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Função de 1º Grau – (Reta)Função de 1º Grau – (Reta)
( ) baxxf += baxy +=
x
( )xf
x
y
0>a 0<a
CrescenteCrescente DecrescenteDecrescente
30/01/15 1Professor: Osmar da Silva Pereira
Função de 1º Grau – (Reta)Função de 1º Grau – (Reta)
( ) baxxf += baxy +=
x
( )xf
x
y
bb
a
b−
a
b−
Raiz daRaiz da
funçãofunção
Raiz daRaiz da
funçãofunção
30/01/15 2Professor: Osmar da Silva Pereira
Função de 1º Grau – Linear (b = 0)Função de 1º Grau – Linear (b = 0)
( ) xxf = xy −=
x
( )xf
IdentidadeIdentidade
B.Q.I.B.Q.I.
x
y
B.Q.P.B.Q.P.
30/01/15 3Professor: Osmar da Silva Pereira
Função de 1º Grau – (Reta)Função de 1º Grau – (Reta)
( ) baxxf += baxy +=
x
( )xf
x
y
0=a
ConstanteConstante ConstanteConstante
( ) byxf ==
b
b
0>b
0=a
0<b
30/01/15 4Professor: Osmar da Silva Pereira
Função de 2º Grau – (Parábola)Função de 2º Grau – (Parábola)
( ) cbxaxxf ++= 2
cbxaxy ++= 2
x
( )xf 0>a 0<a
Concavidade voltadaConcavidade voltada
para cimapara cima
x
y
Concavidade voltadaConcavidade voltada
para baixopara baixo
30/01/15 5Professor: Osmar da Silva Pereira
Função de 2º Grau – (Parábola)Função de 2º Grau – (Parábola)
( ) cbxaxxf ++= 2
cbxaxy ++= 2
x
( )xf
x
y c
c
Raiz daRaiz da
funçãofunção
Raiz daRaiz da
funçãofunção
Raiz daRaiz da
funçãofunção
Raiz daRaiz da
funçãofunção
30/01/15 6Professor: Osmar da Silva Pereira
Função de 2º Grau – RaízesFunção de 2º Grau – Raízes
cbxaxy ++= 2
0=y
cbxax ++= 2
0
02
=++ cbxax
acb 42
−=∆
a
b
x
2
∆±−
=
30/01/15 7Professor: Osmar da Silva Pereira
0∆ <
0∆ =
0∆ >
não existem raízes reais
(a parábola não toca o
eixo das abscissas).
possui duas raízes reais
iguais (a parábola toca
em único ponto no eixo
das abscissas).
possui duas raízes reais
distintas ( a parábola toca
em dois pontos no eixo
das abscissas.
30/01/15 8Professor: Osmar da Silva Pereira
Função de 2º GrauFunção de 2º Grau
x x x1x 2x 21 xx = Rxex ∈∃/ 21
0>a
0>∆
0>a
0=∆
0>a
0<∆
x x x
1x 2x 21 xx = Rxex ∈∃/ 21
0<a
0>∆ 0<a
0=∆
0<a
0<∆
Raízes reaisRaízes reais
distintasdistintas
Raízes reaisRaízes reais
iguaisiguais
Não existemNão existem
raízes reaisraízes reais
30/01/15 9Professor: Osmar da Silva Pereira
Função de 2º Grau – VérticeFunção de 2º Grau – Vértice
x
y
VérticeVértice
eixo deeixo de
simetriasimetria
a
yV
4
∆−
=
a
b
xV
2
−
=
( )VV yxV ,=





 ∆−−
=
aa
b
V
4
,
2
30/01/15 10Professor: Osmar da Silva Pereira
Função de 2º Grau – VérticeFunção de 2º Grau – Vértice
x
y
VérticeVértice
x
y
Ponto dePonto de
máximomáximo
VérticeVértice
Ponto dePonto de
mínimomínimo
0>a
0<a
30/01/15 11Professor: Osmar da Silva Pereira
Função de 2º Grau – pontos notáveisFunção de 2º Grau – pontos notáveis
x
y
c
Raiz daRaiz da
funçãofunção
Raiz daRaiz da
funçãofunção
VérticeVérticea
yV
4
∆−
=
a
b
xV
2
−
=
30/01/15 12Professor: Osmar da Silva Pereira
Função de 2º Grau – ImagemFunção de 2º Grau – Imagem
x
y
VérticeVértice
x
y VérticeVértice
Se a >0, então:
{ }vyyRy ≥∈= /Im
Se a < 0, então:
{ }vyyRy ≤∈= /Im
30/01/15 13Professor: Osmar da Silva Pereira
Função de 2º Grau – Forma fatoradaFunção de 2º Grau – Forma fatorada
( ) cbxaxxf ++= 2
( ) ( ) ( )21 xxxxaxf −⋅−⋅=
raízessãoxex 21
30/01/15 14Professor: Osmar da Silva Pereira
Funções injetoras, sobrejetoras e bijetorasFunções injetoras, sobrejetoras e bijetoras
INJETORAINJETORA
