Este documento descreve operadores diagonalizáveis em álgebra linear. Os principais pontos são: 1) Operadores diagonalizáveis possuem uma base de auto-vetores, onde a matriz do operador nessa base é uma matriz diagonal com os auto-valores na diagonal principal. 2) Para um operador ser diagonalizável, deve ter tantos auto-vetores lineamente independentes quanto a dimensão do espaço vetorial. 3) A diagonalização simplifica o estudo de operadores, transformando sua matriz na forma mais simples de uma matriz diagonal.

1. 66
ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
CAPÍTULO 9
OPERADORES DIAGONALIZÁVEIS
No capítulo 8, vimos que é possível determinar a matriz de uma transformação linear ou
de um operador linear em relação a qualquer base dos espaços onde elas estão definidas. O objetivo
deste capítulo é: dado um operador linear VV:T → , determinar uma base de V, em relação a
qual, a matriz de T seja a mais simples possível. Na verdade esta matriz será uma matriz diagonal.
1 AUTO-VALORES E AUTO-VETORES
Definição: Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K (complexos ou reais). Seja VV:T → um
operador linear. Um vetor Vv∈ , 0v ≠ , é um auto-vetor de T, se existir um escalar
K∈λ tal que v)v(T λ= . Neste caso, λ é chamado de auto-valor de T associado ao
auto-vetor v.
OBS: São sinônimos: auto-valor, valor próprio ou valor característico.
São sinônimos: auto-vetor, vetor próprio ou vetor característico.
Proposição (1): Seja VV:T → um operador linear. O auto-valor λ é univocamente determinado
pelo auto-vetor v de T.
OBS: A proposição (1) nos diz que cada auto-vetor está associado a apenas um auto-valor. Mas
cada auto-valor pode gerar até infinitos auto-vetores, com veremos a seguir.
Seja VV:T → um operador linear. Seja λ um auto-valor. Note que, o conjunto
}v)v(T/v{ λ= é um subespaço vetorial de V, pois: v)v(T λ= ⇒ 0v)v(T =λ− ⇒
0)v(Id)v(T =λ− ⇒ 0)v)(IdT( =λ− ⇒ )IdT(Kerv λ−∈ . O que acabamos de demostrar é que
}v)v(T/Vv{)IdT(Ker λ=∈∀=λ− .
Definição: Seja VV:T → um operador linear. O subespaço }v)v(T/Vv{)IdT(Ker λ=∈∀=λ− é
chamado de subespaço próprio e será denotado por V(λλλλ).

2. 67
Exemplo (1): Seja 22
:T ℜ→ℜ o operador linear dado por )x,y()y,x(T = , que é a reflexão em
torno da bissetriz do 1º e 3º quadrantes. Determine os subespaços próprios, se
existirem.
Solução: Vamos verificar se existem auto-valores. Sejam 2
)y,x(v ℜ∈= , 0v ≠ e ℜ∈λ tal que
v)v(T λ= . Então )y,x()y,x(T λ= ⇒ )y,x()x,y( λ= ⇒



λ=
λ=
yx
xy
⇒ 1±=λ . Logo,
existem auto-valores 1±=λ . Determinando os auto-vetores associados a cada auto-valor,
teremos:
Para 11 =λ ⇒



⋅=
⋅=
y1x
x1y
, ou seja, 11 =λ gera todo vetor da forma )x,x(v1 = . Mais
precisamente, 11 =λ gera o subespaço próprio }xy/)y,x{()1(V 2
=ℜ∈= que a reta
bissetriz do 1º e 3º quadrantes, onde 11 v)v(T =
Para 12 −=λ ⇒



⋅−=
⋅−=
y1x
x1y
, ou seja, 12 −=λ gera todo vetor da forma )x,x(v2 −= .
Mais precisamente, 12 −=λ gera o subespaço próprio }xy/)y,x{()1(V 2
−=ℜ∈=−
que a reta bissetriz do 2º e 4º quadrantes, onde 22 v)v(T −=
V(1) V(-1)
T(v1) = v1
T(v2) = -v2
v2
T(w)
w
y
x

3. 68
Note que, w não é auto-vetor, pois não existe um escalar λ tal que w)w(T λ= .
Exemplo (2): Seja 22
:T ℜ→ℜ o operador linear dado por )x,y()y,x(T −= , que é a rotação de
90o
em torno da origem. Determine os subespaços próprios, se existirem.
Solução: Não existem escalares ℜ∈λ tais que )y,x()y,x(T λ= , ou seja, não existem auto-valores
nem auto-vetores, pois: )y,x()y,x(T λ= ⇒ )y,x()x,y( λ=− ⇒



