Funções de 1o e 2o grau

Função de 1º Grau – (Reta)Função de 1º Grau – (Reta)
( ) baxxf += baxy +=
x
( )xf
x
y
0>a 0<a
CrescenteCrescente DecrescenteDecrescente
30/01/15 1Professor: Osmar da Silva Pereira

x
( )xf
x
y
bb
a
b−
a
b−
Raiz daRaiz da
funçãofunção
Raiz daRaiz da
funçãofunção

Função de 1º Grau – Linear (b = 0)Função de 1º Grau – Linear (b = 0)
( ) xxf = xy −=
x
( )xf
IdentidadeIdentidade
B.Q.I.B.Q.I.
x
y
B.Q.P.B.Q.P.

x
( )xf
x
y
0=a
ConstanteConstante ConstanteConstante
( ) byxf ==
b
b
0>b
0=a
0<b

Função de 2º Grau – (Parábola)Função de 2º Grau – (Parábola)
( ) cbxaxxf ++= 2
cbxaxy ++= 2
x
( )xf 0>a 0<a
Concavidade voltadaConcavidade voltada
para cimapara cima
x
y
Concavidade voltadaConcavidade voltada
para baixopara baixo

Função de 2º Grau – (Parábola)Função de 2º Grau – (Parábola)
( ) cbxaxxf ++= 2
cbxaxy ++= 2
x
( )xf
x
y c
c
Raiz daRaiz da
funçãofunção
Raiz daRaiz da
funçãofunção
Raiz daRaiz da
funçãofunção
Raiz daRaiz da
funçãofunção

Função de 2º Grau – RaízesFunção de 2º Grau – Raízes
cbxaxy ++= 2
0=y
cbxax ++= 2
0
02
=++ cbxax
acb 42
−=∆
a
b
x
2
∆±−
=

0∆ <
0∆ =
0∆ >
não existem raízes reais
(a parábola não toca o
eixo das abscissas).
possui duas raízes reais
iguais (a parábola toca
em único ponto no eixo
das abscissas).
possui duas raízes reais
distintas ( a parábola toca
em dois pontos no eixo
das abscissas.

Função de 2º GrauFunção de 2º Grau
x x x1x 2x 21 xx = Rxex ∈∃/ 21
0>a
0>∆
0>a
0=∆
0>a
0<∆
x x x
1x 2x 21 xx = Rxex ∈∃/ 21
0<a
0>∆ 0<a
0=∆
0<a
0<∆
Raízes reaisRaízes reais
distintasdistintas
Raízes reaisRaízes reais
iguaisiguais
Não existemNão existem
raízes reaisraízes reais

Função de 2º Grau – VérticeFunção de 2º Grau – Vértice
x
y
VérticeVértice
eixo deeixo de
simetriasimetria
a
yV
4
∆−
=
a
b
xV
2
−
=
( )VV yxV ,=





 ∆−−
=
aa
b
V
4
,
2

Função de 2º Grau – VérticeFunção de 2º Grau – Vértice
x
y
VérticeVértice
x
y
Ponto dePonto de
máximomáximo
VérticeVértice
Ponto dePonto de
mínimomínimo
0>a
0<a

Função de 2º Grau – pontos notáveisFunção de 2º Grau – pontos notáveis
x
y
c
Raiz daRaiz da
funçãofunção
Raiz daRaiz da
funçãofunção
VérticeVérticea
yV
4
∆−
=
a
b
xV
2
−
=

Função de 2º Grau – ImagemFunção de 2º Grau – Imagem
x
y
VérticeVértice
x
y VérticeVértice
Se a >0, então:
{ }vyyRy ≥∈= /Im
Se a < 0, então:
{ }vyyRy ≤∈= /Im

Função de 2º Grau – Forma fatoradaFunção de 2º Grau – Forma fatorada
( ) cbxaxxf ++= 2
( ) ( ) ( )21 xxxxaxf −⋅−⋅=
raízessãoxex 21

