156555940 Matemática-Arcos-e-Angulos-ppsx.pptx

1. P R O F ES S O R A T E L M A CA S T R O S ILVA
ARCOS E ÂNGULOS - EXERCÍCIOS

2. 1. Expresse em graus:
a)
c)
d)
e)
rad
9
10
b)
8
rad
11
rad
9

rad

rad
3
20
4

3. Solução: Esse cálculo também poderia ser realizado pela
regra de três, mas outra forma é substituir π rad pelo seu
correspondente em graus, 180º, e simplificar a fração.
10 rad 
10(180º)

1800º
 200º
9 9 2
a)
b) 11 rad 
11(180º)

11(45º)
 247º30'
9
c) d)
9 20 20
8 8 4
 rad 
(180º)
 20
 rad 
(180º)
 9º
e)   240
3 3
4(180º) 720º
3
rad 
4

4. 2. Determine, em radianos, a medida do menor ângulo
formado pelos ponteiros de um relógio às 4 horas.
Solução: Os ponteiros de um
relógio estão ambos na direção
dos números somente na hora
exata. Após esse momento, o
único a ficar na direção é o
ponteiro dos minutos (grande).
O relógio
circunferência
representa uma
dividida em 12
partes iguais. Logo, cada número
dista um arco que mede 30°.
Às 4h o menor ângulo central
formado pelos ponteiros
corresponde a120º
2 rad
3

5. 3. Se o ponteiro menor de um relógio percorre um arco
de ( π/12) radianos, que arco ponteiro maior percorre?
Solução:
Em graus a medida percorrida pelo menor
corresponde a 15°.
Esse valor corresponde à metade da distância entre
dois números consecutivos.
O tempo para percorrer essa distância pelo menor é
de meia hora.
Enquanto isso o ponteiro maior dá meia volta
completa, isto é, 180°.
Logo, o ponteiro maior percorre π rad.

6. 3. Se o ponteiro menor de um relógio percorre um arco
de ( π/12) radianos, que arco ponteiro maior percorre?
Esta questão também pode ser resolvida através se
uma regra-de-três simples:
Ponteiro
Grande
2π rad
x rad
Ponteiro
Pequeno
(π/6) rad
(π/12) rad
2
Resposta: π rad

7. 4. Um relógio foi acertado exatamente ao meio-dia.
Determine as horas e os minutos que estará marcando
esse relógio após o ponteiro menor ter percorrido um
ângulo de 42°.
Tempo
60 min
Ponteiro
Pequeno
30°
x
42°
Passaram-se 84 minutos após o meio-dia, que
corresponde a 1h 24min. Observe que este horário é
vespertino, logo pode ser indicado como 13:24 h.
2

8. 5. Qual a medida, em graus, do menor ângulo central
formado pelos ponteiros de um relógio que está
marcando 9h 30min?
09:00 h 09:30 h
x
α

9. Solução: Ao marcar 9h em ponto,
os ponteiros estavam na direção
dos números como indicado na
primeira figura.
Às 9h30min o ponteiro pequeno
deslocou-se de um ângulo “x”.
Tempo
60 min
30 min
Ponteiro
Pequeno
30°
x
Aplicando a regra-de-rês
descobrimos qu
x
antos graus ele se
afastou da dirαeção do número 9
em 30 minutos.
60 x = 900 ⇒ x = 15°
α = 90° + x
09e
:30xh
= 15°
⇒ α = 105°

10. 6. Determine:
a)o comprimento de um arco de circunferência (em cm),
sabendo que ela tem 12cm de raio e o ângulo central
correspondente mede 20°.
b)o ângulo central (em radianos) correspondente a um
arco de 15cm de comprimento, sabendo que ela tem raio
de 20cm.
c)a medida do raio de uma circunferência (em cm),
sabendo que nela um ângulo central de 15° corresponde
a um arco de 30cm.

11. a) o comprimento de um arco de circunferência (em cm),
sabendo que ela tem 12cm de raio e o ângulo central
correspondente mede 20°.
⇒

12. b) o ângulo central (em radianos) correspondente a um
arco de 15cm de comprimento, sabendo que ela tem raio
de 20cm.
⇒

13. c) a medida do raio de uma circunferência (em cm),
sabendo que nela um ângulo central de 15° corresponde a
um arco de 30cm.
⇒

14. 7. A roda dianteira de uma bicicleta tem 40cm de raio.
Quantos metros ela percorre ao dar 5.000 voltas?
Quantas voltas ela deve dar para percorrer 9420m?
40 cm = 0,4 m C = 2π × 0,4 m C ≅ 2,5 m
⇒ ∴
1 volta = 2,5 m ⇒ 5000 voltas = 5000 × 2,5 m = 12.500 m
⇒
1 volta = 2,5 m x voltas = 2,5 x = 9.420 m

