1) O documento descreve conceitos básicos sobre matrizes, incluindo sua definição como tabelas numéricas dispostas em linhas e colunas e seus usos em diversas áreas. 2) São apresentados tipos de matrizes de acordo com sua forma, natureza dos elementos e outras propriedades. 3) Operações com matrizes como soma, produto por escalar e multiplicação são explicadas.

1. Matrizes Conceitos Básicos
São tabelas numéricas dispostas em filas horizontais
e em filas verticais. As filas horizontais são
chamadas de linhas e as filas verticais de colunas.
Sanches(in)forma: As matrizes são tabelas utilizadas
em todos os ramos da ciência, na engenharia, na
computação e etc.
53
87410
02452
10221
x
A










=
33
016
405
213
x
B










−
−
=
22
10
01
x
C =

2. Matrizes Conceitos Básicos
Matriz de ordem p por q de elementos mij,
onde i = nº de linhas e j = nº de colunas
M=
m11 m12 m13
m21 m22 m23
m1q...
... m2q
m31 m32 m33 m3q...
...
...
...
...
...
mp1 mp2 mp3 mpq...
Forma Literal de uma Matriz
As matrizes são representadas por letras maiúsculas e
seus elementos, pela mesma letra minúsculas, acompanhadas
de dois índices que representam a posição do elemento na
matriz.
Ex.: Seja a matriz M = (mij)pxq.

3. Matrizes Conceitos Básicos
Tipos de Matrizes
As matrizes podem ser classificadas segundo:
A natureza dos elementos
A forma

4. Matrizes Conceitos Básicos
Amxn = [aij]mxnSegundo a forma em:
Rectangular
Quadrada
Coluna
Linha
Se o número de linhas é diferente do número de colunas
Se o número de linhas é igual do número de colunas
Se o número de colunas é igual a um
Se o número de linhas é igual a um
53×










05442
12520
43201
33×










231
310
201
13×










1
0
1
[ ] 31×221
Uma matriz quadrada do tipo m por m diz-se de ordem m

5. Matrizes Conceitos Básicos
Amxn = [aij]mxnSegundo a natureza dos elementos em:
Real
Complexa
Nula
se todos os seus elementos são reais
ℜ∈∈∀ ijij aAa :
se pelo menos um dos seus elementos é complexo
CaAa ijij ∈∈∃ :
se todos os seus elementos são nulos
0: =∈∀ ijij aAa






100
251






10
251
i






000
000

6. Matrizes Conceitos Básicos
Amxn = [aij]mxnSegundo a natureza dos elementos em:
Triangular Superior
Triangular Inferior
0: =>∈∀ ijij ajiAa
uma matriz quadrada em que os elementos abaixo
da diagonal principal são nulos
uma matriz quadrada em que os elementos acima
da diagonal principal são nulos
0: =<∈∀ ijij ajiAa












5000
6200
0300
7211












5103
0220
0025
0001

7. Matrizes Conceitos Básicos
Amxn = [aij]mxnSegundo a natureza dos elementos em:
Diagonal
Escalar
0: =≠∈∀ ijij ajiAauma matriz quadrada em que os
elementos não principais são nulos












5000
0200
0040
0001
uma matriz diagonal em que os
elementos principais são iguais
λ==
=≠∈∀
ij
ijij
aji
ajiAa 0:












2000
0200
0020
0002

8. Matrizes Operações com Matrizes
Transposição de Matrizes ou Matriz Transposta
Seja A uma matriz de tipo mxn.
Denomina-se transposta de A a uma matriz B do tipo nxm tal que:
e escreve-se B=AT
53
05442
12520
43201
×










=A
35014
523
452
420
201
×
















=T
A
jiji ab = ( )mjni ,....;,..., 11 ==

9. Matrizes Conceitos Básicos
Amxn = [aij]mxnSegundo a natureza dos elementos em:
Simétrica
Densa
Dispersa












5740
7232
4301
0211
se os elementos aij são iguais aos aji
se a maioria dos seus elementos são não nulos
se a maioria dos seus elementos são nulos
Anti-Simétrica se a sua transposta for igual a sua oposta.










−
−
−
=
053
502
320
A










−
−
−
=
053
502
320
T
A










−
−
−
=−
053
502
320
A

10. 