Funções injetoras, sobrejetoras e bijetorasFunções injetoras, sobrejetoras e bijetoras
INJETORAINJETORA
Para uma função ser classificada como injetora, devemosPara uma função ser classificada como injetora, devemos
lembrar que, paralembrar que, para DOMÍNIOSDOMÍNIOS diferentes devem gerardiferentes devem gerar
IMAGENSIMAGENS diferentes, ou seja:diferentes, ou seja:
( ) ( )2121 xfxfxx ≠⇒≠
Ex.:Ex.: ( ) 63 −= xxf
( ) ( )
( )
( ) 91
631
6131
−=−
−−=−
−−=−
f
f
f ( ) ( )
( )
( ) 60
600
6030
−=
−=
−=
f
f
f

Para uma função ser classificada como sobrejetora,Para uma função ser classificada como sobrejetora,
devemos lembrar que, odevemos lembrar que, o CONTRADOMÍNIOCONTRADOMÍNIO deve ser igualdeve ser igual
aa IMAGEMIMAGEM da função dada, ou seja:da função dada, ou seja:
Im=CD
Ex.:Ex.: +→ RRf : ( ) 2
xxf =
x
y
SOBREJETORASOBREJETORA

Para uma função ser classificada como bijetora, devemosPara uma função ser classificada como bijetora, devemos
lembrar que ela deve serlembrar que ela deve ser INJETORAINJETORA ee SOBREJETORASOBREJETORA aoao
mesmo tempo, ou seja:mesmo tempo, ou seja:
Im=CD
Ex.:Ex.: ++ → RRf : ( ) 2
xxf =
x
y
BIJETORABIJETORA

x
y
-2-2 22
- 4- 4
f(x) =|x2
- 4|f : R+ → R
f(x) = x2
- 4
44

x
y
-2-2 22-2-2 22
44
f(x) =|x2
- 4|f : R+ → R
f(x) = x2
- 4
f : D → CD
xx

x
y
2222
44
22
44
f : D → CD
f(x) =|x2
- 4|f : R+ → R
f(x) = x2
- 4
xx yy
NãoéInjetora
NãoéInjetora

x
y
2222
44
22
44
Não é InjetoraNão é Injetora
00
Im(f) = [0, +∞)
CD = R
NãoéSobrejetora
NãoéSobrejetora
Im(f) ≠ CD
f : D → CD
f(x) =|x2
- 4|f : R+ → R
f(x) = x2
- 4
xx yy

x
y
2222
44
22
44
f : D → CD
f(x) =|x2
- 4|f : R+ → R
f(x) = x2
- 4
xx yy
Não é SobrejetoraNão é Sobrejetora

x
y
2222
44
22
44
f : D → CD
f(x) =|x2
- 4|f : R+ → R
f(x) = x2
- 4
xx yy

x
y
2222
44
22
44
É uma função SimplesÉ uma função Simples
f : D → CD
f(x) =|x2
- 4|f : R+ → R
f(x) = x2
- 4
xx yy

Função inversa e função compostaFunção inversa e função composta
Função inversaFunção inversa
( ) 12 −= xxf
A
4
3
2
1 B
7
5
3
1
{ }4,3,2,1=A
{ }7,5,3,1=B
BAf →:

{ }4,3,2,1=A
{ }7,5,3,1=B
ABg →: ( )
2
1+
=
x
xg
A
4
3
2
1 B
7
5
3
1
( ) ( )xfxg 1−
=

A inversa de uma função f só existirá se f forA inversa de uma função f só existirá se f for
bijetora.bijetora.
Lei de Formação da inversaLei de Formação da inversa
1º – Troca1º – Troca xx porpor yy ee yy porpor xx..
2º – Isola a variável2º – Isola a variável yy..

( ) 12 −= xxf
12 −= xy
12 −= yx
yx 21=+
y
x
=
+
2
1
2
1+
=
x
y
2
11 +
=− x
y
( )
2
11 +
=− x
xf

(representação gráfica)(representação gráfica)
2−= xy
21
+=−
xy
x
y
2
2
2−
2−
B.Q.I.B.Q.I.

