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Ciclo Trigonométrico e
Razões Trigonométricas
Conceitos
 anteriores
Círculo Trigonométrico
  O ciclo trigonométrico é representado por um
círculo que apresenta raio igual a 1 e cuja
circunferência é orientada.
                     y




                             x
Procuramos a localização de um ângulo, em
ordem crescente, no sentido anti-horário.
                      y
                          90º


             180º                0º x
                                 360º


                          270º
O que significa a
            representação de um ângulo
                     negativo?
 Significa que a localização dele deve ser
 procurada no sentido contrário (horário).
Exemplos:           y


                           30º

                                 x
                          − 30º
Determinação de quadrantes
 As retas x e y dividem o círculo trigonométrico
em 4 partes, chamadas quadrantes.


                   2º Q    1º Q


                  3º Q     4º Q




                          Os quadrantes apresentam
                           sempre a mesma posição
                           no círculo trigonométrico.
círculo    r=1
                 Propriedade   circunferência orientada
                        s



     Ciclo
Trigonométrico
Unidades de medidas de um
                     ângulo
   Grau
Exemplos: 30º, 60º, 180º



                      Radiano
                   Exemplos:
                               3π      4π     π
                                  rad,    rad, rad
                                4       5     2
Como passar de grau para
                  radiano?
           y
                       π
               90º ≅
                       2
                                         Basta fazer uma
                                          regra de três,
180º ≅ π                     360º ≅ 2π
                                  x
                                          sabendo que:
                                           180º ≅ π
                        3π
               270º ≅
                         2
Exemplo:
Passar 30º para radianos.

               π       180º
               x       30º
               180º x = 30π
                  30º π π
               x=      =
                  180º 6

                       π
           Logo, 30º ≅
                       6
Como passar de radiano para
                     grau?
 Ou fazemos uma regra de três, ou procedemos
como no exemplo abaixo:
                 3π
          Passar    rad para grau.
                  2
                     90º
          3 . 180 3 . 180
                 =        = 270º
              2       2
círculo    r=1
                 Propriedade   circunferência  orientada
                        s                       sentido
                               4 quadrantes   anti-horário

                                   grau      º
     Ciclo
                         unidade
Trigonométrico
                                   radiano       rad




                 arcos
Exercício

1) Apresente o quadrante onde estão localizados
os seguintes arcos:
                     7π
   a) 138º        b)              c) - 280º
                      5
Solução
a) 138º ⇒ 2º quadrante
   7π     7 .180
b)     ⇒         = 252º ⇒ 3º quadrante
     5       5
c) - 280º ⇒ 1º quadrante
                         y
                             90º − 280º
             138º

            180º                    0º
                                    360º x

                   7π
                    5        270º
Arcos ou Ângulos Côngruos
                          (Congruentes)
 Ângulos côngruos são ângulos que apresentam a
mesma extremidade e número de voltas diferentes.
Exemplo:
120º ≅ 480º ≅ 840º ≅ ...      60º ≅ 420º ≅ 780º ≅ ...




240º ≅ 600º ≅ 960º ≅ ...      300º ≅ 660º ≅ 1020º ≅ ...
Os ângulos côngruos que distam 60º
       do ângulo de 0º, são:


60º ≅ 420º ≅ 780º ≅ ...
                ou

    K .360º +60º
Fórmula Geral
Para medidas em graus.

             360º.K + α
Para medidas em radianos.

              2π .K + α
K  número de voltas
α  menor determinação positiva
círculo    r=1
                 Propriedade   circunferência  orientada
                        s                       sentido
                               4 quadrantes   anti-horário

                                      grau      º
     Ciclo
                         unidade
Trigonométrico
                                      radiano       rad
                                                            mesma
                                                          extremidade
                                         definição
                                                             número de
                        congruência                       voltas diferentes
                                             fórmula        2π .K + α
                                               geral        360º.K + α
Menor Determinação
                       Positiva
  Menor determinação positiva é o ângulo que
apresenta o menor módulo em um conjunto de
arcos côngruos.

Exemplo:
           60º ≅ 420º ≅ 780º ≅ ...

