Apostila verao 19 passos 1

V
I Programa de Verão do
PODEMOS / UEMG
PROF. OTÁVIO LUCIANO CAMARGO SALES DE MAGALHÃES
PASSOS - 2019
CADERNO 1
- Radiciação
- O Mundo das Equações
- Geometria Métrica

I PROGRAMA DE VERÃO DO PODEMOS / UEMG
PASSOS – 2019
Programação:
VB.1 – RADICIAÇÃO
VB.2 – O MUNDO DAS EQUAÇÕES
VB.3 – GEOMETRIA MÉTRICA
VB.4 – ESTATÍSTICA
VB.5 – FUNÇÕES
Aulas Presenciais: 4, 11, 18 e 25 de janeiro e 1º de fevereiro de 2019
Local: UEMG, Prédio Principal, Auditório 1
Metodologia:
1) Aulas Expositivas
2) Tarefas na Plataforma Moodle (todos alunos devem estar no grupo
de WhatsApp onde serão passados login, senha e instrução. São 5
tarefas. As tarefas realizadas constarão do certificado)
3) Provas: dia 18 de janeiro – VB.1, VB.2 e VB.3. Dia 1º de fevereiro –
VB.4 e VB.5. (Não há reprovação. Os alunos que tirarem mais que 5,0
em quaisquer um dos submódulos terão sua nota mencionada no
Certificado).
Certificado: A Carga Horária é de 100 horas.
TODA ORIENTAÇÃO ADICIONAL SERÁ FEITA VIA GRUPO DE
WHATSAPP E BLOG – FIQUEM ATENTOS
Esse curso pressupõe auto-estudo. Temas para estudar em casa constarão no WhatsApp e Blog do
PODEMOS. Não há fiscalização se você estudou ou não (vistos ou registros, por exemplo): o que vale é a
auto-disciplina do aluno.

I PROGRAMA DE VERÃO DO PODEMOS – TURMA B - Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães
35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT
1
VB.1 AULA 1 – Radiciação
Submódulo VB.1
Referência: AULAS 1 e 4 do B5 (ESTÁ NA APOSTILA DO B5 – 1ª VERSÃO)
Concentramos duas aulas longas do B5 aqui. Você dá conta de estudar
sozinho essa aula!
s
Conceito
LEIA COM ATENÇÃO ESSE
QUADRO
Radiciação:
√ 𝒂
𝒏
= 𝒃 quando 𝒃 𝒏
= 𝒂
Essa definição é sempre válida para:
• 𝑛 ∈ ℕ; e
• 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ+.
Acontece que a restrição de usarmos apenas
números positivos é deixada de lado quando
trabalhamos com valor de n ímpar.
Tabela de Potências
QUADRO
𝟐 𝟐
= 𝟒 𝟑 𝟐
= 𝟗 𝟒 𝟐
= 𝟏𝟔 𝟓 𝟐
= 𝟐𝟓
𝟔 𝟐 = 𝟑𝟔 𝟕 𝟐 = 𝟒𝟗 𝟖 𝟐 = 𝟔𝟒 𝟗 𝟐 = 𝟖𝟏
𝟏𝟎 𝟐
= 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟏 𝟐
= 𝟏𝟐𝟏 𝟏𝟐 𝟐
= 𝟏𝟒𝟒 𝟏𝟑 𝟐
= 𝟏𝟔𝟗
𝟐 𝟑
= 𝟖 𝟑 𝟑
= 𝟐𝟕 𝟒 𝟑
= 𝟔𝟒 𝟓 𝟑
= 𝟏𝟐𝟓
𝟔 𝟑
= 𝟐𝟏𝟔 𝟕 𝟑
= 𝟑𝟒𝟑 𝟖 𝟑
= 𝟓𝟏𝟐 𝟗 𝟑
= 𝟕𝟐𝟗
𝟐 𝟒
= 𝟏𝟔 𝟑 𝟒
= 𝟖𝟏 𝟒 𝟒
= 𝟐𝟓𝟔 𝟓 𝟒
= 𝟔𝟐𝟓
𝟐 𝟓 = 𝟑𝟐 𝟑 𝟓 = 𝟐𝟒𝟑 𝟐 𝟔
= 𝟔𝟒 𝟑 𝟔
= 𝟕𝟐𝟗
𝟐 𝟕
= 𝟏𝟐𝟖 𝟐 𝟖
= 𝟐𝟓𝟔 𝟐 𝟗
= 𝟓𝟏𝟐 𝟐 𝟏𝟎
= 𝟏𝟎𝟐𝟒
QUADRO
Nome dos Termos
√ 𝒂
𝒏
= 𝒃
n – índice (n=2 não aparece no índice, não escrito)
a – radicando
b – raiz
√ - radical
Quando o índice é 2, a raiz é chamada de quadrada.
Quando o índice é 3, a raiz é chamada de cúbica.
Radiciação de Números Naturais
1) Calcule:
a)
3
27 b)
4
81 c)
3
64
d)
3
125 e)
4
16 f)
5
32
2) Ache:
a)
33
278 + b)
53
32.125
c)
43
16216 − d) 9814

3) Se 210
=1024, calcule
10
1024 .
4) Calcule
9
512 .
5) Calcule:
a) 81 b)
4
81
c) 16 d)
4
16
e) 256 f)
4
256
Que conclusão que você tira? Registre.
6) Calcule:
a) 256 b)
8
256
7) Calcule
4
625
QUADRO
TABELA DE POTÊNCIAS DE DOIS
𝟐 𝟎
= 𝟏 𝟐 𝟏
= 𝟐 𝟐 𝟐
= 𝟒 𝟐 𝟑
= 𝟖
𝟐 𝟒
= 𝟏𝟔 𝟐 𝟓
= 𝟑𝟐 𝟐 𝟔
= 𝟔𝟒 𝟐 𝟕
= 𝟏𝟐𝟖
𝟐 𝟖
= 𝟐𝟓𝟔 𝟐 𝟗
= 𝟓𝟏𝟐 𝟐 𝟏𝟎
= 𝟏𝟎𝟐𝟒 𝟐 𝟏𝟏
= 𝟐𝟎𝟒𝟖
𝟐 𝟏𝟐
= 𝟒𝟎𝟗𝟔 𝟐 𝟏𝟑
= 𝟖𝟏𝟗𝟐 𝟐 𝟏𝟒
= 𝟏𝟔𝟑𝟖𝟒 𝟐 𝟏𝟓
= 𝟑𝟐𝟕𝟔𝟖
𝟐 𝟏𝟔
= 𝟔𝟓𝟓𝟑𝟔 𝟐 𝟏𝟕
= 𝟏𝟑𝟏𝟎𝟕𝟐 𝟐 𝟏𝟖
= 𝟐𝟔𝟐𝟏𝟒𝟒 𝟐 𝟏𝟗
= 𝟓𝟐𝟒𝟐𝟖𝟖
8) Use uma tabela de potências de 2 e responda:
a)
12
4096
b)
14
16384
c) 65536
d)
1513
327688192 +
9) Ache
33
278 + .
Você se lembra que
2−1
=
1
2
? Estude o assunto!! Essencial!

2
10) Ache 2-1
+
3
8
11) Abaixo não é para usar cancelamento se você
já conhece a técnica. É para resolver a expressão:
a) ( )3
3
8 b)
3 3
8
c) ( )4
4
1 d)
4 4
1
e) ( )2
9 f)
2
9
12) Calcule 121495 −
13) Ache a metade da
333
125278 ++ .
14) Ache o valor de (se preciso, use uma
calculadora):
a)
4
3
8
b)
3 6
8
c)
4 8
10
15) Calcule (vá “chutando” até encontrar o valor)
a)
3
8000
b)
4
160000
Que conclusão que você tira? Registre e verifique, entendendo o porquê.
16) Ache o valor de
3
1000000000
17) Se a=
3
8000 e b=2+32
, ache o valor de
2
10
−
− b
a
18) Ache a metade da 3
64000000
Calculando Raízes por Fatoração
QUADRO
Uma das formas de calcular uma raíz é pela
fatoração. Vamos usar números pequenos, porém,
ela é mais útil para números grandes.
√144
24
32
√144
= √2432
= 22
3
= 12
Observe os
círculos
vermelhos,
multiplique os
fatores
2 ∙ 2 ∙ 3 = 12
√216
3
23
33
√216
3
= √23
333
= 2 ∙ 3
= 6
Observe que
como o índice
é 3,
circulamos 3
números
2 ∙ 3 = 6
Aqui estamos usando propriedades da radiciação
meio que intuitivamente. Veremos elas em detalhes!
Toda vez que aparecer a mãozinha LEIA
1) Utilizando-se da fatoração, descubra as raízes.
Você pode fazê-la apenas circulando os números
repetidos:
a)√2401
b) √5184
c)√1728
3
d)√3375
3
e) √104976
4
f) √759375
5
Regra Prática de Simplificação de
Raízes
QUADRO
O que faremos a seguir é apenas uma simplificação
bem útil, que nos permitirá escrever raízes de forma
mais simples. As propriedades que fundamentam as
regras aprenderemos nessa aula.
Os valores fora do círculo são multiplicados e se
mantém dentro da raiz. Os valores dentro do círculos
são multiplicados e ficam fora da raiz.
Raiz Quadrada
√12 = 2√3
√108
= 2 ∙ 3√3
= 6√3
√540
= 2 ∙ 3√3 ∙ 5
= 6√15

3
√72
= 2 ∙ 3√2
= 6√2
√360
= 2 ∙ 3√2 ∙ 5
= 6√10
√30, não
pode ser
simplificado
1) Simplifique, se possível, utilizando-se da
fatoração:
a) √12 b) √20
c) √18 d) √150
e) √192 f) √400
g) √140 h) √98
QUADRO
Raiz Cúbica
√81
3
= 3√3
3
√324
3
= 3√2 ∙ 2 ∙ 3
3
= 3√12
3
√648
3
= 2 ∙ 3√2
3
= 6√2
3
Analogamente, em grupos de quatro, vocês
simplificam raízes quarta.
fatoração:
a) √108
3
b)√360
3
c) √54
3
d) √72
3
h) √96
3
i) √625
3
j) √720
3
k) √729
3
(Faça as fatorações em um rascunho)
fatoração:
a) √32
4
b) √162
4
c) √80
4
d) √1280
4
3) Simplifique √160
5
.
Radiciação de Números Inteiros
QUADRO
Sabemos que:
52
= 25 e (−5)2
= 25
Não faz sentido dizermos que √25=5 e que √25=-5.
Não é possível uma única operação ter dois
resultados diferentes!
Definimos então, que a raiz quadrada de um número
positivo é positivo.
Aliás, se n for par
√ 𝒂
𝒏
= 𝒂
Sendo b>0.
Já para a<0 NÃO EXISTE raiz quadrada ou de índice
par de números negativos:
Ex:
• √−36 não existe
• √−1
4
não existe
Quanto ao índice ímpar, a definição
√ 𝒂
𝒏
= 𝒂
Sempre é válida:
Ex:
• √−8
3
= −2
• √−1
5
= −1
1) Calcule, se for possível:
a)
3
27− b)
3
27 c)
4
16
d)
4
16− e) 36− f)
g) h)
5
32−
2) Ache o valor de x:
a) x2
=16 b) x2
=49 c) x2
=-1
36
5
32

4
d) x3
=-27 e) x3
=8 f) x3
=-1
g) x4
=16 h) x4
=-16
Note que o exercício 2 não trata de raízes! Mas é fundamental para
compreendê-las.
3) Resolva
3 322
27.35 −−
4) Calcule:
a)
3
8000− b)
4
160000−
5) Calcule:
a)
5
100000 b)
3
27000−
Radiciação de Números Racionais
Existe uma crise no ensino das frações e números decimais. Mas esse é
um dos assuntos mais básicos do Ensino Fundamental, séries iniciais. Procure
entender e aprender os exercícios.
1) Calcule:
a)
6
0 b) 3
27
8−
2) Ache o valor de
9
1
3
25
4
+
3) Ache o valor de O valor de 0,0000646
4) Calcule o valor de 33 001,0
27
8
−−
1ª Propriedade da Radiciação
QUADRO
1ª Propriedade
√ 𝒙 𝒏𝒏
= 𝒙, com 𝒙 ∈ ℝ+, 𝒏 ∈ ℕ e 𝒏 > 𝟏
Exemplo de aplicação:
a)√733
= 7
b) √52 = 5 (quando não há índice ele é 2)
c) √(𝑥 − 4)44
= 𝑥 − 4 para 𝑥 ≠ 4
d) √(−4)2 não pode ser simplificado, pois o
radicando é negativo!
Veja que, apesar da propriedade não dar essa
abertura, temos que é possível cancelar
expoentes e índices quando eles são ímpares,
mesmo que o número seja negativo:
√(−1)33
= −1
1) Dê o valor das expressões:
a)√52 b) √182
c) √(
1
3
)
2
d) √𝑥2 (𝑥 ≥ 0)
e) √(4𝑎3)2 (𝑎 ≥ 0) f) √(𝑥 − 4)2 (𝑥 ≥ 4)
2) Dê o valor das expressões:
a) √533
b) √744
c) √(5𝑥)66
(𝑥 ≥ 0)
d) √(𝑎3 𝑏2)99
(𝑎, 𝑏 ≥ 0)
3) Decomponha os números a seguir em fatores
primos e calcule usando essa propriedade:
a) √49 b) √729
6
c) √625
4
d) √343
3
Faça as fatoração num rascunho!
4) É possível simplificar?
a) √(−5)33
b) √(−5)44
5) Verifique quanto vale √(−4)2.
(Não use a propriedade, pois ela não funciona!)
QUADRO
2ª Propriedade
√ 𝒙 𝒎𝒏
= √ 𝒙 𝒎:𝒑𝒏:𝒑
, com 𝒙 ∈ ℝ+, 𝒎, 𝒏, 𝒑 ∈ ℕ, 𝒏 > 𝟏
e 𝒎 ≠ 𝟎
Exemplos de aplicação:
a)√546
= √54:26:2
= √523

5
b) √3515
= √35:115:5
= √353
c) √348
= √34:48:4
= √3. Note que índice 2 e
expoente 1 não precisam ser escritos!
d) √5155
= √515:55:5
=√531
= 53
. Note que √
1
não
faz sentido, é o mesmo que nada escrever no
índice!
e) √(4𝑥3)64
= √(4𝑥3)6:24:2
= √(4𝑥3)3 para 𝑥 ≥ 0
1) Simplifique os radicais (considere no item ‘g’:
a>0 e no item ‘h’: a,b>0)
a) √31015
b) √4318
c) √7918
d) √3159
e) √1069
f) √𝑥1421
g) √𝑎1220
h) √(𝑎𝑏)69
2) Determine o valor de x em cada igualdade
(basta raciocinar ou usar proporções):
√7315
= √74𝑥
⇒
15
3
=
𝑥
4
⇒ 3𝑥 = 60 ⇒ 𝑥 =
60
3
⇒ 𝑥
= 20
a) √3814
= √34𝑥
b) √548
= √5 𝑥
c) √11515
= √11 𝑥3
d) √8 𝑥10
= √8
5
Lembre-se que na ausência do índice, ele é 2 e na ausência do
expoente ele é 1.
3) Decomponha o radicando em fatores primos e
use a 2ª propriedade para simplificar os radicais:
a) √32
10
b) √27
9
c) √81
16
d) √16
6
e) √64
8
f) √1024
12
Faça as fatoração num rascunho!
QUADRO
3ª Propriedade
√√ 𝒙𝒏𝒎
= √ 𝒙𝒎𝒏
, com 𝒙 ∈ ℝ+, 𝒎, 𝒏 ∈ ℕ e 𝒎, 𝒏 > 𝟏
a) √√7
35
= √7
5∙3
= √7
15
b) √√4
3
= √4
3∙2
= √4
6
c) √√5 = √5
2∙2
= √5
4
Lembre-se que na ausência do índice ele é 2.
1) Escreva sob a forma de uma única raiz (no item
‘e’ – x>0):
a)√√3
5
b) √√3
c) √√ 𝑥75
d) √√7
33
e) √√ 𝑥
6
f) √√√5
g) √√√4
3
h) √√√5
5
i) √√ √5
1136
j) √√√√7
2) Usando as propriedades aprendidas,
simplifique ao máximo possível os radicais a
seguir (lembre-se de fatorar o radicando):
a) √√64
43
b) √√243
5
3) Determine o valor de x nas igualdades:
a) √√ 𝑥
𝑥5
= √ 𝑥
15
b) √√5
𝑥7
= √5
14
c) √√3
𝑥
= √3
10
d) √√√7=√√7
𝑥4
e) √√5
𝑥6
= √√5
4𝑥
f) √√10
𝑥𝑥
= √√10
94
4) Explique como usar uma calculadora para
determinar √3
8
. Por qual motivo essa regra
funciona?
QUADRO
4ª Propriedade
√ 𝒙𝒚𝒏
= √ 𝒙𝒏
√ 𝒚𝒏
, com 𝒙, 𝒚 ∈ ℝ+, 𝒏 ∈ ℕ e 𝒏 > 𝟏
a) √5.7 = √5√7
b) √4.7
3
= √4
3
√7
3
c) √3𝑎𝑏
7
= √3
7
√ 𝑎7
√𝑏
7
(com a,b>0)

6
1) Escreva como um produto de radicais (no item
“b” – a,b>0; no item “c” – x,y>0):
a) √3 ∙ 11 b) √𝑎𝑏
c) √5𝑥2 𝑦 d) √4 ∙ 13
3
e) √5 ∙ 9 ∙ 3
7
f) √3𝑎𝑏55
2) Decomponha os radicandos em fatores primos
e escreva cada radical como produto de radicais:
a) √10 b) √21
6
c) √15
7
d) √30
3
e) √154
5
f) √12
3
3) Transforme as multiplicações em um único
radical:
a) √5
3
∙ √7
3
b) √7
4
∙ √13
4
c) √4
3
∙ √12
3
d) √5 ∙ √3
e) √8
3
∙ √4
3
∙ √3
3
f) √2 ∙ √5 ∙ √7
g) √𝑥2 𝑦33
∙ √𝑥4 𝑦
3
h) √𝑥53
∙ √2𝑥33
∙ √3𝑥113
4) Simplifique ao máximo (use mais propriedades):
√2320
∙ √2
2
QUADRO
5ª Propriedade:
√
𝒙
𝒚
𝒏
=
√ 𝒙𝒏
√ 𝒚𝒏 , com 𝒙, 𝒚 ∈ ℝ+, 𝒚 ≠ 𝟎, 𝒏 ∈ ℕ e 𝒏 > 𝟏
Exemplos de Aplicação:
a) √
5
3
=
√5
√3
b) √
1
5
5
=
√1
5
√5
5
1) Transforme em um quociente de radicais
(suponha que no item ‘b’ – y>0):
a) √
1
5
b) √
𝑥4
𝑦3
c) √
7
5
3
d) √
2
13
6
2) Transforme em produtos e quocientes de
radicais (suponha que no item ‘b’ - y≠0, no item ‘c’
– x>0):
a) √
3𝑥
5
3
b) √
4𝑥
5𝑦
5
c) √
1
5𝑥
d) √
3𝑥2
7𝑦4
QUADRO
6ª Propriedade
( √ 𝑥
𝑛
)
𝑝
= √ 𝑥 𝑝𝑛
, com 𝑥 ∈ ℝ+, 𝑝 ∈ ℝ , 𝑛 ∈ ℕ e 𝑛 >
1
Exemplos de Aplicação:
a) Para efetuarmos (√5
3
)
6
, podemos fazer
√563
e usar a 2ª propriedade e obtermos
√531
= 53
= 125
b) Podemos fazer o cancelamento (√3
5
)5
=
3
c) Para efetuar √853
eu posso usar essa
propriedade “ao contrário”: √853
=
(√8
3
)
5
= 25
= 32
1) Calcule os seguintes valores:
a) √2723
b) √493
c) √1634
d) √8154
e) √1693 f) √255
g) √1024710
h) √62534
2) Calcule combinando a 6ª e a 2ª propriedade:
a) (√3
4
)
8
b) (√5
3
)
9
3) Simplifique:
a) (√5
5
)
5
b) (√3
7
)
7
Propriedades da Radiciação
QUADRO
Propriedades
Sejam 𝑥, 𝑦, 𝑚, 𝑛, 𝑝𝜖ℝ, sendo x, y positivos.
R1 √ 𝑥 𝑛𝑛
= 𝑥
R2 √ 𝒙𝒚𝒏
= √ 𝒙𝒏
√ 𝒚𝒏
R3 √
𝒙
𝒚
𝒏
=
√ 𝒙𝒏
√ 𝒚𝒏
R4 √ 𝒙 𝒎𝒏
= √ 𝒙 𝒎𝒑𝒏𝒑

7
R5 √ 𝒙 𝒎𝒏
= √ 𝒙 𝒎:𝒑𝒏:𝒑
R6 (√ 𝒙𝒏
)
𝒑
= √ 𝒙 𝒑𝒏
R7 √√ 𝒙𝒏𝒎
= √ 𝒙𝒎𝒏
Note que mudamos os números das propriedades e
também acrescentamos as R4 e R5 para a 2ª
Propriedade, além de pequena alteração na R6.
Não há um padrão nessas propriedades. Isso varia
de autor para autor!
1) Simplificar os radicais (use as propriedades):
64d)
5c)
3b)
2a)
3
3 3
4 8
12 6
2) Reduza à uma só raiz
3 4)
3 8)
5 10)
c
b
a
5 32)
3 27)
3 4 5)
f
e
d
3 22)
3 3 12)
)
i
ah
ag
4 3 85)
64)
2)
m
l
aj
3) Simplificar os radicais:
160c)
32b)
320a)
4
3
80h)
625g)
40f)
18e)
12d)
4
3
3
Exemplo:
363.3.23.3.23.3.23.2108
1
22
2
22
1
32
=====
RRP
(existem modos mais rápidos que você pode inventar)
0)ceba,(comcb8ac)
0)(a16ab)
0)(aaa)
963
3 5
5 13



( )4
2
10
3
5
10
3
3f)
32e)
64d)
1024c)
32b)
16a)
x
x
b)3a)
3 4
3 7
2-
3
27
f)
502e)
34
29
.
58
17
d)
8c)
54b)
48a)
3 4
3
a
Simplificação de Radicais
QUADRO
Vamos combinar as propriedades estudadas na Aula
1 para simplificarmos radicais.
O que faremos aqui explica bem a regra prática
apresentada na Aula 1.
Também já fizemos isso em um exercício anterior.
Mas aqui está mais formalizado!
Simplifique
a)√𝟔𝟑 =⏞
𝑭𝒂𝒕𝒐𝒓𝒂𝒏𝒅𝒐
𝒐 𝒓𝒂𝒅𝒊𝒄𝒂𝒏𝒅𝒐
√𝟑 𝟐 𝟕 =⏞
𝑹𝟐
√𝟑 𝟐
√𝟕 =⏞
𝑹𝟏
𝟑√𝟕

8
b)√𝟏𝟎𝟖𝟎
𝟑
=⏞
√𝟐 𝟑 𝟑 𝟑 𝟓
𝟑
=⏞
𝑹𝟐
√𝟐 𝟑𝟑
√𝟑 𝟑𝟑
√𝟓
𝟑
=⏞
𝑹𝟏
𝟐 ∙ 𝟑√𝟓
𝟑
= 𝟔√𝟓
𝟑
Em alguns casos é preciso usar a propriedade da
potenciação para conseguir aplicar a propriedade da
radiciação:
a)√𝟏𝟐𝟓 =⏞
√𝟓 𝟑 =⏞
𝑷𝒓𝒐𝒑𝒓𝒊𝒆𝒅𝒂𝒅𝒆
𝑷𝒐𝒕𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂çã𝒐
√𝟓 𝟐 𝟓 =⏞
𝑹𝟐
√𝟓 𝟐√𝟓
=⏞
𝑹𝟏
𝟓√𝟓
b)√𝟏𝟐𝟖
𝟑
=⏞
√𝟐 𝟕𝟑
=⏞
√𝟐 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐
𝟑
=⏞
𝑹𝟐
𝟐 ∙ 𝟐√𝟐
𝟑
=⏞
𝑹𝟏
𝟒√𝟐
𝟑
c) √𝟔𝟒𝟖 =⏞
√𝟐 𝟑 𝟑 𝟒 =⏞
√𝟐 𝟐 𝟐 ∙ 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐
=⏞
𝑹𝟐
√ 𝟐 𝟐√𝟐√ 𝟑 𝟐√ 𝟑 𝟐 =⏞
𝑹𝟏
𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝟑√𝟐 = 𝟏𝟐√𝟐
1) Simplifique os radicais usando das
propriedades da radiciação. Tenha consciência
das operações utilizadas.
a)√32 ∙ 13
b) √3 ∙ 555
c) √24 ∙ 3 ∙ 5
4
d) √2 ∙ 35 ∙ 5
5
e) √2 ∙ 33 ∙ 533
f) √543
g) √37
h) √23 ∙ 32
i) √28 ∙ 394
j) √2115
2) Considere os valores de x e y positivos:
a)√𝑥5
b)√𝑦43
c) √𝑥2 𝑦3
d)√𝑥5 𝑦75
e) √𝑥9
f)√𝑦125
g)√𝑦109
h) √𝑥1310
3) Simplifique os radicais:
a)√45
b) √300
c) √500
d) √54
3
e) √128
6
f) √270
g) √192
5
h) √176
4
i) √1200
j) √375
3
4) Considere √2 = 1,41 e √3 = 1,73, que são
valores aproximados, e determine os valores
aproximados a seguir:
Primeiramente fatore e simplifique como você fez no exercício
anterior, e depois substitua os valores acima, dados.
a) √18
b) √48
c) √32
d) √200
e) √162
f) √75
QUADRO
Olha o tipo de cancelamento que você NÃO
PODE fazer:
2 + √8
2
= √8
Como falamos na Aula 2 (fatoração), você só
pode cancelar se numerador e denominador
estejam fatorados.
Sabemos que √8 = 2√2, então o correto é:
2 + √8
2
=
2 + 2√2
2
=
2(1 + √2)
2
= 1 + √2
Note que FATORAMOS o numerador.

9
4) Simplifique o radical e simplifique a expressão
colocando o fator comum em evidência:
a) 5 + √50
b) 3 − √18
c) 10 − √8
d) 10 + √200
Exemplo: 9 + √45 = 9 + 3√5 = 3(1 + √5)
5) Simplifique as frações. Veja que é fundamental,
nesse caso, fatorar os termos:
a)
2+√12
2
b)
10−√50
5
c)
2+√8
2
d)
7−√98
14
6) Simplifique as frações (necessário usar a
fatoração, colocando fatores comuns em
evidência0:
a)
4+√12
6+√27
b)
3+√27+√18
4+√32+√48
7) Se √12 = 3,46, determine um valor para √300.
Nessa questão, se você tentar fazer seguindo uma regra, não vai
conseguir. É necessário pensar e aplicar as propriedades!
8) Simplifique os radicais, usando várias
propriedades:
a)√√1536
b) √√√4096
3
Redução de Radicais para um
mesmo índice
QUADRO
Eu quero saber qual radical simplificado resulta em
3√2.
Basta fazer o processo inverso usando as
propriedades da operação:
3√2 = √32√2 = √322 = √18
Note que é pegar o número fora da raiz e “jogar para
dentro” elevando à potência correspondente ao
índice.
Outros exemplos:
a) 2√3
3
= √233
√3
3
= √233
3
= √24
3
b) 3√3
5
= √355
√3
5
= √365
= √729
5
c) √3√3
35
= √√333
√3
55
= √√333
35
= √3415
= √81
15
d) 3√324
= √344
√324
= √34324
= √364
= √33
Note que você usou várias propriedades para efetuar
as expressões. Procure entender cada uma delas.
Refaça os exemplos do caderno, identificando as propriedades
utilizadas. Essa informação é IMPORTANTE.
1) Introduza os fatores externos no radicando:
a) 7√3
b) 2√5
c) 10√2
d) 5√7
e)5√2
3
f) 2√10
6
2) Considerando a e b números positivos,
introduza os fatores externos no radicando:
a) 6√ 𝑎
b) 2𝑎√𝑏
c) 5𝑎√ 𝑎
d) 2𝑎𝑏√𝑎𝑏
e) 𝑏√𝑎𝑏
3
f) 𝑎√2𝑎
5
g) 3𝑏√𝑎𝑏
4
3) Transformem as expressões em um único
radical usando as propriedades da radiciação:
a) √ 𝑥√𝑥236
b) √ 𝑥√𝑥2 𝑦35
4) Introduza os fatores externos no radicando:
a) 2√3
b) 7√5
3
c) 2√2
5
d) √ 𝑥√ 𝑥
35
5) Sendo a, b, c números reais positivos, mostrar
que a b c a b c3 6 212
= .

10
Redução de Raízes ao mesmo
índice
QUADRO
Vamos reduzir para o mesmo índice:
a)√3
3
e √3
4
Como os índices são 3 e 4, vamos transformar
ambos os índices em 12, pois 12=mmc(3,4) – é
múltiplo comum de 3 e 4.
Usando a propriedade R4 (2ª propriedade) temos
que:
√3
3
= √3412
√3
4
= √3312
Portanto, para reduzir √3
3
e √3
4
ao mesmo índice,
temos √3412
e √3312
.
b) √256
e √239
mmc(6,9)=18
Então: √256
= √21518
e √239
= √2618
Portanto, a redução ao mesmo índice é √21518
e √2618
Pesquise: “Redução de Raízes (Radicais)
ao mesmo índice” no Youtube.
1) Reduza ao mesmo índice:
a)√2
3
e √3
4
b) √5 e √5
4
c) √4, √2
3
e √3
4
d) √𝑥45
e √𝑦23
e) 5 e √4
3
Lembre-se que 5 = √5
1
2) Reduza os radicais ao mesmo índice:
√𝑥𝑦23
, √𝑥34
e √ 𝑦
3) Reduza ao mesmo índice:
43
3
35
37
4 53 2
5,2,3e)
5,3d)
4,7c)
3,2,6b)
2,3,5a)
Exemplo: Para reduzir ao mesmo índice o item “a” reduzimos os
índices 2 (raiz quadrada o índice é 2, ou seja, quando não tiver índice,
índice 2), 3 e 4 à um mesmo número – sendo o melhor número para
isto, o mínimo múltiplo comum de 2, 3 e 4, ou seja, 12. Depois
aplicamos em cada item R4.
Veja:
12 662 61
555 == x x
;
12 843 423 2
333 == x x
;
12 1534 354 5
222 == x x
.
Comparação de Radicais
QUADRO
Para comparar dois radicais, o primeiro passo é
reduzir os radicais a um mesmo índice.
a) Compare √2 e √3
3
Reduza à um índice comum (que você já notou ser
idêntico ao reduzir à um denominador comum):
mmc(2,3)=6
√2 = √23
6
= √8
6
√3
3
= √326
= √9
6
Como 8<9, temos que:
√2 < √3
3
b) Coloque em ordem crescente √2 , √5
3
e √7
4
.
Reduza à um índice comum:
mmc (2,3,4)=12
√2 , √5
3
e √7
4
√2612
, √5412
e √7312
√64
12
, √625
12
e √343
12
Colocando em ordem crescente:
√64
12
< √343
12
< √625
12
E portanto a resposta é:
√2 < √7
4
< √5
3
Pesquise: “Comparação de raízes
(radicais)”
Fonte: http://matemagicaa.blogspot.com/2012/03/reducao-dos-
radicais-ao-mesmo-indice.html
1) Comparar os radicais:
a) 5 23 3
e
b) 36
e 24
Atenção: Para comparar radicais é fundamental reduzi-los ao
mesmo índice.
2) Escrever em ordem crescente os números
5 2 93 3 3
, , .
3) Escrever em ordem decrescente os números
5 2 34 3
, , .
4) Coloque em ordem √7
3
, √3 e √524
.