λ=
λ=−
yx
xy
⇒
ℜ∉−±=λ⇒−=λ⇒λ−λ= 11)x(x 2
.
Exemplo (3): Seja 33
:T ℜ→ℜ o operador linear dado por )0,y,x()z,y,x(T = , que é a projeção
ortogonal sobre o plano xy. Determine os subespaços próprios, se existirem.
Solução: Seja ℜ∈λ e 0v,)z,y,x(v 3
≠ℜ∈= tal que )z,y,x()z,y,x(T λ= ⇒ )z,y,x()0,y,x( λ=
⇒





λ=
λ=
λ=
z0
yy
xx
⇒



=λ
=λ
0
1
2
1
Para 11 =λ ⇒ )0,y,x(v1 = , ou seja, }0z/)z,y,x{()1(V 3
=ℜ∈= é o subespaço
próprio gerado por 11 =λ que é o plano xy.
Para 02 =λ ⇒ )z,0,0(v2 = , ou seja, }0yx/)z,y,x{()0(V 3
==ℜ∈= é o subespaço
próprio gerado por 02 =λ que é o eixo Oz..
y
x
T(v) v

4. 69
Definição: Dada uma matriz quadrada A de ordem n, chama-se polinômio característico da matriz
A, denotado por )(PC λ , ao seguinte determinante: )IdAdet( λ− , ou seja, se














=
nn2n1n
n22221
n11211
a...aa
............
a...aa
a...aa
A , então:
λ−
λ−
λ−
=λ
nn2n1n
n22221
n11211
C
a...aa
............
a...aa
a...aa
)(P . Onde Id é o
operador linear identidade.
Proposição (2): Matrizes semelhantes tem o mesmo polinômio característico.
Exemplo (4): Mostre que as matrizes 





=
12
31
A e 







−−
−
=
2
1
2
3
2
5
2
5
B são semelhantes.
Solução: Usando a proposição (2), vamos determinar os polinômios característicos das matrizes A e
B. Então:
λ−
λ−
=λ−=λ
12
31
)IdAdet()(P AC ⇒ 52)(P 2
AC −λ−λ=λ
x V(1)
V(0)
T(v2)
v1
T(v1)
y
z
v2

5. 70
λ−−−
−λ−
=λ−=λ
2
1
2
3
2
5
2
5
BC )IdBdet()(P ⇒ 52)(P 2
BC −λ−λ=λ
Como BCAC )(P)(P λ=λ , pela proposição (2) A e B são semelhantes.
Definição: Seja V um espaço vetorial de dimensão n e VV:T → um operador linear. Chama-se
polinômio característico do operador T, cuja notação é )(PT λ , ao polinômio
característico da matriz de T em relação a qualquer base.
Exemplo (5): Seja 33
:T ℜ→ℜ o operador linear definido por )zx,yx,x()z,y,x(T ++= .
Determine o polinômio característico de T em relação a:
a) base canônica do ℜ3
.
b) )}2,1,1(),0,3,2(),1,0,1{(B −= .
Solução: a)





=
=
=
)1,0,0()1,0,0(T
)0,1,0()0,1,0(T
)1,1,1()0,0,1(T
⇒










=
101
011
001
]T[ C ⇒
λ−
λ−
λ−
=λ
101
011
001
)(PT ⇒
133)1()(P 233
T +λ−λ+λ−=λ−=λ
b)





=−
=
=
)3,0,1()2,1,1(T
)2,5,2()0,3,2(T
)2,1,1()1,0,1(T
⇒









 −−−
=
2105
252
9188
]T[ C ⇒
λ−
λ−
−−λ−−
=λ
2105
252
9188
)(PT
⇒ 133)1()(P 233
T +λ−λ+λ−=λ−=λ
Portanto, independente da base o polinômio característico de um operador linear T é
sempre o mesmo.
Proposição (3): Seja V um espaço vetorial de dimensão n e VV:T → um operador linear. As
raízes do polinômio característico do operador T são os auto-valores.
2 DIAGONALIZAÇÃO DE OPERADORES
Teorema (1): Auto-vetores associados a Auto-valores distintos são LI.
Corolário (1): Se V é um espaço vetorial de dimensão n e VV:T → é um operador linear que
admite n auto-valores distintos, então V possui uma base cujos elementos são auto-
vetores de T.