Para uma função ser classificada como injetora, devemosPara uma função ser classificada como injetora, devemos
lembrar que, paralembrar que, para DOMÍNIOSDOMÍNIOS diferentes devem gerardiferentes devem gerar
IMAGENSIMAGENS diferentes, ou seja:diferentes, ou seja:
( ) ( )2121 xfxfxx ≠⇒≠
Ex.:Ex.: ( ) 63 −= xxf
( ) ( )
( )
( ) 91
631
6131
−=−
−−=−
−−=−
f
f
f ( ) ( )
( )
( ) 60
600
6030
−=
−=
−=
f
f
f
30/01/15 15Professor: Osmar da Silva Pereira
Funções injetoras, sobrejetoras e bijetorasFunções injetoras, sobrejetoras e bijetoras
Para uma função ser classificada como sobrejetora,Para uma função ser classificada como sobrejetora,
devemos lembrar que, odevemos lembrar que, o CONTRADOMÍNIOCONTRADOMÍNIO deve ser igualdeve ser igual
aa IMAGEMIMAGEM da função dada, ou seja:da função dada, ou seja:
Im=CD
Ex.:Ex.: +→ RRf : ( ) 2
xxf =
x
y
SOBREJETORASOBREJETORA
30/01/15 16Professor: Osmar da Silva Pereira
Funções injetoras, sobrejetoras e bijetorasFunções injetoras, sobrejetoras e bijetoras
Para uma função ser classificada como bijetora, devemosPara uma função ser classificada como bijetora, devemos
lembrar que ela deve serlembrar que ela deve ser INJETORAINJETORA ee SOBREJETORASOBREJETORA aoao
mesmo tempo, ou seja:mesmo tempo, ou seja:
Im=CD
Ex.:Ex.: ++ → RRf : ( ) 2
xxf =
x
y
BIJETORABIJETORA
30/01/15 17Professor: Osmar da Silva Pereira
x
y
-2-2 22
- 4- 4
f(x) =|x2
- 4|f : R+ → R
f(x) = x2
- 4
44
30/01/15 18Professor: Osmar da Silva Pereira
x
y
-2-2 22-2-2 22
44
f(x) =|x2
- 4|f : R+ → R
f(x) = x2
- 4
f : D → CD
xx
30/01/15 19Professor: Osmar da Silva Pereira
x
y
2222
44
22
44
f : D → CD
f(x) =|x2
- 4|f : R+ → R
f(x) = x2
- 4
xx yy
NãoéInjetora
NãoéInjetora
30/01/15 20Professor: Osmar da Silva Pereira
x
y
2222
44
22
44
Não é InjetoraNão é Injetora
00
Im(f) = [0, +∞)
CD = R
NãoéSobrejetora
NãoéSobrejetora
Im(f) ≠ CD
f : D → CD
f(x) =|x2
- 4|f : R+ → R
f(x) = x2
- 4
xx yy
30/01/15 21Professor: Osmar da Silva Pereira
x
y
2222
44
22
44
Não é InjetoraNão é Injetora
f : D → CD
f(x) =|x2
- 4|f : R+ → R
f(x) = x2
- 4
xx yy
Não é SobrejetoraNão é Sobrejetora
30/01/15 22Professor: Osmar da Silva Pereira
x
y
2222
44
22
44
Não é InjetoraNão é Injetora
f : D → CD
f(x) =|x2
- 4|f : R+ → R
f(x) = x2
- 4
xx yy
Não é SobrejetoraNão é Sobrejetora
30/01/15 23Professor: Osmar da Silva Pereira
x
y
2222
44
22
44
É uma função SimplesÉ uma função Simples
Não é InjetoraNão é Injetora
f : D → CD
f(x) =|x2
- 4|f : R+ → R
f(x) = x2
- 4
xx yy
Não é SobrejetoraNão é Sobrejetora
30/01/15 24Professor: Osmar da Silva Pereira
Função inversa e função compostaFunção inversa e função composta
Função inversaFunção inversa
( ) 12 −= xxf
A
4
3
2
1 B
7
5
3
1
{ }4,3,2,1=A
{ }7,5,3,1=B
BAf →:
30/01/15 25Professor: Osmar da Silva Pereira
Função inversa e função compostaFunção inversa e função composta
{ }4,3,2,1=A
Função inversaFunção inversa
{ }7,5,3,1=B
ABg →: ( )
2
1+
=
x
xg
A
4
3
2
1 B
7
5
3
1
( ) ( )xfxg 1−
=
30/01/15 26Professor: Osmar da Silva Pereira
Função inversa e função compostaFunção inversa e função composta
Função inversaFunção inversa
A inversa de uma função f só existirá se f forA inversa de uma função f só existirá se f for
bijetora.bijetora.
Lei de Formação da inversaLei de Formação da inversa
1º – Troca1º – Troca xx porpor yy ee yy porpor xx..
2º – Isola a variável2º – Isola a variável yy..
