O documento discute as três maneiras pelas quais frações ordinárias podem ser convertidas em números decimais: 1) números decimais exatos, 2) dízimas periódicas simples, e 3) dízimas periódicas compostas. Ele fornece exemplos de cada caso e explica como determinar o tipo de número decimal resultante com base nos fatores primos do denominador da fração original.

1. I - Conversão de Frações Ordinárias em Números Decimais
Já aprendemos que para transformarmos uma fração não decimal ( fração ordinária ) em um número decimal
basta dividirmos o
numerador pelo denominador da fração.
Estudaremos agora as três maneiras como isso ocorre, e para tal transformemos as frações ordinárias em
números decimais.
1º Caso : Ao transformarmos a fração 3/4 em um número decimal, encontraremos 0,75 e resto zero. Nesse
caso diremos
que a fração se converte num número decimal exato, ou numa decimal exata.
2 º Caso : Ao transformarmos a fração 5/3 num número decimal, encontraremos 1,666... e o resto 2, que se
repete
indefinidamente. Nesse caso diremos que a fração se converte num número decimal periódico, ou numa
dízima periódica.
O algarismo 6 que se repete indefinidamente é chamado período da dízima.
A dízima 1,666... é uma dízima periódica simples, já que, logo após a vírgula vem o período 6.
3º Caso : Ao transformarmos a fração 7/12 num número decimal, encontraremos 0,58333... e o resto 4, que se
repete
indefinidamente. Nesse caso diremos que a fração 7/12 se converte num número decimal periódico, ou numa
dízima periódica.
O número 3 é o período da dízima e o número 58 que o antecede é chamado de parte não periódica, não
período ou ante-período.
A dízima 0,58333 ... é uma dízima periódica composta, já que após a vírgula vem o ante-período 58 e somente
após vem o período 3.
II - Notação de uma Dízima Periódica
Uma Dízima Periódica poderá ser representada de três formas diferentes :
III - Os Casos da Conversão de Frações Ordinárias em Números Decimais
1º Caso : Número Decimal Exato
Uma fração ordinária e irredutível se transformará numa decimal exata quando seu denominador contiver
apenas os fatores primos
2 , 5 ou 2 e 5. O número de ordens, ou casas decimais, será dado pelo maior expoente dos fatores 2 ou 5.
Exemplo 1 : A fração ordinária e irredutível 7/4 se converterá numa decimal exata já que o seu denominador 4
só contém o fator
2
primo 2 ( 4 = 2 ). Essa decimal exata terá 2 casas decimais, já que o expoente do fator 2 é 2
Exemplo 2 : A fração ordinária e irredutível 71/125 se converterá numa decimal exata já que o seu
denominador 125 só contém o fator
3
primo 5 ( 125 = 5 ). Essa decimal exata terá 3 casas decimais, já que o expoente do fator 5 é 3

2. Exemplo 3 : A fração ordinária e irredutível 93/80 se converterá numa decimal exata já que o seu
denominador 80 só contém os fatores
4
primos 2 e 5 ( 40 = 2 x 5 ). Essa decimal exata terá 4 casas decimais, já que o expoente do fator 2 é 4
2º Caso : Dízima Periódica Simples
Uma fração ordinária e irredutível se transformará numa Dízima Periódica Simples quando seu denominador
contiver apenas fatores
primos DIFERETES dos fatores primos 2 , 5 ou 2 e 5.
Exemplo 4 : A fração ordinária e irredutível 16/9 se converterá numa Dízima Periódica Simples já que o seu
denominador 9 só
2
contém o fator primo 3 ( 9 = 3 )
Exemplo 5 : A fração ordinária e irredutível 43/77 se converterá numa Dízima Periódica Simples já que o seu
denominador 77
só contém os fatores primos 7 e 11 ( 77 = 7 x 11)
Exemplo 6 : A fração ordinária e irredutível 8/117 se converterá numa Dízima Periódica Simples já que o seu
denominador 117
2
só contém os fatores primos 3 e 13 ( 117 = 3 x 13 )
3º Caso : Dízima Periódica Composta
Uma fração ordinária e irredutível se transformará numa Dízima Periódica Composta quando seu
denominador, além dos fatores
primos 2 , 5 ou 2 e 5, contiver outros fatores primos quaisquer. O número de ordens, ou casas decimais, do
ante-período será dado
pelo maior expoente dos fatores 2 ou 5.
Exemplo 7 : A fração ordinária e irredutível 2/15 se converterá numa Dízima Periódica Composta já que o seu
denominador 15
contém além do fator primo 3, o fator primo 5 ( 15 = 3 x 5 ). Essa Dízima Periódica Composta terá um ante-
período com 1 casa decimal,
já que o expoente do fator 5 é 1.
Exemplo 8 : A fração ordinária e irredutível 75/52 se converterá numa Dízima Periódica Composta já que o
seu denominador 52
2
contém além do fator primo 2, o fator primo 13 ( 52 = 2 x 13 ). Essa Dízima Periódica Composta terá um ante-
período com
2 casas decimais, já que o expoente do fator 2 é 2.
Exemplo 9 : A fração ordinária e irredutível 7/680 se converterá numa Dízima Periódica Composta já que o
seu denominador 340
3
contém além dos fatores primos 2 e 5, o fator primo 17 ( 680 = 2 x 5 x 17 ). Essa Dízima Periódica Composta
terá um
ante-período com 3 casas decimais, já que o expoente do fator 2 é 3.
IV - Geratriz da Dízima Periódica
Definimos Geratriz de uma dízima periódica como sendo a fração ordinária que originou essa dízima.
Exemplo 1 : 1/3 é a geratriz da dízima periódica simples 0,333...
Exemplo 2 : 23/30 é a geratriz da dízima periódica composta 0,7666...