6. 71
OBS: Se VV:T → é um operador linear e }v,...,v,v{B n21= é uma base de auto-vetores de T,
então














λ
λ
λ
=
n
2
1
B
...00
............
0...0
0...0
]T[ . Onde os λi são os auto-valores, não necessariamente
distintos. Reciprocamente, se }u,...,u,u{'B 321= é uma base de V e














=
n
2
1
B
a...00
............
0...a0
0...0a
]T[ , então os ui são auto-vetores de T associados aos auto-valores ai.
Portanto, esta observação nos diz que: A matriz B]T[ de um operador linear VV:T → , em
relação a base B, é uma matriz diagonal se, e somente se, essa base B é formada por auto-
vetores de T.
Definição: Seja VV:T → um operador linear. Dizemos que T é um Operador Diagonalizável se
existir uma base de V formada por auto-vetores de T.
OBS: Quando um operador é diagonalizável, sua matriz, em relação a base B de auto-vetores, é
uma matriz diagonal, cuja diagonal principal é formada pelos auto-valores, ou seja, então














λ
λ
λ
=
n
2
1
B
...00
............
0...0
0...0
]T[ , onde os λi são os auto-valores. Na verdade, quem determina a
posição dos auto-valores na diagonal é a posição dos auto-vetores dentro da base B. A
matriz B]T[ é formada por blocos de ordem n, respectivamente igual a multiplicidade das
raízes do polinômio característico, ou seja, respectivamente igual a multiplicidade dos auto-
valores. Por exemplo: se o polinômio característico de um operador linear está na forma
fatorada 2
C )3()4()(P +λ⋅−λ=λ , isso significa que a raiz 41 =λ tem multiplicidade igual a
1, então ela aparece na diagonal um vez, formando um bloco de ordem 1; a raiz 32 −=λ
tem multiplicidade igual a 2, então ela aparece na diagonal duas vezes, formando um bloco
de ordem 2. Portanto, a matriz B]T[ pode apresentar as seguintes formas:

7. 72










−
−
300
030
004
ou










−
−
400
030
003
Exemplo (6): Verificar quais dos operadores abaixo é diagonalizável. Em caso afirmativo, exibir a
matriz de T em relação a base de auto-vetores.
a) )y3x2,y4x()y,x(T ++=
b) )z4y6x3,z2y4x,z6y6x5()z,y,x(T −−++−−−=
Solução: a) Vamos determinar os auto-valores determinando o polinômio característico de T e
calculando a suas raízes. Como o polinômio característico é o mesmo em relação a
qualquer base, vamos usar sempre a base canônica para construir a matriz de T. Então:



=
=
)3,4()1,0(T
)2,1()0,1(T
⇒ 





=
32
41
]T[ ⇒
λ−
λ−
=λ
32
41
)(PC ⇒ 54)(P 2
C −λ−λ=λ ,
cujas raízes são os auto-valores 1e5 21 −=λ=λ . Para determinar os auto-vetores
sabemos que v)v(T λ= ⇒ 0)v](IdT[ =λ− . Essa expressão podemos escrevê-la na
forma matricial. Então, seja )0,0(0e)y,x(v == .
• Para 51 =λ , temos: 





=





⋅





−
−
0
0
y
x
532
451
⇒



=−
=+
0y2x2
0y4x4
⇒ yx = . Logo,
serão gerados todos os auto-vetores do tipo )1,1(x)x,x(v == . Seja )1,1(v1 = um
representante destes auto-vetores.
• Para 12 −=λ , temos: 





=





⋅





−−
−−
0
0
y
x
)1(32
4)1(1
⇒



=+
=+
0y4x2
0y4x2
⇒ y2x −= .
Logo, serão gerados todos os auto-vetores do tipo )1,2(y)y,y2(v −=−= . Seja
)1,2(v2 −= um representante destes auto-vetores.
• Como )}1,2(),1,1{(B −= é uma base de auto-vetores do ℜ2
, então T é um operador
diagonalizável. Isso significa que a matriz de T em relação a base B de auto-
vetores é uma matriz diagonal, cuja diagonal principal é formada pelos auto-
valores, ou seja: 




−
=





−
=
50
01
]T[ou
10
05
]T[ BB . A ordem dos auto-valores
na diagonal da matriz depende da posição dos auto-vetores dentro da base B.

8. 73
b) Determinando o polinômio característico de T:





−−=
−−=
−=
)4,2,6()1,0,0(T
)6,4,6()0,1,0(T
)3,1,5()0,0,1(T
⇒










−−
−
−−
=
463
241
665
]T[ ⇒ 485
463
241
665
)(P 23
C +λ−λ+λ−=
λ−−−
λ−−
−−λ−
=λ . Então
2
C )2()1()(P −λ⋅−λ=λ . Logo, temos um auto-valor 11 =λ com multiplicidade 1 e
um auto-valor 22 =λ com multiplicidade 2.
• Para 11 =λ , temos:










=










⋅










−−
−
−−
0
0
0
z
y
x
563
231
664
⇒





=−−
=++−
=−−
0z5y6x3
0z2y3x
0z6y6x4
⇒



−=
−=
y3z
y3x
.
Logo, serão gerados todos os auto-vetores do tipo )3,1,3(y)y3,y,y3(v −−=−−= .
Seja )3,1,3(v1 −−= um representante destes auto-vetores.
• Para 22 =λ , temos:










=










⋅










−−
−
−−
0
0
0
z
y
x
663
221
663
⇒





=−−
=++−
=−−
0z6y6x3
0z2y2x
0z6y6x3
⇒
z2y2x += . Logo, serão gerados todos os auto-vetores do tipo
)1,0,2(z)0,1,2(y)z,y,z2y2(v +=+= . Sejam )0,1,2(v2 = e )1,0,2(v3 = os
representantes destes auto-vetores.
•Como )}1,0,2(),0,1,2(),3,1,3{(B −−= é uma base de auto-vetores do ℜ3
, então T é um
operador diagonalizável. Isso significa que a matriz de T em relação a base B de
auto-vetores é uma matriz diagonal, cuja diagonal principal é formada pelos auto-
valores, ou seja:










=










=
100
020
002
]T[ou
200
020
001
]T[ BB .
Exemplo (7): Mostre que o operador linear )z4y2,zy,yx2()y,x(T +−+= não é diagonalizável.
Solução: Determinando o polinômio característico de T:





−=
=
=
)4,1,0()1,0,0(T
)2,1,1()0,1,0(T
)0,0,2()0,0,1(T
⇒

9. 74










−=
420
110
012
]T[ ⇒ 12167
420
110
012
)(P 23
C +λ−λ+λ−=
λ−
−λ−
λ−
=λ . Então
2
C )2()3()(P −λ⋅−λ=λ . Logo, temos um auto-valor 31 =λ com multiplicidade 1 e
um auto-valor 22 =λ com multiplicidade 2.
•Para 31 =λ , temos:










=










⋅










−−
−
0
0
0
z
y
x
120
120
011
⇒





=+
=−−
=+−
0zy2
0zy2
0yx
⇒



−=
=
y2z
yx
. Logo,
serão gerados todos os auto-vetores do tipo )2,1,1(y)y2,y,y(v −=−= . Seja
)2,1,1(v1 −= um representante destes auto-vetores.
•Para 22 =λ , temos:










=










⋅










−−
0
0
0
z
y
x
220
110
010
⇒





=+
=−−
=
0z2y2
0zy
0y
⇒



=−=
=
0yz
0y
. Logo,
serão gerados todos os auto-vetores do tipo )0,0,1(x)0,0,x(v == . Seja )0,0,1(v2 =
o representante destes auto-vetores.
•Como )}0,0,1(),2,1,1{(B −= não é uma base de auto-vetores do ℜ3
, então T não é um
operador diagonalizável. Isso significa que T não possui uma matriz diagonal em
relação a base qualquer base do ℜ3
.
Exercícios Propostos
1) Verificar quais dos operadores lineares abaixo é diagonalizável. Em caso afirmativo, exibir a
matriz do operador em relação a base de auto-vetores.
a) )z3x2,zy2x,zx2()z,y,x(T +−++=
b) t)a7a9()a6a8()taa(T 1o1o1o −+−=+
Resp: a) É diagonalizável e ...
400
010
002
ou
200
040
001
ou
400
020
001
]T[ B






























=
b) É diagonalizável e 




−






−
=
20
01
ou
10
02
]T[ B
2) Seja )TS(M)TS(M:T 22 → , onde )TS(M2 é o espaço vetorial das matrizes triangulares
superiores, cuja base canônica é
























=
10
00
00
10
,
00
01
C . Mostre que o operador linear

10. 75






++−
=





cb3a0
b3a3
c0
ba
T é um operador diagonalizável e exibir sua matriz em relação a
base de auto-vetores.
Resp: É diagonalizável e




















=
300
030
001
ou
100
030
003
]T[ B
3) Verificar quais dos operadores lineares abaixo é diagonalizável. Em caso afirmativo, exibir a
matriz do operador em relação a base de auto-vetores.
a) )zyx,zyx,zyx()z,y,x(T −−−+++=
b) 




 +−
=
4
y3x2
,
4
yx6
)y,x(T
c) )z2,zy,x()z,y,x(T +=
d) )zy3x3,z2yx2,z3y2x()x,y,x(T ++++++=
Resp: a) É diagonalizável e ...
200
010
002
ou
200
020
001
ou
200
020
001
]T[ B










−









−










−
=
b) É diagonalizável e 











=
4
5
4
5
B
0
01
ou
10
0
]T[
c) Não é diagonalizável.
d) É diagonalizável e ...
600
010
002
ou
100
020
006
ou
200
010
006
]T[ B










−
−










−
−










−
−=