30/01/15 27Professor: Osmar da Silva Pereira
Função inversa e função compostaFunção inversa e função composta
Função inversaFunção inversa
( ) 12 −= xxf
12 −= xy
12 −= yx
yx 21=+
y
x
=
+
2
1
2
1+
=
x
y
2
11 +
=− x
y
( )
2
11 +
=− x
xf
30/01/15 28Professor: Osmar da Silva Pereira
Função inversa e função compostaFunção inversa e função composta
Função inversaFunção inversa
(representação gráfica)(representação gráfica)
2−= xy
21
+=−
xy
x
y
2
2
2−
2−
B.Q.I.B.Q.I.
30/01/15 29Professor: Osmar da Silva Pereira
Função inversa e função compostaFunção inversa e função composta
Função inversaFunção inversa
(representação gráfica)(representação gráfica)
f
1−
f
x
y
B.Q.I.B.Q.I.
30/01/15 30Professor: Osmar da Silva Pereira
Função inversa e função compostaFunção inversa e função composta
Função compostaFunção composta
A
4
3
2
1 B
6
5
4
3
( ) 2+= xxf
BAf →:
B
6
5
4
3 C
11
9
7
5
( ) 12 −= xxg
CBg →:
30/01/15 31Professor: Osmar da Silva Pereira
Função inversa e função compostaFunção inversa e função composta
Função compostaFunção composta
( ) ( )[ ]xfgxh =CAh →:
( ) ( ) 12 −⋅= xfxh
( ) ( ) 122 −+⋅= xxh
( ) 142 −+= xxh
( ) 32 += xxh
( ) 12 −= xxg ( ) 2+= xxf
( ) ( ) 32 +== xxfgxh 
30/01/15 32Professor: Osmar da Silva Pereira
Função inversa e função compostaFunção inversa e função composta
Função compostaFunção composta
A
4
3
2
1 B
6
5
4
3
( ) 2+= xxf
BAf →:
B
6
5
4
3 C
11
9
7
5
( ) 32 += xxh
( ) 32 += xxfg 
( ) 12 −= xxg
CBg →:
30/01/15 33Professor: Osmar da Silva Pereira
Função inversa e função compostaFunção inversa e função composta
Função compostaFunção composta
A
B
Cf
g
fgh =
( ) ( )[ ]xfgxh =
( ) ( )xfgxh =
fgh =
x f
30/01/15 34Professor: Osmar da Silva Pereira
Função inversa e função compostaFunção inversa e função composta
Função compostaFunção composta
A composta de uma função com sua inversa é aA composta de uma função com sua inversa é a
função identidade. (função identidade. (foffof-1-1
= f= f-1-1
of = xof = x))
2−= xy
21
+=−
xy
( ) 221
−+=−
xff 
xff =−1

( ) 221
+−=−
xff 
xff =−
1
30/01/15 35Professor: Osmar da Silva Pereira
Função ExponencialFunção Exponencial
RRf →:
DefiniçãoDefinição
RDomínioDomínio
( ) ] [+∞= ,0Im f
ImagemImagem
( ) x
axf = 10 ≠< a
*
+R
( ) ( )+∞= ,0Im f
( ) RfD =
30/01/15 36Professor: Osmar da Silva Pereira
Função ExponencialFunção Exponencial
Representação GráficaRepresentação Gráfica
( ) x
xf 2=
x
1
2
3
4
... ..
x
x
y 2=
221
==y
422
==y
823
==y
1624
==y
x
y 2=
y
1 21−2−3− x
1
2
4
0
30/01/15 37Professor: Osmar da Silva Pereira
Função ExponencialFunção Exponencial
Representação GráficaRepresentação Gráfica
( )
x
xg 





=
2
1
1 22− x
y
1
4
0
30/01/15 38Professor: Osmar da Silva Pereira
Função ExponencialFunção Exponencial
Representação GráficaRepresentação Gráfica
( ) x
xf 2=
1 21−2−3− x
y
1
2
4
1 22− x
y
1
4
( )
x
xg 





=
2
1
1−
1>a
Crescente
10 << a
eDecrescent
00
30/01/15 39Professor: Osmar da Silva Pereira
Equação exponencialEquação exponencial
322 =x
81
9
1
=





x
171333 112
=−+ +−+ xxx
093109 =+⋅− xx
30/01/15 40Professor: Osmar da Silva Pereira
Equação exponencialEquação exponencial
kxaa kx
=⇔=
322 =x
5
22 =x
5=x ( ) 42
33 =− x
42
33 =− x
81
9
1
=





x
42 =− x 2−=x
30/01/15 41Professor: Osmar da Silva Pereira
Equação exponencialEquação exponencial
63933 1212
=−+ −+ xxx
( ) 633
3
3
33 2
2
2
=−+⋅
x
x
x
633
3
3
33 2
2
2
=−+⋅ x
x
x
yx
=2
3
63
3
3 =−+ y
y
y
3
18939 =−+ yyy
1897 =y 27=y
32
33 =x
2
3
=∴x
30/01/15 42Professor: Osmar da Silva Pereira
Equação exponencialEquação exponencial
224 =− xx
( ) 02222
=−− xx
( ) 0222
2
=−− xx
yx
=2
11 −=y
12 −=x
1=x
022
=−− yy
22 =y
22 =x
30/01/15 43Professor: Osmar da Silva Pereira
Inequação exponencialInequação exponencial
322 >x
81
9
1
≤





x
64,08,0 2
<+x
093109 ≤+⋅− xx
30/01/15 44Professor: Osmar da Silva Pereira
Inequação exponencialInequação exponencial
kx
aa ≥
322 >x
5
22 >x
5>x ( ) 21
99 ≤− x
2
99 ≤−x
2≤− x
2−≥x
1, >≥ asekx