       A menor determinação positiva é 60º.
Para calcular a MDP de um
                 ângulo, basta
dividir esse ângulo por 360º. O resto dessa
divisão é a MDP.
               1117 360
 Exemplo:      37     3


            A MDP de 1117º é 37º.
     Logo, a fórmula geral desses arcos é
              360º K + 37º
Menor determinação
                  negativa
        MDN = MDP – 360º

Exemplo:

Menor determinação negativa de 1117º
MDP = 37º
         MDN = 37º - 360º = -323º
Exercício

2) Apresente a fórmula geral, em graus,
                     35π
dos arcos côngruos a     :
                      5
Solução

      35π 35 . 180
         =         = 1260º
       5     5

1260 360
            ⇒      360º.K + 180º
 180 3
Lembrando:
Seno de um arco
                 sen




       cateto oposto Mx'
sena =              =    = Mx' = Oy '
        hipotenusa    1
Dependendo do quadrante, o
         sinal do seno
pode ser positivo ou negativo.
Exemplo 1: 30º , 150º , 210º , 330º
                         sen


             1                                    1
  sen 150º =     150º            30º
                                        sen 30º =
             2                                    2

             1                                       1
sen 210º = −     210º            330º   sen 330º = −
             2                                       2
Exemplo 2: 45º , 135º , 225º , 315º

                           sen
             2                                       2
 sen 135º =         135º            45º   sen 45º =
            2                                       2




              2                                         2
sen 225º = −      225º            315º    sen 315º = −
             2                                         2
Exemplo 3: 60º , 120º , 240º , 300º


                          sen
             3                                    3
  sen120º =                             sen60º =
            2      120º         60º
                                                 2




             3                                       3
sen240º = −
                   240º          300º   sen300º = −
            2                                       2
Exercício

3) (EEAR-SP) O seno de122π   é igual a:
        5π             9
a) sen
         9
        4π
b) sen
         9
         5π
c) - sen
          9
          4π
d) - sen
           9
Solução
                                   y
122π 122 .180                          90º
    =         = 2440º
  9      9
MDP 2440º = 280º         180º                0º
                                                  x
                                             360º
  2440 360
   280 6                        270º 280º

5π 5 . 180
   =       = 100º             122π         4π
 9     9            Logo, sen       = −sen
4π 4 . 180                      9           9
   =       = 80º              Letra D.
 9     9
Cosseno de um arco


                     cos




        cateto adjacente Ox'
cos a =                 =    = Ox'
          hipotenusa      1
Dependendo do quadrante, o sinal do
              cosseno
também pode ser positivo ou negativo.
Exemplo 1: 30º , 150º , 210º , 330º
                            sen


             3                                         3
cos150º = −         150º             30º    cos 30º =
            2                                         2
                                     cos

              3                                         3
cos 210º = −        210º             330º   cos 330º =
             2                                         2
Exemplo 2: 45º , 135º , 225º , 315º
                           sen
             2                                       2
cos135º = −         135º           45º    cos 45º =
            2                                       2


                                    cos



              2                                       2
cos 225º = −
                  225º           315º
                                          cos 315º =
             2                                       2
Exemplo 3: 60º , 120º , 240º , 300º

                        sen
            1                                         1
cos120º = −      120º         60º           cos 60º =
            2                                         2

                                      cos


             1                                         1
cos 240º = −     240º          300º         cos 300º =
             2                                         2
Importante saber!
           y
                       π
               90º ≅
                       2                 sen 0º = 0   sen 180º = 0
                                         cos 0º = 1   cos 180º = − 1
180º ≅ π                     360º ≅ 2π
                                  x
                                         sen 90º = 1 sen 270º = - 1
                        3π
                                         cos 90º = 0 cos 270º = 0
               270º ≅
                         2
Exercício
                                      29π
4) (Unit - SE) A soma sen 3720º + cos     é igual a :
                                       6
 a) - 2
 b) - 3
 c) 0
    3 −1
 d)
     2
    3+
 e)
    2
Solução
                                 3
3720 360 ⇒ sen 120º = sen 60º =
                                2
120    10
29π 29 . 180
   =         = 870º
 6     6
870 360                             3
        ⇒ cos 150º = - cos 30º = -
150 2                              2

                 29π    3    3
 sen 3720º + cos     =    −    = 0 ⇒ letra c
                  6    2    2
Exercício
5) (Unifor - CE) O número real m que satisfaz a sentença
 m +1
       = cos 3015º é :
 m-2
 a) 3 2 + 4
 b) 4 - 3 2
 c) 3 2 − 4
 d) 3 - 4 2
 e) 4 2 + 3
Solução
                                     2
3015 360 ⇒ cos 135º = - cos 45º = - 2
135     8
m +1        2          m=
                                  (
                          −2+2 2 2− 2
                                      =
                                       )
m−2
      =−
           2                      (
                           2+ 2 2− 2   )
2m + 2 = − m 2 + 2 2      −4+2 2 +4 2 −4
                       m=                 =
2m + m 2 = −2 + 2 2              4−2
 (      )
m 2 + 2 = −2 + 2 2
                       m=
                          6 2 −8
                                  =3 2 −4
   −2+2 2                   2
m=
    2+ 2                     Letra c.
Tangente de um arco
      sena   cateto oposto
tga =      =
      cos a cateto adjacente
                  y



          sen +       sen +
          cos -       cos +
          tg -        tg +
                              x
          sen -       sen -
          cos -       cos +
          tg +        tg -
Exercício