15. 8. As rodas de um automóvel têm 70cm de diâmetro.
Determine o número de voltas efetuadas pelas rodas
quando o automóvel percorre 9.891km. Adote π = 3,14.
d = 70 cm ∴ r = 35 cm
1 volta = C = 2π × 35 = 70π cm = 219,8 cm = 2,198 m
Percurso = 9.891 km = 9.891.000 m
x voltas = 2,198 . x
2,198 . x = 9891000 ∴ x = 4.500.000 voltas

16. a) 1300°
b) 1440°
d)
e)
f) –1200°
c) 170°
11 rad
rad
2
43
5
9. Obtenha as menores determinações não negativas dos
arcos.
Solução:
Encontra-se o número de voltas completas
que é múltiplo de 360° ou de 2π.
As menores determinações não negativas
restos
serão os arcos encontrados nos
percorridos no sentido positivo.
São chamadas 1ªs determinações.

17. a) 1300º360º 3(voltas)  resto(220º)
Logo a 1ª determinação de 1300° é 220°.
b) 1440º360º 4(voltas)  resto(0º)
Logo a 1ª determinação de 1440° é 0°.
c) 170° < 360° não completando uma volta. Logo a 1ª
determinação é o próprio 170°.
2 2 2
d) 11 rad 
8 rad 
3 rad  4(2voltas) 
3 rad
Logo a 1ª determinação de é
2
rad .
rad
2 2
11 3

18. a) 1300º360º 3(voltas)  resto(220º)
Logo a 1ª determinação de 1300° é 220°.
b) 1440º360º 4(voltas)  resto(0º)
Logo a 1ª determinação de 1440° é 0°.
c) 170° < 360° não completando uma volta. Logo a 1ª
determinação é o próprio 170°.
2 2 2
d) 11 rad 
8 rad 
3 rad  4(2voltas) 
3 rad
Logo a 1ª determinação de é
2
rad .
rad
2 2
11 3

19. e)
5 5 5 5
43 rad 
40 rad 
3 rad  8(4voltas) 
3 rad
Logo a 1ª determinação de rad é
43
5
rad .
5
3
f) 1200º360º  3(voltas)  resto(120º)
–120° é a 1ª determinação negativa de –1200°.
Para encontrar a 1ª determinação positiva, devemos
somar 360° a –120°.
Logo a 1ª determinação de –1200° é 240° (sentido
positivo).

20. 10. Dê as expressões gerais dos arcos côngruos a:
a) 1700°
b) –700°
c) 49 rad
4
d)11 rad
rad
8
33
e) 
Solução: A expressão geral será
expressa pela 1ª determinação dos
ângulos adicionadas a múltiplos de
360° ou 2π, positivos ou negativos.

21. a) 1700º360º 4(voltas)  resto(260º)
Logo a expressão geral é 260  360k , k Z
b)  700º360º  2(voltas)  resto(340º)
⇒ 1ª determinação positiva de –700° = 360° – 340° = 20°
Logo a expressão geral é 20º360k , k Z
c)
4 4 4 4
49 rad 
48 rad 
 rad 12(6voltas) 
 rad
 2k rad , k  Z

4
Logo a expressão geral é

22. d) 11 rad 10 rad  rad  (5voltas)  rad
Logo a expressão geral é  rad  2k , k Z
e) 
33 rad  
32 rad 
 rad  4(2 voltas) 
 rad
8 8 8 8
rad
8
8
15

rad 
A 1ª determinação positiva será 2 rad 
8
Logo a expressão geral é 15 rad  2k , k  Z
– 2 voltas significa duas
voltas no sentido horário
(negativo)

23. ( ) 740° e 1460°
( ) 400° e 940°
( )
( )
11. Assinale com “X” os pares que representam arcos
côngruos.
Solução:
Para que representem arcos
côngruos, suas extremidades
deverão ser as mesmas.
Isto pode
comparando
ser verificado
as primeiras
determinações de cada par.

24. 
1º) 740º360º 2(voltas)  resto(20º)
940º360º 2(voltas)  resto(220º)
400º360º1(voltas)  resto(40º)
2º) 
rad
rad 
rad  rad  4(voltas)
 3
 3 3
2
3
3
2
3
rad 8rad 
3
2
3
3
24
3
3º)26
38 rad 
36 rad 
2 rad 12rad 
2 rad  6(voltas)
2 rad
4º)
 5 5 5 5 5
5 5 5 5
 5
19 rad 
10 rad 
9 rad  2rad 
9 rad 1(volta) 
9 rad
74 rad 
70 rad 
4 rad 14rad 
4 rad  7(voltas) 
4 rad
⊠ 1460º360º 4(voltas)  resto(20º)
⊠

25. 11. Assinale com “X” os pares que representam arcos
côngruos.
⊠
() 740° e 1460°
( ) 400° e 940°
⊠
()
( )

26. 12. Os arcos da forma , k.180º30.(1)k
, k ∈ ℤ , têm
extremidades em que quadrantes?