10, <<≤ asekx
81
9
1
≤





x
30/01/15 45Professor: Osmar da Silva Pereira
Inequação exponencialInequação exponencial
1−>x
64,08,0 2
<+x
100
64
8,0 2
<+x
100
64
8,0 2
<+x
10
8
8,0 2
<+x
8,08,0 2
<+x
12 >+x
30/01/15 46Professor: Osmar da Silva Pereira
LogaritmosLogaritmos
xab =log
Base do logaritmoBase do logaritmo
LogaritmandoLogaritmando LogaritmoLogaritmo
0>a 01 >≠ b
Condição de ExistênciaCondição de Existência
30/01/15 47Professor: Osmar da Silva Pereira
LogaritmosLogaritmos
xab =log
Base do logaritmoBase do logaritmo
LogaritmandoLogaritmando LogaritmoLogaritmo
xab =log ⇔ abx
=
30/01/15 48Professor: Osmar da Silva Pereira
LogaritmosLogaritmos
xab =log
Base do logaritmoBase do logaritmo
LogaritmandoLogaritmando LogaritmoLogaritmo
x=8log2
⇔ 82 =x
3=x
8log2
38log2 =
30/01/15 49Professor: Osmar da Silva Pereira
LogaritmosLogaritmos
Sistema de LogaritmosSistema de Logaritmos
aa loglog10 =
2100log100log10 ==
30/01/15 50Professor: Osmar da Silva Pereira
LogaritmosLogaritmos
Sistema de Logaritmos (Logaritmo Natural)Sistema de Logaritmos (Logaritmo Natural)
bae =log
...718281828,2=e
2
log ee 2ln 2
=e
5loge
e 55ln
=e
ba =ln
30/01/15 51Professor: Osmar da Silva Pereira
LogaritmosLogaritmos
Propriedades operátóriasPropriedades operátórias
( ) babaP ccc logloglog1 +=⋅⇒
ba
b
a
P ccc logloglog2 −=





⇒
( ) anaP b
n
b loglog3 ⋅=⇒
30/01/15 52Professor: Osmar da Silva Pereira
LogaritmosLogaritmos
Mudança de BaseMudança de Base
b
a
a
c
c
b
log
log
log =
ba
b
a
a cc
c
c
b loglog
log
log
log −≠=
30/01/15 53Professor: Osmar da Silva Pereira
Função LogarítmicaFunção Logarítmica
DefiniçãoDefinição
RRf →+
*
: ( ) xxf blog=
*
+RDomínioDomínio
( ) Rf =Im
ImagemImagem R
( ) *
+= RfD
30/01/15 54Professor: Osmar da Silva Pereira
Função LogarítmicaFunção Logarítmica
Representação GráficaRepresentação Gráfica
( ) xxf 2log=
1 x
y
1
2
1−
2
1
0
30/01/15 55Professor: Osmar da Silva Pereira
Representação GráficaRepresentação Gráfica
( ) xxg
2
1log=
1
2
x
y
1−
1
0
Função LogarítmicaFunção Logarítmica
30/01/15 56Professor: Osmar da Silva Pereira
Representação GráficaRepresentação Gráfica
( ) xxg
2
1log=
1
2
x
y
1−
1
1 x
y
1
2
1−
2
1
0 0
( ) xxf 2log=
1>b
Crescente
10 << b
eDecrescent
Função LogarítmicaFunção Logarítmica
30/01/15 57Professor: Osmar da Silva Pereira
Inversa da Função LogarítmicaInversa da Função Logarítmica
x
y
( ) xxf blog=
1
1
( ) x
bxf =
1>b
Crescente
xy =
Função LogarítmicaFunção Logarítmica
30/01/15 58Professor: Osmar da Silva Pereira
Inversa da Função LogarítmicaInversa da Função Logarítmica
x
y
( ) xxf blog=
1
1
( ) x
bxf = 10 << b
eDecrescent
xy =
Função LogarítmicaFunção Logarítmica
30/01/15 59Professor: Osmar da Silva Pereira
Equação LogarítmicaEquação Logarítmica
( ) ( ) ( ) ( )xgxfxgxf bb =⇔= loglog
( ) 53log2 =−x
325
−= x
x=+ 332
35=x
03 >−x
3>x
{ }35=S
30/01/15 60Professor: Osmar da Silva Pereira
Equação LogarítmicaEquação Logarítmica
( ) ( ) ( ) ( )xgxfxgxf bb =⇔= loglog
( ) ( ) 295log 1 =−− xx
( ) 951
2
−=− xx
95122
−=+− xxx
095 >−x
5
9
>⇒ x
01>−x 1>⇒ x
11≠−x 2≠⇒ x
01072
=+− xx
21 =x 51 =x { }5=S
30/01/15 61Professor: Osmar da Silva Pereira
Equação LogarítmicaEquação Logarítmica
( ) ( ) ( ) ( )xgxfxgxf bb =⇔= loglog
( ) ( ) 8log4log3log 555 =++− xx
03 >−x 3>⇒ x
04 >+x 4−>⇒ x
41 =x
3>⇒ x
{ }4=S
( ) ( ) 8log43log 55 =+⋅− xx
8122
=−+ xx
0202
=−+ xx 52 −=x
0202
=−+ xx
30/01/15 62Professor: Osmar da Silva Pereira
Inequação LogarítmicaInequação Logarítmica
( ) ( )xgxf bb loglog ≥
1>b
( ) ( )xgxf ≥
10 << b
( ) ( )xgxf ≤
( ) 5log3log 22 >−x
53 >−x
8>x
03 >−x
C.EC.E
3>x
{ }8/ >∈= xRxS
] [+∞= ,8S
30/01/15 63Professor: Osmar da Silva Pereira
Inequação LogarítmicaInequação Logarítmica
( ) ( )xgxf bb loglog ≥
1>b
( ) ( )xgxf ≥
10 << b
( ) ( )xgxf ≤
( ) ( )2log82log
3
2
3
2 −<− xx
282 −>− xx
6>x
082 >−x
C.EC.E
4>x
02 >−x
2>x
I II
4>=∩ xIII
30/01/15 64Professor: Osmar da Silva Pereira