(representação gráfica)(representação gráfica)
f
1−
f
x
y
B.Q.I.B.Q.I.

Função compostaFunção composta
A
4
3
2
1 B
6
5
4
3
( ) 2+= xxf
BAf →:
B
6
5
4
3 C
11
9
7
5
( ) 12 −= xxg
CBg →:

( ) ( )[ ]xfgxh =CAh →:
( ) ( ) 12 −⋅= xfxh
( ) ( ) 122 −+⋅= xxh
( ) 142 −+= xxh
( ) 32 += xxh
( ) 12 −= xxg ( ) 2+= xxf
( ) ( ) 32 +== xxfgxh 

A
4
3
2
1 B
6
5
4
3
( ) 2+= xxf
BAf →:
B
6
5
4
3 C
11
9
7
5
( ) 32 += xxh
( ) 32 += xxfg 
( ) 12 −= xxg
CBg →:

A
B
Cf
g
fgh =
( ) ( )[ ]xfgxh =
( ) ( )xfgxh =
fgh =
x f

A composta de uma função com sua inversa é aA composta de uma função com sua inversa é a
função identidade. (função identidade. (foffof-1-1
= f= f-1-1
of = xof = x))
2−= xy
21
+=−
xy
( ) 221
−+=−
xff 
xff =−1

( ) 221
+−=−
xff 
xff =−
1

Função ExponencialFunção Exponencial
RRf →:
DefiniçãoDefinição
RDomínioDomínio
( ) ] [+∞= ,0Im f
ImagemImagem
( ) x
axf = 10 ≠< a
*
+R
( ) ( )+∞= ,0Im f
( ) RfD =

Representação GráficaRepresentação Gráfica
( ) x
xf 2=
x
1
2
3
4
... ..
x
x
y 2=
221
==y
422
==y
823
==y
1624
==y
x
y 2=
y
1 21−2−3− x
1
2
4
0

( )
x
xg 





=
2
1
1 22− x
y
1
4
0

( ) x
xf 2=
1 21−2−3− x
y
1
2
4
1 22− x
y
1
4
( )
x
xg 





=
2
1
1−
1>a
Crescente
10 << a
eDecrescent
00

Equação exponencialEquação exponencial
322 =x
81
9
1
=





x
171333 112
=−+ +−+ xxx
093109 =+⋅− xx

kxaa kx
=⇔=
322 =x
5
22 =x
5=x ( ) 42
33 =− x
42
33 =− x
81
9
1
=





x
42 =− x 2−=x

63933 1212
=−+ −+ xxx
( ) 633
3
3
33 2
2
2
=−+⋅
x
x
x
633
3
3
33 2
2
2
=−+⋅ x
x
x
yx
=2
3
63
3
3 =−+ y
y
y
3
18939 =−+ yyy
1897 =y 27=y
32
33 =x
2
3
=∴x

224 =− xx
( ) 02222
=−− xx
( ) 0222
2
=−− xx
yx
=2
11 −=y
12 −=x
1=x
022
=−− yy
22 =y
22 =x

Inequação exponencialInequação exponencial
322 >x
81
9
1
≤





x
64,08,0 2
<+x
093109 ≤+⋅− xx

kx
aa ≥
322 >x
5
22 >x
5>x ( ) 21
99 ≤− x
2
99 ≤−x
2≤− x
2−≥x
1, >≥ asekx
10, <<≤ asekx
81
9
1
≤





x

1−>x
64,08,0 2
<+x
100
64
8,0 2
<+x
100
64
8,0 2
<+x
10
8
8,0 2
<+x
8,08,0 2
<+x
12 >+x