11
VB.1 AULA 2 – Racionalização de Denominadores
Submódulo VB.1
Referência: AULAS 7 do B5 (ESTÁ NA APOSTILA DO B5 – 1ª VERSÃO)
Esse é um tema básico do 9º ano, onde aqui, não aprofundamos. Exige
domínio dos produtos notáveis.
EXERCÍCIOS OBRIGATÓRIOS
Racionalização de Denominadores
QUADRO
Racionalizar denominadores é uma prática de retirar as
raízes de um denominador e transformá-lo em número
inteiro.
Por Exemplo
1
√2
pode ser racionalizado multiplicando
denominador e numerador por √2:
2
2
22
21
2
1
==
(Sempre é permitido multiplicar numerador e
denominador por um mesmo número diferente de zero)
Para racionalizar, por exemplo
5
√2+1
é racionalizado ao se
multiplicar numerador e denominador por √2 − 1:
( )
( )( ) 525
1
525
12
525
1212
125
12
5
−=
−
=
−
−
=
−+
−
=
+
Note que há duas formas de escrever o mesmo radical
1
√2
ou
√2
2
. Padronizamos escolhendo a 2ª forma. Parece-me
que a padronização é o maior motivo da racionalização!!!
Mas há vários outros motivos.
Educadores mostram que uma das vantagens é que,
sabendo que √2 = 1,41421356237. .., ao tentar
transformar
1
√2
em numero decimal, seria muito trabalhoso
dividir 1 por 1,41421356237. ... Já a divisão para
transformar
√2
2
é bem mais simples, pois é dividir
1,41421356237. ... por 2, o que é evidentemente mais
fácil!
Explicação em vídeo 3:45
O Porquê
https://youtu.be/mdclHUK6xn8
1º Caso de Racionalização
QUADRO
Para racionalizar denominadores onde há
apenas uma raiz quadrada simples no
denominador é algo bastante fácil de ser feito.
Basta multiplicar denominador e numerador
pela raiz quadrada do denominador:
Exemplos:
a)
5
√3
=
5
√3
∙
√3
√3
=
5√3
3
(É bastante óbvio que
√3 vezes √3 é 3, pela própria definição
do que é raiz quadrada)
b)
√2
√3
=
√2
√3
∙
√3
√3
=
√6
3
c)
3
2√2
=
3
2√2
∙
√2
√2
=
3√2
2∙2
=
3√2
4
(Note que
basta multiplicar numerador e
denominador por √2, não sendo
necessário multiplicar por 2√2)
d) √
2
3
=
√2
√3
=
√2
√3
∙
√3
√3
=
√6
3
1) Racionalize os denominadores:
a)
2
5
b)
23
2
c)
7
5
d)
52
3
e)
3
1
f)
35
23

12
2) Determine o valor de x em cada caso,
apresentando a resposta racionalizada quando o
caso:
a) 3𝑥2
= 5
3x²=5, então 𝑥2
=
5
3
e 𝑥 = ±√
5
3
= ±
√5
√3
∙
√3
√3
= ±
√15
3
b) 5𝑥² = 1
c) 4𝑥² = 1
d) 5𝑥2
+ 3 = 1
e) 3(4𝑥2
− 1) = 1
3) (Taubaté) Simplificando a expressão
2
3
3
2
+ , obtém-se:
a)1 b) c)
5
6
d)
13
5
e)
5 6
6
13
6
Faça cada racionalização separada e depois some os resultados
4) Racionalize os denominadores a seguir:
a)
1−√3
√3
Lembre-se e entenda o porquê ao efetuar (1 − √3)√3 = √3 − 3
b)
3−√2
√2
c)
√5+√2
√5
d)
√3−√2
√3
e)
2+√2
√2
f)
1+√2
√5
QUADRO
Quando a raiz não é quadrada, é preciso fazer
um “malabarismo” com as propriedades das
raízes. O malabarismo é muito complexo de se
explicar com palavras, veja e tente
compreender, à luz das propriedades:
a)
1
√2
3 =
1
√2
3 ∙
√223
√223 =
√223
√233 =
√223
2
=
√4
3
2
b)
5
√25
3 =
5
√523 =
5
√523 ∙
√5
3
√5
3 =
5 √5
3
√533 =
5 √5
3
5
= √5
3
c)
1
√9
5 =
1
√325 =
1
√325 ∙
√335
√335 =
√335
√355 =
√27
5
3
d)
5
√16
3 =
5
√243 =
5
√243 ∙
√223
√223 =
5 √243
√263 =
5 √16
3
4
Se você não entendeu, procure na Internet
explicações, e veja o “aulão”. É fundamental
saber fazer.
Sempre que apresentarmos exemplos é
importante entender 100% dos exemplos. Leia-
os, copie-os, grife-os.
Aulão de Racionalização
31:35
https://youtu.be/MIe15OfMTWQ
1) Racionalizar o denominador de:
a)
3
√4
4
b)
5
√7
7
c)
3
√2
4
d)
2
√32
7
e)
2
5 √8
4
f)
8
√10000
7
a)
1
√635
b)
2
√279
c)
4
√834
d)
20
√10811
3) Resolva as equações e racionalize os
resultados:
a)3𝑥3
− 5 = 0 b)5𝑥4
− 1 = 0

13
a)
1
√635
b) 5
2
3
c)
5 2
3
7
d)
3 2
6
6
Lembre: Quando deixamos apenas em forma de radicais, sem
colocar o valor aproximado, falamos que DEIXAMOS INDICADOS, já
que é impossível dar o valor exato, ante a infinitude de casas
decimais
QUADRO
Vamos racionalizar denominadores que contém
somas e diferenças, onde um dos termos é uma
raiz quadrada.
Para resolvermos essas racionalizações, vamos
usar o seguinte produto notável:
𝑥2
− 𝑦2
= (𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦)
Se tivermos, por exemplo:
√3 + 1
Podemos estrategicamente multiplica-lo por:
√3 − 1
(algumas vezes chamado de conjugado)
Teremos então:
(√3 + 1)(√3 − 1) = (√3)
2
− 1 = 3 − 1 = 2
Note que conseguimos encontrar um número
inteiro. Isso sempre funciona com soma de
raízes quadradas:
Então:
Exemplo 1
1
√3 + 1
=
1
√3 + 1
∙
√3 − 1
√3 − 1
=
√3 − 1
(√3)
2
− 12
=
√3 − 1
3 − 1
=
√3 − 1
2
Dependendo do denominador teremos que
aplicar a propriedade distributiva, conhecida por
chuveirinho, que estudamos no Módulo B2.
Exemplo 2
5
√2 + 1
=
5
√2 + 1
∙
√2 − 1
√2 − 1
=
5(√2 − 1)
(√2)
2
− 12
=
5√2 − 5
2 − 1
=
5√2 − 5
1
= 5√2 − 5
Ou ainda:
Exemplo 3
√3 + 1
√3 − 1
=
√3 + 1
√3 − 1
∙
√3 + 1
√3 + 1
=
(√3)
2
+ √3 + √3 + 1
(√3)
2
− 12
=
4 + 2√3
3 − 1
=
4 + 2√3
2
Note que
4+2√3
2
tem todos coeficientes pares, o
que faz com que eu possa “fatorar por
evidência” o numerador para fazer um
cancelamento:
4 + 2√3
2
=
2(2 + √3)
2
= 2 + √3
Note que NÃO É DIFÍCIL, mas é preciso
dominar técnicas de manipulação algébrica, que
você aprende APENAS COM A PRÁTICA.
Veja mais um exemplo, mas complicado.
Exemplo 4
1
1 + √2 + √3
=
1
1 + √2 + √3
∙
1 + √2 − √3
1 + √2 − √3
=
1 + √2 − √3
(1 + √2)
2
− (√3)
2
=
1 + √2 − √3
1 + 2√2 + (√2)
2
− 3
=
1 + √2 − √3
1 + 2√2 + 2 − 3
=
1 + √2 − √3
2√2
=
1 + √2 − √3
2√2
∙
√2
√2
=
(1 + √2 − √3)√2
2√2√2
=
√2 + √4 − √6
2√4
=
√2 + 2 − √6
2 ∙ 2
=
2 + √2 − √6
4
=
Eu sei que é complicado! Que exigem muitos
cálculos, e que é fácil errar. Por isso é preciso
fazer muitos exercícios! Só a prática leva para a
perfeição!
1) Faça a racionalização das seguintes
expressões:
a)
62
4
−

14
h)
26
5
−
b)
35
2
−
i)
25
34
+
c)
23
7
−
j)
13
9
+
d)
67
32
+
k)
37
3
+
e)
79
12
+
l)
311
26
−
f)
35
5
+
m)
135
6
+
g)
73
34
+
n)
104
8
−
2) Racionalize o denominador de:
12
12
f)
323
1
e)
13
3
d)
132
2
c)
35
2
b)
25
2
a)
−
+
+
−
+
−
+
No item ‘f’ você terá que fazer o chuveirinho!
4) Racionalizar os denominadores de:
5
1
f)
37
8
e)
13
2
d)
221
1
c)
2
1
b)
2
1
a)
3 2
3
+
−
++
−
No item “c” você precisará pensar! Uma dica é usar
sucessivamente a racionalização! É um desafio. Persistindo a dúvida,
fale comigo!
5) (MACK) Racionalizando o denominador da fração
3
4 2 2 3−
temos:
a) 3 + 4 2 b) 2 +12 3 c)
8 2
d) e)82 6
16 3
3
12 2 6 3
20
+ +
6) (FUVEST) O valor da expressão
2 2
2 1
−
−
é:
a) 2 b)
1
2
c)2 d)
1
2
e) 2 +1
7)(G.V.)
3 5 2 13
7 5 3 13
−
+
é igual a:
a)
183-23 65
b)
5 65
3
c) -
1
15
d) -
7
128
e)1
128
3 13−

15
VB.1 AULA 3 – Potência de Expoente Fracionário
Submódulo VB.1
Trata-se de tema básico do 9º ano. Vale a pena ser estudado com certo
cuidado e observando-se os atalhos.
s
Potência de Expoente Fracionário
QUADRO
Podemos afirmar que:
𝑎
𝑚
𝑛 = √𝑎 𝑚𝑛
Isso vale para qualquer a positivo e n≠0.
Vale uma regra mnemônica:
m está por cima! (está bem!)
então
m está por dentro!
E
n está por baixo! (está mal!)
então
m está por fora!
Mas o que explica isso? Usando as propriedades
𝑎
𝑚
𝑛 =⏞
𝑅1⇐
√(𝑎
𝑚
𝑛 )
𝑛𝑛
=⏞
𝑃3
√ 𝑎
𝑚∙𝑛
𝑛
𝑛
= √𝑎 𝑚𝑛
(Existem outras explicações)
1) Escreva em forma de potência com expoente
fracionário:
a)√223
b) √𝑎35
c) √5 d) √𝑥34
e) √2
3
f) √ 𝑎
g) √ 𝑥 h) √ 𝑎4
i) √𝑥56
j) √53
Lembre-se que na ausência de índice ele é 2 e na ausência de
expoente ele é 1. Então √ 𝑥 = √𝑥12
= 𝑥
1
2
l)
1
√3
= √
1
3
= √3−1
Você pode fazer direto, sem as transformações acima!
m)
1
√4
3 n)
1
√𝑎35
2) Escreva na forma de radical (simplifique, e não
escreva 1 no expoente e 2 no índice quando for o
caso):
a) 2
3
4 b)3
1
4
c) 5
2
3 d) 2
1
2
e) 𝑎
1
3 f) 𝑥
3
2
g) 𝑎
1
2 h) 𝑥
2
3
i) 8−
1
2 j) (𝑎3
𝑏)
1
4
k) 𝑚−
3
4 l) 5
4
3
m) 6
5
2
3) Fatore os radicandos e escreva na forma de
potência com expoente fracionário:
a)√32
3
Por exemplo, 32=25
(após fatoração) Então trocamos 32 por 25
.
Efetue os cálculos das fatorações em um rascunho
b) √25
3
c)√27
4
d) √125
4
e) √8
7
f) √512
8
g) √32
h) √216
3
No caso do 216, você vai fatorar e encontrar 23
33
. Isso é o mesmo
que 63
certo?
QUADRO
Como eu calcularia?
a) 𝟑𝟐
𝟑
𝟓
32
3
5 = √3235
= √32768
5
= 8
Difícil, não?
Então você pode usar uma estratégia mais
eficaz:
32
3
5 = √3235
= (√32
5
)
3
= 23
= 8
Você entendeu? Você pode fazer direto
√3235
b) 𝟏𝟒𝟒 𝟏,𝟓
Antes de fazer o cálculo, converta o 1,5 em
fração, ou seja 1,5 =
3
2
. Portanto:
𝟏𝟒𝟒 𝟏,𝟓
= 𝟏𝟒𝟒
𝟑
𝟐 = √ 𝟏𝟒𝟒 𝟑 = 𝟏𝟐 𝟑
= 𝟏𝟕𝟐𝟖

16
c) 𝟐𝟓−
𝟏
𝟐
Esse é bem simples:
𝟐𝟓−
𝟏
𝟐 = √ 𝟐𝟓−𝟏 = 𝟓−𝟏
=
𝟏
𝟓
4) Calcule as potências:
a)25
1
2
b) 125
2
3
c)81−
1
4
d)810,75
e) 640,666…
f) 4−0,333…
g) 5
2
3
h) 90,5
i) 6−0,1
j) 8
2
3
k) 27
1
3
l) 49−
1
2
m) 0
3
4
n) 1
3
5
o) 80,666…
p) 10240,1
QUADRO
Você já percebeu?
𝟒𝟗
𝟏
𝟐 = √𝟒𝟗
𝟔𝟒
𝟏
𝟐 = √𝟔𝟒
𝒙
𝟏
𝟐 = √ 𝒙
𝟏𝟎𝟎 𝟎,𝟓
= √𝟏𝟎𝟎
Portanto:
Elevar um número a ½ ou 0,5 é o mesmo que
tirar sua raiz quadrada!
5) Calcule mentalmente (direto):
a)144
1
2 b) 36
1
2
c) 121
1
2 d) 400
1
2
e) 90,5
f) 1690,5
g) 160,5
h) (
36
25
)
0,5
i) 9−
1
2 j) 8
1
2
Expoente -1/2 resulta no inverso da raiz quadrada
6) Efetue e racionalize o denominador da
resposta:
3−
1
2
7) Quanto vale 1251
1
3?
8) Mostre que √8 = 2√2 usando expoente
fracionários.
QUADRO
Quando o expoente é fracionário e maior que
1, podemos fazer o seguinte “truque”:
125
4
3 = 1251+
1
3 = 125√125
3
= 125 ∙ 5 = 625
Isso não adiantou nada, mas resolve para casos
como
2
3
2 = 21+
1
2 = 2 ∙ 2
1
2 = 2√2
9) Vimos que 2
3
2 = 21+
1
2 = 2 ∙ 2
1
2 = 2√2.
Por outro lado 2
3
2 = √23 = √8 = 2√2.
Faça o mesmo, das duas formas, com:
a) 3
3
2
b) 5
4
3
QUADRO
As mesmas propriedades das potências
para expoentes inteiros valem para
expoentes racionais:
P1 𝑎 𝑚
𝑎 𝑛
= 𝑎 𝑚+𝑛
P2
𝑎 𝑚
𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑚−𝑛
(𝑎 ≠ 0)
P3 (𝑎 𝑚
) 𝑛
= 𝑎 𝑚𝑛
P4 (𝑎𝑏) 𝑛
= 𝑎 𝑛
𝑏 𝑛
P5 (
𝑎
𝑏
)
𝑛
=
𝑎 𝑛
𝑏 𝑛 (𝑏 ≠ 0)
Só que nunca se esqueça que para somar
frações precisamos “achar o mínimo” (sic)
Ex: 5
1
25
2
3 = 5
1
2
+
2
3 = 5
3+4
6 = 5
7
6
10) a)Verifique, usando expoentes fracionários,
que √ √ 𝑥
𝑚𝑛
= √ 𝑥
𝑛𝑚
para 𝑥 positivo
b) Verifique com expoentes fracionários √ 𝑥 𝑚𝑛
=
√ 𝑥 𝑚𝑝𝑛𝑝
para 𝑥 > 0 e 𝑝 ≠ 0.

17
11) Você já notou que 𝑥
1
3 = 𝑥0,333…
= √ 𝑥
3
?
Com base nisso, calcule:
a)27
1
3 b) 125
1
3
c) 216
1
3 d) 729
1
3
e) 640,333…
f) 13310,333…
g) 8−
1
3 h) 50,333…
12) Calcule e racionalize o denominador:
20,666…
13) Calcule e simplifique ao máximo
8
5
3
14)Reduza a uma só potência. Suponham
satisfeitas as condições de existência.
a)2
1
3 ∙ 2
1
4
b) 𝑎
2
3 ∙ 𝑎
1
2
c) 5
1
2 ∙ 5
3
2
d)2
1
3: 2
1
4
e)𝑎
4
5: 𝑎
2
3
f)𝑎 ∙ 𝑎
1
3
g) 62
∙ 6
1
2 ∙ 6
1
3
h) 𝑥 ∙ 𝑥
2
3 ∙ 𝑥
1
2
i) (12
1
2)
4
3
j) (5
3
7)
7
2
k) 𝑥−
1
3 ∙ 𝑥−
2
5
l) 𝑥0,5
∙ 𝑥
É necessário relembrar as operações com frações, que percorrem
toda Educação Básica e foram estudadas detalhadamente no
PODEMOS B1
QUADRO
Calculando raízes na calculadora e celular
É muito comum calculadoras não possuírem
teclas para calcular raízes de índice diferente de
2 (algumas calculadoras tem tecla para raiz
cúbica também).
Para calcular √2
3
podemos usar a tecla de
potência, em geral representada por ^, e efetuar
2 ^ (1/3).
A calculadora fx-82, uma das calculadoras
científicas mais simples, que custa entre 2 e 3
dólares americanos, tem uma tecla:
Você pode usar + para calcular
direto a raiz. O Shift ativa a escrita em cima da
tecla.
Para raízes cúbicas há a tecla (tem que
ser precedida de SHIFT)
Porém, na calculadora padrão de celulares
Motorola, Lenovo e Samsung não há botão de
raiz n-ézima:
Tela da parte científica da calculadora do Moto
G 5
Nesse caso:
a)√5
3
digita-se 5 ^ (1/3)
b) √13
7
digita-se 13 ^ (1/7)
15) Usando a calculadora do seu celular,
calcule com 4 dígitos após a vírgula. Não esqueça
de fazer o arredondamento (5º dígito após a
vírgula maior ou igual a 5, você soma 1 ao 4º
dígito):
a) √5
3
b) √13
7
c) √7
5
d) √11
8
e) √137
3
f) √1536
11
g) √1,03636
h) √0,0033
16) Calcule:
a)11,942
b)064,355

18
VB.1 AULA 4 – Cálculo com Radicais
Submódulo VB.1
Referência: AULAS 13 e 16 do B5 (ESTÁ NA APOSTILA DO B5 – 1ª VERSÃO)
E um assunto do 9º ano, mas considerado por alguns autores como
aprofundamento. Essa matéria é dedutível, sem necessidade de se ater muito
ao estudo.
s
Redução de Radicais ao mesmo índice
QUADRO
Vamos rever alguns assuntos já vistos na Aula
4, para introduzirmos o tópico
Redução de radicais ao mesmo índice
a) √𝑎26
e √𝑏54
mmc(6,4)=12
12:6=2 e 2x2=4
12:4=3 e 3x5=15
√𝑎412
e √𝑏1512
b) √223
; √534
e √3
mmc(3,4,2)=12
√2812
, √5912
e √3615
1)Reduza ao mesmo índice os radicais (suponham
satisfeitas as condições de existência)
a) √5
3
e √2
b) √ 𝑎, √ 𝑥4
e √𝑦23
(a, 𝑏, 𝑥 ≥0)
c) √𝑎34
e √𝑏
6
(a, b ≥ 0)
d) √𝑎 − 𝑏 e √𝑎 + 𝑏
4
(a≥b≥ 0)
e) √𝑎25
e √𝑎34
(a≥0)
f) √
𝑎
𝑏3 e √
𝑏
𝑎2
3
(a,b>0)
2)(Ismael Reis) Determine um radical:
a) de índice 4 e de mesmo valor que √2912
.
b) de índice 15 e de mesmo valor que √323
.
c) de índice 8 e de mesmo valor que √𝑥34
.
d) de índice 2 e de mesmo valor que √𝑎48
.
e) com expoente de radicando igual a 3 e de
mesmo valor que √796
.
f) com expoente de radicando igual a 18 e de
mesmo valor que √725
GABARITO
2) a) √234
; b) √31015
; c) √𝑥68
; d) √ 𝑎; e) √73; f) √71845
Comparação de Radicais
QUADRO
Comparação de radicais
1º Caso: Radicais com o mesmo índice
a)√8 > √3 pois 8 > 3
b) √10
3
>√4
3
pois 10>4
2º Caso: Radicais com índices diferentes
a) √5 e √4
3
mmc(2,3)=6
√536
e √426
√125
6
e √16
6
√125
6
> √16
6
Logo: √5 > √4
3
b) √3
4
e √2
mmc(4,2)=4
√3
4
e √224
√3
4
e √4
4
√3
4
< √4
4
Logo √3
4
< √2
c) √2
3
e √4
6
mmc(3,6)=6
√226
e √4
6
√4
6
= √4
6
Logo √2
3
= √4
6
1) (Edwaldo Bianchini) Compare usando sinais
de igualdade ou desigualdade
a)√2 e √3
b)√15
3
e √8
3
c) √243
e √253

19
d) √3 e √2
3
e) √8 e √264
f) √5
4
e √6
3
g) √5 e √10
6
h) √2214
e √3221
i) √336
e √324
2) (Ismael Reis) Coloque os radicais em ordem
crescente:
a) √5, √4
3
, √2
4
b) √2
3
, √3
6
, √5
4
c) √7
4
, √12, √8
d) √2, √
1
3
, √5, √
3
4
e) √
6
5
3
, √
8
7
3
, √4
3
Radicais Semelhantes
QUADRO
Radicais Semelhantes
Para serem semelhantes, dois radicais
precisam ter o mesmo índice e o mesmo
radicando.
Exemplo:
a) 2√3 e −4√3 são radicais semelhantes
b) 7√5 e 7√3 não são radicais semelhantes pois
os radicandos são diferentes
c) √5
3
e √5 não são radicais semelhantes pois
os índices são diferentes
1)Identifique os pares de radicais semelhantes:
a)√3 e 2√3
b)√ 𝑎
3
e √𝑏
3
c)2√ 𝑎 e 5√ 𝑎 (a≥0)
d)5√ 𝑥 e √ 𝑥 (x≥0)
e) √ 𝑎
3
e √ 𝑎 (a≥0)
f) √2
4
e 10√2
4
Simplificando frações com radicais
QUADRO
Note que isso é bastante óbvio e já foi feito na
aula de racionalização de denominadores como
consequência natural das operações
1) Simplifique, não esquecendo de fatorar antes
denominador ou numerador:
a)
5+√50
15
b)
10+√200
25
c)
2+√12
2
d)
5+√50
3+√18
Adição e Subtração de Radicais
QUADRO
Adição e Subtração de Radicais
1º Caso: Radicais Semelhantes
a) 2√3 + 7√3 − 3√3 = (2 + 7 − 3)√3 = 6√3
b) 10√3
5
+ 4√3
5
− √3
5
= (10 + 4 − 1)√3
5
= 13√3
5
c) 3√5 + 2√7 − 5√5 + √7 + 4√7 = (3 − 5)√5 +
(2 + 1 + 4)√7 = −2√5 + 7√7
A expressão não pode ser mais reduzida, então
ela fica indicada −2√5 + 7√7 (forma mais
simples)
d) 5√2 + 3 − 7√2 + 5 = (5 − 7)√2 + 8 =
−2√2 + 8
A expressão pode ficar como −2√2 + 8 ou ser
fatorada como −2(√2 − 4), que pode ser
conveniente em certas situações
1)Efetue:
a)2√5 + √5 − 6√5
b)5√3
5
+ 2√3
5
− 2√3
5
+ √3
5
c) 4√2 + 6√3 − 2√2 + 9√3
d)5√ 𝑥 − 9√ 𝑥 (x≥0)
e) −4 + √3
5
+ 2√3
5
− 4
f) 2√5
3
− 2√5 + 3√5 + 3√5
3
g) 3 + √2 + 7 − 5√2
h)√ 𝑎
3
+ √ 𝑎
3
+ √ 𝑎
3
GABARITO
a)−3√5 b) 6√3
5
c) 2√2 + 15√3
d)−4√ 𝑥 e) 3√3
5
f) 5√5
3
+ √5
g) 10 − 4√2 h) 3√ 𝑎
3
QUADRO
2º Caso: Radicais simplificáveis:
a)√18 + √50
Simplificando ambas raízes temos: 3√2 +
5√2 = 8√2
b) 2√27 + 5√12 − 2√75 = 2 ∙ 3√3 + 5 ∙ 2√3 −
2 ∙ 5√3 = 6√3
c)√16
3
+ √54
3
= 2√2
3
+ 3√2
3
= 5√2
3

20
1)(Edwaldo Bianchini) Calcule as somas
algébricas
a) √20 + √45
b) √50 + √18 − √8
c) 2√27 − 5√12
d) 4√63 − √7
e) √50+√98 − √72
f) √12 + √75 + √108
g) 2√54 + 3√24 − 5√6
h) 3√4𝑥 + √9𝑥 − √25𝑥 (x≥0)
i) 5√ 𝑥 + √36𝑥 − 2√4𝑥 (x≥0)
j) √4(𝑥 − 2) + √9(𝑥 − 2) (x≥2)
k)5√
8𝑥
125
− √
18𝑥
5
+ 7√
2𝑥
245
(x≥0)
l) √98 − 2√13 + 3√162 − √117
m)
√2
2
+
√50
4
n)
1
2
√8𝑥 +
2
7
√98𝑥 (x≥0)
2) (Ismael Reis) Simplifique:
a) 4√54
3
+ 2√250
3
− 3√16
3
b)
2
3
√25
3
+
1
4
√25
3
− 8√25
3
c) √2
3
+ √16
3
+ √54
3
+ √128
3
d) 5√16
3
− 3√250
3
−
1
3
√128
3
e) √40
3
+ √1029
3
− √625
3
f)
1
2
√24
3
−
2
3
√54
3
+
3
5
√375
3
−
1
4
√128
3
a) √24𝑎23
+ √9𝑎46
+ √192𝑎23
(a≥0)
b) 𝑎√4𝑎86
+ √128𝑎43
+ 2√16𝑎
3
(a≥0)
Simplifique as raízes dividindo índice e expoente
por um divisor comum. (Há também outras
possibilidades, como reduzir tudo ao mesmo
índice)
a)4√
3
2
+
2
3
√
3
2
−
1
8
√
3
2
b) 8√
3
4
− 2√
3
16
a) √432
3
− √250
3
+ √
1
32
5
b) √45𝑥3 − √80𝑥3 + √5𝑎2 𝑥 (x≥0)
c) 8√
3
4
−
1
2
√12 + 4√27 + 2√
3
16
d) √9𝑥 + 27 + 3√4𝑥 + 12 (x≥-3)
e) 𝑎√𝑎2 𝑥 + √4𝑎2 𝑏2 𝑥 + 𝑏√𝑏2 𝑥 (a,b,x≥0)
GABARITO
1) a)5√5 b)6√2 c)−4√3
d) 11√7 e) 6√2 f)13√3
g) 7√6 h) 4√𝑥 (x≥0) i) 7√𝑥 (x≥0)
j) 5√𝑥 − 2 (x≥2) k)0 l) 34√2 − 5√13
m)
7√2
4
n) 3√2𝑥 (x≥0)
2) a) 16√2
3
b)−
85
12
√25
3
c)10√2
3
d)−
19
3
√2
3
e) 7√3
3
− 3√5
3
f) 4√3
3
− 3√2
3
3) a) 7√3𝑎23
b) (𝑎 + 2)2
√2𝑎
3
4) a)
109√6
48
b)
7
2
√3
5) a) √2
3
+
1
2
b) (𝑎 − 𝑥)√5𝑥 (x≥0) c)
31
2
√3
d) 9√𝑥 + 3 (x≥-3) e) (𝑎 + 𝑏)2
√𝑥 (x≥0)
MAIS EXERCÍCIOS
1) (Giovanni, Castrucci, Giovanni Jr) Determine
os perímetros das figuras a seguir:

21
2) (Giovanni, Castrucci, Giovanni Jr) Qual é o
perímetro de um triângulo de lados 4√96 cm,
5√216 cm e 4√486 cm ?
3) (Giovanni, Castrucci, Giovanni Jr) Considere
que √5 = 2,23 e que √2 = 1,41 dê o valor de
√5000 + √500 + √50 + √5
4) (Giovanni, Castrucci, Giovanni Jr)
Simplifique:
a)
3√20+√80−2√45
8
b)
√28+√175
√63
c)
√50−√18
√200
5) (Giovanni, Castrucci, Giovanni Jr) Dados a,
b, c, tais que:
𝑎 = 1 − √8
𝑏 = 1 + √50
𝑐 = 2 − √98
Calcule:
a) 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
b) 𝑎 − 𝑏 − 𝑐
Multiplicação de Radicais
QUADRO
Multiplicação de Radicais
a)√5 ∙ √2 = √10
b)√2
4
∙ √8
4
= √16
4
= √244
= 2
c)5√3 ∙ 3√ 𝑎 = 15√3𝑎 (a≥0)
d) √ 𝑥 ∙ √𝑥3 𝑦 ∙ √ 𝑦 = √𝑥4 𝑦2 = 𝑥2
𝑦 (x,y≥0)
1)(Edwaldo Bianchini) Determine os produtos
a) √5
3
∙ √6
3
b) √2 ∙ √8
c) √2 ∙ √6 ∙ √3
d) √5 ∙ √10
e) √4
3
∙ √6
3
f) √𝑎34
∙ √𝑎54
(a≥0)
g) 3√2 ∙ 4√3 ∙ √15
h) √𝑎2 𝑏 ∙ √𝑎𝑏3 (a,b≥0)
i) 5√
2
3
∙ √
5
3
GABARITO
a)√30
3
b) 4 c) 6 d) 5√2 e) 2√3
3
f) 𝑎2
g) 36√10 h) 𝑎𝑏2
√ 𝑎 i)
5√10
3
QUADRO
2º Caso: Radicais com índices diferentes
Reduz-se ao mesmo índice
a) √2 ∙ √2
3
= √236
∙ √226
= √256
b) √3 ∙ √2
4
= √324
∙ √2
4
= √18
4
c) √ 𝑎
3
∙ √ 𝑥4
= √𝑎412
∙ √𝑥312
= √𝑎4 𝑥312
(x≥0)
2)(Edwaldo Bianchini) Determine os produtos:
a)√3 ∙ √323
b)√4
3
∙ √8
c)√3
3
∙ √2 ∙ √4
4
d)√ 𝑥4
∙ √𝑥3 (x≥0)
e)√ 𝑎
3
∙ √ 𝑎4
∙ √ 𝑎
5
(a≥0)
f)√ 𝑥
6
∙ √𝑥23
∙ √ 𝑥 (x≥0)
GABARITO
a)3√3
6
b) 4√2
6
c) 2√3
3
d) 𝑥√𝑥34
e) √𝑎4760
f) 𝑥√ 𝑥3
QUADRO
3º Caso: Produto de uma soma de radicais não
semelhantes por um radical
Usa-se a Propriedade Distributiva
a) √2(√2 + 2) = √4 + 2√2 = 2 + 2√2
b) √3(√2 − √3) = √6 − √9 = √6 − 3
c)(5 + √7)(2 − √7) = 10 − 5√7 + 2√7 − √49 =
10 − 5√7 + 2√7 − 7 = 3 − 3√7
3)(Edwaldo Bianchini) Determine os produtos:
a) √5(1 + √5)
b) √7(√2 + √3)
c) 2√3(√3 + 2)
d) (√5 + 10)(√5 − 1)
e) (3√2 − 2)(√2 + 3)
f) (√7 − 1)(√7 + 4)
GABARITO
a) √5 + 5 b) √14 + √21 c) 6 + 4√3
d) 9√5 − 5 e) 7√2 f) 3√7 + 3

22
Divisão de Radicais
QUADRO
Divisão de Radicais
a)√20: √10 = √2
b) √𝑥5: √𝑥4 = √ 𝑥 (a≥0)
c)√32
3
: √4
3
= √8
3
= 2
d) √4: √25 = √
4
25
=
2
5
2º Caso: Produto de uma soma de radicais não
semelhantes por um radical
a) √2: √2
3
= √236
: √226
= √2
6
b) √6
3
: √3 = √626
: √336
= √36
6
: √27
6
= √
36
27
6
= √
4
3
6
1)(Edwaldo Bianchini) Determine os quocientes:
a)√12: √3
b)√50: √2
c)
√49
√25
d)
√2
√3
e)√𝑎83
: √𝑎23
f)√15𝑥25
: √3𝑥
5
(x>0)
g)√3
3
: √4
3
h)12√6:3√2
2)(Edwaldo Bianchini) Determine os quocientes:
a)√9
3
: √3
b)√4
3
: √2
c)√𝑎34
: √𝑎25
(a>0)
d)√4
4
: √8
6
e)
√6
6
√2
f)
√ 𝑎
3
√ 𝑎
6 (a>0)
GABARITO
1)a)2 b) 5 c) 7/5 d)√6/3 e) a² f) √5𝑥
5
g) √
3
4
3
h)4√3
2)a)√3
6
b) √2
6
c) √𝑎720
d) 1 e) √
3
4
6
f) √𝑎
6
3) (A Conquista da Matemática) A área de um
triângulo é dada pela metade do produto da
medida da base pela medida da altura. Nessas
condições, calcule, na forma decimal, a área do
triângulo da figura, adotando que √3 ≈ 1,73
4)(A Conquista da Matemática)No retângulo
seguinte, as medidas indicadas são dadas em
centímetros. Determine:
a) o perímetro do retângulo
b) a área do retângulo
5)(A Conquista da Matemática)Determine o
perímetro e a área do retângulo da figura abaixo
6)(A Conquista da Matemática)Qual é a área do
triângulo da figura a seguir?
7)(A Conquista da Matemática)Qual é o número
real x expresso por
√6(√2 + 1) − √2 ∙ √3 ?
8)(A Conquista da Matemática)Usando a
definição, calcule:
a)(1 + √5)
2
b)(√5 + √3)
2
c)(2 − √3)
2
d)(√7 − √2)
2
Potenciação de Radicais
QUADRO
Basta usar as propriedades que já aprendemos no
decorrer do módulo:
Exemplos:
a)(√3)
2
= 5 (cancelamento)
b)(√4
5
)
5
= 4
c)(√9
3
)
2
= √923
= √(32)23
= √343
= √33 ∙ 3
3
=
= √333
∙ √3
3
= 3√3
3
(uma sucessão de operações
todas estudadas nesse módulo B5)
d)(√ 𝑎
6
)
5
= √𝑎56
(não há mais como simplificar)

23
1) (Edwaldo Bianchini) Calcule as potências,
supondo nos itens “m” e “n” valores positivos :
a)(√5)
2
b)(√2)
2
c)(√3
3
)
4
d) (√5)
3
e) (√3
3
)
5
f) (3√5)
2
g) (2√3
3
)
4
h) (3√𝑎23
)
2
i) (2√25)
2
j) (𝑥√ 𝑦3
)
4
k)(𝑎√ 𝑎)
5
l) (√𝑎𝑏23
)
3
m)(
𝑎
𝑏
√
𝑏
𝑎
)
2
n)(
2𝑥
𝑦
√
𝑦
4𝑥
4
)
5
o)(
2
5
√3𝑥)
3
QUADRO
Vamos aplicar os produtos notáveis em radicais:
Exemplos:
a)(√3 + √5)
2
= (√3)
2
+ 2√3√5 + (√5)
2
=
3 + 2√15 + 5 = 8 + 2√15 .
(usamos o quadrado da soma)
b)(3 − √2)
2
= 32
− 2 ∙ 3√2 + (√2)
2
=
9 − 6√2 + 2=11 − 6√2.
(usamos o quadrado da diferença)
c)(5 − √3)(5 + √3) = 52
− (√3)
2
= 25 − 3 = 22
(usamos o produto da soma pela diferença)
2)(A Conquista da Matemática)Aplicando a regra
dos produtos notáveis, calcule:
a)(√3 + √2)
2
b)(1 − √7)
2
c)(4√2 + 5)(4√2 − 5)
d)(2 + √10)
2
e)(√11 + √7)(√11 − √7)
f)(3√3 + √2)
2
g)(7 + √19)(7 − √19)
h)(−3√5 + 1)(−3√5 − 1)
3) Desenvolva 4√8 − (√2)
3
.
Radiciação de Radicais
QUADRO
Basta usar as propriedades que já aprendemos no
decorrer do módulo:
Exemplos:
a)√√5 = √5
4
b)√√√3
34
= √3
24
c)√√80 = √80
4
= √245
4
= 2√5
4
d)√3√2 = √√322 = √18
4
(note que introduzimos o fator
externo no radicando)
Verifique que essa propriedade, já estudada
anteriormente, é coerente
√√5
4
3
= (√5
4
)
1
3
= (5
1
4)
1
3
= 5
1
12 = √5
12
1)(Edwaldo Bianchini) Efetue as radiciações:
a)√√10
5
b)√√8
3
c)√√4
3
d)√√5
43
e) √√27
3
d) √√32
5
e)√√√ 𝑎
f)√√√𝑎123
3
g)√2√2
3
h)√ 𝑎√2
QUADRO
Quando temos um trinômio quadrado perfeito, é fácil
calcular sua raiz quadrada:
√ 𝑥2 − 6𝑥 + 9 = √(𝑥 − 3)2 = 𝑥 − 3
(satisfeitas condições de existência)
No caso do polinômio cubo perfeito, o mesmo raciocínio
(no caso você deve ter feito o aprofundamento interessante
da alua 5):
√ 𝑥3 + 3𝑥2 + 3𝑥 + 1
3
= √(𝑥 + 1)33
= 𝑥 + 1
1) Efetue, supondo satisfeitas as condições de
existência:
a) √4𝑥2 + 4𝑥 + 1
b) √𝑥2 − 10𝑥 + 25
c) √
𝑥2−8𝑥+16
𝑥2+4𝑥+4
d)√
𝑥3+2𝑥2+𝑥
𝑥
*e)√𝑥3 + 6𝑥2 + 12𝑥 + 8
3

24
VB.1 AULA 5 – Relações Métricas no Triângulo Retângulo
Submódulo VB.1
Muitos estranham essa inserção no B5, porém, entendemos ser necessário
dominar o Teorema de Pitágoras e algumas aplicações o mais cedo possível.
Deixar para o B6 tema tão importante poderia ser um erro. Por isso inserimos
aqui no VB1.1.
s
O Teorema de Pitágoras
QUADRO
Já estudamos o Teorema de Pitágoras na Aula
9 e no submódulo 4.2:
A soma dos quadrados dos catetos é igual ao
quadrado da hipotenusa!
Exemplo de aplicação com radicais:
Note que se o valor desconhecido for um dos
catetos, você deve reajustar as fórmulas:
.
Teoria sobre o Teorema de
Pitágoras 9:10
https://youtu.be/xDE-oO6ndzE
Correção em vídeo da lista
de 10 exercícios abaixo
27:37
https://goo.gl/enPkiq
EXERCÍCIOS BÁSICOS
Correção em vídeo 5:49
Ex. 1
https://youtu.be/U-cERDc-6uA
1) Ache o valor de x em cada caso:

25
Ex. 2
https://youtu.be/GF0nCQCwMz0
Ex. 3
https://youtu.be/W1bIcf1H-q4
3) Ache a medida da diagonal:
Ex. 4
https://youtu.be/PgoEM1i0bls
4) Ache a medida do lado do quadrado:
Ex. 5
https://youtu.be/lFN1dT5ds3g
5) (Pitágoras – UTP Tripod – Portugal) Calcule
a área das figuras:
Ex. 6
https://youtu.be/whWq2w3fpek
6) (IFSP/2015) O transporte alternativo é uma maneira
de se locomover usando um meio diferente dos mais
tradicionais. A bicicleta é um exemplo disso. Em alguns
lugares, ela é usada porque é mais barata, como no
interior do Brasil e em países como a Índia e China.
Outras pessoas escolhem andar de bicicleta por uma
questão ideológica, porque elas não agridem o meio
ambiente e não causam tantos transtornos quanto os
carros. Usando uma bicicleta, uma pessoa sai do ponto
A e se dirige ao ponto B. O percurso, dado em km,
representado pelos segmentos AC, CD e DB está
esboçado no gráfico abaixo.
Considerando √2 = 1,4, assinale a alternativa que
apresenta a distância percorrida pela pessoa do ponto
A ao ponto B.
a) 56 km. b) 21 km. c) 20 km.
d) 15 km. e) 10 km.
Ex. 7
https://youtu.be/rxAtCzc_AeE

26
7) O exercício abaixo foi notícia pois relaciona o
cotidiano dos estudantes com o Teorema de Pitágoras.
O exercício foi elaborado pela professora Claire
(@tqlsnrise), professora de um subúrbio em Paris.
Cristiano Ronaldo está com ciúmes do dab de Paul
Pogba e tenta demonstrar que ele não é perfeito.
Segundo a Declaração Universal dos Direitos do Dab
(DUDDDD), o dab só é perfeito se os triângulos
representados na figura forem retângulos. Será o dab
de Pogba perfeito?
a)Não, pois só o braço esquerdo responde às regras do
Teorema de Pitágoras.
b)Não, pois só o braço direito responde às regras do Teorema
de Pitágoras.
c)Não, pois nenhum dos braços responde às regras do
Teorema de Pitágoras.
d)Sim, pois ambos braços responde às regras do Teorema de
Pitágoras.
e) Não é possível concluir.
Fonte: http://www.dn.pt/desporto/interior/o-teorema-de-pitagoras-explicado-por-pogba-e-
cristiano-ronaldo-5499775.html
Ex. 8
https://youtu.be/THQKakZuLJA
8) (UERJ) Millôr Fernandes, em uma bela homenagem à
Matemática, escreveu um poema do qual extraímos o
fragmento abaixo:
Às folhas tantas de um livro de Matemática,
um Quociente apaixonou-se um dia doidamente
por uma Incógnita.
Olhou-a com seu olhar inumerável
e viu-a do ápice à base: uma figura ímpar;
olhos rombóides, boca trapezóide,
corpo retangular, seios esferóides.
Fez da sua uma vida paralela à dela,
até que se encontraram no Infinito.
"Quem és tu?" – indagou ele em ânsia radical.
"Sou a soma dos quadrados dos catetos.
Mas pode me chamar de hipotenusa."
(Millôr Fernandes. Trinta Anos de Mim Mesmo.)
A Incógnita se enganou ao dizer quem era. Para atender ao
Teorema de Pitágoras, deveria dar a seguinte resposta:
(A) "Sou a soma dos catetos. Mas pode me chamar de
hipotenusa."
(B) "Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me
chamar de hipotenusa."
(C) "Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me
chamar de quadrado da hipotenusa."
(D) "Sou a soma dos quadrados dos catetos. Mas pode me
chamar de quadrado da hipotenusa."
Ex. 9
https://youtu.be/lyKlrXMLXEE
9) (Mundo Educação) A distância entre os muros laterais de
um lote retangular é exatamente 12 metros. Sabendo que
uma diagonal desse lote mede 20 metros, qual é a medida do
portão até o muro do fundo?
a) 8 metros b) 10 metros c) 12 metros
d) 14 metros e) 16 metros
Ex. 10
https://youtu.be/HbnMnc3Rmn4
10) (ENEM). Na figura abaixo, que representa o projeto de
uma escada de 5 degraus de mesma altura, o comprimento
total do corrimão é igual a:
A) 1,8 m. B) 1,9 m. C) 2,0 m.
D) 2,1 m E) 2,2 m.
Fonte: https://portalmath.wordpress.com/tag/hipotenusa/
MAIS EXERCÍCIOS

27
3) Ache o valor de u nos trapézios:

28
4) Ache o valor de x e y:
Aplicações do Teorema de Pitágoras
QUADRO
Existem três aplicações do Teorema de
Pitágoras mais clássicas:
- Diagonal do Quadrado
- Altura do Triângulo Equilátero
- Área do Triângulo Equilátero
DIAGONAL DO QUADRADO
Fórmula:
𝒅 = 𝓵√𝟐
Diagonal Do Quadrado
3:15
https://youtu.be/kcMjqBNqgrU
QUADRO
ALTURA DO TRIÂNGULO EQUILÁTERO
Fórmula:
𝒉 =
𝓵√ 𝟑
𝟐
Altura do Triângulo Equilátero
7:08
https://youtu.be/2gfOj3Dzmmg
QUADRO
ÁREA DO TRIÂNGULO EQUILÁTERO
Fórmula:
𝑨 =
𝓵 𝟐
√ 𝟑
𝟒
Área do Triângulo Equilátero
3:42
https://youtu.be/XetxGLJbEA4

29
Exercícios abaixo do Colégio NOMELINI Anglo:
(faça no caderno)
Ex. 1 a 14
https://goo.gl/FBtbZw
1- O perímetro de um quadrado é 20 cm. Determine
sua diagonal. Resp. 5√2 cm.
2- A diagonal de um quadrado tem 7√2 cm. Determine
o perímetro do quadrado. Resp. 28 cm.
3- O perímetro de um retângulo é 14 cm. Um dos
lados mede 4 cm. Determine a diagonal do
retângulo. Resp. 5 cm
4- Calcule a altura de um triângulo eqüilátero cujo lado
mede 4√3 cm.
5- O perímetro de um triângulo eqüilátero é 18 cm.
Calcule a altura do triângulo. Resp. 3√3 cm.
6- A altura de um triângulo eqüilátero mede 5√3 cm.
Calcule o perímetro deste triângulo. Resp. 30 cm.
7- Calcule a altura de um triângulo isósceles, sabendo
que os lados congruentes medem 25 cm cada um
e a base 14 cm. Resp. 24 cm.
8- Um retângulo que mede 2cm x 3 cm, quanto mede
sua diagonal? Resp. d = √13
9- Em um losango a diagonal maior mede 24 cm e a
menor 10 cm, quanto mede o lado do losango?
Resp. l = 13 cm
10- As diagonais do losango medem 10 cm e 24 cm.
Determine o perímetro do losango. Resp. p = 52
cm
11- O lado de um losango mede 17 cm e uma de suas
diagonais tem 30 cm. Determine a outra diagonal.
Resp. 16 cm
12- Um trapézio retângulo de 15 cm de altura tem as
bases medindo 10 cm e 18 cm. Determine o lado
oblíquo do trapézio. Resp. 17 cm
13- As bases de um trapézio isósceles medem 17 cm e
5 cm e od lados iguais medem 10 cm cada.
Determine a altura do trapézio. Resp. 8 cm
14- Um triângulo retângulo e isósceles está inscrito
numa circunferência de 9 cm de raio. Determine a
medida dos lados congruentes do triângulo. Resp.
9√2 cm
Relações Métricas no Triângulo
Retângulo
LEIA COM ATENÇÃO
ESSE QUADRO
Vamos apresentar as fórmulas e os nomes, mas é
fundamental que vocês assistam os vídeos (os dois
conjuntos em Playlist), que totalizam quase 50
minutos de vídeo:
NOTE QUE: 1) Todo triângulo tem 3 alturas, e o triângulo
retângulo tem 2 delas coincidentes com os catetos. A
terceira altura, em relação à hipotenusa, é chamada de h.
2) As projeções m e n são relativas aos catetos b e c,
conforme indicado na figura. Mas há fontes em livros e na
Internet que associam as projeções m e n com os catetos
c e b respectivamente (o contrário).
RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO
RETÂNGULO
Teoria sobre Relações
Métricas no Triângulo
Retângulo 30:19
https://goo.gl/P4Bt9W
DEMONSTRAÇÃO DAS RELAÇÕES MÉTRICAS – Anote a
explicação do professor feita em vídeo para compreender
todas as relações e de onde elas saem – é preciso dominar
o assunto de semelhança de triângulos

30
Demonstração das Relações
Métricas no Triângulo
Retângulo 18:01
https://youtu.be/AdhvcMBKUUc
1) (Maria Helena M² Baccar – Colégio Pedro II)
Determine as medidas a, h, m e n no triângulo
retângulo ABC a seguir.
Determine os valores de b, c e h no triângulo
retângulo ABC abaixo.
Em um retângulo ABCD, tem-se AB = 8 cm e BC
= 6 cm. Determine:
a) a medida da diagonal AC ;
b) a distância do ponto B à diagonal AC ;
c) a medida da projeção ortogonal do lado
AB sobre a diagonal AC .
Em um triângulo retângulo ABC, a hipotenusa BC
e o cateto AB medem 30cm e 18cm,
respectivamente. Traça-se a altura AH . Calcule
as medidas dos segmentos AC e AH .
5 ) (Maria Helena M² Baccar – Colégio Pedro II)
Na figura, o triângulo ABC é retângulo em Â.
Sabendo-se que AD = 2, CD = 8 e BD = 5, a
medida do lado BC é (CUIDADO!)
a) 11 b) 12 c) 13 d) 14
6 ) (Maria Helena M² Baccar – Colégio Pedro II)
Em uma residência, há uma área de lazer com
uma piscina redonda de 5 m de diâmetro. Nessa
área há um coqueiro, representado na figura por
um ponto Q.
Se a distância de Q (coqueiro) ao ponto de
tangência T (da piscina) é 6 m, a distância d=QP,
do coqueiro à piscina, é:
a) 4 m b) 4,5 m c) 5 m d) 5,5 m e) 6 m
7) (Colégio Pentágono) Em uma residência, há
uma área de lazer com uma piscina redonda de 5
m de diâmetro. Nessa área há um coqueiro,
representado na figura por um ponto Q.
Se a distância de Q (coqueiro) ao ponto de
tangência T (da piscina) é 6 m, a distância d = QP,
do coqueiro à piscina, é:
a) 4 m b) 4,5 m c) 5 m d) 5,5 m e) 6 m
8) (Colégio Pentágono) No triângulo EMA
suponha que MA = 3cm, AE=4cm e ME=5cm.
Calcule a medida x
(dica: primeiro calcule IA, depois EI, depois IM ...)

31
9) (Colégio Pentágono) A chácara de Ângela tem
a forma de um triângulo retângulo e as dimensões
indicadas na figura. Qual a distância entre o portão
e o poço?
10) (Colégio Pentágono) A figura representa a
vista frontal de uma casa. Determine as medidas
x, y e h das dimensões do telhado dessa casa.
QUADRO
MNEMÔNICA PARA DECORAR
Fonte: Objetivo

32
VB.2 AULA 6 – Equações Fracionárias do 1º Grau
Submódulo VB.2
AULA 26 do módulo B5 (ESTÁ NA APOSTILA DO B5 – 1ª VERSÃO)
Esse é um assunto típico do 8º ano e exige que você tenha pleno domínio de
Fatoração de Polinômios. Para aprender esse assunto você precisará treinar
muito.
s
Equações Fracionárias do 1º Grau
QUADRO
Exemplo 1:
3
𝑥
+
5
2
= 4
Condição de Existência – denominador não pode
ser zero
𝑥 ≠ 0
Logo:
𝑈 = ℝ − {0}
OBS: ℝ − {0} = ℝ∗
O mmc de 𝑥 e 2 é 2𝑥:
6
2𝑥
+
5𝑥
2𝑥
=
8𝑥
2𝑥
Como 2𝑥 não é zero, podemos cancelar os
denominadores
6 + 5𝑥 = 8𝑥
8𝑥 − 5𝑥 = 6
3𝑥 = 6
𝑥 =
6
3
𝑥 = 2
Logo:
𝑆 = {2}
Exemplo 2
2𝑥
𝑥 + 3
− 2 =
5
𝑥
Condições de Existência:
𝑥 + 3 ≠ 0 → 𝑥 ≠ −3
𝑥 ≠ 0
𝑈 = ℝ − {−3,0}
MMC dos denominadores
𝑥(𝑥 + 3)
Resolução:
2𝑥2
𝑥(𝑥 + 3)
−
2𝑥(𝑥 + 3)
𝑥(𝑥 + 3)
=
5(𝑥 + 3)
𝑥(𝑥 + 3)
2𝑥2
− 2𝑥(𝑥 + 3) = 5(𝑥 + 3)
2𝑥2
− 2𝑥2
− 6𝑥 = 5𝑥 + 15
−6𝑥 − 5𝑥 = 15
−11𝑥 = 15
11𝑥 = −15
𝑥 = −
15
11
Solução:
𝑆 = {−
15
11
}
Exemplo 3
6
𝑥2 − 9
+
𝑥 + 4
𝑥 + 3
=
𝑥 + 6
𝑥 − 3
Condição de Existência
(𝑥2
− 9) = (𝑥 + 3)(𝑥 − 3)
𝑥 + 3 ≠ 0 → 𝑥 ≠ −3
𝑥 − 3 ≠ 0 → 𝑥 ≠ 3
𝑈 = ℝ − {−3,3}
MMC dos denominadores:
(𝑥 + 3)(𝑥 − 3)
Resolução:
6
(𝑥 + 3)(𝑥 − 3)
+
(𝑥 + 4)(𝑥 − 3)
(𝑥 + 3)(𝑥 − 3)
=
(𝑥 + 6)(𝑥 + 3)
(𝑥 + 3)(𝑥 − 3)
6 + (𝑥 + 4)(𝑥 − 3) = (𝑥 + 6)(𝑥 + 3)
6 + 𝑥2
+ 4𝑥 − 3𝑥 − 12 = 𝑥2
+ 6𝑥 + 3𝑥 + 18
4𝑥 − 3𝑥 − 6𝑥 − 3𝑥 = +18 + 12 − 6
−8𝑥 = +24
8𝑥 = −24
𝑥 = −
24
8
𝑥 = −3
Mas como -3 está excluído da condição de
existência
𝑆 = ∅
1)(Edwaldo Bianchini) Resolva as equações
fracionárias em seu caderno. A condição de
existência precisa ser encontrada:
a)
4
5
−
1
𝑥
=
17
15
𝑆 = {−3}
b)2 +
2
𝑥
=
1
2𝑥
𝑆 = {−
3
4
}

33
c)
1
2𝑥
+
3
4
=
4
3𝑥
+
1
3
𝑆 = {2}
d)
1
𝑥
+
2
𝑥
=
3
2𝑥2 𝑆 = {
1
2
}
e)
𝑥−2
𝑥
=
1
2
𝑆 = {4}
f)
3𝑥−1
2𝑥
=
2
5
𝑆 = {
5
11
}
2) (Edwaldo Bianchini) Resolva as equações
a)
12
𝑥
=
4
𝑥−2
𝑆 = {3}
b)
4𝑥
3𝑥−2
= 2 𝑆 = {2}
c)
2
𝑥−3
−
1
4
=
5
𝑥−3
−
1
3
𝑆 = {39}
d)
8
𝑥−1
=
2
3𝑥−1
𝑆 = {
3
11
}
e)
𝑥+4
𝑥−5
=
𝑥−3
𝑥+1
𝑆 = {
11
13
}
f)
5𝑥−1
𝑥+2
=
5𝑥+1
𝑥−2
𝑆 = {0}
3) (Edwaldo Bianchini) Resolva as equações
a)
8
𝑥2−4
+
𝑥+1
𝑥−2
=
𝑥
𝑥+2
𝑆 = ∅
b)
𝑥+3
𝑥−1
+
2
𝑥2−1
=
𝑥−2
𝑥+1
𝑆 = {−
3
7
}
c)
2
𝑥−3
+
4
𝑥2−9
= 0 𝑆 = {−5}
d)
3𝑥
𝑥−4
−
𝑥+1
𝑥+4
=
2𝑥2+19
𝑥2−16
𝑆 = {1}
e)
𝑥−1
𝑥(𝑥+3)
+
1
𝑥−3
=
2𝑥2+6
𝑥(𝑥2−9)
𝑆 = ∅
f)
𝑥+2
2𝑥−1
−
𝑥−3
𝑥−5
=
−8+3𝑥−𝑥2
(𝑥−5)(2𝑥−1)
𝑆 = ∅
*4) (Edwaldo Bianchini) Resolva as equações
a)
2
𝑥+2
+
8𝑥−1
𝑥2+5𝑥+6
=
5
𝑥+3
𝑆 = {1}
b)
𝑥
𝑥−1
+
2𝑥
𝑥+2
=
3𝑥2−𝑥+2
𝑥2+𝑥−2
𝑆 = {2}
c)
𝑥+7
𝑥+3
−
𝑥−4
𝑥−3
=
3𝑥+1
𝑥2−9
𝑆 = {5}
d)
𝑥+7
𝑥+5
−
𝑥+6
𝑥+4
=
𝑥
𝑥2+9𝑥+20
𝑆 = {−2}
5) (Adaptado – Brasil Escola) Associe os
problemas com as equações correspondentes:
a)R$ 14.000,00 deveriam ser distribuídos
igualmente a um certo número de pessoas. Antes
de a distribuição ser feita, 10 pessoas foram
embora, sendo necessário distribuir apenas R$
12.000,00 para que cada um recebesse o mesmo
valor que receberia no inicio. Qual era o número
de pessoas inicialmente?
b)Carlos executou um trabalho em 8 dias. Mário
executou o mesmo trabalho em x dias. Juntos,
eles executaram o mesmo trabalho em 3 dias.
Determine o valor de x.
c)Um veículo com uma velocidade média percorre
4000 km que separam a cidade A da cidade B em
x horas. Outro veículo, com a mesma velocidade
média do primeiro, percorre os 2200 km que
separam a cidade C da cidade D em (x – 12)
horas. Determine o valor de x. Calculamos a
velocidade média de um móvel dividindo o espaço
percorrido por ele pelo tempo gasto no percurso.
( ) ( )
( )
6) Resolva os problemas obrigatoriamente por
equações:
a)(Brasil Escola) Uma confecção produzia
diariamente 200 calças. Após a contratação de 20
costureiras, a fábrica passou a produzir 240
calças. Quantas costureiras trabalhavam nessa
confecção antes dessa contratação?
b) A soma de um número com o inverso do seu
consecutivo é igual ao próprio número menos uma
unidade. Que número é esse?
c)A razão entre a idade que Luciana terá daqui a
5 anos e a idade que ela tinha há 5 anos é 3/2.
Qual a idade atual de Luciana?
7) Numa distribuição de 720 kg de alimentos, duas
famílias não compareceram, o que permitiu que
cada uma das outras famílias recebesse 40
quilogramas de alimentos.
a) Quantas eram as famílias que deveriam receber
alimentos?
b) Quantas famílias compareceram?
c) Se todas as famílias tivessem comparecido,
quantos quilogramas de alimentos cada uma
receberia?

34
VB.2 AULA 7 – Equações Literais
Submódulo VB.2
Esse módulo será inserido no PODEMOS B6.1, porém, não está ainda inserido
no material oficial, que ainda não está pronto, pois a primeira oferta do B6 se
inicia em março/2018.
Esse assunto exige domínio de Fatoração de Polinômios e é impossível
dominá-lo sem você treinar as equações em casa. E um assunto típico do 8º
ano. Algumas equações a seguir são muito difíceis.
s
Equações Literais
QUADRO
Observe as seguintes equações na
variável x:
a) ax=b
b) 3x-2x=d
c) (2x-m)(3x-2)=2p
Além da variável x existem outras letras
que estão representando coeficientes. Essas
letras são chamadas parâmetros.
Na equação ax=b, a variável x é os
parâmetros são as letras a e b. Esses parâmetros
são usados como se fossem números (variáveis).
Equações como essa são chamadas
equações literais.
Exemplos (Ismael Reis):
a) 4𝑥 + 3𝑎 = 2𝑥 + 7𝑎, na variável x
4𝑥 − 2𝑥 = 7𝑎 − 3𝑎
2𝑥 = 4𝑎
𝑥 =
4𝑎
2
𝑥 = 2𝑎
𝑆 = {2𝑎}
Note que o que não é a variável, vai para o segundo
membro como número
b) 4𝑥 + 3𝑎 = 2𝑥 + 7𝑎, na variável a
3𝑎 − 7𝑎 = 2𝑥 − 4𝑥
−4𝑎 = −2𝑥
4𝑎 = 2𝑥
𝑎 =
2𝑥
4
𝑎 =
𝑥
2
𝑆 = {
𝑥
2
}
c) 2𝑚𝑥 − 6𝑎 = 3𝑏 − 6𝑚𝑥
2𝑚𝑥 + 6𝑚𝑥 = 3𝑏 + 6𝑎
8𝑚𝑥 = 3𝑏 + 6𝑎
𝑥 =
3𝑏 + 6𝑎
8𝑚
Condição de existência 𝑚 ≠ 0
𝑆 = {
3𝑏 + 6𝑎
8𝑚
, 𝑐𝑜𝑚 𝑚 ≠ 0}
d) 𝑎𝑥 + 3 = 2(3𝑏 − 𝑥)
𝑎𝑥 + 3 = 6𝑏 − 2𝑥
𝑎𝑥 + 2𝑥 = 6𝑏 − 3
𝑥(𝑎 + 2) = 6𝑏 − 3
𝑥 =
6𝑏 − 3
𝑎 + 2
Condição de existência 𝑎 ≠ −2
𝑆 = {
6𝑏 − 3
𝑎 + 2
, 𝑐𝑜𝑚 𝑎 ≠ −2}
e) 𝑎 −
𝑥
𝑏
=
𝑥
𝑎
− 𝑏
Condição de existência inicial 𝑎 ≠ 0 e b≠ 0
𝑎2
𝑏 − 𝑎𝑥
𝑎𝑏
=
𝑏𝑥 − 𝑎𝑏2
𝑎𝑏
−𝑎𝑥 − 𝑏𝑥 = −𝑎𝑏2
− 𝑎2
𝑏
𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 = 𝑎𝑏2
− 𝑎2
𝑏
𝑥(𝑎 + 𝑏) = 𝑎𝑏(𝑏 + 𝑎)
Note que 𝑎 + 𝑏 podemos sempre trocar por 𝑏 + 𝑎 e
vice-versa
𝑥 =
𝑎𝑏(𝑎 + 𝑏)
𝑎 + 𝑏
Supondo que 𝑎 + 𝑏 ≠ 0 que equivale a 𝑎 ≠ −𝑏,
cancelamos e ficamos com
𝑥 = 𝑎𝑏
𝑆 = {𝑎𝑏, 𝑐𝑜𝑚 𝑎 ≠ 0, 𝑏 ≠ 0 𝑒 𝑎 ≠ −𝑏}
Fique atento que essa equação em “e” não é
fracionária, ainda que use um método parecido de
mmc. Equações fracionárias dependem da variável
no denominador.

35
1) (Ismael Reis) Resolva no caderno as seguintes
equações literais na variável x com 𝑈 = ℝ.
a) 𝑎𝑥 = 𝑏 + 𝑐𝑥 Resposta:
𝑏
𝑎−𝑐
com a≠c
b) 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 − 𝑐 = 𝑥 Resp:
𝑐
𝑎+𝑏−1
com a+b-1≠ 0
c) 𝑎𝑥 − 7 = 5𝑥 + 8 Resp:
15
𝑎−5
com a≠5
d) 2𝑎 + 𝑥 = 𝑎 + 1 Resp: 1 − 𝑎
e) 𝑎(𝑥 − 2) = 2(3 − 𝑥) + 𝑎 Resp: 3 com a≠-2
f) 𝑎(𝑥 − 1) + 𝑏(𝑥 + 1) = 0 Resp:
𝑎−𝑏
𝑎+𝑏
com a ≠ -b
g)
𝑥
𝑎
+
𝑥
𝑏
= 1 Resp:
𝑎𝑏
𝑎+𝑏
com a≠0, b ≠0 e a≠-b.
h)
𝑥−𝑎
𝑏
+
𝑥−𝑏
𝑎
= 0 Resp:
𝑎2+𝑏2
𝑎+𝑏
com a≠0, b ≠0 e a≠-b.
i)
𝑎𝑥−𝑏
𝑐
+ 𝑎 =
𝑥+𝑎𝑐
𝑐
Resp:
𝑏
𝑎−1
com c≠0 e a≠1
j)𝑎 +
𝑥−𝑎
𝑏
= 𝑏 +
𝑥−𝑏
𝑎
R: 𝑎 + 𝑏 − 𝑎𝑏 c/ a≠0, b ≠0 e a≠b.
k)
𝑥−𝑎
𝑎𝑏
−
𝑥−𝑏
𝑎𝑐
=
𝑥−𝑐
𝑏𝑐
R:
𝑏2
𝑎+𝑏−𝑐
com a≠0, b ≠0 e a+b≠c.
l)
𝑎(𝑥−𝑎)
𝑏
+
𝑏(𝑥−𝑏)
𝑎
= 𝑥 R: 𝑎 + 𝑏 a≠0, b ≠0 e a²+b²≠ab.
m)
2𝑥+𝑏
𝑎
−
𝑥−𝑎
𝑏
=
3𝑏𝑥+(𝑏−𝑎)2
𝑎𝑏
R:
2𝑎𝑏
𝑎+𝑏
c/ a≠0, b ≠0 e a≠-b.
n)
𝑥−𝑎2
𝑏
+
𝑥−𝑏2
𝑎
= 𝑎 + 𝑏 R: 𝑎2
+ 𝑏2
c/ a≠0, b ≠0 e a≠-b.
o)
𝑥
𝑎
+
𝑎
𝑏
(𝑎 − 𝑥) −
𝑏
𝑎
(𝑥 − 𝑎) = 1 R:a c/ a≠0, b ≠0 e a²+b²≠b.
2) (Ismael Reis) Resolva no caderno as seguintes
equações literais na variável x com 𝑈 = ℝ.
a)𝑎𝑥 −
1
3
= 2𝑥 R:
1
3𝑎−6
com a≠2
b)𝑚𝑥 −
1
2
𝑥 = 5 R:
10
2𝑚−1
com m≠
1
2
c)3𝑚(5𝑥 + 1) = 10 + 3𝑚 R:
2
3𝑚
com 𝑚 ≠ 0
d)𝑚2
𝑥 + 𝑥 = 𝑚3
+ 𝑚𝑥 + 1 R: 𝑚 + 1 com 𝑚2
≠ 𝑚 − 1
e)𝑚𝑥 + 𝑛2
= 𝑛𝑥 + 𝑚2
R: 𝑚 + 𝑛 com m≠n
f)𝑎𝑏𝑥 + 𝑎2
= 𝑏𝑥 + 2𝑎2
− 𝑎 R:
𝑎
𝑏
com b≠0 e a≠1
g)𝑎𝑥 − 𝑎2
𝑏 + 𝑏𝑥 = 𝑎𝑏2
R: 𝑎𝑏 com a+b≠0
h)(𝑎2
− 𝑥)(𝑎2
+ 𝑥) = 𝑎4
− 2𝑎𝑥 − 𝑥2
R: 0 com a≠0
i)
2𝑎𝑥+2𝑎𝑏
𝑎𝑏
= 4 R: b com a≠0 e b≠ 0
j)
𝑥
𝑎
+ 2𝑏𝑥 − 𝑎 = 2𝑎2
𝑏 R: 𝑎2
com ab≠ −
1
2
k)
𝑎2 𝑥−𝑏2 𝑥
𝑎−𝑏
− (𝑎 − 𝑏)𝑥 = 2𝑎𝑏 R: a com a≠b e b≠ 0
l)
𝑚2 𝑛𝑥+𝑛2 𝑚𝑥
𝑚−𝑛
= 𝑚𝑥2
+ 𝑛𝑥2
R: 0,
𝑚𝑛
𝑚−𝑛
com m≠n e m≠ −𝑛
m)
𝑥−2
𝑎
−
4+𝑎2
2𝑎
=
𝑎−𝑥
2
R:
2(𝑎2+4)
𝑎+2
com a≠ −2
n)
𝑥+𝑎
𝑏−𝑎
+
𝑥+𝑏
𝑏+𝑎
−
2𝑏𝑥
𝑎2−𝑏2 = 1 + 𝑥 R:
2𝑎2
𝑏2−𝑎2−4𝑏
com 𝑏2
− 𝑎2
− 4𝑏 ≠0
o)
𝑥−𝑎
𝑎+𝑏
+
𝑥+𝑎
𝑎−𝑏
−
𝑏2
𝑎2−𝑏2 = 1 R:
𝑎−2𝑏
2
c/ a≠0, b ≠0 e a≠-b
p)
𝑥
𝑎
− 1 +
𝑥
𝑎+𝑏
+
2𝑎𝑏
𝑎2−𝑏2 =
𝑥
𝑎−𝑏
R:a c/a≠0,b ≠, a≠-b e a²-2ab-b²≠0
q)
𝑥
𝑎𝑏+𝑏2 +
𝑥
𝑎2+𝑎𝑏
=
2
𝑎𝑏
R: 2c/ a≠0, b ≠0 e a≠-b
r)
𝑎(𝑥−𝑏)
𝑎𝑏+𝑏2 −
2𝑏𝑥−𝑎𝑥
𝑎2+𝑎𝑏
= 1 −
𝑎−𝑏
𝑎+𝑏
R:
𝑎𝑏
𝑎−𝑏
c/ a≠0, b ≠0, a≠b e a≠-b
s)
3𝑎
𝑥+𝑎
−
𝑥+𝑎
𝑥−𝑎
= −
𝑥2
𝑥2−𝑎2 R: 4a c/ a≠0
t)
𝑥+𝑎+𝑏
𝑥+𝑎
=
𝑥+𝑎−𝑏
𝑥−𝑎
−
𝑎2+𝑏2
𝑥2−𝑎
R: −
𝑎+𝑏
2
c/ a≠b
3) Resolva a equação 3x-2a+3=2x-2a+4:
a) na variável x
b) na variável y
4) A Equação do Amor - Resolva a equação, na
variável x: 4x+4te=[(a+m)2
-(a-m)2
]o
5) Outra versão da equação do amor:
(Probleminha – RPM 8) Peça a alguém muito
especial que resolva esta equação:
)()(
)(
BOCX
CTE
B
AM
BBOCX
XBCAM
+
−=
+
+
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
Resolva as equações literais na variável x:
x
aa
yxyx
xa
a
xaa
xa
x
aaxax
axaxaxxbaxaxax
22x
5
8)1)())(7
2
2
3
)6
2
3
3
2
)5
1053
4))(3)(4)3(2)33)255)1
22
=+=−−+
−
=−
+
−=−
=
−
−
+
+=−−−−=−+=−

36
VB.2 AULA 8 – Resolvendo Equações por Fatoração
Submódulo VB.2
AULA 8 do módulo B5 (ESTÁ NA APOSTILA DO B5 – 1ª VERSÃO)
Esse é um assunto típico do 8º ano e exige que você tenha pleno domínio de
Fatoração de Polinômios. Para aprender esse assunto você precisará treinar
muito.
s
Lei dos Produtos Nulos
QUADRO
Quando eu tenho vários números multiplicados e o
produto é zero, pelo menos um deles é zero.
Simplificadamente:
Se 𝑎1 ∙ 𝑎2 ∙ 𝑎3 ∙ … ∙ 𝑎 𝑛 = 0, então 𝑎1 = 0 ou 𝑎2 = 0 ou
... ou 𝑎 𝑛 = 0 (um dos números é zero).
Isso é bem útil para resolver equações:
(𝑥 − 3)(𝑥 + 4)(2𝑥 − 1) = 0
A equação acima tem 3 raízes, dependendo de
igualar cada um dos fatores a zero:
𝑥 − 3 = 0 ou 𝑥 + 4 = 0 ou 2𝑥 − 1 = 0
𝑥 = 3 ou 𝑥 = −4 ou 𝑥 =
1
2
𝑆 = {−4,
1
2
, 3}
1) Resolva as equações, na variável x, sendo
U=IR:
a)(𝑥 − 4)(𝑥 + 6)(𝑥 − 10)(𝑥 + 5) = 0
b)4(𝑥 − 6)(𝑥 + 4)(−𝑥 − 12) = 0
Obviamente não é necessário escrever que 4=0, e a equação tem
apenas 3 raízes.
c)(2𝑥 − 4)(−2𝑥 + 6)(3𝑥 − 11) = 0
d)(3𝑥 − 𝑎)(4𝑥 + 𝑎)(−9𝑥 + 3𝑎) = 0
Aqui temos uma equação literal. As raízes são em função de ‘a’,
ou seja, do tipo 𝑥 =
𝑎
3
e)(𝑥 − 3)(2𝑥 − 6) = 0
Não é correto colocar na solução 𝑆 = {3,3}. Sabemos que num
conjunto não colocamos duas vezes o mesmo número! A solução fica
apenas 𝑆 = {3}. Dizemos que no caso 3 tem multiplicidade 2 na
equação.
f)𝑥(𝑥 + 4)2(𝑥 − 6)(−3𝑥 + 4)3
= 0
Na equação, podemos ignorar os expoentes. Mas -4, por
exemplo, tem multiplicidade 2 (pois o expoente de x+4) é 2.
g)(
𝑥
2
− 1) (
3𝑥
4
− 2) (3𝑥 − 6) = 0
h)𝑥(3𝑥 + 2) = 0
i)𝑥2(2𝑥 + 5)3
= 0