=+=
645
046
633
BAc
Matrizes
Soma de Matrizes
Sejam A e B duas matrizes do mesmo tipo denomina-se soma de










=
342
015
321
A










=
303
031
312
B
3 3 6
6 4 0
5 4 6
A com B a uma matriz C do mesmo tipo que se obtêm somando os
elementos da matriz A com os elementos da matriz B da mesma posição.
njmibac
BACMCMBA
ijijij
nmnm
,,1,,1;
:,
 =∧=+=
+=∈∃∈∀ ××
Operações com Matrizes

11. Matrizes
ABBAMBA nm +=+∈∀ ×,
Operações com Matrizes
goza das seguintes propriedades:
Comutativa
Associativa
Elemento neutro
Elemento oposto ou simétrico
A soma de matrizes do mesmo tipo
)()(,, CBACBAMCBA nm ++=++∈∀ ×
AOAMOMA nmnm =+∈∃∈∀ ×× :
OBAMBMA nmnm =+∈∃∈∀ ×× :

12. Matrizes Operações com Matrizes
goza das seguintes propriedades:
Comutativa
Associativa
Tem elemento neutro
Todos os elementos têm opostos
A soma de matrizes do mesmo tipo
Assim o conjunto M mxn forma um
Grupo Aditivo Comutativo

13. Matrizes
Produto por um escalar
Sejam A uma matriz e λ um escalar
O produto de λ por A é uma matriz C










=
342
015
321
A










=
9126
0315
963
3 A
que se obtêm de A multiplicando todos os seus elementos por λ
njmiac
ACMAMA
ijij
nmnm
,,1,,1;
:
 =∧==
=∈∈∀ ××
λ
λλ
Operações com Matrizes
do mesmo tipo de A

14. Matrizes
( ) ( )AA µλµλ =
Operações com Matrizes
e os escalares λ e µ as seguintes propriedades são válidas:
Dadas as matrizes A e B do mesmo tipo
AAA µλµλ +=+ )(
( ) BABA λλλ +=+
AA=1

15. Matrizes
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a1n...
... a2n
a31 a32 a33 a3n...
...
...
...
...
...
am1 am2 am3 amn...
mxn
A matriz resultante é formada pelo produto escalar interno
de cada linha da 1ª matriz, por todas as colunas da 2ª matriz.
Multiplicação de Matrizes
Para multiplicarmos duas matrizes é necessário que o número
de colunas da primeira matriz seja igual ao número de linhas da
segunda matriz.
=
b1
b2
b3
...
bm
x1
x2
x3
...
xq
Operações com Matrizes
pxq mxq

16. Matrizes
1 2 3
2 5 3
2
1 2 3
2 5 3
1 0 2
=
x3
3x3
=
2x3
Operações com Matrizes

17. Matrizes
1 2 3
2 5 3
2
1 2 3
2 5 3
1 0 2
=
x3
3x3
8
2x3
Operações com Matrizes

18. Matrizes
1 2 3
2 5 3
2
1 2 3
2 5 3
1 0 2
=
x3
3x3
8
2x3
12
Operações com Matrizes

19. Matrizes
1 2 3
2 5 3
2
1 2 3
2 5 3
1 0 2
=
x3
3x3
8
2x3
12 15
Operações com Matrizes

20. Matrizes
1 2 3
2 5 3
2
1 2 3
2 5 3
1 0 2
=
x3
3x3
8
2x3
12 15
Operações com Matrizes

21. Matrizes
1 2 3
2 5 3
2
1 2 3
2 5 3
1 0 2
=
x3
3x3
8
2x3
12 15
15
Operações com Matrizes

22. Matrizes
1 2 3
2 5 3
2
1 2 3
2 5 3
1 0 2
=
x3
3x3
8
2x3
12 15
15 29
Operações com Matrizes

23. Matrizes
1 2 3
2 5 3
2
1 2 3
2 5 3
1 0 2
=
x3
3x3
8
2x3
12 15
15 29 27
Operações com Matrizes

24. Matrizes Operações com Matrizes
Produto de Matrizes
Seja A uma matriz de tipo mxn e B uma matriz do tipo
O produto de A por B é uma matriz C do tipo
cujos elementos são dados por:
mxp
∑
=
=
n
k
jkkiji bac
1
e escreve-se C=AB.
nxp.
O produto de matrizes não é comutativo

25. Matrizes
( ) ( )CBACBA =
Operações com Matrizes
Então, se todos os produtos a seguir indicados forem definidos,
as seguintes propriedades são válidas:
Dadas as matrizes A, B e C, e α um escalar.
CBCACBA +=+ )(
( ) CABACBA +=+
( ) ( ) ( )BABABA ααα ==

26. Matrizes
( ) AA
TT
=
Operações com Matrizes
Então, se todos as operações a seguir indicados forem definidas,
as seguintes propriedades são válidas:
Dadas as matrizes A e B e α um escalar.
TTT
BABA +=+ )(
( ) ( )TT
AA αα =
( ) TTT
ABBA =