm e
o apótema do tronco (altura dos trapézios) mede 16 cm.
9)(COC)A figura a seguir mostra um esquema de um silo
utilizado em um sítio para armazenar forragem que será
utilizada na alimentação de bovinos. Ela possui a forma
de um tronco de pirâmide regular, com base na forma de
um quadrado. As dimensões, na figura, são dadas em
metros.
Deseja-se forrar o fundo e as paredes internas deste silo
com um material impermeabilizante. Determina qual
deve ser a área total coberta por esse material.
Volume do Cilindro
1)(Somos Educação)Qual é o volume e área lateral de
um cilindro de altura 8 cm e base sendo um círculo de
raio 4,1 cm?
2)(Somos Educação)Considere o cilindro da figura ao
lado e use 𝜋 = 3,14.
a)Qual é a área lateral desse cilindro?
b)Qual é a área de cada uma das suas bases?
c)Qual é a área total da superfície do cilindro?
4)(Somos Educação)Determinada embalagem de leite
em pó tem forma cilíndrica, como mostra a figura ao
lado. O fundo e a superfície arredondada são feitos de
material metálico; a tampa, que apresenta uma borda
com altura de 0,5 cm, é de material plástico. Tanto o
fundo como a tampa possuem raio de 5 cm. Use 𝜋 =
3,14.
a)Quantos centímetros quadrados de plástico serão
usados para fabricar a tampa de cada lata como essa?
b)Quantos centímetros quadrados do material metálico
serão usados em cada lata?
5)(Somos Educação)Observe as latas cilíndricas A e B
abaixo:

28
a)Transforme em centímetros cúbicos as medidas
dadas em mililitros, que indicam o conteúdo das latas.
Lembre-se que 1 𝑑𝑚3
= 1000 𝑐𝑚3
= 1𝐿.
b)Determine a área da base, em centímetros quadrados,
na lata A e na lata B, com aproximação de décimos. Use
𝜋 = 3,1.
c)Para cada lata, efetue a divisão da medida do volume
pela área de uma base. Compare o resultado obtido a
altura da respectiva lata.
d)Complete: a medida do volume do cilindro dividido
pela _________ dá como resultado a ______.
6)(Somos Educação) Uma indústria recebeu um
pedido para fabricar 2500 peças de ferro maciço, com a
forma e as dimensões indicadas na figura abaixo.
Quantos centímetros cúbicos de ferro serão usados na
fabricação dessas peças? Use calculadora e considere
𝜋 = 3,14.
7)(Somos Educação)Um cilindro tem 225𝜋 cm³ de
volume e o diâmetro de sua base mede 10 cm. Quanto
mede a altura desse cilindro?
8)(Somos Educação)As figuras mostram dois bolos
cilíndricos. Descubra quanto pesa e quanto custa o bolo
da direita. Use 𝜋 = 3,14.
9)(Somos Educação)Em um cilindro que tem a medida
do diâmetro da base igual a 8 cm e a altura igual a 6 cm,
a área total e o volume têm, respectivamente:
a)80𝜋 cm² e 96 𝜋 cm³ b) 80𝜋 cm² e 84 𝜋 cm³
c) 60𝜋 cm² e 96 𝜋 cm³ d) 60𝜋 cm² e 84 𝜋 cm³
10)(COC)Paulo projetou um recipiente que servirá de
comedouro para sua pequena criação de bodes no
formato de um semi-cilindro, isto é, a metade de um
cilindro, conforme mostra a ilustração:
Ele utilizará uma folha de zinco e partirá da seguinte
planificação:
Observe que o raio do semicírculo tem 20 cm e o
comprimento do comedouro será de 80 cm. Nessa
condições, qual é a área da superfície que será utilizada
para a confecção desse comedouro?
11)(COC) Uma caixa de presentes apresenta o formato
de um cilindro com medidas indicadas na ilustração.
Deseja-se encapar toda a caixa com um adesivo
decorativo. Para isso, deve-se saber qual é a área da
superfície de toda a caixa. Calcule essa área.
Volume de Cone
1)(Somos Educação)O professor Manuel deu a Ana
uma tarefa que, a princípio, parecida difícil: relacionar o
volume de um cone com o de um cilindro de mesma
base e altura. Para descobrir, Ana fez o experimento
abaixo, usando cones iguais:
Responda: quantos cones Ana utilizou para preencher o
cilindro? O que se pode concluir, então, a respeito do
volume de cada cone que ela utilizou em relação ao
volume do cilindro?
2)(Somos Educação)Um cone tem altura de 6 cm e o
raio de sua base tem 5 cm, qual é a medida de seu
volume? Use 𝜋 = 3,14.
3)(Somos Educação)Qual destes sólidos tem volume
maior? Considere 𝜋 = 3,14.
4)(Somos Educação)Na figura 1, temos ℎ = 6 𝑐𝑚 e 𝑟 =
3 𝑐𝑚. Calcule o volume do cone inscrito no cilindro. Na
figura 2, temos um cubo de 9 cm de aresta. Calcule o
volume da pirâmide inscrita no cubo. Use 𝜋 = 3,14.
5)(Somos Educação)Quantos litros de água contém o
reservatório da figura abaixo quando está com 80% de
sua capacidade? Use 𝜋 = 3,14.