37
2)Resolva as equações, sendo U=IR:
a)(3𝑥 − 4)(2𝑥 + 5)(4𝑥 − 3) = 0
b)(𝑥 − 2)23(𝑥 + 45)56(4𝑥 − 3) = 0
c)3(𝑥 − 2)6(𝑥 + 7)26(𝑥 − 14)25
= 0
d)(2𝑥 +
3
4
) (5𝑥 −
1
4
) (
3
6
− 4𝑥) = 0
e)(4𝑥2
− 16)(𝑥3
− 8) = 0
Precisamos resolver a equação de grau n. Se o grau for PAR eu
coloco ±. Veja: 4𝑥2
− 16 = 0, então : 4𝑥2
= 16 e 𝑥2
= 4, temos então
𝑥 = ±2
f)[
2𝑥2−4
5
+ 2𝑥(𝑥 − 2)] [3𝑥3
− 27] = 0
g)(𝑥3
+ 27) (3𝑥 −
1
2
)
6
(5𝑥 + 4) = 0
h)(3𝑥 + 2𝑥 − 4𝑦 + 6)(5𝑥 − 𝑦 + 4 − 𝑥 + 2𝑦) = 0
Trata-se de uma equação literal na variável x. y é um parâmetro.
3) Na minha calculadora efetuei vários produtos
encontrei resultado 0. Com esta afirmação,
podemos conhecer um dos fatores, com toda a
certeza. Que fator é este?
Multiplicidade de uma Raiz
QUADRO
Uma equação polinomial de grau n tem exatamente
n raízes complexas se considerarmos que um
número pode ser mais de uma vez sua raiz.
Por exemplo: 𝑥2
= 0 tem duas raízes, e as duas são
zero. Dizemos que a multiplicidade da raiz 0 é 2.
Veja:
(𝑥 − 4)(𝑥 + 3)(2𝑥 − 8) = 0
As raízes são 4, -3 e 4. Como o 4 repete duas vezes,
dizemos que a multiplicidade do 4 é 2.
Raízes 4 com multiplicidade 2; e -3 com
multiplicidade 1.
Outros Exemplos:
a) (𝑥 − 3)8(𝑥 + 4)11
= 0. Raiz 3 –
multiplicidade 8; raiz -4 – multiplicidade 11.
b) 𝑥3
− 8 = 0. Raiz 2 – multiplicidade 3.
1)Resolva as equações, na variável x, sendo U=IR
e dê a multiplicidade das raízes:
a) 𝑥 ∙ 7 ∙ 2 = 0
b)(𝑥 + 2)2
𝑥 = 0
c) (𝑥 − 8)(15 − 2)(7 + 2) = 0
d) (0𝑥 − 3)(5𝑥 − 4) = 0
e) (𝑥2
− 4)(2𝑥 − 2) = 0
f) (𝑥3
− 8)(𝑥2
− 4) = 0
g) (𝑥 − 3)(2𝑥 − 6)(𝑥 + 7)(2𝑥 + 14) = 0
h) (𝑦2
+ 3)(𝑦 − 5)(𝑦2
+ 1) = 0
i) 𝑥2(𝑥 − 2) − 0
j) (𝑥 + 3)(𝑥 − 2,4) (𝑥 −
1
2
) = 0
k)
5(𝑥−2)
3
= 0
m) (𝑥 − 7)2
= 0
n) (𝑦2
− 1)(𝑦 − 5) = 0
o) 𝑥(𝑥 + 5)2
= 0
p) (𝑥 − 7,4) (𝑥 +
3
4
) (𝑥 + 5) = 0
q) (𝑥 − 2)2(𝑥 − 5)2
= 0
r) (𝑥 − 7)2
= 0

38
F) Resolva as equações em x, sendo U=IR, e dê
a multiplicidade de cada uma:
a) (𝑐 + 4𝑐 − 3(𝑐 − 2))(3𝑥 − 2) = 0
A equação não é em c, é em x, mas você aqui pode descobrir o
valor de c.
b) (𝑥 − 6)(𝑥 + 2)25
= 0
c) (𝑥 + 5)0(𝑥 − 4)3(𝑥 + 5) = 0
d) (𝑥 − 3)(𝑥 − 2)(𝑥 − 1)𝑥(𝑥 + 1)(𝑥 + 2)(𝑥 + 3) = 0
e) (2𝑥 −
4
5
) (√3𝑥 − 4)(√2𝑥 + 3) = 0
f) (√ 𝑥 − 1)(𝑥2
− 49)(3 𝑥
− 27) = 0
g) (5𝑥 − 3)26(4𝑥 − 12)34(5𝑥2
− 125)33
= 0
3) Resolva as equações, sendo U=IR:
a)(−30 − 2 + 65𝑥)(11 − 5𝑥 + 15 + 11𝑥)𝑥 = 0
b)(
𝑥+1
3
+
3𝑥−1
2
−
2𝑥+1
4
+ 3)
2
(
𝑥−1
2
+
𝑥+2
3
− 6)
11
= 0
c)(3𝑥 − √2)[2(2𝑥 + 1) − 1 − 3(𝑥 + 4)] = 0
d)[5(3𝑥 − 4) − 7(2𝑥 − 3) − 2𝑥 − 11]6
𝑥(𝑥 − 2) = 0
Equações e Fatoração
QUADRO
A fatoração de alguns polinômios permite a
resolução de equações. Veja os exemplos:
Exemplo 1
𝑥2
− 4𝑥 = 0
𝑥(𝑥 − 4) = 0
𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 − 4 = 0
𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 = 4
S={0,4}
Exemplo 2
𝑥3
− 4𝑥2
= 0
𝑥2(𝑥 − 4) = 0
𝑥2
= 0 𝑜𝑢 𝑥 − 4 = 0
𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 = 4
S={0,4}
Nesse equação 0 tem multiplicidade 2.
Exemplo 3
𝑥3
− 4𝑥 = 0
𝑥(𝑥2
− 4) = 0
𝑥2
= 0 𝑜𝑢 𝑥2
− 4 = 0
𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥2
= 4
𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 = ±2
S={-2,0,2}
1) Resolva as equações a seguir, na variável 𝑥,
sendo 𝑈 = ℝ:
a) 𝑥2
− 5𝑥 = 0
b) 𝑦2
+ 6𝑦 = 0
c) 5𝑥2
− 3𝑥 = 0
d)−2𝑥2
+ 6𝑥 = 0
e) √3𝑥2
+ 3𝑥 = 0
f)
2𝑥2
3
− 4𝑥 = 0
g) 𝑥3
− 2𝑥2
= 0
h) 𝑥3
− 8𝑥2
= 0
i) 𝑥4
− 𝑥3
= 0
2)Resolva as equações a seguir, na variável 𝑥,
sendo 𝑈 = ℝ:
a) 𝑥2
− 9 = 0
Aqui gostaríamos que vocês fatorassem pela diferença entre dois
quadrados:
𝑥2
− 9 = 0
(𝑥 − 3)(𝑥 + 3) = 0
𝑥 − 3 = 0 𝑜𝑢 𝑥 + 3 = 0
𝑥 = 3 𝑜𝑢 𝑥 = −3

39
b) 𝑥2
− 64 = 0
c) 9𝑥2
− 16 = 0
d) 𝑥2
− 10𝑥 + 25 = 0
Aqui é proibido usar a fórmula de Bháskara (“delta”). Temos que
usar a fatoração do TQP. Como x²-10x+25 é um TQP, podemos
trocar essa expressão por (x-5)². O mesmo com os itens “e” e “f”. Se
você fizer o “delta” está errado!
𝑥2
− 10𝑥 + 25 = 0
(𝑥 − 5)2
= 0
𝑥 − 5 = 0
𝑥 = 5
e) 𝑥2
+ 6𝑥 + 9 = 0
f) 9𝑥2
+ 12𝑥 + 4 = 0
g) 64𝑥2
− 81 = 0
h) 𝑥2
− 15𝑥 = 0
3) Resolva as equações, sendo U=IR (simplifique
as equações, e use as técnicas já conhecidas).
Aqui há várias técnicas:
a)(𝑦 + 5)(𝑦 + 3) = 15
b) (𝑡 + 5)2
− 2 = 23
c) (3𝑥 + 4)(2𝑥 − 1) = −4
d) (𝑥 − 4)2
+ 2(𝑥 − 8) = 0
Antes de resolver, desenvolva o produto notável, aplique a
distributiva, e simplifique a expressão.
e)
𝑦2
4
+
𝑦
3
=
𝑦
2
f)
𝑥−4
2
−
𝑥2−6
3
= 0
g)
𝑥2
4
+
𝑥
2
=
2𝑥
3
h)3𝑥(𝑥 + 2) = 𝑥(𝑥 + 10)

40
4) Resolva as equações, na variável x, sendo
U=IR (use a fatoração):
a)𝑥³ − 9𝑥 = 0
b)𝑥³ + 𝑥² − 4𝑥 − 4 = 0
Aqui devemos fatorar por agrupamento:
𝑥3
+ 𝑥2
− 4𝑥 − 4 = 0
𝑥2
(𝑥 + 1) − 4(𝑥 + 1) = 0
(𝑥 + 1)(𝑥2
− 4) = 0
𝑥 + 1 = 0 𝑜𝑢 𝑥2
− 4 = 0
𝑥 = −1 𝑜𝑢 𝑥2
= 4
𝑥 = −1 𝑜𝑢 𝑥 = ±2
S={-2,-1,2}
c)𝑥³ − 2𝑥² + 𝑥 = 0
d)𝑥³ + 2𝑥² − 9𝑥 − 18 = 0
e)𝑥3
− 5𝑥2
− 4𝑥 + 20 = 0
f)𝑥³ + 𝑥² − 𝑥 − 1 = 0
5) a) Na equação (2x+1)(2x-1)=0, pode-se concluir
que 2x+1=0 ou que 2x-1=0. Qual é, então, o
conjunto-solução de (2x+1)(2x-1)=0?
b) Na equação (2x+1)(2x-1)=3, pode-se concluir
que 2x+1=3 ou que 2x-1=3? Por quê?
6)Resolva as equações, na variável x, sendo
U=IR (use a fatoração):
a)49𝑥³ − 16𝑥 = 0
b)𝑥³ + 10𝑥² + 25𝑥 = 0
c)4𝑥³ − 12𝑥² + 9𝑥 = 0
d)3𝑥 + 6 + 𝑥² − 4 = 0
e)3𝑥 + 6 + 𝑥² + 2𝑥 = 0
f)𝑥³ + 2𝑥² − 9𝑥 − 18 = 0
g)𝑥³ − 5𝑥² − 3𝑥 + 15 = 0

41
7) Qual é o conjunto solução da equação
(𝑥 − 2)(𝑥 + 5)(𝑥 − 3) = 0?
a) {5,2,3} b) {-5,2,3} c) {-5,-2,3}
d) {-5,-2,-3} e) {0}
8) Qual é a soma das soluções da equação a
seguir?
(2𝑥 − 3)(5𝑥 + 2) = 0
a) 0,4 b) 1,1 c) 1,5 d) 5 e) 11
9) A raiz da equação 3𝑥³ − 24 = 0 é:
a) 2 b) -2 c) 3 d) -3
e) nenhuma das anteriores
10) Resolva a equação
(𝑥 + 2)² + 3(2𝑥 − 1) = 𝑥²
a) x= 3/5 b) x=3/2 c) x=3/10
d) x=10/3 e) x=-1/10
11) A equação x²=9 tem como solução:
a) {3} b) {-3} c) {3,-3}
d) {3,9} e) {3,-3,9,-9}
REFORÇANDO
Resolva as equações
1) (𝑥 − 2)(2𝑥 + 4)(3𝑥 − 6) = 0
2) 3(𝑥 − 5)²(2𝑥 − 10)³ = 0
3) 𝑥² − 8𝑥 = 0
4) 𝑥5 − 3𝑥4 = 0
5) 𝑥² − 16 = 0
6) 𝑥² + 4𝑥 + 4 = 0
7) 4𝑥² + 16𝑥 + 4 = 0
8) (𝑦 + 5)(𝑦 + 3) = 15
9) (𝑡 + 5)² − 2 = 34
10) 𝑥³ + 𝑥² − 4𝑥 − 4 = 0
11) 𝑥³ − 2𝑥² + 𝑥 = 0
12) 3𝑥 + 6 + 𝑥² − 4 = 0
13) 49𝑥³ − 16𝑥 = 0
14) 𝑥³ + 10𝑥² + 25𝑥 = 0
15) 3𝑥 + 6 + 𝑥² + 2𝑥 = 0
Resolver em ℝ
16) x²-6x=0
17) 3x³-27x²=0
18) x³+3x²-x-3=0
19) x²-6x+9=0
20) x³-6x²+9x=0
21) (x-3)²(2x-1)5
(3x-6)8
=0
Equações e Fatoração do Trinômio do
2º Grau
QUADRO
Resolva a equação
𝑥2
+ 5𝑥 + 6 = 0
Podemos fatorar o trinômio do 2º Grau por soma e
produto S=5 e P=6, achamos os números 2 e 3:
(𝑥 + 2)(𝑥 + 3) = 0
𝑥 + 2 = 0 𝑜𝑢 𝑥 + 3 = 0
𝑥 = −2 𝑜𝑢 𝑥 = −3
Usando a fatoração do polinômio do 2º Grau, resolva
as equações:
a) x²+7x+10=0
b) x²-6x+8=0
c) x²-9x+14=0
d) x²+x-12=0
e) x²-9x+18=0
f) x²-x-12=0
g) x²+7x-8=0
h) x²-2x-15=0
i) x²-11x-12=0
j) m²-13m+12=0
k) t²+8t+12=0
l) k²-2k-8=0

42
VB.2 AULA 9 – Equações do 2º Grau (sem fórmula)
Submódulo VB.2
Esse é um assunto que será abordado no PODEMOS B6.1 e essa aula será
inserida, da forma como está, ou remodelada, no livro do POMEMOS B6.
Como ainda não está pronto, não podemos precisar o número da aula.
s
Equações Binomias
QUADRO
São equações da forma 0=+ baxn
.
Resolvemos ela isolando o x:
a
b
xbax nn
−=−=
No conjunto IR, se n for par: n
a
b
x −= , se n for
ímpar: n
a
b
x −= .
Exemplos, sendo U=IR:
a)
21616
3
48
483 4444
===== xxxxx
b)
5125125
5
625
6255 3333
−=−=−=−=−= xxxxx
Resolva no caderno, sendo U=ℝ
1) 6x2-216=0
2) 5x2=125
3) 6x3-48=0
4) x6-64=0
4) 3x3+81=0
5) x2+64=0
6) x2-108=0
7) 2x2-80=0
8) 5x2+25=6x2+9
9) 6(x2+1)-2(x2+4)=1
10) 20
3
2
4
3
4 22
+=−
xx
11) 3)1(
2
)2( 2
2
++=
+
x
xx
12) 2x5-5=x5+27
13) x101=-1
14) x102=1
15) 3x2-1=0
Equações do 2º Grau Incompletas – 1º
Caso – c=0
QUADRO
Uma equação do 2º grau possui a forma:
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Padronizaremos para resolver equações:
- A letra “a” para o coeficiente do termo do 2º grau
- A letra “b” para o coeficiente do termo do 1º grau
- A letra “c” para o termo independente
Nós podemos dizer que uma equação onde 𝑎 = 0
não é do 2º grau. Então é necessário ter a
diferente de zero!
Quando tanto b quanto c são não nulos, dizemos
que a equação é completa:
𝑥2
+ 3𝑥 − 4 = 0
3𝑥2
+ 4𝑥 − 3 = 0
São exemplos de equações completas.
Se faltar qualquer termo, dizemos que a equação
é incompleta
5𝑥2
− 3𝑥 = 0 é incompleta pois falta do termo
independente (c=0)
3𝑥2
− 4 = 0 é incompleta pois falta o termo do 1º
grau (b=0).
3𝑥2
= 0 é incompleta pois b=0 e c=0. Nesse caso
as duas raízes são zero.
Para resolver equações onde o c=0 basta
utilizar a fatoração e a Lei dos Produtos Nulos
como já vimos no B5.1:
5𝑥2
− 4𝑥 = 0
𝑥(5𝑥 − 4) = 0
𝑥 = 0 ou 5𝑥 − 4 = 0
𝑥 = 0 ou 5𝑥 = 4
𝑥 = 0 ou 𝑥 =
4
5
𝑆 = {0,
4
5
}

43
1) x2-5x=0
2) x2+3x=0
3) 3x2+8x=0
4) 4x2-x=0
5) 3x2-9x=0
6) y2+6y=0
7) 3 x2+3x=0
8) 5 x2-5x=0
9) x2+5 2 x=0
10) (y+5)(y+3)=15
11) (3x+4)(2x-1)=-4
12) (x+5)(x-1)=2x-5
13) 5x2-3x=0
14) -2x2+6x=0
15) -3x2+5x=0
16) -4x2-5x=0
17) -5x2-2x=0
18) 3x2-4x=0
19) (t+5)2-2=23
20) (3x+4)(2x-1)=-4
21) (x+5)2=2x+25
22) (x-3)2=9
23) (x+2)2=4
24) (x+1)2=3x+1
25)
2x
3
2
-4x=0
26)
x
4
x
2
2x
3
2
+ =
27)
x 4
2
x 6
3
0
2
−
−
−
=
QUADRO
Temos que observar que:
- Apenas quando o termo 𝑐 = 0 uma das raízes é
igual a zero.
- Sempre quando o termo 𝑐 = 0 uma das raízes é
igual a zero.
Note que:
Toda equação do 2º grau pode ser escrita da
forma
𝒂(𝒙 − 𝒙′)(𝒙 − 𝒙′′) = 𝟎
Sendo 𝑥′
e 𝑥′′ as raízes (tem professor que usa
𝑥1e 𝑥2).
Veja no exemplo 5𝑥2
− 4𝑥 = 0
𝑎 = 5 e vimos que 𝑥′
= 0 e 𝑥′′
=
4
5
Veja que a expressão
5(𝑥 − 0) (𝑥 −
4
5
)
Equivale a
5𝑥2
− 4𝑥
Monte equações cujas raízes são:
a) 5 e 2 b) 3 e -2
c) 7 e -1 d) -9 e -6
e) 0 e 4 f) 2/3 e 5
g) -3 e 3 h) -4 e 4
i) 0 e -2 j) 0 e 0
Equações do 2º Grau Incompletas – 2º
Caso – b=0
QUADRO
As equações onde falta o termo do 1º grau, são
equações binômias simples, e podem ser
resolvidas como já aprendemos:
3𝑥2
− 12 = 0
3𝑥2
= 12
𝑥2
=
12
3
𝑥2
= 4
𝑥′
= 2 ou 𝑥′′
= −2
S={2,-2}
28) x2-49=0
29) x2-81=0
30) x2-40=0
31) x2-128=0
32) 3y2-75=0
33) -x2=4
34) 2x2-20=0
35) y2+3=0
36) 3x2+48=0
37) 4x2-9=0
38) 4x2-5=0
39) 8x2-40=0
40) (x+5)(x-4)=x+16
41) (x+6)(x-4)=2x+12
42) (x-5)2=2x(x-5)
43) x2-10=0
44) 2x2+50=0

44
45) 3x2-21=0
46) -5x2+20=0
47) 9x2=25
48) 4x2-5=0
49) x 8
5x 8
x 3
+ =
−
−
50)
x 10
2
4x 2
x 2
+
=
−
−
51)
x
25
1
9
0
2
− =
52) 3x2+5x=0
53) x2-x=0
54) -4x2-12x=0
55) x2-100=0
56) 9x2-25=0
57) (3y-4)(3y+1)=14-9y
58) (2x-1)(x+2)=3x-7x2
59) (x+2)(x+5)=7x
60) (x-4)2+2(x-8)=0
61)
y
4
y
3
y
2
2
+ =
62) m 10
8m
m 2
+ =
−
63)
3x 1
x 1
x 2
x
10
x x
2
−
−
+
+
=
−
QUADRO
Temos que observar que:
- Apenas quando o termo b= 0 ambas raízes são
simétricas
- Sempre quando o termo b= 0 ambas raízes são
simétricas
Podemos reescrever as duas sentenças:
Uma equação do 2º grau tem duas raízes
simétricas se e somente se b=0
Mostre que é verdadeira a afirmação: “Uma equação
do 2º grau tem duas raízes simétricas se e
somente se b=0” usando 𝒂(𝒙 − 𝒙′)(𝒙 − 𝒙′′) = 𝟎
QUADRO
Vimos então que:
b=0 Raízes Simétricas
c=0 Uma das raízes é zero
Aplicação em exercícios:
a)Calcule p na equação x2-6x+p+5=0 de modo que
uma das raízes seja nula.
Temos que ter c=0, portanto p+5=0 e p=-5.
b) Determinemos o valor de k na equação x2-(k-3)x-
25=0 para que as raízes sejam simétricas.
Temos que ter b=0, portanto k-3=0 e k=3
Resolva no caderno
1) Determinar m na equação x2+(m-1)x+2m+6=0 de
modo que uma das raízes seja nula.
2) Determinemos o valor de m na equação x2+(m-1)x-
12=0 para que as raízes sejam simétricas.
3) Determine o valor de p na equação x2-(2p+5)x-1=0
para que as raízes sejam simétricas.
4) Determine o valor de k para que a equação x2-
kx+3k+1=0 para que:
a) suas raízes sejam simétricas
b) uma das raízes seja nula
c) determine qual seria a equação nos dois
casos acima
5) Determine os valores de a para que a equação x2-
(a2-3a)x+4=0 seja incompleta.
6) Determine os valores de a para que a equação
x2+(3x-2)x+(x2-2x)=0 seja incompleta.
7) Dado a2-3a=0 e b2-4b=0, determine o valor de a2+b2.
1) 𝑥2
− 5𝑥 = 0 S={0,5}
2) 5𝑥2
− 3𝑥 = 0 S={0,3/5}
3) −2𝑥2
+ 6𝑥 = 0 S={0,3}
4) √3𝑥2
+ 3𝑥 = 0 S={0,- √3}
5) (𝑦 + 5)(𝑦 + 3) = 15 S={0,-8}
6) (𝑡 + 5)2
− 2 = 23 S={0,-10}
7) 𝑥2
− 49 = 0 S={-7,7}
8) 3𝑦2
− 75 = 0 S={-5,5}
9) −𝑥2
+ 4 = 0 S={-2,2}
10) 9𝑥2
− 25 = 0 S={-5/3,5/3}
11) (3𝑦 − 4)(3𝑦 + 1) = 14 − 9𝑦 S={-√2, √2}
12) (2𝑥 − 1)(𝑥 + 2) = 3𝑥 − 7𝑥2
S={-√2/3, √2/3}
13) (𝑥 − 4)2
+ 2(𝑥 − 8) = 0 S={0,6}
14) (𝑥 + 2)(𝑥 + 5) = 7𝑥 S=∅

45
15) 𝑥 + 8 =
5𝑥−8
𝑥−3
S={-4,4}
16)
3𝑥−1
𝑥−1
+
𝑥+2
𝑥
=
10
𝑥2−𝑥
S={- √3, √3}
Equações do 2º Grau Completando
Quadrados
QUADRO
Resolução de equações completando quadrados
Existem várias técnicas de resolução de
equações, a mais natural é a resolução completando
quadrados.
Veja o exemplo (um exemplo dos mais
simples):
Como resolver a equação 2x2-12x+4=0.
(1) Divida a equação pelo valor do coeficiente a
(neste caso 2): x2-6x+2=0
(2) Passe o termo independente para o 2º
membro: x2-6x= -2
(3) Complete o 1º membro de modo que ele seja
um trinômio quadrado perfeito (lembre-se
que o mesmo número somado ao 1º membro
deve ser somado ao 2º membro): x2-6x+9=-
2+9(x-3)2=7
(4) Então:
73737)3( 2
==−=− xxx
.
Achamos S={ 73,73 −+ }
Esta técnica chama-se resolver a equação
completando quadrados, mas alguns o chamam de
método da fatoração, que iremos diferenciar.
Exemplo mais limpo
Resolva completando quadrados:
𝑥2
− 8𝑥 + 15 = 0
𝑥2
− 8𝑥 = −15
𝑥2
− 8𝑥 + 16 = −15 + 16
(𝑥 − 4)2
= 1
𝑥 − 4 = ±√1
𝑥 − 4 = 1 ou 𝑥 − 4 = −1
𝑥 = 5 ou 𝑥 = 3
Então 𝑆 = {5,3}
Resolva no caderno pelo complemento de quadrados:
1) x2-6x-7=0
2) x2-8x+12=0
3) x2-6x-40=0
4) x2+2x-99=0
5) 4x2-36x+72=0
6) 9x2+30x+41=0
7) 100x2-100x+25=0
8) 100x2-100x-200=0
9) x2/9+8x/3-425=0
Você pode multiplicar a equação toda por 9
10) x2-6x+9=0
11) 4x2-4x-8=0
12) 4x2-36x-63=0
13) x2+x+5=0
Para que x²+x vire um quadrado por adição, você deve somar
1
4
,
pois 𝑥2
+ 𝑥 +
1
4
= (𝑥 +
1
2
)
2
. Há professores que usam a fórmula
𝑏2
4𝑎2
para achar o valor que deve ser somado!
14) x2-x+11=0
15) x2-6x=0
Resolva pelo complemento de quadrados:
16) x2+8x+16=0
17) x2-3x+1=0
18) 25a2+20a+4=0
19) x2-11x+18=0
20) x2+5x-24=0
QUADRO
Método da Fatoração
Alguns autores fazem o seguinte:
𝑥2
+ 8𝑥 + 15 = 0
𝑥2
+ 3𝑥 + 5𝑥 + 15 = 0
Fatoram por agrupamento
𝑥(𝑥 + 3) + 5(𝑥 + 3) = 0
(𝑥 + 5)(𝑥 + 3) = 0
𝑥 + 5 = 0 ou 𝑥 + 3 = 0
𝑥 = −5 ou 𝑥 = −3
Perceba que é uma outra forma de resolver
equações, mas que exige um pouco de raciocínio.
21) (Concurso Professor de Matemática 5ª à 8ª
séries – Prefeitura Municipal de Mogi das Cruzes-
SP/2003) Um professor de Matemática propôs ao seu
aluno que resolvesse a seguinte equação do 2o grau:
4x2-20x+26=0. Após escrever a sentença (4), esse
aluno concluiu que a equação não tinha raízes reais.
4x2-20x+26=0 (1)
4x2-20x=0-26 (2)
4x2-20x+25=-26+25 (3)
(2x-5)2=-1 (4)
Pode-se afirmar que o aluno
a) não chegou à conclusão correta, pois, para tanto, ele
deveria ter aplicado, logo de início, a fórmula de
Bhaskara.
b) não chegou à conclusão correta, pois errou na
passagem de (2) para (3).
c) chegou à conclusão correta, apenas por coincidência
pois ele nada poderia concluir a partir da sentença (4).
d) chegou à conclusão correta apenas por coincidência,
pois errou na passagem de (2) para (3).
e) chegou à conclusão correta e todas as passagens
estão corretas.

46
VB.2 AULA 10 – Equações do 2º Grau – Fórmula de Bháskara
Submódulo VB.2
Como ainda não está pronto, não podemos precisar o número da aula. E um
assunto típico de 9º ano, mas essencial para ser aprendido no 7º ou 8º ano
para alunos com competividade olímpica. Fique atento que o assunto não se
esgota aqui e nesse curso não faremos estudo do discriminante e das raízes!
s
Equações do 2º Grau Completas –
Método Resolutivo
QUADRO
Método Resolutivo
Vamos usar o Método de Completar
Quadrados para resolver a equação do 2º grau
geral:
2
22
22
2
2
2
2
4
4
2
22
0
0
a
bac
a
b
x
a
b
a
c
a
b
a
bx
x
a
c
a
bx
x
a
c
a
bx
x
cbxax
+−
=





+






+−=





++
−=+
=++
=++
a
acbb
x
a
acb
a
b
x
a
bac
a
b
x
2
4
2
4
2
4
4
2
2
2
2
2
−−
=
−
=+
+−
=+
O valor de b2
-4ac determina a quantidade
de raízes da equação. Se este valor for positivo a
equação terá 2 raízes diferentes, se este valor for
zero, terá 1 raiz diferente (+0=-0), se este valor for
negativo não terá raiz (não existe raiz quadrada de
número negativo).
Chamaremos este valor b2-4ac de
discriminante, e representaremos pela letra
grega delta: .
A fórmula de resolução da equação pode
ser escrita como:
acb
a
b
x
4
2
2
−=
−
=
Esta fórmula é chamada nos livros
didáticos brasileiros erroneamente de Fórmula de
Bháskara. Hoje sabemos que apesar do nome a
fórmula não é de Bháskara e não é chamada por
este nome em nenhum outro lugar a não ser no
Brasil (e no Ensino Fundamental e Médio apenas).
A fórmula é de
O hábito de dar o nome de Bhaskara para a fórmula de resolução
da equação do segundo grau se estabeleceu no Brasil por volta
de 1960. Esse costume, aparentemente só brasileiro (não se
encontra o nome de Bhaskara para essa fórmula na literatura
internacional), não é adequado pois:
Problemas que recaem numa equação do segundo grau já
apareciam, há quase quatro mil anos atrás, em textos escritos
pelos babilônios. Nesses textos o que se tinha era uma receita
(escrita em prosa, sem uso de símbolos) que ensinava como
proceder para determinar as raízes em exemplos concretos com
coeficientes numéricos.
Bhaskara que nasceu na índia em 1114 e viveu até cerca de
1185 foi um dos mais importantes matemáticos do século 12. As
duas coleções de seus trabalhos mais conhecidas são Lilavati
("bela") e Vijaganita (''extração de raízes"), que tratam de
aritmética e álgebra respectivamente, e contêm numerosos
problemas sobre equações lineares e quadráticas (resolvidas
também com receitas em prosa), progressões aritméticas e
geométricas, radicais, tríadas pitagóricas e outros.
Até o fim do século 16 não se usava uma fórmula para obter as
raízes de uma equação do segundo grau, simplesmente porque
não se representavam por letras os coeficientes de uma equação.
Isso começou a ser feito a partir de François Viète, matemático
francês que viveu de 1540 a 1603.
Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da
obra de Bhaskara, não é correto atribuir a ele a conhecida fórmula
de resolução da equação do 2a
grau.
Fontes:
Boyer, C. B. História da Matemática. São Paulo, Edgar Blucher,
1974,
Eves, H. Introdução à História da Matemática. São Paulo, Editora
da Unicamp, 1995.
A Matemática do Ensino Médio. Coleção do Professor de
Matemática, SBM, 1996
Revista do Professor de Matemática 39

47
EXERCÍCIOS
Cada lista apresenta um grau diferente de dificuldade!
QUADRO
4𝑥2
− 7𝑥 + 3 = 0
𝑎 = 4 ∆= 𝑏2
− 4𝑎𝑐
𝑏 = −7 ∆= (−7)2
− 4 ∙ 4 ∙ 3
𝑐 = 3 ∆= 49 − 48 = 1
𝑥 =
−𝑏 ± √∆
2𝑎
𝑥 =
−(−7) ± √1
2 ∙ 4
𝑥 =
7 ± 1
8
𝑥′ =
7+1
8
ou 𝑥′′ =
7−1
8
𝑥′ = 1 ou 𝑥′′ =
3
4
Então: 𝑆 = {1,
3
4
}
Resolva no caderno, pelo método resolutivo, sendo
U=ℝ
1) 4x2-7x+3=0
2) x2
+8x+12=0
Óbvio que quando temos apenas x² o coeficiente a=1
3) y2+5y-24=0
4) 5y2
-6y+1=0
5) x2
-4x-21=0
QUADRO
4𝑥2
− 4𝑥 + 1 = 0
𝑎 = 4 ∆= 𝑏2
− 4𝑎𝑐
𝑏 = −4 ∆= (−4)2
− 4 ∙ 4 ∙ 1
𝑐 = 1 ∆= 16 − 16 = 0
𝑥 =
−𝑏 ± √∆
2𝑎
𝑥 =
−(−4) ± √0
2 ∙ 4
𝑥 =
4 ± 0
8
Note que somar ou subtrair zero resulta no mesmo
resultado, o que indica que essa equação tem
apenas uma única raiz (ou que a raiz tem duas raízes
iguais)
𝑥 =
1
2
Então: 𝑆 = {
1
4
}
Quando ∆= 𝟎 a equação do 2º Grau tem duas
raízes reais iguais (uma única raiz)
U=ℝ
6) 4x2
-4x+1=0
7) x2
-12x+36=0
8) x2+8x+16=0
9) x2
-2x+1=0
10) x2
-6x+9=0
QUADRO
𝑥2
+ 2𝑥 + 2 = 0
𝑎 = 1 ∆= 𝑏2
− 4𝑎𝑐
𝑏 = 2 ∆= 22
− 4 ∙ 1 ∙ 2
𝑐 = 2 ∆= 4 − 8 = −4
Não é possível extrair √∆ se o valor de ∆ for negativo,
pois não existe raiz quadrada de número negativo,
portanto, não teria como aplicar a fórmula de
Bháskara.
Então: 𝑆 = ∅
Quando ∆< 𝟎 a equação do 2º Grau não tem
raízes reais, e a solução é ∅
U=ℝ
11) x2
+2x+2=0
12) 2y2
-4y+3=0
13) 4x2
-4x+2=0
14) 2x2
-3x+5=0
15) x2+7x+25=0
QUADRO
𝑥2
− 3𝑥 + 1 = 0
𝑎 = 1 ∆= 𝑏2
− 4𝑎𝑐
𝑏 = −3 ∆= (−3)2
− 4 ∙ 1 ∙ 1
𝑐 = 1 ∆= 9 − 4 = 5
𝑥 =
−𝑏 ± √∆
2𝑎
𝑥 =
−(−3) ± √5
2 ∙ 1
𝑥 =
3 ± √5
2
Como √5 é um número irracional, nós “deixamos
indicada” a raíz na resposta (a menos que você
precise de um valor aproximado)
𝑥′ =
3+√5
2
ou 𝑥′′ =
3−√5
2
Então: 𝑆 = {
3+√5
2
,
3−√5
2
}

48
U=ℝ
16) x2
-3x+1=0
17) x2
+3x-1=0
18) x2-4x-2=0
Podemos transformar √24 em 2√6. Quando tivermos
4+2√6
2
podemos usar da fatoração para simplificar esses radicais:
2(2+√6)
2
=
2 + √6. Lembre-se que não dá para cortar denominador e numerador
se houverem somas, é preciso fatorar.
19) y2
-25y+4=0
Aqui a lógica é a mesma, só que você precisará operar com
radicais
20) 2x2
-8x-4=0
U=ℝ
Misturamos aqui várias equações do 2º grau
21) x2
+5x+6=0
22) x2-8x+16=0
23) x2
-9=0
Equação incompleta, pode ser resolvida de forma mais simples,
porém, queremos que você veja que a fórmula funciona. Use b=0
24) x2
+x+1=0
25) x2
+6x=0
U=ℝ
26) (x+4)(x-1)=5x+20
Tirando um pouco de técnica algébrica, o resto é tudo normal.
Você precisa reduzir a equação para a forma padrão ax²+bx+c=0
antes de aplicar a fórmula. E isso exige várias manipulações
algébricas.
27) 3x(2x-3)=(x+1)2-7
28) 5y+(y+2)2=3y(y+2)+y
29) (x-2)(x+2)-(x-1)2
=x2
-8
U=ℝ
30) 15
3
1
2
2
+=−
xx
31)
3
1
3
)3(
2
1
+=
−
−
−
y
yyy
32)
6
2
2
23
3
12 2
−
=
−
−
− xxx
33)
4
322
2
23
4
)1(3 xxxx −
=
−
−
+
U=ℝ (não esqueça de analisar as condições de
existência)
A seguir são equações fracionárias do 2º grau, em níveis
progressivos de dificuldade.
34)
x
x
21
20 =+
35) 2
61
1
xx
=−
36)
56
53
1
+
+
=−
x
x
x
37)
2
3
1
11
=
−
+
xx
38)
2
)1(3
2
4
2
9 −
=
−
+
− x
x
x
existência)
39)
x
x
3
8
2
3
=
40)
3
9
3
−
=+
x
x
41) x
x
x
−=
+
2
2
3 2
42)
2
1
+
=
x
x
x
43)
35
34
34
35
+
−
=
−
+
x
x
x
x
existência)
44) 2
23
2
2
=
−
−−
xx
xx
45) 1
)32(4
)2(9
2
2
=
−
+
x
x
46) 3
1
245
2
2
=
++
++
xx
xx
existência)
47)
x
x
x
x 4
2
2
1 +
=+
48) 1
82
=
−
+
− x
x
x
x
49)
2
7
1
36
+
+
+
=
xxx
50) 1
41
=
−
+
− x
x
x
x
51)
2
5
4
15
15
4
=
−
−
−
+
+
x
x
x
x
existência)
51)
22
22
)2)(1(
2
−
+
−
−
=
−+ x
x
x
x
xx
x
52)
)1)(3(
62
)3)(2(
6
)2)(1(
13
−−
+
=
−−
+
+
−−
+
xx
x
xx
x
xx
x
53)
)2)(3(
3
)1(22
3
++
=
+
+
+
−
xx
x
x
x
x
x

49
existência)
54)
1
3
1
2
1
2
2
−
=
−
−
−
+
−
xx
x
x
x
55)
xxxxxx −
=
−−
+
− 2
3
)2)(1(
2
)2(
1
56)
9
1226
3
12
3
23
2
−
−
=
+
−
−
−
+
x
x
x
x
x
x
existência)
57) 21
56
204
2
=+
+−
−
xx
x
58) 5
107
102
4 2
=
+−
−
+
xx
x
59) 2
23
16237
4 2
2
=
+−
+−
+−
xx
xx
existência)
60) x2+3x+10=0
61) x2
-3x-1=0
62) (x-1)(x-2)-12=0
63)
6
)12(5
12
5
4
)1( −
=
−
−
+ xxxx
64) 3
2
5
−=
+
x
x
existência)
65) x2+x+5=0
66) 2x2
+4x-1=0
67) (x+5)(x-5)=8x-41
68)
3
1
2
1
2
2
−
=
−
−
xx
x
69) 2
1
63
+=
+
+
m
m
m
existência)
70) 2x2
+4x+12=0
71) 2x2
-3=0
72) (3x+1)2
-8=(x+1)(8x-1)
73)
4
1
3
2 −
=−
xx
x
74) 7
4
1
+=
−
+
x
x
x
existência)
EXERCÍCIOS DE TESTES
1) (Exame de Seleção do Colégio Técnico
Industrial de Guaratiguetá – Unesp – 2001) Quais
são os valores reais de X para os quais as seguintes
expressões :
6
)23( 2
−X
e
2
)51(
3
32 XXX −
−
+
são iguais ?
a)-1/6 ou – 2 b) -1/6 ou 2 c) 1/6 ou 2 d) 1/6 ou -2
2) (Concurso de Auxiliar Judiciário TER – 2001)
A soma dos inversos das raízes da equação
𝒙( 𝟑𝒙 − 𝟓 ) = 𝟕(𝒙 + 𝟔𝟎)
É aproximadamente igual a:
a) - 0,6 b) - 0,3 c) - 0,03
d) 0,01 e) 0,03
3) (Exame de Seleção do Colégio Pedro II – 1a
série do Ensino Médio 2002) O diagrama ao lado
tem um formato que lembra um triângulo. Este
"triângulo" é formado por seis números que devem
ocupar os espaços indicados. Um destes números (o
27) já foi dado. Os outros você terá que descobrir,
sabendo que a soma dos números correspondentes
a cada "lado do triângulo" deve ser sempre a mesma.
a) Para começar, você deve descobrir qual é o valor
de x.