Inequação LogarítmicaInequação Logarítmica
( ) ( ) 34log3log 22 <++− xx
8122
<−+ xx
( ) ( ) 3
22 2log43log <+⋅− xx
( ) ( ) 3
22 2log43log <+⋅− xx
0202
<−+ xx
51 −=x
42 =x
x5− – – – – – –– – – – – –
+ + ++ + +
4
+ + ++ + +
45 <<− x
30/01/15 65Professor: Osmar da Silva Pereira
Inequação LogarítmicaInequação Logarítmica
( ) ( ) 34log3log 22 <++− xx
x5− – – – – – –– – – – – –
+ + ++ + +
4
+ + ++ + +
45 <<− x
03 >−x
C.EC.E
3>x
04 >+x
4−>x
3>∴x
{ }43/ <<∈= xRxS
0202
<−+ xx
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  • 7. Função de 2º Grau – RaízesFunção de 2º Grau – Raízes cbxaxy ++= 2 0=y cbxax ++= 2 0 02 =++ cbxax acb 42 −=∆ a b x 2 ∆±− = 30/01/15 7Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 8. 0∆ < 0∆ = 0∆ > não existem raízes reais (a parábola não toca o eixo das abscissas). possui duas raízes reais iguais (a parábola toca em único ponto no eixo das abscissas). possui duas raízes reais distintas ( a parábola toca em dois pontos no eixo das abscissas. 30/01/15 8Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 9. Função de 2º GrauFunção de 2º Grau x x x1x 2x 21 xx = Rxex ∈∃/ 21 0>a 0>∆ 0>a 0=∆ 0>a 0<∆ x x x 1x 2x 21 xx = Rxex ∈∃/ 21 0<a 0>∆ 0<a 0=∆ 0<a 0<∆ Raízes reaisRaízes reais distintasdistintas Raízes reaisRaízes reais iguaisiguais Não existemNão existem raízes reaisraízes reais 30/01/15 9Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 10. Função de 2º Grau – VérticeFunção de 2º Grau – Vértice x y VérticeVértice eixo deeixo de simetriasimetria a yV 4 ∆− = a b xV 2 − = ( )VV yxV ,=       ∆−− = aa b V 4 , 2 30/01/15 10Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 11. Função de 2º Grau – VérticeFunção de 2º Grau – Vértice x y VérticeVértice x y Ponto dePonto de máximomáximo VérticeVértice Ponto dePonto de mínimomínimo 0>a 0<a 30/01/15 11Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 12. Função de 2º Grau – pontos notáveisFunção de 2º Grau – pontos notáveis x y c Raiz daRaiz da funçãofunção Raiz daRaiz da funçãofunção VérticeVérticea yV 4 ∆− = a b xV 2 − = 30/01/15 12Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 13. Função de 2º Grau – ImagemFunção de 2º Grau – Imagem x y VérticeVértice x y VérticeVértice Se a >0, então: { }vyyRy ≥∈= /Im Se a < 0, então: { }vyyRy ≤∈= /Im 30/01/15 13Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 14. Função de 2º Grau – Forma fatoradaFunção de 2º Grau – Forma fatorada ( ) cbxaxxf ++= 2 ( ) ( ) ( )21 xxxxaxf −⋅−⋅= raízessãoxex 21 30/01/15 14Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 15. Funções injetoras, sobrejetoras e bijetorasFunções injetoras, sobrejetoras e bijetoras INJETORAINJETORA Para uma função ser classificada como injetora, devemosPara uma função ser classificada como injetora, devemos lembrar que, paralembrar que, para DOMÍNIOSDOMÍNIOS diferentes devem gerardiferentes devem gerar IMAGENSIMAGENS diferentes, ou seja:diferentes, ou seja: ( ) ( )2121 xfxfxx ≠⇒≠ Ex.:Ex.: ( ) 63 −= xxf ( ) ( ) ( ) ( ) 91 631 6131 −=− −−=− −−=− f f f ( ) ( ) ( ) ( ) 60 600 6030 −= −= −= f f f 30/01/15 15Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 16. Funções injetoras, sobrejetoras e bijetorasFunções injetoras, sobrejetoras e bijetoras Para uma função ser classificada como sobrejetora,Para uma função ser classificada como sobrejetora, devemos lembrar que, odevemos lembrar que, o CONTRADOMÍNIOCONTRADOMÍNIO deve ser igualdeve ser igual aa IMAGEMIMAGEM da função dada, ou seja:da função dada, ou seja: Im=CD Ex.:Ex.: +→ RRf : ( ) 2 xxf = x y SOBREJETORASOBREJETORA 30/01/15 16Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 17. Funções injetoras, sobrejetoras e bijetorasFunções injetoras, sobrejetoras e bijetoras Para uma função ser classificada como bijetora, devemosPara uma função ser classificada como bijetora, devemos lembrar que ela deve serlembrar que ela deve ser INJETORAINJETORA ee SOBREJETORASOBREJETORA