6) Se x não é do 1º quadrante e
tg x = 1,5 , quanto vale o cos x?
Solução
                                           y = 15 + 10
                                            2     2      2

             15                y
tg x = 1,5 =    ⇒    15                ⇒   y = 225 + 100
                                            2

             10
                          10
                                   x       y 2 = 325
                                           y = 5 13

           10
  cos x =
          5 13
           10  13 10 13 2 13
  cos x =         =      =
          5 13 13   5.13   13
Cotangente de um arco
                      1    cos a
            cotg a =     =
                     tg a sen a
Apresenta o mesmo sinal da tangente!
 Exemplo:
                                              4
  Sendo um arco x do 2º quadrante. Se tg x = − ,
               3                              3
então tg x = −
               4
Secante de um arco
                        1
              sec a =
                      cos a
     Apresenta o mesmo sinal do
 Exemplo:     cosseno!
                                               3
  Sendo um arco x do 3º quadrante. Se cos x = − ,
                5                              5
então sec x = −
              3
Cossecante de um arco
                             1
                cossec a =
                           sen a

   Apresenta o mesmo sinal do seno!
 Exemplo:
                                             4
  Sendo um arco x do 4º quadrante. Se cos x = ,
                  5                          5
então cos sec x =
                  4
círculo    r=1
                 Propriedade    circunferência orientada
                        s
                                4 quadrantes

                                       grau      º
     Ciclo
                         unidade
Trigonométrico
                                       radiano       rad
                                                             mesma
                                                           extremidade
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                                                              número de
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                                              fórmula        2π .K + α
                                                geral        360º.K + α
                                               sen
                                               co
                             Razões               s
                                               tg
                         Trigonométricas
                                               cotg
                                               se
                                                   c
                                               cossec
Exercício

              3π            60
7) Se π < α <    e cotg α = ,
               2            11
quanto vale cossec α ? E tg α ?
Solução
                   60          11
          cotg α =    ⇒ tg α =
                   11          60
             1
cossec α =
           sen α                2
                                     x = 11 + 60
                                              2    2