50
b) Agora, complete o "triângulo" com os números
correspondentes.
Industrial de Guaratiguetá – Unesp – 2001) Sabe-
se que : 0
1
1
1
1
1
5
2
=
+
−
−
+
− XXX
X
. Que valor
real de X torna verdadeira essa igualdade ?
a) 3 b)
4
1
− c)
5
2
− d) 0
Industrial de Guaratiguetá – Unesp – 2000) Sendo
U = lR, resolva a equação:
34
3
3
3
1
2
2
+−
+
=
−
+
− xx
x
xx
x
a)  3,1−=S . b) S =  .
c)  3=S . d)  1−=S .
4) (Exame de Seleção do Coluni/UFV – 2003)
Sendo ,
1
1
1
1
1
2
2 aaa
a
K
−
−
+
+
−
= com 1a  ,
então podemos afirmar que:
a)K = 1 b)K = a c)K = 1 – a d)K = 1 + a e)K = 0
Equações Literais do 2º Grau
QUADRO
Considere todas as equações literais na variável x
e as outras letras sendo parâmetros. Resolva
normalmente, como você está acostumado
resolver equações do 2o
grau.
Não há diferenças! Vai ficar como desafio você
tentar sozinho!
Admitindo todas condições de existência satisfeitas,
resolva as equações literais na variável x, em seu
caderno:
1)x2
+8mx=0
2) x2-36m6=0
3) x2
-3ax+2a2
=0
4) x2
+10mx+25m2
=0
5) x2
-2ax+a2
-b2
=0
6) x2
-(k+4)x+4k=0
caderno:
7) (x+2p)(p-x)+2p2
=2p(p-x)
8) (x-p)2
+(x+p)2
-10p2
=0
caderno:
9) x
pq
x
pq
x 2
2
2
−=−
10) 0
42
2
=−





−
mm
xx
caderno:
11) bx
xb
ax
+=
−
2
12) 22
2
)1(2
ax
a
ax
ax
ax
ax
−
+
=
+
−
+
−
+
13) x(x-m)+x(x+n)=nx
14) 0
)(
)( 2
22
2
=
−
−+−
qp
qp
xqpx
15) x
bax
xx
bax
xx
2
22
=
−+
−
−
+−
−
caderno:
16) x2
-7ax+10a2
=0
17) x2
-(m+3)x+3m=0
18) (ax-1)(x+a)=(ax-1)(2x-
Fatoração do Polinomio do 2º Grau
QUADRO
Para fatorar o polinômio P da forma ax2
+bx+c,
achamos as raízes x1 e x2 da equação P=0, e
colocamos que
𝑃 = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)
Exemplos. a) Fatore x2
-7x+10=0. Acharemos as
raízes 5 e 2. A forma fatorada é (x-5)(x-2).
b) Fatore 6x2
-7x+2=0. Raízes 1/2 e 2/3. A forma
fatorada é 6(x-1/2)(x-2/3).

51
Fatore se possível, usando o método explicado:
1) x2
-6x+5
2) 3x2
-9x-30
3) x2-13x+22
4) 2x2
+10x+8
8) 2x2
+5x-3
9) –x2
+5x-4
10) 6x2
-5x+1
11) x2
-2x-35
12) 2x2
+18x+40
13) 4x2-13x+3
14) x2
-18x+81
15) 5x2
+30x+451
16) x2
-2ax+a2
17) x2-9
18)x2
-6x
19) x2
-6x+9
Fatore se possível:
1) x3
-6x2
+5x
2) 2ax2
+10ax+8a
3) x4-2ax2+a4
4) x4
-9x2
5) 6x8
-5x7
+x6
Simplifique as frações:
6)
365
16
2
2
−+
−
xx
x
7)
158
62
2
2
+−
−
xx
xx
8)
273
36213
2
2
−
+−
x
xx
9)
xx
x
55
1
2
2
+
−
10)
242
128
2
2
−−
+−
xx
xx
11)
2
363
2
2
−+
+−
xx
xx
12)
100404
20142
2
2
++
++
xx
xx
13)
12102
6
2
2
−−
−
xx
xx
1) 4𝑥2
− 7𝑥 + 3 = 0 S={1,3/4}
2) 𝑥2
+ 8𝑥 + 12 = 0 S={-2,-6}
3) 5𝑦2
− 6𝑦 + 1 = 0 S={1/5,1}
4) −𝑥2
+ 11𝑥 − 18 = 0 S={2,9}
5) 4𝑥2
− 4𝑥 + 1 = 0 S={1/2}
6) 𝑥2
− 12𝑥 + 36 = 0 S={6}
7) 25𝑎2
+ 20𝑎 + 4 = 0 S={-2/5}
8) 𝑥2
+ 2𝑥 + 2 = 0 S=∅
9) 2𝑦2
− 4𝑦 + 3 = 0 S=∅
10) 4𝑥2
− 12𝑥 + 7 = 0 S={
3−√2
2
,
3+√2
2
}
11) 𝑥2
− 3𝑥 + 1 = 0 S={
3−√5
2
,
3+√5
2
}
12) 𝑥2
− 4𝑥 − 2 = 0 S={2 − √6,2 + √6}
13) 𝑦2
− 2√5𝑦 + 4 = 0 S={√5 − 1,√5 + 1}
14) 𝑥(𝑥 + 5) = 2𝑥 + 28 S={4,-7}
15) (𝑥 − 2)(𝑥 + 2) − (𝑥 − 1)2
= 𝑥2
− 8 S={-1,3}
16) 5𝑦 + (𝑦 + 2)2
= 3𝑦(𝑦 + 2) + 𝑦 S={-1,2}
17)
𝑥2−1
4
=
𝑥−1
3
S={1,1/3}
18)
𝑥2
2
− 1 =
𝑥
3
+ 15 S={-16/3,6}
19)
𝑦−1
2
−
𝑦(3−𝑦)
3
= 𝑦 +
1
3
S={-1/2,5}
20)
𝑥
𝑥+1
−
2
𝑥−1
=
𝑥−5
𝑥2−1
S={3} (note
que 1 é raíz, mas é excluído! Entenda!)
21) 𝑥 +
1
𝑥−5
= 7 S={6}
22)
𝑦+3
𝑦−1
=
𝑦+1
3
S={-2,5}
23)
3𝑥+2
𝑥−3
−
2𝑥−1
𝑥+3
=
26𝑥−12
𝑥2−9
S={5}
24)
𝑥
1−𝑥
+
𝑥−2
𝑥
= 1 S={-1±√3}
25) (𝑥 − 3)2
− 6𝑥 = 9 S={0}
26) 𝑥2
− 5𝑎𝑥 = 0 S={0,5a}
27) 𝑥2
− 16𝑚2
= 0 S={-4m,+4m}
28) 𝑥2
− 7𝑎𝑥 + 10𝑎2
= 0 S={5a,2a}
29) 𝑥2
− (𝑚 + 3)𝑥 + 3𝑚 = 0 S={m,3}
30) (𝑚𝑥 + 𝑛)2
− 𝑛2
(m≠0) S={0,-2n/m}
31) (𝑎𝑥 − 1)(𝑥 + 𝑎) = (𝑎𝑥 − 1)(2𝑥 − 𝑎) (a≠0)
S={1/a,2a}
32) 𝑥2
− 9𝑝6
= 0 S=∅

52
VB.2 AULA 11 – Equações Biquadradas e Irracionais
Submódulo VB.2
Como ainda não está pronto, não podemos precisar o número da aula. A
parte das equações irracionais está falha e incompleta, precisando de
reparos. Recomendando que para resolver as equações irracionais mais
difíceis, recorra ao Youtube.
a
Equações Biquadradas
QUADRO
Equações biquadradas
Equação biquadrada é uma equação da
forma ax4+bx2+c=0. Para resolvermos uma equação
biquadrada basta chamarmos x2=y, e teremos uma
equação do 2o grau ay2-by+c=0. Resolvemos
normalmente esta equação na variável y no final
achamos x.
Exemplo:
x4-13x2+36=0.
Chamamos x2=y e ficamos com a equação
transformada y2-13y+36=0. Chegamos aos valores
de y=4 e y=9.
Substituímos x2=4 e x2=9, então x= -2, x=2, x= -3,
x=3. S={-2, 2, -3, 3}
Resolva, em seu caderno, as equações no conjunto dos
números reais:
1) x4-8x2+15=0
2) x4-4x2+4=0
3) x4+x2+5=0
4) x4-3x2-10=0
5) x4-5x2+4=0
6) x4+2x2+7=0
7) 2x4-x2-15=0
8) 8x4+7x2+5=0
9) 4x4-5x2+1=0
10) 2x4-3x2-20=0
11) x4+3x2=4
12) 5x4=3x2-8
13) x4+4=-5x2
14) x4-9=0
15) x4=0
Resolva as equações biquadradas em IR:
16) (x2+1)2+50=15(x2+1)
17) (2x2-5)2=10(2x2-5)+39
18) (x2+3)2-19(x2+3)+84=0
19) 0
2
1
4
9 24
=+− xx
20)
3
2
3
7 24
−= xx
21) 2
1
2
2
=+
x
x
22) 04
51
24
=+−
xx
23) 2
42
4
3
2
23
x
xx
=
−
−
+
24)
12
13
3
1 22
4 +
=
+
−
xx
x
25) (x2+13)(x2+1)=85
26) (x2-1)(x2-12)+24=0
27) x(x+1)(x-1)(x+3)=2+3x(x2-1)
28) 7
4
1 2
2
2
−=
−
+
x
x
x
29) 9x2-2=-1/9x2
30)
5
)1(21
5
3 2
2
2 −
=





−
x
x
x
Resolva as equações biquadradas literais na variável x
seguintes. (Suponha satisfeitas as condições de
existência):
31) x4-(a+b)x2+ab=0
32) 222
22
11
axa
ax
−=
−
33) r4x4+(m2-n2)r2x2-m2n2=0
34) a4b4x4-2a4b2x2=(a2-b2)2+2a2b4x2
35) (3x2-7)2-(2x2-5)=16
36)
5
1
)1(
10
1
1
222
=
+
+
+ xx
37)
9
10
11
22
=





+
+





− x
x
x
x

53
38) 1
)3)(3(
17 2
2
=−
−+
−
x
xx
x
39) x4-x2-12=0
40)
3
42
2
3 22
4 +
=
−
−
xx
x
41) Resolva a equação, admitidas todas condições
satisfeitas x4-40m2x2+144m4=0.
42) Resolva as equações, admitidas todas condições
satisfeitas x4-(a+b)x2+ab=0.
Equações Trinomias
QUADRO
Toda equação da forma ax2n+bxn+c=0. Procede-se
da mesma forma que a equação biquadrada,
chamando xn=y, transformando numa equação do 2o
grau, e ao fim, substituindo para encontrar a
resposta.
Resolva em seu caderno:
1) x6-9x3+8=0
2) x6+9x3+8=0
3) x6-7x3-8=0
4) x6-28x+27=0
5) x8+17x4+16=0
6) x8+3x4-4=0
7) 3x6-6x3+3=0
8) Resolva x7-9x4+8x=0
Transformação de Equações
QUADRO
A equação a seguir necessita de uma transformação,
criando uma variável auxiliar.
(Vestibular – Técnico Integrado ao Ensino Médio
– IFSULDEMINAS – 1° Semestre/2016) Resolvendo
a equação
(𝑥⁴ − 4𝑥²)² + 8(𝑥⁴ − 4𝑥²) + 16 = 0
encontramos como conjunto solução:
a) {2} b) {-4} c) {-2;2} d) {-√2; √2}
Se usarmos 𝑥4
− 4𝑥2
= 𝑦
A equação se torna
𝑦2
+ 8𝑦 + 16 = 0
Chegando em 𝑦 = −4
Substituindo
𝑥4
− 4𝑥2
= −4
Temos uma equação biquadrada que você sabe
resolver e permite acharmos as raízes.
Resolva no caderno:
1) 4x-3.2x+2=0
2) 4x-12.2x+32=0
3) 2x+2-x=17/4
4) 32x-4.3x+3=0
5) 22x-9.2x+8=0
6) 5.25x-16.5x+5=0
7) 3x-3.3-x=2
8) 08
1
9
1
2
=+





+−





+ n
n
n
n
9) ( ) ( ) 0223323 222
=++−−+− xxxx
10) 







−+=








−++








−+ 222 11
5
1
3 nn
n
nn
n
nn
n
Equações Irracionais
QUADRO
As equações irracionais são resolvidas
através das técnicas algébricas que já aprendemos
no decorrer do curso. Porém, como é difícil
determinar as condições de existências, e muitas
vezes elas são muitas, as equações irracionais são
resolvidas normalmente, e, ao final, verificamos se
todas as raízes satisfazem a equação.
Exemplo: 122 −=+− x . Achamos x=1/2.
Vamos verificar a solução:
)(11
11
121
12
2
1
.2
F−=
−=
−=+−
−=+−
A partir daí, chegamos a conclusão que a solução da
equação é vazia S=
Existem várias técnicas para resolver equações irracionais! Elas
são complexas e não tivemos tempo hábil para redigir textos sobre
elas. Algumas existem domínio de equações modulares
Resolva as equações, sendo U=IR
1) 71+x =
2) 3x+7 =
3) 64-2x =
4) 22+x3
=
5) 526+4x3
=
6) 23-x4
=
7) 015+2x =−
8) 021+x =−
9) 54+x+2 =
10) x-9x+3 =

54
11) 3x+810-5x =
12) 011+x3-2x =−
13) 27xx
3 2
=−
14) 24+x+x
4 2
=
15) 1-2x5+3xx2
=−
16) 17+x1+4x+x 22
−
17) x2x −=
18) 8+6x=x
19) 023xx2
=−+
20) 2-9x=2x
21) 5x3-x −=
22) 2xx =+
23) x2=3-x
24) 1x1-x2 −=
25) 152x=2x ++
26) 031
2
x
=−−
27) 24-x =
28) 21+3x =
29) 21+3x3
=
30) 0=24-x −
31) 7x2 =+
32) 31+x5 =+
33) 22+xx =−
34) 400x5 =+
35) 9+x=36x +−
36) 1x=12x ++
37) 1-x233x +=+
38) 14+x13x =−+
39) 2x3x =++
40) 11+x32x =−+
41) 1x+21282x +=+
42) 0=11+2x4x +−+
43) 224
3x232x9x =+−+
44) 224
x11x2xx −=+−+
45) 1-xxx-1 24
=−
46) 1+x16x-2x 2
=+
47) x2x36 +=+
48) 11x1x =−++
49) 11x1x =−−+
50) 118x9x =−−−
51) 1+2x1x =+
52) 41+4x3-2x =+
53) 32x14x =−−+
54) 8+xx11x −=−+
55) 1x-1xx =−−
56) 4x+x-1xx1 22
=+++
57) 234x3+x10x −=−+
58) 20x1+x24x +=++
59) 47x1+x6x +=++
60) 3x52x2+3x32x =+−−+
61) 15-x17x10-x6x ++=++
62) 7+x34x2+x1x −+=+−
63)
16x
40
16x+x
2
2
+
=+
64)
2x
4
2+x+x
+
=
65)
x+5
12
x-5+x+5 =
66)
x
x-4
x4
204x
=
+
+
67) 1)2(x
1x-x
1
+
1x+x
1 2
22
+=
−−

55
68)
x
3
x-11
1
-
x-11
1
=
+−
69) x
3xx
3+x
+
3xx
3+x
=
+−++
70) 2
x3x+3
1
x3x+3
1
=
−−
+
−+
71)
xx
x
3
4
x-xx+x
+
=+
72)
xx2
xx2
x+2x+x+1
x+2x-x+1
2
2
−+
++
=
73) 12x1+x3
+=
74) 12x1-3x3
−=
75) 12x1-3x+2x
3 2
−=
76) 2x3x5x-15x+8
3 32
+=−
77) 1=6-x1+xa) 33
−
78) 333
32x=2-x1-x −+
79) 1-x-1x-23
=
80) 333
11x2-x-2+x =
81) 6 233
1x=1-x1+x −−
82) 333
5=x-1x+1 +
83) 06x5-x =+
84) 02x7+6x =+
85) 05x12+9x =−
86) 02x2-x =−
87) 05x6-x 33
=+
88) 08x7+x 33
=−
89) 02x-x
4
=+
90) 06x-x 4
=−
91) 01x2-x3
4
=−
92) 01x8-x9 34 3
=−
93) 75x3x245x3x 22
++=++
94) 74x14xxx 22
+=−−+ 3xx53xx 22
−−=+−
95) 32x62xx4x 22
+=−−+
1) (XIX Olimpíada Brasileira de Matemática – Nível Júnior – 1a
fase – 1997) A equação x +10 − 2x + 3 = 1− 3x
a) não tem solução
b) tem uma única solução positiva
c) tem uma única solução negativa
d) tem duas soluções uma positiva e outra negativa
e) tem duas soluções ambas negativas
2) (Exame de Seleção do Coluni/UFV – 2000) O conjunto solução
da equação xx =++ 402 , em IR, é:
a)  4,9− b)  9 c)  9,4− d) Ø e)  4
3) (Concurso Professor de Matemática 5ª à 8ª séries e Ensino
Médio PEB II – Governo de São Paulo - 2003) A equação
24 −=− xx em IR:
a) admite duas soluções.
b) admite apenas uma solução.
c) não admite soluções.
d) admite uma solução irracional.
e) admite mais de duas soluções.
4) (Concurso de Professor de Matemática 5ª à 8ª série – Governo
do Estado de Minas Gerais/1992) O produto das raízes da equação
12113 −+=+ xx é:
a) 2 b) 3 c) 5 d) 9 e) -5
5) (Olimpíada de Matemática da UNICAMP – Nível Alfa – 2018 –
3ª Fase) Determine os possíveis valores reais de x que satisfazem a
equação:
1) 𝑥4
− 5𝑥2
+ 4 = 0 S={-1,1,-2,2}
2) 𝑥4
− 17𝑥2
+ 16 = 0 S={-4,-1,1,4}
3) 4𝑥4
− 5𝑥2
+ 1 = 0 S={-1,-
1/2,1/2,1}
4) 𝑥4
− 8𝑥2
+ 16 = 0 S={-2,2}
5) 𝑥4
+ 10𝑥2
+ 9 = 0 S=∅
6) 𝑥4
− 8𝑥2
+ 15 = 0 S={-√5,- √3,
√3, √5}
7) 5𝑥4
− 20𝑥2
= 0 S={-√5, √5}
8) 3𝑥4
− 75 = 0 S={0,-2,2}
9) (𝑥2
+ 2)(𝑥2
− 1) = 88 S={-3,3}
10) (𝑥2
+ 3)2
− 3𝑥(𝑥 + 1) = 37 − 3𝑥
S={-2,2}
11) 𝑥4
−
𝑥2−3
2
=
2𝑥2+4
3
S={-1,+1, +√6/6,- √6/6}
12)
𝑥2−5
𝑥2+2
−
2
𝑥2−2
=
2𝑥2−12
𝑥4−4
S={-3,3}
13) 𝑥6
− 9𝑥3
+ 8 = 0 S={1,2}
14) √5𝑥 − 4 + 2 = 𝑥 S={8} (analise
por qual motivo excluímos 1)
15) √5 + √3𝑥 − 2 = 3 S={6}
16) √5𝑥 + 4 = √2𝑥 + 1 + 3 S={12}

56
VB.2 AULA 12 – Problemas com Equações do 2º Grau
Submódulo VB.2
inserida, da forma como está, ou remodelada, no livro do PODEMOS B6.
Como ainda não está pronto, não podemos precisar o número da aula. E um
conteúdo do 9º ano. A 2ª parte é inspirada numa prática que aprendi com a
profa. Delze Viana no Colégio Lyceu Anglo em 1998, e é normalmente omitida
dos currículos pela dificuldade e complexidade.
x
Problemas envolvendo equações do
2º Grau - Diretos
QUADRO
A resolução é simples, basta equacionar e
resolver a equação, como já aprendemos com
Equações do 1º Grau no B3
Resolva no caderno os problemas a seguir:
1)Um retângulo tem 20 cm² de área. Sua base tem 1
cm mais que a altura. Calcule as dimensões deste
retângulo.
Altura = x Base = x+1
Area = x(x+1)=x²+x
Equação:
𝑥2
+ 𝑥 = 20
2)A soma dos quadrados de dois números
consecutivos é 85. Calcule esses números.
Números consecutivos podem ser escritos como x e x+1
3)O quadrado de um número menos o seu triplo é
igual a 18. Determine o número.
4)O dobro do quadrado de um número natural é igual
ao quíntuplo do número aumentado de 12. Calcule o
número.
5)A soma de um número com o seu inverso é 10/3.
Qual é esse número?
O inverso de um número é dado por
1
𝑥
6)A diferença entre dois números é 3. A soma de
seus quadrados é 17. Calcule esses números.
7)Pensei num número positivo. Elevei ao quadrado.
Dividi o resultado por 4. Subtraí 32. Deu o dobro do
número que eu havia pensado. Que número é esse?
8)A soma da metade de um número com ¾ do
quadrado do próprio número é igual a 4. Calcule esse
número.
9)Determine dois números inteiros consecutivos cuja
soma dos inversos seja 7/12.
10)Qual é o número que se deve subtrair do primeiro
fator do produto 73x31 e somar ao segundo fator
para que o produto aumente em 360 unidades.
Somar um número em 31 e subtriar de 73. O produto xy fica
aumentado de 360
(𝑥 − 73)(𝑥 + 31) = 𝑥𝑦 + 360
11)Dois números naturais diferem de 4 unidades. A
diferença de seus quadrados excede o quíntuplo do
menor dos números em 40 unidades. Calcule os
números
Aplicações – Média Geométrica
QUADRO
Média Geométrica
Dizemos que a média geométrica de dois números
a e b é dada por
𝑴𝒈 = √𝒂𝒃
Qual é a média geométrica de 18 e 2?
𝑀𝑔 = √18 ∙ 2 = √36 = 6
A média geométrica é 6.
Podemos também falar que
𝑎𝑏 = 𝑀𝑔2
A média geométrica de n números é dada por
𝑴𝒈 = √ 𝒙 𝟏 𝒙 𝟐 𝒙 𝟑 ∙ ⋯ 𝒙 𝒏
𝒏
(mas não estudaremos isso nesse módulo)

57
Problema:
A média geométrica de um número e seu sucessor
par é 2√6. Que números são esses?
𝑥(𝑥 + 2) = (2√6)
2
𝑥2
+ 2𝑥 − 24 = 0
Agora basta resolver a equação para
encontrarmos os valores de 4 e −6.
Portanto os números podem ser 4 e 6 ou -6 e -4.
1)A média aritmética de um número e o número 5
é igual a média geométrica deles. Qual é esse
número?
Aplicações – Diagonais
QUADRO
Obviamente não precisamos de equações, bastando
usar método da tentativa e erro.
Um polígono tem o seguinte número de diagonais:
𝑑 =
𝑛(𝑛 − 3)
2
Qual polígono tem 9 diagonais? Basta substituir na
fórmula
𝑛(𝑛 − 3)
2
= 9
Temos então uma equação do 2º grau. O valor
negativo não serve, e aproveitamos apenas o valor
positivo, concluindo que esse polígono é um
hexágono.
Há problemas similares:
❖ número de apertos de mão
❖ número de jogos em um campeonato
❖ soma dos ‘n’ primeiros números
❖ número triangular
❖ combinações e números binomiais com n=2
Resolva no caderno:
1)Qual polígono tem 5 diagonais?
2)Qual polígono tem 44 diagonais?
3)Qual polígono cujo número de diagonais é igual
ao número de lados?
𝑛(𝑛−3)
2
= 𝑛
4) Se há 28 jogos num campeonato. Quantos times
competem?
Cada um dos x times joga com outros x-1 times, mas ao fazemos
isso contamos duas vezes, logo
𝑥(𝑥−1)
2
= 28
5) Todos convidados da festa se cumprimentaram,
totalizando 190 cumprimentos. Quantos convidados
tinha nessa festa?
Raciocínio idêntico ao do exercício anterior.
5) Ache o valor de n para que:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ⋯ + 𝑛 = 780
Se lembra como somamos os “n” primeiros números?
𝑰𝑴𝑷𝑶𝑹𝑻𝑨𝑵𝑻𝑬: MESMO QUE DÊ PARA FAZER
DE OUTROS MÉTODOS, COMO O “CHUTE”, O
OBJETIVO AQUI É A APLICAÇÃO E USO DAS
EQUAÇÕES DO 2º GRAU, QUE DEVEM SER
UTILIZADAS.
Problemas envolvendo equações do
2º Grau – Equações Fracionárias
QUADRO
Veja a seguinte questão que caiu no vestibular do
IFSULDEMINAS, de número 144 no nosso
material:
Exemplo 1
(Vestibular – Técnico Integrado ao Ensino
Médio – IFSULDEMINAS – 1° Semestre/2017)
Para um primeiro dia de aula, o professor de
Matemática comprou 300 balas para dividir,
igualmente e sem sobras, entre os alunos
matriculados. Nesse dia faltaram 5 alunos e,
assim, cada aluno recebeu duas balas a mais.
É correto afirmar que o número de alunos
presentes era:
a) 30 b) 25 c) 20 d) 15
𝑥 = número de alunos matriculados
300
𝑥
= número de balas que cada aluno receberia
300
𝑥−5
= número de balas que cada aluno recebeu
Como cada aluno recebeu duas balas a mais,
temos que

58
300
𝑥 − 5
=
300
𝑥
+ 2
Esse tipo de questão é muito comum, e nas
antigas apostilas do Anglo eram um capítulo
separado para tratar esse tipo de questão. Lembro
de em 1998, uma prova só com esse tipo de
questão.
300
𝑥 − 5
=
300
𝑥
+ 2
300𝑥
𝑥(𝑥 − 5)
=
300(𝑥 − 5)
𝑥(𝑥 − 5)
+
2𝑥(𝑥 − 5)
𝑥(𝑥 − 5)
Considerando 𝑥 e 𝑥 − 5 diferentes de zero
300𝑥 = 300(𝑥 − 5) + 2𝑥(𝑥 − 5)
300𝑥 = 300𝑥 − 1500 + 2𝑥2
− 10𝑥
2𝑥2
− 10𝑥 − 1500 = 0
𝑥2
− 5𝑥 − 750 = 0
∆= 52
− 4 ∙ 1 ∙ (−750)
∆= 25 + 3000
∆= 3025
𝑥 =
−(−5) ± √3025
2
=
5 ± 55
2
𝑥′
=
60
2
= 30 ou 𝑥′′
= −
50
2
= −25
Como -25 não convém.
São 30 alunos matriculados
Há vários problemas similares.
Exemplo 2
(VUNESP-99) Uma pessoa, em seu antigo
emprego, trabalhava uma quantidade de x horas
por semana e ganhava R$ 60,00 pela semana
trabalhada. Em seu novo emprego, essa pessoa
continua ganhando os mesmos R$ 60,00 por
semana. trabalha, porém 4 horas a mais por
semana e recebe R$ 4,00 a menos por hora
trabalhada. O valor de x é :
a)6 b)8 c)10 d)12 e) 14
Quanto ganhava por horas: 60/x
Quanto passou a ganhar: 60/(x+4)
Diferença: 4 a menos
60
𝑥
−
60
𝑥 + 4
= 4
60(𝑥 + 4)
𝑥(𝑥 + 4)
−
60𝑥
𝑥(𝑥 + 4)
=
4(𝑥 + 4)
𝑥(𝑥 + 4)
60𝑥 + 240 − 60𝑥 = 4𝑥2
+ 16𝑥
−4𝑥2
− 16𝑥 + 240 = 0
𝑥2
+ 4𝑥 − 60 = 0
𝑥 =
−4 ± √42 − 4. (−60)
2
=
−4 ± √256
2
=
−4 ± 16
2
𝑥 = −10 𝑜𝑢 𝑥 = 6
-10 não convém, a resposta é 6
Exemplo 3
(UFPE – 2000) Os alunos de uma turma
resolveram comprar um presente custando R$
48,00 para o professor de Matemática, dividindo
igualmente o gasto entre eles. Depois que 6
alunos recusaram-se a participar da divisão, cada
um dos alunos restantes teve que contribuir com
mais R$ 0,40 para a compra do presente. Qual a
percentagem de alunos da turma que contribuíram
para a compra do presente?
a) 85% b) 65% c) 60% d) 80% e) 75%
Seja x o número de alunos que inicialmente iriam
participar da partilha. Como o presente custa 48
reais e todos devem pagar o mesmo valor, vamos
dividir igualmente para todos os alunos. Cada um
vai contribuir com 48/x reais. Porém seis desses
alunos resolveram não participar da divisão,
ficando assim (x – 6) alunos para a
partilha. Dessa forma, fazendo a nova divisão,
cada aluno que restou vai contribuir com 48/(x –
6) reais. Dessa maneira, cada aluno vai
desenbolsar 0,40 a mais. Isso quer dizer que a
nova quantia 48/(x – 6) é 0,40 maior que a quantia
anterior 48/x. Podemos montar nossa equação da
seguinte forma:
Ao simplificarmos essa expressão encontraremos
uma equação do segundo grau que nos dará o
número de alunos da turma, ou seja, o valor de x:
Multipliquemos a expressão por x.(x – 6);
https://ndmat.wordpress.com/2011/12/19/uma-
questao-de-correcao/
1) (Qustão 145 - Vestibular – Técnico Integrado ao
Ensino Médio – IFSULDEMINAS – 1° Semestre/2014)
Uma família, planejando viajar em uma excursão,
comprou alimentos suficientes para 20 pessoas se
alimentarem durante os 30 dias da viagem. Ao saírem,
perceberam que 24 pessoas iriam viajar. Nessas
condições, quantos dias vão durar as reservas de
alimentos?
a) 30 dias b) 15 dias c) 25 dias d) 36 dias

59
2)Um comerciante comprou um certo número de
sacas de café por R$ 1000,00. Se tivesse comprado
10 sacas a mais pela mesma quantia, cada saca
custaria R$ 5,00 a menos. Quantas sacas comprou
e quanto custou cada uma?
3)Um grupo de amigos se reúne em um restaurante
para jantar. O valor da conta foi R$ 720,00. Se
tivessem participado mais três amigos desse jantar,
e cada um dos presentes tivesse pago R$ 3,00 a
mais, o valor da conta seria R$ 945,00. Quantos
foram os amigos que participaram do jantar e quanto
pagou cada um?
4)Duas escavadeiras diferentes, trabalhando em
conjunto, efetuam o desmonte de certo morro em 14
horas. Se funcionassem separadamente, a menor
delas gastaria para o mesmo desmonte 45 horas a
mais que a maior. Calcule o tempo em que a
escavadeira maior executaria o referido desmonte.
5)Dois ciclistas resolveram percorrer uma distância
de 160 km. Um deles percorreu, por hora, 2 km a
menos que o outro e, por isso, completou o trajeto
demorando quatro horas a mais. Determine a
velocidade de cada ciclista.
BANCO DE PROBLEMAS QUE SÃO
RESOLUTÍVEIS POR EQUAÇÕES DO 2º GRAU
1) Determine as medidas dos lados de um retângulo cujo perímetro
é 40 m e cuja área é 96 m2
.
2) Ache dois números naturais e consecutivos cuja soma dos
quadrados seja 61.
3) Um triângulo tem 48m2
de área. A razão entre a base a altura é
3/2. Determine as medidas da base e da altura.
4) Dados dois números pares e consecutivos, divide-se o maior pelo
menor. O quociente encontrado é 2/9 do menor. Quais são esses
números?
5) Dividindo-se um número pelo seu antecessor, obtém-se quatro
vezes o inverso dele. Qual é esse número?
6) Pensei num número positivo. Elevei ao quadrado. Somei ao
resultado o triplo do número. Deu 130. Em que número pensei?
7) Se do quadrado de um número subtrairmos 12, obteremos o
próprio número. Qual é esse número?
8) O triplo do quadrado de um número menos o seu dobro é igual a
5. Qual é esse número?
9) O quociente entre dois números naturais é 5, e o seu produto é
20. Ache esses números.
10) A diferença entre a Quarta parte do quadrado de um número é
igual a 3. Calcule esse número.
11) Qual é o número natural que, somado com seu inverso é igual a
17/4?
12) São dados dois números naturais. Sabe-se que a diferença entre
eles é 3 e que o seu produto é 40. Determine-os.
13) O produto de dois números pares e consecutivos é 24. Determine
esses números.
14) Determine três números naturais consecutivos sabendo que o
quadrado do maior é igual à soma dos quadrados dos outros dois
números mais 3.
15) A soma de dois números é 6. O quadrado do maior menos o triplo
do menor é 22. Determine esses números.
16) A diferença entre as medidas da base e da altura de um retângulo
é 5 m. Sabendo que o retângulo tem 300 m2
de área, calcule a
medida da base.
17) Um terreno retangular tem 100 m de perímetro e 600 m2
de área.
Calcule suas dimensões.
18) O quádruplo de um número, somado com 1, é igual ao quádruplo
do número menos 2. Qual é esse número?
19) Calcule as medidas da base e da altura de um triângulo de 60 m2
de área, sabendo que a razão entre a base e a altura é 5/6.
20) Quando Fernanda nasceu, seu irmão tinha 4 anos. Daqui a 2
anos, o produto de suas idades será 96. Qual a idade atual de
Fernanda?
21) Numa festa escolar, havia 80 pacotes de balas para serem
distribuídos entre as crianças. Como 4 crianças foram embora
antes da distribuição, cada uma das presentes recebeu um
pacote a mais. Quantas eram as crianças?
22) O quadrado menos o dobro de um número é igual a 24.
Determine o número.
23) Os números naturais cuja diferença é 4 e cujo o produto é 60
são...
24) A diferença entre o dobro do quadrado e o triplo de um número
resulta em 9. Qual é o número?
25) Um retângulo tem 20 cm de perímetro e 24 cm2
de área. Suas
dimensões são...
26) O número de medalhas de outro que Sílvia conquistou praticando
atletismo é o dobro do quadrado do número de suas medalhas
de prata. Sabendo-se que entre medalhas de ouro e de prata ela
já conquistou 78, qual é o número de suas medalhas de ouro?
27) A idade que Jacqueline terá daqui a 6 anos será igual ao
quadrado da idade que tinha há 6 anos. Qual é a idade atual de
Jacqueline?
28) Determinar o número positivo cujo quadrado subtraído do triplo
do número vale 10.
29) A soma entre um número e seu inverso é igual a 17/4. Qual é o
número?
30) Três números naturais consecutivos são tais que o quadrado do
maior é igual à soma dos quadrados dos menores. Calcular os
números.
31) A soma das idades de Clodoaldo e Pablo vale 18 anos e o
produto, 72. Determinar a idade de cada um, sabendo que Pablo
é o mais velho.
32) Dividir o número 25 em duas parcelas, tais que a soma de seus
quadrados seja 425.
33) A soma de um número natural com o respectivo quadrado é 12.
Qual é o número?
34) O quadrado de um número, somado com treze vezes o seu
próprio valor, resulta em 888. Qual é o número?
35) A soma entre um número e seu quadrado é igual a nove vezes o
seu consecutivo. Qual é o número?
36) Dois números positivos e consecutivos são tais que a soma de
seus quadrados vale 41. Quais são os números?
37) A soma dos quadrados de dois números pares consecutivos
excede em 4 unidades o óctuplo do maior. Quais são os
números?
38) Determine dois números inteiros e consecutivos cujo produto é
156.
39) Um número positivo equivale a 3/5 do outro. O produto entre esse
números é 2160. Quais são os números?
40) O quadrado de um número, diminuído de 9 unidades, eqüivale a
oito vezes a diferença entre o número e 2. Qual é o número?
41) Qual o número que aumentado de 17 unidades fica igual a
sessenta vezes o seu recíproco?
42) A soma dos inversos de dois números consecutivos é 15/65.
Quais são os números?
43) Se um trem aumentasse sua velocidade em 5 km/h, levaria 1 hora
a menos para percorrer os 210 km. Quanto tempo leva esse trem
para percorrer os 210 km, com a velocidade original?
44) O quociente da divisão entre 84 e um certo número excede em 5
esse número. Determine esse número.
45) Determine dois números ímpares consecutivos tais que a
diferença entre seus quadrados seja 8000
46) Determine dois números consecutivos tais que o quadrado do
maior excede em 57 o triplo do menor.
47) Ache três números consecutivos tais que o quociente entre o
maior e o menor eqüivale aos 3/10 do número intermediário.
48) O produto de dois números é 352, e o maior dividido pelo menor
dá quociente 2 e resto 10. Determine os números.