29
Volume da Esfera
1)(Somos Educação)Veja as fórmulas de área e
volume de uma esfera:
Considere o raio do planeta Terra com medida 6370 km.
Use as fórmulas acima, e com ajuda de uma calculadora
e adotando 𝜋 = 3,14, determine o valor aproximado:
a)Da área da superfície do planeta Terra.
b)Do volume do planeta Terra.
2)(Somos Educação)O volume de água que é
armazenado em uma caixa-d’água é uma função das
dimensões da caixa. Por exemplo, para um reservatório
com formato esférico, o volume pode ser calculado
usando-se a fórmula 𝑉 =
4𝜋𝑅3
3
, em que 𝜋 = 3,141592 …
a)Observe a tabela seguinte:
Represente esses valores graficamente.
b)Use 𝜋 = 3 e determine, aproximadamente, quantos
litros de água cabem em uma caixa-d’água esférica cujo
raio é igual a 1,4 m.
Construções em Malhas
1)(Somos Educação)Desenhe em malhas pontilhadas:
a)três cubos justapostos.
b)dois blocos retangulares justapostos.
c)uma pilha de cubos formadas com seis cubos.
d)uma pilha de cubos construída como você quiser.
e)A letra U formada por 7 cubos.
f)A letra H formada por 12 cubos.
g)A letra E formada por 10 cubos.
2)(Somos Educação)Desenhe em malhas
quadriculadas.
a)quatro cubos justapostos
b)três blocos retangulares, um sobre o outro.
c)um prisma de base hexagonal.
d)uma pirâmide de base pentagonal.
e)uma pilha de cubos construída por 5 cubos.
f)a letra F formada por 8 cubos.
g)a letra O formada por 12 cubos.
3)(Somos Educação)Desenhe em malhas triangulares:
a)cinco cubos justapostos.
b)quatro blocos retangulares, um sobre o outro.
c)a letra L construída com 6 cubos.
4)(Somos Educação)Escreva quantos cubinhos há em
cada figura.
5)(Somos Educação)Numa malha triangular
represente um bloco retangular formado por 16 cubos.
6)(Somos Educação)Ao lado há uma representação de
uma peça formada por 3 cubos. Observe-a e responda:
você acha que, se forem dobradas as medidas de todas
as suas arestas, o volume dobrará?
7)(Somos Educação)Nas figuras abaixo, você vê a
representação de um sólido e de duas de suas vistas.
Escreva que vistas são essas e depois desenhe a vista
de baixo e uma vista lateral.
8)(Somos Educação)Observe a figura espacial
representada abaixo e considere a figura ao lado como
sua vista de frente. Desenhe as vistas de cima, de baixo
e lateral dessa figura espacial.
Perspectiva
1)(Somos Educação)Em geral, nas pinturas, podemos
identificar as que foram e as que não foram feitas com
o uso da perspectiva. Você consegue identificar qual
dos quadros a seguir foi pintado com o recurso da
perspectiva?