       11                x
                                 ⇒ x = 121 + 3600
                                      2
tg x =    ⇒    11
       60                    α       x 2 = 3721
                    60
                                     x = 61
               11            61
        sen α = ⇒ cossec α =
               61            11
Bibliografia
   Dante, Luiz Roberto – Matemática
    Contexto e Aplicações. 3ª edição – 2008.
    Editora Ática – SP. Páginas: 28 a 51.
   Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Périgo,
    Roberto; Degenszajn, David – Matemática
    (volume único). 4ª edição – 2007. Editora
    Atual – SP. Páginas: 236 a 241.
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  • 3. Círculo Trigonométrico O ciclo trigonométrico é representado por um círculo que apresenta raio igual a 1 e cuja circunferência é orientada. y x
  • 4. Procuramos a localização de um ângulo, em ordem crescente, no sentido anti-horário. y 90º 180º 0º x 360º 270º
  • 5. O que significa a representação de um ângulo negativo? Significa que a localização dele deve ser procurada no sentido contrário (horário). Exemplos: y 30º x − 30º
  • 6. Determinação de quadrantes As retas x e y dividem o círculo trigonométrico em 4 partes, chamadas quadrantes. 2º Q 1º Q 3º Q 4º Q Os quadrantes apresentam sempre a mesma posição no círculo trigonométrico.
  • 7. círculo r=1 Propriedade circunferência orientada s Ciclo Trigonométrico
  • 8. Unidades de medidas de um ângulo  Grau Exemplos: 30º, 60º, 180º  Radiano Exemplos: 3π 4π π rad, rad, rad 4 5 2
  • 9. Como passar de grau para radiano? y π 90º ≅ 2 Basta fazer uma regra de três, 180º ≅ π 360º ≅ 2π x sabendo que: 180º ≅ π 3π 270º ≅ 2
  • 10. Exemplo: Passar 30º para radianos. π 180º x 30º 180º x = 30π 30º π π x= = 180º 6 π Logo, 30º ≅ 6
  • 11. Como passar de radiano para grau? Ou fazemos uma regra de três, ou procedemos como no exemplo abaixo: 3π Passar rad para grau. 2 90º 3 . 180 3 . 180 = = 270º 2 2
  • 12. círculo r=1 Propriedade circunferência orientada s sentido 4 quadrantes anti-horário grau º Ciclo unidade Trigonométrico radiano rad arcos
  • 13. Exercício 1) Apresente o quadrante onde estão localizados os seguintes arcos: 7π a) 138º b) c) - 280º 5
  • 14. Solução a) 138º ⇒ 2º quadrante 7π 7 .180 b) ⇒ = 252º ⇒ 3º quadrante 5 5 c) - 280º ⇒ 1º quadrante y 90º − 280º 138º 180º 0º 360º x 7π 5 270º
  • 15. Arcos ou Ângulos Côngruos (Congruentes) Ângulos côngruos são ângulos que apresentam a mesma extremidade e número de voltas diferentes. Exemplo: 120º ≅ 480º ≅ 840º ≅ ... 60º ≅ 420º ≅ 780º ≅ ... 240º ≅ 600º ≅ 960º ≅ ... 300º ≅ 660º ≅ 1020º ≅ ...
  • 16. Os ângulos côngruos que distam 60º do ângulo de 0º, são: 60º ≅ 420º ≅ 780º ≅ ... ou K .360º +60º
  • 17. Fórmula Geral Para medidas em graus. 360º.K + α Para medidas em radianos. 2π .K + α K  número de voltas α  menor determinação positiva
  • 18. círculo r=1 Propriedade circunferência orientada s sentido 4 quadrantes anti-horário grau º Ciclo unidade Trigonométrico radiano rad mesma extremidade definição número de congruência voltas diferentes fórmula 2π .K + α geral 360º.K + α
  • 19. Menor Determinação Positiva Menor determinação positiva é o ângulo que apresenta o menor módulo em um conjunto de arcos côngruos. Exemplo: 60º ≅ 420º ≅ 780º ≅ ... A menor determinação positiva é 60º.
  • 20. Para calcular a MDP de um ângulo, basta dividir esse ângulo por 360º. O resto dessa divisão é a MDP. 1117 360 Exemplo: 37 3 A MDP de 1117º é 37º. Logo, a fórmula geral desses arcos é 360º K + 37º
  • 21. Menor determinação negativa MDN = MDP – 360º Exemplo: Menor determinação negativa de 1117º MDP = 37º MDN = 37º - 360º = -323º
  • 22. Exercício 2) Apresente a fórmula geral, em graus, 35π dos arcos côngruos a : 5
  • 23. Solução 35π 35 . 180 = = 1260º 5 5 1260 360 ⇒ 360º.K + 180º 180 3
  • 25. Seno de um arco sen cateto oposto Mx' sena = = = Mx' = Oy ' hipotenusa 1