60
49) O produto de dois números naturais consecutivos é igual a 156.
Calcule-os.
50) O quadrado da idade de Kléber somado com 4/5 dessa idade é
igual a 3069 anos. Qual a idade de Sílvio?
51) A soma de uma fração com a sua recíproca é igual a 58/21.
Calcule a fração inicial.
52) A diferença entre os quadrados de dois números ímpares
consecutivos é igual a 24. Quais são os números?
53) Um pai perguntou ao filho: “Quanto você tirou na prova de
Matemática?” O filho respondeu?: “Papai, se você elevar ao
quadrado a soma de minha nota com 3 e a esse resultado somar
1, obterá 10.” Quanto o filho tirou na prova?
54) Um filho perguntou ao pai, professor de Matemática: “Papai,
quanto receberei de mesada?” O pai respondeu: “Se do quadrado
da soma entre a quantia que vou lhe dar e R$ 10,00 você subtrair
o triplo da quantia a receber ficará com R$ 100,00.” Quanto o filho
receberá?
55) A diferença de dois números positivos é 3 e o produto, 378.
Calcule esses números.
56) Dois números positivos estão entre si como 7 está para 9. A soma
dos quadrados desse números é 1170. Ache os números.
57) A diferença entre dois números vale 1/6 da sua soma e a
diferença entre seus quadrados e igual a 24. Ache os números.
58) Duas torneiras abertas ao mesmo tempo enchem um reservatório
em 15 horas e, separadamente, uma demora mais 16 horas do
que a outra. Quanto tempo leva cada uma das torneiras para
encher esse reservatório?
59) A soma dos quadrados de dois números inteiros consecutivos
excede em 5 unidades o quíntuplo do maior. Determine esses
números.
60) Dois número inteiros são tais que a soma do primeiro com o
recíproco do segundo resulta em 7/3 e a soma do segundo com
o recíproco do primeiro resulta em 7/2. Calcule os números.
61) A diferença entre dois números é igual a 3, e a diferença entre
seus quadrados é 33. Calcule esses números.
62) A soma dos quadrados de dois números é 34 e a diferença entre
seus quadrados é 16. Calcule os números.
63) A soma dos quadrados de dois números é 221. Se cada número
for acrescido de 1 unidade, então a soma de seus quadrados fica
igual a 265. Calcule o números.
64) A diferença entre dois números positivos constitui 1/9 de sua
soma e a diferença entre seus quadrados é igual a 36. Calcule os
números.
65) Calcule um número de dois dígitos, sabendo que ele é sete vezes
maior que a soma de seus dígitos e 21/2 vezes maior que o
produto de seus dígitos.
66) A soma do número com o denominador de um fração é igual a
16. Se adicionarmos 2 ao numerador e subtrairmos 2 do
denominador, obteremos a fração recíproca da fração dada.
Calcule a fração dada.
67) Alex, que fez um percurso de 30 km, teria gasto 4 horas a menos
se aumentasse sua velocidade em 2 km/h. Qual a velocidade de
Alex?
68) O produto dos termos de uma fração imprópria é 120. Os dois
termos seriam iguais se retirássemos 1 unidade do numerador e
acrescentássemos 1 unidade ao denominador. Qual é a fração?
69) O tanque de combustível de um automóvel continha 100 l de
gasolina pura. Retirou-se certa quantidade de gasolina, que foi
substituída por álcool. Em seguida, retirou-se igual quantidade da
mistura, que também foi substituída por álcool. Quantos litros
foram retirados de cada vez, se a mistura final contém 64 litros
de gasolina pura?
70) Determine um número de dois algarismos sabendo que,
dividindo-o pela soma de seus algarismos, obtemos 4 como
quociente exato e que o produto desses algarismos, acrescido de
52, é igual ao número escrito em ordem inversa.
71) Determine três números ímpares e consecutivos, sabendo que o
produto entre eles é 5/3 da soma desses números.
72) Duas cidades estão separadas por uma distância de 90 km. Dois
trens partem da mesma estação ao mesmo tempo em direção a
outra cidade. O primeiro percorre 1 km por hora a mais que o
segundo, chegando ao destino 1 hora antes do outro. Qual a
velocidade de cada um?
73) Hoje um pai tem 51 anos e seu filho 21 anos. Há quantos anos a
idade do pai foi o quadrado da idade do filho?
74) A média aritmética entre dois números é igual a 13 e a média
geométrica entre eles é 12. Calcule os números.
75) Determine três números, sabendo que sua soma é 28, seu
produto é 512 e que um deles é a média geométrica dos outros.
76) Duas indústrias receberam encomendas para fabricar o mesmo
tipo de geladeira. A primeira deveria fabricar 90 geladeiras, e a
segunda, 99. A segunda indústria terminou a encomenda 4 dias
antes da primeira e produziu, por dia, 3 geladeiras a mais do que
aquela. Quantas geladeiras cada indústria produziu por dia?
77) Uma piscina possui duas torneiras. Enquanto a primeira leva 8
horas para encher a piscina, a segunda leva x horas. Juntas, elas
enchem a piscina em 4 horas. Em quantas horas a segunda
torneira, sozinha, enche a piscina?
78) Ao dividir 0,5 por um certo número x, Deberson distraiu-se e, em
vem de divisão, fez a adição. Ao refazer os cálculos, ficou
espantado ao perceber que obtivera o mesmo resultado de antes.
Foi muita coincidência, mas isso acontece para dois valores de x.
Descubra quais são eles.
EXERCÍCIOS DE VESTIBULAR
1. (Exame de Seleção Escola Agrotécnica Federal de
Muzambinho – 1o
semestre / 2003 Para permitir o acesso à
Internet a todos os alunos de uma turma da Informática, a escola
dividiu um total de 25 horas semanais de uso para o grupo. No
entanto, logo no início do curso, houve cinco desistentes e cada um
dos alunos restantes teve direito a mais 15 minutos por semana. O
número inicial de alunos está entre
a) 12 a 16 b) 16 a 20 c) 20 a 24 d) 24 a 28 e) 28 a 32
2. (Exame de Seleção do Colégio Técnico Industrial de
Guaratiguetá – Unesp – 2000) Leia com atenção:
a) 48. b) 4. c) 8. d) 11.
Obs: A prova não citou a fonte da gravura. A gravura foi retirada do
livro “Matemática” da 8a
série de Imenes & Lélis.
3. (VIII Olimpíada de Matemática de Natal – 1ª Etapa – 2º Grau -
1997) Qual é o menor número natural que é soma de 9 números
naturais consecutivos, é soma de 10 números naturais consecutivos
e é soma de 11 números naturais consecutivos?
a) 555 b) 466 c) 495 d) 695 e) 396
EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU
PROBLEMAS E DISCUSSÃO
1- (ANGLO) O quadrado do triplo de um número positivo excede de
12 o triplo do quadrado desse número . Esse número
a) é menor que 1 b) é ímpar c) está compreendido entre 7 e 10
d) é maior que 17 e) é irracional
2- (ANGLO) A soma de um número inteiro positivo com o quadrado
de seu sucessor é igual a 41. Qual é o produto deste número pelo
seu antecessor ?
a) 6 b) 12 c) 20 d) 30 e) 4
3 - (VUNESP-99) Uma pessoa, em seu antigo emprego, trabalhava
uma quantidade de x horas por semana e ganhava R$ 60,00 pela
semana trabalhada. Em seu novo emprego, essa pessoa continua
ganhando os mesmos R$ 60,00 por semana. trabalha, porém 4 horas
a mais por semana e recebe R$ 4,00 a menos por hora trabalhada.
O valor de x é :
a)6 b)8 c)10 d)12 e) 14
4 - (PUC-02) Um funcionário de certa empresa recebeu 120
documentos para arquivar. Durante a execução da tarefa, fez uma

61
pausa para um café e, nesse instante, percebeu que já havia
arquivado
1
1
−n
do total de documentos (nN – {0, 1}). Observou
também que, se tivesse arquivado 9 documentos a menos, a
quantidade arquivada corresponderia a
2
1
+n
do total. A partir do
instante da pausa para o café, o número de documentos que ele
ainda deverá arquivar é
a ) 92 b) 94 c) 96 d) 98 e) 100
5-(FUVEST) Se b
x
x =+
1
, calcule
2
2 1
x
x +
b) Resolva a equação x² -5x + 8 − + =
5 1
02
x x
6-(CESGRANRIO) O maior número que se deve subtrair de cada
fator do produto 5x8, para que esse produto diminua de 36 unidades
, é :
a)3 b) 5 c) 6 d) 8 e) 9
7-(UFF)Na divisão dos lucros com seus 20 acionistas, uma empresa
distribuiu R$600,00 entre os preferenciais e R$600,00 entre os
ordinários. Sabe-se que cada acionista preferencial recebeu R$80,00
a menos do que cada acionista ordinário. Determine quantos
acionistas preferenciais esta empresa possui.
8-(ANGLO) A equação do segundo grau 2x² + 4x + m - 1 = 0 , mR,
admite raízes reais se, e somente se :
a) m 3 b) m -3 c) m 3 d) m-3 e) m1
9-(ANGLO) A equação do segundo grau x² - 8x + m + 1 = 0 , mR,
admite raízes reais se , e somente se
a) m-15 b) m-15 c)m15 d)m15 e) m<15
10-(ANGLO) considere a equação do segundo grau x²+mx+m-1=0,
onde m é um número real. Se para um determinado valor de m essa
equação admite raízes iguais, então essas raízes são iguais a :
a) 1/2 b) -1/2 c) 1 d) -1 e) 2
11-(UFPE-96)Se x é um número real positivo tal que ao adicionarmos
1 ao seu inverso obtemos como resultado o número x, qual é o valor
de x?
a) (1 - 5 )/2 b) (1 + 5 )/2 c)1 d) (1 + 3 )/2 e) ( 1 - 3 )/2
12-(UEL) A soma de um número racional não inteiro com o dobro do
seu inverso multiplicativo é 33/4. Esse número está compreendido
entre
a) 5 e 6 b) 1 e 5 c) 1/2 e 1 d) 3/10 e1/2 e) 0 e 3/10
13-(VUNESP-96-EXA) Para todo número real a , o número -a chama-
se oposto de a e para todo número real a, a0, o número 1/a chama-
se inverso de a. Assim sendo, determine todos os números reais x,
x1, tais que o inverso do oposto de (1-x) seja x+3.
14-(UNICAMP) Existem 4 números inteiros positivos e consecutivos
cujo produto de 2 deles seja igual ao produto dos outros dois ?
Justifique
15-(ANGLO) Eu pensei em um número positivo, adicionei um,
multipliquei minha resposta por ela mesma, tirei duas vezes o número
que eu pensei e o resultado foi 26. Qual número eu pensei ?
16-(UFMG-02) O quadrado da diferença entre o número natural x e 3
é acrescido da soma de 11 e x. O resultado é, então, dividido pelo
dobro de x, obtendo-se quociente 8 e resto 20.
A soma dos algarismos de x é
a) 3 b) 4 c) 5 d) 2
17-(UFPE-00)Os alunos de uma turma resolveram comprar um
presente custando R$ 48,00 para o professor de Matemática,
dividindo igualmente o gasto entre eles. Depois que 6 alunos
recusaram-se a participar da divisão, cada um dos alunos restantes
teve que contribuir com mais R$ 0,40 para a compra do presente.
Qual a percentagem de alunos da turma que contribuíram para a
compra do presente?
a) 85% b) 65% c) 60% d) 80% e) 75%
18-(UFLAVRAS-00)Uma empreiteira destinou originalmente alguns
operários para a construção de uma obra de 72m². Como 4 deles
foram demitidos antes do início da obra, os demais tiveram que
trabalhar 9m² a mais cada um para compensar.
a) Qual o número de operários originalmente designados para a
obra?
b) Qual a porcentagem de operários demitidos?
19-(FEI-99) Uma das raízes da equação x²-x-a=0 é também raiz da
equação x²+x-(a+20)=0. Qual é o valor de a?
a) a = 10 b) a = 20 c) a = -20 d) a = 90 e) a = -9
20-(PUCCAMP-01) Em agosto de 2000, Zuza gastou R$ 192,00 na
compra de algumas peças de certo artigo. No mês seguinte, o preço
unitário desse artigo aumentou R$ 8,00 e, com a mesma quantia que
gastou em agosto, ele pode comprar duas peças a menos. Em
setembro, o preço de cada peça de tal artigo era
a) R$ 24,00 b) R$ 25,00 c) R$ 28,00 d) R$ 30,00 e) R$ 32,00
21-(UNICAMP-02) Uma transportadora entrega, com caminhões, 60
toneladas de açúcar por dia. Devido a problemas operacionais, em
um certo dia cada caminhão foi carregado com 500kg a menos que o
usual, tendo sido necessário, naquele dia, alugar mais 4 caminhões.
a) Quantos caminhões foram necessários naquele dia?
b) Quantos quilos transportou cada caminhão naquele dia?
22-(VUNESP-02) Em uma loja, todos os CDs de uma determinada
seção estavam com o mesmo preço, y. Um jovem escolheu, nesta
seção, uma quantidade x de CDs, totalizando R$ 60,00.
a) Determine y em função de x.
b) Ao pagar sua compra no caixa, o jovem ganhou, de bonificação, 2
CDs a mais, da mesma seção e, com isso, cada CD ficou R$ 5,00
mais barato. Com quantos CDs o jovem saiu da loja e a que preço
saiu realmente cada CD (incluindo os CDs que ganhou)?
23-(UFV-99) As medidas da hipotenusa e de um dos catetos de um
triângulo retângulo são dadas pelas raízes da equação x²-9x+20=0.
A área desse triângulo é:
a) 10 b) 6 c) 12 d) 15 e) 20
GABARITO
1) E 2)C 3)A 4)C 5) a)b²-2 b) S =
+ −







1
3 5
2
3 5
2
, , 6)E
7)15 8)A 9)C 10)D 11)B 12)E 13) x = -1 + 5 ou x = -1 - 5
14) não existem. DICA Testar todas as 3 possibilidades 15)5 16)A
17)D 18) a) 8 operários b) 50 % 19)D 20)E 21) a)24 b) 2.500 kg
22) a) y = 60/x. b) 6 CDs e R$ 10,00. 23)B

62
VB.3 AULA 13 – Relações Métricas num Triângulo Qualquer
Submódulo VB.3
Esse é um tema que será tratado no B6.3, portanto, a apostila definitiva não
está pronta para podermos referenciar o número da aula. Os assuntos aqui
tratado são de temática de 9º ano, porém, raramente abordados. A Relação
de Stewart, inclusive, é pouco conhecida dentre os professores de
Matemática.
s
Lado Oposto ao Ângulo Agudo
QUADRO
Considere um ângulo Â agudo e a altura h relativa ao
vértice C. Chamemos de a, b, c, os lados opostos
aos vértices A, B e C e a altura h. Chamemos de
projeção ortogonal de a e b os segmentos AH=m e
HB=n. (Veja a figura).
Usando semelhança de triângulos, podemos provar
que
𝑎2
= 𝑏2
+ 𝑐2
− 2𝑐𝑚
(É interessante você tentar fazer essa
demonstração)
Exemplo 1 (Bianchini):
Retirando os dados:
𝑎 = 𝑥 𝑏 = 10 𝑚 = 1,25 𝑐 = 8
Fórmula:
𝑎2
= 𝑏2
+ 𝑐2
− 2𝑐𝑚
𝑥2
= 102
+ 82
− 2 ∙ 8 ∙ 1,25
𝑥2
= 100 + 64 − 20
𝑥2
= 144
𝑥 = √144
𝑥 = 12
Retirando os dados
𝑎 = 15 𝑏 = 16 𝑚 = 𝑥 𝑐 = 20
Fórmula:
𝑎2
= 𝑏2
+ 𝑐2
− 2𝑐𝑚
152
= 162
+ 202
− 2 ∙ 20 ∙ 𝑥
225 = 256 + 400 − 40𝑥
40𝑥 = 431
𝑥 =
431
40
𝑥 = 10,775
1) Calcule o valor de x:
a)
b)
c)
d)
Eventualmente você terá que resolver uma equação do 2o Grau. Fique
atento com isso

63
Lado Oposto ao Ângulo Obtuso
QUADRO
Veremos agora, uma fórmula ligeiramente diferente,
porém, onde os elementos são diferentes. Quando o
ângulo A é agudo. (Quando o ângulo A é reto,
usamos as Relações Métricas no Triângulo
Retângulo, estudadas no B5).
Chame de a, b, c, os lados opostos aos vértices A, B
e C. Chame de h a altura relativa ao lado c (ângulo
obtuso), que “cai” fora do triângulo. O prolongamento
do lado c até intersectar a altura h chamemos de “m”
e m+c chamemos de n.
𝑎2
= 𝑏2
+ 𝑐2
+ 2𝑐𝑚
Você pode demonstrar usando semelhança de
triângulos! Faça isso!
Retirando os dados:
𝑎 = 𝑥 𝑏 = 9 𝑐 = 12 𝑚 = 9,375
Aplicando a fórmula:
𝑥2
= 122
+ 92
+ 2 ∙ 12 ∙ 9,375
𝑥2
= 144 + 81 + 225
𝑥2
= 450
𝑥 = √450
𝑥 = 15√2
Retirando os dados
𝑎 = 7 𝑏 = 5 𝑐 = 4 𝑚 = 𝑥
Aplicando na fórmula
72
= 42
+ 52
+ 2 ∙ 4 ∙ 𝑥
49 = 16 + 25 + 8𝑥
−8𝑥 = 16 + 25 − 49
−8𝑥 = −8
8𝑥 = 8
𝑥 =
8
8
𝑥 = 1
1) Calcule o valor de x:
a)
b)
c)
Natureza dos Triângulos
QUADRO
É possível classificar os triângulos quanto aos
ângulos conhecidos apenas seus lados. E isso é bem
simples.
Seja a o maior lado de um triângulo.
Se 𝑎2
= 𝑏2
+ 𝑐2
, o triângulo é retângulo.
Se 𝑎2
< 𝑏2
+ 𝑐2
, o triângulo é acutângulo
Se 𝑎2
> 𝑏2
+ 𝑐2
, o triângulo é obtusângulo
Exemplos
a)Classifique o triângulo de lados 6 cm, 8 cm e 10
cm.
102
= 100 𝑒 62
+ 82
= 36 + 64 = 100
Como 100=100, o triângulo é retângulo.
b)Classifique o triângulo de lados 6 cm, 8 cm e 9 cm.
92
= 81 𝑒 62
+82
= 36 + 64 = 100
Como 81<100, o triângulo é acutângulo.
c)Classifique o triângulo de lados 6 cm, 8 cm e 12
cm.
122
= 144 𝑒 62
+82
= 36 + 64 = 100
Como 144>100, o triângulo é obtusângulo
*Adaptado de Bianchini

64
1)Classifique os triângulos quanto aos lados.
Medidas em uma unidade qualquer:
a) 15, 9 e 12
b) 20, 9 e 12
c) 14, 9 e 12
d) 15, 20 e 22
e) 15, 20 e 25
f) 30, 20 e 18
Relação de Stewart
QUADRO
Um segmento que liga um vértice ao lado oposto é
chamada de ceviana. Esse nome se dá em
homenagem à Giovanni Ceva, matemático italiano.
Mediana, altura e bissetriz interna são cevianas
notáveis.
Considere uma ceviana de tamanho x que liga o
vértice A ao lado oposto a. Essa ceviana divide o lado
oposto em m e n, respectivamente “conectados” com
os lados de medidas c e b.
Podemos provar que é verdadeira a relação:
Exemplo (Portal da Matemática):
Determine a medida de CD, sendo AD = 4, BD = 6,
BC = 7 e AC = 8.
Podemos dizer que:
𝐴𝐷 = 𝑚 = 4 𝐴𝐶 = 𝑐 = 8 𝐵𝐷 = 𝑛 = 6 𝐵𝐶 = 𝑏 = 7
𝐴𝐵 = 𝐴𝐷 + 𝐵𝐷 = 𝑎 = 4 + 6 = 10
Portanto:
𝑏2
𝑚 + 𝑐2
𝑛 = 𝑎(𝑥2
+ 𝑚𝑛)
72
4 + 82
6 = 10(𝑥2
+ 4 ∙ 6)
196 + 384 = 10(𝑥2
+ 24)
768 = 10𝑥2
+ 264
10𝑥2
= 340
𝑥2
= 34
𝑥2
= √34
1)(Portal da Matemática – IMPA) Na figura, o
triângulo ABC é equilátero e o triângulo CBD é
isósceles de base BC =12. Determine a medida
AC.
2)(Portal da Matemática – IMPA) Seja o triangulo
retângulo em A, com AB = 6 e AC = 8, Determine
a medida da mediana BD, com D sobre o lado AC.
3)(Portal da Matemática – IMPA) Determine o
valor de x, que é a medida da ceviana no triangulo
abaixo.
4)(Portal da Matemática – IMPA) Determine a
medida da ceviana AD de um triangulo equilátero
ABC, cuja medida do lado é 6 cm, sendo D um
ponto do lado BC, tal que BD = 2 cm.
5)(Portal da Matemática – IMPA) Utilize a relação
de Stewart para calcular a mediana de um
triangulo equilátero cujo lado mede ℓ
Resoluções em
https://portaldosaber.obmep.org.br/
uploads/material/5fifrcv2ff8ck.pdf
6) (OLIVEIRA, C.A.M., UFTPR,
https://core.ac.uk/download/pdf/150141529.pdf)
Em um triangulo retângulo, os catetos medem 5
cm e 12cm, como ilustra a figura. Calcule a medida
da mediana relativa ao angulo reto.

65
1)(Prof. Bernardo) Ache, em cada caso, os valores
de x e y:
a)
R: 17/4
b)
R: 3
c)
R: x=3, y=4
d)
R: x=1
2) (Prof. Bernardo) Ache a altura relativa ao lado
BC:
a)
b)
R: 2√3
Necessário dois cálculos. Você precisará chamar alguma projeção de x,
conforme o caso.
3) (Prof. Bernardo) a) Determine o lado BC de um
triângulo acutângulo ABC, em que AC=7 cm, AB=5
cm e a projeção de AC sobre AB mede 1 cm.
R: 8
b) Determine a medida do lado AB de um triângulo
ABC, obtusângulo em A, sendo BC = 8 cm, AC = 5
cm e a projeção do lado B sobre AC igual a 3 mm.
R: 6 cm
c) A base de um triângulo mede 10 cm, e os outros
dois lados 14 cm e 8 cm, respectivamente.
Determine as projeções desses dois lados sobre a
base do triângulo.
R: 11,6
Resolução em:
https://issuu.com/prof_bernardo/docs/resolucao_lista_geometria
4)(Fundamentos de Matemática Elementar – v9)
Calcule x usando a relação de Stewart:

66
VB.3 AULA 14–Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo
Submódulo VB.3
está pronta para podermos referenciar o número da aula. Trata-se de um
assunto básico e fizemos uma abordagem que dá ênfase em algumas práticas
básicas antes de entrar no “vamos ver”.
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
Razões Trigonométricas no Triângulo
Retângulo
QUADRO
Todos triângulos retângulos com determinado
ângulo ∝ são semelhantes (caso AA), portanto são
constantes a razões entre cateto oposto à esse
ângulo e hipotenusa (seno), cateto adjacente e
hipotenusa (cosseno) e cateto oposto e cateto
adjacente (hipotenusa).
Isso é bastante prático, pois todo polígono pode ser
decomposto em triângulos retângulos. Há aplicações
na navegação e agricultura (cálculos da astronomia)
e construção, desde a antiguidade.
Como se tratam de medidas em triângulos
retângulos, chamam-se de razões trigonométricas.
1)Veja o triângulo da figura:
Imagem de Otávio Sales
Determine:
a) 𝑠𝑒𝑛 𝛼 b) 𝑠𝑒𝑛 𝛽
c) cos 𝛼 d) cos 𝛽
e) 𝑡𝑔 𝛼 f) 𝑡𝑔 𝛽
2)Considere a figura a seguir:
a) O cateto AB = ___ e o cateto BC=___.

67
b) A hipotenusa pode ser calculada pelo
Teorema de Pitágoras, então AC=_____.
c) Responda quanto é:
𝑠𝑒𝑛 𝐶 = 𝑐𝑜𝑠𝐶 = 𝑡𝑔𝐶 =
𝑠𝑒𝑛 A = 𝑐𝑜𝑠A = 𝑡𝑔Â =
3) Dado o triângulo ABC, reto em A com lados BC
= 3, AB = 2 e BC = √5 , determine o valor, com
denominador racionalizado, de:
a) 𝑠𝑒𝑛 𝐵̂ b) 𝑠𝑒𝑛 𝐶̂
c) cos 𝐵̂ d) 𝑐𝑜𝑠 𝐶̂
e) 𝑡𝑔 𝐵̂ f) 𝑡𝑔 𝐶̂
(Desenhe a figura antes!)
4) Considere um triângulo ABC, reto em A, com
hipotenusa √10 e o lado AC medindo 1.
Determine.
a) 𝑠𝑒𝑛 𝐵̂ b) 𝑠𝑒𝑛 𝐶̂
c) cos 𝐵̂ d) 𝑐𝑜𝑠 𝐶̂
e) 𝑡𝑔 𝐵̂ f) 𝑡𝑔 𝐶̂
(Desenhe a figura antes!)
QUADRO
Uma ilustração para entender melhor o que estamos
estudando, da dissertação de MARQUES, M. N. D.
da UFPB. Essa é uma idéia fundamental para
entender o que estamos fazendo!
Por semelhança de triângulos:
Chamamos então de:
Fonte: http://dspace.bc.uepb.edu.br/jspui/bitstream/123456789/6628/1/PDF%20-
%20Michelly%20Ni%C3%A1ra%20Dias%20Marques.pdf
Tabela de Seno, Cosseno e Tangente e
calculadora.
QUADRO
É muito útil sabermos o seno, o cosseno e a tangente
de qualquer ângulo, para podermos fazer cálculos,
tendo em vista que todo triângulo retângulo com esse
ângulo é semelhante pelo caso AA.
O seno, o cosseno e a tangente de um dado ângulo
são sempre os mesmos.
Essa tabela está disponível em diversos livros e na
Internet. Atualmente podemos usar a calculadora
científica para isso.
Veja as teclas em um determinado modelo de
calculadora (opção DEG apertada e no visor):
Na calculadora do Windows (opção DEG apertada e
no visor):

68
Veja um pedaço da tabela:
A partir dessa tabela é possível sabermos por
exemplo que 𝑠𝑒𝑛 8° = 0,1392 , que cos 14° = 0,9703
e que tg 1° =0,0175. Esses valores são aproximados.
Também usamos uma terminologia que não vamos
explicar, mas é bom ressaltá-la.
𝑠𝑒𝑛 8° = 0,1392 então 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 0,1392 = 8°
cos 14° = 0,9703 então 𝑎𝑟𝑐 cos 0,9703 = 14°
𝑡𝑔1° = 0,0175 então 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 0,0175 = 1°
Lemos
𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 como arco seno
𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠 como arco cosseno
𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 como arco tangente
Ao usar as calculadoras, para termos os valores
corretos é preciso usar a tecla DRG para opção DEG
(degrees, graus). As opções RAD (radicanos) e GRA
(grados) veremos apenas no Ensino Médio.
A seguir, veja a Tabela Completa que você deverá
consultar para fazer os exercícios.
Note que em vestibulares VOCÊ NÃO PRECISA
DECORAR ESSA TABELA, os valores são dados.
Apenas alguns ângulos notáveis precisarão ser
decorados, e veremos isso em breve.
1)Calcule, consultando a tabela:
a) sen17º b) cos42º
c) tg44º d) sen 84º
e) cos 52º e) tg 65º
2) Compare e tente tirar conclusões:
a) sen 39º =_________ cos 51º=__________
b) sen 53º =_________ cos 37º=__________
c) sen 89º =_________ cos 1º=__________
d) sen 45º =_________ cos 46º=__________
Tente observar essa regularidade
3) Dê o valor aproximado de x para que:
a) sen x = 0,7071 b) cos x = 0,7071
c) sen x = 0,9998 d) cos x = 0,9998
e) sen x = 0,5878 f) cos x = 0,0349
g) tg x = 0,8098 h) tg x = 19,0811

69
4) Determine os valores de x
a) sen x = 0,5 b) cos x = 0,5
c) sen x = 0,8 d) cos x = 0,8
d) sen x = 0,4 e) cos x = 0,4
A partir da letra ‘c’ os valores são aproximados
5) Determine o valor de:
a) arc sen 0,9903 b) arc sen 0,4848
c) arc cos 0,7071 d) arc cos 0,6947
e) arc tg 0,9657 f) arc tg 1
6) Para qual valor sen x = cos x ?
Determinação de valores
desconhecidos no triângulo retângulo
com uso da tabela trigonométrica
QUADRO
Exemplo 1:
Determine o valor de x na figura a seguir:
Como temos
Hipotenusa = 12
Cateto oposto ao ângulo 62º = x
Usamos a relação seno, consultando a tabela:
𝑠𝑒𝑛 62° =
𝑥
12
0,883 =
𝑥
12
𝑥 = 10,59
Exemplo 2:
Temos a hipotenusa (x) e o cateto adjacente (14).
Portanto usaremos o cosseno, consultando a tabela
cos 42° =
14
𝑥
0,743 =
14
𝑥
0,743𝑥 = 14
𝑥 =
14
0,743
𝑥 = 18,84
Exemplo 3:
Temos ambos catetos, o oposto 23 e o adjacente x,
portanto usamos tangente.
𝑡𝑔 68° =
23
𝑥
2,475 =
23
𝑥
2,475𝑥 = 23
𝑥 =
23
2,475
𝑥 = 9,29
1) (Prof. Vidigal – IFMG) Determine os valores
desconhecidos, com o uso da tabela de razões
trigonométricas:
a)
b)
c)

70
d)
e)
f)
2) (Prof. Vidigal – IFMG) Determine os valores
desconhecidos, com o uso da tabela de razões
trigonométricas:
a)
b)
3) (Prof. Vidigal – IFMG) Descubra o valor do
ângulo no retângulo ABCD:
4) (Prof. Vidigal – IFMG) Na figura abaixo, sabe-
se que cos α = 0,3, determine a e sen α.
Você terá que usar o Teorema de Pitágoras
5) (Colégio Pedro II – Prof. Walter Tardeu) No
triângulo retângulo determine as medidas x e y
indicadas.
(Use: sen65º = 0,91; cos65º = 0,42 e tg65º = 2,14)
6) (Colégio Pedro II – Prof. Walter Tardeu) .
Sabendo que sen40º = 0,64; cos40º = 0,77 e tg40º
= 0,84 calcule as medidas x e y indicadas no
triângulo retângulo.
7) (Internet) Se tgα=0,22 e tgβ=0,25, qual é o
valor de x:
8) (Internet) Uma torre projeta uma sombra de 40
m, quando o Sol se encontra a 64º acima do
horizonte (ângulo de elevação). Calcule a altura da
torre.
Dados: sen64º=0,89, cos64º=0,43 e tg64º=2,05.
Valores Notáveis
QUADRO
Vamos deduzir os valores notáveis de alguns
ângulos, com base no que já aprendemos no B5.
Ângulo de 45º

71
Ângulos de 30° e 45°
Já vimos no B4 que: ℎ =
ℓ√3
2
Fonte: Desvendando a Matemática (MANZINI, A.D.
e outros)
Esses valores você precisa saber de cor! É fácil
decorar, perceba uma regularidade:
1) (Profa. Cinthia Marques – Poliedro) Ache o
valor de x em cada caso:
2)(Mundo Educação) Calcule os valores
desconhecidos:
3) (Colégio Pedro II – Prof. Walter Tardeu)
Determine no triângulo retângulo ABC as medidas
a e c indicadas.
Considerando o triângulo retângulo ABC,
determine as medidas a e b indicadas.