3. V - Geratriz da Dízima Periódica Simples
A geratriz de uma dízima periódica simples é a fração cujo numerador é o período e cujo denominador é
formado por tantos “noves”
quantos forem os algarismos do período. Se a dízima possuir parte inteira, ela deve ser incluída à frente
dessa fração, formando um
número misto.
Exemplo 1 : Calcular a geratriz de 0,555...
0,555... = 5/9
Exemplo 2 : Calcular a geratriz de 1,363636...
1,363636... = 1 36/99 e simplificando : 1 4/11 = 15/11
Exemplo 3 : Calcular a geratriz de 2,006006006..
2,006006006... = 2 006/999 e simplificando : 2 2/333 = 668/333
VI - Geratriz da Dízima Periódica Composta
A geratriz de uma dízima periódica composta é a fração cujo numerador é o ante-período, acrescido do
período e diminuído do
ante-período e cujo denominador é formado por tantos “noves” quantos forem os algarismos do período,
acrescido de tantos “zeros”
quantos forem os algarismos do ante-período. Se a dízima possuir parte inteira, ela deve ser incluída à frente
dessa fração, formando
um número misto.
Exemplo 1 : Calcular a geratriz de 0,03666...
0,03666... = 036 - 03 / 900 = 33 / 900 e simplificando : 11 /300
Exemplo 2 : Calcular a geratriz de 1,4(30)
Exemplo 3 : Calcular a geratriz de 2,14272727...
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE
Em problemas e expressões, toda dízima periódica deve ser convertida em sua fração geratriz e somente aí
serem efetuadas as
operações necessárias.
VII - Exercícios Propostos
I - Determine a natureza de cada uma das frações quando convertidas em números decimais. Se a resposta
for uma decimal exata,
determine o número de casa decimais e se for uma dízima periódica composta determine o número de casas
decimais do
ante-período.

4. 11) Em que tipo de número decimal se converterá uma fração de denominador 20 x 24 x 32 e de numerador 12
x 16 x 30 ?
x y
12) Determine todos os valores possíveis de x e y para que a fração de numerador 21 e denominador 2 x 5
se converta numa
decimal exata com n casas decimais.
m
13) Determine todos os valores possíveis de m, p e q para que a fração de numerador 56 e denominador 2 x
p q
5 x 7 se converta
numa decimal exata com três casas decimais.
m p
14) Determine os valores naturais de m e p para a fração de numerador 37 e denominador 4 x 25 se
converta numa decimal exata
com 4 ordens decimais e tenha o maior valor possível.
a b
15) Que relação deve haver entre a e b de modo que a fração de numerador 25 e denominador 125 x 51 seja
a geratriz de uma
dízima periódica simples.
16) Determine o valor mínimo da soma dos naturais m + n de modo que a fração de numerador 352 e
m n
denominador 34 x 9 se
converta numa dízima periódica composta com 2 algarismos na parte não periódica.
II - Calcule as geratrizes das dízimas periódicas :
17) 0,555... 18) 1,030303... 19) 2,(36) 20)
0,003003003...
21) 1,(09) 22) 2,027027027... 23) 5,018018018... 24)
0,0666...
25) 1,04727272... 26) 2,06818181... 27) 1,32(4) 28)
1,291666...
29) 1,05(3) 30) 3,61666...
III - Calcule o valor das expressões abaixo :
1/2 2
31) ( 0,666... ) - 0,444... 32 - 0,(15) - ( 0,333...) =
VIII - Respostas dos Exercícios Propostos