  • 26. Dependendo do quadrante, o sinal do seno pode ser positivo ou negativo.
  • 27. Exemplo 1: 30º , 150º , 210º , 330º sen 1 1 sen 150º = 150º 30º sen 30º = 2 2 1 1 sen 210º = − 210º 330º sen 330º = − 2 2
  • 28. Exemplo 2: 45º , 135º , 225º , 315º sen 2 2 sen 135º = 135º 45º sen 45º = 2 2 2 2 sen 225º = − 225º 315º sen 315º = − 2 2
  • 29. Exemplo 3: 60º , 120º , 240º , 300º sen 3 3 sen120º = sen60º = 2 120º 60º 2 3 3 sen240º = − 240º 300º sen300º = − 2 2
  • 30. Exercício 3) (EEAR-SP) O seno de122π é igual a: 5π 9 a) sen 9 4π b) sen 9 5π c) - sen 9 4π d) - sen 9
  • 31. Solução y 122π 122 .180 90º = = 2440º 9 9 MDP 2440º = 280º 180º 0º x 360º 2440 360 280 6 270º 280º 5π 5 . 180 = = 100º 122π 4π 9 9 Logo, sen = −sen 4π 4 . 180 9 9 = = 80º Letra D. 9 9
  • 32. Cosseno de um arco cos cateto adjacente Ox' cos a = = = Ox' hipotenusa 1
  • 33. Dependendo do quadrante, o sinal do cosseno também pode ser positivo ou negativo.
  • 34. Exemplo 1: 30º , 150º , 210º , 330º sen 3 3 cos150º = − 150º 30º cos 30º = 2 2 cos 3 3 cos 210º = − 210º 330º cos 330º = 2 2
  • 35. Exemplo 2: 45º , 135º , 225º , 315º sen 2 2 cos135º = − 135º 45º cos 45º = 2 2 cos 2 2 cos 225º = − 225º 315º cos 315º = 2 2
  • 36. Exemplo 3: 60º , 120º , 240º , 300º sen 1 1 cos120º = − 120º 60º cos 60º = 2 2 cos 1 1 cos 240º = − 240º 300º cos 300º = 2 2
  • 37. Importante saber! y π 90º ≅ 2 sen 0º = 0 sen 180º = 0 cos 0º = 1 cos 180º = − 1 180º ≅ π 360º ≅ 2π x sen 90º = 1 sen 270º = - 1 3π cos 90º = 0 cos 270º = 0 270º ≅ 2
  • 38. Exercício 29π 4) (Unit - SE) A soma sen 3720º + cos é igual a : 6 a) - 2 b) - 3 c) 0 3 −1 d) 2 3+ e) 2
  • 39. Solução 3 3720 360 ⇒ sen 120º = sen 60º = 2 120 10 29π 29 . 180 = = 870º 6 6 870 360 3 ⇒ cos 150º = - cos 30º = - 150 2 2 29π 3 3 sen 3720º + cos = − = 0 ⇒ letra c 6 2 2
  • 40. Exercício 5) (Unifor - CE) O número real m que satisfaz a sentença m +1 = cos 3015º é : m-2 a) 3 2 + 4 b) 4 - 3 2 c) 3 2 − 4 d) 3 - 4 2 e) 4 2 + 3
  • 41. Solução 2 3015 360 ⇒ cos 135º = - cos 45º = - 2 135 8 m +1 2 m= ( −2+2 2 2− 2 = ) m−2 =− 2 ( 2+ 2 2− 2 ) 2m + 2 = − m 2 + 2 2 −4+2 2 +4 2 −4 m= = 2m + m 2 = −2 + 2 2 4−2 ( ) m 2 + 2 = −2 + 2 2 m= 6 2 −8 =3 2 −4 −2+2 2 2 m= 2+ 2 Letra c.
  • 42. Tangente de um arco sena cateto oposto tga = = cos a cateto adjacente y sen + sen + cos - cos + tg - tg + x sen - sen - cos - cos + tg + tg -
  • 43. Exercício 6) Se x não é do 1º quadrante e tg x = 1,5 , quanto vale o cos x?
  • 44. Solução y = 15 + 10 2 2 2 15 y tg x = 1,5 = ⇒ 15 ⇒ y = 225 + 100 2 10 10 x y 2 = 325 y = 5 13 10 cos x = 5 13 10 13 10 13 2 13 cos x = = = 5 13 13 5.13 13
  • 45. Cotangente de um arco 1 cos a cotg a = = tg a sen a Apresenta o mesmo sinal da tangente! Exemplo: 4 Sendo um arco x do 2º quadrante. Se tg x = − , 3 3 então tg x = − 4
  • 46. Secante de um arco 1 sec a = cos a Apresenta o mesmo sinal do Exemplo: cosseno! 3 Sendo um arco x do 3º quadrante. Se cos x = − , 5 5 então sec x = − 3
  • 47. Cossecante de um arco 1 cossec a = sen a Apresenta o mesmo sinal do seno! Exemplo: 4 Sendo um arco x do 4º quadrante. Se cos x = , 5 5 então cos sec x = 4
  • 48. círculo r=1 Propriedade circunferência orientada s 4 quadrantes grau º Ciclo unidade Trigonométrico radiano rad mesma extremidade definição número de arcos congruência voltas diferentes fórmula 2π .K + α geral 360º.K + α sen co Razões s tg Trigonométricas cotg se c cossec
  • 49. Exercício 3π 60 7) Se π < α < e cotg α = , 2 11 quanto vale cossec α ? E tg α ?
  • 50. Solução 60 11 cotg α = ⇒ tg α = 11 60 1 cossec α = sen α 2 x = 11 + 60 2 2 11 x ⇒ x = 121 + 3600 2 tg x = ⇒ 11 60 α x 2 = 3721 60 x = 61 11 61 sen α = ⇒ cossec α = 61 11
  • 51. Bibliografia  Dante, Luiz Roberto – Matemática Contexto e Aplicações. 3ª edição – 2008. Editora Ática – SP. Páginas: 28 a 51.  Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Périgo, Roberto; Degenszajn, David – Matemática (volume único). 4ª edição – 2007. Editora Atual – SP. Páginas: 236 a 241.  Imagens: google imagens