72
5) (Colégio Pedro II – Prof. Walter Tardeu) Em
um triângulo retângulo isósceles, cada cateto
mede 30cm. Determine a medida da hipotenusa
desse triângulo.
6) (Colégio Pedro II – Prof. Walter Tardeu) A
diagonal de um quadrado mede 26 cm,
conforme nos mostra a figura. Nessas condições,
qual é o perímetro desse quadrado?
7) (Colégio Pedro II – Prof. Walter Tardeu) Uma
pipa é presa a um fio esticado que forma um
ângulo de 45º com o solo. O comprimento do fio é
80m. Determine a altura da pipa em relação ao
solo. Dado 2 = 1,41
8) (Colégio Pedro II – Prof. Walter Tardeu) Qual
é o comprimento da sombra de uma árvore de 5 m
de altura quando o sol está 30º acima do
horizonte? Dado 3 = 1,73
Determine a altura do prédio da figura seguinte:
10) (Colégio Pedro II – Prof. Walter Tardeu) .
Para determinar a altura de um edifício, um
observador coloca-se a 30m de distância e assim
o observa segundo um ângulo de 30º, conforme
mostra a figura. Calcule a altura do edifício medida
a partir do solo horizontal. Dado 3 = 1,73
Observe a figura e determine:
a) Qual é o comprimento da rampa?
b) Qual é a distância do inicio da rampa ao
barranco?
12) (Colégio Pedro II – Prof. Walter Tardeu) A
uma distância de 40m, uma torre é vista sob um
ângulo  , como mostra a figura. Determine a
altura h da torre se  = 30º.
13) (Colégio Pedro II – Prof. Walter Tardeu) Em
um triângulo ABC, retângulo em A, o ângulo B
mede 30º e a hipotenusa mede 5cm. Determine as
medidas dos catetos AC e AB desse triângulo.
15)(Objetivo) Um navio está próximo de uma
plataforma de petróleo, cuja torre tem uma altura
de 65m com relação ao píer. Qual a distância entre
o navio e a base abaixo dessa torre? Considere as
informações contidas no esquema.

73
Relações Importantes
QUADRO
Você deve ter percebido que:
𝑠𝑒𝑛 90° = cos(90º − 𝑥)
O seno de um ângulo é igual ao cosseno de seu
complemento.
Outra relação fácil de ser deduzida é que:
𝑡𝑔𝛼 =
𝑠𝑒𝑛𝛼
𝑐𝑜𝑠𝛼
1) (Manoel Paiva) Sabendo que cos 23° = 0,92,
calcule o valor da expressão:
𝐸 =
𝑠𝑒𝑛 23° + cos 67°
4𝑡𝑔23°
2) (Manoel Paiva) Na figura a seguir 𝛼 + 𝛽 = 90°.
Determine o valor de x.
3) (Manoel Paiva) Dado sen 36º = 0,58 e cos 36°
= 0,80, determine x na figura (não use a tabela!).
4) Dado 𝑠𝑒𝑛 ∝= 0,8, determine o valor de x.
Aplicação: Área do Triângulo
QUADRO
É fácil provar que é válida a seguinte relação:
𝐴 =
𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑠𝑒𝑛 ∝
2
Exemplo:
Determine a área do triângulo:
𝐴 =
2 ∙ 3 ∙ 𝑠𝑒𝑛 60°
2
=
2 ∙ 3 ∙
√3
2
2
=
3√3
2
cm2
1) Determine a área:
Imagem de Wiki How
Para isso use a relação de que 𝑠𝑒𝑛(180° − 𝑥) =
𝑠𝑒𝑛𝑥, que ainda não temos condições de
compreender.
2) Calcule a área:
3) Calcule a área do Paralelogramo (use a lógica
que fica óbvio!)

74
VB.3 AULA 15 – Lei dos Senos e Lei dos Cossenos
Submódulo VB.3
está pronta para podermos referenciar o número da aula. Esse é um tema
típico de 9º ano, porém, abordado sem profundidade nas escolas, pelas
dificuldades com ângulos maiores de 90º. Aqui não nos aprofundamos com
as relações da Lei dos Senos com o círculo que circunscreve o triângulo.
x
Lei dos Senos
QUADRO
Os lados de um triângulo são proporcionais ao seno
do ângulo oposto a esse lado. A razão entre esse
lado e o seno do ângulo é igual ao dobro do raio do
círculo circunscrito a esse triângulo.
É importante você demonstrar tal relação.
Exemplo 1 (Bianchini)
Determine o valor de x:
𝑥
𝑠𝑒𝑛 60 𝑜
=
20
Usando uma tabela, substituímos os valores
aproximados:
𝑥
0,86
=
20
0,64
0,64𝑥 = 17,2
𝑥 =
17,2
0,64
𝑥 = 26,87
Exemplo 2 (Bianchini)
𝑥
=
15
Usando uma tabela, temos que:
𝑥
0,76
=
15
0,5
0,5𝑥 = 11,4
𝑥 =
11,4
0,5
𝑥 = 22,8
1) (Bianchini) Usando uma tabela de razões
trigonométricas, calcule o valor de x:
a)
b)
c)
2)(Mundo Educação) No triângulo a seguir, determine
a medida do lado AC, tendo em vista as medidas
presentes nele. (Use √2 = 1,4 e √3 = 1,7).

75
3) (Mundo Educação) No triângulo a seguir, qual é a
medida do segmento AC, destacada pela letra x, dado
que essas medidas estão em centímetros?
Ainda não aprendemos, mas existe seno, cosseno e tangente de quaisquer
ângulos! Então use uma tabela ou a internet para descobrir o sen135º.
4)(Como Calcular – adaptado) Calcule a medida do
lado x. Use uma tabela.
Aqui você precisa calcular o ângulo correspondente ao vértice C.
5) Usando uma tabela de razões trigonométricas,
determine o ângulo x:
6) (UFPR) Calcule o seno do maior ângulo de um
triângulo cujos lados medem 4,6 e 8 metros.
7) (UECE) Quanto mede o menor lado de um
paralelogramo, cujas diagonais medem 8√2 m e 10 m
e formam entre si um ângulo de 45º.
8) (Matemática UNIBAN - Osasco) Calcule os valores
desconhecido em cada figura. Use apenas a tabela de
ângulos notáveis.
a)
b)
c)
9) (CECIERJ) Uma construtora quer colocar uma
ponte ligando os pontos A e C do mapa abaixo.
Mas, precisava calcular a distância entre esses
pontos. Dispunha apenas de um teodolito. Do
ponto A, caminhou até o ponto B, na mesma
margem a 2 quilômetros de distância. Com o
teodolito, calculou o ângulo CÂB = 75º e C𝐵̂A =
60º.
Utilize a Lei dos Senos para calcular a medida
aproximada da ponte AC. (Considere √2 = 1, 4 e
√3 = 1,7
Lei dos Cossenos
QUADRO
Muito utilizada, principalmente ao tratar de vetores, a
Lei dos Cossenos pode ser enunciada de acordo
com o lado envolvido:
Exemplo (Matika):

76
Calcule o valor de x:
𝑥2
= 82
+ 32
− 2 ∙ 8 ∙ 3 ∙ cos 60°
𝑥2
= 64 + 9 − 48 ∙
1
2
𝑥2
= 73 − 24
𝑥2
= 49
𝑥 = 7
1)(Bianchini) Determine o valor de x:
a) b)
c) d)
e) f)
2) IMPORTANTE: Verifique que a Lei dos Senos
vale quando o ângulo envolvido é reto.
3)(Portal da Matemática) No dia 11 de março de 2011,
o Japão foi sacudido por terremoto com intensidade de
8,9 na Escala Richter, com o epicentro no Oceano
Pacífico, a 360 km de Tóquio, seguido de tsunami. A
cidade de Sendai, a 320 km a nordeste de Tóquio, foi
atingida pela primeira onda do tsunami após 13
minutos. (O Estado de S.Paulo, 13/03/2011. Adaptado.)
Baseando-se nos dados fornecidos e sabendo que
cos 𝛼 = 0,934, onde α e o ângulo Epicentro-Tóquio-
Sendai, e que 28
32
93,4 ≈ 215100, a velocidade media,
em km/h, com que a 1ª onda do tsunami atingiu até a
cidade de Sendai foi de quanto?
4) Determine o valor de x:
Você cairá numa equação do 2o grau! Resolva
5)(Fundamentos de Matemática Elementar –
v.9) Determine o valor de x:

77
1) (Prof. Chico – UNICAMP) Determine o angulo
C de um triângulo ABC, sabendo que A= 50° , AB
= 25 e BC = 15.
Resolução:
2) (Prof. Chico – UNICAMP) Determine a medida
do lado x e do ângulo β:
3) (Prof. Chico – UNICAMP) Do alto de seus
faróis, que distam 5 km um do outro, dois faroleiros
avistam um barco no mar, como mostra a figura
abaixo. Determine a distância do barco a cada
farol.
4) (Prof. Chico – UNICAMP) O quadro de uma
bicicleta é mostrado abaixo. Sabendo que a mede
22 cm, calcule o comprimento b da barra que liga
o eixo da roda ao eixo dos pedais.
5) (Prof. Chico – UNICAMP) Em um sítio, o pomar
fica a 150 m da casa, como mostra a figura.
Determine a distância da casa ao portão e ao
celeiro.
6) (Prof. Chico – UNICAMP) Um posto rodoviário
está localizado no quilometro zero de uma
estrada. A 40 km do posto, há uma estação da
guarda florestal. Pretende-se instalar uma antena
de rádio em um ponto da estrada, de modo que as
distâncias dessa antena ao posto e à estação
sejam iguais. Em que quilometro da estrada a
antena deve ser instalada?

78
7)(Fundamentos de Matemática Elementar – v.9)
Qual é o perímetro da figura a seguir:
Determine o valor de s, sabendo que x+5, 3-x e x+7 são
as medidas dos lados AB, BC e AC de um triângulo
ABC cujo ângulo em B vale 120°.
Dois lados consecutivos de um paralelogramo medem
8 m e 12 m e formam um ângulo de 60°. Calcule as
diagonais.
Determine x em função de a em cada figura:
11)(Portal da Matemática – IMPA) Calcule o que se
pede em cada um dos itens
abaixo.
a) Qual o cosseno do maior angulo do triângulo de
lados medindo 5, 6 e 7?
b) Qual o cosseno do menor angulo do triângulo de
c) Num triangulo com lados medindo 5 e 6 e angulo
entre eles de 60°, qual o lado oposto ao angulo
informado?
d) Qual o cosseno de maior angulo do triângulo de
12)(Portal da Matemática – IMPA) Dois lados de um
triangulo medem 6 m e 10 m e formam entre si um
ângulo de 120°. Determinar a medida do terceiro lado.
13)(Portal da Matemática – IMPA)Os lados de um
triangulo obtusângulo medem 3, 4 e x. Podemos afirmar
que
a) 5 < x < 7. b) √7 < x < 5.
c) 1 < x < √7 ou 5 < x < 7. d) x = 5 ou x = 7.
14)(Portal da Matemática – IMPA) Sendo a o lado
oposto ao ângulo, b oposto a β e c oposto a γ, em um
triangulo. Calcule:
a) o seno de β para a = 4 cm, α = 30° e b = 8 cm;
b) o valor de γ para a =√2 cm, β = 45° e b = 2 cm.
15)(Portal da Matemática – IMPA) 5. Dado um
triângulo ABC com BC = 5√2 cm, BÂC = 45° e A𝐵̂C
=30°. Qual a medida de AC?
14)(Portal da Matemática – IMPA) Calcular o raio da
circunfêrencia circunscrita a um triângulo do qual se
conhecem um lado AB = 10 m e o ângulo oposto 𝐶̂= 60°
.
15)(Portal da Matemática – IMPA) Um navio,
deslocando-se em linha reta, visa um farol e obtém a
leitura de 30° para o ângulo formado entre a sua
trajetória e a linha de visada do farol. Após navegar 20
milhas, através de uma nova visada ao farol, obtém a
leitura de 75°. Determine a distância entre o farol e o
navio no instante em que fez a 2ª leitura. (Use √2 ≈ 1,4).
16)(Portal da Matemática – IMPA) Dado um triângulo
de lados 5 cm, 7 cm e 8 cm, determine o valor do
cosseno do menor ângulo interno desse triangulo.
17)(Portal da Matemática – IMPA) No triângulo ABC,
os lados AC e BC medem 8 cm e 6 cm,
respectivamente, e o angulo Â vale 30°. Quanto vale o
seno do angulo 𝐵̂
18)(Portal da Matemática – IMPA) Três ilhas A, B e C
aparecem num mapa, em escala 1 : 10000, como na
figura 1. Das alternativas, a que melhor aproxima a
distância em km entre as ilhas A e B e:
a)2,3 b)2,1 c)1,9 d)1,7 e)1,4

79
VB.3 AULA 16 – Relações Métricas na Circunferência
Submódulo VB.3
está pronta para podermos referenciar o número da aula. Trata-se também
de assunto negligenciado do 9º ano, por geralmente ficar para o fim do ano.
x
Conceitos
QUADRO
Elementos lineares da Circunferência:
1ª Relação
QUADRO
1ª Relação
Decorrente direta de uma das relações métricas
no triângulo retângulo, temos a seguinte relação
𝐴𝐵2
= 𝐵𝐶 ∙ 𝐵𝐻
Exemplo 1
𝑥2
= 4 ∙ 9
x2
= 36
𝑥 = 6
Exemplo 2
𝑥2
= 2 ∙ 8
𝑥2
= 16
𝑥 = 4
EXERCÍCIOS
1) (Bianchini) Ache o valor de x em cada figura:
2ª Relação, Média Geométrica e
Triângulo Inscrito na
Semicircunferência
QUADRO
Pequeno Teorema de Thales
Todo círculo inscrito na semicircunferência é
retângulo:
Fonte: Matika
Isso fica fácil de ser provado, se pensarmos que
o ângulo C é inscrito correspondente ao ângulo
raso AÔB.

80
Veja a relação entre ângulo central e inscrito
para confirmar essa relação.
Portanto, valem as relações métricas no
triângulo retângulo, em especial:
ℎ2
= 𝑚𝑛
Esse h é chamado de média geométrica, e pode
ser representado na figura:
Fonte: Portal do Professor
2ª Relação
Decorrente da idéia de média geométrica:
𝐶𝐻2
= 𝐴𝐻 ∙ 𝐵𝐻
Exemplo 1
𝑥2
= 4 ∙ 12
𝑥2
= 48
𝑥 = 4√3
(Simplificando a raíz)
Exemplo 2
4𝑥 = 62
4𝑥 = 36
𝑥 =
36
4
𝑥 = 9
Essa é a representação geométrica da Média
Geométrica, que veremos melhor no B 9.3
3ª Relação, Relação entre Cordas
QUADRO
Vejamos
Como ambos triângulos são semelhantes (use o
Teorema do Ângulo Inscrito), teremos aqui a
seguinte relação:
𝑃𝐴 ∙ 𝑃𝐵 = 𝑃𝐶 ∙ 𝑃𝐷
Exemplo 1
2𝑥 ∙ 𝑥 = 8 ∙ 9
2𝑥2
= 72
𝑥2
=
72
2
𝑥2
= 36
𝑥 = 6
Exemplo 2
𝑥 ∙ 𝑥 = 2 ∙∙ 8
𝑥2
= 16
𝑥 = 4
Eventualmente você cairá numa equação do 2o grau!

81
2) (https://matematicaressucat.files.wordpress.com) Determine
o valor de x nas seguintes figuras:
4ª Relação, Relação entre Secantes
QUADRO
Vejamos:
Se usarmos da semelhança de triângulos, chegamos
em
𝑃𝐴 ∙ 𝑃𝐵 = 𝑃𝐶 ∙ 𝑃𝐷
Fiquem atentos para não fazer PA vezes AB!!! Trata-
se de PA vezes PB (NOTE ISSO!)
Exemplo 1
16𝑥 = 4 ∙ 12
16𝑥 = 48
𝑥 =
48
16
𝑥 = 3
Exemplo 2
6(6 + 𝑥) = 5(𝑥 + 3 + 5)
36 + 6𝑥 = 5𝑥 + 40
6𝑥 − 5𝑥 = 40 − 36
𝑥 = 4

82
5ª Relação, Relação entre Secante e
Tangente
QUADRO
Veja, e tente deduzir por semelhança:
Na figura o ponto A é ponto de Tangência da reta
suporte de AP.
𝑃𝐴2
= 𝑃𝐶 ∙ 𝑃𝐵
Exemplo 1
𝑥2
= 8 ∙ 2
𝑥2
= 16
𝑥 = 4
Exemplo 2
𝑥2
= 12 ∙ 3
𝑥2
= 36
𝑥 = 6
EXERCÍCIOS ENVOLVENDO OS CASOS
TODOS

83
Potência de um Ponto
LEIA COM ATENÇÃO
ESSE QUADRO
Pela 4ª relação, podemos afirmar que:
𝑃𝐴 ∙ 𝑃𝐵 = 𝑃𝐶 ∙ 𝑃𝐷 = 𝑃𝐸 ∙ 𝑃𝐹 = 𝑃𝐺 ∙ 𝑃𝐻 = ⋯
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
O conceito de Potência de um ponto é bem mais
profundo e será retomado no PODEMOS C.
Pontos internos à circunferência possuem
Potência, que chamaremos de ℘ 𝑃 (use um P
“afrescalhado”).
A idéia de potência de um ponto surge da
investigação de que se um 3º ponto pertence ou
não há uma circunferência dados 2 pontos. Por
todo grupo de três pontos passa uma única
circunferência. Essa discussão é fundamental, e
aqui é vista tangencialmente.
Para entender a fórmula da Potência de um
Ponto, vamos usar d como distância do ponto até
o centro da circunferência e r como o raio da
circunferência.
℘ 𝑃 = 𝑃𝐴 ∙ 𝑃𝐵
℘ 𝑃 = (𝑑 − 𝑟)(𝑑 + 2𝑟 − 𝑟)
℘ 𝑃 = (𝑑 − 𝑟)(𝑑 + 𝑟)
℘ 𝑃 = 𝑑2
− 𝑟2
Exemplo:
a) Qual a potência de um ponto que está a 10 cm
do centro de uma circunferência de 5 cm de raio?
𝑟 = 5 ℘ 𝑃 = 𝑑2
− 𝑟2
𝑑 = 10 ℘ 𝑃 = 102
− 52
= 100 − 25 = 75 cm²
℘ 𝑃 =?
b) A Potência de um ponto P em relação à
circunferência de raio 6 cm é de 64 cm². Qual é a
distância desse ponto até o centro da
circunferência?
𝑟 = 6 ℘ 𝑃 = 𝑑2
− 𝑟2
𝑑 =? 64 = 𝑑2
− 62
℘ 𝑃 = 64 𝑑2
= 100
𝑑 = 10
OBS: a unidade da potência de um ponto é cm²
ou m². Você consegue explicar?
1)(Bianchini) Um ponto dista 12 cm do centro de
uma circunferência de 8 cm de raio. Qual é a
potência desse ponto?
2)(Bianchini) Uma circunferência tem 8 cm de
raio. A potência de um ponto P em relação à essa
circunferência é 80 cm². Determine a distância do
ponto P ao centro da circunferência.
EXERCÍCIOS DE REVISÃO
1)(Baluta.com.br) Determine o valor de x:
2)(Baluta.com.br) Calcule o valor de x em cada figura:

84
3)(Baluta.com.br) Calcule a medida desconhecida em
cada figura:

85
4)(UNESP) Em um plano horizontal encontram-se
representadas um circunferência e as cordas AC e BD.
Na condições apresentadas na figura, determine o valor
de x.
5) (Super Gel 57) Na figura , AB é o diâmetro da
semicircunferência . Calcule AP e PB .
6) (Baluta.com.br) Resolva os problemas:
a) As cordas, AB e CD , de uma circunferência cortam-
se em P. Determine PC, se PA =10cm, PB = 12cm e
PD = 15cm,
b) Em uma circunferência, uma corda AB é
perpendicular a um diâmetro CD sobre o qual
determina dois segmentos que medem 2cm e 8cm,
respectivamente. Calcule a medida da corda AB .
c) De um ponto P, externo a uma circunferência,
traçamos uma secante e uma tangente a essa
circunferência. A secante corta a circunferência nos
pontos A e B, de tal forma que PA = 6cm e PB = 24cm.
A tangente encontra a circunferência no ponto C.
Determine PC.
d) Duas secantes são traçadas de um mesmo ponto P,
exterior a uma circunferência. A parte externa e a parte
interna da primeira secante medem 8cm e 12cm,
respectivamente. A parte externa da segunda secante
mede 10cm. Calcule a medida da sua parte interna.
e) Duas cordas, AB e CD, de uma circunferência
cortam-se num ponto P, distinto do centro. Sendo PA =
10cm, PB = 12cm, PC =x cm e PD = (2x - 1) cm, calcule
PC e PD .
f) O raio de uma circunferência é 3cm. De um ponto P,
externo, traçamos uma secante e uma tangente a essa
circunferência. A secante encontra a curva nos pontos
A e B e passa pelo centro, de tal forma que PA = 4cm.
A tangente encontra a circunferência no ponto T.
Determine a medida do segmento PT.
g) Uma circunferência tem 10cm de raio. Qual é a
potência de um ponto P, que está distante 12cm do
centro, em relação a essa circunferência?
h) A potência de um ponto P em relação a uma
circunferência é 48. O raio dessa circunferência é
11cm. Qual é a distância do ponto ao centro da
circunferência?
i) Determine as medidas das cordas BD e CE , sabendo
que AB = 3x, AC = 4x - 1, AD = x + 1 e AE = x.
7) (Baluta.com.br) Dada a figura abaixo:
a) Qual é a potência do ponto P em relação à
circunferência?
b) Determine x e y.
Dado: PE tangente.
8)(Baluta.com.br) a)Duas cordas de uma
circunferência RS e XY interceptam-se num ponto P.
Se PR = 4, PS = 12 e PX = 3, determine PY .
b) Uma corda de 17cm é dividida por outra corda em
duas partes, uma das quais mede 5cm. Por sua vez ela
separa nesta outra uma parte de 4cm. Qual é o
comprimento desta outra corda?
c) De um ponto P externo a uma circunferência,
traçamos os segmentos secantes PM e PS,
determinando as respectivas partes externas PN e PR.
Sendo PM = 14cm, PN = 6cm, PS = 21cm, calcule PR

86
9)(Baluta.com.br) a) Dois segmentos secantes de
25cm e 20cm são traçados de um ponto externo a uma
circunferência. A parte externa do primeiro mede 4cm.
Determine a medida da parte externa do segundo.
b) De um ponto P externo a uma circunferência
traçamos um segmento secante PR de 9cm e um
segmento PT tangente de 6cm. Quanto mede a parte
externa do segmento secante?
c) De um ponto externo a uma circunferência traçamos
um segmento secante de 32cm que determina uma
corda de 27,5cm. Quanto mede o segmento tangente
traçado do mesmo ponto?
d) Numa circunferência, um diâmetro que mede 18cm
divide uma corda em dois segmentos que medem 5cm
e 9cm. Quanto medem os segmentos determinados
pela corda no diâmetro.
10)(Baluta.com.br) Determine o raio do círculo nos
casos:
1)(NS Aulas Particulares – Higienópolis) Determine
o valor de x, e o comprimento de cada corda em cada
caso:
o valor de x, e o comprimento de cada secante ou
tangente em cada caso:
3)(NS Aulas Particulares – Higienópolis) Na figura,
ABC é um triângulo no qual AB = 9 cm e AC = 8 cm.
Uma circunferência, passando por B e C, intercecta AB
e AC, respectivamente, em P e R. Calcule CR, sabendo
que BP = 5 cm.
a medida da corda AB indicada na figura, em
centímetros.

87
5) (UFSC 2013) Em um centro de eventos na cidade de
Madri, encontra-se um mural de Joan Miró (1893-1983)
confeccionado pelo ceramista Artigas. O mural está
colocado no alto da parede frontal externa do prédio e
tem 60m de comprimento por 10m de altura. A borda
inferior do mural está 8m acima do nível do olho de uma
pessoa. A que distância da parede deve ficar essa
pessoa para ter a melhor visão do mural, no sentido de
que o ângulo vertical que subtende o mural, a partir de
seu olho, seja o maior possível? O matemático
Regiomontanus (1436-1476) propôs um problema
semelhante em 1471 e o problema foi resolvido da
seguinte maneira:
Imagine uma circunferência passando pelo olho O do
observador e por dois pontos P e Q, verticalmente
dispostos nas bordas superior e inferior do mural. O
ângulo α será máximo quando esta circunferência for
tangente à linha do nível do olho, que é perpendicular à
parede onde se encontra o mural, como mostra a figura.
Com estas informações, calcule a que distância OC da
parede deve ficar o observador para ter a melhor visão
do mural de Joan.
6) (Cesgranrio 1997) Na figura a seguir, AB = 8 cm, BC
= 10 cm, AD = 4 cm e o ponto O é o centro da
circunferência. Qual é o perímetro do triângulo AOC
mede, em cm?
7) (Mackenzie 1996) Na figura a seguir, M, N e P são
pontos de tangência e a medida de OM é 16. Então o
perímetro do triângulo assinalado é:
8) (Mackenzie 1996) No triângulo da figura a seguir, a
circunferência inscrita tem raio 1 e T é o ponto de
tangência. Quanto mede o menor lado do triângulo
mede?
LEIA COM ATENÇÃO
ESSE QUADRO
INVESTIGUE:
➢ A potência de um ponto
pertencente à circunferência
➢ A potência de um ponto interno à
circunferência (perceba que o sinal
é invertido)
1) (Fundamentos de Matemática Elementar – v9)
Determine a potência de cada ponto A, B e C em
relação à circunferência lambda:
2)(Ismael Reis) a)Determine a potência de um ponto
P situado sobre uma circunfrência cujo raio mede 10
cm.
b)A potência de um ponto em relação a uma
circunferência é 17 cm². Sendo a medida do raio da
circunferência igual a 8 cm, calcule a distância do ponto
P ao centro da circunferência.
c) A potência de um ponto em relação a uma
circunferência é 40 cm². A distância do ponto P ao
centro da circunferência é 12 cm. Determine a medida
do raio da circunferência.

88
VB.3 AULA 17 – Relações Métricas nos Polígonos Regulares
Submódulo VB.3
está pronta para podermos referenciar o número da aula. Trata-se também
de assunto negligenciado do 9º ano, por geralmente ficar para o fim do ano.
Aqui aprofundamos falando do Teorema de Pitot e do Teorema de Ptolomeu
(tema recente de prova do IME), assuntos em geral desconhecidos até
mesmo de professores.
x
Definições Iniciais
QUADRO
DEFINIÇÕES INICIAIS
Polígonos Inscritos
Os seguintes polígonos estão INSCRITOS na
circunferência:
Polígono Circunscrito
Os seguintes polígonos estão CIRCUNSCRITOS na
circunferência:
Compare:
Nem todo polígono inscrito ou circunscrito é regular,
como vemos acima. O polígono a seguir está inscrito
na Circunferência.
Nesse caso o quadrilátero está inscrito na
circunferência e a circunferência circunscrita no
quadrilátero.
Definições:
Inscrição - Um polígono é inscrito em uma
circunferência se cada vértice do polígono é um
ponto da circunferência e neste caso dizemos que a
circunferência é circunscrita ao polígono.
Circunscrição - Um polígono circunscrito a uma
circunferência é o que possui seus lados tangentes
à circunferência. Ao mesmo tempo, dizemos que
esta circunferência está inscrita no polígono.
PROPRIEDADES DEFINIDORAS
P1 Se uma circunferência for dividida em três ou
mais arcos congruentes, então
as cordas consecutivas formam um polígono regular
inscrito na circunferência.
P2 Se uma circunferência for dividida em três ou
mais arcos congruentes, então as tangentes aos
pontos consecutivos de divisão formam um polígono
regular circunscrito à circunferência.
Na circunferência abaixo, traçamos dois diâmetros
perpendiculares entre si. A circunferência ficou
dividida em quatro arcos congruentes. As cordas
consecutivas formam um quadrado inscrito na
circunferência
As tangentes pelos pontos de divisão formam um
quadrado circunscrito à circunferência. Desse modo,
podemos dizer que, se um polígono é regular, então
existe um circunferência que passa por todos os seus
vértices e uma outra que tangencia todos os seus
lados.

89
1) Crie polígonos inscritos na circunferência a
partir dos pontos assinalados nas circunferências:
Exemplos:
Faça agora você
2) Crie polígonos circunscritos na circunferência a
partir dos pontos assinalados nas circunferências:
Exemplos:
Faça agora você, se possível, e não se
preocupando em desenhar sob outras figuras:
3) Verifique na lista de polígonos a seguir, quais
NÃO ESTÃO inscritos na circunferência.
4) Verifique na lista de polígonos a seguir, quais
NÃO ESTÃO circunscritos na circunferência.
Polígonos Regulares Inscritos e
Circunscritos e elementos
QUADRO
POLÍGONOS REGULARES INSCRITOS
1ª Propriedade: todo polígono regular pode ser
inscrito ( posto dentro) numa circunferência. Observe
que todo os vértices dos polígonos regulares estão
em contrato com a circunferência. Vejamos:
POLÍGONOS REGULARES CIRCUNSCRITOS
2ª Propriedade:todo polígono regular é circunscrito
(fica por fora) da circunferência. A circunferência é
tangente (troca) aos lados do polígono. Vejamos:

90
ELEMENTOS E PROPRIEDADES
Centro: O centro de um polígono regular é o mesmo
centro comum das circunferências inscritas e
circunscritas.
Apótema: Apótema de um polígono é o segmento
com uma extremidade no centro e a outra no ponto
médio de um lado. O apótema de um polígono é o
raio da circunferência inscrita.
Nos polígonos regulares o apótema é sempre
perpendicular ao lado.
Ângulos Centrais: Como todos os ângulos de um
polígono regular são congruentes, então a medida
de cada um deles é dada por
𝑎̂ =
360º
𝑛
onde n é o número de lados do polígono.
Fonte: http://www.matematicamuitofacil.com/poligonosreg.html
Diagonais pelo centro: Se um polígono possui um
número par de lados, ele possui diagonais que
passam pelo centro, e caso o polígono tenha um
número ímpar de lados, ele não terá diagonais
passando pelo seu centro. (Veja a figura)
Com n=6 temos diagonais passando pelo centro, já
com n=5 não temos diagonais passando pelo
centro.
Veja o texto http://www.matematicaaodia.tk/2016/03/os-
poligonos-regulares-e-suas.html que fala de propriedades dos
Polígonos Regulares Inscritos e Circunscritos com demonstrações
formais.
Fonte: http://daquepensar.com/2012/06/exame-
nacional-de-9oano-parte-4-circunferencias-e-poligonos/
1) Dê o nome aos conjuntos polígonos:
2) Dê o nome de cada uma das formas a seguir:
Nome completo. Ex: PENTÁGONO REGULAR
INSCRITO NA CIRCUNFERÊNCIA.
1 ______________________________
2 ______________________________

91
3______________________________
4 ______________________________
5 ______________________________
6 ______________________________
7 ______________________________
8 ______________________________
3) Desenhe um dos apótemas de cada um dos
polígonos a seguir:
4) Dê o nome completo das figuras a seguir:
9) Desenhe TODOS os apótemas:
QUESTÕES TIPO TESTE
1) Observe as figuras:
Podemos afirmar que:
I – As figuras de cima são polígonos circunscritos
II – As figuras de baixo são polígonos circunscritos
III – Os polígonos acima não são necessariamente regulares.
São verdadeiras as afirmações:
a) I b) II c) I e II d) II e III e) III
2) Em qual categoria se enquadram as seguintes figuras?
a) Polígonos Regulares
Inscritos
b) Quadriláteros Inscritos
c) Quadriláteros
Circunscritos
d) Trapézios retângulos
e) Polígonos circunscritos
3)Qual das imagens a seguir mostra um polígono regular
CIRCUNSCRITO numa circunferência?
a) b)
c) d)
e) nenhum dos anteriores
4)Quantas das figuras a seguir são polígonos regulares
CIRCUNSCRITOS?
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
5)Nas figuras o segmento de reta OM é denominado de:
a) Apótema b) Centro c) Lado
d) Polígono inscrito e) Raio

92
6) Veja a figura a seguir:
Podemos dizer que essa figura é:
a) uma esfera circunscrita num cilindro
b) uma esfera inscrita num cilindro
c) uma esfera inscrita num cone
d) uma esfera inscrita num cilindro
e) nenhuma das anteriores
7) Veja as figuras:
1: 2:
Podemos afirmar que
I – (...) é uma esfera inscrita num octaedro
II – (...) é um octaedro circunscrito numa esfera
III – (...) é uma esfera circunscrita num octaedro
IV – (...) é um ocotaedro inscrito numa esfera
A resposta correta para os (...) é:
a)1, 1, 2, 2
b)1, 2, 1, 2
c)2, 1, 2, 1
d)2, 2, 2, 2
e)Nenhuma das anteriores
8) A figura a seguir é:
I – Uma esfera inscrita num
tetraedro
II – Um teatraedro circunscrito
numa esfera
Estão corretas as afirmações:
a) I b) II c) I e II
d) nenhuma das duas
e) não dá pra saber
9) Veja a figura:
A figura que não está presente acima é:
a) Pentágono inscrito na circunferência
b) Hexágono inscrito na circunferência
c) Heptágono inscrito na circunferência
d) Octógono inscrito na circunferência
e) Eneágono inscrito na circunferência
10) Veja a figura:
Essa figura é um:
a) dodecaedro inscrito na esfera
b) esfera inscrita num dodecaedro
c) pentágono inscrito na circunferência
d) circunferência inscrita no pentágono
e) nenhuma dos anteriores
Relações Métricas nos Polígonos
Regulares – Quadrado Inscrito na
Circunferência
QUADRO
RELAÇÕES NOS POLÍGONOS REGULARES
INSCRITOS
Dados usados nas fórmulas:
ℓ: medida do lado
r: medida do raio da circunferência circunscrita
A: área do polígono
R: medida do raio da circunferência inscrita
a: medida do apótema
p: perímetro do polígono regular
Veja http://matematicaseriada.blogspot.com.br/2015/01/poligonos-
inscritos-e-circunscritos-na.html
QUADRADO INSCRITO
Medida do Lado em função do raio da
circunferência

93
O Ângulo OĈD mede 45º, pois o segmento CO está
inscrito na diagonal AC. Idem para o ângulo AD̂C. O
triângulo COD portanto é retângulo em O.
𝑟2
+ 𝑟2
= ℓ2
ℓ2
= 2𝑟2
ℓ = √2𝑟2
ℓ = 𝑟√2
Medida do Apótema em função do raio da
circunferência
𝑎2
+ (
ℓ
2
)
2
= 𝑟2
𝑎2
+ (
𝑟√2
2
)
2
= 𝑟2
𝑎2
+
2𝑟2
4
= 𝑟2
𝑎2
+
𝑟2
2
= 𝑟2
𝑎2
= 𝑟2
−
𝑟2
2
𝑎2
=
2𝑟2
− 𝑟2
2
𝑎2
=
𝑟2
2
𝑎 = √
𝑟2
2
𝑎 =
√𝑟2
√2
𝑎 =
𝑟
√2
∙
√2
√2
=
𝑟√2
2
FÓRMULAS
ℓ4 = 𝑟4√2
𝑎4 =
𝑟4√2
2
𝐴4 = 2𝑟4
2
(Deduza a fórmula da área!)
Exemplo: Quanto mede o apótema do quadrado
inscrito numa circulo, sabendo que o perímetro do
quadro mede 20 cm?
Dados:
p= 20 cm a=?
Perímetro o dividido por 4: 20/4 = 5
O raio da circunferência é igual 2 vezes a diagonal
do quadrado. logo para achar o raio dividimos por 2.
Substituindo na fórmula
Mais uma vez substituindo para achar o apótema.
1) (Matemática Muito Fácil) Calcule o lado e o
apótema de cada um dos quadrados:
2) (Matemática Muito Fácil) Calcule o apótema
de um quadrado inscrito numa circunferência com
raio 7√2 cm.
3) (Matemática Muito Fácil) O lado de um
quadrado inscrito numa circunferência mede 10√2
cm. Calcule o raio da circunferência.
4) (Matemática Muito Fácil) A medida do
apótema de um quadrado inscrito numa
circunferência é 25 cm. Calcule o raio da
circunferência.
5) (Matemática Muito Fácil) A figura abaixo é um
quadrado com 7 cm de lado.
a) O quadrilátero menor também é um quadrado?
b) Qual o lado do quadrado menor?
c) Qual a área do quarado menor?
d) Qual a área do quadrado maior?
e) Qual a área de cada triângulo.
Alguns exercícios não tem necessariamente relação com o conteúdo!