aoao mesmo tempo, ou seja:mesmo tempo, ou seja: Im=CD Ex.:Ex.: ++ → RRf : ( ) 2 xxf = x y BIJETORABIJETORA 30/01/15 17Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 18. x y -2-2 22 - 4- 4 f(x) =|x2 - 4|f : R+ → R f(x) = x2 - 4 44 30/01/15 18Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 19. x y -2-2 22-2-2 22 44 f(x) =|x2 - 4|f : R+ → R f(x) = x2 - 4 f : D → CD xx 30/01/15 19Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 20. x y 2222 44 22 44 f : D → CD f(x) =|x2 - 4|f : R+ → R f(x) = x2 - 4 xx yy NãoéInjetora NãoéInjetora 30/01/15 20Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 21. x y 2222 44 22 44 Não é InjetoraNão é Injetora 00 Im(f) = [0, +∞) CD = R NãoéSobrejetora NãoéSobrejetora Im(f) ≠ CD f : D → CD f(x) =|x2 - 4|f : R+ → R f(x) = x2 - 4 xx yy 30/01/15 21Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 22. x y 2222 44 22 44 Não é InjetoraNão é Injetora f : D → CD f(x) =|x2 - 4|f : R+ → R f(x) = x2 - 4 xx yy Não é SobrejetoraNão é Sobrejetora 30/01/15 22Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 23. x y 2222 44 22 44 Não é InjetoraNão é Injetora f : D → CD f(x) =|x2 - 4|f : R+ → R f(x) = x2 - 4 xx yy Não é SobrejetoraNão é Sobrejetora 30/01/15 23Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 24. x y 2222 44 22 44 É uma função SimplesÉ uma função Simples Não é InjetoraNão é Injetora f : D → CD f(x) =|x2 - 4|f : R+ → R f(x) = x2 - 4 xx yy Não é SobrejetoraNão é Sobrejetora 30/01/15 24Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 25. Função inversa e função compostaFunção inversa e função composta Função inversaFunção inversa ( ) 12 −= xxf A 4 3 2 1 B 7 5 3 1 { }4,3,2,1=A { }7,5,3,1=B BAf →: 30/01/15 25Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 26. Função inversa e função compostaFunção inversa e função composta { }4,3,2,1=A Função inversaFunção inversa { }7,5,3,1=B ABg →: ( ) 2 1+ = x xg A 4 3 2 1 B 7 5 3 1 ( ) ( )xfxg 1− = 30/01/15 26Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 27. Função inversa e função compostaFunção inversa e função composta Função inversaFunção inversa A inversa de uma função f só existirá se f forA inversa de uma função f só existirá se f for bijetora.bijetora. Lei de Formação da inversaLei de Formação da inversa 1º – Troca1º – Troca xx porpor yy ee yy porpor xx.. 2º – Isola a variável2º – Isola a variável yy.. 30/01/15 27Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 28. Função inversa e função compostaFunção inversa e função composta Função inversaFunção inversa ( ) 12 −= xxf 12 −= xy 12 −= yx yx 21=+ y x = + 2 1 2 1+ = x y 2 11 + =− x y ( ) 2 11 + =− x xf 30/01/15 28Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 29. Função inversa e função compostaFunção inversa e função composta Função inversaFunção inversa (representação gráfica)(representação gráfica) 2−= xy 21 +=− xy x y 2 2 2− 2− B.Q.I.B.Q.I. 30/01/15 29Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 30. Função inversa e função compostaFunção inversa e função composta Função inversaFunção inversa (representação gráfica)(representação gráfica) f 1− f x y B.Q.I.B.Q.I. 30/01/15 30Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 31. Função inversa e função compostaFunção inversa e função composta Função compostaFunção composta A 4 3 2 1 B 6 5 4 3 ( ) 2+= xxf BAf →: B 6 5 4 3 C 11 9 7 5 ( ) 12 −= xxg CBg →: 30/01/15 31Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 32. Função inversa e função compostaFunção inversa e função composta Função compostaFunção composta ( ) ( )[ ]xfgxh =CAh →: ( ) ( ) 12 −⋅= xfxh ( ) ( ) 122 −+⋅= xxh ( ) 142 −+= xxh ( ) 32 += xxh ( ) 12 −= xxg ( ) 2+= xxf ( ) ( ) 32 +== xxfgxh  30/01/15 32Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 33. Função inversa e função compostaFunção inversa e função composta Função compostaFunção composta A 4 3 2 1 B 6 5 4 3 ( ) 2+= xxf BAf →: B 6 5 4 3 C 11 9 7 5 ( ) 32 += xxh ( ) 32 += xxfg  ( ) 12 −= xxg CBg →: 30/01/15 33Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 34. Função inversa e função compostaFunção inversa e função composta Função compostaFunção composta A B Cf g fgh = ( ) ( )[ ]xfgxh = ( ) ( )xfgxh = fgh = x f 30/01/15 34Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 35. Função inversa e função compostaFunção inversa e função composta Função compostaFunção composta A composta de uma função com sua inversa é aA composta de uma função com sua inversa é a função identidade. (função identidade. (foffof-1-1 = f= f-1-1 of = xof = x)) 2−= xy 21 +=− xy ( ) 221 −+=− xff  xff =−1  ( ) 221 +−=− xff  xff =− 1 30/01/15 35Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 36. Função ExponencialFunção Exponencial RRf →: DefiniçãoDefinição RDomínioDomínio ( ) ] [+∞= ,0Im f ImagemImagem ( ) x axf = 10 ≠< a * +R ( ) ( )+∞= ,0Im f ( ) RfD = 30/01/15 36Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 37. Função ExponencialFunção Exponencial Representação GráficaRepresentação Gráfica ( ) x xf 2= x 1 2 3 4 ... .. x x y 2= 221 ==y 422 ==y 823 ==y 1624 ==y x y 2= y 1 21−2−3− x 1 2 4 0 30/01/15 37Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 38. Função ExponencialFunção Exponencial Representação GráficaRepresentação Gráfica ( ) x xg       = 2 1 1 22− x y 1 4 0 30/01/15 38Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 39. Função ExponencialFunção Exponencial Representação GráficaRepresentação Gráfica ( ) x xf 2= 1 21−2−3− x y 1 2 4 1 22− x y 1 4 ( ) x xg       = 2 1 1− 1>a Crescente 10 << a eDecrescent 00 30/01/15 39Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 40. Equação exponencialEquação exponencial 322 =x 81 9 1 =      x 171333 112 =−+ +−+ xxx 093109 =+⋅− xx 30/01/15 40Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 41. Equação exponencialEquação exponencial kxaa kx =⇔= 322 =x 5 22 =x 5=x ( ) 42 33 =− x 42 33 =− x 81 9 1 =      x 42 =− x 2−=x 30/01/15 41Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 42. Equação exponencialEquação exponencial 63933 1212 =−+ −+ xxx ( ) 633 3 3 33 2 2 2 =−+⋅ x x x 633 3 3 33 2 2 2 =−+⋅ x x x yx =2 3 63 3 3 =−+ y y y 3 18939 =−+ yyy 1897 =y 27=y 32 33 =x 2 3 =∴x 30/01/15 42Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 43. Equação exponencialEquação exponencial 224 =− xx ( ) 02222 =−− xx ( ) 0222 2 =−− xx yx =2 11 −=y 12 −=x 1=x 022 =−− yy 22 =y 22 =x 30/01/15 43Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 44. Inequação exponencialInequação exponencial 322 >x 81 9 1 ≤      x 64,08,0 2 <+x 093109 ≤+⋅− xx 30/01/15 44Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 45. Inequação exponencialInequação exponencial kx aa ≥ 322 >x 5 22 >x 5>x ( ) 21 99 ≤− x 2 99 ≤−x 2≤− x 2−≥x 1, >≥ asekx 10, <<≤ asekx 81 9 1 ≤      x 30/01/15 45Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 46. Inequação exponencialInequação exponencial 1−>x 64,08,0 2 <+x 100 64 8,0 2 <+x 100 64 8,0 2 <+x 10 8 8,0 2 <+x 8,08,0 2 <+x 12 >+x 30/01/15 46Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 47. LogaritmosLogaritmos xab =log Base do logaritmoBase do logaritmo LogaritmandoLogaritmando LogaritmoLogaritmo 0>a 01 >≠ b Condição de ExistênciaCondição de Existência 30/01/15 47Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 48. LogaritmosLogaritmos xab =log Base do logaritmoBase do logaritmo LogaritmandoLogaritmando LogaritmoLogaritmo xab =log ⇔ abx = 30/01/15 48Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 49. LogaritmosLogaritmos xab =log Base do logaritmoBase do logaritmo LogaritmandoLogaritmando LogaritmoLogaritmo x=8log2 ⇔ 82 =x 3=x 8log2 38log2 = 30/01/15 49Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 50. LogaritmosLogaritmos Sistema de LogaritmosSistema de Logaritmos aa loglog10 = 2100log100log10 == 30/01/15 50Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 51. LogaritmosLogaritmos Sistema de Logaritmos (Logaritmo Natural)Sistema de Logaritmos (Logaritmo Natural) bae =log ...718281828,2=e 2 log ee 2ln 2 =e 5loge e 55ln =e ba =ln 30/01/15 51Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 52. LogaritmosLogaritmos Propriedades operátóriasPropriedades operátórias ( ) babaP ccc logloglog1 +=⋅⇒ ba b a P ccc logloglog2 −=      ⇒ ( ) anaP b n b loglog3 ⋅=⇒ 30/01/15 52Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 53. LogaritmosLogaritmos Mudança de BaseMudança de Base b a a c c b log log log = ba b a a cc c c b loglog log log log −≠= 30/01/15 53Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 54. Função LogarítmicaFunção Logarítmica DefiniçãoDefinição RRf →+ * : ( ) xxf blog= * +RDomínioDomínio ( ) Rf =Im ImagemImagem R ( ) * += RfD 30/01/15 54Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 55. Função LogarítmicaFunção Logarítmica Representação GráficaRepresentação Gráfica ( ) xxf 2log= 1 x y 1 2 1− 2 1 0 30/01/15 55Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 56. Representação GráficaRepresentação Gráfica ( ) xxg 2 1log= 1 2 x y 1− 1 0 Função LogarítmicaFunção Logarítmica 30/01/15 56Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 57. Representação GráficaRepresentação Gráfica ( ) xxg 2 1log= 1 2 x y 1− 1 1 x y 1 2 1− 2 1 0 0 ( ) xxf 2log= 1>b Crescente 10 << b eDecrescent Função LogarítmicaFunção Logarítmica 30/01/15 57Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 58. Inversa da Função LogarítmicaInversa da Função Logarítmica x y ( ) xxf blog= 1 1 ( ) x bxf = 1>b Crescente xy = Função LogarítmicaFunção Logarítmica 30/01/15 58Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 59. Inversa da Função LogarítmicaInversa da Função Logarítmica x y ( ) xxf blog= 1 1 ( ) x bxf = 10 << b eDecrescent xy = Função LogarítmicaFunção Logarítmica 30/01/15 59Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 60. Equação LogarítmicaEquação Logarítmica ( ) ( ) ( ) ( )xgxfxgxf bb =⇔= loglog ( ) 53log2 =−x 325 −= x x=+ 332 35=x 03 >−x 3>x { }35=S 30/01/15 60Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 61. Equação LogarítmicaEquação Logarítmica ( ) ( ) ( ) ( )xgxfxgxf bb =⇔= loglog ( ) ( ) 295log 1 =−− xx ( ) 951 2 −=− xx 95122 −=+− xxx 095 >−x 5 9 >⇒ x 01>−x 1>⇒ x 11≠−x 2≠⇒ x 01072 =+− xx 21 =x 51 =x { }5=S 30/01/15 61Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 62. Equação LogarítmicaEquação Logarítmica ( ) ( ) ( ) ( )xgxfxgxf bb =⇔= loglog ( ) ( ) 8log4log3log 555 =++− xx 03 >−x 3>⇒ x 04 >+x 4−>⇒ x 41 =x 3>⇒ x { }4=S ( ) ( ) 8log43log 55 =+⋅− xx 8122 =−+ xx 0202 =−+ xx 52 −=x 0202 =−+ xx 30/01/15 62Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 63. Inequação LogarítmicaInequação Logarítmica ( ) ( )xgxf bb loglog ≥ 1>b ( ) ( )xgxf ≥ 10 << b ( ) ( )xgxf ≤ ( ) 5log3log 22 >−x 53 >−x 8>x 03 >−x C.EC.E 3>x { }8/ >∈= xRxS ] [+∞= ,8S 30/01/15 63Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 64. Inequação LogarítmicaInequação Logarítmica ( ) ( )xgxf bb loglog ≥ 1>b ( ) ( )xgxf ≥ 10 << b ( ) ( )xgxf ≤ ( ) ( )2log82log 3 2 3 2 −<− xx 282 −>− xx 6>x 082 >−x C.EC.E 4>x 02 >−x 2>x I II 4>=∩ xIII 30/01/15 64Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 65. Inequação LogarítmicaInequação Logarítmica ( ) ( ) 34log3log 22 <++− xx 8122 <−+ xx ( ) ( ) 3 22 2log43log <+⋅− xx ( ) ( ) 3 22 2log43log <+⋅− xx 0202 <−+ xx 51 −=x 42 =x x5− – – – – – –– – – – – – + + ++ + + 4 + + ++ + + 45 <<− x 30/01/15 65Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 66. Inequação LogarítmicaInequação Logarítmica ( ) ( ) 34log3log 22 <++− xx x5− – – – – – –– – – – – – + + ++ + + 4 + + ++ + + 45 <<− x 03 >−x C.EC.E 3>x 04 >+x 4−>x 3>∴x { }43/ <<∈= xRxS 0202 <−+ xx 30/01/15 66Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 67. 30/01/15 67Professor: Osmar da Silva Pereira