0

k 2  (2).180º(1)2
.30º 360º30º 390º 30º (1ºQ)
k 1 (1).180º(1)1
.30º180º30º150º (2ºQ)
k  0  (0).180º(1) .30º 30º (1ºQ)
k  1 (1).180º(1)1
.30º 180º30º 210º150º (2ºQ)
Solução: Atribuindo alguns valores para “k”, observa-se a
regularidade dos quadrantes:
k  2  (2).180º(1)2
.30º 360º30º 330º 30º (1ºQ)
Observa-se que, para valores ÍMPARES de k, a
extremidade do arco pertence ao 2º quadrante e, para
valores PARES, ao 1º quadrante. Logo, a resposta é 1º e
2º quadrantes.

27. 13. Determine os valores de:
a) y  3cos540º2sen90ºtg180º
b) y  4sen900º2cos630ºcos720º
Solução: Encontram-se os arcos côngruos, reduzindo
ao 1° quadrante para determinações dos valores das
funções e atribuindo seus respectivos sinais de acordo
com os quadrantes.

28. cos 540º cos180º 1
 y  3(1)  2(1)  0  3 2  5


tg 180º 0


cos 720º cos 360º cos 0º1
 y  4(0)  2(0) 1 0  0 11
sen 900º sen180º 0
a) sen 90º1
b) cos630º cos 270º 0

29. 14. Determine os valores máximos e mínimos das
expressões:
a) y 
4cos x 1
3
b)y 
2  5senx
5
c) y  3sen2
x  2
Solução: As funções seno e cosseno variam no intervalo
[ – 1 , 1] onde (–1) é mínimo e (1) é máximo.
No caso das funções estarem ao quadrado, o valor
mínimo passa a ser (0), pois nenhum número ao
quadrado pode ser negativo.

30. ATENÇÃO!


 
3
  1
3
4(1) 1  3
3 3
3 mínimo: y 
máximo : y 
4(1) 1

5
4cos x 1
y 
a)

31. b)



5
5
5 5
2  5(1) _  3
5 mínimo : y 
máximo : y 
2  5(1) _

7
y 
2  5senx


2
mínimo : y  3(1)  2  1
máximo: y  3(0)  2  2
c) y  3sen x  2  

32. 15. Que valores de m satisfarão a ambas as condições:
Solução: Aplicando a relação fundamental relacionando
senos e cossenos, temos:
ou

33. 16. Sendo x um arco do 2° quadrante e ,
5
senx 
3
determine:
a) cos x
b) tg x
Solução: No 2° quadrante o cosseno é negativo e a
tangente também é negativa. Aplicando as relações
fundamentais, temos:

34. a)
b)

35. 17. Relacione as colunas:
Solução:
Encontrando o arco côngruo correspondente, avalia-se o
sinal da função.

36. a) 360°
14
200°
5240°
1640
cos
sen
• 0°
90°
•
•
270°
180° •
200° •
20°
cos 20°
cos 200° = –cos 20°
–cos 20°
•
20°

37. b) 360°
3
1200°
120°
cos
sen
• 0°
180° •
•
270°
90°
•
120° •
60° 60°
sen 60° = cos 30°
•

38. c) –210° + 360° = 150°
cos
sen
• 0°
180° •
•
270°
90°
•
150° •
30° 30°
sen 150° = sen 30°
•

39. d)
cos
sen
• 0°
180° •
90°
•
150° •
30° 30°
tg
•
270°
•

40. d)
cos
• 0°
180° •
•
270°
sen
90°
•
120° •
60° 60°
•

41. d)
cos
sen
• 0°
180° •
90°
•
• 330°
•
270°
30°
30°
cos 330° = cos 30°
•

42. d)

43. 17. Relacione as colunas:

44. 18. A expressão é igual a:
1 sen300º
cos
180° •
tg540ºcos(120º)
sen
90°
•
•
270°
• 300°
•
≡ 360°
60°
60°
• 0°

45. 360°
1
540°
180°
cos
sen
180° •
90°
•
•
270°
•
tg
• 0°

46. –120° + 360° = 240°
cos
180° •
sen
90°
•
•
270°
60°
60°
• 0°
240° •
•

47. 1 sen300º
tg540ºcos(120º)
0
⇒
∴

48. ISERJ
2013