94
6) (Matemática Muito Fácil) Um CD tem 6 cm de
raio e sua embalagem é uma capa quadrada de
papelão. Essa capa encaixa o CD num quadrado
circunscrito a ele. Qual a área desse quadrado?
de um quadrado inscrito numa circunferência com
raio 8√2 cm.
quadrado inscrito numa circunferência mede 4 cm.
Calcule.
9) (Matemática Muito Fácil) Um quadrado tem
um apótema que mede 5 cm. Calcule o perímetro
desse quadrado.
10) (Matemática Muito Fácil) Calcule a medida
do raio da circunferência e do apótema do
quadrado cujo lado mede 12 cm.
Regulares – Hexágono Regular Inscrito
na Circunferência
QUADRO
HEXÁGONO REGULAR INSCRITO
circunferência
O ângulo central DÔE mede 60º, pois
360 𝑜
6
=
60 𝑜
.
Como ▲DOE é triângulo isósceles
𝑚𝑒𝑑(𝑂𝐷̂ 𝐸) = 𝑚𝑒𝑑(𝑂𝐸̂ 𝐷) = 𝛼
Temos então que 60 𝑜
+ 𝛼 + 𝛼 = 180 𝑜
, portanto
𝛼 = 60 𝑜
e então o triângulo ▲DOE é equilátero.
Portanto o lado é igual ao raio:
ℓ = 𝑟
circunferência
O apótema é altura, mas também mediana do
triângulo ▲DOE
𝑎2
+ (
ℓ
2
)
2
= 𝑟2
𝑎2
+
ℓ2
4
= 𝑟2
𝑎2
= 𝑟2
−
𝑟2
4
𝑎2
=
4𝑟2
− 𝑟2
4
𝑎2
=
3𝑟2
4
𝑎 = √
3𝑟2
4
𝑎 =
𝑟√3
2
FÓRMULAS
ℓ6 = 𝑟6
𝑎6 =
𝑟6√2
2
𝐴 =
3𝑟6
2
√3
2
(Deduza a fórmula da área!)
Exemplo: Qual a medida do raio de uma
circunferência, sabendo que o apótema de
um hexágono regular inscrito numa
circunferência mede ?
Dado:

95
a=
r= ℓ
Substituindo o valor da apótema, lembrado que
o lado é igual ao raio.
podemos multiplicamos 15 por 2, ficando
assim;
isolando r
apótema de cada um dos hexágonos regulares:
2) (Matemática Muito Fácil) Determine o
perímetro de um hexágono regular inscrito numa
circunferência com 5 cm de raio.
3) (Matemática Muito Fácil) O apótema de um
hexágono regular inscrito numa circunferência
mede 15 cm. Quanto mede seu lado?
4) (Matemática Muito Fácil) O apótema de um
hexágono regular mede 7√3 cm. Determine o
perímetro do hexágono.
5) (Matemática Muito Fácil) O raio de uma
circunferência circunscrita a um hexágono regular
mede 5 cm. Calcule o perímetro do hexágono.
hexágono regular inscrito numa circunferência
mede 26 cm. Quanto mede seu apótema?
7) (CEETEPS – SP) Seis estações espaciais estão
localizadas num mesmo plano, uma em cada
vértice de um hexágono regular de lado 200 km.
Uma das estações informa a existência de um
objeto não identificado que se encontra
estacionado na posição Me entre as estações A e
B, conforme mostra a figura. Para destruí-lo, um
míssel é lançado, em linha reta, do centro desse
hexágono. Qual a distância percorrida pelo míssil?
8) (Matemática Muito Fácil) Um favo de mel é
constituído por alvéolos hexagonais que são
polígonos regulares iguais cujos vértices estão em
contato com outros vértices. Observe a figura, em
que o lado de cada hexágono mede 4 cm
Ao unir os centros dos hexágonos, obtemos
triângulos equiláteros.
a) Calcule, mentalmente, a altura do triângulo
equilátero.
b) Quanto mede o lado do triângulo
equilátero?
9) (Matemática Muito Fácil) A diagonal de um
quadrado inscrito numa circunferência mede 5 cm.
Calcule o lado do hexágono regular inscrito nessa
mesma circunferência.
10) (Matemática Muito Fácil) Calcule as medidas
do raio e do apótema de um hexágono regular
inscrito numa circunferência de raio 10 cm.

96
Regulares – Triângulo Equilátero
Inscrito na Circunferência
QUADRO
TRIÂNGULO EQUILÁTERO INSCRITO
circunferência
Considere DB, o lado do hexágono regular
inscrito na circunferência. AD é o diâmetro da
circunferência (2r). Já vimos que no hexágono
regular ℓ6 = 𝑟6
Como ABD está inscrito na semicircunferência,
o ângulo em B é reto. Portanto, podemos aplicar
o Teorema de Pitágoras:
ℓ2
+ r2
= (2r)2
ℓ2
+ r2
= 4r2
ℓ2
= 4r2
− r2
ℓ2
= 3r2
ℓ = r√3
circunferência
No triângulo isósceles ▲BOC o apótema é
mediana e altura, portanto:
a2
+ (
ℓ
2
)
2
= r2
a2
+ (
r√3
2
)
2
= r2
a2
+
3r2
4
= r2
a2
= r2
−
3r2
4
a2
=
4r2
− 3r2
4
a2
=
r2
4
a =
r
2
FÓRMULAS:
ℓ3 = r3√3
a3 =
r3
2
𝐴3 =
ℓ3
2
√3
4
Exemplo: Qual a área de um triângulo equilátero
inscrito numa circunferência de raio 2 cm?
Dados:
raio 2 cm
lado A= ?
é o lado desse triângulo.
Substituindo na fórmula:
1)(Matemática Muito Fácil) Calcule o lado e o
apótema dos triângulos equiláteros:
2)(Matemática Muito Fácil) Calcule o lado de um
triângulo equilátero inscrito numa circunferência
com raio 3√3 cm.
de um triângulo equilátero inscrito numa
circunferência com raio 14 cm.
mede 18 cm. Quanto mede seu apótema.

97
5) Qual é o apótema de um triângulo equilátero de
perímetro 30 cm?
6) Qual é o apótema de um triângulo equilátero de
área 3√3?
de um triângulo equilátero inscrito numa
circunferência com raio 28 cm.
8)(Matemática Muito Fácil) O apótema de um
mede √3cm. Quanto mede seu lado?
QUADRO
Fonte: Matemática Muito Fácil
Você consegue um truque para decorá-las?
1)Dados os polígonos regulares inscritos na
circunferência, calcule o valor de x, sendo lado o
apótema:
apótema de cada um dos polígonos regulares:
3) (Matemática Muito Fácil) Quéops, uma das sete
maravilhas do mundo, é uma pirâmide quadrangular
regular cuja aresta da base mede 230 m e cuja altura
aproximada é de 143 m. Se alguém fosse escalar essa
pirâmide, caminhando sobre 𝐴𝐵̅̅̅̅, que distância
andaria?
4) (Matemática Muito Fácil) O lado de um quadrado
inscrito numa circunferência mede 10√2 cm. Calcule a
medida do lado do triângulo equilátero inscrito na
mesma circunferência.
Para uma grande lista de exercícios, acesse
http://www.matematicamuitofacil.com/poligonosre
g05.html
Polígonos Quaisquer Inscritos e
Circunscritos – Triângulos Inscritos
QUADRO
CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS
QUANTO AOS ÂNGULOS E POSIÇÃO DO
CIRCUNCENTRO
Teorema Pequeno de Thales – Todo triângulo
inscrito na semicircunferência é retângulo.

98
Imagem de https://www.youtube.com/watch?v=TK1dZ4yIo58
Circuncentro
O encontro das mediatrizes de um triângulo é o
seu circuncentro.
Imagens de COC
O circuncentro é o centro da circunferência
circunscrita ao triângulo.
A posição do circuncentro depende do tipo de
triângulo:
• Se e somente se um triângulo for agudo
(todos os ângulos menores do que um ângulo
reto), o circuncentro encontra-se dentro do
triângulo.
• Se e somente se um triângulo for obtuso
(tem um ângulo maior do que um ângulo reto),
o circuncentro fica fora do triângulo.
• Se e somente se for um triângulo
retângulo, o circuncentro fica no centro da
hipotenusa . Esta é uma forma do Pequeno
Teorema de Thales
O circuncentro de um triângulo agudo está
dentro do triângulo
O circuncentro de um triângulo retângulo está
no centro da hipotenusa
O circuncentro de um triângulo obtuso está
fora do triângulo
TRIÂNGULO CIRCUNSCRITO: INCENTRO E
PROPRIEDADES DO TRIÂNGULO
CIRCUNSCRITO.

99
1) Sabendo que AP=3 cm, BP=4 cm. Determine o
valor de AB.
Dica: como todo triângulo inscrito em uma semicircunferência é
retângulo, você pode resolver essa questão facilmente.
2) Veja a figura
Dados PR=8 e CQ=5, determine PQ.
3) Sendo AO=6,5 cm e CB=12 cm. Qual é o
tamanho de AC?
(Figura fora de escala)
LEIA COM ATENÇÃO
ESSE QUADRO
Tangências de Circunferências
Por um ponto P do plano da circunferência,
situado no exterior do círculo, podem ser
traçados duas retas tangentes. Os segmentos
PA e PB, cujas extremidades são o ponto dado
e os pontos de tangência são congruentes.
1) (COC – 8º ano – Grupo 11) Os segmentos de reta
PA e PB estão contidos em retas tangentes à
circunferência de centro O centrada na figura.
Determine o valor de x e o comprimento dos segmentos
PA e PB.
2) (Colegio Cândido Portinari) Determine a medida
do segmento AB na figura ao lado.
3) (COC – 8º ano – Grupo 11) Na figura a seguir, os
pontos A, B e C são pontos de tangência da
circunferência inscrita de centro O. Determine as
medidas de x e de y.
Faça esse exercício usando o conhecimento de tangências
de circunferências! Isso vai ajudar a entender o próximo tópico
Circunscritos - Triângulos Circunscritos
QUADRO
Incentro

100
As três bissetrizes internas de um triângulo
encontram-se no incentro. O incentro é o centro
da circunferência inscrita no triângulo.
Os pontos de tangência da circunferência
inscrita com o triângulo são as perpendiculares
baixadas do incentro sobre cada lado.
Teorema: Veja a figura abaixo.
Você já percebeu a propriedade. Consegue enuncia-
la?
1) (COC – 8º ano – Grupo 11) Determine a
medida x no triângulo PQR a seguir, sabendo que
o seu perímetro é de 18,8 cm.
2)(COC – 8º ano – Grupo 11) Considere um
triângulo ABC em que uma circunferência está
inscrita. Nesta circunferência, P, Q e R são os
pontos de tangência aos lados AB, BC e CA,
respectivamente. Se BQ = 80 mm, CR = 120 mm
e AP = 60 mm, determine as medidas dos lados
deste triângulo e o seu perímetro.
Resolução: De acordo com o enunciado, podemos construir o
seguinte esboço:
Os segmentos tangentes que partem de um mesmo ponto são
congruentes, assim temos:
AB = 140 mm BC = 200 mm AC = 180 mm
Perímetro = 140 + 200 + 180 = 520 mm
3) (COC – 8º ano – Grupo 11) Nas figuras a
seguir, temos, em cada item, uma circunferência
inscrita em um triângulo. Determine o valor de x,
sabendo que A, B e C são pontos de tangência.
v.9) Na figura, o círculo de centro O é inscrito no
triângulo ABC. BD=4, AF=3 e EC=5. Qual é o
perímetro do triângulo ABC?

101
Circunscritos – Triângulo Circunscrito –
Lei dos Senos
QUADRO
Existe uma íntima relação entre o raio da
circunferência e a Lei dos Cossenos:
Imagem de Escola Kids
𝑎
𝑠𝑒𝑛 Â
=
𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝐵
=
𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝐶
= 2𝑅
1) (Fundamentos de Matemática Elementar – v.9)
Determine o raio da circunferência circunscrita aos
triângulos nos casos:
2) (Fundamentos de Matemática Elementar – v.9)
3)(Matika – Adaptado) Determine o perímetro do
seguinte triângulo, inscrito num círculo de raio 4 cm.
Circunscritos – Área do Triângulo
Inscrito e do Triângulo Circunscrito
QUADRO
Triângulo Inscrito
Dados os lados a,b, c, de um triângulo inscrito
num círculo de raio R, podemos dizer que sua
área é dada por:
𝐴 =
𝑎𝑏𝑐
4𝑅
Triângulo Circunscrito
Considere o triângulo circunscrito:
Os raios medem r, e é chamado semiperímetro:
𝑝 =
𝑎 + 𝑏 + 𝑐
2
É fácil demonstrar que a área desse triângulo
pode ser dada por
𝐴 = 𝑝𝑟
v.9) Determine o raio de cada círculo:
Primeiro calcule a área usando a Fórmula de Hieron. Depois use as
fórmulas de área de triângulo inscrito ou circunscrito.

102
2)(Yahoo Respostas) Considere o triângulo
isósceles ABC, de base BC e altura AH, inscrito
em uma circunferência de centro O, conforme
mostra a figura.
Sabendo que a circunferência tem 26 cm de
diâmetro, e que BH=10 cm e BH=5, determine a
área do triângulo ABC.
Circunscritos – Quadriláteros Inscritos
QUADRO
Propriedade dos quadriláteros inscritos: Se
um quadrilátero está inscrito em uma
circunferência então os ângulos opostos são
suplementares, isto é a soma dos ângulos
opostos é igual a 180 graus e a soma de todos
os quatro ângulos é 360 graus. Por exemplo,
CONDIÇÃO DE INSCRIÇÃO DE UM
QUADRILÁTERO
1) (COC – 8º ano – Grupo 11) Um quadrado pode
ser inscrito em uma circunferência?
2) (COC – 8º ano – Grupo 11) Determine a
medida do ângulo α no quadrilátero inscrito a
seguir.
3) (O Baricentro da Mente) Determine o valor
desconhecido em cada figura:
4)(O Baricentro da Mente) Determine os valores
desconhecidos:
5) (Fundamentos de Matemática Elementar – v. 9)
Determine o valor de x em cada figura:

103
6) (Fundamentos de Matemática Elementar – v. 9) O
arco CD da figura mede 105º. Determine o valor de x:
Determine o valor de x na figura:
Na figura, o arco BEC mede 60º e o segmento OB é
perpendicular a AC. Determine a medida do arco AFB
e a medida do ângulo ADC.
9)(Khan Academy) O quadrilátero WILD está inscrito
na circunferência. WI é um diâmetro da circunferência.
Quanto mede ∠D?
10)(Portal da Matemática - IMPA) Determine o valor
de x no quadrilátero abaixo.
11)(Portal da Matemática - IMPA) Determine os
valores de x e y no quadrilátero inscritível abaixo.
12) (Portal da Matemática - IMPA) Determine o valor
de x na figura:
16) (COC – 8º ano – Grupo 11) Dê exemplo de
um losango que não seja inscritível. Para isso,
escreva quais são as medidas de seus ângulos
internos.
Resposta: Como os ângulo opostos de um losango são
congruentes, só é possível que ele seja inscritível se esses ângulos
opostos x sejam tais que x+x=180º, ou seja x=90º. Como é losango
(todos lados iguais), o único losango que pode ser inscrito num círculo
é o quadrado.
17) (COC – 8º ano – Grupo 11) Determine as
medidas dos ângulos assinalados no quadrilátero
inscrito a seguir.
18) (COC – 8º ano – Grupo 11) Determine o valor
de α em cada figura a seguir que mostra um
quadrilátero inscrito.

104
19) (COC – 8º ano – Grupo 11) Considere um
quadrilátero inscritível ABCD. Determine a medida
de α em cada item a seguir que mostra dois
ângulos opostos.
a)
b)
Resolução:
a) ∝ +18 𝑜
+ 4 ∝ −3 𝑜
= 180 𝑜
∝ +4 ∝= 180 𝑜
− 18 𝑜
+ 3 𝑜
5 ∝= 165 𝑜
∝=
165 𝑜
5
= 33 𝑜
b)
2∝+1 𝑜
3
+∝ −7 𝑜
= 180 𝑜
2 ∝ +1 𝑜
3
+
3 ∝
3
−
21 𝑜
3
=
540 𝑜
3
2 ∝ +1 𝑜
+ 3 ∝ −21 𝑜
= 540 𝑜
2 ∝ +3 ∝= 540 𝑜
− 1 𝑜
+ 21 𝑜
5 ∝= 560 𝑜
∝=
560 𝑜
5
= 112 𝑜
Circunscritos – Quadriláteros
Circunscritos – Teorema de Pitot
QUADRO
Teorema de Pitot
AB + CD = CB + DA
Propriedade dos quadriláteros circunscritos
(Teorema de Pitot): Se um quadrilátero é
circunscrito a uma circunferência, a soma de
dois lados opostos é igual a soma dos outros
dois lados.
O teorema de Pitot, que leva o nome do engenheiro francês Henri
Pitot, afirma que em um quadrilátero convexo circunscritível (i.e.
um em que um círculo pode ser inscrito) o resultado da soma dos
comprimentos dos lados opostos é o mesmo. O teorema é uma
consequência do fato de que dois segmentos de reta tangentes de
um ponto fora do círculo para o círculo tem comprimentos iguais.
A recíproca é verdadeira (se o resultado da soma dos
comprimentos dos lados opostos de um quadrilátero convexo é o
mesmo, então esse quadrilátero é circunscritível), como
demonstrado por Jakob Steiner em 1846.
Fonte: Wikipédia
Resumindo:
1) Prove usando a 5ª Relação Métrica da
Circunferência, a validade do Teorema de Pitot.
2) (Portal da Matemática - IMPA) Determine o valor de
x no quadrilátero da figura
3) (Portal da Matemática - IMPA) Os lados do
quadrilatero circunscrito da figura medem AB = x + 3,
BC = 4x, CD = 2x e DA = x + 1. Determine o valor de x
4) (COC – 8º ano – Grupo 11) Nas figuras a seguir, o
quadrilátero está circunscrito a uma circunferência.
Com isso, determine o valor de x.

105
5) (COC – 8º ano – Grupo 11) Qual é a condição
necessária e suficiente para que um quadrilátero esteja
circunscrito a uma circunferência?
Resposta: É necessário e suficiente que a soma das medidas de
dois lados opostos seja igual à soma das medidas dos outros dois
lados. Neste caso, cada um dos lados do quadrilátero será tangente
à circunferência.
(Você sabe o que é uma condição necessária e o que é uma condição
suficiente? Pesquise!)
6) (COC – 8º ano – Grupo 11) Podemos afirmar que
qualquer quadrilátero é circunscritível a uma
circunferência? Explique e dê exemplos por meio de
desenho.
Resposta: Não, nem todo quadrilátero é circunscritível a uma
circunferência, somente aqueles em que a soma das medidas de dois
lados opostos é igual à soma das medidas
dos outros dois lados. Como exemplo, temos
o retângulo a seguir que não está circunscrito
a uma circunferência (nem todos os lados
são tangentes à circunferência).
7) (COC – 8º ano – Grupo 11) No quadrado ABCD a
seguir, E é o ponto de tangência de um dos lados com
a circunferência inscrita de centro O. Mostre que E é o
ponto médio do lado do quadrado.
Resolução: Sendo E o ponto de tangência, temos que o raio OE
será perpendicular ao segmento EA. Da mesma forma, o segmento
OF (raio da circunferência) será perpendicular ao segmento AF.
Logo, teremos um retângulo AFOE em que a base (EO) e a altura
(OF) são iguais (raios), ou seja, o retângulo AFOE é um quadrado em
que AE = r. Como AD = 2r, temos que E é o ponto médio de AD.
8) (COC – 8º ano – Grupo 11) Determine o valor
numérico que representa o perímetro do quadrilátero
circunscritível a seguir:
Resposta: 2x – 7 + 20 = x + 10 + 23
2x + 13 = x + 33
2x – x = 33 – 13 x = 20 cm
Assim, os lados medem: 20 cm,
23 cm
x + 10 ⇒ 20 + 10 = 30 cm
2x – 7 ⇒ 2·20 – 7 = 40 – 7 = 33 cm
Perímetro = 20 + 23 + 30 + 33 = 106 cm
9) (COC – 8º ano – Grupo 11) A figura abaixo
representa um jardim em formato de trapézio isósceles.
Na região interna delimitada pela circunferência inscrita
nesse trapézio, serão plantadas flores e a região
restante do jardim será coberta por grama. Sabendo
que as bases maior e menor medem, respectivamente,
30 cm e 20 cm, o perímetro do jardim é:
a. 50 cm b. 80 cm c. 90 cm d. 100 cm e. 110 cm
Resposta: A soma dos dois lados opostos é 50 cm (20 + 30).
Assim, como o quadrilátero é circunscritível, a soma dos outros dois
lados também será 50 cm. Logo, o perímetro será de 100 cm (50 +
50).
10) (COC – 8º ano – Grupo 11) Não são todos os
quadriláteros que podem ser inscritos em uma
circunferência. Para que isso ocorra, qual deve ser a
condição necessária e suficiente?
Resposta: Para que um quadrilátero seja inscritível, é necessário
e suficiente que dois de seus ângulos internos opostos sejam
suplementares.
Determine o perímetro do quadrilátero ABCD,
circunscritível, da figura:
ABCD é um quadrilátero circunscritível cujos lados
medem AD=12cm, DC=9cm, BC=x+7 e AB=2x+1.
Determine o perímetro desse quadrilátero.
Calcule o valor do raio r do círculo inscrito no trapézio
retângulo.

106
As medidas do quadrilátero ABCD são AB=BC=10 m,
CD=16 m e AD= 6 m. Determine BD.
Quadriláteros Inscritos – Teorema de
Ptolomeu
QUADRO
Teorema: Num quadrilátero qualquer inscrito
numa circunferência, a soma dos produtos dos
lados opostos é igual ao produto das diagonais.
Ou seja:
Se A, B, C e D são quatro pontos sobre uma
circunferência (vértices de um quadrilátero
inscrito numa circunferência), então
Sabemos de grandes matemáticos do passado e de suas variadas
contribuições para os campos da álgebra, trigonometria,
geometria e demais áreas da matemática, como Pitágoras,
Arquimedes, Pascal, Heron de Alexandria e outros. Claudius
Ptolomeu também foi um desses grandes matemáticos, além de
astrônomo e geógrafo. Ptolomeu nasceu por volta do ano de 85
no Egito e morreu, aproximadamente, no ano de 165 em
Alexandria, também no Egito. Foi Ptolomeu quem propôs a teoria
do geocentrismo, que perdurou por cerca de 1400 anos.
Além de suas contribuições na astronomia e na geografia,
Ptolomeu influenciou a matemática (em particular, a trigonometria)
propondo um teorema que leva seu nome: Teorema de Ptolomeu.
Vejamos o que diz esse teorema.
Considere um quadrilátero ABCD inscrito em uma circunferência,
como mostra a figura. O teorema de Ptolomeu diz que: o produto
das diagonais AC e BD é igual à soma dos produtos dos lados
opostos.
Ou seja:
AC∙BD = AB∙CD + AD∙BC
Esse teorema é muito útil no estudo da trigonometria, pois, através
dele, podemos obter o teorema de Pitágoras e, se combinado com
a Lei dos Senos, conseguimos demonstrar as fórmulas de sen (a
+ b) e sen (a – b).
Vejamos um exemplo de aplicação do teorema de Ptolomeu.
Exemplo: Considere o quadrilátero ABCD inscrito numa
circunferência, como mostra a figura.
Sabendo que a diagonal AC mede 12 cm, determine a medida da
diagonal BD.
Solução: Pelo teorema de Ptolomeu, temos que: AC∙BD = AB∙CD
+ AD∙BC
Segue que:
Por Marcelo Rigonatto Especialista em Estatística e Modelagem
Matemática
Resumidamente:
TEOREMA DE PTOLOMEU
𝒂𝒄 + 𝒃𝒅 = 𝒎𝒏
1)(Portal da Matemática) Determine o produto
das diagonais do quadrilátero inscritível a seguir:
2)(Portal da Matemática) Determine a medida
das diagonais de um trapezio isósceles cujas
bases medem 12 cm e 8 cm e os lados não
paralelos medem 10 cm.

107
3)(Portal da Matemática) Use o Teorema de
Ptolomeu para determinar a medida das diagonais
de um quadrado de lado ℓ.
4)(Portal da Matemática) Seja um triangulo
equilátero ABC. Sobre o menor arco BC da
circunferência circunscrita ao triângulo, marca-se
o ponto P. Se PB = 8 e PC = 4, determine PA.
5)(Portal da Matemática) Na figura, temos um
losango ABCD, cujas diagonais medem AC = 8 e
BD = 6. Seja a circunferência α circunscrita ao
triângulo ABC. Determine a medida x do
prolongamento da diagonal BD, ate a intersecção
deste com a circunfêrencia α no ponto E.
6)(Portal da Matemática) Considere o
quadrilátero ABCD. Sabendo que BC=8,
determine a medida da diagonal AD pela relação
de Ptolomeu.
7) (IME – 1ª fase – 2018) Seja um heptágono regular
de lado l cuja menor diagonal vale d. O valor da maior
diagonal satisfaz à qual das expressões?
Quadriláteros Inscritos – Relação de
Hiparco
QUADRO
RELAÇÃO DE HIPARCO
𝒎
𝒏
=
𝒂𝒃 + 𝒄𝒅
𝒂𝒅 + 𝒃𝒄
1)(Portal da Matemática – IMPA) Calcule a
menor diagonal de um quadrilátero inscritível
ABCD, cujos lados AB, BC, CD e DA medem
respectivamente 1, 2, 2 e 3.
QUADRO
Há outros teoremas importantes, relacionados, mas
que não envolvem polígonos inscritos ou
circunscritos:
Para Triângulos:
➢ Teorema de Stwart
➢ Teorema de Menelaus
➢ Teorema de Ceva
Para Quadriláteros
➢ Mediana de Euler e Relação de Euler para
Quadriláteros
➢ Teorema de Arquimedes para Quadriláteros
➢ > Teorema de Marlen
Regulares Circunscritos
QUADRO
RELAÇÕES NOS POLÍGONOS REGULARES
CIRCUNSCRITOS
DEDUÇÃO DAS FÓRMULAS
Veja em:
http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/bitstrea
m/handle/mec/21665/saibamais.html

108
FÓRMULAS DO LADO E APÓTEMA
FÓRMULA DO APÓTEMA
FÓRMULAS DO LADO
Triângulo Equilátero Circunscrito
𝓵 = 𝟐√𝑹 𝟐 − 𝒓 𝟐
Quadrado Circunscrito
𝓵 = 𝟐𝒓
Hexágono Regular Inscrito
𝓵 = 𝟐√𝑹 𝟐 − 𝒓 𝟐
1) (Prof. Elizeu) Determine o raio da
circunferência circunscrita nos casos:
a) Triângulo equilátero de lado 3.
b) Quadrado de lado 2.
c) Hexágono regular de lado 6.
2) Deduza fórmulas relacionando apótema e raio
da circunferência circunscrita.
2) (Pessoal Educacional) Resolva os problemas
a seguir:
a) Num quadrado de lado 10 cm está circunscrita
uma circunferência. Determine o raio e o
comprimento desta circunferência.
b) O lado de um quadrado inscrito numa
circunferência mede 12 √2 cm. Calcular o lado do
quadrado circunscrito ao mesmo círculo.
c) O perímetro de um quadrado inscrito mede
32√2 cm. Calcular a medida do raio do círculo
circunscrito a este quadrado.
d)Achar o lado do hexágono regular, inscrito num
círculo, onde a diagonal do quadrado circunscrito
mede 8 cm.
e)Num círculo estão inscritos um hexágono
regular e um triângulo equilátero. A soma do
quadrado do número que representa a medida do
apótema do hexágono com o número que
representa o apótema do triângulo vale 310.
Calcular o lado do hexágono e o do triângulo.
f) Em um mesmo círculo está inscrito, um
triângulo equilátero, um quadrado e um hexágono
regular. Calcule o raio do círculo, sabendo-se que
L3 + L4 + L6 (lados respectivamente do triângulo,
quadrado e hexágono) mede 33,12 cm.
Curiosidades
QUADRO
CURIOSIDADES
LOGOTIPOS QUE LEMBRAM POLÍGONOS
REGULARES INSCRITOS OU
CIRCUNSCRITOS
Texaco

109
Black Decker
Rede Globo
https://descomplica.com.br/blog/matematica/5-logotipos-de-
marcas-famosas-que-vao-fazer-voce-entender-os-poligonos-
inscritos-e-circunscritos/
HEPTÁGONOS REGULARES INSCRITOS EM
MOEDAS
50 cents
(Austrália)
1 dollar de
Barbados
Ilhas
Malvinas
Moedas de Botusuana
Veja mais em:
http://www.worldofcoins.eu/forum/index.php?to
pic=9903.0
RELEMBRE ÂNGULOS NOS POLÍGONOS
Um ponto interno de um triângulo equilátero dista 5 cm,
7 cm e 8 cm dos vértices do triângulo. Determine o lado
desse triângulo.
EXERCÍCIOS GLOBAIS
1)(Portal da Matemática – IMPA) Na figura, temos o
triângulo ABC equilátero. Lembrando que o incentro,
centro da circunferência inscrita, é o encontro das
bissetrizes dos ângulos internos de um triângulo,
responda:
a) Se raio da circunferência inscrita (inraio) vale 6 cm,
qual o valor da medida do lado desse triangulo?
b) Se raio da circunferência inscrita (inraio) vale r, qual
o valor da medida do lado do triângulo em função de r?

110
2)(Portal da Matemática – IMPA) Observando o
triangulo equilátero ABC da figura abaixo, determine a
medida do seu lado em função do seu circunraio CM.
3)(Portal da Matemática – IMPA) Prove que, num
triangulo equilátero, o raio R da circunferência
circunscrita é o dobro do raio r da circunferência
inscrita.
4)(Portal da Matemática – IMPA) Calcule a medida do
lado de um quadrado:
a) inscrito em uma circunferência de raio 20 cm.
b) inscrito em uma circunferência de raio R cm.
c) inscrito em uma circunferência de raio r cm.
5) (Portal da Matemática – IMPA) No hexágono
inscrito da figura determine:
a) a medida do lado para o circunraio igual 2 cm.
b) a medida do lado em função do circunraio igual a R.
6)(Portal da Matemática – IMPA) No hexágono inscrito
da figura 11, determine a medida do lado para o inraio
igual a 3 cm.
7)(Portal da Matemática – IMPA)A partir do meio-dia,
Joao faz, a cada 80 minutos, uma marca na posição do
ponteiro das horas do seu relógio.
a) Depois de quanto tempo não será mais necessário
fazer novas marcas no relógio?
b) Qual a soma dos ângulos internos do polígono
formado pelas marcas?
8)(Portal da Matemática – IMPA) Calcule o lado de um
triangulo equilátero inscrito em um círculo, sabendo que
o lado do hexágono inscrito nesse círculo mede 5√3 cm.
9)(Portal da Matemática – IMPA) É dado um
quadrado ABCD de lado a. Determine o raio da
circunferência que contém os vértices A e B e é
tangente ao lado CD.
10) (Portal da Matemática – IMPA) Determine o raio
da circunferência circunscrita ao triangulo cujos lados
medem 6 cm, 6 cm e 4 cm.
11)(Portal da Matemática – IMPA) Na figura, ABC é
um triângulo equilátero e CD é tanto uma altura do
triângulo quanto um diâmetro do círculo. Se AB = 10cm,
determine a área sombreada.
14) (Portal da Matemática – IMPA) Os vértices A1,
A2, . . . , An pertencem a um polígono regular convexo
de n lados que está inscrito em uma circunferência. Se
o vértice A15 é diametralmente oposto ao vértice A46,
qual o valor de n?

111
TESTES
1) Na figura, há três quadrados. A área do quadrado ① mede 16 cm²
e a área do quadrado② mede 25 cm². A área do terceiro quadrado
é:
a) 36 cm² b) 40 cm² c) 64 cm² d) 81 cm²
2) (PUC-SP) A área do quadrado sombreado é:
a) 36 b) 40 c) 48 d) 50
3) (PUC-RJ) Para pintar uma parede quadrada, gastam-se duas latas
de tinta. Quantas latas iguais seriam gastas para pintar outra parede,
também quadrada, com o dobro da largura da primeira?
a) 4 b) 6 c) 8 d) 10
4) O perímetro de um hexágono regular inscrito em uma
circunferência com 14 cm de diâmetro é:
a) 36 cm b) 42 cm c) 48 cm d) 54 cm
5) Em uma circunferência está inscrito um triângulo equilátero cujo
apótema mede 3 cm. A medida do diâmetro dessa circunferência é:
a) 10 cm b) 12 cm c) 14 cm d) 16 cm
6) (SARESP-SP) Um cão se encontra preso num cercado de madeira,
cuja forma é quadrada. Sua corrente, que mede 2,5 m, está fixada no
centro do quadrado. Se o cão fizer um movimento circular, com a
corrente esticada, tocará no máximo em quatro pontos do cercado. O
lado desse quadrado mede:
a) 2,5 m b) 5 m c) 7,5 m d) 5,75 m
7) O perímetro de um triângulo equilátero é igual a 12 metros. A altura
desse triângulo mede:
a) 2 m b) √3 m c) 2√3 m d) 4√3 m
8) (SARESP-SP) Tenho um pedaço de papel de seda de forma
circular cujo raio mede 20 cm. Quero fazer uma pipa quadrada, do
maior tamanho possível, com esse pedaço de papel de seda. O lado
desse quadrado terá:
a) 14 cm b) 28 cm c) 35 cm d) 56 cm
9) (UFPA) O raio de uma circunferência onde se inscreve um triângulo
equilátero de 3 cm de lado é:
a) 1 b) √3 c)
√3
2
d)
√3
4
10) (SEE-SP) A área de um quadrado inscrito num círculo de raio r é:
a) r² b) 2r² c) 3r² d) 4r²
11) (SARESP-SP) Considere um quadrado com 3 cm de lado, inscrito
em um círculo, como mostra a figura. O raio do círculo mede:
a) 3√2cm b)
2
3
√3 cm c) 9 cm d)
3
2
√2 cm
12) (SARESP-SP) O apótema e o lado de um hexágono regular
inscrito numa circunferência de raio igual a 4√3 cm, são,
respectivamente:
a) 4 cm, 4√3 cm b) 6 cm, 6 cm
c) 4√3cm, 4 cm d) 6 cm, 4√3cm
12) (ACAFE-SP) A figura a seguir descreve de que forma uma pessoa
se desloca, caminhando. Partindo de A, ela avança sempre da
mesma maneira, caminhando 140 m e girando 45º para a esquerda.
Depois de algum tempo, essa pessoa retorna ao ponto A, fechando
a trajetória. Se, em média, ele dá 12 passos a cada 10 m, o número
de passos que ela deu em toda a trajetória foi:
a) 1120 b) 1200 c) 1344 d) 1400

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ALFABETO GREGO

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