LogaritmosLogaritmos
xab =log
Base do logaritmoBase do logaritmo
LogaritmandoLogaritmando LogaritmoLogaritmo
0>a 01 >≠ b
Condição de ExistênciaCondição de Existência

xab =log
xab =log ⇔ abx
=

xab =log
x=8log2
⇔ 82 =x
3=x
8log2
38log2 =

Sistema de LogaritmosSistema de Logaritmos
aa loglog10 =
2100log100log10 ==

Sistema de Logaritmos (Logaritmo Natural)Sistema de Logaritmos (Logaritmo Natural)
bae =log
...718281828,2=e
2
log ee 2ln 2
=e
5loge
e 55ln
=e
ba =ln

Propriedades operátóriasPropriedades operátórias
( ) babaP ccc logloglog1 +=⋅⇒
ba
b
a
P ccc logloglog2 −=





⇒
( ) anaP b
n
b loglog3 ⋅=⇒

Mudança de BaseMudança de Base
b
a
a
c
c
b
log
log
log =
ba
b
a
a cc
c
c
b loglog
log
log
log −≠=

Função LogarítmicaFunção Logarítmica
DefiniçãoDefinição
RRf →+
*
: ( ) xxf blog=
*
+RDomínioDomínio
( ) Rf =Im
ImagemImagem R
( ) *
+= RfD

( ) xxf 2log=
1 x
y
1
2
1−
2
1
0

( ) xxg
2
1log=
1
2
x
y
1−
1
0

( ) xxg
2
1log=
1
2
x
y
1−
1
1 x
y
1
2
1−
2
1
0 0
( ) xxf 2log=
1>b
Crescente
10 << b
eDecrescent

Inversa da Função LogarítmicaInversa da Função Logarítmica
x
y
( ) xxf blog=
1
1
( ) x
bxf =
1>b
Crescente
xy =

Inversa da Função LogarítmicaInversa da Função Logarítmica
x
y
( ) xxf blog=
1
1
( ) x
bxf = 10 << b
eDecrescent
xy =

Equação LogarítmicaEquação Logarítmica
( ) ( ) ( ) ( )xgxfxgxf bb =⇔= loglog
( ) 53log2 =−x
325
−= x
x=+ 332
35=x
03 >−x
3>x
{ }35=S

( ) ( ) 295log 1 =−− xx
( ) 951
2
−=− xx
95122
−=+− xxx
095 >−x
5
9
>⇒ x
01>−x 1>⇒ x
11≠−x 2≠⇒ x
01072
=+− xx
21 =x 51 =x { }5=S

( ) ( ) 8log4log3log 555 =++− xx
03 >−x 3>⇒ x
04 >+x 4−>⇒ x
41 =x
3>⇒ x
{ }4=S
( ) ( ) 8log43log 55 =+⋅− xx
8122
=−+ xx
0202
=−+ xx 52 −=x
0202
=−+ xx

Inequação LogarítmicaInequação Logarítmica
( ) ( )xgxf bb loglog ≥
1>b
( ) ( )xgxf ≥
10 << b
( ) ( )xgxf ≤
( ) 5log3log 22 >−x
53 >−x
8>x
03 >−x
C.EC.E
3>x
{ }8/ >∈= xRxS
] [+∞= ,8S

( ) ( )xgxf bb loglog ≥
1>b
( ) ( )xgxf ≥
10 << b
( ) ( )xgxf ≤
( ) ( )2log82log
3
2
3
2 −<− xx
282 −>− xx
6>x
082 >−x
C.EC.E
4>x
02 >−x
2>x
I II
4>=∩ xIII

( ) ( ) 34log3log 22 <++− xx
8122
<−+ xx
( ) ( ) 3
22 2log43log <+⋅− xx
( ) ( ) 3
22 2log43log <+⋅− xx
0202
<−+ xx
51 −=x
42 =x
x5− – – – – – –– – – – – –
+ + ++ + +
4
+ + ++ + +
45 <<− x

( ) ( ) 34log3log 22 <++− xx
x5− – – – – – –– – – – – –
+ + ++ + +
4
+ + ++ + +
45 <<− x
03 >−x
C.EC.E
3>x
04 >+x
4−>x
3>∴x
{ }43/ <<∈= xRxS
0202
<−+ xx

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