30
2)(Somos Educação)Quais as letras estão
representadas em perspectiva?
3)(Somos Educação)Utilizando-se do ponto de fogo
desenhe as figuradas, das a face frontal, em
perspectiva:
4)(Somos Educação)Veja um exemplo de um bloco
retangular abaixo da linha do horizonte visto com dois
pontos de fuga:
5)(Somos Educação)Represente em perspectiva o
bloco retangular e o cubo desses esboços:
6)(Somos Educação)Represente em perspectiva os
três blocos retangulares, em que são dadas as faces
frontais, a linha do horizonte e o ponto de fuga.
7)(Somos Educação)Verifique se cada uma destas
representações em perspectiva está acima ou abaixo
da linha do horizonte.
8)(Somos Educação)Desenhe três blocos retangulares
na linha do horizonte.
9)(Somos Educação)Represente em perspectiva a
pilha de cubos cujo esboço está ao lado. Coloque-a
abaixo da linha do horizonte com o ponto de fuga à
esquerda.
10)(Somos Educação)Determine o ponto de fugo e a
linha do horizonte da representação em perspectiva a
seguir:
11)(Somos Educação)Complete a representação em
perspectiva de um bloco retangular com dois pontos de
fuga, em que a resta frontal e os pontos de fuga já são
dados abaixo.
12)(Somos Educação)Agora, complete a
representação em perspectiva de três caixas em forma
de bloco retangular com dois pontos de fuga, em que
são dados a aresta frontal de cada caixa e os dois ponto
de fuga.
13)(Somos Educação)Usando 6 palitos inteiros e
iguais, construa 4 triângulos equiláteros de mesmo
tamanho.
14)(Somos Educação)Rafael e Marina estão criando
uma atividade que ajuda muito no desenvolvimento da
visão espacial e de sua representação no plano. Um
deles faz uma arrumação com três dados e outro
desenha sua vista superior. Nos itens I a III a seguir,
observe o desenho da arrumação e faça uma previsão
de qual será a vista superior correta. Depois, utilizando
três dados, confira se sua previsão foi correta. Atenção
na posição dos pontos!
15)(Somos Educação)Como chegada da Copa do
Mundo de Futebol, um fabricante de suvenir inventou um
modelo de chaveiro de tecido, em formato de cubo, que

31
sempre destaca as cores amarelo, verde e azul da
seleção brasileira de futebol. O fabricante definiu que,
em todo cubo, as cores das faces opostas e paralelas
são iguais.
a)Para otimizar a produção e minimizar os custos com o
tecido na fabricação dos chaveiros, as faces dos cubos
foram planificadas e justapostas de forma que não
houvesse desperdício nos cortes dos moldes.
A figura abaixo representa um pedaço do tecido utilizado
na fabricação dos chaveiros. Observe a representação
e determine quantos são os cubos do chaveiro que
poderão ser formados com esse pedaço de tecido.
b)Outros modelos de suvenir foram também criados
usando-se a técnica anterior. Veja cada um dos sólidos
abaixo e complete sua planificação obedecendo aos
padrões das cores definidos pelo fabricante.
16) (Somos Educação)Na representação em
perspectiva abaixo, o paralelepípedo está:
a)acima da linha do horizonte e à direita do ponto de fuga
b)acima da linha do horizonte e à esquerda do ponto de fuga.
c)abaixo da linha do horizonte e à direita do ponto de fuga.
d)abaixo da linha do horizonte e à esquerda do ponto de fuga.
Exercícios Gerais
1)(Somos Educação)Muitas pessoas costumam
confeccionar peças de artesanato para vender, como
caixas, enfeites, bijuterias, tapetes, velas, etc. Rogério
trabalha com artesanato e vai montar três caixas para
presente como a da figura da esquerda e mais duas
caixas como a da figura da direita. As faces opostas em
cada caixa têm a mesma cor.
Para isso, ele vai usar fita adesiva, para unir as arestas
das placas, e placas de dois tipos:
a)Quantas placas de cada tipo ele vai usar?
b)Quantos metros de fita adesiva ele vai usar?
2)(Universidade de Coimbra – Portugal) A primeira
figura representa um pedaço de cartão com alguns
segmentos numerados de 1 a 8. A Ana resolveu cortar
o cartão ao longo de quatros desses segmentos para
dobrar o cartão ao longo de outros segmentos e obter o
objeto representado na segunda figura. Qual é a soma
dos números dos segmentos que Ana cortou?
3)(COC)Certo octaedro regular apresenta cada uma de
suas arestas medindo 8 cm, conforme a figura.
Sua planificação pode ser dada por:
Qual é a medida da área total de sua superfície?

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